不等式課件
發(fā)布時間:2024-02-23
不等式課件
不等式課件精選九篇。
為了促進學生掌握上課知識點,老師需要提前準備教案,老師在寫教案課件時還需要花點心思去寫。?教案和課件優(yōu)化可使教學任務(wù)的完成更加精細化。幼兒教師教育網(wǎng)小編特意為大家收集整理了“不等式課件”,歡迎參考愿您成為更好的自己!
不等式課件 篇1
不等式的性質(zhì) 教學設(shè)計
十六中 尚進軍
【教學重點與難點】
教學重點:掌握不等式的三條基本性質(zhì),尤其是不等式的基本性質(zhì)3 教學難點:正確應(yīng)用不等式的三條基本性質(zhì)進行不等式變形 【教學目標】
1、探索并掌握不等式的基本性質(zhì)
2、會用不等式的基本性質(zhì)進行化簡 【教學方法】
通過觀察、分析、討論,引導學生歸納總結(jié)出不等式的三條基本性質(zhì),從具體上升到理論,再由理論指導具體的練習,從而強化學生對知識的理解與掌握.
【教學過程】
一、創(chuàng)設(shè)情境 復習引入
(設(shè)計說明:設(shè)置以下習題是為了溫故而知新,為學習本節(jié)內(nèi)容提供必要的知識準備.)問題:
1、什么是等式?等式的基本性質(zhì)是什么?
2、什么是不等式?
3、用“>”或“<”填空.(1)3
2×5 3×5
2×(-1)3×(-1)3-5 7-5 2÷2 3÷2 2×(-5)3×(-5)3+a 7+a
2÷(-2)3÷(-2)(教學說明: 復習等式的基本性質(zhì)后學生自然會聯(lián)想到,不等式是否有與等式相類似的性質(zhì),從而引起學生的探究欲望.接著問題3為學生探究不等式的性質(zhì)提供了載體,通過觀察,尋找規(guī)律,得出不等式的性質(zhì).)
二、師生互動,探索新知
1、不等式的基本性質(zhì)
問題1:觀察思考問題3,猜想出不等式的性質(zhì)
先讓學生獨立思考,后合作交流,通過充分討論,類比等式性質(zhì)得出不等式的性質(zhì).觀察時,引導學生注意不等號的方向,通過(1)題學生容易得出不等式性質(zhì)1: 不等式基本性質(zhì)1 不等式兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子),不等號的方向不變. 比較(2)、(3)題,注意觀察不等號方向,并思考不等號方向的改變與什么有關(guān)?由學生概括總結(jié),教師補充完善得出: 不等式基本性質(zhì)2 不等式兩邊乘(或除以)同一個正數(shù),不等號的方向不變. 不等式基本性質(zhì)3 不等式兩邊乘(或除以)同一個負數(shù),不等號的方向改變.
問題2:將不等式-2<6兩邊都加上7,-9,兩邊都乘3,-3試一試,進一步驗證上面得出的三條結(jié)論. 教師 強調(diào)指出:不等式的三條基本性質(zhì)實質(zhì)上是對不等式兩邊進行“+”、“-”、“×”、“÷”四則運算,當進行“+”、“-”法時,不等號方向不變;當乘(或除以)同一個正數(shù)時,不等號方向不變;只有當乘(或除以)同一個負數(shù)時,不等號的方向才改變.
問題3:嘗試用數(shù)學式子表示不等式的三條基本性質(zhì). 學生思考出答案,教師訂正,最后得出:(1)如果a>b,那么a±c>b±c(2)如果a>b,c>0那么ac>bc(或>)(3)如果a>b,ca” 或“x26;(2)3x50;(4)-4x>3.解:(l)根據(jù)不等式基本性質(zhì)1,不等式的兩邊都加上7,不等號的方向不變. 得 x-7+7>26 +>33(2)根據(jù)不等式基本性質(zhì)1,兩邊都減去2x,不等號的方向不變,得3x-2x75,不等號的方向不變,得(4)根據(jù)不等式基本性質(zhì)3,兩邊都除以-4,不等號的方向改變,得x(教學說明:這些不等式比較簡單,可以利用不等式的性質(zhì)直接求解,從而加深對這些性質(zhì)的認識.教師板書(1)題解題過程.(2)(3)(4)題由學生在練習本上完成,指定三個學生板演,然后師生共同判斷板演是否正確.解題時要引導學生與解一元一次方程的思路進行對比,有助于加強知識之間的前后聯(lián)系,突出新知識的特點,并將原題與“x>a” 或“xc, a+c>b, b+c>a 我們現(xiàn)在求的是兩邊之差與第三邊的關(guān)系,所以由不等式的性質(zhì)1將上式變形為: 由a +b>c得a>c-b, b>c-a.同理,由a+c>b, b+c>a可得c>b-a, b>a-c,c>a-b, a>b-c.這就是說,三角形中任意兩邊之差小于第三邊.(教學說明:此問題應(yīng)用不等式的性質(zhì)由“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”得出“三角形中任意兩邊之差小于第三邊”這個與已有結(jié)論等價的新結(jié)論.“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”對應(yīng)的是三個形式一樣的不等式,而不是一個不等式.由這三個不等式再推出“三角形中任意兩邊之差小于第三邊”.為了加深學生的感性認識,可以通過測量的方法驗證這個結(jié)論.)三、鞏固訓練,熟練技能:1、如果a>b,那么(1)a-3 b-3,(2)2a 2b(3)-3a-3b,(4)a-b 0(5)(6)-b_____-、在下列各題橫線上填入不等號,并說明是根據(jù)不等式的哪一條基本性質(zhì).(1)若a–3<9,則a_____12;(2)若-a<10,則a_____–10;(3)若a>–1,則a_____–4;(4)若-a>0,則a_____0.3、利用不等式的性質(zhì)解下列不等式,并在數(shù)軸上表示解集(解未知數(shù)為x的不等式,就是要使不等式逐步化為“x>a”或“x<a”的形式)(1)x-1<0;(2)x>-x+6;(3)3x>7;(4)-x<-3.(教學說明:這些練習進一步加深了學生對不等式性質(zhì)的理解,做此練習題時,應(yīng)讓學生注意觀察它們是應(yīng)用不等式的哪條性質(zhì),是怎樣由已知變形得到的.注意應(yīng)用不等式性質(zhì)3時,不等號要改變方向.做第3題時要引導學生與解一元一次方程的思路進行對比,讓學生認識到應(yīng)用不等式的性質(zhì)1變形,相當于移項.)四、總結(jié)反思,課堂小結(jié)1、不等式的基本性質(zhì)是什么?如何用數(shù)學式子表示?2、在本節(jié)課的學習中,你還有什么疑惑? 3.主要用到的思想方法是類比思想.4.注意的問題: 當不等式兩邊同乘(或除以)同一個數(shù)時,一定要看清是正數(shù)還是負數(shù),若是負數(shù),要變兩個號,一個性質(zhì)符號,另一個是不等號,對于未給定范圍的字母,應(yīng)分情況討論.六、布置課后作業(yè):1、課本127頁練習2、課本128習題的5、6、7題 【評價與反思】通過具體的事例觀察并歸納出不等式的三條基本性質(zhì),引導學生用數(shù)學式子表示三條基本性質(zhì),同時注意將不等式的三條基本性質(zhì)與等式的基本性質(zhì)進行比較,以加深學生的理解.在教學過程中,注重培養(yǎng)學生運用類比方法觀察、分析、解決問題的能力及歸納總結(jié)概括的能力.同時培養(yǎng)了學生積極主動的參與意識和勇敢嘗試、探索的精神.
不等式課件 篇2
本節(jié)教學的重點是不等式的解集的概念及在數(shù)軸上表示不等式的解集的方法.難點為不等式的解集的概念.
相同點:定義方式相同(使方程成立的未知數(shù)的值,叫做方程的解);解的表示方法也相同.
不同點:解的個數(shù)不同,一般地,一個不等式有無數(shù)多個解,而一個方程只有一個或幾個解,例如, 能使不等式 成立,那么 是不等式的一個解,類似地 等也能使不等式 成立,它們都是不等式 的解,事實上,當 取大于 的數(shù)時,不等式 都成立,所以不等式 有無數(shù)多個解.
不等式的解與不等式的解集是兩個不同的概念,不等式的解是指滿足這個不等式的未知數(shù)的某個值,而不等式的解集,是指滿足這個不等式的未知數(shù)的所有的值,不等式的所有解組成了解集,解集中包括了每一個解.
注意:不等式的解集必須滿足兩個條件:第一,解集中的任何一個數(shù)值,都能使不等式成立;第二,解集外的任何一個數(shù)值,都不能使不等式成立.
一般地,一個含未知數(shù)的不等式有無數(shù)多個解,其解集是某個范圍,這個范圍可用一個最簡單的不等式表示出來,例如,不等式 的解集是 .
如不等式 的解集 ,可以用數(shù)軸上表示4的點的左邊部分表示,因為 包含 ,所以在表示4的點上畫實心圓.
如不等式 的解集 ,可以用數(shù)軸上表示4的點的左邊部分表示,因為 包含 ,所以在表示4的點上畫實心圈.
注意:在數(shù)軸上,右邊的點表示的數(shù)總比左邊的點表示的數(shù)大,所以在數(shù)軸上表示不等式的解集時應(yīng)牢記:大于向右畫,小于向左畫;有等號的畫實心圓點,無等號的畫空心圓圈.
1.使學生了解不等式的解集、解不等式的概念,會在數(shù)軸上表示出不等式的解集.
2.知道不等式的“解集”與方程“解”的不同點.
通過教學,使學生能夠正確地在數(shù)軸上表示出不等式的解集,并且能把數(shù)軸上的某部分數(shù)集用相應(yīng)的不等式表示.
通過講解不等式的“解集”與方程“解”的關(guān)系,向?qū)W生滲透對立統(tǒng)一的辯證觀點.
通過本節(jié)課的學習,讓學生了解不等式的解集可利用圖形來表達,滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學美.
2.學生學法:明確不等式的解與解集的區(qū)別和聯(lián)系,并能熟練地用數(shù)軸表示不等式的解集,在數(shù)軸上表示不等式的解集時,要特別注意:大于向右畫,小于向左畫;有等號的畫實心圓點,無等號的畫空心圓圈.
不等式課件 篇3
基本不等式是數(shù)學中一個重要的基礎(chǔ)公式,也是高中數(shù)學學習的重點之一。此公式廣泛應(yīng)用于各種求證、排列、組合、概率等數(shù)學問題中,具有廣泛的實際應(yīng)用價值。本文將圍繞基本不等式的定義、推導、應(yīng)用和解題技巧進行講解。
一、基本不等式的定義
基本不等式又稱柯西-施瓦茨不等式,其一般形式為:
∣∣∣∣∑iaibi∣∣∣∣∣≤∣∣∣∣∑iai∣∣∣∣∣∣∣∣∣∑ibi∣∣∣∣∣
其中a1,a2,…,an和b1,b2,…,bn為任意實數(shù)。該不等式的本質(zhì)含義是,在平面直角坐標系中,向量間的內(nèi)積不大于它們模的乘積之積,并且當且僅當向量線性相關(guān)時取等號。
二、基本不等式的推導
基本不等式的推導涉及到向量的概念。假設(shè)有兩個n維向量a和b,它們的內(nèi)積為∑iaibi,則它們的長度分別為:|a|=√∑iai2和|b|=√∑ibi2。
將a和b定義為Rn中的兩個向量,則它們的夾角為θ,則有:
cosθ=∑iaibi/|a||b|
通過分析cosθ的大小關(guān)系,顯然有:
?1≤cosθ≤1
進一步得到基本不等式:
|∑iaibi|≤∣∣∣∣∑iai∣∣∣∣∣∣∣∣∑ibi∣∣∣∣∣
三、基本不等式的應(yīng)用
基本不等式廣泛應(yīng)用于各種求證、排列、組合、概率等數(shù)學問題中,下面將分別介紹它們的應(yīng)用。
1. 求證
基本不等式可以用于求證數(shù)學中的一些定理,比如互余等比數(shù)列的和定理。具體應(yīng)用時,我們可以將等比數(shù)列拆成兩個向量,然后應(yīng)用基本不等式即可得到所證定理。
2. 排列組合
在排列組合問題中,基本不等式可以幫助我們確定最優(yōu)解,以最小或最大值為目標得到所需的數(shù)字。例如,在n個數(shù)字中有幾對數(shù)對,他們之間的差值恰好為k,可以通過將原問題轉(zhuǎn)換為求兩個向量之間的夾角,然后應(yīng)用基本不等式進行求解。
3. 概率
在概率問題中,基本不等式可以用于推算隨機事件中不等的概率值,例如玩牌游戲中的胡牌概率等。我們可以將每個事件看作向量,然后使用基本不等式計算它們的夾角,從而得到相應(yīng)的概率值。
四、基本不等式的解題技巧
基本不等式的應(yīng)用需要掌握一些解題技巧。下面列舉一些常用的技巧:
1. 將數(shù)列表示成向量
在排列組合問題中,將數(shù)列表示成向量,有利于方便運用基本不等式進行計算。
2. 極小化或極大化
當問題中要求最小或最大值時,我們可以使用極小化或極大化的思路,以求解最優(yōu)解。
3. 利用對稱性
當有對稱條件時,可以運用基本不等式中的對稱性質(zhì),簡化數(shù)學推理。
4. 運用方法的差異性
在某些情況下,我們可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)在大小方面的差異,從而確定使用哪個方法進行計算。
綜上所述,基本不等式是高中數(shù)學學習的重點之一,應(yīng)用范圍廣泛。掌握了基本不等式的定義、推導、應(yīng)用和解題技巧,能夠在數(shù)學競賽中取得更好的成績,也有利于我們理解、應(yīng)用其它數(shù)學定理。
不等式課件 篇4
《不等式的性質(zhì)(1)》教學設(shè)計
一、引入
展示任務(wù)單的數(shù)據(jù)分析,向?qū)W生明確本堂課的教學內(nèi)容。
二、預(yù)習檢測
學生回答“什么是不等式的性質(zhì)” 不等式的性質(zhì)1 不等式兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子),不等號的方向不變 不等式的性質(zhì)2 不等式兩邊乘(或除以)同一個正數(shù),不等號的方向不變 不等式的性質(zhì)3 不等式兩邊乘(或除以)同一個負數(shù),不等號的方向改變
三、應(yīng)用1:利用不等式的性質(zhì)比較大小
【例1】若a?b,判斷3?2a與3?2b的大小關(guān)系.小結(jié):利用不等式的性質(zhì)比較大小的一般思路: 利用不等式的性質(zhì)將“已知”逐步化成“目標
(1)教師對任務(wù)單中錯誤率較高的題目進行講解;
(2)設(shè)置類似的問題作為例題,并進行鞏固訓練和變式訓練。
【鞏固】(1)若3a?4?3b?4,則a___b;(2)若?5a?7??5b?7,則a___?b,則: 【變式一】若 ①(k2?1)a___(k2?1)b ②1?k2a___1?k2b
【變式二】若a?b,試比較ka與kb的大小.【鞏固】(1)若a?b,且(k?1)a?(k?1)b,則k的取值范圍是______.1(2)由kx?1變形可得x?,則k的取值范圍是________.k
四、應(yīng)用2:利用不等式的性質(zhì)解不等式
(1)針對任務(wù)單中學生解不等式時在步驟中出現(xiàn)的問題,教師規(guī)范解題步驟;
(2)教師分享某位同學任務(wù)單中對“不等式的性質(zhì)與等式性質(zhì)的異同?”的回答,小組討論利用不等式的性質(zhì)解不等式步驟中需要注意的問題;(3)學生綜合范例和討論結(jié)果,進行鞏固訓練和變式訓練?!纠?】利用不等式的性質(zhì)解不等式:4y?12??2?3y.【鞏固】13用不等式的性質(zhì)解不等式:y?2?y?522 【變式】13已知y?2?y?5,化簡y?3?(6?2y)
五、課堂小結(jié)
小組討論分享:通過本節(jié)課的學習,“我知道了??”“我掌握了??”。
六、課堂檢測
學生獨立完成課堂檢測,由數(shù)據(jù)反饋出本堂課的達成度
七、課后思考 布置課后思考題
利用不等式性質(zhì)1,比較2a與a的大?。╝?0).2,比較2a與a的大?。╝?0).利用不等式性質(zhì)
不等式課件 篇5
基本不等式是中學數(shù)學中比較重要的知識點,它是一條數(shù)學公式,可以用來證明數(shù)學上的不等式問題。在中學階段,我們通常會學習到關(guān)于基本不等式的概念、性質(zhì)以及應(yīng)用等方面的知識。接下來,本篇文章將圍繞這一主題展開,詳細說明基本不等式的相關(guān)知識點和應(yīng)用場景。
一、基本不等式的概念和性質(zhì)
基本不等式實際上是針對于a、b兩個正實數(shù)而言的,它的數(shù)學表述為:(a+b)2≥4ab 。 這個公式被稱為基本不等式的“基本式”。同時,在這個式子中,等號成立的條件是a=b時。接下來,讓我們來看看基本不等式的一些性質(zhì)。
1.基本不等式的證明:
(a+b)2=a2+2ab+b2≥4ab (由于a2+b2≥2ab)
化簡得:a2+b2≥2ab,即(a-b)2≥0,結(jié)合等式左側(cè)兩邊同時加上4ab,則得到公式(a+b)2≥4ab,也就是基本不等式。
2. 基本不等式的解釋:
從式子來看,基本不等式的左邊是一個完全平方數(shù),即(a+b)2。右邊是4ab。又因為基本不等式中的變量a和b都是正實數(shù),所以無論a和b的大小關(guān)系如何,四倍的乘積4ab一定是大于等于a2+b2、即2ab的。因此,我們可以得到基本不等式的結(jié)論:(a+b)2≥4ab。
3. 基本不等式的應(yīng)用:
基本不等式有非常廣泛的應(yīng)用,其中一些典型的應(yīng)用場景包括以下幾種:
a. 使用基本不等式證明其他不等式:
比如,對于x、y兩個正實數(shù),我們可以將不等式(x-y)2≥0 化簡為x2+y2≥2xy 的形式,然后用上基本不等式,即可快速證明(x-y)2≥0 成立。
b. 使用基本不等式解決實際問題:
比如,用4米長的繩子圍成一個矩形獸欄,求獸欄能夠圍住的最大面積是多少? 我們可以將這個問題轉(zhuǎn)換為求:4m邊長的正方形對面提醒獸欄的最大面積問題。此時,我們可以利用基本不等式,推導出正方形的對角線最大長度即為4√2米,由此可以得出此時正方形的面積即為16平方米,也就是獸欄的最大面積。
c. 使用基本不等式驗證一些數(shù)學結(jié)論:
比如,我們可以利用基本不等式來驗證任意兩個正實數(shù)的平均數(shù)一定大于等于它們的幾何平均數(shù)。 具體的,對于兩個正實數(shù)a和b,我們可以推導得到:
(a+b)2≥4ab
(a+b)2/4≥ab
(√ab+√ab)2/4≥ab
(?ab) ≥ (a+b)/2
由此可得,兩個正實數(shù)的平均數(shù)一定大于等于它們的幾何平均數(shù),即( a+b)/2≥?ab。
二、基本不等式的應(yīng)用實例
1.題目描述:
小峰有若干元錢,他能夠涵蓋八天的生活物資開銷?,F(xiàn)在,他去買菜了,花掉了R元錢,求他能不能仍然用這筆錢過完余下的那幾天。
2.解題思路:
我們可以設(shè)小峰剩下的錢數(shù)為x,應(yīng)該取得一個不等式來表示這個問題。具體地,設(shè)日均消費為m(m 一定是小于R/x 和x/8之間較小數(shù)),則從第9天開始,小峰所存的錢應(yīng)數(shù)學表達式為:
x-R≥m*(8),
x≥m*(8)+R
這是一個關(guān)于x的不等式,為驗證其是否成立,我們需要對它進行推導。為了推導方便,我們將不等式變形如下:
m*(8)+R≤x
然后,我們可以利用基本不等式將其化簡為如下形式:
(mx/?8)^2+(Rx/?8)^2≥2mRx/4
由于 x>0,所以令 t = x/?8,則上式化簡為:
(m/2)t^2+(R/2)^2≥tmR
或者
(t-R/m)^2+(m/2)^2≥R^2/ 4m^2
根據(jù)上面的式子,我們可以得出,只要 t≥R/m,即x≥m*(8)+R,則小峰就有足夠的錢過余下的幾天生活了。
3.綜述
基本不等式是非常重要的中學數(shù)學知識點,它不僅有較為實際的應(yīng)用場景,還能用于證明和推導其他數(shù)學結(jié)論。在學習基本不等式的時候,我們需要注意,對于不等式的變量,要理解它們所表示的實際含義和邏輯關(guān)系,從而更好地應(yīng)用基本不等式來解決實際問題。
不等式課件 篇6
本節(jié)課的研究是對初中不等式學習的延續(xù)和拓展,也是實數(shù)理論的進一步發(fā)展.在本節(jié)課的學習過程中,將讓學生回憶實數(shù)的基本理論,并能用實數(shù)的基本理論來比較兩個代數(shù)式的大小.
通過本節(jié)課的學習,讓學生從一系列的具體問題情境中,感受到在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系,并充分認識不等關(guān)系的存在與應(yīng)用.對不等關(guān)系的相關(guān)素材,用數(shù)學觀點進行觀察、歸納、抽象,完成量與量的比較過程.即能用不等式或不等式組把這些不等關(guān)系表示出來.
在本節(jié)課的學習過程中還安排了一些簡單的、學生易于處理的問題,其用意在于讓學生注意對數(shù)學知識和方法的應(yīng)用,同時也能激發(fā)學生的學習興趣,并由衷地產(chǎn)生用數(shù)學工具研究不等關(guān)系的愿望.根據(jù)本節(jié)課的教學內(nèi)容,應(yīng)用再現(xiàn)、回憶得出實數(shù)的基本理論,并能用實數(shù)的基本理論來比較兩個代數(shù)式的大小.
在本節(jié)教學中,教師可讓學生閱讀書中實例,充分利用數(shù)軸這一簡單的數(shù)形結(jié)合工具,直接用實數(shù)與數(shù)軸上點的一一對應(yīng)關(guān)系,從數(shù)與形兩方面建立實數(shù)的順序關(guān)系.要在溫故知新的基礎(chǔ)上提高學生對不等式的認識.
1.在學生了解不等式產(chǎn)生的實際背景下,利用數(shù)軸回憶實數(shù)的基本理論,理解實數(shù)的大小關(guān)系,理解實數(shù)大小與數(shù)軸上對應(yīng)點位置間的關(guān)系.
2.會用作差法判斷實數(shù)與代數(shù)式的大小,會用配方法判斷二次式的大小和范圍.
3.通過溫故知新,提高學生對不等式的認識,激發(fā)學生的學習興趣,體會數(shù)學的奧秘與數(shù)學的結(jié)構(gòu)美.
教學重點:比較實數(shù)與代數(shù)式的大小關(guān)系,判斷二次式的大小和范圍.
思路1.(章頭圖導入)通過多媒體展示衛(wèi)星、飛船和一幅山巒重疊起伏的壯觀畫面,它將學生帶入“橫看成嶺側(cè)成峰,遠近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中,使學生在具體情境中感受到不等關(guān)系在現(xiàn)實世界和日常生活中是大量存在的,由此產(chǎn)生用數(shù)學研究不等關(guān)系的強烈愿望,自然地引入新課.
思路2.(情境導入)列舉出學生身體的高矮、身體的輕重、距離學校路程的遠近、百米賽跑的時間、數(shù)學成績的多少等現(xiàn)實生活中學生身邊熟悉的事例,描述出某種客觀事物在數(shù)量上存在的不等關(guān)系.這些不等關(guān)系怎樣在數(shù)學上表示出來呢?讓學生自由地展開聯(lián)想,教師組織不等關(guān)系的相關(guān)素材,讓學生用數(shù)學的觀點進行觀察、歸納,使學生在具體情境中感受到不等關(guān)系與相等關(guān)系一樣,在現(xiàn)實世界和日常生活中大量存在著.這樣學生會由衷地產(chǎn)生用數(shù)學工具研究不等關(guān)系的愿望,從而進入進一步的探究學習,由此引入新課.
1回憶初中學過的不等式,讓學生說出“不等關(guān)系”與“不等式”的異同.怎樣利用不等式研究及表示不等關(guān)系?
2在現(xiàn)實世界和日常生活中,既有相等關(guān)系,又存在著大量的不等關(guān)系.你能舉出一些實際例子嗎?
3數(shù)軸上的任意兩點與對應(yīng)的兩實數(shù)具有怎樣的關(guān)系?
4任意兩個實數(shù)具有怎樣的關(guān)系?用邏輯用語怎樣表達這個關(guān)系?
活動:教師引導學生回憶初中學過的不等式概念,使學生明確“不等關(guān)系”與“不等式”的異同.不等關(guān)系強調(diào)的是關(guān)系,可用符號“>”“b”“a
教師與學生一起舉出我們?nèi)粘I钪胁坏汝P(guān)系的例子,可讓學生充分合作討論,使學生感受到現(xiàn)實世界中存在著大量的不等關(guān)系.在學生了解了一些不等式產(chǎn)生的實際背景的前提下,進一步學習不等式的有關(guān)內(nèi)容.
實例1:某天的天氣預(yù)報報道,最高氣溫32 ℃,最低氣溫26 ℃.
實例2:對于數(shù)軸上任意不同的兩點A、B,若點A在點B的左邊,則xA
實例5:三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊.
實例6:限速40 km/h的路標指示司機在前方路段行駛時,應(yīng)使汽車的速度v不超過40 km/h.
實例7:某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定,酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不少于2.5%,蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于2.3%.
教師進一步點撥:能夠發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學當然很好,這說明同學們已經(jīng)走進了數(shù)學這門學科,但作為我們研究數(shù)學的人來說,能用數(shù)學的眼光、數(shù)學的觀點進行觀察、歸納、抽象,完成這些量與量的比較過程,這是我們每個研究數(shù)學的人必須要做的,那么,我們可以用我們所研究過的什么知識來表示這些不等關(guān)系呢?學生很容易想到,用不等式或不等式組來表示這些不等關(guān)系.那么不等式就是用不等號將兩個代數(shù)式連結(jié)起來所成的式子.如-71+4,2x≤6,a+2≥0,3≠4,0≤5等.
教師引導學生將上述的7個實例用不等式表示出來.實例1,若用t表示某天的氣溫,則26 ℃≤t≤32 ℃.實例3,若用x表示一個非負數(shù),則x≥0.實例5,|AC|+|BC|>|AB|,如下圖.
|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.
|AB|-|BC|
實例6,若用v表示速度,則v≤40 km/h.實例7,f≥2.5%,p≥2.3%.對于實例7,教師應(yīng)點撥學生注意酸奶中的脂肪含量與蛋白質(zhì)含量需同時滿足,避免寫成f≥2.5%或p≥2.3%,這是不對的.但可表示為f≥2.5%且p≥2.3%.
對以上問題,教師讓學生輪流回答,再用投影儀給出課本上的兩個結(jié)論.
討論結(jié)果:
(1)(2)略;(3)數(shù)軸上任意兩點中,右邊點對應(yīng)的實數(shù)比左邊點對應(yīng)的實數(shù)大.
(4)對于任意兩個實數(shù)a和b,在a=b,a>b,a0a>b;a-b=0a=b;a-b
活動:通過兩例讓學生熟悉兩個代數(shù)式的大小比較的基本方法:作差,配方法.
點評:本節(jié)兩例的求解,是借助因式分解和應(yīng)用配方法完成的,這兩種方法是代數(shù)式變形時經(jīng)常使用的方法,應(yīng)讓學生熟練掌握.
1.若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,則f(x)與g(x)的大小關(guān)系是( )
解析:f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0,∴f(x)>g(x).
2.已知x≠0,比較(x2+1)2與x4+x2+1的大小.
解:由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.
∵x≠0,得x2>0.從而(x2+1)2>x4+x2+1.
例2比較下列各組數(shù)的大小(a≠b).
(1)a+b2與21a+1b(a>0,b>0);
(2)a4-b4與4a3(a-b).
活動:比較兩個實數(shù)的大小,常根據(jù)實數(shù)的運算性質(zhì)與大小順序的關(guān)系,歸結(jié)為判斷它們的差的符號來確定.本例可由學生獨立完成,但要點撥學生在最后的符號判斷說理中,要理由充分,不可忽略這點.
解:(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=a+b2-4ab2a+b=a-b22a+b.
∵a>0,b>0且a≠b,∴a+b>0,(a-b)2>0.∴a-b22a+b>0,即a+b2>21a+1b.
(2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)
=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]
=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2].
∵2a2+(a+b)2≥0(當且僅當a=b=0時取等號),
又a≠b,∴(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0.∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2]
∴a4-b4
點評:比較大小常用作差法,一般步驟是作差——變形——判斷符號.變形常用的手段是分解因式和配方,前者將“差”變?yōu)椤胺e”,后者將“差”化為一個或幾個完全平方式的“和”,也可兩者并用.
已知x>y,且y≠0,比較xy與1的大小.
活動:要比較任意兩個數(shù)或式的大小關(guān)系,只需確定它們的差與0的大小關(guān)系.
∵x>y,∴x-y>0.
當y
當y>0時,x-yy>0,即xy-1>0.∴xy>1.
點評:當字母y取不同范圍的值時,差xy-1的正負情況不同,所以需對y分類討論.
例3建筑設(shè)計規(guī)定,民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積.但按采光標準,窗戶面積與地板面積的比值應(yīng)不小于10%,且這個比值越大,住宅的采光條件越好.試問:同時增加相等的窗戶面積和地板面積,住宅的采光條件是變好了,還是變壞了?請說明理由.
活動:解題關(guān)鍵首先是把文字語言轉(zhuǎn)換成數(shù)學語言,然后比較前后比值的大小,采用作差法.
解:設(shè)住宅窗戶面積和地板面積分別為a、b,同時增加的面積為m,根據(jù)問題的要求a
由于a+mb+m-ab=mb-abb+m>0,于是a+mb+m>ab.又ab≥10%,
因此a+mb+m>ab≥10%.
所以同時增加相等的窗戶面積和地板面積后,住宅的采光條件變好了.
點評:一般地,設(shè)a、b為正實數(shù),且a0,則a+mb+m>ab.
已知a1,a2,…為各項都大于零的等比數(shù)列,公比q≠1,則( )
C.a1+a8=a4+a5 D.a1+a8與a4+a5大小不確定
解析:(a1+a8)-(a4+a5)=a1+a1q7-a1q3-a1q4
=a1[(1-q3)-q4(1-q3)]=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q)(1+q2).
∵{an}各項都大于零,∴q>0,即1+q>0.
又∵q≠1,∴(a1+a8)-(a4+a5)>0,即a1+a8>a4+a5.
1.下列不等式:①a2+3>2a;②a2+b2>2(a-b-1);③x2+y2>2xy.其中恒成立的不等式的個數(shù)為( )
2.比較2x2+5x+9與x2+5x+6的大小.
答案:
1.C解析:∵②a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,
③x2+y2-2xy=(x-y)2≥0.
∴只有①恒成立.
2.解:因為2x2+5x+9-(x2+5x+6)=x2+3>0,
所以2x2+5x+9>x2+5x+6.
1.教師與學生共同完成本節(jié)課的小結(jié),從實數(shù)的基本性質(zhì)的回顧,到兩個實數(shù)大小的比較方法;從例題的活動探究點評,到緊跟著的變式訓練,讓學生去繁就簡,聯(lián)系舊知,將本節(jié)課所學納入已有的知識體系中.
2.教師畫龍點睛,點撥利用實數(shù)的基本性質(zhì)對兩個實數(shù)大小比較時易錯的地方.鼓勵學有余力的學生對節(jié)末的思考與討論在課后作進一步的探究.
1.本節(jié)設(shè)計關(guān)注了教學方法的優(yōu)化.經(jīng)驗告訴我們:課堂上應(yīng)根據(jù)具體情況,選擇、設(shè)計最能體現(xiàn)教學規(guī)律的教學過程,不宜長期使用一種固定的教學方法,或原封不動地照搬一種實驗?zāi)J?各種教學方法中,沒有一種能很好地適應(yīng)一切教學活動.也就是說,世上沒有萬能的教學方法.針對個性,靈活變化,因材施教才是成功的施教靈藥.
2.本節(jié)設(shè)計注重了難度控制.不等式內(nèi)容應(yīng)用面廣,可以說與其他所有內(nèi)容都有交匯,歷來是高考的重點與熱點.作為本章開始,可以適當開闊一些,算作拋磚引玉,讓學生有個自由探究聯(lián)想的平臺,但不宜過多向外拓展,以免對學生產(chǎn)生負面影響.
3.本節(jié)設(shè)計關(guān)注了學生思維能力的訓練.訓練學生的思維能力,提升思維的品質(zhì),是數(shù)學教師直面的重要課題,也是中學數(shù)學教育的主線.采用一題多解有助于思維的發(fā)散性及靈活性,克服思維的僵化.變式訓練教學又可以拓展學生思維視野的廣度,解題后的點撥反思有助于學生思維批判性品質(zhì)的提升.
1.比較(x-3)2與(x-2)(x-4)的大小.
2.試判斷下列各對整式的大小:(1)m2-2m+5和-2m+5;(2)a2-4a+3和-4a+1.
5.設(shè)a>0,b>0,且a≠b,試比較aabb與abba的大小.
∴(x-3)2>(x-2)(x-4).
=m2.
∵m2≥0,∴(m2-2m+5)-(-2m+5)≥0.
∴m2-2m+5≥-2m+5.
=a2+2.
∵a2≥0,∴a2+2≥2>0.
∴a2-4a+3>-4a+1.
=x24,
又∵x>0,∴x24>0.
∴(1+x2)2>(1+x)2.
由x>0,得1+x2>1+x.
=(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]
=-2xy(x-y).
∵x0,x-y
∴-2xy(x-y)>0.
∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).
5.解:∵aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b,且a≠b,
當a>b>0時,ab>1,a-b>0,
則(ab)a-b>1,于是aabb>abba.
則(ab)a-b>1.
于是aabb>abb a.
綜上所述,對于不相等的正數(shù)a、b,都有aabb>abba.
不等式課件 篇7
《課題:實際問題與一元一次不等式》教學設(shè)計
【教學目標】:
1.通過列一元一次不等式解決具有不等關(guān)系的實際問題,進一步熟練掌握一元一次不等式的解法,體會不等式是解決實際問題的有效的數(shù)學模型。
2.通過應(yīng)用一元一次不等式解決實際問題,進一步強化應(yīng)用數(shù)學的意識,從而使學生樂于接觸社會環(huán)境中的數(shù)學信息,談?wù)摂?shù)學話題,能夠在數(shù)學活動中發(fā)揮積極作用。
3.通過探究,增進學生之間的配合,培養(yǎng)學生敢于面對困難和克服困難的勇氣,樹立學好數(shù)學的自信心。
【重點難點】:
重點:由實際問題中的不等關(guān)系列出不等式。
難點:列一元一次不等式描述實際問題中的不等關(guān)系
【教學過程】:
回顧舊知、引入新課
師:之前我們學習過利用一元一次方程解決生活中的銷售問題,現(xiàn)在李老師就來考考大家,請看第一題:
出示幻燈片1
1.一種商品標價100元,按標價的8折出售,若想單件商品獲利10元,設(shè)進價為x元,則可列等式。
(學生解決并給出合理解釋)
師:那我們一起來回顧一下利用一元一次方程解決實際問題的基本步驟是什么?
學生回答后,教師總結(jié):
利用一元一次方程解決實際問題的一般步驟:
審、設(shè)、列、解、答
師:好!請看第二題:
2.一種商品標價100元,按標價的8折出售,若想單件商品獲利不低于10元,設(shè)進價為x元,則。
師:相較于第一題,題目發(fā)生了什么變化?
學生抓住關(guān)鍵詞“不低于”,列出不等式。
師:找到不等關(guān)系,列一元一次不等式也是解決實際問題的常用方法。今天,我們就來學習實際問題與一元一次不等式。
出示幻燈片
2小組討論、探究新知
師:馬上就要過春節(jié)了,想要給自己準備什么禮物?
師:老師也想給可愛的兒子買禮物,通過考察,已經(jīng)知道有兩家超市正在舉行優(yōu)惠活動,咱們一起去逛一逛,好不好?
出示幻燈片3
甲超市說:凡在本超市累計購買100元商品后,再購買的商品按原價的90%收費。
乙超市:凡在本超市累計購買50元商品后,再購買的商品按原價的95%收費
師:李老師覺得甲超市優(yōu)惠,因為打9折?你的意見呢?
(學生發(fā)表自己的意見)
師:剛才幾位同學表達了自己的觀點,可是這僅僅是我們的猜想,解決問題不能只靠猜想,運用數(shù)學知識該如何解決這個問題呢?
出示幻燈片
4下面老師就把時間交給大家,4人一小組展開討論,到底該選擇哪家超市購買才能獲得更大優(yōu)惠?
(學生討論的過程中,教師主要巡視并和學生共同探究。)
經(jīng)過探討,小組形成初步想法,小組派代表分享討論結(jié)果,逐一解決列表達式、分類、建模列不等式、解不等式等題目中難點,教師以板書形式將結(jié)果呈現(xiàn)在黑板上,并引導學生補充,完善解題過程,并利用多媒體進行展示。
學以致用 挑戰(zhàn)自我?guī)煟和瑢W們理解得非常到位!那么再碰到類似的問題你能解決了嗎?
出示幻燈片
5我校計劃在暑假期間組織學生到某地旅游,參加旅游的人數(shù)估計為10~25人,甲、乙兩家旅行社的服務(wù)質(zhì)量相同,且報價都是每人200元.經(jīng)過協(xié)商:甲旅行社表示可給予每位學生七五折優(yōu)惠;乙旅行社表示可先免去一位學生的旅游費用,其余學生八折優(yōu)惠.我校選擇哪一家旅行社支付的旅游費用較少?
學生獨立思考后進行小組討論,選代表上黑板展示。
梳理過程 總結(jié)提高
教師引導學生回顧兩道題的解題過程,談?wù)劔@得的感悟,學生獨立思考片刻后進行小組交流討論。
出示幻燈片6
回顧這個問題的解題過程,你有哪些感悟呢?
例如:我感受最深的是??
我感到最困難的是??
我發(fā)現(xiàn)生活中??
我學會了??
布置作業(yè) 測評反饋
出示幻燈片7
作業(yè):
一、在市場上收集兩種手機收費方式,幫爸爸(媽媽)選擇一種合適的消費方式.二、習題(134頁)1.(1)(2)5.
不等式課件 篇8
1.使學生感受到生活中存在著大量的不等關(guān)系,了解不等式和一元一次不等式的意義;
2.讓學生自發(fā)地尋找不等式的解,會在數(shù)軸上正確地表示出不等式的解集;
3.能夠根據(jù)題意準確迅速地列出相應(yīng)的不等式。
1.通過汽車行駛過a地這一實例的研究,使學生體會到數(shù)學來源于生活,又服務(wù)于生活,培養(yǎng)學生“學數(shù)學、用數(shù)學”的意識;
2.經(jīng)歷由具體實例建立不等模型的過程,探究不等式的解與解集的不同意義的過程,滲透數(shù)形結(jié)合的思想。
㈢情感、態(tài)度、價值觀:
1.通過對不等式、不等式的解與解集的探究,引導學生在獨立思考的基礎(chǔ)上積極參與對數(shù)學問題的討論,培養(yǎng)他們的合作交流意識;
2.讓學生充分體會到生活中處處有數(shù)學,并能將它們應(yīng)用到生活的各個領(lǐng)域中去。
3.培養(yǎng)學生類比的思想方法、數(shù)形結(jié)合的思想。
1.教學重點:不等式、一元一次不等式、不等式解與解集的意義;在數(shù)軸上正確地表示出不等式的解集;
2.教學難點:不等式解集的意義,根據(jù)題意列出相應(yīng)的不等式。
計算機、自制cai課件、實物投影儀、三角板等。
教師創(chuàng)設(shè)情境引入,學生交流探討;師生共同歸納;教師示范畫圖,課件交互式練習。
〖創(chuàng)設(shè)情境——從生活走向數(shù)學〗
[多媒體展示]“五·一黃金周”快要到了,蕪湖市某兩個商場為了促銷商品,推行以下促銷方案:①甲商場:購物不超過50元者,不優(yōu)惠;超過50元的,超過部分折優(yōu)惠。②乙商場:購物不超過100元者,不優(yōu)惠;超過100元的,超過部分九折優(yōu)惠。親愛的同學,如果五·一期間,你去購物,選擇到哪個商場,才比較合算呢?
(以上教學內(nèi)容是向?qū)W生設(shè)疑,激發(fā)學生探索問題、研究問題的積極性,可以讓學生討論一會兒)
教師:要想正確地解決這個問題,我們大家就要學習第九章《不等式和不等式組》,學完本章的內(nèi)容后,我相信,聰明的你們一定都會作出正確的選擇,真正地做到既經(jīng)濟又實惠。
首先,我們來共同學習本章的第一節(jié)課——9.1.1節(jié)《不等式及其解集》
〖新課學習〗
學習目標:
1.能感受到生活中存在著大量的不等關(guān)系,了解不等式和一元一次不等式和意義;
2.會尋找不等式的解,會在數(shù)軸上正確地表示出不等式的解集;
3.能夠根據(jù)題意準確迅速地列出相應(yīng)的不等式。
[多媒體展示一段動畫]:引例:一輛勻速行駛的汽車在11:20距離a地50千米,要在12:00之前駛過a地,車速應(yīng)滿足什么條件?
設(shè)車速是x千米/小時,
(1)從時間上看,汽車要在12:00之前駛過a地,則以這個速度行駛50千米所用的時間不到 小時,即
(2)從路程上看,汽車要在12:00之前駛過a地,則以這個速度行駛 小時的路程要超過50千米,即
請同學們觀察上面的兩個式子,式子左右兩邊的大小關(guān)系是怎樣的? 左右兩邊相等嗎?
在學生充分發(fā)表自己意見的基礎(chǔ)上,師生共同歸納得出:
用“>”或“<”號表示大小關(guān)系的式子叫做不等式;
用“≠”表示不等關(guān)系的式子也是不等式。
判斷下列式子中哪些是不等式,是不等式的請在題后的括號內(nèi)劃“√”,不是的請劃“×”
(1)3> 2????? (???? ) (2)2a+1> 0?? (???? )?? (3)a+b=b+a? (???? )
(4)x< 2x+1?? (???? )???? (5)x=2x-5??? (???? ) (6)2x+4x< 3x+1 (???? )????????? (7)15≠7+9? (???? )
上面的不等式中,有些不含未知數(shù),有些含有未知數(shù),大家把(2)、(4)、(6)式與(5)式類比,(5)式是一個一元一次方程,能不能給(2)、(4)、(6)式也起個名字呢?
含有一個未知數(shù), 未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式,叫做一元一次不等式.
問題2:車速可以是78千米/小時嗎?75千米/小時呢? 72千米/小時呢?
問題3:我們曾經(jīng)學過“使方程兩邊相等的未知數(shù)的值就是方程的解”,那么我們可以把使不等式成立的未知數(shù)的值叫做什么呢?
(師生共同歸納)使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解。
2.課堂練習二——動一動腦,動一動手,你一定能算得對。
76, 73, 79, 80, 74.9, 75.1, 90, 60
(學生做完后,師問):你還能找出這個不等式的其他的解嗎?這個不等式有多少個解?你從中發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?
(學生討論后,師生共同總結(jié)):當x>75時,不等式 x>50總成立;而當x<75或x=75時,不等式 x>50不成立,這就是說,任何一個大于75的數(shù)都是不等式 x>50的解,這樣的解有無數(shù)個。因此,x>75表示了能使不等式 x>50成立的x的取值范圍,叫做不等式 x>50的解的集合,簡稱解集。
我們再回到前面的問題,經(jīng)過剛才的分析,可以知道,要使汽車在12:00之前駛過a地,車速必須大于75千米/小時。
一個含有未知數(shù)的不等式的所有的解,組成了這個不等式的解集。
4.在數(shù)軸上表示不等式的解集;
注意:在表示75的點上畫空心圓圈,表示不包括這一點.
5.課堂練習三——動一動腦,動一動手,你一定能算得對。
判斷下列數(shù)中哪些是不等式x+3>6的解? 哪些不是?
-4, -2.5,? 0,? 1,? 2.5,? 3,? 3.2,? 4.8,? 8,? 12
求不等式的解集的過程叫做解不等式。
7.課堂練習四——看誰算得最快最準。
直接想出不等式的解集,并在數(shù)軸上表示出不等式的解集:
(1) x+3>6;??????? (2)2x<8;?? ?(3)x-2>0
解:(1)x>3;???????? (2)x<4;??? (3)x>2。
1.例用不等式表示:
(1)x與1的和是正數(shù);??????(2)的與的的差是負數(shù);
(3)的2倍與1的和大于3;(4)的一半與4的差小于的3倍.
解:(1)x+1>0;???????? (2)+b<0;
(3)2+1>3;????? (4)-4<3;
2.課堂練習五——看誰最列得又快又準。
用不等式表示:
(1)是正數(shù);??????????(2)是負數(shù);
(3)與5的和小于7;??(4)與2的差大于-1;
(5)的4倍大于8;??????(6)的一半小于3.
答案;(1)>0;??????? (2)<0;?? (3)+5>0;
學生小結(jié),師生共同完善:
2.會尋找不等式的解,會在數(shù)軸上正確地表示出不等式的解集;
3.能夠根據(jù)題意準確迅速地列出相應(yīng)的不等式。
不等式課件 篇9
不等式的性質(zhì)(2)教學目標
1.知識與技能:理解不等式的性質(zhì),會解簡單的一元一次不等式,并能在數(shù)軸上表示出解集。
2.過程與方法:通過經(jīng)歷不等式性質(zhì)的簡單應(yīng)用,積累數(shù)學活動。通過獨立解題,進一步理解不等式的性質(zhì),體會不等式性質(zhì)的價值。
3.情感態(tài)度和價值觀:認識到通過觀察、實驗、類比可以獲得數(shù)學結(jié)論,體驗數(shù)學活動充滿著探索性和創(chuàng)造性。在獨立思考的基礎(chǔ)上,積極參與對數(shù)學問題的討論,敢于發(fā)表自己的觀點,學會分享別人的想法和結(jié)果,并重新審視自己的想法,能從交流中獲益。重點難點
1.重點:不等式的性質(zhì)及其解法. 2.難點:不等式性質(zhì)的探索及運用.方法策略
啟發(fā)式教學法——以設(shè)問和疑問層層引導,激發(fā)學生,啟發(fā)學生積極思考,培養(yǎng)和發(fā)展學生的抽象思維能力。
探究教學法——引導學生去疑;鼓勵學生去探; 激勵學生去思,培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維和批判精神。教學過程:
一、梳理舊知,引出新課
問題1: 在前面的學習中,你學到了不等式的哪些性質(zhì)?(用文字語言敘述)(鼓勵學生回答問題,用電子白版顯示三條性質(zhì)的符號語言)問題2: 解一元一次方程最終的目的是把方程轉(zhuǎn)化成哪種形式?其主要的理論依據(jù)是什么?
(為問題3做鋪墊)
二、合作交流,探究新知
問題3: 利用不等式的性質(zhì)解下列不等式:
(1)x?7?26(2)3x?2x?1 2(3)x?50(4)?4x?3 3(類比著解一元一次方程的方法教師先解(1),并用數(shù)軸表示其解集,然后讓學生試解(2)(3)(4)并和同學交流,最后教師點評。)
思考1:(3)(4)的求解過程,類似于解方程的哪一步變形? 思考2:依據(jù)不等式性質(zhì)3解不等式時應(yīng)注意什么? 隨堂練習:1.完成課本P119練習1 問題4: 2011年北京的最低氣溫是19℃,最高氣溫是28℃,你能把北京的氣溫用不等式表示出來嗎?
(符號“≥”讀作“大于或等于”,也可以說是“不小于”;符號“≤”讀作“小于或等于”,也可以說是“不大于”.形如a≥b或a≤b的式子也是不等式,它們具有類似前面所說的不等式的性質(zhì)).隨堂練習:完成課本119頁練習2.問題5: 某長方體形狀的容器長5 cm,寬3 cm,高10 cm.容器內(nèi)原有水的高度為3cm,現(xiàn)準備向它繼續(xù)注水.用V(單位:cm3)表示新注入水的體積,寫出V的取值范圍.(學生先合作探究,然后讓學生交流探究結(jié)果,最后老師講評并強調(diào)在解決實際問題的時候,要考慮取值的現(xiàn)實意義。)
三、歸納完善,豐富新知
1:如何利用不等式的性質(zhì)解簡單不等式? 2:依據(jù)不等式性質(zhì)3解不等式時應(yīng)注意什么? 3:請說明符號“≥”和“≤”的含義?
四、布置作業(yè)
必做題:P120第5,7,8題.選做題:P120第9題
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不等式的課件
老師在開學前需要把教案課件準備好,每個人都要計劃自己的教案課件了。教案是實現(xiàn)高效教學的不可或缺要素之一。如果您想深入理解這一話題不妨看看“不等式的課件”,本文的內(nèi)容必將給您帶來很多有用的收獲!
不等式的課件 篇1
【教學目標】
1、知識與技能目標
(1)掌握基本不等式 ,認識其運算結(jié)構(gòu);
(2)了解基本不等式的幾何意義及代數(shù)意義;
(3)能夠利用基本不等式求簡單的最值。
2、過程與方法目標
(1)經(jīng)歷由幾何圖形抽象出基本不等式的過程;
(2)體驗數(shù)形結(jié)合思想。
3、情感、態(tài)度和價值觀目標
(1)感悟數(shù)學的發(fā)展過程,學會用數(shù)學的眼光觀察、分析事物;
(2)體會多角度探索、解決問題。
【能力培養(yǎng)】
培養(yǎng)學生嚴謹、規(guī)范的學習能力,辯證地分析問題的能力,學以致用的能力,分析問題、解決問題的能力。
【教學重點】
應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解不等式,并從不同角度探索不等式 的證明過程。
【教學難點】
基本不等式 等號成立條件。
【教學方法】
教師啟發(fā)引導與學生自主探索相結(jié)合
【教學工具】
課件輔助教學、實物演示實驗
【教學流程】
SHAPE MERGEFORMAT
【教學過程設(shè)計】
創(chuàng)設(shè)情景,引入新課
如圖是在北京召開的第24屆國際數(shù)學家大會的會標, 這是根據(jù)趙爽弦圖而設(shè)計的。用課前折好的趙爽弦圖示范,比較 4個直角三角形的面積和與大正方形的面積,你會得到怎樣的相 等和不等關(guān)系?
趙爽弦圖
1.探究圖形中的不等關(guān)系
將圖中的“風車”抽象成如圖,在正方形ABCD中右個全等的直角三角形。
設(shè)直角三角形的兩條直角邊長為a,b那么正方形的邊長為 。這樣,4個直角三角形的面積的和是2ab,正方形的面積為 。由于4個直角三角形的面積小于正方形的面積,我們就得到了一個不等式: 。
當直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?,即a=b時,正方形EFGH縮為一個點,這時有 。
2.得到結(jié)論:一般的,如果
3.思考證明:你能給出它的證明嗎?
證明:因為
當
所以, ,即
4.基本不等式
1)特別的,如果a>0,b>0,我們用分別代替a、b ,可得 ,通常我們把上式寫作:
2)從不等式的性質(zhì)推導基本不等式
用分析法證明:
要證 (1)
只要證 (2)
要證(2),只要證 a+b- 0 (3)
要證(3),只要證 ( - ) (4)
顯然,(4)是成立的。當且僅當a=b時,(4)中的等號成立。
3)理解基本不等式 的幾何意義
不等式的課件 篇2
基本不等式教學設(shè)計
數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學 鐘林
課題:人教A版必修5第3章4節(jié),基本不等式
【教學目標】
1.通過兩個探究實例,引導學生從幾何圖形中獲得兩個基本不等式,了解基本不等式的幾何背景,體會數(shù)形結(jié)合的思想。
2.進一步提煉、完善基本不等式,并從代數(shù)角度給出不等式的證明,組織學生分析證明方法,加深對基本不等式的認識,提高邏輯推理論證能力。 3.結(jié)合課本的探究圖形,引導學生進一步探究基本不等式的幾何解釋,強化數(shù)形結(jié)合的思想。
4.借助例1嘗試用基本不等式解決簡單的最值問題,通過例2及其變式引導學生
a?b領(lǐng)會運用基本不等式ab?的三個限制條件(一正二定三相等)在解決最
2值中的作用,提升解決問題的能力,體會方法與策略。
【重點難點】
重點:應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式,并從不同角度探索不等式a?bab?的證明過程。
2難點:在幾何背景下抽象出基本不等式,并理解基本不等式。
【教學設(shè)計】
(一)問題導入
欣賞2002年國際數(shù)學家大會會徽,會徽是根據(jù)中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設(shè)計的,顏色的明暗使它看上去象一個風車,代表中國人民熱情好客。你能發(fā)現(xiàn)它是什么圖形構(gòu)成的嗎?請根據(jù)會徽探索一些常見相等或不等關(guān)系。
探究一:在這張“弦圖”中能找出一些相等關(guān)系和不等關(guān)系嗎? 在正方形ABCD中有4個全等的直角三角形.設(shè)直角三角形兩條直角邊長為,a,b。
22a?b那么正方形的邊長為。
于是,4個直角三角形的面積之和S1?2ab。 正方形的面積S2?a2?b2。 由圖可知S2?S1,即a2?b2?2ab。
當直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?,即時,正方形EFGH縮為一個點,這時 a2?b2?2ab
所以a2?b2?2ab。
探究二:如下圖所示的梯形中,EF是梯形ABCD的中位線,梯形ABGH相似于梯 形GHDC。
梯形ABCD的上底是a,下底是b。讓同學們自主研究GH和EF的大小關(guān)系。
a?b因為EF是中位線,所以EF?,
2由相似,可以得出GH?ab, 同樣因為相似,有
AGABa, ??GDGHb又因為a?b,所以AG?GD,即AG?AE,
a?b。 2顯然,當AB逐漸趨近CD的時候,GH也逐漸向EF靠近, 當AB=CD的時候,即ABCD是矩形的時候,GH與EF重合。
a?b即,當且僅當a?b時,ab?。
2a?b所以,ab?,當且僅當a?b時,等號成立。
2所以GH?EF,即ab?
(二)概念深入
根據(jù)上述兩個幾何背景,初步形成不等式結(jié)論:
若a,b?R?,則a2?b2?2ab。(當且僅當a=b時,等號成立)
a?b。(當且僅當a=b時,等號成立) 2請同學們運用代數(shù)法證明: 作法一(作差法): 若a,b?R?,則ab?a2?b2?2ab?(a?b)2?0a?b?2ab22
當且僅當a=b時,等號成立。且發(fā)現(xiàn)這里且a和b可以是全體實數(shù)、單項式、多項式。
作法二(分析法):
要證明a?b?ab, 2只需證明a?b?2ab, 即證a?b-2ab?0, 即為?a-b?2?0,該式顯然成立,所以,當a?b時取等號。
于是有這樣的結(jié)論:
稱ab為a,b的幾何平均數(shù);稱基本不等式ab?a?b為a,b的算術(shù)平均數(shù), 2a?b又可敘述為: 2兩個正數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的算術(shù)平均數(shù)
作法三(幾何法):
如圖,AB是圓O的直徑,點C是AB上一點,AC=a,BC=b.過點C作 垂直于AB的弦DE,連接AD,BD。 從而有CD?ab,OD?a?b。 2a?b。 2a?b當且僅當C點與圓心O點重合時,即a=b時,ab?
2故再次證明:
a?ba?0,b?0,ab?,當且僅當a=b時,等號成立。
2a?b也說明了ab?的幾何意義:半徑不小于半弦。
2由于直角三角形COD中,直角邊CD
(三)例題講解
例1.(1)用籬笆圍一個面積為100平方米的矩形菜園,問這個矩形的長、寬各為多少時,所用籬笆最短,最短的籬笆是多少?
(2)一段長為36米的籬笆圍成一個矩形菜園,問這個矩形的長、寬為多少時,菜園的面積最大,最大面積是多少?
(通過例1的講解,總結(jié)歸納利用基本不等式求最值問題的特征,實現(xiàn)積與和的轉(zhuǎn)化)
對于x,y?R?,
(1)若xy?p(定值),則當且僅當x?y時,x?y有最小值2p;
s2(2)若x?y?s(定值),則當且僅當x?y時,xy有最大值。
4(鼓勵學生自己探索推導,不但可使他們加深基本不等式的理解,還鍛煉了他們的思維,培養(yǎng)了勇于探索的精神。)
1例2.求y?x?(x?0)的值域。
x1變式1.若x?2,求x?的最小值.
x?21在運用基本不等式解題的基礎(chǔ)上,利用幾何畫板展示y?x?(x?0)的函數(shù)
x圖象,使學生再次感受數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想。
a?b并通過例2及其變式引導學生領(lǐng)會運用基本不等式ab?的三個限制
2條件(一正二定三相等)在解決最值問題中的作用,提升解決問題的能力,體會方法與策略。
(四)歸納小結(jié)&課后作業(yè) 基本不等式:
若a,b?R?,則a2?b2?2ab。(當且僅當a=b時,等號成立)
a?b。(當且僅當a=b時,等號成立) 2(1)基本不等式的幾何解釋(數(shù)形結(jié)合思想); (2)運用基本不等式解決簡單最值問題的基本方法。
作業(yè):A組第4題,B組第1題,第2題
若a,b?R?,則ab?
不等式的課件 篇3
課題:3.4.3 基本不等式 的應(yīng)用(二) 科目:數(shù)學 教學對象:高二(290)學生 課時:1課時 提供者:劉和安 單位: 姚安一中 一、教學內(nèi)容分析 本節(jié)課的研究是起到了對學生以前所學知識與方法的復習、應(yīng)用,進而構(gòu)建他們更完善的知識網(wǎng)絡(luò)。數(shù)學建模能力的培養(yǎng)與鍛煉是數(shù)學教學的一項長期而艱苦的任務(wù),這一點,在本節(jié)課是真正得到了體現(xiàn)和落實。?
根據(jù)本節(jié)課的教學內(nèi)容,應(yīng)用觀察、閱讀、歸納、邏輯分析、思考、合作交流、探究,對基本不等式展開實際應(yīng)用,進行啟發(fā)、探究式教學并使用投影儀輔助。? 二、教學目標 (一)知識目標:構(gòu)建基本不等式解決函數(shù)的值域、最值問題;
(二)能力目標:讓學生探究用基本不等式解決實際問題
(三)情感、態(tài)度和價值觀目標:
通過具體問題的解決,讓學生去感受、體驗現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等量關(guān)系并需要從理性的角度去思考,鼓勵學生用數(shù)學觀點進行類比、歸納、抽象,使學生感受數(shù) 學、走進數(shù)學、培養(yǎng)學生嚴謹?shù)臄?shù)學學習習慣和良好的思維習慣;? 三、學習者特征分析 在本節(jié)課的教學過程中,仍應(yīng)強調(diào)不等式的現(xiàn)實背景和實際應(yīng)用,真正地把不等式作為刻畫現(xiàn)實世界中不等關(guān)系的工具。通過實際問題的分析解決,讓學生去體會基本不等式所具有的廣泛的實用價值,同時,也讓學生去感受數(shù)學的應(yīng)用價值,從而激發(fā)學生去熱愛數(shù)學、研究數(shù)學。而不是覺得數(shù)學只是一門枯燥無味的推理學科。在解決實際問題的過程中,既要求學生能用數(shù)學的眼光、觀點去看待現(xiàn)實生活中的許多問題,又會涉及與函數(shù)、方程、三角等許多數(shù)學本身的知識與方法的處理 四、教學策略選擇與設(shè)計 1.采用探究法,按照觀察、閱讀、歸納、思考、交流、邏輯分析、抽象應(yīng)用的方法進行啟發(fā)式教學;?
2.教師提供問題、素材,并及時點撥,發(fā)揮老師的主導作用和學生的主體作用;?
3.設(shè)計較典型的具有挑戰(zhàn)性的問題,激發(fā)學生去積極思考,從而培養(yǎng)他們的數(shù)學學習興趣。?? 五、教學重點及難點 教學重點:1.構(gòu)建基本不等式解決函數(shù)的值域、最值問題。?
2.讓學生探究用基本不等式解決實際問題;?
教學難點:1.讓學生探究用基本不等式解決實際問題;?
2.基本不等式應(yīng)用時等號成立條件的考查;?
六、教學過程 教師活動 學生活動 設(shè)計意圖 (一)導入新課
(二)推進新課
已知 ,若ab為常數(shù)k,那么a+b的值如何變化?
若a+b為常數(shù)s,那么ab的值如何變化?
老師用投影儀給出本節(jié)課的第一組問題
(1)求函數(shù)y=2x2+ (x>0)的最小值。?
(2)求函數(shù)y=x2+ (x>0)的最小值。?
(3)求函數(shù)y=3x2-2x3(0
(4)求函數(shù)y=x(1-x2)(0
(5)設(shè)a>0,b>0,且a2+ =1,求 的最大值。?
(三)合作探究 我們來考慮運用正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)之間的關(guān)系來解答這些問題。根據(jù)函數(shù)最值的含義,我們不難發(fā)現(xiàn)若平均值不等式的某一端為常數(shù),則當?shù)忍柲軌蛉〉綍r,這個常數(shù)即為另一端的一個最值。 ?
(四)例題精析?
【例】某工廠要建造一個長方體形無蓋貯水池,其容積為4 800 m3,深為 3 m.如果池底每平方米的造價為150元,池壁每平方米的造價為120元,怎樣設(shè)計水池能使總造價最低?最低總造價是多少?
當且僅當a=b時,a+b就有最小值為2k.?
當且僅當a=b時,ab就有最大值 (或ab有 最大值 ).?
學生完成
留五分鐘的時間讓學生思考,合作交流
(根據(jù)學生完成的典型情況,找五位學生到黑板板演,然后老師根據(jù)學生到黑板板演的完成情況再一次作點評)?
學生思考、回答,
不等式的課件 篇4
不等式
教材分析:本課由實際問題中的不等關(guān)系引出不等式的概念;類比方程的解,明確不等式解和解集的概念,以及不等式解集的兩種表示方法。
教學目標:了解不等式概念,理解不等式的解和解集。 教學重難點:不等式及解集概念的理解。 教學過程: 一:引出新知。
現(xiàn)實世界中存在大量的數(shù)量關(guān)系,包括相等關(guān)系和不等關(guān)系。用等式(包括方程),我們可以研究相等關(guān)系,而研究不等關(guān)系需要用本章的不等式,如引言中選擇購物商場問題.二:探索新知。
問題1 一輛勻速行駛的汽車在11:20距離A地50 km,要在12:00之前駛過A地.你能用式子表示出車速應(yīng)滿足的條件嗎?
1、汽車在12:00之前駛過A地的意思是什么? 從時間上看,汽車要在12:00之前駛過A地,則 以這個速度行駛50 km所用的時間不到。
從路程上看,汽車要在12:00之前駛過A地,則以這個速度行駛的路程要超過50 km。
2、如何用式子表示以上不等關(guān)系? 設(shè):車速為x km/h. 從時間上看: 從路程上看:
(1)對于不等式 而言,車速可以是80 km/h嗎?78 km/h呢?75 km/h呢?72 km/h呢?
(2)類比方程的解,什么叫不等式的解?
使不等式成立的未知數(shù)的值.(3)不等式還有其他解嗎?如果有,這些解應(yīng)滿足什么條件?
一般地,一個含有未知數(shù)的不等式的所有的解,組成這個不等式的解集.求不等式的解集的過程叫做解不等式. (4)除了用不等式表示取值范圍,還有其他表示方法嗎? 數(shù)軸
三、運用新知。 例1 請用不等式表示:
(1) 是負數(shù);
(2) 與5的和小于-7;
(3) 的一半大于3.例2 直接說出不等式的解集,并在數(shù)軸上表
示出來.
四、歸納總結(jié) (1)什么叫不等式?
(2)什么叫不等式的解?不等式的解和方程的解的區(qū)別? (3)什么叫不等式的解集?不等式的解和不等式的解集的區(qū)別?
五、布置作業(yè)
教科書 習題 第
1、
2、3題。
不等式的課件 篇5
[教學目標]
依據(jù)《新標準》對《不等式》學段的目標要求和本班學生實際情況,特確定如下目標:
1、知識與能力目標:理解掌握基本不等式,并能運用基本不等式解決一些簡單問題(求最值、證明不等式);培養(yǎng)學生探究能力以及分析問題解決問題的能力。
2、過程與方法目標:按照創(chuàng)設(shè)情景,提出問題→ 剖析歸納證明→ 幾何解釋→ 應(yīng)用(最值的求法、不等式的證明)的過程呈現(xiàn)。啟動觀察、分析、歸納、總結(jié)、抽象概括等思維活動,培養(yǎng)學生的思維能力,體會數(shù)學概念的學習方法,通過運用多媒體的教學手段,引領(lǐng)學生主動探索基本不等式性質(zhì),體會學習數(shù)學規(guī)律的方法,體驗成功的樂趣。
3、情感與態(tài)度目標:通過問題情境的設(shè)置,使學生認識到數(shù)學是從實際中來,培養(yǎng)學生用數(shù)學的眼光看世界,通過數(shù)學思維認知世界,從而培養(yǎng)學生善于思考、勤于動手的良好品質(zhì)。
二、 [教學重點]
基本不等式 的證明過程及應(yīng)用。
三、 [教學難點]
1、基本不等式成立時的三個限制條件(簡稱一正、二定、三相等)的正確理解;
2、靈活利用基本不等式求解實際問題中的最大值和最小值。
四、 [教學方法]
本節(jié)課采啟發(fā)誘導、講練結(jié)合的教學方法,結(jié)合現(xiàn)代信息技術(shù)多媒體課件、幾何畫板作為教學輔助手段,加深學生對基本不等式的理解。
[教學用具]
多媒體、幾何畫板
六、 [教學過程]
教學過程設(shè)計以問題為中心,以探究解決問題的方法為主線展開。這種安排強調(diào)過程,符合學生的認知規(guī)律,使數(shù)學教學過程成為學生對知識的再創(chuàng)造、再發(fā)現(xiàn)的過程,從而培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識。
具體過程安排如下:
(一)、創(chuàng)設(shè)情景,提出問題;
上圖是在北京召開的第24屆國際數(shù)學家大會的會標,會標是根據(jù)中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設(shè)計的,顏色的明暗使它看上去像一個風車,代表中國人民熱情好客。
[問]你能在這個圖中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎?
利用圖中相關(guān)面積間存在的數(shù)量關(guān)系,抽象出不等式 。在此基礎(chǔ)上,引導學生認識基本不等式。
同時,(幾何畫板輔助教學)通過幾何畫板演示,
讓學生更直觀的抽象、歸納出結(jié)論:
(二)、抽象歸納:
一般地,對于任意實數(shù) ,有 ,當且僅當 時,等號成立。
[問] 你能給出它的證明嗎?
學生在黑板上板書。
特別地,當 時,在不等式 中,以 、 分別代替 ,得到什么?
答案: 。
【歸納總結(jié)】
如果 都是正數(shù),那么 ,當且僅當 時,等號成立。
我們稱此不等式為基本不等式。 其中 稱為 的算術(shù)平均數(shù), 稱為 的幾何平均數(shù)。
(三)、理解升華:
1、文字語言敘述:
兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。
2、符號語言敘述:
若 ,則有 ,當且僅當 時, 。
[問] 怎樣理解“當且僅當”?
3、探究基本不等式證明方法:
[問] 如何證明基本不等式?
方法一:作差比較或由 展開證明。
方法二:分析法。
分析法,實際上是尋找結(jié)論的充分條件,執(zhí)果索因的一種思維方法。
4、探究基本不等式的幾何意義:
讀書破萬卷下筆如有神,以上就是一米范文范文為大家?guī)淼?篇《2023高中數(shù)學基本不等式教學教案》,希望對您有一些參考價值。
不等式的課件 篇6
不等式和不等式組復習課教學設(shè)計
一、設(shè)計思想:
“不等式”是初中數(shù)學核心內(nèi)容之一。就不等式的解法來說,它是一種重要的數(shù)學技能;而就不等式的廣泛作用來說,不管是與實際相關(guān)的問題,還是純粹的數(shù)學問題,不管是代數(shù)方面的問題,還是幾何圖形方面的問題,乃至更為一般化的問題,只要是求未知數(shù)的值或范圍的問題,經(jīng)常要借助于不等式,可見學好不等式具有非常重要的意義。
這節(jié)課是中考前的專題復習課,知識點不多。由于學生已經(jīng)學過本章內(nèi)容,因此在本節(jié)復習中主要以提問的形式進行知識要點的復習,以學生自主探索和合作探究的學習方法學習本節(jié)內(nèi)容。教師主要在習題的設(shè)計上選好典型例題,復習的知識盡量全面。教學效果上使不同的學生有不同的收獲。
二、教學內(nèi)容分析:
1.《課程標準》對本專題教學內(nèi)容的要求:
(1)結(jié)合具體問題,了解不等式的意義,探索不等式的基本性質(zhì)。 (2)能解簡單的一元一次不等式,并能在數(shù)軸上表示出解集;會用數(shù)軸確定由兩個一元一次不等式組成的不等式組的解集。
(3)能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系,列出一元一次不等式,解決簡單的問題。 2.本節(jié)內(nèi)容在中考中的地位和作用。
本部分內(nèi)容在中考中大約6~12分,約占全卷分數(shù)的5%~8%左右。而且,近幾年考試中,經(jīng)常與方程、函數(shù)三角函數(shù)、幾何等內(nèi)容一起綜合考查,因此學好本節(jié)內(nèi)容對于解決這些綜合問題起著舉足輕重的作用。
三、教學目標:
1、知識技能:
①掌握不等式的概念和性質(zhì),能根據(jù)不等式的性質(zhì)解決有關(guān)問題;
②掌握不等式(組)的解法,會求不等式(組)的解集,特別是不等式組的整數(shù)解;
③能根據(jù)不等式組的解集確定字母系數(shù)的范圍;
④會列不等式(組)解決簡單的實際問題,特別是方案設(shè)計問題。
2、數(shù)學思考:通過列不等式或不等式組解決具有不等關(guān)系的實際問題,讓學生體會不等式是解決實際問題的有效的數(shù)學模型。
3、解決問題:通過不等式(組)描述不等關(guān)系解決實際問題,發(fā)展學生由實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的能力。
4、情感態(tài)度:①通過復習教學,繼續(xù)強化用數(shù)學的意識,從而使學生樂于接觸社會環(huán)境中的數(shù)學信息,愿意談?wù)撃承?shù)學話題,能夠在數(shù)學活動中發(fā)揮積極作用。
②.通過探索,增進學生之間的配合,使學生敢于面對數(shù)學活動中的困難,并有克服困難和運用知識解決問題的成功體驗,樹立學好數(shù)學的自信心。
教學重點:不等式(組)的解法的規(guī)范性及實際應(yīng)用
教學難點:不等式組有無解的問題中字母系數(shù)的確定和實際問題中不等式(組)的列出
教學方法:依托多媒體平臺,啟發(fā)、談?wù)?、互動探究法(學生討論、教師點撥)、講練結(jié)合。
教學手段:計算機多媒體輔助教學。 教學時間:1課時
教學準備:1.學生準備:預(yù)習教材,了解本節(jié)的知識要點。
2.教師準備:將學生分組,選好組長;制作多媒體課件。
教學設(shè)計
一 情境設(shè)計
導入新課
出示多媒體課件
1、問題情境:問題:某化妝品店老板到廠家選購A、B兩種品牌的化妝品,若銷售1套A品牌的化妝品可獲利30元,銷售1套B品牌的化妝品可獲利20元,根據(jù)市場需求,化妝品店老板決定,購進B品牌化妝品的數(shù)量比購進A品牌化妝品數(shù)量的2倍還多4套,且B品牌化妝品最多可購進40套,這樣化妝品全部售出后,可使總的獲利不少于1200元,問有幾種進貨方案?如何進貨? 教師:同學們,如果你是這個化妝品店的老板,你怎么解決進貨方案問題? (學生思考):
教師:如何用數(shù)學符號表示標有下劃線的詞語?應(yīng)該考查我們哪部分知識? 學生:最多 —— ≤;不少于—— -≥。 教師:我們學過的哪章知識與它們聯(lián)系最密切?由此我們想到了哪部分知識? 學生:不等式和不等式組
教師:下面我們就來復習有關(guān)這方面的內(nèi)容,“專題復習
(二)方程和不等式-----------不等式和不等式”。 (板書課題)
(多媒體出示教學目標。圖略)
二、展示教學目標、教學重點和難點:(讓學生學有目的,學有依據(jù))
三、回顧知識要點:
1.知識網(wǎng)絡(luò)出示;(使學生對本節(jié)知識的復習內(nèi)容一目了然,從總體把握知識間的內(nèi)在聯(lián)系)
實際問題
3、知識要點復習不等關(guān)系不等式不等式的性質(zhì)解不等式解集一元一次不等式一元一次不等式組解法解法數(shù)軸表示解集數(shù)軸表示實際應(yīng)用解集數(shù)軸表示 2.知識要點復習:(通過提問由學生回答) ①基本概念復習
(澄清基本概念,對知識間的內(nèi)在聯(lián)系更明確。)
3、知識要點復習
一、基本概念:
1、不等式:
2、不等號:
3、不等式的解:
4、不等式的解集:
5、解不等式:
6、一元一次不等式:
7、一元一次不等式組:
8、一元一次不等式組的解集:
9、解一元一次不等式組: ②不等式性質(zhì)復習:(它是解不等式和不等式組的重要依據(jù),特別注意第3條性質(zhì),不等號方向改變問題,提醒學生,此處易錯,提起注意)
3、知識要點復習
二、不等式的性質(zhì):(1)如果a>b,那么a+c>b+c,a-c>b-c不等式的兩邊都加上(或減去)同一個數(shù)或同一個整式,不等號的方向不變。ab?(2)如果a>b,并且c>0,那么ac>bc,cc不等式兩邊都乘以(或除以)同一個正數(shù),不等號的方向不變。(3)如果a>b,并且c
3、知識要點復習三,規(guī)律與方法:1,不等式的解法:2,解不等式組的方法:3,不等式的解集在數(shù)軸上的表示:大向右,小向左,有等號是實心,無等號是空心.4,求幾個不等式的解的公共部分的方法和規(guī)律:(1)數(shù)軸法(2)口訣法同大取大同小取小一大一小中間找 ④用一元一次不等式組解決實際問題的步驟:(為解決實際問題提供依據(jù),這是本節(jié)的重點知識,學生可能會類比前邊復習的方程和方程組的知識說出。)
3、知識要點復習
5、用一元一次不等式組解決實際問題的步驟:實際問題設(shè)未知數(shù),列不等式(組)數(shù)學問題(不等式或不等式組)解不等式組實際問題的解答檢驗數(shù)學問題的解(不等式(組)的解集)
四、典型例題解析:(這一環(huán)節(jié)也是學生要達到的知識技能目標的重要一環(huán),學生解題的順利與否,是教師關(guān)注的重點。學生能夠獨立解出的,關(guān)注其過程是否規(guī)范,思路是否清晰,方法是否得當。不能解出的,先由小組合作探究,看是否能找到解題的思路,得出問題的答案;如果仍不能得出,教師加以點撥,引導,幫助學生找到解題思路,得出問題的答案。)
例1.(本題是一元一次不等式的解法的考查,是本節(jié)的基本題型,估計學生都能獨立解出,可讓中游的學生板演,這樣解題步驟展現(xiàn)在大家面前,如果規(guī)范,起個示范作用;不規(guī)范,示范改正,起警示作用。把重點放在解題步驟是否規(guī)范上。)
4、典型例題:例1.解一元一次不等式解:3 (x-1) ≤6 –2(x-2)3x –3 ≤6 –2x+43x+2x ≤6+4+35x ≤13x ≤135自然數(shù)解非負整數(shù)解正整數(shù)解最大解最大整數(shù)解 (右邊的云形圖中是在學生解完不等式后先后出示的五種特殊情況,這樣進
行變式教學,展示了一題多解的典型題目,同時又使學生鍛煉了仔細審題的能力。)
4、典型例題:例1.解一元一次不等式解一元一次方程一元一次不解:3 (x-1) = 6 –2(x-2)解:3 (x-1) ≤6 –2(x-2)3x –3 = 6 –2x+43x –3 ≤6 –2x+4等式和一元一次3x+2x =6+4+3方程有何共同點3x+2x ≤6+4+35x =13和不同點?5x ≤x =x≤55 (通過這種一元一次不等式和一元一次方程解法的類比,使學生明確知識間的內(nèi)在聯(lián)系,同時發(fā)現(xiàn)其中的異同,對兩者的區(qū)別更加清晰)
例2.(考查不等式的變形,解決問題的關(guān)鍵是正確理解不等式的概念和基本性質(zhì)。重點關(guān)注基本性質(zhì)的靈活掌握)
例3.(把平面直角坐標系的象限問題轉(zhuǎn)化成不等式組問題,既體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法,又見識了不等式組的廣泛應(yīng)用??梢詭蛯W生回憶坐標系的有關(guān)知識。)
4、典型例題:a例2.若a1;b1a③a+b
3、在直角坐標系中,P(2x-6,x-5)在第四象限,則x的取值范圍是3
例4.(把不等式中的相等問題出示,體現(xiàn)了相等和不等可以互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想。并與數(shù)與式中的乘方問題相聯(lián)系,具有一定的綜合性。)
例5.(借助數(shù)軸確定不等式組的解集,對于解這類題非常有效,學生容易做錯,特別是是否包括界點問題,有一定難度,讓學生小組合作探究,共同尋找問題的答案。教師巡視,給有困難小組點撥,指導。)
4、典型例題:x?a?2例
4、(2009涼山)若不等式組集是-1
例題分析:問題5問題分析:本題存在兩個不等關(guān)系,一是購買B品牌化妝品不超過40套;二是兩種化妝品的獲利不少于1200元。根據(jù)這兩個不等關(guān)系,可列不等式組求解。 (學生寫出解題過程后,教師可出示規(guī)范的解題過程,體現(xiàn)數(shù)學學科的嚴謹性。)
4例題講解:、典型例題:解:設(shè)A品牌化妝品購進m套,則B品牌化妝品購進(2m+4)套。根據(jù)題意得:解得:16≤m≤18.因為m為正整數(shù),所以m=16,17,18,所以2m+4=
36、
38、40.所以有三種進貨方案:(1)A種品牌的化妝品的購進16套,B種品牌的化妝品購進36套;(1)A種品牌的化妝品的購進16套,B種品牌的化妝品購進36套;(1)A種品牌的化妝品的購進16套,B種品牌的化妝品購進36套; (通過方案設(shè)計題的解決,使學生能夠由實際問題建立數(shù)學模型,從而增強解決實際問題的能力。)
五、
歸納小結(jié)(先由學生自己歸納總結(jié)本節(jié)課的收獲,從而把課堂傳授的知識盡快化為學生的素質(zhì),以培養(yǎng)和增強學生的歸納總結(jié)能力;然后老師予以補充和歸納,為學生良好學習習慣的養(yǎng)成繼續(xù)進行指導。)
5、歸納小結(jié)你會了嗎?這節(jié)課你學到了什么?你有什么收獲?你還有什么問題?
六、達標檢測:(在這一環(huán)節(jié),我設(shè)計了幾個有梯度的題目,這樣可使不同層次的學生都能有所收獲,都能感受到成功的喜悅,使他們“在數(shù)學上都能有不同的發(fā)展”。)
6.達標檢測(1)若2x=3+k的解集是負數(shù),那么k的取值范圍是______.K
3、不等式組數(shù)解為(A的最小整)A,-1 B,0 C,2 D,3 9
6.達標檢測
4、躍壯五金商店準備從寧云機械廠購進甲、乙兩種零件進行銷售。若每個甲種零件的進價比每個乙種零件的進價少2元,且用80元購進甲種零件的數(shù)量與用100元購進乙種零件的數(shù)量相同。(1)求每個甲種零件、每個乙種零件的進價分別為多少元?(2)若該五金商店本次購進甲種零件的數(shù)量比購進乙種零件的數(shù)量的3倍還少5個,購進兩種零件的總數(shù)量不超過95個,該五金商店每個甲種零件的銷售價格為12元,每個乙種零件的銷售價格為15元,則將本次購進的甲、乙兩種零件全部售出后,可使銷售兩種零件的總利潤(利潤=售價-進價超過371元,通過計算求出躍壯五金商店本次從寧云機械廠購進甲、乙兩種零件有幾種方案?請你設(shè)計出來。 6.達標檢測選做題?若不等式組x?a?01?2x?x?2有解,則a的取?值范圍是(A)。?>-1 ≥-1 ≤1 <1
七、教學設(shè)計的理論依據(jù)
1.“理論聯(lián)系實際”的原則,聯(lián)系學生身邊的生活,引導學生學習運用理論知識分析、解決實際問題。
2.新課程標準中的“學生是學習的主人”的主體教育思想。
本節(jié)課努力構(gòu)建師生互動、生生互動的新的教學模式,創(chuàng)設(shè)情境引領(lǐng)教學,引導學生的合作學習,讓其在思考討論中自主學習,真正落實以學生為中心、以學生發(fā)展為根本,注重學生道德和能力的培養(yǎng)。
不等式的課件 篇7
《基本不等式》教學設(shè)計
基本不等式
開江中學 魏江蘭
目標分析
依據(jù)《新課程標準》對《不等式》學段的目標要求和學生的實際情況,特確定如下目標:
1、知識與能力目標:理解掌握基本不等式,并能運用基本不等式解決一些簡單的求最值問題;理解算數(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的概念,學會構(gòu)造條件使用基本不等式;培養(yǎng)學生探究能力以及分析問題解決問題的能力。
2、過程與方法目標:按照創(chuàng)設(shè)情景,提出問題→ 剖析歸納證明→ 幾何解釋→ 應(yīng)用(最值的求法、實際問題的解決)的過程呈現(xiàn)。啟動觀察、分析、歸納、總結(jié)、抽象概括等思維活動,培養(yǎng)學生的思維能力,體會數(shù)學概念的學習方法,通過運用多媒體的教學手段,引領(lǐng)學生主動探索基本不等式性質(zhì),體會學習數(shù)學規(guī)律的方法,體驗成功的樂趣。
3、情感與態(tài)度目標:通過問題情境的設(shè)置,使學生認識到數(shù)學是從實際中來,培養(yǎng)學生用數(shù)學的眼光看世界,通過數(shù)學思維認知世界,從而培養(yǎng)學生善于思考、勤于動手的良好品質(zhì)。
教學重、難點分析
重點:應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式,并從不同角度探索基本不等式ab?a?b的證明過程及應(yīng)用。 2難點:
1、基本不等式成立時的三個限制條件(簡稱一正、二定、三相等);
2、利用基本不等式求解實際問題中的最大值和最小值。
教法分析
本節(jié)課采用觀察——感知——抽象——歸納——探究;啟發(fā)誘導、講練結(jié)合的教學方法,以學生為主體,以基本不等式為主線,從實際問題出發(fā),放手讓學生探究思索。以現(xiàn)代信息技術(shù)多媒體課件作為教學輔助手段,加深學生對基本不等式的理解。
《基本不等式》教學設(shè)計
教學準備
多媒體課件、板書
教學過程
教學過程設(shè)計以問題為中心,以探究解決問題的方法為主線展開。這種安排強調(diào)過程,符合學生的認知規(guī)律,使數(shù)學教學過程成為學生對知識的再創(chuàng)造、再發(fā)現(xiàn)的過程,從而培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識。 具體過程安排如下:
一、創(chuàng)設(shè)情景,提出問題;
設(shè)計意圖:數(shù)學教育必須基于學生的“數(shù)學現(xiàn)實”,現(xiàn)實情境問題是數(shù)學教學的平臺,數(shù)學教師的任務(wù)之一就是幫助學生構(gòu)造數(shù)學現(xiàn)實,并在此基礎(chǔ)上發(fā)展他們的數(shù)學現(xiàn)實.基于此,設(shè)置如下情境: 上圖是在北京召開的第24屆國際數(shù)學家大會的會標,會標是根據(jù)中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設(shè)計的,顏色的明暗使它看上去像一個風車,代表中國人民熱情好客。
[問]你能在這個圖中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎?
本背景意圖在于利用圖中相關(guān)面積間存在的數(shù)量關(guān)系,抽象出不等式a2?b2?2ab。在此基礎(chǔ)上,引導學生認識基本不等式。
二、抽象歸納:
一般地,對于任意實數(shù)a,b,有a2?b2?2ab,當且僅當a=b時,等號成立。 [問] 你能給出它的證明嗎?
證明:因為a2?b2?2ab?(a?b)2?0,即a2?b2?2ab.(當a?b時取等號)
特別地,當a>0,b>0時,在不等式a2?b2?2ab中,以a、b分別代替a、b,得到什么?
設(shè)計依據(jù):類比是學習數(shù)學的一種重要方法,此環(huán)節(jié)不僅讓學生理解了基本不等式不等式的來源,突破了重點和難點,而且感受了其中的函數(shù)思想,為今后學習奠定基礎(chǔ).
《基本不等式》教學設(shè)計
答案: ab?a?b(a,b?0)。 2你能用不等式的性質(zhì)直接推導這個不等式嗎? 證明:(分析法):由于a,b?R?,于是要證明 a?b?2ab,
只要證明 a?b?2即證
2ab,
a?b?2ab?0,即 (a?b)2?0,
所以a?b?ab,(當a?b時取等號)
【歸納總結(jié)】
如果a,b都是正數(shù),那么ab?a?b,當且僅當a=b時,等號成立。 2a?b稱為a,b的算術(shù)平均數(shù),ab稱2我們稱此不等式為基本不等式。 其中為a,b的幾何平均數(shù)。
文字語言敘述:兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。
探究基本不等式的幾何意義:借助初中階段學生熟知的幾何圖形,引導學生探究ab?a?b(a,b?0)2的幾何解釋,通過數(shù)形結(jié)合,賦予不等式不等式ab?a?b(a,b?0)2幾何直觀。進一步領(lǐng)悟不等式中等號成立的條件。
如圖:AB是圓的直徑,點C是AB上一點,CD⊥AB,AC=a,CB=b,CD
D?ab
aba?b2abOCAB幾何解釋實質(zhì)可認為是:在同一半圓中,半徑不小于半弦(直徑是最長的弦);或者認為是,直角三角形斜邊的一半不小于斜邊上的高。
《基本不等式》教學設(shè)計
4.應(yīng)用舉例,鞏固提高
我們可以用兩個重要不等式來解決什么樣的問題呢?
例1(1)用籬笆圍一個面積為100平方米的矩形菜園,問這個矩形的長、寬各為多少時,所用籬笆最短,最短的籬笆是多少? (2)一段長為36米的籬笆圍成一個矩形菜園,問這個矩形的長、寬為多少時,菜園的面積最大,最大面積是多少?
(通過例1的講解,總結(jié)歸納利用基本不等式求最值問題的特征,實現(xiàn)積與和的轉(zhuǎn)化) 對于(1)若(2)若,
(定值),則當且僅當(定值),則當且僅當
時,時,
有最小值有最大值
; .
(鼓勵學生自己探索推導,不但可使他們加深基本不等式的理解,還鍛煉了他們的思維,培養(yǎng)了勇于探索的精神.)
1例 2:當x?0時,求y?x?的最小值?x1變式1:當x?0時,y?x?有最值嗎?
x1變式2:當x?1時,y?x?有最值嗎?
x通過例2及其變式引導學生領(lǐng)會運用基本不等式的三個限制條件(一正二定三相等)在解決最值問題中的作用,提升解決問題的能力,體會方法與策略.
練一練(自主練習):課本練習 5.歸納小結(jié),反思提高
《基本不等式》教學設(shè)計
基本不等式:若若
,則,則
(當且僅當(當且僅當
時,等號成立) 時,等號成立)
(1)基本不等式的幾何解釋(數(shù)形結(jié)合思想);(2)運用基本不等式解決簡單最值問題的基本方法(一正二定三相等). 6.布置作業(yè),課后延拓
(1)基本作業(yè):課本P100習題組
1、
2、3題
(2)拓展作業(yè):請同學們課外到閱覽室或網(wǎng)上查找基本不等式的其他幾何解釋,整理并相互交流.
基本不等式教學設(shè)計
《等式的性質(zhì)》教學設(shè)計
《等式的性質(zhì)》教學設(shè)計
等式性質(zhì)教學設(shè)計(共8篇)
等式的基本性質(zhì)的課后教學反思
不等式的課件 篇8
一、教學目標:
(一)知識與能力目標:(課件第2張)
1.體會解不等式的步驟,體會比較、轉(zhuǎn)化的作用。
2.學生理解、鞏固一元一次不等式的解法.
3.用數(shù)軸表示解集,加深對數(shù)形結(jié)合思想的進一步理解和掌握。
4.在解決實際問題中能夠體會將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學語言,學會用數(shù)學語言表示實際的數(shù)量關(guān)系。
(二)過程與方法目標:
1.介紹一元一次不等式的概念。
2.通過對一元一次方程的解法的復習和對不等式性質(zhì)的利用,導入對解不等式的討論。
3.學生體會通過綜合利用不等式的概念和基本性質(zhì)解不等式的方法。
4.學生將文字表達轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言,從而解決實際問題。
5.練習鞏固,將本節(jié)和上節(jié)內(nèi)容聯(lián)系起來。
(三)情感、態(tài)度與價值目標:(課件第3張)
1.在教學過程中,學生體會數(shù)學中的比較和轉(zhuǎn)化思想。
2.通過類比一元一次方程的解法,從而更好的掌握一元一次不等式的解法,樹立辯證統(tǒng)一思想。
3.通過學生的討論,學生進一步體會集體的作用,培養(yǎng)其集體合作的精神。
4.通過本節(jié)的學習,學生體會不等式解集的奇異的數(shù)學美。
二、教學重、難點:
1.掌握一元一次不等式的解法。
2.掌握解一元一次不等式的階梯步驟,并能準確求出解集。
3.能將文字敘述轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言,從而完成對應(yīng)用問題的解決。
三、教學突破:
教材中沒有給出解法的一般步驟,所以在教學中要注意讓學生經(jīng)歷將所給的不等式轉(zhuǎn)化為簡單不等式的過程,并通過學生的討論交流使學生經(jīng)歷知識的形成和鞏固過程。在解不等式的過程中,與上節(jié)課聯(lián)系起來,重視將解集表示在數(shù)軸上,從而指導學生體會用數(shù)形結(jié)合的方法解決問題。在研究中,鼓勵學生用多種方法求解,從而鍛煉他們活躍的思維。
四、教 具:計算機輔助教學.
五、教學流程:
(一)、復習:
教學環(huán)節(jié)
教 師 活 動
學 生 活 動
設(shè) 計 意 圖
2023不等式課件14篇
經(jīng)驗時常告訴我們,做事要提前做好準備。在平日里的學習中,幼兒園教師時常會提前準備好有用的資料。資料可以指人事物的相關(guān)多類信息、情報。有了資料才能更好地安排接下來的學習工作!你是否收藏了一些有用的幼師資料內(nèi)容呢?以下是由小編為大家整理的“2023不等式課件14篇”,僅供參考,歡迎大家閱讀。
不等式課件 篇1
七年級數(shù)學不等式課件
教學目標:
通過對具體實例的學習,使學生能夠了解生活中的不等量關(guān)系,理解不等式的概念,知道什么是不等式的解,為以后學習不等式的解法奠定基礎(chǔ).
知識與能力:
1.通過對具體事例的分析和探索,得到生活中不等量的關(guān)系.
2.通過理解得到不等式的概念,從而使學生經(jīng)歷實際問題中數(shù)量的分析、抽象過程,體會現(xiàn)實中有各種各樣錯綜復雜的數(shù)量關(guān)系.
3.了解不等式的意義,知道不等式是用來刻畫生活中的數(shù)量關(guān)系的.
4.知道什么是不等式的解.
過程與方法:
1.引導學生分析具體事例,從對具體事例的分析中得到不等量關(guān)系.
2.引導并幫助學生列出不等式,分析不等式的成立條件.
3.通過分析、抽象得到不等式的概念和不等式的解的概念.
4.通過習題鞏固和加深對概念的理解.
情感、態(tài)度與價值觀:
1.通過學生的分析和抽象過程使他們體會現(xiàn)實中錯綜復雜的數(shù)量關(guān)系,然后從而培養(yǎng)其抽象思維能力.
2.通過分組討論學習,體會在解決具體問題的過程中與他人合作的重要性,培養(yǎng)學生的團體協(xié)作精神,使學生獲得合作交流的學習方式.
3.通過聯(lián)系與發(fā)展、對立與統(tǒng)一的思考方法對學生進行辯證唯物主義教育.
4.通過創(chuàng)設(shè)問題串,讓學生仔細觀察、對比、歸納、整理,嘗試對有理數(shù)進行分類,然后體驗教學活動充滿著探索性和創(chuàng)造性.
教學重、難點及教學突破
重點:不等式的概念和不等式的解的概念.
難點:對文字表述的數(shù)量關(guān)系能列出不等式.
教學突破:由于學生在以前已經(jīng)對數(shù)量的大小關(guān)系和含數(shù)字的不等式有所了解,但還沒有接觸過含未知數(shù)的不等式,在學生分析問題的時候注意引入現(xiàn)實中大量存在的數(shù)量間的不等關(guān)系,研究它們的變化規(guī)律,使學生知道用不等式解決實際問題的方便之處.在本節(jié)的教學中能夠在組織學生討論的過程中適當?shù)貪B透變量的知識,讓學生感受其中的函數(shù)思想,并引導學生發(fā)現(xiàn)不等式的解與方程的解之間的區(qū)別.在處理本節(jié)難點時指導學生練習有理數(shù)和代數(shù)式的知識,準確“譯出”不等式.
教學過程:
一.研究問題:
世紀公園的票價是:每人5元,一次購票滿30張可少收1元.某班有27名少先隊員去世公園進行活動.當領(lǐng)隊王小華準備好了零錢到售票處買了27張票時,愛動腦的李敏同紀學喊住了王小華,提議買30張票.但有的同學不明白.明明只有27個人,買30張票,豈不浪費嗎?
那么,究竟李敏的提議對不對呢?是不是真的浪費呢
二.新課探究:
分析上面的問題:設(shè)有x人要進世紀公園,①若x≥30,應(yīng)該如何買票?②若x
結(jié)論:至少要有多少人進公園時,買30張票才合算?
概括:1、不等式的定義:表示不等關(guān)系的式子,叫做不等式.不等式用符號>,
2、不等式的解:能使不等式成立的未知數(shù)的值,叫做不等式的解.
3、不等式的分類:⑴恒不等式:-71+4,a+2>a+1.
⑵條件不等式:x+3>6,a+2>3,y-3>-5.
三、基礎(chǔ)訓練.
例1、用不等式表示:⑴a是正數(shù);⑵b不是負數(shù);⑶c是非負數(shù);⑷x的平方是非負數(shù);⑸x的一半小于-1;⑹y與4的和不小于3.
注:⑴不等式表示代數(shù)式之間的不相等關(guān)系,與方程表示相等關(guān)系相對應(yīng);
⑵研究不等關(guān)系列不等式的重點是抓關(guān)鍵詞,弄清不等關(guān)系.
例2、用不等式表示:⑴a與1的和是正數(shù);⑵x的2倍與y的3倍的差是非負數(shù);⑶x的2倍與1的和大于—1;⑷a的一半與4的差的絕對值不小于a.
例3、當x=2時,不等式x-1
注:⑴檢驗字母的值能否使不等式成立,只要代入不等式的左右兩邊,如果符合不等號所表示的關(guān)系,就成立,否則就不成立.⑵代入法是檢驗不等式的解的重要方法.
學生練習:課本P42練習1、2、3.
四、能力拓展
學校組織學生觀看電影,某電影院票價每張12元,50人以上(含50人)的團體票可享受8折優(yōu)惠,現(xiàn)有45名學生一起到電影院看電影,為享受8折優(yōu)惠,必須按50人購團體票.
⑴請問他們購買團體票是否比不打折而按45人購票便宜;
⑵若學生到該電影院人數(shù)不足50人,應(yīng)至少有多少人買團體票比不打折而按實際人數(shù)購票便宜.
解:⑴按實際45人購票需付錢_________ 元,然后如果按50人購買團體票則需付錢50×12×80%=480元,所以購買團體票便宜.
⑵設(shè)有x人到電影院觀看電影,當x_____時,按實際人數(shù)買票______張,需付款_______元,而按團體票購票需付款________元,如果買團體票合算,那么應(yīng)有不等式________________,
由①得,當x=45時,上式成立,讓我們再取一些數(shù)據(jù)試一試,將結(jié)果填入下表:
x12x比較480與12x的大小48
由上表可見,至少要__________人時進電影院,購團體票才合算.
五、小結(jié):
⑴不等式的定義,不等式的'解.
⑵對實際問題中探索得到的不等式的解,然后不僅要滿足數(shù)學式子,而且要注意實際意義.
六、作業(yè)課本P42習題8.1第1、2、3題.
補充題:
1.用不等式表示:
(1)與1的和是正數(shù);(2)的與的的差是非負數(shù);
(3)的2倍與1的和大于3;(4)的一半與4的差的絕對值不小于.
(5)的2倍減去1不小于與3的和;(6)與的平方和是非負數(shù);
(7)的2倍加上3的和大于-2且小于4;(8)減去5的差的絕對值不大于
2.小李和小張決定把省下的零用錢存起來.這個月小李存了168元,然后小張存了85元.下個月開始小李每月存16元,小張每月存25元.問幾個月后小張的存款數(shù)能超過小李?(試根據(jù)題意列出不等式,并參照教科書中問題1的探索,找出所列不等式的解)
3.某公司在甲、乙兩座倉庫分別有農(nóng)用車12輛和6輛,現(xiàn)需要調(diào)往A縣10輛,調(diào)往B縣8輛,已知從甲倉庫調(diào)運一輛農(nóng)用車到A縣和B縣的運費分別為40元和80元,然后從乙倉庫調(diào)運一輛農(nóng)用車到A縣和B縣的運費分別為30元和50元,(1)設(shè)從乙倉庫調(diào)往A縣農(nóng)用車輛,用含的代數(shù)式表示總運費W元;(2)請你用嘗試的方法,探求總運費不超過900元,共有幾種調(diào)運方案?你能否求出總運費最低的調(diào)運方案.
不等式課件 篇2
(1)本節(jié)內(nèi)容,是在學習了用方程思想解決實際問題和一元一次不等式的性質(zhì)及其解法等知識的基礎(chǔ)上,把實際問題和一元一次不等式結(jié)合在一起,既是對已學知識的運用和深化,又為今后用不等式組解決實際問題以及更廣泛的應(yīng)用數(shù)學建模的思想方法奠定基礎(chǔ),具有在代數(shù)學中承上啟下的作用;
(2)通過本節(jié)的學習,學生將繼續(xù)經(jīng)歷把生活中的數(shù)和數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)學符號的體驗過程,體會不等式和方程一樣都是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的重要模型。
(3)在列不等式解決實際問題的探索過程中,引導學生注意估算意識,體會算式結(jié)果所對應(yīng)的實際意義,滲透建立數(shù)學模型,分類討論等數(shù)學思想,對提升學生應(yīng)用數(shù)學意識思考和解決問題的能力起到積極的作用。
對于用不等式解決實際問題,學生容易出現(xiàn)的認知困難主要有兩個方面:①哪類的實際問題需要用一元一次不等式來解決;②如何將實際問題轉(zhuǎn)化為一元一次不等式并加以解決。
根據(jù)以上的分析和《數(shù)學課程標準》對本課內(nèi)容的教學要求,本節(jié)課的教學重點是:一元一次不等式在決策類實際問題中的應(yīng)用;難點是:如何將實際問題中的數(shù)量關(guān)系符號化,并根據(jù)解集和結(jié)合實際情況分類討論得出合理結(jié)論。
根據(jù)本課教材的特點、《數(shù)學課程標準》對本節(jié)課的教學要求以及學生的認知水平,我從三個方面確定了以下教學目標:
1、能進一步熟練的解一元一次不等式,能從實際問題中抽象出不等關(guān)系的數(shù)學模型,并結(jié)合解集解決簡單的實際問題。
2、通過觀察、實踐、討論等活動,積累利用一元一次不等式解決實際問題的經(jīng)驗,提高分類考慮、討論問題的能力,感知方程與不等式的內(nèi)在聯(lián)系,體會不等式和方程同樣都是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的重要模型。
3、在積極參與數(shù)學學習活動的過程中,體會實事求是的態(tài)度和從數(shù)學的角度思考問題的習慣;學會在解決困難時,與其他同學交流,相互啟發(fā),培養(yǎng)合作精神。
根據(jù)教學內(nèi)容、教學目標和學生的認知水平,我主要采取教師啟發(fā)引導,學生自主探究的教學方法.教學過程中,創(chuàng)設(shè)適當?shù)慕虒W情境,引導學生獨立思考、共同探究,使學生經(jīng)歷將生活中的數(shù)和數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)學符號的具體建模過程,體會不等式作為刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的重要模型的價值。
教學中使用多媒體投影、計算機輔助教學,目的是充分發(fā)揮其快捷、生動、形象的特點,為學生提供直觀感性的材料,有助于學生對問題的關(guān)注和理解,激發(fā)學生的學習興趣.
為了達到本節(jié)課的教學目標,突出重點,突破難點,我把教學過程通過兩個實際問題逐步深入;最后歸納小結(jié),布置作業(yè).具體過程如下:
1、課題引入:
我們以前已經(jīng)學過了一元一次方程以及二元一次方程組的解法,并在解決許多實際問題的過程中感受到:將相等關(guān)系用數(shù)學符號抽象后所得到的“方程”確實是一種有效數(shù)學工具,它能讓我們的思維過程更加準確和簡明!
但是,生活中除了相等的數(shù)量關(guān)系以外,還存在著大量的不等關(guān)系,通過前幾節(jié)課的學習,我們也已經(jīng)基本了解了不等式的性質(zhì)和簡單不等式的解法。今天,就讓我們通過一些帶有選擇“決策”意義的實際問題來共同探討一下一元一次不等式這種數(shù)學模型是如何解決生活中的實際問題的。
實際情景1:在為我校初一年級學生選定營養(yǎng)餐的過程中選中了有兩家公司.
這兩家公司某種適合初一學生的營養(yǎng)餐的報價均是是6.5元/份,營養(yǎng)含量和服務(wù)承諾也均相同,且都表示對學生優(yōu)惠:甲公司表示每份按報價的90%收費,乙公司表示購買100份以上的部分按報價的80%收費.
結(jié) 合新課標對本小節(jié)的要求:會用一元一次不等式解決簡單的實際問題,我選擇的是從數(shù)量關(guān)系上與教材例題類似的收費問題,并且真實數(shù)值與所在年級事情相一致,比書上的例題更能貼近學生的實際生活,引發(fā)學生探求的`興趣。特別的,通常此類題目是不給出具體單價的,因為并不影響最后結(jié)論,考慮到學生現(xiàn)階段的數(shù)學抽象 仍以識別數(shù)量的具體含義為主,所以我在此處添加了單價,并增設(shè)了問題一,用以降低抽象思維的梯度,為后續(xù)的設(shè)未知數(shù)的“代數(shù)化抽象”作適當?shù)匿亯|。
問題(1)請你判斷,我們年級580人用餐,應(yīng)該選擇哪家公司能讓每位學生的餐費平均算來更低呢?
預(yù)案 一:教師應(yīng)關(guān)注學生能否在討論中認清“每位學生的餐費平均算來更低”所對應(yīng)的數(shù)量意義,將之轉(zhuǎn)化為“付給公司的總金額少”。在此處不排除學生因生活經(jīng)歷的缺乏,而對題目中所隱含的數(shù)量關(guān)系抽象能力弱。應(yīng)關(guān)注每一位同學的感受,讓同學們充分理解交流,擴大參與思考的廣度,獲得基本抽象思維的生長點。
預(yù)案二:在進行甲乙公司所需費用的計算時,會有分部計算和綜合計算兩種計算形式,對于那些列綜合算式的同學,教師應(yīng)多給予展示機會,從而幫助其他同學整理思路,理解算式的實際含義;為后續(xù)的字母抽象做好鋪墊。具體計算學生可以合理使用計算器提高課堂速度。
預(yù)案三:學生還有可能不通過計算,直接猜測甲公司合算或者乙公司合算,對于這種有可能產(chǎn)生的聲音,教師應(yīng)從估算的角度加以引導。引導學生體會在580人的前提下,超過100人部分(480人)的甲公司是九折乙公司是八折, 10%的差距,;100人以內(nèi)(少于100人)甲公司九折,乙公司不打折10%的差距,480的10%明顯大于100的10%,所以選乙合算,并引導學生用計算的方法驗證估算的準確性。
結(jié)論:580人時選擇乙公司能讓每位學生的餐費平均算來更低。
問題(2)你能否用以前學過的知識,在不知道具體人數(shù)的前提下制定一套方案,當其他學校的初一年級也想在這兩家公司之間進行選擇時,不用重復第一題的計算過程,只要知道人數(shù)就馬上能根據(jù)你方案的結(jié)論作出決策呢?
結(jié)合以前的訓練,學生很容易想到要通過設(shè)未知數(shù)的方法進行符號表達,將非常關(guān)鍵而題目中并未給出的學生人數(shù)設(shè)為未知數(shù)。由于本題的具體分析過程仍然是由學生分析討論完成,可能出現(xiàn)的情況是:
預(yù)案一:一部分綜合能力較強的同學會根據(jù)實際意義直接列出綜合算式:或
此處教師應(yīng)該引導學生觀察,在化簡不等式的過程中單價并未影響結(jié)果(利用不等式性質(zhì)二將其作為公倍數(shù)約去),即:題目中沒有具體的單價也不會影響本題的決策。
還可以結(jié)合小學單位一的思想化簡不等式,引導學生體會并不是題目中出現(xiàn)的所有數(shù)量都會影響不等關(guān)系,有可能引發(fā)學生的關(guān)于數(shù)量關(guān)系的深層次思考。
預(yù)案 二:還有一部分學生會因為生活經(jīng)驗少的關(guān)系,綜合思考能力弱,無法快速的理清數(shù)量關(guān)系,列出綜合算式,思考受阻,教師應(yīng)引導學生體會在第一題的算式意義的提示下,如何分別列出表達甲乙公司所需總費用的過程量代數(shù)式。然后在通過將之用不等號連接的方式,來表達兩筆費用的大小,降低因綜合性所引起的思維梯度, 在過程中讓學生體會“分步建?!钡乃季S的條理性。
問題(1)如果你是該企業(yè)的高級管理人員,請你設(shè)計該企業(yè)在購買設(shè)備時兩種型號有幾種不同的組合方案;
問題(2)若按固定產(chǎn)量預(yù)算企業(yè)每月產(chǎn)生的污水量約為20xx噸,為了節(jié)約資金,應(yīng)選擇哪種購買方案?
實際情景2的選擇除涉及“角色扮演”和“環(huán)?!钡热宋囊蛩氐目紤]以外,在在結(jié)合本節(jié)的教學目標上還有如下考慮,
1、 本題取材于真實的實際生活問題,情景中的符號和數(shù)量關(guān)系較多,不等關(guān)系在文字語言的敘述中顯得比第一題更加隱蔽,需要學生更深化的思考才能列出算式,是在第一個情景的基礎(chǔ)上的擴展和深化。
2、 在學生的討論過程中,教師應(yīng)注重引導學生體會,用圖表表示的數(shù)字信息比文字表達更便于觀察和有序思考,感受“有序表達”在實際中的價值。
3、 結(jié)合本題每一個的具體問題的分析和解決,學生必須要從表格中分析篩選相關(guān)的有用數(shù)據(jù),(例如:在第一問設(shè)計方案時未用到“處理污水量”和“年消耗費”,在第二問中未用到“價格”和“年消耗費”)這種分析和篩選的思考經(jīng)歷將有助于加強學生對數(shù)據(jù)關(guān)系的理解和運用能力。
結(jié)合以前的訓練,在思考問題(1)學生很容易想到要通過設(shè)A型或B型設(shè)備的
例如:(1)設(shè)購買污水處理設(shè)備A型 臺,則B型(10 – )臺,由題意知:
在此處,將“限額為105萬元”轉(zhuǎn)化為“≤105”是學生要突破的第一關(guān),教師應(yīng)在次處多展示同學的對“限額為105萬元”語言解釋,盡可能多的在具有不同經(jīng)歷基礎(chǔ)的同學心中將這個抽象過程生活化、自然化。
因為在實際情景中往往要根據(jù)未知數(shù)所代表的具體含義為未知數(shù)的加一個取值范圍的限定,而這個隱含的限制條件往往是學生中所不容易考慮到的,教師應(yīng)注意引導學生注意這一問題,
例如:本題中的 是設(shè)備的臺數(shù),應(yīng)用非負整數(shù)的限制,所以 可取0、1、2,因此有三種購買方案:
①購A型0臺,B型10臺;
②購A型1臺,B型9臺;
③購A型2臺,B型8臺。
此處細節(jié)性的思考經(jīng)歷,有助于提高學生在建模過程中更全面的考慮數(shù)值的實際意義,促進抽象符號與具體意義在頭腦中的融合。
特別的,此處的“0”是學生最容易忽視和丟掉的,教師在此處應(yīng)重點引導學生思考當“ ”時,往往是企業(yè)最可能選的方案,因為不同的設(shè)備涉及到不同的維護問題,單一品種的設(shè)備往往更便于管理,這種思考有助于發(fā)散學生的思維,促進其結(jié)合實際作更全面的思考。
問題(2)的思維梯度較前幾個問題進一步加大,學生必須理解“節(jié)約資金”這個目的的達成 一定是在“完成任務(wù)”的前提下的,要先通過對(1)中所得的三套方案是否能完成任務(wù)加以討論和驗證,然后再涉及計算哪個方案費用更低的問題
在驗證三套方案的可行性時,收思維方式的局限,學生往往會選擇逐一列舉計算的討論方式,并且由于數(shù)量少,很容易得出答案,教師可引導學生思考,如果滿足(1)的方案不是三種,而是三十種呢?三百種呢?除了逐一討論以外還有沒有什么更好的方式能幫助我們迅速縮小范圍呢?引導學生將所買設(shè)備能否完成任務(wù)量轉(zhuǎn)化為如下不等關(guān)系:
(2)同(1)所設(shè)購買污水處理設(shè)備A型 臺,則B型(10 – )臺,
240 +200(10 – )≥20xx;
因此為了節(jié)約資金,應(yīng)選購A型1臺,B型9臺。
此處的分析和引導有助于學生體會不等式在有效縮小討論范圍時的實際價值。
通過以上問題的解決,學生對不等式和方程一樣都是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的重要模型有了進一部的認識,并感受到不等式確實是從實際問題中提出,又為解決實際問題提供明確的幫助有效數(shù)學工具。
本階段通過學習小結(jié)進行課堂教學的反饋,組織和指導學生歸納知識、技能、方法,深化對數(shù)學思想方法的認識,為后續(xù)學習打好基礎(chǔ)。
不等式課件 篇3
(1)本節(jié)內(nèi)容,是在學習了用方程思想解決實際問題和一元一次不等式的性質(zhì)及其解法等知識的基礎(chǔ)上,把實際問題和一元一次不等式結(jié)合在一起,既是對已學知識的運用和深化,又為今后用不等式組解決實際問題以及更廣泛的應(yīng)用數(shù)學建模的思想方法奠定基礎(chǔ),具有在代數(shù)學中承上啟下的作用;
(2)通過本節(jié)的學習,學生將繼續(xù)經(jīng)歷把生活中的數(shù)和數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)學符號的體驗過程,體會不等式和方程一樣都是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的重要模型。
(3)在列不等式解決實際問題的探索過程中,引導學生注意估算意識,體會算式結(jié)果所對應(yīng)的實際意義,滲透建立數(shù)學模型,分類討論等數(shù)學思想,對提升學生應(yīng)用數(shù)學意識思考和解決問題的能力起到積極的作用。
對于用不等式解決實際問題,學生容易出現(xiàn)的認知困難主要有兩個方面:①哪類的實際問題需要用一元一次不等式來解決;②如何將實際問題轉(zhuǎn)化為一元一次不等式并加以解決。
根據(jù)以上的分析和《數(shù)學課程標準》對本課內(nèi)容的教學要求,本節(jié)課的教學重點是:一元一次不等式在決策類實際問題中的應(yīng)用;難點是:如何將實際問題中的數(shù)量關(guān)系符號化,并根據(jù)解集和結(jié)合實際情況分類討論得出合理結(jié)論。
根據(jù)本課教材的特點、《數(shù)學課程標準》對本節(jié)課的教學要求以及學生的認知水平,我從三個方面確定了以下教學目標:
1.能進一步熟練的解一元一次不等式,能從實際問題中抽象出不等關(guān)系的數(shù)學模型,并結(jié)合解集解決簡單的實際問題。
2.通過觀察、實踐、討論等活動,積累利用一元一次不等式解決實際問題的經(jīng)驗,提高分類考慮、討論問題的能力,感知方程與不等式的內(nèi)在聯(lián)系,體會不等式和方程同樣都是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的重要模型。
3.在積極參與數(shù)學學習活動的過程中,體會實事求是的態(tài)度和從數(shù)學的角度思考問題的習慣;學會在解決困難時,與其他同學交流,相互啟發(fā),培養(yǎng)合作精神。
三、教學方法的選擇
根據(jù)教學內(nèi)容、教學目標和學生的認知水平,我主要采取教師啟發(fā)引導,學生自主探究的教學方法.教學過程中,創(chuàng)設(shè)適當?shù)慕虒W情境,引導學生獨立思考、共同探究,使學生經(jīng)歷將生活中的數(shù)和數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)學符號的具體建模過程,體會不等式作為刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的重要模型的價值,
教學中使用多媒體投影、計算機輔助教學,目的是充分發(fā)揮其快捷、生動、形象的特點,為學生提供直觀感性的材料,有助于學生對問題的.關(guān)注和理解,激發(fā)學生的學習興趣.
為了達到本節(jié)課的教學目標,突出重點,突破難點,我把教學過程通過兩個實際問題逐步深入;最后歸納小結(jié),布置作業(yè).具體過程如下:
1、課題引入:
我們以前已經(jīng)學過了一元一次方程以及二元一次方程組的解法,并在解決許多實際問題的過程中感受到:將相等關(guān)系用數(shù)學符號抽象后所得到的“方程”確實是一種有效數(shù)學工具,它能讓我們的思維過程更加準確和簡明!
但是,生活中除了相等的數(shù)量關(guān)系以外,還存在著大量的不等關(guān)系,通過前幾節(jié)課的學習,我們也已經(jīng)基本了解了不等式的性質(zhì)和簡單不等式的解法。今天,就讓我們通過一些帶有選擇“決策”意義的實際問題來共同探討一下一元一次不等式這種數(shù)學模型是如何解決生活中的實際問題的。
實際情景1:在為我校初一年級學生選定營養(yǎng)餐的過程中選中了有兩家公司.
這兩家公司某種適合初一學生的營養(yǎng)餐的報價均是是6.5元/份,營養(yǎng)含量和服務(wù)承諾也均相同,且都表示對學生優(yōu)惠:甲公司表示每份按報價的90%收費,乙公司表示購買100份以上的部分按報價的80%收費.
結(jié) 合新課標對本小節(jié)的要求:會用一元一次不等式解決簡單的實際問題,我選擇的是從數(shù)量關(guān)系上與教材例題類似的收費問題,并且真實數(shù)值與所在年級事情相一致,比書上的例題更能貼近學生的實際生活,引發(fā)學生探求的興趣。特別的,通常此類題目是不給出具體單價的,因為并不影響最后結(jié)論,考慮到學生現(xiàn)階段的數(shù)學抽象 仍以識別數(shù)量的具體含義為主,所以我在此處添加了單價,并增設(shè)了問題一,用以降低抽象思維的梯度,為后續(xù)的設(shè)未知數(shù)的“代數(shù)化抽象”作適當?shù)匿亯|。
問題(1)請你判斷,我們年級580人用餐,應(yīng)該選擇哪家公司能讓每位學生的餐費平均算來更低呢?
預(yù)案 一:教師應(yīng)關(guān)注學生能否在討論中認清“每位學生的餐費平均算來更低”所對應(yīng)的數(shù)量意義,將之轉(zhuǎn)化為“付給公司的總金額少”。在此處不排除學生因生活經(jīng)歷的缺乏,而對題目中所隱含的數(shù)量關(guān)系抽象能力弱。應(yīng)關(guān)注每一位同學的感受,讓同學們充分理解交流,擴大參與思考的廣度,獲得基本抽象思維的生長點。
預(yù)案二:在進行甲乙公司所需費用的計算時,會有分部計算和綜合計算兩種計算形式,對于那些列綜合算式的同學,教師應(yīng)多給予展示機會,從而幫助其他同學整理思路,理解算式的實際含義;為后續(xù)的字母抽象做好鋪墊。具體計算學生可以合理使用計算器提高課堂速度。
預(yù)案三:學生還有可能不通過計算,直接猜測甲公司合算或者乙公司合算,對于這種有可能產(chǎn)生的聲音,教師應(yīng)從估算的角度加以引導。引導學生體會在 580人的前提下,超過100人部分(480人)的甲公司是九折乙公司是八折, 10%的差距,;100人以內(nèi)(少于100人)甲公司九折,乙公司不打折10%的差距,480的10%明顯大于100的10%,所以選乙合算,并引導學生用計算的方法驗證估算的準確性。
不等式課件 篇4
教學建議
一、知識結(jié)構(gòu)
本書首先結(jié)合實例引入一元一次不等式組的解集的概念,然后通過三個例題說明利用數(shù)軸解一元一次不等式組的方法,最后對一元一次不等式組的解法步驟進行了總結(jié).
二、重點、難點分析
本節(jié)教學的重點是掌握一元一次不等式組的解法步驟并準確地求出解集.難點是正確應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)對不等式進行變形、求不等式組中各個不等式解集的公共部分.不等式在中學代數(shù)中是研究問題的重要工具,例如求函數(shù)的定義域、值域、研究函數(shù)的單調(diào)性,求最大值、最小值,一元二次方程根的討論等,都要用到不等式的知識.不等式也是進一步學習其他數(shù)學內(nèi)容的基礎(chǔ).學習和掌握不等式的求解和不等式的證明方法,對培養(yǎng)學生邏輯思維能力也有極其重要的作用.在處理解不等式的問題中,一元一次不等式組的解法,具有特別重要的意義.這是因為,解各類不等式的問題都可以歸結(jié)為解一些由簡單不等式所組成的不等式組.
1、在構(gòu)成不等式組的幾個不等式中
①這幾個一元一次不等式必須含有同一個未知數(shù);
②這里的“幾個”并未確定不等式的個數(shù),只要不是一個,兩個,三個,四個……都行.
2、當幾個不等式的解集沒有公共部分時,我們就說這個不等式組無解.
3、由兩個一元一次不等式組成的不等式的解集,共歸結(jié)為下面四種基本情況:
【注意】①其中第(4)個不等式組,實質(zhì)上是矛盾不等式組,任何數(shù)都不能使兩個不等式同時成立。所以說這個不等式組無解或說其解集為空集。②從上面列出的表中,我們可以概括出來不等式組公共解的一規(guī)律:同大取大,同小取小,一大一小中間找。
三、教法建議
1.解本節(jié)的引例及例1、例2、例3時,注意把解不等式組的思路講清楚,即先分別解每一個不等式,求出解集,再求這些解集的公共部分.求公共部分的過程一定要結(jié)合數(shù)軸來講。
2.這節(jié)課的講解自始至終要突出解不等式組的基本思想以及解一元一次不等式組的步驟這兩個重點.準確熟練地解一元一次不等式以及用數(shù)軸上的點表示不等式的解集是這節(jié)課的基礎(chǔ),因此講新課之前要復習提問這些內(nèi)容。
3.求公共解集是這節(jié)課的新授內(nèi)容,教師要充分利用數(shù)軸表示不等式解集具有形象、直觀、易于說明問題這些優(yōu)點.解集的公共部分教師可用彩筆在數(shù)軸的相應(yīng)部分描畫出來,使學生感到醒目,便于理解記憶。
4.每組不等式不要超過三個,關(guān)鍵是使學生理解和掌握解不等式組的基本思想和兩個步驟,不宜做過于難、過于多、重復的機械計算。
不等式課件 篇5
(一)復習提問:
三角形的三邊關(guān)系?
(二)列一元一次不等式組
問題:現(xiàn)有兩根木條a和b,a長10cm,b長3cm.如果要再找一根木條c,用這三根木條釘成一個三角形木框,那么對木條c的長度有什么要求?
注:這個問題是本節(jié)的'引入問題,三角形木框的形狀不唯一確定,只要能成為三角形即可.
探究:用三根長度分別為14cm,9cm,6cm的木條c1,c2,c3分別試試,其中哪根木條能與木條a和b一起釘成三角形木框?
可以發(fā)現(xiàn),當木條a和b的長度確定后,木條c太長或太短,都不能與a和b一起釘成三角形.
由于“三角形中兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊”,設(shè)木條c長xcm,則x必須同時滿足不等式x10+3①和x10-3②
注:木條c必須同時滿足兩個條件,即ca+b,ca-b.
類似于方程組,把這兩個不等式合起來,組成一個一元一次不等式組記作注:這里并未正式給一元一次不等式組下定義,只是說這兩個不等式合起來,組成一個一元一次不等式組.實際上,兩個或更多的一元一次不等式組合起來,都組成一個一元一次不等式組.
(三)一元一次不等式組的解集
類比方程組的解,怎樣確定不等式組中x的可取值的范圍呢?
不等式組中的各不等式解集的公共部分,就是不等式組中x可以取值的范圍.
注:這里還未正式出現(xiàn)不等式組的解集的概念,但已點出各不等式的解集的公共部分即不等式組中未知數(shù)的可取值范圍.
由不等式①解得x13.
由不等式②解得x7.
從圖9.3—2容易看出,x可以取值的范圍為713.
注:利用數(shù)軸可以直觀形象地認識公共部分.這個公共部分是兩端有界的開區(qū)間.
這就是說,當木條c比7cm長并且比13cm短時,它能與木條a和b一起釘成三角形木框.
一般地,幾個不等式的解集的公共部分,叫做由它們所組成的不等式組的解集.解不等式組就是求它的解集.
注:這里正式給出不等式組的解集以及解不等式組的定義13.注:利用數(shù)軸可以直觀形象地認識公共部分.這個公共部分是兩端有界的開區(qū)間.這就是說,當木條c比7cm長并且比13cm短時,它能與木條a和b一起釘成三角形木框.一般地,幾個不等式的解集的公共部分,叫做由它們所組成的不等式組的解集.解不等式組就是求它的解集.注:這里正式給出不等式組的解集以及解不等式組的定義。
不等式課件 篇6
一元一次不等式組(2)
文星中學唐波
一、教學目標
(一)知識與技能目標
1、熟練掌握一元一次不等式組的解法,會用一元一次不等式組解決有關(guān)的實際問題。
2、理解一元一次不等式組應(yīng)用題的一般解題步驟,逐步形成分析問題和解決問題的能力。
(二)過程與方法目標
通過利用列一元一次不等式組解答實際問題,初步學會從數(shù)學的角度提出問題、理解問題、并能綜合運用所學的知識解決問題,發(fā)展應(yīng)用意識。
(三)情感態(tài)度與價值觀
通過解決實際問題,體驗數(shù)學學習的樂趣,初步認識數(shù)學與人類生活的密切聯(lián)系。
二、教學重難點
(一)重點:建立用不等式組解決實際問題的數(shù)學模型。
(二)難點:正確分析實際問題中的不等關(guān)系,根據(jù)具體信息列出不等式組。
三、學法引導
(一)教師教法:直觀演示、引導探究相結(jié)合。
(二)學生學法:觀察發(fā)現(xiàn)、交流探究、練習鞏固相結(jié)合。
四、教具準備:多媒體演示
五、教學過程
(一)、設(shè)問激趣,引入新課
猜一猜:我屬狗,請同學們根據(jù)我的實際情況來猜測我的年齡。(學生大膽猜想,利用不等關(guān)系分析得出答案。)
(二)、觀察發(fā)現(xiàn),競賽闖關(guān)
1、比一比:填表找規(guī)律
(學生搶答,教師補充。)2利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解不等式組 ?(學生解答,抽生演板。)你可以得到它的整數(shù)解嗎?
(抽生回答:因為大于11小于14的整數(shù)有12和13,所以整數(shù)解為12和13。)3填空:三角形三邊長分別為2、7、c,則 c的取值范圍是__________。如果c是一個偶
數(shù),則 c=__________。
(學生回答,教師補充更正。)
(三)、欣賞圖片,探究新知
1、欣賞“五岳看山”。
2、利用欣賞引出例題(教科書P139例2仿編)
例:3名同學計劃在10天內(nèi)到嵩山拍照500張(每天拍照數(shù)量相同),按原來的計劃,不能完成任務(wù);如果每人每天比原計劃多拍1張,就能提前完成任務(wù),每個同學原計劃每天............拍多少張?
生齊讀,找出題中的已知條件和未知條件;再默讀,找一找表示數(shù)量關(guān)系的句子。師引導分析,并提出問題:
(1)你是怎樣理解“不能完成任務(wù)”的數(shù)量含義的?你是怎樣理解“提前完成任務(wù)”的數(shù)量含義的?
(2)解決這個問題,你打算怎樣設(shè)未知數(shù)?
(3)在本題中,可以找出幾個不等關(guān)系,可以列出幾個不等式?(學生交流討論,教師指導。)
?7x?98
?7(x?3)?98
解答完成后,學生自學課本例2。
3、由例解題答過程,類比列二元一次方程組解應(yīng)用題的步驟,總結(jié)列一元一次不等式組的解題步驟:
(1)、分析題意,設(shè)未知數(shù); .(2)、利用不等關(guān)系,列不等式組; .(3)、解不等式組; .
(4)、檢驗,根據(jù)題意寫出答案。.(學生總結(jié),抽生回答,教師補充。)
(四)、闖關(guān)練習,鞏固新知
1練一練:為紀念“5·12”大地震一周年,“五一”部分同學到青城山拍照留念,如果每人拍8張則多于如果每人拍9張則不夠問共有多少個同學參加青城山旅游? ..150張;..180張。
教師引導:抓住重點詞語,找到不等關(guān)系,列出不等式組。學生獨立完成,抽生回答。
比較列二元一次方程組和列一元一次不等式組解應(yīng)用題的區(qū)別:
(學生類比找區(qū)別,教師補充。)2練一練(教科書P140練習第2題):一本英語書共98頁,張力讀了一周(7天)還沒讀完,而李永不到一周就已讀完。李永平均每天比張力多讀3頁,張力平均每天讀多少頁(答案取整數(shù))?
學生分析列出不等式組,教師指導。(前面的練習已解出不等式組。)
(五)、暢所欲言,歸納小結(jié) 學生暢所欲言,談收獲體會 多媒體展示,本課內(nèi)容小結(jié):
1、解一元一次不等式組的秘笈:同大取大,同小取小,大小小大中間找,大大小小解不了。
2、具有多種不等關(guān)系的問題,可通過不等式組解決。
3、列一元一次不等式組解應(yīng)用題的步驟是:(1)、分析題意,設(shè)未知數(shù);(2)、利用不等關(guān)系,列不等式組;(3)、解不等式組;
(4)、檢驗,根據(jù)題意寫出答案。
(六)、課后演練,終極挑戰(zhàn)
必做題:教材習題第4、5、6題;
選做題:一個兩位數(shù),它的十位數(shù)字比個位數(shù)字大1,而且這個兩位數(shù)大于30小于42,則這個兩位數(shù)是多少?
六、板書設(shè)計
一元一次不等式組(2)
解:設(shè)每個同學原計劃每天拍x張,得
① ?3?10x?500
?
?3?10(x?1)?500②
1、分析題意,設(shè)未知數(shù);
解得x
3根據(jù)題意,x應(yīng)為整數(shù),所以x=16 答:每個同學原計劃每天拍16張。
2??
2、找不等關(guān)系,列不等式組; ?
?
3、解不等式組; ?步驟
??
?
4、檢驗并根據(jù)題意寫出答案。?
不等式課件 篇7
科學合理的教學方法能使教學效果事半功倍,達到教與學的和諧完美統(tǒng)一。
基于此,我準備采用的教法講授法、討論法。德國教育學家第斯多慧:差的教師只會奉送真理,好的教師則交給學生如何發(fā)現(xiàn)真理,老師的教是為了不教,這才是教學的最高境界,所以我采用的學法是練習法、自主合作法。
在這節(jié)課的教學過程中,我注重突出重點,條理清晰,緊湊合理。各項活動的安排也注重互動、交流,最大限度的調(diào)動學生參與課堂的積極性、主動性。
首先是導入環(huán)節(jié),我采用復習舊知的導入方法。我會讓學生回憶不等式的概念以及一元一次方程的概念,明確指出今天學習的內(nèi)容是《一元一次不等式》。
這樣的設(shè)計既可以考查學生對之前知識的掌握情況,還能夠為今天學習一元一次方程的概念打下基礎(chǔ)。而且開門見山的導入方式能夠快速地進入主題。
接下來是新知探索環(huán)節(jié),首先我請學生類比不等式以及一元一次方程的概念,給一元一次不等式下定義。
能夠總結(jié)出:含有一個未知數(shù),未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式,叫做一元一次不等式。
接下來讓學生回憶上節(jié)課學習的不等式x-7>26如何解決的,通過學生回憶總結(jié)可以得到:通過“不等式的兩邊都加7,不等號的方向不變”而得到的。
接下來提問學生有沒有更加簡便的方法解不等式?讓學生類比解一元一次方程的步驟進行解題??梢缘玫较喈斢诳梢杂谩耙祈棥保瑏斫鉀Q。
在這個過程中,強調(diào)每一個步驟,在第二題最后一步,強調(diào)當不等式的兩邊同時乘以(或除以)同一個負數(shù)時,不等號的方向改變。
解完不等式,先讓學生回憶解一元一次方程的步驟是什么?并類比解一元一次方程的步驟,總結(jié)一下解一元一次不等式的步驟是什么?
從而我們歸納:解一元一次方程,要根據(jù)等式的性質(zhì),將方程逐步化為x=a的形式;而解一元一次不等式,則要根據(jù)不等式的性質(zhì),將不等式逐步化為xa的形式。
《數(shù)學課程標準》指出:“學生是數(shù)學學習的主人,教師是數(shù)學學習的組織者、引導者和合作者”。根據(jù)這一教學理念,在本環(huán)節(jié)中,我組織學生進行了自主探究活動,讓學生在保持高度學習熱情和探究欲望的活動過程中,始終以愉悅的心情,親身經(jīng)歷和體驗知識的形成過程。培養(yǎng)學生的探究能力、分析思維能力,激發(fā)他們的創(chuàng)新意識、參與意識。
第三個環(huán)節(jié)是課堂練習環(huán)節(jié),出示問題,解不等式,并在數(shù)軸上表示數(shù)集:5x+15>4x-1
之所以這樣設(shè)計是因為練習是掌握知識、形成技能、發(fā)展思維的重要手段,針對本課的教學重點和難點,上述練習,目的是讓學生進一步鞏固對新知的理解??梢陨罨虒W內(nèi)容,培養(yǎng)思維的靈活性。
最后一個環(huán)節(jié)為小結(jié)作業(yè)環(huán)節(jié),關(guān)于課堂小結(jié),我打算讓學生自己來總結(jié)今天的收獲。
這樣既發(fā)揮了學生的主體性,又可以提高學生的總結(jié)概括能力,讓我在第一時間得到學習反饋,及時加以疏導。
通過這樣的方式能夠為本節(jié)課學習的知識進行進一步的鞏固。
我的板書設(shè)計遵循簡潔明了突出重點的意圖,這是我的板書設(shè)計:
不等式課件 篇8
1、了解一元一次不等式組的概念。
2、理解一元一次不等式組的解集,能求一元一次不等式組的解集。
3、會解一元一次不等式組。
通過具體問題得到一元一次不等式組,從而了解一元一次不等式組的概念,解出每個不等式,利用數(shù)軸求出各不等式解集的公共部分,從而得到不等式組的解集,通過解幾個有代表性的一元一次不等式組,總結(jié)出求不等式組解集的法則。
運用數(shù)軸確定不等式組的解集是行之有效的方法。這種“數(shù)形結(jié)合”的方法今后經(jīng)常用到,鍛煉同學們數(shù)形結(jié)合的能力,提高學習興趣。
一元一次不等式組的解法。
確定一元一次不等式組的解集。
一、情境導入,初步認識
問題1現(xiàn)有兩根木條a和b,a長10cm,b長3cm,如果要再找一根木條c,用這三根木條釘成一個三角形木框,那么木條c的長度有什么要求?
解:由于三角形中兩邊之____大于第三邊,兩邊之____小于第三邊,設(shè)c的長為xcm,則x<____,①x>____,②合起來,組成一個__________。
由①解得_____________,由②解得_____________。
在數(shù)軸上表示就是________________。
容易看出:x的取值范圍是____________________。
這就是說,當木條c比____cm長并且比____cm短時,它能與木條a和b一起釘成三角形木框。
問題2由上面的解不等式組的過程用自己的語言歸納出一元一次不等式組的.解法。
全班同學可獨立作業(yè),也可分組自由討論,10分鐘后交流成果,逐步得出結(jié)論。
二、思考探究,獲取新知
思考什么叫一元一次不等式組,什么叫一元一次不等式組的解集,什么叫解不等式組?
1、定義:
(1)一元一次不等式組:幾個含有相同未知數(shù)的一元一次不等式合起來組成一個一元一次不等式組。
(2)一元一次不等式組的解集:幾個不等式的解集的公共部分,叫做由它們所組成的不等式的解集。
(3)解不等式組:求一元一次不等式組的解集的過程叫解一元一次不等式組。
2、一元一次不等式組的解法:
(1)求出每個一元一次不等式的解集。
(2)求出這些解集的公共部分,便得到一元一次不等式組的解集。
不等式課件 篇9
本節(jié)教學的重點是不等式的解集的概念及在數(shù)軸上表示不等式的解集的方法.難點為不等式的解集的概念.
相同點:定義方式相同(使方程成立的未知數(shù)的值,叫做方程的解);解的表示方法也相同.
不同點:解的個數(shù)不同,一般地,一個不等式有無數(shù)多個解,而一個方程只有一個或幾個解,例如, 能使不等式 成立,那么 是不等式的一個解,類似地 等也能使不等式 成立,它們都是不等式 的解,事實上,當 取大于 的數(shù)時,不等式 都成立,所以不等式 有無數(shù)多個解.
不等式的解與不等式的解集是兩個不同的概念,不等式的解是指滿足這個不等式的未知數(shù)的某個值,而不等式的解集,是指滿足這個不等式的未知數(shù)的所有的值,不等式的所有解組成了解集,解集中包括了每一個解.
注意:不等式的解集必須滿足兩個條件:第一,解集中的任何一個數(shù)值,都能使不等式成立;第二,解集外的任何一個數(shù)值,都不能使不等式成立.
一般地,一個含未知數(shù)的不等式有無數(shù)多個解,其解集是某個范圍,這個范圍可用一個最簡單的不等式表示出來,例如,不等式 的解集是 .
如不等式 的解集 ,可以用數(shù)軸上表示4的點的左邊部分表示,因為 包含 ,所以在表示4的點上畫實心圓.
如不等式 的解集 ,可以用數(shù)軸上表示4的點的左邊部分表示,因為 包含 ,所以在表示4的點上畫實心圈.
注意:在數(shù)軸上,右邊的點表示的數(shù)總比左邊的點表示的數(shù)大,所以在數(shù)軸上表示不等式的解集時應(yīng)牢記:大于向右畫,小于向左畫;有等號的畫實心圓點,無等號的畫空心圓圈.
1.使學生了解不等式的解集、解不等式的概念,會在數(shù)軸上表示出不等式的解集.
2.知道不等式的“解集”與方程“解”的不同點.
通過教學,使學生能夠正確地在數(shù)軸上表示出不等式的解集,并且能把數(shù)軸上的某部分數(shù)集用相應(yīng)的不等式表示.
通過講解不等式的“解集”與方程“解”的關(guān)系,向?qū)W生滲透對立統(tǒng)一的辯證觀點.
通過本節(jié)課的學習,讓學生了解不等式的解集可利用圖形來表達,滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學美.
2.學生學法:明確不等式的解與解集的區(qū)別和聯(lián)系,并能熟練地用數(shù)軸表示不等式的解集,在數(shù)軸上表示不等式的解集時,要特別注意:大于向右畫,小于向左畫;有等號的畫實心圓點,無等號的畫空心圓圈.
不等式課件 篇10
1.了解不等式及一元一次不等式概念。
2.理解不等式的解、解集,能正確表示不等式的解集。
通過類比等式的對應(yīng)知識,探索不等式的概念和解,體會不等式與等式的異同,初步掌握類比的思想方法。
1.經(jīng)歷把實際問題抽象為不等式的過程,能夠列出不等關(guān)系式。
2.初步體會不等式(組)是刻畫現(xiàn)實世界中不等關(guān)系的一種有效數(shù)學模型,培養(yǎng)學生的建模意識。
通過對不等式概念及其解集等有關(guān)概念的探索,培養(yǎng)學生的知識遷移能力和建模意識,加強同學之間的使用與交流。
活動一:
感知不等關(guān)系,了解不等式的概念。
通過實例,讓學生認識到不等關(guān)系在生活中的存在,通過問題的解答,讓學生了解不等式的概念,體會不等式是解決實際問題的有效工具。
活動二:
通過類比方程,繼續(xù)探索出不等式的解、解集及其表示方法。
通過解決上個環(huán)節(jié)的問題,得出不等式的解,再引導學生觀察解的特點,探索出解集的兩種表示方法(符號表示、數(shù)軸表示),并且培養(yǎng)學生用估算方法求解集的技能。
活動三:
繼續(xù)探索,歸納出一元一次不等式的意義。
針對所學的不等式,讓學生歸納出特點,得到一元一次不等式的概念,并對概念進行辨析。
運用本節(jié)所學的知識,解決實際問題,使學生經(jīng)歷將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題,再加以解決的過程,實現(xiàn)對所學知識的鞏固和深化。
讓學生通過自我反思和互相質(zhì)疑提問,歸納總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容,交流在概念、解及解集學習中的心得和體會,不斷積累數(shù)學活動經(jīng)驗,教師應(yīng)主動參與學生小結(jié)中,作好引導工作,布置好作業(yè),并作及時反饋。
小強準備隨父母乘車去武當山春游。
⑴在車上看到兒童買票所需的測身高標識線。
①x滿足______時,他可免票。
②x滿足______時,他該買全票。
⑵已知襄樊與武當山的距離為150千米,他們上午10點鐘從襄樊出發(fā),汽車勻速行駛。
①若該車計劃中午12點準時到達武當山,車速應(yīng)滿足什么條件?
②若該車實際上在中午12點之前已到達武當山,車速應(yīng)滿足什么條件?
用不等式表示:
⑴a是正數(shù);⑵a是負數(shù);⑶a與5的和小于7;⑷a與2的差大于-1;
⑸a的4倍大于8;
⑹a的一半小于3。
學生回答①這兩個由實際生活情境設(shè)置的問題,應(yīng)非常容易.問題②相對①難度加大了,難在題意中的條件不象上面那樣直接明了,并且可從距離和時間兩個角度來分析、解決問題,而七年級學生恰恰缺乏閱讀分析題意、多維度思考解決問題的能力,所以采用小組討論交流的形式解決問題②
學生討論角度估計大都集中在距離這一角度,教師可深入小組討論中,認真聽聽同學們的思路,應(yīng)鼓勵學生多發(fā)表意見,并適當點撥,直到得出兩種不等式。
此次活動中,教師應(yīng)重點關(guān)注:討論要有足夠的時間和空間,學生在小組討論交流時,是否敢于發(fā)表自己的想法。
再給出不等式概念:
像前面式子一樣用“>”或“
教師可要求學生舉出一些表示大小的式子,學生舉出的不等式中,可能會有一些不含未知數(shù)的,如5>3等。教師此時應(yīng)總結(jié):不等式中可含有未知數(shù),也可不含未知數(shù)。
教師根據(jù)學生舉例給出表示不等關(guān)系的第三種符號“≠”,并強調(diào):像前面式子一樣用“≠”表示不等關(guān)系的式子也是不等式。
鞏固練習是讓學生用不等式來刻畫題中6個簡單的不等關(guān)系。學生得出答案并不難,所以該環(huán)節(jié)讓學生獨立完成、互相評價,教師可深入到學生的解題過程中,觀察指導學生的解題思路,傾聽學生的評價。
問題1在課本中起導入新課作用,考慮學生實際情況(分析應(yīng)用題能力尚欠缺)和題目難度,所以設(shè)置問題串,降低難度。這樣編排教材我認為更能體現(xiàn)知識呈現(xiàn)的序列性,從易到難,讓學生“列不等式”能力實現(xiàn)螺旋上升。
問題3作用僅僅起鞏固上面所學的知識,所以采用書中的一組習題,讓學生獨立完成,進一步培養(yǎng)學生列不等式能力。
采用學生熟悉的生活情境作為導入內(nèi)容,然后層層推進,步步設(shè)問,環(huán)環(huán)相扣,直至推出不等式的概念及概念理解中應(yīng)注意的地方。這樣實現(xiàn)了:讓學生從已有的數(shù)學經(jīng)驗出發(fā),從生活中建構(gòu)數(shù)學模型,為后面利用“不等式”這一模型解決生活中實際問題作好鋪墊,體現(xiàn)了數(shù)學生活化、生活
不等式課件 篇11
1、一元一次不等式的概念:一般地,不等式中只含有一個未知數(shù),未知數(shù)的次數(shù)是1,且不等式的兩邊都是整式,這樣的不等式叫做一元一次不等式。
2、解一元一次不等式的一般步驟:(1)去分母(2)去括號(3)移項(4)合并同類項(5)將x項的系數(shù)化為1
1、一元一次不等式組的概念:幾個一元一次不等式合在一起,就組成了一個一元一次不等式組。
2、幾個一元一次不等式的解集的公共部分,叫做它們所組成的一元一次不等式組的解集。
3、求不等式組的解集的過程,叫做解不等式組。
4、當任何數(shù)x都不能使不等式同時成立,我們就說這個不等式組無解或其解為空集。
3、代數(shù)式1-m的值大于-1,又不大于3,則m的取值范圍是( )
A.x≥1 B.x≥-1/2 C.x>1 D.x>-1/2
A.5+4>8 B.2x-1 C.2x-5≤1 D.1/x-3x≥0
A. a>0? B.a≥0? C.a
11、若關(guān)于x的不等式組 的解集是x>2a,則a的取值范圍是
A. a>4 B. a>2 C. a=2 D.a≥2
12、若方程組 中,若未知數(shù)x、y滿足x+y>0,則m的取值范圍是
13、不等式2(1) x>-3的解集是 。
14、用代數(shù)式表示,比x的5倍大1的數(shù)不小于x的 與4的差 。
15、若(m-3)x-1,則m .
18、某次個人象棋賽規(guī)定:贏一局得2分,平一局得0分,負一局得反扣1分。在12局比賽中,積分超過15分就可以晉升下一輪比賽,小王進入了下一輪比賽,而且在全部12輪比賽中,沒有出現(xiàn)平局,問小王最多輸 局比賽
1、定義:把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180°,如果它能夠與另一個圖形重合,那么就說這兩個圖形關(guān)于這個點對稱或中心對稱,這個點叫做對稱中心.這兩個圖形中的對應(yīng)點叫做關(guān)于中心的對稱點。
2、心對稱的兩條基本性質(zhì):
(1)關(guān)于中心對稱的兩個圖形,對稱點所連線段都經(jīng)過對稱中心,而且被對稱中心所平分。
(2)關(guān)于中心對稱的兩個圖形是全等圖形。
把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180°,如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合,那么這個圖形叫做中心對稱圖形,這個點就是它的對稱中心。
每上第一次課,我所講的課程內(nèi)容都和學生的錯題有關(guān)。我通常把試卷中的錯題摘抄出幾個典型題,作為課堂的例題再講一遍。而學生的反應(yīng),或是像沒有見過,或是對題目非常熟悉,但沒有思路。
這些現(xiàn)象的發(fā)生,都是學生沒有及時總結(jié)的原因。所以第一次課后我都建議我的學生做一個錯題本,像寫日記一樣,記錄下自己的錯題和感想。
成也審題敗也審題。如何審題呢?
(1)這個題目有哪些個已知條件?我能不能把已知條件分開?
(2)求解的目標是什么?對求解有什么要求?
(3)能不能畫一個圖幫助思考?好多問題是沒有看清楚題意致錯。審題不清,你做得越多,可能錯的就越多。
(4)所給出的已知條件相互之間有什么關(guān)系?能不能從中發(fā)現(xiàn)隱含條件?
(5)已知條件與求解目標有什么聯(lián)系?能不能從中獲得解題的思路?找到進門的門檻?
不等式課件 篇12
1.使學生感受到生活中存在著大量的不等關(guān)系,了解不等式和一元一次不等式的意義;
2.讓學生自發(fā)地尋找不等式的解,會在數(shù)軸上正確地表示出不等式的解集;
3.能夠根據(jù)題意準確迅速地列出相應(yīng)的不等式。
1.通過汽車行駛過a地這一實例的研究,使學生體會到數(shù)學來源于生活,又服務(wù)于生活,培養(yǎng)學生“學數(shù)學、用數(shù)學”的意識;
2.經(jīng)歷由具體實例建立不等模型的過程,探究不等式的解與解集的不同意義的過程,滲透數(shù)形結(jié)合的思想。
㈢情感、態(tài)度、價值觀:
1.通過對不等式、不等式的解與解集的探究,引導學生在獨立思考的基礎(chǔ)上積極參與對數(shù)學問題的討論,培養(yǎng)他們的合作交流意識;
2.讓學生充分體會到生活中處處有數(shù)學,并能將它們應(yīng)用到生活的各個領(lǐng)域中去。
3.培養(yǎng)學生類比的思想方法、數(shù)形結(jié)合的思想。
1.教學重點:不等式、一元一次不等式、不等式解與解集的意義;在數(shù)軸上正確地表示出不等式的解集;
2.教學難點:不等式解集的意義,根據(jù)題意列出相應(yīng)的不等式。
計算機、自制cai課件、實物投影儀、三角板等。
教師創(chuàng)設(shè)情境引入,學生交流探討;師生共同歸納;教師示范畫圖,課件交互式練習。
〖創(chuàng)設(shè)情境——從生活走向數(shù)學〗
[多媒體展示]“五·一黃金周”快要到了,蕪湖市某兩個商場為了促銷商品,推行以下促銷方案:①甲商場:購物不超過50元者,不優(yōu)惠;超過50元的,超過部分折優(yōu)惠。②乙商場:購物不超過100元者,不優(yōu)惠;超過100元的,超過部分九折優(yōu)惠。親愛的同學,如果五·一期間,你去購物,選擇到哪個商場,才比較合算呢?
(以上教學內(nèi)容是向?qū)W生設(shè)疑,激發(fā)學生探索問題、研究問題的積極性,可以讓學生討論一會兒)
教師:要想正確地解決這個問題,我們大家就要學習第九章《不等式和不等式組》,學完本章的內(nèi)容后,我相信,聰明的你們一定都會作出正確的選擇,真正地做到既經(jīng)濟又實惠。
首先,我們來共同學習本章的第一節(jié)課——9.1.1節(jié)《不等式及其解集》
〖新課學習〗
學習目標:
1.能感受到生活中存在著大量的不等關(guān)系,了解不等式和一元一次不等式和意義;
2.會尋找不等式的解,會在數(shù)軸上正確地表示出不等式的解集;
3.能夠根據(jù)題意準確迅速地列出相應(yīng)的不等式。
[多媒體展示一段動畫]:引例:一輛勻速行駛的汽車在11:20距離a地50千米,要在12:00之前駛過a地,車速應(yīng)滿足什么條件?
設(shè)車速是x千米/小時,
(1)從時間上看,汽車要在12:00之前駛過a地,則以這個速度行駛50千米所用的時間不到 小時,即
(2)從路程上看,汽車要在12:00之前駛過a地,則以這個速度行駛 小時的路程要超過50千米,即
請同學們觀察上面的兩個式子,式子左右兩邊的大小關(guān)系是怎樣的? 左右兩邊相等嗎?
在學生充分發(fā)表自己意見的基礎(chǔ)上,師生共同歸納得出:
用“>”或“<”號表示大小關(guān)系的式子叫做不等式;
用“≠”表示不等關(guān)系的式子也是不等式。
判斷下列式子中哪些是不等式,是不等式的請在題后的括號內(nèi)劃“√”,不是的請劃“×”
(1)3> 2????? (???? ) (2)2a+1> 0?? (???? )?? (3)a+b=b+a? (???? )
(4)x< 2x+1?? (???? )???? (5)x=2x-5??? (???? ) (6)2x+4x< 3x+1 (???? )????????? (7)15≠7+9? (???? )
上面的不等式中,有些不含未知數(shù),有些含有未知數(shù),大家把(2)、(4)、(6)式與(5)式類比,(5)式是一個一元一次方程,能不能給(2)、(4)、(6)式也起個名字呢?
含有一個未知數(shù), 未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式,叫做一元一次不等式.
問題2:車速可以是78千米/小時嗎?75千米/小時呢? 72千米/小時呢?
問題3:我們曾經(jīng)學過“使方程兩邊相等的未知數(shù)的值就是方程的解”,那么我們可以把使不等式成立的未知數(shù)的值叫做什么呢?
(師生共同歸納)使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解。
2.課堂練習二——動一動腦,動一動手,你一定能算得對。
76, 73, 79, 80, 74.9, 75.1, 90, 60
(學生做完后,師問):你還能找出這個不等式的其他的解嗎?這個不等式有多少個解?你從中發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?
(學生討論后,師生共同總結(jié)):當x>75時,不等式 x>50總成立;而當x<75或x=75時,不等式 x>50不成立,這就是說,任何一個大于75的數(shù)都是不等式 x>50的解,這樣的解有無數(shù)個。因此,x>75表示了能使不等式 x>50成立的x的取值范圍,叫做不等式 x>50的解的集合,簡稱解集。
我們再回到前面的問題,經(jīng)過剛才的分析,可以知道,要使汽車在12:00之前駛過a地,車速必須大于75千米/小時。
一個含有未知數(shù)的不等式的所有的解,組成了這個不等式的解集。
4.在數(shù)軸上表示不等式的解集;
注意:在表示75的點上畫空心圓圈,表示不包括這一點.
5.課堂練習三——動一動腦,動一動手,你一定能算得對。
判斷下列數(shù)中哪些是不等式x+3>6的解? 哪些不是?
-4, -2.5,? 0,? 1,? 2.5,? 3,? 3.2,? 4.8,? 8,? 12
求不等式的解集的過程叫做解不等式。
7.課堂練習四——看誰算得最快最準。
直接想出不等式的解集,并在數(shù)軸上表示出不等式的解集:
(1) x+3>6;??????? (2)2x<8;?? ?(3)x-2>0
解:(1)x>3;???????? (2)x<4;??? (3)x>2。
1.例用不等式表示:
(1)x與1的和是正數(shù);??????(2)的與的的差是負數(shù);
(3)的2倍與1的和大于3;(4)的一半與4的差小于的3倍.
解:(1)x+1>0;???????? (2)+b<0;
(3)2+1>3;????? (4)-4<3;
2.課堂練習五——看誰最列得又快又準。
用不等式表示:
(1)是正數(shù);??????????(2)是負數(shù);
(3)與5的和小于7;??(4)與2的差大于-1;
(5)的4倍大于8;??????(6)的一半小于3.
答案;(1)>0;??????? (2)<0;?? (3)+5>0;
學生小結(jié),師生共同完善:
2.會尋找不等式的解,會在數(shù)軸上正確地表示出不等式的解集;
3.能夠根據(jù)題意準確迅速地列出相應(yīng)的不等式。
不等式課件 篇13
教學重點:掌握不等式的三條基本性質(zhì),尤其是不等式的基本性質(zhì)3.
教學難點:正確應(yīng)用不等式的三條基本性質(zhì)進行不等式變形.
通過觀察、分析、討論,引導學生歸納總結(jié)出不等式的三條基本性質(zhì),從具體上升到理論,再由理論指導具體的練習,從而強化學生對知識的理解與掌握.
(設(shè)計說明:設(shè)置以下習題是為了溫故而知新,為學習本節(jié)內(nèi)容提供必要的知識準備.)
2、什么是不等式?
3、用“>”或“<”填空.
(教學說明: 復習等式的基本性質(zhì)后學生自然會聯(lián)想到,不等式是否有與等式相類似的性質(zhì),從而引起學生的探究欲望.接著問題3為學生探究不等式的性質(zhì)提供了載體,通過觀察,尋找規(guī)律,得出不等式的性質(zhì).)
先讓學生獨立思考,后合作交流,通過充分討論,類比等式性質(zhì)得出不等式的性質(zhì).
觀察時,引導學生注意不等號的方向,通過(1)題學生容易得出不等式性質(zhì)1:
不等式基本性質(zhì)1 不等式兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子),不等號的方向不變.
比較(2)、(3)題,注意觀察不等號方向,并思考不等號方向的改變與什么有關(guān)?由學生概括總結(jié),教師補充完善得出:
不等式基本性質(zhì)2 不等式兩邊乘(或除以)同一個不為零的正數(shù),不等號的方向不變.
不等式基本性質(zhì)3 不等式兩邊乘(或除以)同一個不為零的負數(shù),不等號的方向改變.
通過PPT用圖形演示不等式的基本性質(zhì),讓學生更加清楚地認識不等式的基本性質(zhì)。
不等式有傳遞性嗎?
【學生通過討論能夠比較容易得出結(jié)論:不等式有對稱性,但要注意其不等號方向的`變化;不等式也有傳遞性,但要注意的是同向傳遞性?!?/p>
三、鞏固訓練,熟練技能:
1、(1) a - 3____b - 3;
(3) 0.1a____0.1b;
(5) 2a+3____2b+3;
【本題目采用提問的方式,因為內(nèi)容相對簡單,所以可以迅速得到結(jié)論。要讓提問者說清楚答案,并說明利用不等式的性質(zhì)幾來進行判定的?!?/p>
(1)因為7.5>5.7,所以-7.5<-5.7;
(2)因為a+8>4,所以a>-4;
(3)因為4a>4b,所以a>b;
(4)因為-1>-2,所以-a-1>-a-2;
(5)因為3>2,所以3a>2a.
【學生口答,并說明為什么。本題重點是第5小題,要引導學生總結(jié)出a的取值會影響到答案。當a>0時,3a>2a.(不等式基本性質(zhì)2)
當 a=0時,3a=2a.當a<0時,3a<2a.(不等式基本性質(zhì)3) 】
學生自己完成以下題目,之后進行集體講解。
(1)如果x-5>-1,那么______________________,得:x>4
(2)如果-2x>3,那么那么______________________,得X=______
師生共同小結(jié)本節(jié)課所學重點,不等式的基本性質(zhì)的具體內(nèi)容。
不等式課件 篇14
基本不等式是數(shù)學中重要的一個概念,它與不等式的證明和應(yīng)用有著密切的關(guān)系?;静坏仁降慕夥ê退季S方法不僅能讓我們更好地掌握不等式的性質(zhì)和應(yīng)用,同時也能讓我們更好地解決數(shù)學中的其他問題。下面,讓我們就基本不等式這一主題展開更加深入的探討。
一、基本不等式的定義、證明和性質(zhì)
基本不等式定義:對于任意實數(shù)$x$,$y$,有$(x^2+y^2)\geq 2xy$,等號成立當且僅當$x=y$時成立。
基本不等式的證明:我們可以通過平方展開和配方進行證明,即:
$(x-y)^2\geq 0$
$x^2-2xy+y^2\geq 0$
$x^2+y^2\geq 2xy$
證畢。
基本不等式的性質(zhì):基本不等式可以用于求證其他不等式和解決實際問題,例如可以用基本不等式證明算術(shù)平均數(shù)$\ge$幾何平均數(shù),可以用基本不等式求證要想最小化一個多項式,需要使其中的各項等于彼此等于基本不等式中的相等值等。
二、基本不等式的應(yīng)用及相關(guān)例題
基本不等式的應(yīng)用廣泛,其中最常見的應(yīng)用就是在證明和求解不等式問題中。下面,我們就通過例題來展示基本不等式的具體應(yīng)用。
例題一:
已知$a,b,c$均為正實數(shù),求出$abc$與$\frac{(a+b+c)^3}{27}$的大小關(guān)系。
解:由于$a,b,c$均為正實數(shù),故可運用基本不等式進行求解,即
$\begin{aligned}
\frac{(a+b+c)}{3}\geq\sqrt[3]{abc}\
(a+b+c)^3\geq 27abc
\end{aligned}$
因此,
$\frac{(a+b+c)^3}{27}\geq abc$
即$\frac{(a+b+c)^3}{27}\geq abc$
得證。
例題二:
已知$a+b=3$,$a^2+b^2=5$,求出$a,b$的大小關(guān)系。
解:由已知條件可得$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$,即
=5+2ab$
$ab=\frac{4}{3}$
由基本不等式知得
ab=\frac{8}{3}\leq a^2+b^2=5$
即$a^2+b^2>2ab$,因此$a^2>b^2$,
又因為$a+b=3$,所以$b=3-a$,
所以$(3-a)^2
+a^2-6a
$a>\frac{3}{2}$
因此,
$a>b>\frac{3}{2}-a$
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不等式課件
發(fā)布時間:2024-02-23 不等式課件 不等式課件精選九篇。
為了促進學生掌握上課知識點,老師需要提前準備教案,老師在寫教案課件時還需要花點心思去寫。?教案和課件優(yōu)化可使教學任務(wù)的完成更加精細化。幼兒教師教育網(wǎng)小編特意為大家收集整理了“不等式課件”,歡迎參考愿您成為更好的自己!
不等式課件 篇1
不等式的性質(zhì) 教學設(shè)計
十六中 尚進軍
【教學重點與難點】
教學重點:掌握不等式的三條基本性質(zhì),尤其是不等式的基本性質(zhì)3 教學難點:正確應(yīng)用不等式的三條基本性質(zhì)進行不等式變形 【教學目標】
1、探索并掌握不等式的基本性質(zhì)
2、會用不等式的基本性質(zhì)進行化簡 【教學方法】
通過觀察、分析、討論,引導學生歸納總結(jié)出不等式的三條基本性質(zhì),從具體上升到理論,再由理論指導具體的練習,從而強化學生對知識的理解與掌握.
【教學過程】
一、創(chuàng)設(shè)情境 復習引入
(設(shè)計說明:設(shè)置以下習題是為了溫故而知新,為學習本節(jié)內(nèi)容提供必要的知識準備.)問題:
1、什么是等式?等式的基本性質(zhì)是什么?
2、什么是不等式?
3、用“>”或“<”填空.(1)3
2×5 3×5
2×(-1)3×(-1)3-5 7-5 2÷2 3÷2 2×(-5)3×(-5)3+a 7+a
2÷(-2)3÷(-2)(教學說明: 復習等式的基本性質(zhì)后學生自然會聯(lián)想到,不等式是否有與等式相類似的性質(zhì),從而引起學生的探究欲望.接著問題3為學生探究不等式的性質(zhì)提供了載體,通過觀察,尋找規(guī)律,得出不等式的性質(zhì).)
二、師生互動,探索新知
1、不等式的基本性質(zhì)
問題1:觀察思考問題3,猜想出不等式的性質(zhì)
先讓學生獨立思考,后合作交流,通過充分討論,類比等式性質(zhì)得出不等式的性質(zhì).觀察時,引導學生注意不等號的方向,通過(1)題學生容易得出不等式性質(zhì)1: 不等式基本性質(zhì)1 不等式兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子),不等號的方向不變. 比較(2)、(3)題,注意觀察不等號方向,并思考不等號方向的改變與什么有關(guān)?由學生概括總結(jié),教師補充完善得出: 不等式基本性質(zhì)2 不等式兩邊乘(或除以)同一個正數(shù),不等號的方向不變. 不等式基本性質(zhì)3 不等式兩邊乘(或除以)同一個負數(shù),不等號的方向改變.
問題2:將不等式-2<6兩邊都加上7,-9,兩邊都乘3,-3試一試,進一步驗證上面得出的三條結(jié)論. 教師 強調(diào)指出:不等式的三條基本性質(zhì)實質(zhì)上是對不等式兩邊進行“+”、“-”、“×”、“÷”四則運算,當進行“+”、“-”法時,不等號方向不變;當乘(或除以)同一個正數(shù)時,不等號方向不變;只有當乘(或除以)同一個負數(shù)時,不等號的方向才改變.
問題3:嘗試用數(shù)學式子表示不等式的三條基本性質(zhì). 學生思考出答案,教師訂正,最后得出:(1)如果a>b,那么a±c>b±c(2)如果a>b,c>0那么ac>bc(或>)(3)如果a>b,ca” 或“x26;(2)3x50;(4)-4x>3.解:(l)根據(jù)不等式基本性質(zhì)1,不等式的兩邊都加上7,不等號的方向不變. 得 x-7+7>26 +>33(2)根據(jù)不等式基本性質(zhì)1,兩邊都減去2x,不等號的方向不變,得3x-2x75,不等號的方向不變,得(4)根據(jù)不等式基本性質(zhì)3,兩邊都除以-4,不等號的方向改變,得x(教學說明:這些不等式比較簡單,可以利用不等式的性質(zhì)直接求解,從而加深對這些性質(zhì)的認識.教師板書(1)題解題過程.(2)(3)(4)題由學生在練習本上完成,指定三個學生板演,然后師生共同判斷板演是否正確.解題時要引導學生與解一元一次方程的思路進行對比,有助于加強知識之間的前后聯(lián)系,突出新知識的特點,并將原題與“x>a” 或“xc, a+c>b, b+c>a 我們現(xiàn)在求的是兩邊之差與第三邊的關(guān)系,所以由不等式的性質(zhì)1將上式變形為: 由a +b>c得a>c-b, b>c-a.同理,由a+c>b, b+c>a可得c>b-a, b>a-c,c>a-b, a>b-c.這就是說,三角形中任意兩邊之差小于第三邊.(教學說明:此問題應(yīng)用不等式的性質(zhì)由“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”得出“三角形中任意兩邊之差小于第三邊”這個與已有結(jié)論等價的新結(jié)論.“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”對應(yīng)的是三個形式一樣的不等式,而不是一個不等式.由這三個不等式再推出“三角形中任意兩邊之差小于第三邊”.為了加深學生的感性認識,可以通過測量的方法驗證這個結(jié)論.)三、鞏固訓練,熟練技能:1、如果a>b,那么(1)a-3 b-3,(2)2a 2b(3)-3a-3b,(4)a-b 0(5)(6)-b_____-、在下列各題橫線上填入不等號,并說明是根據(jù)不等式的哪一條基本性質(zhì).(1)若a–3<9,則a_____12;(2)若-a<10,則a_____–10;(3)若a>–1,則a_____–4;(4)若-a>0,則a_____0.3、利用不等式的性質(zhì)解下列不等式,并在數(shù)軸上表示解集(解未知數(shù)為x的不等式,就是要使不等式逐步化為“x>a”或“x<a”的形式)(1)x-1<0;(2)x>-x+6;(3)3x>7;(4)-x<-3.(教學說明:這些練習進一步加深了學生對不等式性質(zhì)的理解,做此練習題時,應(yīng)讓學生注意觀察它們是應(yīng)用不等式的哪條性質(zhì),是怎樣由已知變形得到的.注意應(yīng)用不等式性質(zhì)3時,不等號要改變方向.做第3題時要引導學生與解一元一次方程的思路進行對比,讓學生認識到應(yīng)用不等式的性質(zhì)1變形,相當于移項.)四、總結(jié)反思,課堂小結(jié)1、不等式的基本性質(zhì)是什么?如何用數(shù)學式子表示?2、在本節(jié)課的學習中,你還有什么疑惑? 3.主要用到的思想方法是類比思想.4.注意的問題: 當不等式兩邊同乘(或除以)同一個數(shù)時,一定要看清是正數(shù)還是負數(shù),若是負數(shù),要變兩個號,一個性質(zhì)符號,另一個是不等號,對于未給定范圍的字母,應(yīng)分情況討論.六、布置課后作業(yè):1、課本127頁練習2、課本128習題的5、6、7題 【評價與反思】通過具體的事例觀察并歸納出不等式的三條基本性質(zhì),引導學生用數(shù)學式子表示三條基本性質(zhì),同時注意將不等式的三條基本性質(zhì)與等式的基本性質(zhì)進行比較,以加深學生的理解.在教學過程中,注重培養(yǎng)學生運用類比方法觀察、分析、解決問題的能力及歸納總結(jié)概括的能力.同時培養(yǎng)了學生積極主動的參與意識和勇敢嘗試、探索的精神.
不等式課件 篇2
本節(jié)教學的重點是不等式的解集的概念及在數(shù)軸上表示不等式的解集的方法.難點為不等式的解集的概念.
相同點:定義方式相同(使方程成立的未知數(shù)的值,叫做方程的解);解的表示方法也相同.
不同點:解的個數(shù)不同,一般地,一個不等式有無數(shù)多個解,而一個方程只有一個或幾個解,例如, 能使不等式 成立,那么 是不等式的一個解,類似地 等也能使不等式 成立,它們都是不等式 的解,事實上,當 取大于 的數(shù)時,不等式 都成立,所以不等式 有無數(shù)多個解.
不等式的解與不等式的解集是兩個不同的概念,不等式的解是指滿足這個不等式的未知數(shù)的某個值,而不等式的解集,是指滿足這個不等式的未知數(shù)的所有的值,不等式的所有解組成了解集,解集中包括了每一個解.
注意:不等式的解集必須滿足兩個條件:第一,解集中的任何一個數(shù)值,都能使不等式成立;第二,解集外的任何一個數(shù)值,都不能使不等式成立.
一般地,一個含未知數(shù)的不等式有無數(shù)多個解,其解集是某個范圍,這個范圍可用一個最簡單的不等式表示出來,例如,不等式 的解集是 .
如不等式 的解集 ,可以用數(shù)軸上表示4的點的左邊部分表示,因為 包含 ,所以在表示4的點上畫實心圓.
如不等式 的解集 ,可以用數(shù)軸上表示4的點的左邊部分表示,因為 包含 ,所以在表示4的點上畫實心圈.
注意:在數(shù)軸上,右邊的點表示的數(shù)總比左邊的點表示的數(shù)大,所以在數(shù)軸上表示不等式的解集時應(yīng)牢記:大于向右畫,小于向左畫;有等號的畫實心圓點,無等號的畫空心圓圈.
1.使學生了解不等式的解集、解不等式的概念,會在數(shù)軸上表示出不等式的解集.
2.知道不等式的“解集”與方程“解”的不同點.
通過教學,使學生能夠正確地在數(shù)軸上表示出不等式的解集,并且能把數(shù)軸上的某部分數(shù)集用相應(yīng)的不等式表示.
通過講解不等式的“解集”與方程“解”的關(guān)系,向?qū)W生滲透對立統(tǒng)一的辯證觀點.
通過本節(jié)課的學習,讓學生了解不等式的解集可利用圖形來表達,滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學美.
2.學生學法:明確不等式的解與解集的區(qū)別和聯(lián)系,并能熟練地用數(shù)軸表示不等式的解集,在數(shù)軸上表示不等式的解集時,要特別注意:大于向右畫,小于向左畫;有等號的畫實心圓點,無等號的畫空心圓圈.
不等式課件 篇3
基本不等式是數(shù)學中一個重要的基礎(chǔ)公式,也是高中數(shù)學學習的重點之一。此公式廣泛應(yīng)用于各種求證、排列、組合、概率等數(shù)學問題中,具有廣泛的實際應(yīng)用價值。本文將圍繞基本不等式的定義、推導、應(yīng)用和解題技巧進行講解。
一、基本不等式的定義
基本不等式又稱柯西-施瓦茨不等式,其一般形式為:
∣∣∣∣∑iaibi∣∣∣∣∣≤∣∣∣∣∑iai∣∣∣∣∣∣∣∣∣∑ibi∣∣∣∣∣
其中a1,a2,…,an和b1,b2,…,bn為任意實數(shù)。該不等式的本質(zhì)含義是,在平面直角坐標系中,向量間的內(nèi)積不大于它們模的乘積之積,并且當且僅當向量線性相關(guān)時取等號。
二、基本不等式的推導
基本不等式的推導涉及到向量的概念。假設(shè)有兩個n維向量a和b,它們的內(nèi)積為∑iaibi,則它們的長度分別為:|a|=√∑iai2和|b|=√∑ibi2。
將a和b定義為Rn中的兩個向量,則它們的夾角為θ,則有:
cosθ=∑iaibi/|a||b|
通過分析cosθ的大小關(guān)系,顯然有:
?1≤cosθ≤1
進一步得到基本不等式:
|∑iaibi|≤∣∣∣∣∑iai∣∣∣∣∣∣∣∣∑ibi∣∣∣∣∣
三、基本不等式的應(yīng)用
基本不等式廣泛應(yīng)用于各種求證、排列、組合、概率等數(shù)學問題中,下面將分別介紹它們的應(yīng)用。
1. 求證
基本不等式可以用于求證數(shù)學中的一些定理,比如互余等比數(shù)列的和定理。具體應(yīng)用時,我們可以將等比數(shù)列拆成兩個向量,然后應(yīng)用基本不等式即可得到所證定理。
2. 排列組合
在排列組合問題中,基本不等式可以幫助我們確定最優(yōu)解,以最小或最大值為目標得到所需的數(shù)字。例如,在n個數(shù)字中有幾對數(shù)對,他們之間的差值恰好為k,可以通過將原問題轉(zhuǎn)換為求兩個向量之間的夾角,然后應(yīng)用基本不等式進行求解。
3. 概率
在概率問題中,基本不等式可以用于推算隨機事件中不等的概率值,例如玩牌游戲中的胡牌概率等。我們可以將每個事件看作向量,然后使用基本不等式計算它們的夾角,從而得到相應(yīng)的概率值。
四、基本不等式的解題技巧
基本不等式的應(yīng)用需要掌握一些解題技巧。下面列舉一些常用的技巧:
1. 將數(shù)列表示成向量
在排列組合問題中,將數(shù)列表示成向量,有利于方便運用基本不等式進行計算。
2. 極小化或極大化
當問題中要求最小或最大值時,我們可以使用極小化或極大化的思路,以求解最優(yōu)解。
3. 利用對稱性
當有對稱條件時,可以運用基本不等式中的對稱性質(zhì),簡化數(shù)學推理。
4. 運用方法的差異性
在某些情況下,我們可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)在大小方面的差異,從而確定使用哪個方法進行計算。
綜上所述,基本不等式是高中數(shù)學學習的重點之一,應(yīng)用范圍廣泛。掌握了基本不等式的定義、推導、應(yīng)用和解題技巧,能夠在數(shù)學競賽中取得更好的成績,也有利于我們理解、應(yīng)用其它數(shù)學定理。
不等式課件 篇4
《不等式的性質(zhì)(1)》教學設(shè)計
一、引入
展示任務(wù)單的數(shù)據(jù)分析,向?qū)W生明確本堂課的教學內(nèi)容。
二、預(yù)習檢測
學生回答“什么是不等式的性質(zhì)” 不等式的性質(zhì)1 不等式兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子),不等號的方向不變 不等式的性質(zhì)2 不等式兩邊乘(或除以)同一個正數(shù),不等號的方向不變 不等式的性質(zhì)3 不等式兩邊乘(或除以)同一個負數(shù),不等號的方向改變
三、應(yīng)用1:利用不等式的性質(zhì)比較大小
【例1】若a?b,判斷3?2a與3?2b的大小關(guān)系.小結(jié):利用不等式的性質(zhì)比較大小的一般思路: 利用不等式的性質(zhì)將“已知”逐步化成“目標
(1)教師對任務(wù)單中錯誤率較高的題目進行講解;
(2)設(shè)置類似的問題作為例題,并進行鞏固訓練和變式訓練。
【鞏固】(1)若3a?4?3b?4,則a___b;(2)若?5a?7??5b?7,則a___?b,則: 【變式一】若 ①(k2?1)a___(k2?1)b ②1?k2a___1?k2b
【變式二】若a?b,試比較ka與kb的大小.【鞏固】(1)若a?b,且(k?1)a?(k?1)b,則k的取值范圍是______.1(2)由kx?1變形可得x?,則k的取值范圍是________.k
四、應(yīng)用2:利用不等式的性質(zhì)解不等式
(1)針對任務(wù)單中學生解不等式時在步驟中出現(xiàn)的問題,教師規(guī)范解題步驟;
(2)教師分享某位同學任務(wù)單中對“不等式的性質(zhì)與等式性質(zhì)的異同?”的回答,小組討論利用不等式的性質(zhì)解不等式步驟中需要注意的問題;(3)學生綜合范例和討論結(jié)果,進行鞏固訓練和變式訓練?!纠?】利用不等式的性質(zhì)解不等式:4y?12??2?3y.【鞏固】13用不等式的性質(zhì)解不等式:y?2?y?522 【變式】13已知y?2?y?5,化簡y?3?(6?2y)
五、課堂小結(jié)
小組討論分享:通過本節(jié)課的學習,“我知道了??”“我掌握了??”。
六、課堂檢測
學生獨立完成課堂檢測,由數(shù)據(jù)反饋出本堂課的達成度
七、課后思考 布置課后思考題
利用不等式性質(zhì)1,比較2a與a的大小(a?0).2,比較2a與a的大?。╝?0).利用不等式性質(zhì)
不等式課件 篇5
基本不等式是中學數(shù)學中比較重要的知識點,它是一條數(shù)學公式,可以用來證明數(shù)學上的不等式問題。在中學階段,我們通常會學習到關(guān)于基本不等式的概念、性質(zhì)以及應(yīng)用等方面的知識。接下來,本篇文章將圍繞這一主題展開,詳細說明基本不等式的相關(guān)知識點和應(yīng)用場景。
一、基本不等式的概念和性質(zhì)
基本不等式實際上是針對于a、b兩個正實數(shù)而言的,它的數(shù)學表述為:(a+b)2≥4ab 。 這個公式被稱為基本不等式的“基本式”。同時,在這個式子中,等號成立的條件是a=b時。接下來,讓我們來看看基本不等式的一些性質(zhì)。
1.基本不等式的證明:
(a+b)2=a2+2ab+b2≥4ab (由于a2+b2≥2ab)
化簡得:a2+b2≥2ab,即(a-b)2≥0,結(jié)合等式左側(cè)兩邊同時加上4ab,則得到公式(a+b)2≥4ab,也就是基本不等式。
2. 基本不等式的解釋:
從式子來看,基本不等式的左邊是一個完全平方數(shù),即(a+b)2。右邊是4ab。又因為基本不等式中的變量a和b都是正實數(shù),所以無論a和b的大小關(guān)系如何,四倍的乘積4ab一定是大于等于a2+b2、即2ab的。因此,我們可以得到基本不等式的結(jié)論:(a+b)2≥4ab。
3. 基本不等式的應(yīng)用:
基本不等式有非常廣泛的應(yīng)用,其中一些典型的應(yīng)用場景包括以下幾種:
a. 使用基本不等式證明其他不等式:
比如,對于x、y兩個正實數(shù),我們可以將不等式(x-y)2≥0 化簡為x2+y2≥2xy 的形式,然后用上基本不等式,即可快速證明(x-y)2≥0 成立。
b. 使用基本不等式解決實際問題:
比如,用4米長的繩子圍成一個矩形獸欄,求獸欄能夠圍住的最大面積是多少? 我們可以將這個問題轉(zhuǎn)換為求:4m邊長的正方形對面提醒獸欄的最大面積問題。此時,我們可以利用基本不等式,推導出正方形的對角線最大長度即為4√2米,由此可以得出此時正方形的面積即為16平方米,也就是獸欄的最大面積。
c. 使用基本不等式驗證一些數(shù)學結(jié)論:
比如,我們可以利用基本不等式來驗證任意兩個正實數(shù)的平均數(shù)一定大于等于它們的幾何平均數(shù)。 具體的,對于兩個正實數(shù)a和b,我們可以推導得到:
(a+b)2≥4ab
(a+b)2/4≥ab
(√ab+√ab)2/4≥ab
(?ab) ≥ (a+b)/2
由此可得,兩個正實數(shù)的平均數(shù)一定大于等于它們的幾何平均數(shù),即( a+b)/2≥?ab。
二、基本不等式的應(yīng)用實例
1.題目描述:
小峰有若干元錢,他能夠涵蓋八天的生活物資開銷?,F(xiàn)在,他去買菜了,花掉了R元錢,求他能不能仍然用這筆錢過完余下的那幾天。
2.解題思路:
我們可以設(shè)小峰剩下的錢數(shù)為x,應(yīng)該取得一個不等式來表示這個問題。具體地,設(shè)日均消費為m(m 一定是小于R/x 和x/8之間較小數(shù)),則從第9天開始,小峰所存的錢應(yīng)數(shù)學表達式為:
x-R≥m*(8),
x≥m*(8)+R
這是一個關(guān)于x的不等式,為驗證其是否成立,我們需要對它進行推導。為了推導方便,我們將不等式變形如下:
m*(8)+R≤x
然后,我們可以利用基本不等式將其化簡為如下形式:
(mx/?8)^2+(Rx/?8)^2≥2mRx/4
由于 x>0,所以令 t = x/?8,則上式化簡為:
(m/2)t^2+(R/2)^2≥tmR
或者
(t-R/m)^2+(m/2)^2≥R^2/ 4m^2
根據(jù)上面的式子,我們可以得出,只要 t≥R/m,即x≥m*(8)+R,則小峰就有足夠的錢過余下的幾天生活了。
3.綜述
基本不等式是非常重要的中學數(shù)學知識點,它不僅有較為實際的應(yīng)用場景,還能用于證明和推導其他數(shù)學結(jié)論。在學習基本不等式的時候,我們需要注意,對于不等式的變量,要理解它們所表示的實際含義和邏輯關(guān)系,從而更好地應(yīng)用基本不等式來解決實際問題。
不等式課件 篇6
本節(jié)課的研究是對初中不等式學習的延續(xù)和拓展,也是實數(shù)理論的進一步發(fā)展.在本節(jié)課的學習過程中,將讓學生回憶實數(shù)的基本理論,并能用實數(shù)的基本理論來比較兩個代數(shù)式的大小.
通過本節(jié)課的學習,讓學生從一系列的具體問題情境中,感受到在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系,并充分認識不等關(guān)系的存在與應(yīng)用.對不等關(guān)系的相關(guān)素材,用數(shù)學觀點進行觀察、歸納、抽象,完成量與量的比較過程.即能用不等式或不等式組把這些不等關(guān)系表示出來.
在本節(jié)課的學習過程中還安排了一些簡單的、學生易于處理的問題,其用意在于讓學生注意對數(shù)學知識和方法的應(yīng)用,同時也能激發(fā)學生的學習興趣,并由衷地產(chǎn)生用數(shù)學工具研究不等關(guān)系的愿望.根據(jù)本節(jié)課的教學內(nèi)容,應(yīng)用再現(xiàn)、回憶得出實數(shù)的基本理論,并能用實數(shù)的基本理論來比較兩個代數(shù)式的大小.
在本節(jié)教學中,教師可讓學生閱讀書中實例,充分利用數(shù)軸這一簡單的數(shù)形結(jié)合工具,直接用實數(shù)與數(shù)軸上點的一一對應(yīng)關(guān)系,從數(shù)與形兩方面建立實數(shù)的順序關(guān)系.要在溫故知新的基礎(chǔ)上提高學生對不等式的認識.
1.在學生了解不等式產(chǎn)生的實際背景下,利用數(shù)軸回憶實數(shù)的基本理論,理解實數(shù)的大小關(guān)系,理解實數(shù)大小與數(shù)軸上對應(yīng)點位置間的關(guān)系.
2.會用作差法判斷實數(shù)與代數(shù)式的大小,會用配方法判斷二次式的大小和范圍.
3.通過溫故知新,提高學生對不等式的認識,激發(fā)學生的學習興趣,體會數(shù)學的奧秘與數(shù)學的結(jié)構(gòu)美.
教學重點:比較實數(shù)與代數(shù)式的大小關(guān)系,判斷二次式的大小和范圍.
思路1.(章頭圖導入)通過多媒體展示衛(wèi)星、飛船和一幅山巒重疊起伏的壯觀畫面,它將學生帶入“橫看成嶺側(cè)成峰,遠近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中,使學生在具體情境中感受到不等關(guān)系在現(xiàn)實世界和日常生活中是大量存在的,由此產(chǎn)生用數(shù)學研究不等關(guān)系的強烈愿望,自然地引入新課.
思路2.(情境導入)列舉出學生身體的高矮、身體的輕重、距離學校路程的遠近、百米賽跑的時間、數(shù)學成績的多少等現(xiàn)實生活中學生身邊熟悉的事例,描述出某種客觀事物在數(shù)量上存在的不等關(guān)系.這些不等關(guān)系怎樣在數(shù)學上表示出來呢?讓學生自由地展開聯(lián)想,教師組織不等關(guān)系的相關(guān)素材,讓學生用數(shù)學的觀點進行觀察、歸納,使學生在具體情境中感受到不等關(guān)系與相等關(guān)系一樣,在現(xiàn)實世界和日常生活中大量存在著.這樣學生會由衷地產(chǎn)生用數(shù)學工具研究不等關(guān)系的愿望,從而進入進一步的探究學習,由此引入新課.
1回憶初中學過的不等式,讓學生說出“不等關(guān)系”與“不等式”的異同.怎樣利用不等式研究及表示不等關(guān)系?
2在現(xiàn)實世界和日常生活中,既有相等關(guān)系,又存在著大量的不等關(guān)系.你能舉出一些實際例子嗎?
3數(shù)軸上的任意兩點與對應(yīng)的兩實數(shù)具有怎樣的關(guān)系?
4任意兩個實數(shù)具有怎樣的關(guān)系?用邏輯用語怎樣表達這個關(guān)系?
活動:教師引導學生回憶初中學過的不等式概念,使學生明確“不等關(guān)系”與“不等式”的異同.不等關(guān)系強調(diào)的是關(guān)系,可用符號“>”“b”“a
教師與學生一起舉出我們?nèi)粘I钪胁坏汝P(guān)系的例子,可讓學生充分合作討論,使學生感受到現(xiàn)實世界中存在著大量的不等關(guān)系.在學生了解了一些不等式產(chǎn)生的實際背景的前提下,進一步學習不等式的有關(guān)內(nèi)容.
實例1:某天的天氣預(yù)報報道,最高氣溫32 ℃,最低氣溫26 ℃.
實例2:對于數(shù)軸上任意不同的兩點A、B,若點A在點B的左邊,則xA
實例5:三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊.
實例6:限速40 km/h的路標指示司機在前方路段行駛時,應(yīng)使汽車的速度v不超過40 km/h.
實例7:某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定,酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不少于2.5%,蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于2.3%.
教師進一步點撥:能夠發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學當然很好,這說明同學們已經(jīng)走進了數(shù)學這門學科,但作為我們研究數(shù)學的人來說,能用數(shù)學的眼光、數(shù)學的觀點進行觀察、歸納、抽象,完成這些量與量的比較過程,這是我們每個研究數(shù)學的人必須要做的,那么,我們可以用我們所研究過的什么知識來表示這些不等關(guān)系呢?學生很容易想到,用不等式或不等式組來表示這些不等關(guān)系.那么不等式就是用不等號將兩個代數(shù)式連結(jié)起來所成的式子.如-71+4,2x≤6,a+2≥0,3≠4,0≤5等.
教師引導學生將上述的7個實例用不等式表示出來.實例1,若用t表示某天的氣溫,則26 ℃≤t≤32 ℃.實例3,若用x表示一個非負數(shù),則x≥0.實例5,|AC|+|BC|>|AB|,如下圖.
|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.
|AB|-|BC|
實例6,若用v表示速度,則v≤40 km/h.實例7,f≥2.5%,p≥2.3%.對于實例7,教師應(yīng)點撥學生注意酸奶中的脂肪含量與蛋白質(zhì)含量需同時滿足,避免寫成f≥2.5%或p≥2.3%,這是不對的.但可表示為f≥2.5%且p≥2.3%.
對以上問題,教師讓學生輪流回答,再用投影儀給出課本上的兩個結(jié)論.
討論結(jié)果:
(1)(2)略;(3)數(shù)軸上任意兩點中,右邊點對應(yīng)的實數(shù)比左邊點對應(yīng)的實數(shù)大.
(4)對于任意兩個實數(shù)a和b,在a=b,a>b,a0a>b;a-b=0a=b;a-b
活動:通過兩例讓學生熟悉兩個代數(shù)式的大小比較的基本方法:作差,配方法.
點評:本節(jié)兩例的求解,是借助因式分解和應(yīng)用配方法完成的,這兩種方法是代數(shù)式變形時經(jīng)常使用的方法,應(yīng)讓學生熟練掌握.
1.若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,則f(x)與g(x)的大小關(guān)系是( )
解析:f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0,∴f(x)>g(x).
2.已知x≠0,比較(x2+1)2與x4+x2+1的大小.
解:由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.
∵x≠0,得x2>0.從而(x2+1)2>x4+x2+1.
例2比較下列各組數(shù)的大小(a≠b).
(1)a+b2與21a+1b(a>0,b>0);
(2)a4-b4與4a3(a-b).
活動:比較兩個實數(shù)的大小,常根據(jù)實數(shù)的運算性質(zhì)與大小順序的關(guān)系,歸結(jié)為判斷它們的差的符號來確定.本例可由學生獨立完成,但要點撥學生在最后的符號判斷說理中,要理由充分,不可忽略這點.
解:(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=a+b2-4ab2a+b=a-b22a+b.
∵a>0,b>0且a≠b,∴a+b>0,(a-b)2>0.∴a-b22a+b>0,即a+b2>21a+1b.
(2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)
=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]
=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2].
∵2a2+(a+b)2≥0(當且僅當a=b=0時取等號),
又a≠b,∴(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0.∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2]
∴a4-b4
點評:比較大小常用作差法,一般步驟是作差——變形——判斷符號.變形常用的手段是分解因式和配方,前者將“差”變?yōu)椤胺e”,后者將“差”化為一個或幾個完全平方式的“和”,也可兩者并用.
已知x>y,且y≠0,比較xy與1的大小.
活動:要比較任意兩個數(shù)或式的大小關(guān)系,只需確定它們的差與0的大小關(guān)系.
∵x>y,∴x-y>0.
當y
當y>0時,x-yy>0,即xy-1>0.∴xy>1.
點評:當字母y取不同范圍的值時,差xy-1的正負情況不同,所以需對y分類討論.
例3建筑設(shè)計規(guī)定,民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積.但按采光標準,窗戶面積與地板面積的比值應(yīng)不小于10%,且這個比值越大,住宅的采光條件越好.試問:同時增加相等的窗戶面積和地板面積,住宅的采光條件是變好了,還是變壞了?請說明理由.
活動:解題關(guān)鍵首先是把文字語言轉(zhuǎn)換成數(shù)學語言,然后比較前后比值的大小,采用作差法.
解:設(shè)住宅窗戶面積和地板面積分別為a、b,同時增加的面積為m,根據(jù)問題的要求a
由于a+mb+m-ab=mb-abb+m>0,于是a+mb+m>ab.又ab≥10%,
因此a+mb+m>ab≥10%.
所以同時增加相等的窗戶面積和地板面積后,住宅的采光條件變好了.
點評:一般地,設(shè)a、b為正實數(shù),且a0,則a+mb+m>ab.
已知a1,a2,…為各項都大于零的等比數(shù)列,公比q≠1,則( )
C.a1+a8=a4+a5 D.a1+a8與a4+a5大小不確定
解析:(a1+a8)-(a4+a5)=a1+a1q7-a1q3-a1q4
=a1[(1-q3)-q4(1-q3)]=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q)(1+q2).
∵{an}各項都大于零,∴q>0,即1+q>0.
又∵q≠1,∴(a1+a8)-(a4+a5)>0,即a1+a8>a4+a5.
1.下列不等式:①a2+3>2a;②a2+b2>2(a-b-1);③x2+y2>2xy.其中恒成立的不等式的個數(shù)為( )
2.比較2x2+5x+9與x2+5x+6的大小.
答案:
1.C解析:∵②a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,
③x2+y2-2xy=(x-y)2≥0.
∴只有①恒成立.
2.解:因為2x2+5x+9-(x2+5x+6)=x2+3>0,
所以2x2+5x+9>x2+5x+6.
1.教師與學生共同完成本節(jié)課的小結(jié),從實數(shù)的基本性質(zhì)的回顧,到兩個實數(shù)大小的比較方法;從例題的活動探究點評,到緊跟著的變式訓練,讓學生去繁就簡,聯(lián)系舊知,將本節(jié)課所學納入已有的知識體系中.
2.教師畫龍點睛,點撥利用實數(shù)的基本性質(zhì)對兩個實數(shù)大小比較時易錯的地方.鼓勵學有余力的學生對節(jié)末的思考與討論在課后作進一步的探究.
1.本節(jié)設(shè)計關(guān)注了教學方法的優(yōu)化.經(jīng)驗告訴我們:課堂上應(yīng)根據(jù)具體情況,選擇、設(shè)計最能體現(xiàn)教學規(guī)律的教學過程,不宜長期使用一種固定的教學方法,或原封不動地照搬一種實驗?zāi)J?各種教學方法中,沒有一種能很好地適應(yīng)一切教學活動.也就是說,世上沒有萬能的教學方法.針對個性,靈活變化,因材施教才是成功的施教靈藥.
2.本節(jié)設(shè)計注重了難度控制.不等式內(nèi)容應(yīng)用面廣,可以說與其他所有內(nèi)容都有交匯,歷來是高考的重點與熱點.作為本章開始,可以適當開闊一些,算作拋磚引玉,讓學生有個自由探究聯(lián)想的平臺,但不宜過多向外拓展,以免對學生產(chǎn)生負面影響.
3.本節(jié)設(shè)計關(guān)注了學生思維能力的訓練.訓練學生的思維能力,提升思維的品質(zhì),是數(shù)學教師直面的重要課題,也是中學數(shù)學教育的主線.采用一題多解有助于思維的發(fā)散性及靈活性,克服思維的僵化.變式訓練教學又可以拓展學生思維視野的廣度,解題后的點撥反思有助于學生思維批判性品質(zhì)的提升.
1.比較(x-3)2與(x-2)(x-4)的大小.
2.試判斷下列各對整式的大?。?1)m2-2m+5和-2m+5;(2)a2-4a+3和-4a+1.
5.設(shè)a>0,b>0,且a≠b,試比較aabb與abba的大小.
∴(x-3)2>(x-2)(x-4).
=m2.
∵m2≥0,∴(m2-2m+5)-(-2m+5)≥0.
∴m2-2m+5≥-2m+5.
=a2+2.
∵a2≥0,∴a2+2≥2>0.
∴a2-4a+3>-4a+1.
=x24,
又∵x>0,∴x24>0.
∴(1+x2)2>(1+x)2.
由x>0,得1+x2>1+x.
=(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]
=-2xy(x-y).
∵x0,x-y
∴-2xy(x-y)>0.
∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).
5.解:∵aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b,且a≠b,
當a>b>0時,ab>1,a-b>0,
則(ab)a-b>1,于是aabb>abba.
則(ab)a-b>1.
于是aabb>abb a.
綜上所述,對于不相等的正數(shù)a、b,都有aabb>abba.
不等式課件 篇7
《課題:實際問題與一元一次不等式》教學設(shè)計
【教學目標】:
1.通過列一元一次不等式解決具有不等關(guān)系的實際問題,進一步熟練掌握一元一次不等式的解法,體會不等式是解決實際問題的有效的數(shù)學模型。
2.通過應(yīng)用一元一次不等式解決實際問題,進一步強化應(yīng)用數(shù)學的意識,從而使學生樂于接觸社會環(huán)境中的數(shù)學信息,談?wù)摂?shù)學話題,能夠在數(shù)學活動中發(fā)揮積極作用。
3.通過探究,增進學生之間的配合,培養(yǎng)學生敢于面對困難和克服困難的勇氣,樹立學好數(shù)學的自信心。
【重點難點】:
重點:由實際問題中的不等關(guān)系列出不等式。
難點:列一元一次不等式描述實際問題中的不等關(guān)系
【教學過程】:
回顧舊知、引入新課
師:之前我們學習過利用一元一次方程解決生活中的銷售問題,現(xiàn)在李老師就來考考大家,請看第一題:
出示幻燈片1
1.一種商品標價100元,按標價的8折出售,若想單件商品獲利10元,設(shè)進價為x元,則可列等式。
(學生解決并給出合理解釋)
師:那我們一起來回顧一下利用一元一次方程解決實際問題的基本步驟是什么?
學生回答后,教師總結(jié):
利用一元一次方程解決實際問題的一般步驟:
審、設(shè)、列、解、答
師:好!請看第二題:
2.一種商品標價100元,按標價的8折出售,若想單件商品獲利不低于10元,設(shè)進價為x元,則。
師:相較于第一題,題目發(fā)生了什么變化?
學生抓住關(guān)鍵詞“不低于”,列出不等式。
師:找到不等關(guān)系,列一元一次不等式也是解決實際問題的常用方法。今天,我們就來學習實際問題與一元一次不等式。
出示幻燈片
2小組討論、探究新知
師:馬上就要過春節(jié)了,想要給自己準備什么禮物?
師:老師也想給可愛的兒子買禮物,通過考察,已經(jīng)知道有兩家超市正在舉行優(yōu)惠活動,咱們一起去逛一逛,好不好?
出示幻燈片3
甲超市說:凡在本超市累計購買100元商品后,再購買的商品按原價的90%收費。
乙超市:凡在本超市累計購買50元商品后,再購買的商品按原價的95%收費
師:李老師覺得甲超市優(yōu)惠,因為打9折?你的意見呢?
(學生發(fā)表自己的意見)
師:剛才幾位同學表達了自己的觀點,可是這僅僅是我們的猜想,解決問題不能只靠猜想,運用數(shù)學知識該如何解決這個問題呢?
出示幻燈片
4下面老師就把時間交給大家,4人一小組展開討論,到底該選擇哪家超市購買才能獲得更大優(yōu)惠?
(學生討論的過程中,教師主要巡視并和學生共同探究。)
經(jīng)過探討,小組形成初步想法,小組派代表分享討論結(jié)果,逐一解決列表達式、分類、建模列不等式、解不等式等題目中難點,教師以板書形式將結(jié)果呈現(xiàn)在黑板上,并引導學生補充,完善解題過程,并利用多媒體進行展示。
學以致用 挑戰(zhàn)自我?guī)煟和瑢W們理解得非常到位!那么再碰到類似的問題你能解決了嗎?
出示幻燈片
5我校計劃在暑假期間組織學生到某地旅游,參加旅游的人數(shù)估計為10~25人,甲、乙兩家旅行社的服務(wù)質(zhì)量相同,且報價都是每人200元.經(jīng)過協(xié)商:甲旅行社表示可給予每位學生七五折優(yōu)惠;乙旅行社表示可先免去一位學生的旅游費用,其余學生八折優(yōu)惠.我校選擇哪一家旅行社支付的旅游費用較少?
學生獨立思考后進行小組討論,選代表上黑板展示。
梳理過程 總結(jié)提高
教師引導學生回顧兩道題的解題過程,談?wù)劔@得的感悟,學生獨立思考片刻后進行小組交流討論。
出示幻燈片6
回顧這個問題的解題過程,你有哪些感悟呢?
例如:我感受最深的是??
我感到最困難的是??
我發(fā)現(xiàn)生活中??
我學會了??
布置作業(yè) 測評反饋
出示幻燈片7
作業(yè):
一、在市場上收集兩種手機收費方式,幫爸爸(媽媽)選擇一種合適的消費方式.二、習題(134頁)1.(1)(2)5.
不等式課件 篇8
1.使學生感受到生活中存在著大量的不等關(guān)系,了解不等式和一元一次不等式的意義;
2.讓學生自發(fā)地尋找不等式的解,會在數(shù)軸上正確地表示出不等式的解集;
3.能夠根據(jù)題意準確迅速地列出相應(yīng)的不等式。
1.通過汽車行駛過a地這一實例的研究,使學生體會到數(shù)學來源于生活,又服務(wù)于生活,培養(yǎng)學生“學數(shù)學、用數(shù)學”的意識;
2.經(jīng)歷由具體實例建立不等模型的過程,探究不等式的解與解集的不同意義的過程,滲透數(shù)形結(jié)合的思想。
㈢情感、態(tài)度、價值觀:
1.通過對不等式、不等式的解與解集的探究,引導學生在獨立思考的基礎(chǔ)上積極參與對數(shù)學問題的討論,培養(yǎng)他們的合作交流意識;
2.讓學生充分體會到生活中處處有數(shù)學,并能將它們應(yīng)用到生活的各個領(lǐng)域中去。
3.培養(yǎng)學生類比的思想方法、數(shù)形結(jié)合的思想。
1.教學重點:不等式、一元一次不等式、不等式解與解集的意義;在數(shù)軸上正確地表示出不等式的解集;
2.教學難點:不等式解集的意義,根據(jù)題意列出相應(yīng)的不等式。
計算機、自制cai課件、實物投影儀、三角板等。
教師創(chuàng)設(shè)情境引入,學生交流探討;師生共同歸納;教師示范畫圖,課件交互式練習。
〖創(chuàng)設(shè)情境——從生活走向數(shù)學〗
[多媒體展示]“五·一黃金周”快要到了,蕪湖市某兩個商場為了促銷商品,推行以下促銷方案:①甲商場:購物不超過50元者,不優(yōu)惠;超過50元的,超過部分折優(yōu)惠。②乙商場:購物不超過100元者,不優(yōu)惠;超過100元的,超過部分九折優(yōu)惠。親愛的同學,如果五·一期間,你去購物,選擇到哪個商場,才比較合算呢?
(以上教學內(nèi)容是向?qū)W生設(shè)疑,激發(fā)學生探索問題、研究問題的積極性,可以讓學生討論一會兒)
教師:要想正確地解決這個問題,我們大家就要學習第九章《不等式和不等式組》,學完本章的內(nèi)容后,我相信,聰明的你們一定都會作出正確的選擇,真正地做到既經(jīng)濟又實惠。
首先,我們來共同學習本章的第一節(jié)課——9.1.1節(jié)《不等式及其解集》
〖新課學習〗
學習目標:
1.能感受到生活中存在著大量的不等關(guān)系,了解不等式和一元一次不等式和意義;
2.會尋找不等式的解,會在數(shù)軸上正確地表示出不等式的解集;
3.能夠根據(jù)題意準確迅速地列出相應(yīng)的不等式。
[多媒體展示一段動畫]:引例:一輛勻速行駛的汽車在11:20距離a地50千米,要在12:00之前駛過a地,車速應(yīng)滿足什么條件?
設(shè)車速是x千米/小時,
(1)從時間上看,汽車要在12:00之前駛過a地,則以這個速度行駛50千米所用的時間不到 小時,即
(2)從路程上看,汽車要在12:00之前駛過a地,則以這個速度行駛 小時的路程要超過50千米,即
請同學們觀察上面的兩個式子,式子左右兩邊的大小關(guān)系是怎樣的? 左右兩邊相等嗎?
在學生充分發(fā)表自己意見的基礎(chǔ)上,師生共同歸納得出:
用“>”或“<”號表示大小關(guān)系的式子叫做不等式;
用“≠”表示不等關(guān)系的式子也是不等式。
判斷下列式子中哪些是不等式,是不等式的請在題后的括號內(nèi)劃“√”,不是的請劃“×”
(1)3> 2????? (???? ) (2)2a+1> 0?? (???? )?? (3)a+b=b+a? (???? )
(4)x< 2x+1?? (???? )???? (5)x=2x-5??? (???? ) (6)2x+4x< 3x+1 (???? )????????? (7)15≠7+9? (???? )
上面的不等式中,有些不含未知數(shù),有些含有未知數(shù),大家把(2)、(4)、(6)式與(5)式類比,(5)式是一個一元一次方程,能不能給(2)、(4)、(6)式也起個名字呢?
含有一個未知數(shù), 未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式,叫做一元一次不等式.
問題2:車速可以是78千米/小時嗎?75千米/小時呢? 72千米/小時呢?
問題3:我們曾經(jīng)學過“使方程兩邊相等的未知數(shù)的值就是方程的解”,那么我們可以把使不等式成立的未知數(shù)的值叫做什么呢?
(師生共同歸納)使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解。
2.課堂練習二——動一動腦,動一動手,你一定能算得對。
76, 73, 79, 80, 74.9, 75.1, 90, 60
(學生做完后,師問):你還能找出這個不等式的其他的解嗎?這個不等式有多少個解?你從中發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?
(學生討論后,師生共同總結(jié)):當x>75時,不等式 x>50總成立;而當x<75或x=75時,不等式 x>50不成立,這就是說,任何一個大于75的數(shù)都是不等式 x>50的解,這樣的解有無數(shù)個。因此,x>75表示了能使不等式 x>50成立的x的取值范圍,叫做不等式 x>50的解的集合,簡稱解集。
我們再回到前面的問題,經(jīng)過剛才的分析,可以知道,要使汽車在12:00之前駛過a地,車速必須大于75千米/小時。
一個含有未知數(shù)的不等式的所有的解,組成了這個不等式的解集。
4.在數(shù)軸上表示不等式的解集;
注意:在表示75的點上畫空心圓圈,表示不包括這一點.
5.課堂練習三——動一動腦,動一動手,你一定能算得對。
判斷下列數(shù)中哪些是不等式x+3>6的解? 哪些不是?
-4, -2.5,? 0,? 1,? 2.5,? 3,? 3.2,? 4.8,? 8,? 12
求不等式的解集的過程叫做解不等式。
7.課堂練習四——看誰算得最快最準。
直接想出不等式的解集,并在數(shù)軸上表示出不等式的解集:
(1) x+3>6;??????? (2)2x<8;?? ?(3)x-2>0
解:(1)x>3;???????? (2)x<4;??? (3)x>2。
1.例用不等式表示:
(1)x與1的和是正數(shù);??????(2)的與的的差是負數(shù);
(3)的2倍與1的和大于3;(4)的一半與4的差小于的3倍.
解:(1)x+1>0;???????? (2)+b<0;
(3)2+1>3;????? (4)-4<3;
2.課堂練習五——看誰最列得又快又準。
用不等式表示:
(1)是正數(shù);??????????(2)是負數(shù);
(3)與5的和小于7;??(4)與2的差大于-1;
(5)的4倍大于8;??????(6)的一半小于3.
答案;(1)>0;??????? (2)<0;?? (3)+5>0;
學生小結(jié),師生共同完善:
2.會尋找不等式的解,會在數(shù)軸上正確地表示出不等式的解集;
3.能夠根據(jù)題意準確迅速地列出相應(yīng)的不等式。
不等式課件 篇9
不等式的性質(zhì)(2)教學目標
1.知識與技能:理解不等式的性質(zhì),會解簡單的一元一次不等式,并能在數(shù)軸上表示出解集。
2.過程與方法:通過經(jīng)歷不等式性質(zhì)的簡單應(yīng)用,積累數(shù)學活動。通過獨立解題,進一步理解不等式的性質(zhì),體會不等式性質(zhì)的價值。
3.情感態(tài)度和價值觀:認識到通過觀察、實驗、類比可以獲得數(shù)學結(jié)論,體驗數(shù)學活動充滿著探索性和創(chuàng)造性。在獨立思考的基礎(chǔ)上,積極參與對數(shù)學問題的討論,敢于發(fā)表自己的觀點,學會分享別人的想法和結(jié)果,并重新審視自己的想法,能從交流中獲益。重點難點
1.重點:不等式的性質(zhì)及其解法. 2.難點:不等式性質(zhì)的探索及運用.方法策略
啟發(fā)式教學法——以設(shè)問和疑問層層引導,激發(fā)學生,啟發(fā)學生積極思考,培養(yǎng)和發(fā)展學生的抽象思維能力。
探究教學法——引導學生去疑;鼓勵學生去探; 激勵學生去思,培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維和批判精神。教學過程:
一、梳理舊知,引出新課
問題1: 在前面的學習中,你學到了不等式的哪些性質(zhì)?(用文字語言敘述)(鼓勵學生回答問題,用電子白版顯示三條性質(zhì)的符號語言)問題2: 解一元一次方程最終的目的是把方程轉(zhuǎn)化成哪種形式?其主要的理論依據(jù)是什么?
(為問題3做鋪墊)
二、合作交流,探究新知
問題3: 利用不等式的性質(zhì)解下列不等式:
(1)x?7?26(2)3x?2x?1 2(3)x?50(4)?4x?3 3(類比著解一元一次方程的方法教師先解(1),并用數(shù)軸表示其解集,然后讓學生試解(2)(3)(4)并和同學交流,最后教師點評。)
思考1:(3)(4)的求解過程,類似于解方程的哪一步變形? 思考2:依據(jù)不等式性質(zhì)3解不等式時應(yīng)注意什么? 隨堂練習:1.完成課本P119練習1 問題4: 2011年北京的最低氣溫是19℃,最高氣溫是28℃,你能把北京的氣溫用不等式表示出來嗎?
(符號“≥”讀作“大于或等于”,也可以說是“不小于”;符號“≤”讀作“小于或等于”,也可以說是“不大于”.形如a≥b或a≤b的式子也是不等式,它們具有類似前面所說的不等式的性質(zhì)).隨堂練習:完成課本119頁練習2.問題5: 某長方體形狀的容器長5 cm,寬3 cm,高10 cm.容器內(nèi)原有水的高度為3cm,現(xiàn)準備向它繼續(xù)注水.用V(單位:cm3)表示新注入水的體積,寫出V的取值范圍.(學生先合作探究,然后讓學生交流探究結(jié)果,最后老師講評并強調(diào)在解決實際問題的時候,要考慮取值的現(xiàn)實意義。)
三、歸納完善,豐富新知
1:如何利用不等式的性質(zhì)解簡單不等式? 2:依據(jù)不等式性質(zhì)3解不等式時應(yīng)注意什么? 3:請說明符號“≥”和“≤”的含義?
四、布置作業(yè)
必做題:P120第5,7,8題.選做題:P120第9題
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不等式的課件
老師在開學前需要把教案課件準備好,每個人都要計劃自己的教案課件了。教案是實現(xiàn)高效教學的不可或缺要素之一。如果您想深入理解這一話題不妨看看“不等式的課件”,本文的內(nèi)容必將給您帶來很多有用的收獲!
不等式的課件 篇1
【教學目標】
1、知識與技能目標
(1)掌握基本不等式 ,認識其運算結(jié)構(gòu);
(2)了解基本不等式的幾何意義及代數(shù)意義;
(3)能夠利用基本不等式求簡單的最值。
2、過程與方法目標
(1)經(jīng)歷由幾何圖形抽象出基本不等式的過程;
(2)體驗數(shù)形結(jié)合思想。
3、情感、態(tài)度和價值觀目標
(1)感悟數(shù)學的發(fā)展過程,學會用數(shù)學的眼光觀察、分析事物;
(2)體會多角度探索、解決問題。
【能力培養(yǎng)】
培養(yǎng)學生嚴謹、規(guī)范的學習能力,辯證地分析問題的能力,學以致用的能力,分析問題、解決問題的能力。
【教學重點】
應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解不等式,并從不同角度探索不等式 的證明過程。
【教學難點】
基本不等式 等號成立條件。
【教學方法】
教師啟發(fā)引導與學生自主探索相結(jié)合
【教學工具】
課件輔助教學、實物演示實驗
【教學流程】
SHAPE MERGEFORMAT
【教學過程設(shè)計】
創(chuàng)設(shè)情景,引入新課
如圖是在北京召開的第24屆國際數(shù)學家大會的會標, 這是根據(jù)趙爽弦圖而設(shè)計的。用課前折好的趙爽弦圖示范,比較 4個直角三角形的面積和與大正方形的面積,你會得到怎樣的相 等和不等關(guān)系?
趙爽弦圖
1.探究圖形中的不等關(guān)系
將圖中的“風車”抽象成如圖,在正方形ABCD中右個全等的直角三角形。
設(shè)直角三角形的兩條直角邊長為a,b那么正方形的邊長為 。這樣,4個直角三角形的面積的和是2ab,正方形的面積為 。由于4個直角三角形的面積小于正方形的面積,我們就得到了一個不等式: 。
當直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?,即a=b時,正方形EFGH縮為一個點,這時有 。
2.得到結(jié)論:一般的,如果
3.思考證明:你能給出它的證明嗎?
證明:因為
當
所以, ,即
4.基本不等式
1)特別的,如果a>0,b>0,我們用分別代替a、b ,可得 ,通常我們把上式寫作:
2)從不等式的性質(zhì)推導基本不等式
用分析法證明:
要證 (1)
只要證 (2)
要證(2),只要證 a+b- 0 (3)
要證(3),只要證 ( - ) (4)
顯然,(4)是成立的。當且僅當a=b時,(4)中的等號成立。
3)理解基本不等式 的幾何意義
不等式的課件 篇2
基本不等式教學設(shè)計
數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學 鐘林
課題:人教A版必修5第3章4節(jié),基本不等式
【教學目標】
1.通過兩個探究實例,引導學生從幾何圖形中獲得兩個基本不等式,了解基本不等式的幾何背景,體會數(shù)形結(jié)合的思想。
2.進一步提煉、完善基本不等式,并從代數(shù)角度給出不等式的證明,組織學生分析證明方法,加深對基本不等式的認識,提高邏輯推理論證能力。 3.結(jié)合課本的探究圖形,引導學生進一步探究基本不等式的幾何解釋,強化數(shù)形結(jié)合的思想。
4.借助例1嘗試用基本不等式解決簡單的最值問題,通過例2及其變式引導學生
a?b領(lǐng)會運用基本不等式ab?的三個限制條件(一正二定三相等)在解決最
2值中的作用,提升解決問題的能力,體會方法與策略。
【重點難點】
重點:應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式,并從不同角度探索不等式a?bab?的證明過程。
2難點:在幾何背景下抽象出基本不等式,并理解基本不等式。
【教學設(shè)計】
(一)問題導入
欣賞2002年國際數(shù)學家大會會徽,會徽是根據(jù)中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設(shè)計的,顏色的明暗使它看上去象一個風車,代表中國人民熱情好客。你能發(fā)現(xiàn)它是什么圖形構(gòu)成的嗎?請根據(jù)會徽探索一些常見相等或不等關(guān)系。
探究一:在這張“弦圖”中能找出一些相等關(guān)系和不等關(guān)系嗎? 在正方形ABCD中有4個全等的直角三角形.設(shè)直角三角形兩條直角邊長為,a,b。
22a?b那么正方形的邊長為。
于是,4個直角三角形的面積之和S1?2ab。 正方形的面積S2?a2?b2。 由圖可知S2?S1,即a2?b2?2ab。
當直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?,即時,正方形EFGH縮為一個點,這時 a2?b2?2ab
所以a2?b2?2ab。
探究二:如下圖所示的梯形中,EF是梯形ABCD的中位線,梯形ABGH相似于梯 形GHDC。
梯形ABCD的上底是a,下底是b。讓同學們自主研究GH和EF的大小關(guān)系。
a?b因為EF是中位線,所以EF?,
2由相似,可以得出GH?ab, 同樣因為相似,有
AGABa, ??GDGHb又因為a?b,所以AG?GD,即AG?AE,
a?b。 2顯然,當AB逐漸趨近CD的時候,GH也逐漸向EF靠近, 當AB=CD的時候,即ABCD是矩形的時候,GH與EF重合。
a?b即,當且僅當a?b時,ab?。
2a?b所以,ab?,當且僅當a?b時,等號成立。
2所以GH?EF,即ab?
(二)概念深入
根據(jù)上述兩個幾何背景,初步形成不等式結(jié)論:
若a,b?R?,則a2?b2?2ab。(當且僅當a=b時,等號成立)
a?b。(當且僅當a=b時,等號成立) 2請同學們運用代數(shù)法證明: 作法一(作差法): 若a,b?R?,則ab?a2?b2?2ab?(a?b)2?0a?b?2ab22
當且僅當a=b時,等號成立。且發(fā)現(xiàn)這里且a和b可以是全體實數(shù)、單項式、多項式。
作法二(分析法):
要證明a?b?ab, 2只需證明a?b?2ab, 即證a?b-2ab?0, 即為?a-b?2?0,該式顯然成立,所以,當a?b時取等號。
于是有這樣的結(jié)論:
稱ab為a,b的幾何平均數(shù);稱基本不等式ab?a?b為a,b的算術(shù)平均數(shù), 2a?b又可敘述為: 2兩個正數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的算術(shù)平均數(shù)
作法三(幾何法):
如圖,AB是圓O的直徑,點C是AB上一點,AC=a,BC=b.過點C作 垂直于AB的弦DE,連接AD,BD。 從而有CD?ab,OD?a?b。 2a?b。 2a?b當且僅當C點與圓心O點重合時,即a=b時,ab?
2故再次證明:
a?ba?0,b?0,ab?,當且僅當a=b時,等號成立。
2a?b也說明了ab?的幾何意義:半徑不小于半弦。
2由于直角三角形COD中,直角邊CD
(三)例題講解
例1.(1)用籬笆圍一個面積為100平方米的矩形菜園,問這個矩形的長、寬各為多少時,所用籬笆最短,最短的籬笆是多少?
(2)一段長為36米的籬笆圍成一個矩形菜園,問這個矩形的長、寬為多少時,菜園的面積最大,最大面積是多少?
(通過例1的講解,總結(jié)歸納利用基本不等式求最值問題的特征,實現(xiàn)積與和的轉(zhuǎn)化)
對于x,y?R?,
(1)若xy?p(定值),則當且僅當x?y時,x?y有最小值2p;
s2(2)若x?y?s(定值),則當且僅當x?y時,xy有最大值。
4(鼓勵學生自己探索推導,不但可使他們加深基本不等式的理解,還鍛煉了他們的思維,培養(yǎng)了勇于探索的精神。)
1例2.求y?x?(x?0)的值域。
x1變式1.若x?2,求x?的最小值.
x?21在運用基本不等式解題的基礎(chǔ)上,利用幾何畫板展示y?x?(x?0)的函數(shù)
x圖象,使學生再次感受數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想。
a?b并通過例2及其變式引導學生領(lǐng)會運用基本不等式ab?的三個限制
2條件(一正二定三相等)在解決最值問題中的作用,提升解決問題的能力,體會方法與策略。
(四)歸納小結(jié)&課后作業(yè) 基本不等式:
若a,b?R?,則a2?b2?2ab。(當且僅當a=b時,等號成立)
a?b。(當且僅當a=b時,等號成立) 2(1)基本不等式的幾何解釋(數(shù)形結(jié)合思想); (2)運用基本不等式解決簡單最值問題的基本方法。
作業(yè):A組第4題,B組第1題,第2題
若a,b?R?,則ab?
不等式的課件 篇3
課題:3.4.3 基本不等式 的應(yīng)用(二) 科目:數(shù)學 教學對象:高二(290)學生 課時:1課時 提供者:劉和安 單位: 姚安一中 一、教學內(nèi)容分析 本節(jié)課的研究是起到了對學生以前所學知識與方法的復習、應(yīng)用,進而構(gòu)建他們更完善的知識網(wǎng)絡(luò)。數(shù)學建模能力的培養(yǎng)與鍛煉是數(shù)學教學的一項長期而艱苦的任務(wù),這一點,在本節(jié)課是真正得到了體現(xiàn)和落實。?
根據(jù)本節(jié)課的教學內(nèi)容,應(yīng)用觀察、閱讀、歸納、邏輯分析、思考、合作交流、探究,對基本不等式展開實際應(yīng)用,進行啟發(fā)、探究式教學并使用投影儀輔助。? 二、教學目標 (一)知識目標:構(gòu)建基本不等式解決函數(shù)的值域、最值問題;
(二)能力目標:讓學生探究用基本不等式解決實際問題
(三)情感、態(tài)度和價值觀目標:
通過具體問題的解決,讓學生去感受、體驗現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等量關(guān)系并需要從理性的角度去思考,鼓勵學生用數(shù)學觀點進行類比、歸納、抽象,使學生感受數(shù) 學、走進數(shù)學、培養(yǎng)學生嚴謹?shù)臄?shù)學學習習慣和良好的思維習慣;? 三、學習者特征分析 在本節(jié)課的教學過程中,仍應(yīng)強調(diào)不等式的現(xiàn)實背景和實際應(yīng)用,真正地把不等式作為刻畫現(xiàn)實世界中不等關(guān)系的工具。通過實際問題的分析解決,讓學生去體會基本不等式所具有的廣泛的實用價值,同時,也讓學生去感受數(shù)學的應(yīng)用價值,從而激發(fā)學生去熱愛數(shù)學、研究數(shù)學。而不是覺得數(shù)學只是一門枯燥無味的推理學科。在解決實際問題的過程中,既要求學生能用數(shù)學的眼光、觀點去看待現(xiàn)實生活中的許多問題,又會涉及與函數(shù)、方程、三角等許多數(shù)學本身的知識與方法的處理 四、教學策略選擇與設(shè)計 1.采用探究法,按照觀察、閱讀、歸納、思考、交流、邏輯分析、抽象應(yīng)用的方法進行啟發(fā)式教學;?
2.教師提供問題、素材,并及時點撥,發(fā)揮老師的主導作用和學生的主體作用;?
3.設(shè)計較典型的具有挑戰(zhàn)性的問題,激發(fā)學生去積極思考,從而培養(yǎng)他們的數(shù)學學習興趣。?? 五、教學重點及難點 教學重點:1.構(gòu)建基本不等式解決函數(shù)的值域、最值問題。?
2.讓學生探究用基本不等式解決實際問題;?
教學難點:1.讓學生探究用基本不等式解決實際問題;?
2.基本不等式應(yīng)用時等號成立條件的考查;?
六、教學過程 教師活動 學生活動 設(shè)計意圖 (一)導入新課
(二)推進新課
已知 ,若ab為常數(shù)k,那么a+b的值如何變化?
若a+b為常數(shù)s,那么ab的值如何變化?
老師用投影儀給出本節(jié)課的第一組問題
(1)求函數(shù)y=2x2+ (x>0)的最小值。?
(2)求函數(shù)y=x2+ (x>0)的最小值。?
(3)求函數(shù)y=3x2-2x3(0
(4)求函數(shù)y=x(1-x2)(0
(5)設(shè)a>0,b>0,且a2+ =1,求 的最大值。?
(三)合作探究 我們來考慮運用正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)之間的關(guān)系來解答這些問題。根據(jù)函數(shù)最值的含義,我們不難發(fā)現(xiàn)若平均值不等式的某一端為常數(shù),則當?shù)忍柲軌蛉〉綍r,這個常數(shù)即為另一端的一個最值。 ?
(四)例題精析?
【例】某工廠要建造一個長方體形無蓋貯水池,其容積為4 800 m3,深為 3 m.如果池底每平方米的造價為150元,池壁每平方米的造價為120元,怎樣設(shè)計水池能使總造價最低?最低總造價是多少?
當且僅當a=b時,a+b就有最小值為2k.?
當且僅當a=b時,ab就有最大值 (或ab有 最大值 ).?
學生完成
留五分鐘的時間讓學生思考,合作交流
(根據(jù)學生完成的典型情況,找五位學生到黑板板演,然后老師根據(jù)學生到黑板板演的完成情況再一次作點評)?
學生思考、回答,
不等式的課件 篇4
不等式
教材分析:本課由實際問題中的不等關(guān)系引出不等式的概念;類比方程的解,明確不等式解和解集的概念,以及不等式解集的兩種表示方法。
教學目標:了解不等式概念,理解不等式的解和解集。 教學重難點:不等式及解集概念的理解。 教學過程: 一:引出新知。
現(xiàn)實世界中存在大量的數(shù)量關(guān)系,包括相等關(guān)系和不等關(guān)系。用等式(包括方程),我們可以研究相等關(guān)系,而研究不等關(guān)系需要用本章的不等式,如引言中選擇購物商場問題.二:探索新知。
問題1 一輛勻速行駛的汽車在11:20距離A地50 km,要在12:00之前駛過A地.你能用式子表示出車速應(yīng)滿足的條件嗎?
1、汽車在12:00之前駛過A地的意思是什么? 從時間上看,汽車要在12:00之前駛過A地,則 以這個速度行駛50 km所用的時間不到。
從路程上看,汽車要在12:00之前駛過A地,則以這個速度行駛的路程要超過50 km。
2、如何用式子表示以上不等關(guān)系? 設(shè):車速為x km/h. 從時間上看: 從路程上看:
(1)對于不等式 而言,車速可以是80 km/h嗎?78 km/h呢?75 km/h呢?72 km/h呢?
(2)類比方程的解,什么叫不等式的解?
使不等式成立的未知數(shù)的值.(3)不等式還有其他解嗎?如果有,這些解應(yīng)滿足什么條件?
一般地,一個含有未知數(shù)的不等式的所有的解,組成這個不等式的解集.求不等式的解集的過程叫做解不等式. (4)除了用不等式表示取值范圍,還有其他表示方法嗎? 數(shù)軸
三、運用新知。 例1 請用不等式表示:
(1) 是負數(shù);
(2) 與5的和小于-7;
(3) 的一半大于3.例2 直接說出不等式的解集,并在數(shù)軸上表
示出來.
四、歸納總結(jié) (1)什么叫不等式?
(2)什么叫不等式的解?不等式的解和方程的解的區(qū)別? (3)什么叫不等式的解集?不等式的解和不等式的解集的區(qū)別?
五、布置作業(yè)
教科書 習題 第
1、
2、3題。
不等式的課件 篇5
[教學目標]
依據(jù)《新標準》對《不等式》學段的目標要求和本班學生實際情況,特確定如下目標:
1、知識與能力目標:理解掌握基本不等式,并能運用基本不等式解決一些簡單問題(求最值、證明不等式);培養(yǎng)學生探究能力以及分析問題解決問題的能力。
2、過程與方法目標:按照創(chuàng)設(shè)情景,提出問題→ 剖析歸納證明→ 幾何解釋→ 應(yīng)用(最值的求法、不等式的證明)的過程呈現(xiàn)。啟動觀察、分析、歸納、總結(jié)、抽象概括等思維活動,培養(yǎng)學生的思維能力,體會數(shù)學概念的學習方法,通過運用多媒體的教學手段,引領(lǐng)學生主動探索基本不等式性質(zhì),體會學習數(shù)學規(guī)律的方法,體驗成功的樂趣。
3、情感與態(tài)度目標:通過問題情境的設(shè)置,使學生認識到數(shù)學是從實際中來,培養(yǎng)學生用數(shù)學的眼光看世界,通過數(shù)學思維認知世界,從而培養(yǎng)學生善于思考、勤于動手的良好品質(zhì)。
二、 [教學重點]
基本不等式 的證明過程及應(yīng)用。
三、 [教學難點]
1、基本不等式成立時的三個限制條件(簡稱一正、二定、三相等)的正確理解;
2、靈活利用基本不等式求解實際問題中的最大值和最小值。
四、 [教學方法]
本節(jié)課采啟發(fā)誘導、講練結(jié)合的教學方法,結(jié)合現(xiàn)代信息技術(shù)多媒體課件、幾何畫板作為教學輔助手段,加深學生對基本不等式的理解。
[教學用具]
多媒體、幾何畫板
六、 [教學過程]
教學過程設(shè)計以問題為中心,以探究解決問題的方法為主線展開。這種安排強調(diào)過程,符合學生的認知規(guī)律,使數(shù)學教學過程成為學生對知識的再創(chuàng)造、再發(fā)現(xiàn)的過程,從而培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識。
具體過程安排如下:
(一)、創(chuàng)設(shè)情景,提出問題;
上圖是在北京召開的第24屆國際數(shù)學家大會的會標,會標是根據(jù)中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設(shè)計的,顏色的明暗使它看上去像一個風車,代表中國人民熱情好客。
[問]你能在這個圖中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎?
利用圖中相關(guān)面積間存在的數(shù)量關(guān)系,抽象出不等式 。在此基礎(chǔ)上,引導學生認識基本不等式。
同時,(幾何畫板輔助教學)通過幾何畫板演示,
讓學生更直觀的抽象、歸納出結(jié)論:
(二)、抽象歸納:
一般地,對于任意實數(shù) ,有 ,當且僅當 時,等號成立。
[問] 你能給出它的證明嗎?
學生在黑板上板書。
特別地,當 時,在不等式 中,以 、 分別代替 ,得到什么?
答案: 。
【歸納總結(jié)】
如果 都是正數(shù),那么 ,當且僅當 時,等號成立。
我們稱此不等式為基本不等式。 其中 稱為 的算術(shù)平均數(shù), 稱為 的幾何平均數(shù)。
(三)、理解升華:
1、文字語言敘述:
兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。
2、符號語言敘述:
若 ,則有 ,當且僅當 時, 。
[問] 怎樣理解“當且僅當”?
3、探究基本不等式證明方法:
[問] 如何證明基本不等式?
方法一:作差比較或由 展開證明。
方法二:分析法。
分析法,實際上是尋找結(jié)論的充分條件,執(zhí)果索因的一種思維方法。
4、探究基本不等式的幾何意義:
讀書破萬卷下筆如有神,以上就是一米范文范文為大家?guī)淼?篇《2023高中數(shù)學基本不等式教學教案》,希望對您有一些參考價值。
不等式的課件 篇6
不等式和不等式組復習課教學設(shè)計
一、設(shè)計思想:
“不等式”是初中數(shù)學核心內(nèi)容之一。就不等式的解法來說,它是一種重要的數(shù)學技能;而就不等式的廣泛作用來說,不管是與實際相關(guān)的問題,還是純粹的數(shù)學問題,不管是代數(shù)方面的問題,還是幾何圖形方面的問題,乃至更為一般化的問題,只要是求未知數(shù)的值或范圍的問題,經(jīng)常要借助于不等式,可見學好不等式具有非常重要的意義。
這節(jié)課是中考前的專題復習課,知識點不多。由于學生已經(jīng)學過本章內(nèi)容,因此在本節(jié)復習中主要以提問的形式進行知識要點的復習,以學生自主探索和合作探究的學習方法學習本節(jié)內(nèi)容。教師主要在習題的設(shè)計上選好典型例題,復習的知識盡量全面。教學效果上使不同的學生有不同的收獲。
二、教學內(nèi)容分析:
1.《課程標準》對本專題教學內(nèi)容的要求:
(1)結(jié)合具體問題,了解不等式的意義,探索不等式的基本性質(zhì)。 (2)能解簡單的一元一次不等式,并能在數(shù)軸上表示出解集;會用數(shù)軸確定由兩個一元一次不等式組成的不等式組的解集。
(3)能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系,列出一元一次不等式,解決簡單的問題。 2.本節(jié)內(nèi)容在中考中的地位和作用。
本部分內(nèi)容在中考中大約6~12分,約占全卷分數(shù)的5%~8%左右。而且,近幾年考試中,經(jīng)常與方程、函數(shù)三角函數(shù)、幾何等內(nèi)容一起綜合考查,因此學好本節(jié)內(nèi)容對于解決這些綜合問題起著舉足輕重的作用。
三、教學目標:
1、知識技能:
①掌握不等式的概念和性質(zhì),能根據(jù)不等式的性質(zhì)解決有關(guān)問題;
②掌握不等式(組)的解法,會求不等式(組)的解集,特別是不等式組的整數(shù)解;
③能根據(jù)不等式組的解集確定字母系數(shù)的范圍;
④會列不等式(組)解決簡單的實際問題,特別是方案設(shè)計問題。
2、數(shù)學思考:通過列不等式或不等式組解決具有不等關(guān)系的實際問題,讓學生體會不等式是解決實際問題的有效的數(shù)學模型。
3、解決問題:通過不等式(組)描述不等關(guān)系解決實際問題,發(fā)展學生由實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的能力。
4、情感態(tài)度:①通過復習教學,繼續(xù)強化用數(shù)學的意識,從而使學生樂于接觸社會環(huán)境中的數(shù)學信息,愿意談?wù)撃承?shù)學話題,能夠在數(shù)學活動中發(fā)揮積極作用。
②.通過探索,增進學生之間的配合,使學生敢于面對數(shù)學活動中的困難,并有克服困難和運用知識解決問題的成功體驗,樹立學好數(shù)學的自信心。
教學重點:不等式(組)的解法的規(guī)范性及實際應(yīng)用
教學難點:不等式組有無解的問題中字母系數(shù)的確定和實際問題中不等式(組)的列出
教學方法:依托多媒體平臺,啟發(fā)、談?wù)摗⒒犹骄糠ǎ▽W生討論、教師點撥)、講練結(jié)合。
教學手段:計算機多媒體輔助教學。 教學時間:1課時
教學準備:1.學生準備:預(yù)習教材,了解本節(jié)的知識要點。
2.教師準備:將學生分組,選好組長;制作多媒體課件。
教學設(shè)計
一 情境設(shè)計
導入新課
出示多媒體課件
1、問題情境:問題:某化妝品店老板到廠家選購A、B兩種品牌的化妝品,若銷售1套A品牌的化妝品可獲利30元,銷售1套B品牌的化妝品可獲利20元,根據(jù)市場需求,化妝品店老板決定,購進B品牌化妝品的數(shù)量比購進A品牌化妝品數(shù)量的2倍還多4套,且B品牌化妝品最多可購進40套,這樣化妝品全部售出后,可使總的獲利不少于1200元,問有幾種進貨方案?如何進貨? 教師:同學們,如果你是這個化妝品店的老板,你怎么解決進貨方案問題? (學生思考):
教師:如何用數(shù)學符號表示標有下劃線的詞語?應(yīng)該考查我們哪部分知識? 學生:最多 —— ≤;不少于—— -≥。 教師:我們學過的哪章知識與它們聯(lián)系最密切?由此我們想到了哪部分知識? 學生:不等式和不等式組
教師:下面我們就來復習有關(guān)這方面的內(nèi)容,“專題復習
(二)方程和不等式-----------不等式和不等式”。 (板書課題)
(多媒體出示教學目標。圖略)
二、展示教學目標、教學重點和難點:(讓學生學有目的,學有依據(jù))
三、回顧知識要點:
1.知識網(wǎng)絡(luò)出示;(使學生對本節(jié)知識的復習內(nèi)容一目了然,從總體把握知識間的內(nèi)在聯(lián)系)
實際問題
3、知識要點復習不等關(guān)系不等式不等式的性質(zhì)解不等式解集一元一次不等式一元一次不等式組解法解法數(shù)軸表示解集數(shù)軸表示實際應(yīng)用解集數(shù)軸表示 2.知識要點復習:(通過提問由學生回答) ①基本概念復習
(澄清基本概念,對知識間的內(nèi)在聯(lián)系更明確。)
3、知識要點復習
一、基本概念:
1、不等式:
2、不等號:
3、不等式的解:
4、不等式的解集:
5、解不等式:
6、一元一次不等式:
7、一元一次不等式組:
8、一元一次不等式組的解集:
9、解一元一次不等式組: ②不等式性質(zhì)復習:(它是解不等式和不等式組的重要依據(jù),特別注意第3條性質(zhì),不等號方向改變問題,提醒學生,此處易錯,提起注意)
3、知識要點復習
二、不等式的性質(zhì):(1)如果a>b,那么a+c>b+c,a-c>b-c不等式的兩邊都加上(或減去)同一個數(shù)或同一個整式,不等號的方向不變。ab?(2)如果a>b,并且c>0,那么ac>bc,cc不等式兩邊都乘以(或除以)同一個正數(shù),不等號的方向不變。(3)如果a>b,并且c
3、知識要點復習三,規(guī)律與方法:1,不等式的解法:2,解不等式組的方法:3,不等式的解集在數(shù)軸上的表示:大向右,小向左,有等號是實心,無等號是空心.4,求幾個不等式的解的公共部分的方法和規(guī)律:(1)數(shù)軸法(2)口訣法同大取大同小取小一大一小中間找 ④用一元一次不等式組解決實際問題的步驟:(為解決實際問題提供依據(jù),這是本節(jié)的重點知識,學生可能會類比前邊復習的方程和方程組的知識說出。)
3、知識要點復習
5、用一元一次不等式組解決實際問題的步驟:實際問題設(shè)未知數(shù),列不等式(組)數(shù)學問題(不等式或不等式組)解不等式組實際問題的解答檢驗數(shù)學問題的解(不等式(組)的解集)
四、典型例題解析:(這一環(huán)節(jié)也是學生要達到的知識技能目標的重要一環(huán),學生解題的順利與否,是教師關(guān)注的重點。學生能夠獨立解出的,關(guān)注其過程是否規(guī)范,思路是否清晰,方法是否得當。不能解出的,先由小組合作探究,看是否能找到解題的思路,得出問題的答案;如果仍不能得出,教師加以點撥,引導,幫助學生找到解題思路,得出問題的答案。)
例1.(本題是一元一次不等式的解法的考查,是本節(jié)的基本題型,估計學生都能獨立解出,可讓中游的學生板演,這樣解題步驟展現(xiàn)在大家面前,如果規(guī)范,起個示范作用;不規(guī)范,示范改正,起警示作用。把重點放在解題步驟是否規(guī)范上。)
4、典型例題:例1.解一元一次不等式解:3 (x-1) ≤6 –2(x-2)3x –3 ≤6 –2x+43x+2x ≤6+4+35x ≤13x ≤135自然數(shù)解非負整數(shù)解正整數(shù)解最大解最大整數(shù)解 (右邊的云形圖中是在學生解完不等式后先后出示的五種特殊情況,這樣進
行變式教學,展示了一題多解的典型題目,同時又使學生鍛煉了仔細審題的能力。)
4、典型例題:例1.解一元一次不等式解一元一次方程一元一次不解:3 (x-1) = 6 –2(x-2)解:3 (x-1) ≤6 –2(x-2)3x –3 = 6 –2x+43x –3 ≤6 –2x+4等式和一元一次3x+2x =6+4+3方程有何共同點3x+2x ≤6+4+35x =13和不同點?5x ≤x =x≤55 (通過這種一元一次不等式和一元一次方程解法的類比,使學生明確知識間的內(nèi)在聯(lián)系,同時發(fā)現(xiàn)其中的異同,對兩者的區(qū)別更加清晰)
例2.(考查不等式的變形,解決問題的關(guān)鍵是正確理解不等式的概念和基本性質(zhì)。重點關(guān)注基本性質(zhì)的靈活掌握)
例3.(把平面直角坐標系的象限問題轉(zhuǎn)化成不等式組問題,既體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法,又見識了不等式組的廣泛應(yīng)用??梢詭蛯W生回憶坐標系的有關(guān)知識。)
4、典型例題:a例2.若a1;b1a③a+b
3、在直角坐標系中,P(2x-6,x-5)在第四象限,則x的取值范圍是3
例4.(把不等式中的相等問題出示,體現(xiàn)了相等和不等可以互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想。并與數(shù)與式中的乘方問題相聯(lián)系,具有一定的綜合性。)
例5.(借助數(shù)軸確定不等式組的解集,對于解這類題非常有效,學生容易做錯,特別是是否包括界點問題,有一定難度,讓學生小組合作探究,共同尋找問題的答案。教師巡視,給有困難小組點撥,指導。)
4、典型例題:x?a?2例
4、(2009涼山)若不等式組集是-1
例題分析:問題5問題分析:本題存在兩個不等關(guān)系,一是購買B品牌化妝品不超過40套;二是兩種化妝品的獲利不少于1200元。根據(jù)這兩個不等關(guān)系,可列不等式組求解。 (學生寫出解題過程后,教師可出示規(guī)范的解題過程,體現(xiàn)數(shù)學學科的嚴謹性。)
4例題講解:、典型例題:解:設(shè)A品牌化妝品購進m套,則B品牌化妝品購進(2m+4)套。根據(jù)題意得:解得:16≤m≤18.因為m為正整數(shù),所以m=16,17,18,所以2m+4=
36、
38、40.所以有三種進貨方案:(1)A種品牌的化妝品的購進16套,B種品牌的化妝品購進36套;(1)A種品牌的化妝品的購進16套,B種品牌的化妝品購進36套;(1)A種品牌的化妝品的購進16套,B種品牌的化妝品購進36套; (通過方案設(shè)計題的解決,使學生能夠由實際問題建立數(shù)學模型,從而增強解決實際問題的能力。)
五、
歸納小結(jié)(先由學生自己歸納總結(jié)本節(jié)課的收獲,從而把課堂傳授的知識盡快化為學生的素質(zhì),以培養(yǎng)和增強學生的歸納總結(jié)能力;然后老師予以補充和歸納,為學生良好學習習慣的養(yǎng)成繼續(xù)進行指導。)
5、歸納小結(jié)你會了嗎?這節(jié)課你學到了什么?你有什么收獲?你還有什么問題?
六、達標檢測:(在這一環(huán)節(jié),我設(shè)計了幾個有梯度的題目,這樣可使不同層次的學生都能有所收獲,都能感受到成功的喜悅,使他們“在數(shù)學上都能有不同的發(fā)展”。)
6.達標檢測(1)若2x=3+k的解集是負數(shù),那么k的取值范圍是______.K
3、不等式組數(shù)解為(A的最小整)A,-1 B,0 C,2 D,3 9
6.達標檢測
4、躍壯五金商店準備從寧云機械廠購進甲、乙兩種零件進行銷售。若每個甲種零件的進價比每個乙種零件的進價少2元,且用80元購進甲種零件的數(shù)量與用100元購進乙種零件的數(shù)量相同。(1)求每個甲種零件、每個乙種零件的進價分別為多少元?(2)若該五金商店本次購進甲種零件的數(shù)量比購進乙種零件的數(shù)量的3倍還少5個,購進兩種零件的總數(shù)量不超過95個,該五金商店每個甲種零件的銷售價格為12元,每個乙種零件的銷售價格為15元,則將本次購進的甲、乙兩種零件全部售出后,可使銷售兩種零件的總利潤(利潤=售價-進價超過371元,通過計算求出躍壯五金商店本次從寧云機械廠購進甲、乙兩種零件有幾種方案?請你設(shè)計出來。 6.達標檢測選做題?若不等式組x?a?01?2x?x?2有解,則a的取?值范圍是(A)。?>-1 ≥-1 ≤1 <1
七、教學設(shè)計的理論依據(jù)
1.“理論聯(lián)系實際”的原則,聯(lián)系學生身邊的生活,引導學生學習運用理論知識分析、解決實際問題。
2.新課程標準中的“學生是學習的主人”的主體教育思想。
本節(jié)課努力構(gòu)建師生互動、生生互動的新的教學模式,創(chuàng)設(shè)情境引領(lǐng)教學,引導學生的合作學習,讓其在思考討論中自主學習,真正落實以學生為中心、以學生發(fā)展為根本,注重學生道德和能力的培養(yǎng)。
不等式的課件 篇7
《基本不等式》教學設(shè)計
基本不等式
開江中學 魏江蘭
目標分析
依據(jù)《新課程標準》對《不等式》學段的目標要求和學生的實際情況,特確定如下目標:
1、知識與能力目標:理解掌握基本不等式,并能運用基本不等式解決一些簡單的求最值問題;理解算數(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的概念,學會構(gòu)造條件使用基本不等式;培養(yǎng)學生探究能力以及分析問題解決問題的能力。
2、過程與方法目標:按照創(chuàng)設(shè)情景,提出問題→ 剖析歸納證明→ 幾何解釋→ 應(yīng)用(最值的求法、實際問題的解決)的過程呈現(xiàn)。啟動觀察、分析、歸納、總結(jié)、抽象概括等思維活動,培養(yǎng)學生的思維能力,體會數(shù)學概念的學習方法,通過運用多媒體的教學手段,引領(lǐng)學生主動探索基本不等式性質(zhì),體會學習數(shù)學規(guī)律的方法,體驗成功的樂趣。
3、情感與態(tài)度目標:通過問題情境的設(shè)置,使學生認識到數(shù)學是從實際中來,培養(yǎng)學生用數(shù)學的眼光看世界,通過數(shù)學思維認知世界,從而培養(yǎng)學生善于思考、勤于動手的良好品質(zhì)。
教學重、難點分析
重點:應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式,并從不同角度探索基本不等式ab?a?b的證明過程及應(yīng)用。 2難點:
1、基本不等式成立時的三個限制條件(簡稱一正、二定、三相等);
2、利用基本不等式求解實際問題中的最大值和最小值。
教法分析
本節(jié)課采用觀察——感知——抽象——歸納——探究;啟發(fā)誘導、講練結(jié)合的教學方法,以學生為主體,以基本不等式為主線,從實際問題出發(fā),放手讓學生探究思索。以現(xiàn)代信息技術(shù)多媒體課件作為教學輔助手段,加深學生對基本不等式的理解。
《基本不等式》教學設(shè)計
教學準備
多媒體課件、板書
教學過程
教學過程設(shè)計以問題為中心,以探究解決問題的方法為主線展開。這種安排強調(diào)過程,符合學生的認知規(guī)律,使數(shù)學教學過程成為學生對知識的再創(chuàng)造、再發(fā)現(xiàn)的過程,從而培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識。 具體過程安排如下:
一、創(chuàng)設(shè)情景,提出問題;
設(shè)計意圖:數(shù)學教育必須基于學生的“數(shù)學現(xiàn)實”,現(xiàn)實情境問題是數(shù)學教學的平臺,數(shù)學教師的任務(wù)之一就是幫助學生構(gòu)造數(shù)學現(xiàn)實,并在此基礎(chǔ)上發(fā)展他們的數(shù)學現(xiàn)實.基于此,設(shè)置如下情境: 上圖是在北京召開的第24屆國際數(shù)學家大會的會標,會標是根據(jù)中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設(shè)計的,顏色的明暗使它看上去像一個風車,代表中國人民熱情好客。
[問]你能在這個圖中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎?
本背景意圖在于利用圖中相關(guān)面積間存在的數(shù)量關(guān)系,抽象出不等式a2?b2?2ab。在此基礎(chǔ)上,引導學生認識基本不等式。
二、抽象歸納:
一般地,對于任意實數(shù)a,b,有a2?b2?2ab,當且僅當a=b時,等號成立。 [問] 你能給出它的證明嗎?
證明:因為a2?b2?2ab?(a?b)2?0,即a2?b2?2ab.(當a?b時取等號)
特別地,當a>0,b>0時,在不等式a2?b2?2ab中,以a、b分別代替a、b,得到什么?
設(shè)計依據(jù):類比是學習數(shù)學的一種重要方法,此環(huán)節(jié)不僅讓學生理解了基本不等式不等式的來源,突破了重點和難點,而且感受了其中的函數(shù)思想,為今后學習奠定基礎(chǔ).
《基本不等式》教學設(shè)計
答案: ab?a?b(a,b?0)。 2你能用不等式的性質(zhì)直接推導這個不等式嗎? 證明:(分析法):由于a,b?R?,于是要證明 a?b?2ab,
只要證明 a?b?2即證
2ab,
a?b?2ab?0,即 (a?b)2?0,
所以a?b?ab,(當a?b時取等號)
【歸納總結(jié)】
如果a,b都是正數(shù),那么ab?a?b,當且僅當a=b時,等號成立。 2a?b稱為a,b的算術(shù)平均數(shù),ab稱2我們稱此不等式為基本不等式。 其中為a,b的幾何平均數(shù)。
文字語言敘述:兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。
探究基本不等式的幾何意義:借助初中階段學生熟知的幾何圖形,引導學生探究ab?a?b(a,b?0)2的幾何解釋,通過數(shù)形結(jié)合,賦予不等式不等式ab?a?b(a,b?0)2幾何直觀。進一步領(lǐng)悟不等式中等號成立的條件。
如圖:AB是圓的直徑,點C是AB上一點,CD⊥AB,AC=a,CB=b,CD
D?ab
aba?b2abOCAB幾何解釋實質(zhì)可認為是:在同一半圓中,半徑不小于半弦(直徑是最長的弦);或者認為是,直角三角形斜邊的一半不小于斜邊上的高。
《基本不等式》教學設(shè)計
4.應(yīng)用舉例,鞏固提高
我們可以用兩個重要不等式來解決什么樣的問題呢?
例1(1)用籬笆圍一個面積為100平方米的矩形菜園,問這個矩形的長、寬各為多少時,所用籬笆最短,最短的籬笆是多少? (2)一段長為36米的籬笆圍成一個矩形菜園,問這個矩形的長、寬為多少時,菜園的面積最大,最大面積是多少?
(通過例1的講解,總結(jié)歸納利用基本不等式求最值問題的特征,實現(xiàn)積與和的轉(zhuǎn)化) 對于(1)若(2)若,
(定值),則當且僅當(定值),則當且僅當
時,時,
有最小值有最大值
; .
(鼓勵學生自己探索推導,不但可使他們加深基本不等式的理解,還鍛煉了他們的思維,培養(yǎng)了勇于探索的精神.)
1例 2:當x?0時,求y?x?的最小值?x1變式1:當x?0時,y?x?有最值嗎?
x1變式2:當x?1時,y?x?有最值嗎?
x通過例2及其變式引導學生領(lǐng)會運用基本不等式的三個限制條件(一正二定三相等)在解決最值問題中的作用,提升解決問題的能力,體會方法與策略.
練一練(自主練習):課本練習 5.歸納小結(jié),反思提高
《基本不等式》教學設(shè)計
基本不等式:若若
,則,則
(當且僅當(當且僅當
時,等號成立) 時,等號成立)
(1)基本不等式的幾何解釋(數(shù)形結(jié)合思想);(2)運用基本不等式解決簡單最值問題的基本方法(一正二定三相等). 6.布置作業(yè),課后延拓
(1)基本作業(yè):課本P100習題組
1、
2、3題
(2)拓展作業(yè):請同學們課外到閱覽室或網(wǎng)上查找基本不等式的其他幾何解釋,整理并相互交流.
基本不等式教學設(shè)計
《等式的性質(zhì)》教學設(shè)計
《等式的性質(zhì)》教學設(shè)計
等式性質(zhì)教學設(shè)計(共8篇)
等式的基本性質(zhì)的課后教學反思
不等式的課件 篇8
一、教學目標:
(一)知識與能力目標:(課件第2張)
1.體會解不等式的步驟,體會比較、轉(zhuǎn)化的作用。
2.學生理解、鞏固一元一次不等式的解法.
3.用數(shù)軸表示解集,加深對數(shù)形結(jié)合思想的進一步理解和掌握。
4.在解決實際問題中能夠體會將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學語言,學會用數(shù)學語言表示實際的數(shù)量關(guān)系。
(二)過程與方法目標:
1.介紹一元一次不等式的概念。
2.通過對一元一次方程的解法的復習和對不等式性質(zhì)的利用,導入對解不等式的討論。
3.學生體會通過綜合利用不等式的概念和基本性質(zhì)解不等式的方法。
4.學生將文字表達轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言,從而解決實際問題。
5.練習鞏固,將本節(jié)和上節(jié)內(nèi)容聯(lián)系起來。
(三)情感、態(tài)度與價值目標:(課件第3張)
1.在教學過程中,學生體會數(shù)學中的比較和轉(zhuǎn)化思想。
2.通過類比一元一次方程的解法,從而更好的掌握一元一次不等式的解法,樹立辯證統(tǒng)一思想。
3.通過學生的討論,學生進一步體會集體的作用,培養(yǎng)其集體合作的精神。
4.通過本節(jié)的學習,學生體會不等式解集的奇異的數(shù)學美。
二、教學重、難點:
1.掌握一元一次不等式的解法。
2.掌握解一元一次不等式的階梯步驟,并能準確求出解集。
3.能將文字敘述轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言,從而完成對應(yīng)用問題的解決。
三、教學突破:
教材中沒有給出解法的一般步驟,所以在教學中要注意讓學生經(jīng)歷將所給的不等式轉(zhuǎn)化為簡單不等式的過程,并通過學生的討論交流使學生經(jīng)歷知識的形成和鞏固過程。在解不等式的過程中,與上節(jié)課聯(lián)系起來,重視將解集表示在數(shù)軸上,從而指導學生體會用數(shù)形結(jié)合的方法解決問題。在研究中,鼓勵學生用多種方法求解,從而鍛煉他們活躍的思維。
四、教 具:計算機輔助教學.
五、教學流程:
(一)、復習:
教學環(huán)節(jié)
教 師 活 動
學 生 活 動
設(shè) 計 意 圖
2023不等式課件14篇
經(jīng)驗時常告訴我們,做事要提前做好準備。在平日里的學習中,幼兒園教師時常會提前準備好有用的資料。資料可以指人事物的相關(guān)多類信息、情報。有了資料才能更好地安排接下來的學習工作!你是否收藏了一些有用的幼師資料內(nèi)容呢?以下是由小編為大家整理的“2023不等式課件14篇”,僅供參考,歡迎大家閱讀。
不等式課件 篇1
七年級數(shù)學不等式課件
教學目標:
通過對具體實例的學習,使學生能夠了解生活中的不等量關(guān)系,理解不等式的概念,知道什么是不等式的解,為以后學習不等式的解法奠定基礎(chǔ).
知識與能力:
1.通過對具體事例的分析和探索,得到生活中不等量的關(guān)系.
2.通過理解得到不等式的概念,從而使學生經(jīng)歷實際問題中數(shù)量的分析、抽象過程,體會現(xiàn)實中有各種各樣錯綜復雜的數(shù)量關(guān)系.
3.了解不等式的意義,知道不等式是用來刻畫生活中的數(shù)量關(guān)系的.
4.知道什么是不等式的解.
過程與方法:
1.引導學生分析具體事例,從對具體事例的分析中得到不等量關(guān)系.
2.引導并幫助學生列出不等式,分析不等式的成立條件.
3.通過分析、抽象得到不等式的概念和不等式的解的概念.
4.通過習題鞏固和加深對概念的理解.
情感、態(tài)度與價值觀:
1.通過學生的分析和抽象過程使他們體會現(xiàn)實中錯綜復雜的數(shù)量關(guān)系,然后從而培養(yǎng)其抽象思維能力.
2.通過分組討論學習,體會在解決具體問題的過程中與他人合作的重要性,培養(yǎng)學生的團體協(xié)作精神,使學生獲得合作交流的學習方式.
3.通過聯(lián)系與發(fā)展、對立與統(tǒng)一的思考方法對學生進行辯證唯物主義教育.
4.通過創(chuàng)設(shè)問題串,讓學生仔細觀察、對比、歸納、整理,嘗試對有理數(shù)進行分類,然后體驗教學活動充滿著探索性和創(chuàng)造性.
教學重、難點及教學突破
重點:不等式的概念和不等式的解的概念.
難點:對文字表述的數(shù)量關(guān)系能列出不等式.
教學突破:由于學生在以前已經(jīng)對數(shù)量的大小關(guān)系和含數(shù)字的不等式有所了解,但還沒有接觸過含未知數(shù)的不等式,在學生分析問題的時候注意引入現(xiàn)實中大量存在的數(shù)量間的不等關(guān)系,研究它們的變化規(guī)律,使學生知道用不等式解決實際問題的方便之處.在本節(jié)的教學中能夠在組織學生討論的過程中適當?shù)貪B透變量的知識,讓學生感受其中的函數(shù)思想,并引導學生發(fā)現(xiàn)不等式的解與方程的解之間的區(qū)別.在處理本節(jié)難點時指導學生練習有理數(shù)和代數(shù)式的知識,準確“譯出”不等式.
教學過程:
一.研究問題:
世紀公園的票價是:每人5元,一次購票滿30張可少收1元.某班有27名少先隊員去世公園進行活動.當領(lǐng)隊王小華準備好了零錢到售票處買了27張票時,愛動腦的李敏同紀學喊住了王小華,提議買30張票.但有的同學不明白.明明只有27個人,買30張票,豈不浪費嗎?
那么,究竟李敏的提議對不對呢?是不是真的浪費呢
二.新課探究:
分析上面的問題:設(shè)有x人要進世紀公園,①若x≥30,應(yīng)該如何買票?②若x
結(jié)論:至少要有多少人進公園時,買30張票才合算?
概括:1、不等式的定義:表示不等關(guān)系的式子,叫做不等式.不等式用符號>,
2、不等式的解:能使不等式成立的未知數(shù)的值,叫做不等式的解.
3、不等式的分類:⑴恒不等式:-71+4,a+2>a+1.
⑵條件不等式:x+3>6,a+2>3,y-3>-5.
三、基礎(chǔ)訓練.
例1、用不等式表示:⑴a是正數(shù);⑵b不是負數(shù);⑶c是非負數(shù);⑷x的平方是非負數(shù);⑸x的一半小于-1;⑹y與4的和不小于3.
注:⑴不等式表示代數(shù)式之間的不相等關(guān)系,與方程表示相等關(guān)系相對應(yīng);
⑵研究不等關(guān)系列不等式的重點是抓關(guān)鍵詞,弄清不等關(guān)系.
例2、用不等式表示:⑴a與1的和是正數(shù);⑵x的2倍與y的3倍的差是非負數(shù);⑶x的2倍與1的和大于—1;⑷a的一半與4的差的絕對值不小于a.
例3、當x=2時,不等式x-1
注:⑴檢驗字母的值能否使不等式成立,只要代入不等式的左右兩邊,如果符合不等號所表示的關(guān)系,就成立,否則就不成立.⑵代入法是檢驗不等式的解的重要方法.
學生練習:課本P42練習1、2、3.
四、能力拓展
學校組織學生觀看電影,某電影院票價每張12元,50人以上(含50人)的團體票可享受8折優(yōu)惠,現(xiàn)有45名學生一起到電影院看電影,為享受8折優(yōu)惠,必須按50人購團體票.
⑴請問他們購買團體票是否比不打折而按45人購票便宜;
⑵若學生到該電影院人數(shù)不足50人,應(yīng)至少有多少人買團體票比不打折而按實際人數(shù)購票便宜.
解:⑴按實際45人購票需付錢_________ 元,然后如果按50人購買團體票則需付錢50×12×80%=480元,所以購買團體票便宜.
⑵設(shè)有x人到電影院觀看電影,當x_____時,按實際人數(shù)買票______張,需付款_______元,而按團體票購票需付款________元,如果買團體票合算,那么應(yīng)有不等式________________,
由①得,當x=45時,上式成立,讓我們再取一些數(shù)據(jù)試一試,將結(jié)果填入下表:
x12x比較480與12x的大小48
由上表可見,至少要__________人時進電影院,購團體票才合算.
五、小結(jié):
⑴不等式的定義,不等式的'解.
⑵對實際問題中探索得到的不等式的解,然后不僅要滿足數(shù)學式子,而且要注意實際意義.
六、作業(yè)課本P42習題8.1第1、2、3題.
補充題:
1.用不等式表示:
(1)與1的和是正數(shù);(2)的與的的差是非負數(shù);
(3)的2倍與1的和大于3;(4)的一半與4的差的絕對值不小于.
(5)的2倍減去1不小于與3的和;(6)與的平方和是非負數(shù);
(7)的2倍加上3的和大于-2且小于4;(8)減去5的差的絕對值不大于
2.小李和小張決定把省下的零用錢存起來.這個月小李存了168元,然后小張存了85元.下個月開始小李每月存16元,小張每月存25元.問幾個月后小張的存款數(shù)能超過小李?(試根據(jù)題意列出不等式,并參照教科書中問題1的探索,找出所列不等式的解)
3.某公司在甲、乙兩座倉庫分別有農(nóng)用車12輛和6輛,現(xiàn)需要調(diào)往A縣10輛,調(diào)往B縣8輛,已知從甲倉庫調(diào)運一輛農(nóng)用車到A縣和B縣的運費分別為40元和80元,然后從乙倉庫調(diào)運一輛農(nóng)用車到A縣和B縣的運費分別為30元和50元,(1)設(shè)從乙倉庫調(diào)往A縣農(nóng)用車輛,用含的代數(shù)式表示總運費W元;(2)請你用嘗試的方法,探求總運費不超過900元,共有幾種調(diào)運方案?你能否求出總運費最低的調(diào)運方案.
不等式課件 篇2
(1)本節(jié)內(nèi)容,是在學習了用方程思想解決實際問題和一元一次不等式的性質(zhì)及其解法等知識的基礎(chǔ)上,把實際問題和一元一次不等式結(jié)合在一起,既是對已學知識的運用和深化,又為今后用不等式組解決實際問題以及更廣泛的應(yīng)用數(shù)學建模的思想方法奠定基礎(chǔ),具有在代數(shù)學中承上啟下的作用;
(2)通過本節(jié)的學習,學生將繼續(xù)經(jīng)歷把生活中的數(shù)和數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)學符號的體驗過程,體會不等式和方程一樣都是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的重要模型。
(3)在列不等式解決實際問題的探索過程中,引導學生注意估算意識,體會算式結(jié)果所對應(yīng)的實際意義,滲透建立數(shù)學模型,分類討論等數(shù)學思想,對提升學生應(yīng)用數(shù)學意識思考和解決問題的能力起到積極的作用。
對于用不等式解決實際問題,學生容易出現(xiàn)的認知困難主要有兩個方面:①哪類的實際問題需要用一元一次不等式來解決;②如何將實際問題轉(zhuǎn)化為一元一次不等式并加以解決。
根據(jù)以上的分析和《數(shù)學課程標準》對本課內(nèi)容的教學要求,本節(jié)課的教學重點是:一元一次不等式在決策類實際問題中的應(yīng)用;難點是:如何將實際問題中的數(shù)量關(guān)系符號化,并根據(jù)解集和結(jié)合實際情況分類討論得出合理結(jié)論。
根據(jù)本課教材的特點、《數(shù)學課程標準》對本節(jié)課的教學要求以及學生的認知水平,我從三個方面確定了以下教學目標:
1、能進一步熟練的解一元一次不等式,能從實際問題中抽象出不等關(guān)系的數(shù)學模型,并結(jié)合解集解決簡單的實際問題。
2、通過觀察、實踐、討論等活動,積累利用一元一次不等式解決實際問題的經(jīng)驗,提高分類考慮、討論問題的能力,感知方程與不等式的內(nèi)在聯(lián)系,體會不等式和方程同樣都是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的重要模型。
3、在積極參與數(shù)學學習活動的過程中,體會實事求是的態(tài)度和從數(shù)學的角度思考問題的習慣;學會在解決困難時,與其他同學交流,相互啟發(fā),培養(yǎng)合作精神。
根據(jù)教學內(nèi)容、教學目標和學生的認知水平,我主要采取教師啟發(fā)引導,學生自主探究的教學方法.教學過程中,創(chuàng)設(shè)適當?shù)慕虒W情境,引導學生獨立思考、共同探究,使學生經(jīng)歷將生活中的數(shù)和數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)學符號的具體建模過程,體會不等式作為刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的重要模型的價值。
教學中使用多媒體投影、計算機輔助教學,目的是充分發(fā)揮其快捷、生動、形象的特點,為學生提供直觀感性的材料,有助于學生對問題的關(guān)注和理解,激發(fā)學生的學習興趣.
為了達到本節(jié)課的教學目標,突出重點,突破難點,我把教學過程通過兩個實際問題逐步深入;最后歸納小結(jié),布置作業(yè).具體過程如下:
1、課題引入:
我們以前已經(jīng)學過了一元一次方程以及二元一次方程組的解法,并在解決許多實際問題的過程中感受到:將相等關(guān)系用數(shù)學符號抽象后所得到的“方程”確實是一種有效數(shù)學工具,它能讓我們的思維過程更加準確和簡明!
但是,生活中除了相等的數(shù)量關(guān)系以外,還存在著大量的不等關(guān)系,通過前幾節(jié)課的學習,我們也已經(jīng)基本了解了不等式的性質(zhì)和簡單不等式的解法。今天,就讓我們通過一些帶有選擇“決策”意義的實際問題來共同探討一下一元一次不等式這種數(shù)學模型是如何解決生活中的實際問題的。
實際情景1:在為我校初一年級學生選定營養(yǎng)餐的過程中選中了有兩家公司.
這兩家公司某種適合初一學生的營養(yǎng)餐的報價均是是6.5元/份,營養(yǎng)含量和服務(wù)承諾也均相同,且都表示對學生優(yōu)惠:甲公司表示每份按報價的90%收費,乙公司表示購買100份以上的部分按報價的80%收費.
結(jié) 合新課標對本小節(jié)的要求:會用一元一次不等式解決簡單的實際問題,我選擇的是從數(shù)量關(guān)系上與教材例題類似的收費問題,并且真實數(shù)值與所在年級事情相一致,比書上的例題更能貼近學生的實際生活,引發(fā)學生探求的`興趣。特別的,通常此類題目是不給出具體單價的,因為并不影響最后結(jié)論,考慮到學生現(xiàn)階段的數(shù)學抽象 仍以識別數(shù)量的具體含義為主,所以我在此處添加了單價,并增設(shè)了問題一,用以降低抽象思維的梯度,為后續(xù)的設(shè)未知數(shù)的“代數(shù)化抽象”作適當?shù)匿亯|。
問題(1)請你判斷,我們年級580人用餐,應(yīng)該選擇哪家公司能讓每位學生的餐費平均算來更低呢?
預(yù)案 一:教師應(yīng)關(guān)注學生能否在討論中認清“每位學生的餐費平均算來更低”所對應(yīng)的數(shù)量意義,將之轉(zhuǎn)化為“付給公司的總金額少”。在此處不排除學生因生活經(jīng)歷的缺乏,而對題目中所隱含的數(shù)量關(guān)系抽象能力弱。應(yīng)關(guān)注每一位同學的感受,讓同學們充分理解交流,擴大參與思考的廣度,獲得基本抽象思維的生長點。
預(yù)案二:在進行甲乙公司所需費用的計算時,會有分部計算和綜合計算兩種計算形式,對于那些列綜合算式的同學,教師應(yīng)多給予展示機會,從而幫助其他同學整理思路,理解算式的實際含義;為后續(xù)的字母抽象做好鋪墊。具體計算學生可以合理使用計算器提高課堂速度。
預(yù)案三:學生還有可能不通過計算,直接猜測甲公司合算或者乙公司合算,對于這種有可能產(chǎn)生的聲音,教師應(yīng)從估算的角度加以引導。引導學生體會在580人的前提下,超過100人部分(480人)的甲公司是九折乙公司是八折, 10%的差距,;100人以內(nèi)(少于100人)甲公司九折,乙公司不打折10%的差距,480的10%明顯大于100的10%,所以選乙合算,并引導學生用計算的方法驗證估算的準確性。
結(jié)論:580人時選擇乙公司能讓每位學生的餐費平均算來更低。
問題(2)你能否用以前學過的知識,在不知道具體人數(shù)的前提下制定一套方案,當其他學校的初一年級也想在這兩家公司之間進行選擇時,不用重復第一題的計算過程,只要知道人數(shù)就馬上能根據(jù)你方案的結(jié)論作出決策呢?
結(jié)合以前的訓練,學生很容易想到要通過設(shè)未知數(shù)的方法進行符號表達,將非常關(guān)鍵而題目中并未給出的學生人數(shù)設(shè)為未知數(shù)。由于本題的具體分析過程仍然是由學生分析討論完成,可能出現(xiàn)的情況是:
預(yù)案一:一部分綜合能力較強的同學會根據(jù)實際意義直接列出綜合算式:或
此處教師應(yīng)該引導學生觀察,在化簡不等式的過程中單價并未影響結(jié)果(利用不等式性質(zhì)二將其作為公倍數(shù)約去),即:題目中沒有具體的單價也不會影響本題的決策。
還可以結(jié)合小學單位一的思想化簡不等式,引導學生體會并不是題目中出現(xiàn)的所有數(shù)量都會影響不等關(guān)系,有可能引發(fā)學生的關(guān)于數(shù)量關(guān)系的深層次思考。
預(yù)案 二:還有一部分學生會因為生活經(jīng)驗少的關(guān)系,綜合思考能力弱,無法快速的理清數(shù)量關(guān)系,列出綜合算式,思考受阻,教師應(yīng)引導學生體會在第一題的算式意義的提示下,如何分別列出表達甲乙公司所需總費用的過程量代數(shù)式。然后在通過將之用不等號連接的方式,來表達兩筆費用的大小,降低因綜合性所引起的思維梯度, 在過程中讓學生體會“分步建?!钡乃季S的條理性。
問題(1)如果你是該企業(yè)的高級管理人員,請你設(shè)計該企業(yè)在購買設(shè)備時兩種型號有幾種不同的組合方案;
問題(2)若按固定產(chǎn)量預(yù)算企業(yè)每月產(chǎn)生的污水量約為20xx噸,為了節(jié)約資金,應(yīng)選擇哪種購買方案?
實際情景2的選擇除涉及“角色扮演”和“環(huán)?!钡热宋囊蛩氐目紤]以外,在在結(jié)合本節(jié)的教學目標上還有如下考慮,
1、 本題取材于真實的實際生活問題,情景中的符號和數(shù)量關(guān)系較多,不等關(guān)系在文字語言的敘述中顯得比第一題更加隱蔽,需要學生更深化的思考才能列出算式,是在第一個情景的基礎(chǔ)上的擴展和深化。
2、 在學生的討論過程中,教師應(yīng)注重引導學生體會,用圖表表示的數(shù)字信息比文字表達更便于觀察和有序思考,感受“有序表達”在實際中的價值。
3、 結(jié)合本題每一個的具體問題的分析和解決,學生必須要從表格中分析篩選相關(guān)的有用數(shù)據(jù),(例如:在第一問設(shè)計方案時未用到“處理污水量”和“年消耗費”,在第二問中未用到“價格”和“年消耗費”)這種分析和篩選的思考經(jīng)歷將有助于加強學生對數(shù)據(jù)關(guān)系的理解和運用能力。
結(jié)合以前的訓練,在思考問題(1)學生很容易想到要通過設(shè)A型或B型設(shè)備的
例如:(1)設(shè)購買污水處理設(shè)備A型 臺,則B型(10 – )臺,由題意知:
在此處,將“限額為105萬元”轉(zhuǎn)化為“≤105”是學生要突破的第一關(guān),教師應(yīng)在次處多展示同學的對“限額為105萬元”語言解釋,盡可能多的在具有不同經(jīng)歷基礎(chǔ)的同學心中將這個抽象過程生活化、自然化。
因為在實際情景中往往要根據(jù)未知數(shù)所代表的具體含義為未知數(shù)的加一個取值范圍的限定,而這個隱含的限制條件往往是學生中所不容易考慮到的,教師應(yīng)注意引導學生注意這一問題,
例如:本題中的 是設(shè)備的臺數(shù),應(yīng)用非負整數(shù)的限制,所以 可取0、1、2,因此有三種購買方案:
①購A型0臺,B型10臺;
②購A型1臺,B型9臺;
③購A型2臺,B型8臺。
此處細節(jié)性的思考經(jīng)歷,有助于提高學生在建模過程中更全面的考慮數(shù)值的實際意義,促進抽象符號與具體意義在頭腦中的融合。
特別的,此處的“0”是學生最容易忽視和丟掉的,教師在此處應(yīng)重點引導學生思考當“ ”時,往往是企業(yè)最可能選的方案,因為不同的設(shè)備涉及到不同的維護問題,單一品種的設(shè)備往往更便于管理,這種思考有助于發(fā)散學生的思維,促進其結(jié)合實際作更全面的思考。
問題(2)的思維梯度較前幾個問題進一步加大,學生必須理解“節(jié)約資金”這個目的的達成 一定是在“完成任務(wù)”的前提下的,要先通過對(1)中所得的三套方案是否能完成任務(wù)加以討論和驗證,然后再涉及計算哪個方案費用更低的問題
在驗證三套方案的可行性時,收思維方式的局限,學生往往會選擇逐一列舉計算的討論方式,并且由于數(shù)量少,很容易得出答案,教師可引導學生思考,如果滿足(1)的方案不是三種,而是三十種呢?三百種呢?除了逐一討論以外還有沒有什么更好的方式能幫助我們迅速縮小范圍呢?引導學生將所買設(shè)備能否完成任務(wù)量轉(zhuǎn)化為如下不等關(guān)系:
(2)同(1)所設(shè)購買污水處理設(shè)備A型 臺,則B型(10 – )臺,
240 +200(10 – )≥20xx;
因此為了節(jié)約資金,應(yīng)選購A型1臺,B型9臺。
此處的分析和引導有助于學生體會不等式在有效縮小討論范圍時的實際價值。
通過以上問題的解決,學生對不等式和方程一樣都是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的重要模型有了進一部的認識,并感受到不等式確實是從實際問題中提出,又為解決實際問題提供明確的幫助有效數(shù)學工具。
本階段通過學習小結(jié)進行課堂教學的反饋,組織和指導學生歸納知識、技能、方法,深化對數(shù)學思想方法的認識,為后續(xù)學習打好基礎(chǔ)。
不等式課件 篇3
(1)本節(jié)內(nèi)容,是在學習了用方程思想解決實際問題和一元一次不等式的性質(zhì)及其解法等知識的基礎(chǔ)上,把實際問題和一元一次不等式結(jié)合在一起,既是對已學知識的運用和深化,又為今后用不等式組解決實際問題以及更廣泛的應(yīng)用數(shù)學建模的思想方法奠定基礎(chǔ),具有在代數(shù)學中承上啟下的作用;
(2)通過本節(jié)的學習,學生將繼續(xù)經(jīng)歷把生活中的數(shù)和數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)學符號的體驗過程,體會不等式和方程一樣都是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的重要模型。
(3)在列不等式解決實際問題的探索過程中,引導學生注意估算意識,體會算式結(jié)果所對應(yīng)的實際意義,滲透建立數(shù)學模型,分類討論等數(shù)學思想,對提升學生應(yīng)用數(shù)學意識思考和解決問題的能力起到積極的作用。
對于用不等式解決實際問題,學生容易出現(xiàn)的認知困難主要有兩個方面:①哪類的實際問題需要用一元一次不等式來解決;②如何將實際問題轉(zhuǎn)化為一元一次不等式并加以解決。
根據(jù)以上的分析和《數(shù)學課程標準》對本課內(nèi)容的教學要求,本節(jié)課的教學重點是:一元一次不等式在決策類實際問題中的應(yīng)用;難點是:如何將實際問題中的數(shù)量關(guān)系符號化,并根據(jù)解集和結(jié)合實際情況分類討論得出合理結(jié)論。
根據(jù)本課教材的特點、《數(shù)學課程標準》對本節(jié)課的教學要求以及學生的認知水平,我從三個方面確定了以下教學目標:
1.能進一步熟練的解一元一次不等式,能從實際問題中抽象出不等關(guān)系的數(shù)學模型,并結(jié)合解集解決簡單的實際問題。
2.通過觀察、實踐、討論等活動,積累利用一元一次不等式解決實際問題的經(jīng)驗,提高分類考慮、討論問題的能力,感知方程與不等式的內(nèi)在聯(lián)系,體會不等式和方程同樣都是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的重要模型。
3.在積極參與數(shù)學學習活動的過程中,體會實事求是的態(tài)度和從數(shù)學的角度思考問題的習慣;學會在解決困難時,與其他同學交流,相互啟發(fā),培養(yǎng)合作精神。
三、教學方法的選擇
根據(jù)教學內(nèi)容、教學目標和學生的認知水平,我主要采取教師啟發(fā)引導,學生自主探究的教學方法.教學過程中,創(chuàng)設(shè)適當?shù)慕虒W情境,引導學生獨立思考、共同探究,使學生經(jīng)歷將生活中的數(shù)和數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)學符號的具體建模過程,體會不等式作為刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的重要模型的價值,
教學中使用多媒體投影、計算機輔助教學,目的是充分發(fā)揮其快捷、生動、形象的特點,為學生提供直觀感性的材料,有助于學生對問題的.關(guān)注和理解,激發(fā)學生的學習興趣.
為了達到本節(jié)課的教學目標,突出重點,突破難點,我把教學過程通過兩個實際問題逐步深入;最后歸納小結(jié),布置作業(yè).具體過程如下:
1、課題引入:
我們以前已經(jīng)學過了一元一次方程以及二元一次方程組的解法,并在解決許多實際問題的過程中感受到:將相等關(guān)系用數(shù)學符號抽象后所得到的“方程”確實是一種有效數(shù)學工具,它能讓我們的思維過程更加準確和簡明!
但是,生活中除了相等的數(shù)量關(guān)系以外,還存在著大量的不等關(guān)系,通過前幾節(jié)課的學習,我們也已經(jīng)基本了解了不等式的性質(zhì)和簡單不等式的解法。今天,就讓我們通過一些帶有選擇“決策”意義的實際問題來共同探討一下一元一次不等式這種數(shù)學模型是如何解決生活中的實際問題的。
實際情景1:在為我校初一年級學生選定營養(yǎng)餐的過程中選中了有兩家公司.
這兩家公司某種適合初一學生的營養(yǎng)餐的報價均是是6.5元/份,營養(yǎng)含量和服務(wù)承諾也均相同,且都表示對學生優(yōu)惠:甲公司表示每份按報價的90%收費,乙公司表示購買100份以上的部分按報價的80%收費.
結(jié) 合新課標對本小節(jié)的要求:會用一元一次不等式解決簡單的實際問題,我選擇的是從數(shù)量關(guān)系上與教材例題類似的收費問題,并且真實數(shù)值與所在年級事情相一致,比書上的例題更能貼近學生的實際生活,引發(fā)學生探求的興趣。特別的,通常此類題目是不給出具體單價的,因為并不影響最后結(jié)論,考慮到學生現(xiàn)階段的數(shù)學抽象 仍以識別數(shù)量的具體含義為主,所以我在此處添加了單價,并增設(shè)了問題一,用以降低抽象思維的梯度,為后續(xù)的設(shè)未知數(shù)的“代數(shù)化抽象”作適當?shù)匿亯|。
問題(1)請你判斷,我們年級580人用餐,應(yīng)該選擇哪家公司能讓每位學生的餐費平均算來更低呢?
預(yù)案 一:教師應(yīng)關(guān)注學生能否在討論中認清“每位學生的餐費平均算來更低”所對應(yīng)的數(shù)量意義,將之轉(zhuǎn)化為“付給公司的總金額少”。在此處不排除學生因生活經(jīng)歷的缺乏,而對題目中所隱含的數(shù)量關(guān)系抽象能力弱。應(yīng)關(guān)注每一位同學的感受,讓同學們充分理解交流,擴大參與思考的廣度,獲得基本抽象思維的生長點。
預(yù)案二:在進行甲乙公司所需費用的計算時,會有分部計算和綜合計算兩種計算形式,對于那些列綜合算式的同學,教師應(yīng)多給予展示機會,從而幫助其他同學整理思路,理解算式的實際含義;為后續(xù)的字母抽象做好鋪墊。具體計算學生可以合理使用計算器提高課堂速度。
預(yù)案三:學生還有可能不通過計算,直接猜測甲公司合算或者乙公司合算,對于這種有可能產(chǎn)生的聲音,教師應(yīng)從估算的角度加以引導。引導學生體會在 580人的前提下,超過100人部分(480人)的甲公司是九折乙公司是八折, 10%的差距,;100人以內(nèi)(少于100人)甲公司九折,乙公司不打折10%的差距,480的10%明顯大于100的10%,所以選乙合算,并引導學生用計算的方法驗證估算的準確性。
不等式課件 篇4
教學建議
一、知識結(jié)構(gòu)
本書首先結(jié)合實例引入一元一次不等式組的解集的概念,然后通過三個例題說明利用數(shù)軸解一元一次不等式組的方法,最后對一元一次不等式組的解法步驟進行了總結(jié).
二、重點、難點分析
本節(jié)教學的重點是掌握一元一次不等式組的解法步驟并準確地求出解集.難點是正確應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)對不等式進行變形、求不等式組中各個不等式解集的公共部分.不等式在中學代數(shù)中是研究問題的重要工具,例如求函數(shù)的定義域、值域、研究函數(shù)的單調(diào)性,求最大值、最小值,一元二次方程根的討論等,都要用到不等式的知識.不等式也是進一步學習其他數(shù)學內(nèi)容的基礎(chǔ).學習和掌握不等式的求解和不等式的證明方法,對培養(yǎng)學生邏輯思維能力也有極其重要的作用.在處理解不等式的問題中,一元一次不等式組的解法,具有特別重要的意義.這是因為,解各類不等式的問題都可以歸結(jié)為解一些由簡單不等式所組成的不等式組.
1、在構(gòu)成不等式組的幾個不等式中
①這幾個一元一次不等式必須含有同一個未知數(shù);
②這里的“幾個”并未確定不等式的個數(shù),只要不是一個,兩個,三個,四個……都行.
2、當幾個不等式的解集沒有公共部分時,我們就說這個不等式組無解.
3、由兩個一元一次不等式組成的不等式的解集,共歸結(jié)為下面四種基本情況:
【注意】①其中第(4)個不等式組,實質(zhì)上是矛盾不等式組,任何數(shù)都不能使兩個不等式同時成立。所以說這個不等式組無解或說其解集為空集。②從上面列出的表中,我們可以概括出來不等式組公共解的一規(guī)律:同大取大,同小取小,一大一小中間找。
三、教法建議
1.解本節(jié)的引例及例1、例2、例3時,注意把解不等式組的思路講清楚,即先分別解每一個不等式,求出解集,再求這些解集的公共部分.求公共部分的過程一定要結(jié)合數(shù)軸來講。
2.這節(jié)課的講解自始至終要突出解不等式組的基本思想以及解一元一次不等式組的步驟這兩個重點.準確熟練地解一元一次不等式以及用數(shù)軸上的點表示不等式的解集是這節(jié)課的基礎(chǔ),因此講新課之前要復習提問這些內(nèi)容。
3.求公共解集是這節(jié)課的新授內(nèi)容,教師要充分利用數(shù)軸表示不等式解集具有形象、直觀、易于說明問題這些優(yōu)點.解集的公共部分教師可用彩筆在數(shù)軸的相應(yīng)部分描畫出來,使學生感到醒目,便于理解記憶。
4.每組不等式不要超過三個,關(guān)鍵是使學生理解和掌握解不等式組的基本思想和兩個步驟,不宜做過于難、過于多、重復的機械計算。
不等式課件 篇5
(一)復習提問:
三角形的三邊關(guān)系?
(二)列一元一次不等式組
問題:現(xiàn)有兩根木條a和b,a長10cm,b長3cm.如果要再找一根木條c,用這三根木條釘成一個三角形木框,那么對木條c的長度有什么要求?
注:這個問題是本節(jié)的'引入問題,三角形木框的形狀不唯一確定,只要能成為三角形即可.
探究:用三根長度分別為14cm,9cm,6cm的木條c1,c2,c3分別試試,其中哪根木條能與木條a和b一起釘成三角形木框?
可以發(fā)現(xiàn),當木條a和b的長度確定后,木條c太長或太短,都不能與a和b一起釘成三角形.
由于“三角形中兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊”,設(shè)木條c長xcm,則x必須同時滿足不等式x10+3①和x10-3②
注:木條c必須同時滿足兩個條件,即ca+b,ca-b.
類似于方程組,把這兩個不等式合起來,組成一個一元一次不等式組記作注:這里并未正式給一元一次不等式組下定義,只是說這兩個不等式合起來,組成一個一元一次不等式組.實際上,兩個或更多的一元一次不等式組合起來,都組成一個一元一次不等式組.
(三)一元一次不等式組的解集
類比方程組的解,怎樣確定不等式組中x的可取值的范圍呢?
不等式組中的各不等式解集的公共部分,就是不等式組中x可以取值的范圍.
注:這里還未正式出現(xiàn)不等式組的解集的概念,但已點出各不等式的解集的公共部分即不等式組中未知數(shù)的可取值范圍.
由不等式①解得x13.
由不等式②解得x7.
從圖9.3—2容易看出,x可以取值的范圍為713.
注:利用數(shù)軸可以直觀形象地認識公共部分.這個公共部分是兩端有界的開區(qū)間.
這就是說,當木條c比7cm長并且比13cm短時,它能與木條a和b一起釘成三角形木框.
一般地,幾個不等式的解集的公共部分,叫做由它們所組成的不等式組的解集.解不等式組就是求它的解集.
注:這里正式給出不等式組的解集以及解不等式組的定義13.注:利用數(shù)軸可以直觀形象地認識公共部分.這個公共部分是兩端有界的開區(qū)間.這就是說,當木條c比7cm長并且比13cm短時,它能與木條a和b一起釘成三角形木框.一般地,幾個不等式的解集的公共部分,叫做由它們所組成的不等式組的解集.解不等式組就是求它的解集.注:這里正式給出不等式組的解集以及解不等式組的定義。
不等式課件 篇6
一元一次不等式組(2)
文星中學唐波
一、教學目標
(一)知識與技能目標
1、熟練掌握一元一次不等式組的解法,會用一元一次不等式組解決有關(guān)的實際問題。
2、理解一元一次不等式組應(yīng)用題的一般解題步驟,逐步形成分析問題和解決問題的能力。
(二)過程與方法目標
通過利用列一元一次不等式組解答實際問題,初步學會從數(shù)學的角度提出問題、理解問題、并能綜合運用所學的知識解決問題,發(fā)展應(yīng)用意識。
(三)情感態(tài)度與價值觀
通過解決實際問題,體驗數(shù)學學習的樂趣,初步認識數(shù)學與人類生活的密切聯(lián)系。
二、教學重難點
(一)重點:建立用不等式組解決實際問題的數(shù)學模型。
(二)難點:正確分析實際問題中的不等關(guān)系,根據(jù)具體信息列出不等式組。
三、學法引導
(一)教師教法:直觀演示、引導探究相結(jié)合。
(二)學生學法:觀察發(fā)現(xiàn)、交流探究、練習鞏固相結(jié)合。
四、教具準備:多媒體演示
五、教學過程
(一)、設(shè)問激趣,引入新課
猜一猜:我屬狗,請同學們根據(jù)我的實際情況來猜測我的年齡。(學生大膽猜想,利用不等關(guān)系分析得出答案。)
(二)、觀察發(fā)現(xiàn),競賽闖關(guān)
1、比一比:填表找規(guī)律
(學生搶答,教師補充。)2利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解不等式組 ?(學生解答,抽生演板。)你可以得到它的整數(shù)解嗎?
(抽生回答:因為大于11小于14的整數(shù)有12和13,所以整數(shù)解為12和13。)3填空:三角形三邊長分別為2、7、c,則 c的取值范圍是__________。如果c是一個偶
數(shù),則 c=__________。
(學生回答,教師補充更正。)
(三)、欣賞圖片,探究新知
1、欣賞“五岳看山”。
2、利用欣賞引出例題(教科書P139例2仿編)
例:3名同學計劃在10天內(nèi)到嵩山拍照500張(每天拍照數(shù)量相同),按原來的計劃,不能完成任務(wù);如果每人每天比原計劃多拍1張,就能提前完成任務(wù),每個同學原計劃每天............拍多少張?
生齊讀,找出題中的已知條件和未知條件;再默讀,找一找表示數(shù)量關(guān)系的句子。師引導分析,并提出問題:
(1)你是怎樣理解“不能完成任務(wù)”的數(shù)量含義的?你是怎樣理解“提前完成任務(wù)”的數(shù)量含義的?
(2)解決這個問題,你打算怎樣設(shè)未知數(shù)?
(3)在本題中,可以找出幾個不等關(guān)系,可以列出幾個不等式?(學生交流討論,教師指導。)
?7x?98
?7(x?3)?98
解答完成后,學生自學課本例2。
3、由例解題答過程,類比列二元一次方程組解應(yīng)用題的步驟,總結(jié)列一元一次不等式組的解題步驟:
(1)、分析題意,設(shè)未知數(shù); .(2)、利用不等關(guān)系,列不等式組; .(3)、解不等式組; .
(4)、檢驗,根據(jù)題意寫出答案。.(學生總結(jié),抽生回答,教師補充。)
(四)、闖關(guān)練習,鞏固新知
1練一練:為紀念“5·12”大地震一周年,“五一”部分同學到青城山拍照留念,如果每人拍8張則多于如果每人拍9張則不夠問共有多少個同學參加青城山旅游? ..150張;..180張。
教師引導:抓住重點詞語,找到不等關(guān)系,列出不等式組。學生獨立完成,抽生回答。
比較列二元一次方程組和列一元一次不等式組解應(yīng)用題的區(qū)別:
(學生類比找區(qū)別,教師補充。)2練一練(教科書P140練習第2題):一本英語書共98頁,張力讀了一周(7天)還沒讀完,而李永不到一周就已讀完。李永平均每天比張力多讀3頁,張力平均每天讀多少頁(答案取整數(shù))?
學生分析列出不等式組,教師指導。(前面的練習已解出不等式組。)
(五)、暢所欲言,歸納小結(jié) 學生暢所欲言,談收獲體會 多媒體展示,本課內(nèi)容小結(jié):
1、解一元一次不等式組的秘笈:同大取大,同小取小,大小小大中間找,大大小小解不了。
2、具有多種不等關(guān)系的問題,可通過不等式組解決。
3、列一元一次不等式組解應(yīng)用題的步驟是:(1)、分析題意,設(shè)未知數(shù);(2)、利用不等關(guān)系,列不等式組;(3)、解不等式組;
(4)、檢驗,根據(jù)題意寫出答案。
(六)、課后演練,終極挑戰(zhàn)
必做題:教材習題第4、5、6題;
選做題:一個兩位數(shù),它的十位數(shù)字比個位數(shù)字大1,而且這個兩位數(shù)大于30小于42,則這個兩位數(shù)是多少?
六、板書設(shè)計
一元一次不等式組(2)
解:設(shè)每個同學原計劃每天拍x張,得
① ?3?10x?500
?
?3?10(x?1)?500②
1、分析題意,設(shè)未知數(shù);
解得x
3根據(jù)題意,x應(yīng)為整數(shù),所以x=16 答:每個同學原計劃每天拍16張。
2??
2、找不等關(guān)系,列不等式組; ?
?
3、解不等式組; ?步驟
??
?
4、檢驗并根據(jù)題意寫出答案。?
不等式課件 篇7
科學合理的教學方法能使教學效果事半功倍,達到教與學的和諧完美統(tǒng)一。
基于此,我準備采用的教法講授法、討論法。德國教育學家第斯多慧:差的教師只會奉送真理,好的教師則交給學生如何發(fā)現(xiàn)真理,老師的教是為了不教,這才是教學的最高境界,所以我采用的學法是練習法、自主合作法。
在這節(jié)課的教學過程中,我注重突出重點,條理清晰,緊湊合理。各項活動的安排也注重互動、交流,最大限度的調(diào)動學生參與課堂的積極性、主動性。
首先是導入環(huán)節(jié),我采用復習舊知的導入方法。我會讓學生回憶不等式的概念以及一元一次方程的概念,明確指出今天學習的內(nèi)容是《一元一次不等式》。
這樣的設(shè)計既可以考查學生對之前知識的掌握情況,還能夠為今天學習一元一次方程的概念打下基礎(chǔ)。而且開門見山的導入方式能夠快速地進入主題。
接下來是新知探索環(huán)節(jié),首先我請學生類比不等式以及一元一次方程的概念,給一元一次不等式下定義。
能夠總結(jié)出:含有一個未知數(shù),未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式,叫做一元一次不等式。
接下來讓學生回憶上節(jié)課學習的不等式x-7>26如何解決的,通過學生回憶總結(jié)可以得到:通過“不等式的兩邊都加7,不等號的方向不變”而得到的。
接下來提問學生有沒有更加簡便的方法解不等式?讓學生類比解一元一次方程的步驟進行解題??梢缘玫较喈斢诳梢杂谩耙祈棥?,來解決。
在這個過程中,強調(diào)每一個步驟,在第二題最后一步,強調(diào)當不等式的兩邊同時乘以(或除以)同一個負數(shù)時,不等號的方向改變。
解完不等式,先讓學生回憶解一元一次方程的步驟是什么?并類比解一元一次方程的步驟,總結(jié)一下解一元一次不等式的步驟是什么?
從而我們歸納:解一元一次方程,要根據(jù)等式的性質(zhì),將方程逐步化為x=a的形式;而解一元一次不等式,則要根據(jù)不等式的性質(zhì),將不等式逐步化為xa的形式。
《數(shù)學課程標準》指出:“學生是數(shù)學學習的主人,教師是數(shù)學學習的組織者、引導者和合作者”。根據(jù)這一教學理念,在本環(huán)節(jié)中,我組織學生進行了自主探究活動,讓學生在保持高度學習熱情和探究欲望的活動過程中,始終以愉悅的心情,親身經(jīng)歷和體驗知識的形成過程。培養(yǎng)學生的探究能力、分析思維能力,激發(fā)他們的創(chuàng)新意識、參與意識。
第三個環(huán)節(jié)是課堂練習環(huán)節(jié),出示問題,解不等式,并在數(shù)軸上表示數(shù)集:5x+15>4x-1
之所以這樣設(shè)計是因為練習是掌握知識、形成技能、發(fā)展思維的重要手段,針對本課的教學重點和難點,上述練習,目的是讓學生進一步鞏固對新知的理解??梢陨罨虒W內(nèi)容,培養(yǎng)思維的靈活性。
最后一個環(huán)節(jié)為小結(jié)作業(yè)環(huán)節(jié),關(guān)于課堂小結(jié),我打算讓學生自己來總結(jié)今天的收獲。
這樣既發(fā)揮了學生的主體性,又可以提高學生的總結(jié)概括能力,讓我在第一時間得到學習反饋,及時加以疏導。
通過這樣的方式能夠為本節(jié)課學習的知識進行進一步的鞏固。
我的板書設(shè)計遵循簡潔明了突出重點的意圖,這是我的板書設(shè)計:
不等式課件 篇8
1、了解一元一次不等式組的概念。
2、理解一元一次不等式組的解集,能求一元一次不等式組的解集。
3、會解一元一次不等式組。
通過具體問題得到一元一次不等式組,從而了解一元一次不等式組的概念,解出每個不等式,利用數(shù)軸求出各不等式解集的公共部分,從而得到不等式組的解集,通過解幾個有代表性的一元一次不等式組,總結(jié)出求不等式組解集的法則。
運用數(shù)軸確定不等式組的解集是行之有效的方法。這種“數(shù)形結(jié)合”的方法今后經(jīng)常用到,鍛煉同學們數(shù)形結(jié)合的能力,提高學習興趣。
一元一次不等式組的解法。
確定一元一次不等式組的解集。
一、情境導入,初步認識
問題1現(xiàn)有兩根木條a和b,a長10cm,b長3cm,如果要再找一根木條c,用這三根木條釘成一個三角形木框,那么木條c的長度有什么要求?
解:由于三角形中兩邊之____大于第三邊,兩邊之____小于第三邊,設(shè)c的長為xcm,則x<____,①x>____,②合起來,組成一個__________。
由①解得_____________,由②解得_____________。
在數(shù)軸上表示就是________________。
容易看出:x的取值范圍是____________________。
這就是說,當木條c比____cm長并且比____cm短時,它能與木條a和b一起釘成三角形木框。
問題2由上面的解不等式組的過程用自己的語言歸納出一元一次不等式組的.解法。
全班同學可獨立作業(yè),也可分組自由討論,10分鐘后交流成果,逐步得出結(jié)論。
二、思考探究,獲取新知
思考什么叫一元一次不等式組,什么叫一元一次不等式組的解集,什么叫解不等式組?
1、定義:
(1)一元一次不等式組:幾個含有相同未知數(shù)的一元一次不等式合起來組成一個一元一次不等式組。
(2)一元一次不等式組的解集:幾個不等式的解集的公共部分,叫做由它們所組成的不等式的解集。
(3)解不等式組:求一元一次不等式組的解集的過程叫解一元一次不等式組。
2、一元一次不等式組的解法:
(1)求出每個一元一次不等式的解集。
(2)求出這些解集的公共部分,便得到一元一次不等式組的解集。
不等式課件 篇9
本節(jié)教學的重點是不等式的解集的概念及在數(shù)軸上表示不等式的解集的方法.難點為不等式的解集的概念.
相同點:定義方式相同(使方程成立的未知數(shù)的值,叫做方程的解);解的表示方法也相同.
不同點:解的個數(shù)不同,一般地,一個不等式有無數(shù)多個解,而一個方程只有一個或幾個解,例如, 能使不等式 成立,那么 是不等式的一個解,類似地 等也能使不等式 成立,它們都是不等式 的解,事實上,當 取大于 的數(shù)時,不等式 都成立,所以不等式 有無數(shù)多個解.
不等式的解與不等式的解集是兩個不同的概念,不等式的解是指滿足這個不等式的未知數(shù)的某個值,而不等式的解集,是指滿足這個不等式的未知數(shù)的所有的值,不等式的所有解組成了解集,解集中包括了每一個解.
注意:不等式的解集必須滿足兩個條件:第一,解集中的任何一個數(shù)值,都能使不等式成立;第二,解集外的任何一個數(shù)值,都不能使不等式成立.
一般地,一個含未知數(shù)的不等式有無數(shù)多個解,其解集是某個范圍,這個范圍可用一個最簡單的不等式表示出來,例如,不等式 的解集是 .
如不等式 的解集 ,可以用數(shù)軸上表示4的點的左邊部分表示,因為 包含 ,所以在表示4的點上畫實心圓.
如不等式 的解集 ,可以用數(shù)軸上表示4的點的左邊部分表示,因為 包含 ,所以在表示4的點上畫實心圈.
注意:在數(shù)軸上,右邊的點表示的數(shù)總比左邊的點表示的數(shù)大,所以在數(shù)軸上表示不等式的解集時應(yīng)牢記:大于向右畫,小于向左畫;有等號的畫實心圓點,無等號的畫空心圓圈.
1.使學生了解不等式的解集、解不等式的概念,會在數(shù)軸上表示出不等式的解集.
2.知道不等式的“解集”與方程“解”的不同點.
通過教學,使學生能夠正確地在數(shù)軸上表示出不等式的解集,并且能把數(shù)軸上的某部分數(shù)集用相應(yīng)的不等式表示.
通過講解不等式的“解集”與方程“解”的關(guān)系,向?qū)W生滲透對立統(tǒng)一的辯證觀點.
通過本節(jié)課的學習,讓學生了解不等式的解集可利用圖形來表達,滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學美.
2.學生學法:明確不等式的解與解集的區(qū)別和聯(lián)系,并能熟練地用數(shù)軸表示不等式的解集,在數(shù)軸上表示不等式的解集時,要特別注意:大于向右畫,小于向左畫;有等號的畫實心圓點,無等號的畫空心圓圈.
不等式課件 篇10
1.了解不等式及一元一次不等式概念。
2.理解不等式的解、解集,能正確表示不等式的解集。
通過類比等式的對應(yīng)知識,探索不等式的概念和解,體會不等式與等式的異同,初步掌握類比的思想方法。
1.經(jīng)歷把實際問題抽象為不等式的過程,能夠列出不等關(guān)系式。
2.初步體會不等式(組)是刻畫現(xiàn)實世界中不等關(guān)系的一種有效數(shù)學模型,培養(yǎng)學生的建模意識。
通過對不等式概念及其解集等有關(guān)概念的探索,培養(yǎng)學生的知識遷移能力和建模意識,加強同學之間的使用與交流。
活動一:
感知不等關(guān)系,了解不等式的概念。
通過實例,讓學生認識到不等關(guān)系在生活中的存在,通過問題的解答,讓學生了解不等式的概念,體會不等式是解決實際問題的有效工具。
活動二:
通過類比方程,繼續(xù)探索出不等式的解、解集及其表示方法。
通過解決上個環(huán)節(jié)的問題,得出不等式的解,再引導學生觀察解的特點,探索出解集的兩種表示方法(符號表示、數(shù)軸表示),并且培養(yǎng)學生用估算方法求解集的技能。
活動三:
繼續(xù)探索,歸納出一元一次不等式的意義。
針對所學的不等式,讓學生歸納出特點,得到一元一次不等式的概念,并對概念進行辨析。
運用本節(jié)所學的知識,解決實際問題,使學生經(jīng)歷將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題,再加以解決的過程,實現(xiàn)對所學知識的鞏固和深化。
讓學生通過自我反思和互相質(zhì)疑提問,歸納總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容,交流在概念、解及解集學習中的心得和體會,不斷積累數(shù)學活動經(jīng)驗,教師應(yīng)主動參與學生小結(jié)中,作好引導工作,布置好作業(yè),并作及時反饋。
小強準備隨父母乘車去武當山春游。
⑴在車上看到兒童買票所需的測身高標識線。
①x滿足______時,他可免票。
②x滿足______時,他該買全票。
⑵已知襄樊與武當山的距離為150千米,他們上午10點鐘從襄樊出發(fā),汽車勻速行駛。
①若該車計劃中午12點準時到達武當山,車速應(yīng)滿足什么條件?
②若該車實際上在中午12點之前已到達武當山,車速應(yīng)滿足什么條件?
用不等式表示:
⑴a是正數(shù);⑵a是負數(shù);⑶a與5的和小于7;⑷a與2的差大于-1;
⑸a的4倍大于8;
⑹a的一半小于3。
學生回答①這兩個由實際生活情境設(shè)置的問題,應(yīng)非常容易.問題②相對①難度加大了,難在題意中的條件不象上面那樣直接明了,并且可從距離和時間兩個角度來分析、解決問題,而七年級學生恰恰缺乏閱讀分析題意、多維度思考解決問題的能力,所以采用小組討論交流的形式解決問題②
學生討論角度估計大都集中在距離這一角度,教師可深入小組討論中,認真聽聽同學們的思路,應(yīng)鼓勵學生多發(fā)表意見,并適當點撥,直到得出兩種不等式。
此次活動中,教師應(yīng)重點關(guān)注:討論要有足夠的時間和空間,學生在小組討論交流時,是否敢于發(fā)表自己的想法。
再給出不等式概念:
像前面式子一樣用“>”或“
教師可要求學生舉出一些表示大小的式子,學生舉出的不等式中,可能會有一些不含未知數(shù)的,如5>3等。教師此時應(yīng)總結(jié):不等式中可含有未知數(shù),也可不含未知數(shù)。
教師根據(jù)學生舉例給出表示不等關(guān)系的第三種符號“≠”,并強調(diào):像前面式子一樣用“≠”表示不等關(guān)系的式子也是不等式。
鞏固練習是讓學生用不等式來刻畫題中6個簡單的不等關(guān)系。學生得出答案并不難,所以該環(huán)節(jié)讓學生獨立完成、互相評價,教師可深入到學生的解題過程中,觀察指導學生的解題思路,傾聽學生的評價。
問題1在課本中起導入新課作用,考慮學生實際情況(分析應(yīng)用題能力尚欠缺)和題目難度,所以設(shè)置問題串,降低難度。這樣編排教材我認為更能體現(xiàn)知識呈現(xiàn)的序列性,從易到難,讓學生“列不等式”能力實現(xiàn)螺旋上升。
問題3作用僅僅起鞏固上面所學的知識,所以采用書中的一組習題,讓學生獨立完成,進一步培養(yǎng)學生列不等式能力。
采用學生熟悉的生活情境作為導入內(nèi)容,然后層層推進,步步設(shè)問,環(huán)環(huán)相扣,直至推出不等式的概念及概念理解中應(yīng)注意的地方。這樣實現(xiàn)了:讓學生從已有的數(shù)學經(jīng)驗出發(fā),從生活中建構(gòu)數(shù)學模型,為后面利用“不等式”這一模型解決生活中實際問題作好鋪墊,體現(xiàn)了數(shù)學生活化、生活
不等式課件 篇11
1、一元一次不等式的概念:一般地,不等式中只含有一個未知數(shù),未知數(shù)的次數(shù)是1,且不等式的兩邊都是整式,這樣的不等式叫做一元一次不等式。
2、解一元一次不等式的一般步驟:(1)去分母(2)去括號(3)移項(4)合并同類項(5)將x項的系數(shù)化為1
1、一元一次不等式組的概念:幾個一元一次不等式合在一起,就組成了一個一元一次不等式組。
2、幾個一元一次不等式的解集的公共部分,叫做它們所組成的一元一次不等式組的解集。
3、求不等式組的解集的過程,叫做解不等式組。
4、當任何數(shù)x都不能使不等式同時成立,我們就說這個不等式組無解或其解為空集。
3、代數(shù)式1-m的值大于-1,又不大于3,則m的取值范圍是( )
A.x≥1 B.x≥-1/2 C.x>1 D.x>-1/2
A.5+4>8 B.2x-1 C.2x-5≤1 D.1/x-3x≥0
A. a>0? B.a≥0? C.a
11、若關(guān)于x的不等式組 的解集是x>2a,則a的取值范圍是
A. a>4 B. a>2 C. a=2 D.a≥2
12、若方程組 中,若未知數(shù)x、y滿足x+y>0,則m的取值范圍是
13、不等式2(1) x>-3的解集是 。
14、用代數(shù)式表示,比x的5倍大1的數(shù)不小于x的 與4的差 。
15、若(m-3)x-1,則m .
18、某次個人象棋賽規(guī)定:贏一局得2分,平一局得0分,負一局得反扣1分。在12局比賽中,積分超過15分就可以晉升下一輪比賽,小王進入了下一輪比賽,而且在全部12輪比賽中,沒有出現(xiàn)平局,問小王最多輸 局比賽
1、定義:把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180°,如果它能夠與另一個圖形重合,那么就說這兩個圖形關(guān)于這個點對稱或中心對稱,這個點叫做對稱中心.這兩個圖形中的對應(yīng)點叫做關(guān)于中心的對稱點。
2、心對稱的兩條基本性質(zhì):
(1)關(guān)于中心對稱的兩個圖形,對稱點所連線段都經(jīng)過對稱中心,而且被對稱中心所平分。
(2)關(guān)于中心對稱的兩個圖形是全等圖形。
把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180°,如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合,那么這個圖形叫做中心對稱圖形,這個點就是它的對稱中心。
每上第一次課,我所講的課程內(nèi)容都和學生的錯題有關(guān)。我通常把試卷中的錯題摘抄出幾個典型題,作為課堂的例題再講一遍。而學生的反應(yīng),或是像沒有見過,或是對題目非常熟悉,但沒有思路。
這些現(xiàn)象的發(fā)生,都是學生沒有及時總結(jié)的原因。所以第一次課后我都建議我的學生做一個錯題本,像寫日記一樣,記錄下自己的錯題和感想。
成也審題敗也審題。如何審題呢?
(1)這個題目有哪些個已知條件?我能不能把已知條件分開?
(2)求解的目標是什么?對求解有什么要求?
(3)能不能畫一個圖幫助思考?好多問題是沒有看清楚題意致錯。審題不清,你做得越多,可能錯的就越多。
(4)所給出的已知條件相互之間有什么關(guān)系?能不能從中發(fā)現(xiàn)隱含條件?
(5)已知條件與求解目標有什么聯(lián)系?能不能從中獲得解題的思路?找到進門的門檻?
不等式課件 篇12
1.使學生感受到生活中存在著大量的不等關(guān)系,了解不等式和一元一次不等式的意義;
2.讓學生自發(fā)地尋找不等式的解,會在數(shù)軸上正確地表示出不等式的解集;
3.能夠根據(jù)題意準確迅速地列出相應(yīng)的不等式。
1.通過汽車行駛過a地這一實例的研究,使學生體會到數(shù)學來源于生活,又服務(wù)于生活,培養(yǎng)學生“學數(shù)學、用數(shù)學”的意識;
2.經(jīng)歷由具體實例建立不等模型的過程,探究不等式的解與解集的不同意義的過程,滲透數(shù)形結(jié)合的思想。
㈢情感、態(tài)度、價值觀:
1.通過對不等式、不等式的解與解集的探究,引導學生在獨立思考的基礎(chǔ)上積極參與對數(shù)學問題的討論,培養(yǎng)他們的合作交流意識;
2.讓學生充分體會到生活中處處有數(shù)學,并能將它們應(yīng)用到生活的各個領(lǐng)域中去。
3.培養(yǎng)學生類比的思想方法、數(shù)形結(jié)合的思想。
1.教學重點:不等式、一元一次不等式、不等式解與解集的意義;在數(shù)軸上正確地表示出不等式的解集;
2.教學難點:不等式解集的意義,根據(jù)題意列出相應(yīng)的不等式。
計算機、自制cai課件、實物投影儀、三角板等。
教師創(chuàng)設(shè)情境引入,學生交流探討;師生共同歸納;教師示范畫圖,課件交互式練習。
〖創(chuàng)設(shè)情境——從生活走向數(shù)學〗
[多媒體展示]“五·一黃金周”快要到了,蕪湖市某兩個商場為了促銷商品,推行以下促銷方案:①甲商場:購物不超過50元者,不優(yōu)惠;超過50元的,超過部分折優(yōu)惠。②乙商場:購物不超過100元者,不優(yōu)惠;超過100元的,超過部分九折優(yōu)惠。親愛的同學,如果五·一期間,你去購物,選擇到哪個商場,才比較合算呢?
(以上教學內(nèi)容是向?qū)W生設(shè)疑,激發(fā)學生探索問題、研究問題的積極性,可以讓學生討論一會兒)
教師:要想正確地解決這個問題,我們大家就要學習第九章《不等式和不等式組》,學完本章的內(nèi)容后,我相信,聰明的你們一定都會作出正確的選擇,真正地做到既經(jīng)濟又實惠。
首先,我們來共同學習本章的第一節(jié)課——9.1.1節(jié)《不等式及其解集》
〖新課學習〗
學習目標:
1.能感受到生活中存在著大量的不等關(guān)系,了解不等式和一元一次不等式和意義;
2.會尋找不等式的解,會在數(shù)軸上正確地表示出不等式的解集;
3.能夠根據(jù)題意準確迅速地列出相應(yīng)的不等式。
[多媒體展示一段動畫]:引例:一輛勻速行駛的汽車在11:20距離a地50千米,要在12:00之前駛過a地,車速應(yīng)滿足什么條件?
設(shè)車速是x千米/小時,
(1)從時間上看,汽車要在12:00之前駛過a地,則以這個速度行駛50千米所用的時間不到 小時,即
(2)從路程上看,汽車要在12:00之前駛過a地,則以這個速度行駛 小時的路程要超過50千米,即
請同學們觀察上面的兩個式子,式子左右兩邊的大小關(guān)系是怎樣的? 左右兩邊相等嗎?
在學生充分發(fā)表自己意見的基礎(chǔ)上,師生共同歸納得出:
用“>”或“<”號表示大小關(guān)系的式子叫做不等式;
用“≠”表示不等關(guān)系的式子也是不等式。
判斷下列式子中哪些是不等式,是不等式的請在題后的括號內(nèi)劃“√”,不是的請劃“×”
(1)3> 2????? (???? ) (2)2a+1> 0?? (???? )?? (3)a+b=b+a? (???? )
(4)x< 2x+1?? (???? )???? (5)x=2x-5??? (???? ) (6)2x+4x< 3x+1 (???? )????????? (7)15≠7+9? (???? )
上面的不等式中,有些不含未知數(shù),有些含有未知數(shù),大家把(2)、(4)、(6)式與(5)式類比,(5)式是一個一元一次方程,能不能給(2)、(4)、(6)式也起個名字呢?
含有一個未知數(shù), 未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式,叫做一元一次不等式.
問題2:車速可以是78千米/小時嗎?75千米/小時呢? 72千米/小時呢?
問題3:我們曾經(jīng)學過“使方程兩邊相等的未知數(shù)的值就是方程的解”,那么我們可以把使不等式成立的未知數(shù)的值叫做什么呢?
(師生共同歸納)使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解。
2.課堂練習二——動一動腦,動一動手,你一定能算得對。
76, 73, 79, 80, 74.9, 75.1, 90, 60
(學生做完后,師問):你還能找出這個不等式的其他的解嗎?這個不等式有多少個解?你從中發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?
(學生討論后,師生共同總結(jié)):當x>75時,不等式 x>50總成立;而當x<75或x=75時,不等式 x>50不成立,這就是說,任何一個大于75的數(shù)都是不等式 x>50的解,這樣的解有無數(shù)個。因此,x>75表示了能使不等式 x>50成立的x的取值范圍,叫做不等式 x>50的解的集合,簡稱解集。
我們再回到前面的問題,經(jīng)過剛才的分析,可以知道,要使汽車在12:00之前駛過a地,車速必須大于75千米/小時。
一個含有未知數(shù)的不等式的所有的解,組成了這個不等式的解集。
4.在數(shù)軸上表示不等式的解集;
注意:在表示75的點上畫空心圓圈,表示不包括這一點.
5.課堂練習三——動一動腦,動一動手,你一定能算得對。
判斷下列數(shù)中哪些是不等式x+3>6的解? 哪些不是?
-4, -2.5,? 0,? 1,? 2.5,? 3,? 3.2,? 4.8,? 8,? 12
求不等式的解集的過程叫做解不等式。
7.課堂練習四——看誰算得最快最準。
直接想出不等式的解集,并在數(shù)軸上表示出不等式的解集:
(1) x+3>6;??????? (2)2x<8;?? ?(3)x-2>0
解:(1)x>3;???????? (2)x<4;??? (3)x>2。
1.例用不等式表示:
(1)x與1的和是正數(shù);??????(2)的與的的差是負數(shù);
(3)的2倍與1的和大于3;(4)的一半與4的差小于的3倍.
解:(1)x+1>0;???????? (2)+b<0;
(3)2+1>3;????? (4)-4<3;
2.課堂練習五——看誰最列得又快又準。
用不等式表示:
(1)是正數(shù);??????????(2)是負數(shù);
(3)與5的和小于7;??(4)與2的差大于-1;
(5)的4倍大于8;??????(6)的一半小于3.
答案;(1)>0;??????? (2)<0;?? (3)+5>0;
學生小結(jié),師生共同完善:
2.會尋找不等式的解,會在數(shù)軸上正確地表示出不等式的解集;
3.能夠根據(jù)題意準確迅速地列出相應(yīng)的不等式。
不等式課件 篇13
教學重點:掌握不等式的三條基本性質(zhì),尤其是不等式的基本性質(zhì)3.
教學難點:正確應(yīng)用不等式的三條基本性質(zhì)進行不等式變形.
通過觀察、分析、討論,引導學生歸納總結(jié)出不等式的三條基本性質(zhì),從具體上升到理論,再由理論指導具體的練習,從而強化學生對知識的理解與掌握.
(設(shè)計說明:設(shè)置以下習題是為了溫故而知新,為學習本節(jié)內(nèi)容提供必要的知識準備.)
2、什么是不等式?
3、用“>”或“<”填空.
(教學說明: 復習等式的基本性質(zhì)后學生自然會聯(lián)想到,不等式是否有與等式相類似的性質(zhì),從而引起學生的探究欲望.接著問題3為學生探究不等式的性質(zhì)提供了載體,通過觀察,尋找規(guī)律,得出不等式的性質(zhì).)
先讓學生獨立思考,后合作交流,通過充分討論,類比等式性質(zhì)得出不等式的性質(zhì).
觀察時,引導學生注意不等號的方向,通過(1)題學生容易得出不等式性質(zhì)1:
不等式基本性質(zhì)1 不等式兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子),不等號的方向不變.
比較(2)、(3)題,注意觀察不等號方向,并思考不等號方向的改變與什么有關(guān)?由學生概括總結(jié),教師補充完善得出:
不等式基本性質(zhì)2 不等式兩邊乘(或除以)同一個不為零的正數(shù),不等號的方向不變.
不等式基本性質(zhì)3 不等式兩邊乘(或除以)同一個不為零的負數(shù),不等號的方向改變.
通過PPT用圖形演示不等式的基本性質(zhì),讓學生更加清楚地認識不等式的基本性質(zhì)。
不等式有傳遞性嗎?
【學生通過討論能夠比較容易得出結(jié)論:不等式有對稱性,但要注意其不等號方向的`變化;不等式也有傳遞性,但要注意的是同向傳遞性。】
三、鞏固訓練,熟練技能:
1、(1) a - 3____b - 3;
(3) 0.1a____0.1b;
(5) 2a+3____2b+3;
【本題目采用提問的方式,因為內(nèi)容相對簡單,所以可以迅速得到結(jié)論。要讓提問者說清楚答案,并說明利用不等式的性質(zhì)幾來進行判定的?!?/p>
(1)因為7.5>5.7,所以-7.5<-5.7;
(2)因為a+8>4,所以a>-4;
(3)因為4a>4b,所以a>b;
(4)因為-1>-2,所以-a-1>-a-2;
(5)因為3>2,所以3a>2a.
【學生口答,并說明為什么。本題重點是第5小題,要引導學生總結(jié)出a的取值會影響到答案。當a>0時,3a>2a.(不等式基本性質(zhì)2)
當 a=0時,3a=2a.當a<0時,3a<2a.(不等式基本性質(zhì)3) 】
學生自己完成以下題目,之后進行集體講解。
(1)如果x-5>-1,那么______________________,得:x>4
(2)如果-2x>3,那么那么______________________,得X=______
師生共同小結(jié)本節(jié)課所學重點,不等式的基本性質(zhì)的具體內(nèi)容。
不等式課件 篇14
基本不等式是數(shù)學中重要的一個概念,它與不等式的證明和應(yīng)用有著密切的關(guān)系?;静坏仁降慕夥ê退季S方法不僅能讓我們更好地掌握不等式的性質(zhì)和應(yīng)用,同時也能讓我們更好地解決數(shù)學中的其他問題。下面,讓我們就基本不等式這一主題展開更加深入的探討。
一、基本不等式的定義、證明和性質(zhì)
基本不等式定義:對于任意實數(shù)$x$,$y$,有$(x^2+y^2)\geq 2xy$,等號成立當且僅當$x=y$時成立。
基本不等式的證明:我們可以通過平方展開和配方進行證明,即:
$(x-y)^2\geq 0$
$x^2-2xy+y^2\geq 0$
$x^2+y^2\geq 2xy$
證畢。
基本不等式的性質(zhì):基本不等式可以用于求證其他不等式和解決實際問題,例如可以用基本不等式證明算術(shù)平均數(shù)$\ge$幾何平均數(shù),可以用基本不等式求證要想最小化一個多項式,需要使其中的各項等于彼此等于基本不等式中的相等值等。
二、基本不等式的應(yīng)用及相關(guān)例題
基本不等式的應(yīng)用廣泛,其中最常見的應(yīng)用就是在證明和求解不等式問題中。下面,我們就通過例題來展示基本不等式的具體應(yīng)用。
例題一:
已知$a,b,c$均為正實數(shù),求出$abc$與$\frac{(a+b+c)^3}{27}$的大小關(guān)系。
解:由于$a,b,c$均為正實數(shù),故可運用基本不等式進行求解,即
$\begin{aligned}
\frac{(a+b+c)}{3}\geq\sqrt[3]{abc}\\
(a+b+c)^3\geq 27abc
\end{aligned}$
因此,
$\frac{(a+b+c)^3}{27}\geq abc$
即$\frac{(a+b+c)^3}{27}\geq abc$
得證。
例題二:
已知$a+b=3$,$a^2+b^2=5$,求出$a,b$的大小關(guān)系。
解:由已知條件可得$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$,即
$9=5+2ab$
$ab=\frac{4}{3}$
由基本不等式知得
$2ab=\frac{8}{3}\leq a^2+b^2=5$
即$a^2+b^2>2ab$,因此$a^2>b^2$,
又因為$a+b=3$,所以$b=3-a$,
所以$(3-a)^2
$9+a^2-6a
$a>\frac{3}{2}$
因此,
$a>b>\frac{3}{2}-a$
即$0
例題三:
已知$a,b,c>0$,求證$\frac{(a+b)^2}{c}+\frac{(b+c)^2}{a}+\frac{(c+a)^2}\geq 12(a+b+c)$
解:由基本不等式得
$(a+b)^2\geq 4ab,(b+c)^2\geq 4bc,(c+a)^2\geq 4ac$
將以上三個式子代入原式變化得
$\frac{4ab}{c}+\frac{4bc}{a}+\frac{4ac}\geq 12(a+b+c)$
即$4(ab^2+bc^2+ca^2)\geq 12abc(a+b+c)$
即$(ab^2+bc^2+ca^2)\geq 3abc$
由于$a,b,c>0$,故得證。
三、基本不等式的擴展
除了基本不等式外,還有一些基本不等式的擴展形式,例如平均值不等式和柯西施瓦茲不等式等。這些擴展形式大大豐富了不等式的證明和應(yīng)用,并為數(shù)學研究提供了更加廣泛的空間。下面,我們就來簡單介紹一下平均值不等式和柯西施瓦茲不等式的相關(guān)內(nèi)容。
平均值不等式:對于$n$個非負實數(shù)$x_1,x_2,\cdots,x_n$,有
$\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\geq\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}$
其中等號成立當且僅當$x_1=x_2=\cdots=x_n$時成立。
柯西施瓦茲不等式:對于任意實數(shù)$x_1,x_2,\cdots,x_n$和$y_1,y_2,\cdots,y_n$,有
$(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)(y_1^2+y_2^2+\cdots+y_n^2)\geq(x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n)^2$
其中等號成立當且僅當$\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}=\cdots=\frac{x_n}{y_n}$時成立。
四、總結(jié)
綜上所述,基本不等式是數(shù)學中重要的一個概念,它與不等式的證明和應(yīng)用有著密切的關(guān)系。基本不等式的解法和思維方法不僅能讓我們更好地掌握不等式的性質(zhì)和應(yīng)用,同時也能讓我們更好地解決數(shù)學中的其他問題。在學習和應(yīng)用基本不等式時,我們還需掌握其相關(guān)的擴展形式,如平均值不等式和柯西施瓦茲不等式等。只有充分掌握了這些知識點,我們才能更加深入地理解并應(yīng)用不等式的知識。
不等式的課件收藏
經(jīng)驗時常告訴我們,做事要提前做好準備。在幼兒教育工作中,我們都有會準備一寫需要用到資料。資料包含著人類在社會實踐,科學實驗和研究過程中所匯集的經(jīng)驗。有了資料的協(xié)助我們的工作會變得更加順利!所以,關(guān)于幼師資料你究竟了解多少呢?小編現(xiàn)在推薦你閱讀一下不等式的課件收藏,相信能對大家有所幫助。
不等式的課件 篇1
基本不等式是初中數(shù)學比較重要的一個概念,對于求解不等式問題有非常大的作用。在教學中,老師可以通過多學示例,呈現(xiàn)形式多樣,讓學生深刻理解基本不等式的本質(zhì)和應(yīng)用,使學生在解決實際問題中靈活掌握相關(guān)知識。本文將結(jié)合基本不等式的定義、性質(zhì)和應(yīng)用,探討其相關(guān)主題。
一、基本不等式的定義和性質(zhì)
基本不等式是在解決實際問題時常用到的一種數(shù)學方法,它可以有效地幫助我們解決很多實際問題。在數(shù)學中,一般把基本不等式定義為,對于任何正整數(shù)a和b,有下列不等關(guān)系:
(a+b)^2>=4ab
這個不等式在初中數(shù)學中非常重要,我們還可以把它解釋成下面的形式:對于任何兩個正數(shù)a和b,有下列不等式:
a/b+b/a>=2
這個式子實際上就是基本不等式的一個特例,也說明了基本不等式中的a和b可以指任何兩個正數(shù)。
基本不等式的一些性質(zhì):
1、兩邊同時乘以正數(shù)或是開根號(即不改變不等關(guān)系的實質(zhì))是允許的。
2、當a=b時等號成立。
3、當a不等于b時,不等號成立。
這些性質(zhì)是我們用基本不等式時需要注意的幾個關(guān)鍵點。如果我們了解了這些基本的性質(zhì),就可以更加靈活地運用基本不等式解決實際問題。
二、基本不等式的應(yīng)用
基本不等式的應(yīng)用非常廣泛,例如可以用它來解決以下問題:
1、證明
√(a^2+b^2)>=a/√2+b/√2
這個問題就可以使用基本不等式來證明,首先得到(a+b)^2>=2(a^2+b^2),將式子化簡可得√(a^2+b^2)>=a/√2+b/√2,這就是想要證明的結(jié)論。
2、解決一些最值問題。例如:如何使a+b的值最???這個問題可以用基本不等式來解決,我們設(shè)a+b=k,那么a+b的平方就是k^2,代入基本不等式中可得出:
k^2>=4ab,即(a+b)^2>=4ab
這個不等式右邊是4ab,左邊則是(a+b)^2,因此a+b的值取得最小值時,應(yīng)當使(a+b)^2=4ab,所以a=b,因此a+b的最小值就是2a或是2b。
3、證明一些平方和不等式的結(jié)論。例如:
(a/b)^2+(b/a)^2>=2
這個問題可以通過基本不等式進行證明,首先我們設(shè)x=a/b,y=b/a,很顯然有x+y>=2,然后通過簡單的運算可得:x^2+y^2>=2,也即(a/b)^2+(b/a)^2>=2。
綜上所述,基本不等式作為初中數(shù)學比較重要的一部分,其定義、性質(zhì)和應(yīng)用都與實際問題密切相關(guān)。在解決實際問題時,我們可以通過多學示例,靈活運用基本不等式的性質(zhì)和應(yīng)用,進而更好地理解其本質(zhì)和應(yīng)用,從而使初中數(shù)學知識更加牢固。
不等式的課件 篇2
(1)運用問題的形式幫助學生整理全章的內(nèi)容,建立知識體系。
(2)在獨立思考的基礎(chǔ)上,鼓勵學生開展小組和全班的交流,使學生通過交流和反思加強對所學知識的理解和掌握,并逐步建立知識體系。
通過問題情境的設(shè)立,使學生再現(xiàn)已學知識,鍛煉抽象、概括的能力。解決問題
通過具體問題來體會知識間的聯(lián)系和學習本章所采用的主要思想方法。
通過獨立思考獲取學習的成功體驗,通過小組交流培養(yǎng)合作交流意識,通過大膽發(fā)表自己的觀點,增強自信心。
重點:對一元一次不等式基本性質(zhì)的掌握;理解不等式(組)解及解集的含義,會解簡單的一元一不等式(組),并會在數(shù)軸上表示其解集;會解相關(guān)的問題,建立起相關(guān)的知識體系。
不等式有哪些基本性質(zhì)?它與等式的性質(zhì)有什么相同和不同之處?
解一元一次不等式和解一元一次方程有什么異同?引導學生回憶解一元一次方程的步驟.比較兩者之間的不同學生舉例回答.
舉例說明在數(shù)軸上如何表示一元一不等式(組)的解集分組競賽.看哪一組出的題型好,全班一起解答.
舉例說明不等式、函數(shù)、方程的聯(lián)系.引導學生回憶函數(shù)的有關(guān)內(nèi)容.舉例說明三者之間的關(guān)系.小組討論,合作回答.函數(shù)性質(zhì)、圖象
小組交流、討論不等式和函數(shù)、函數(shù)和方程等之間的關(guān)系,分別舉例說明.
布置作業(yè)開動腦筋,勇于表達自己的'想法.
(1)在運用所學知識解決具體問題的同時,加深對全章知識體系理解。
(2)發(fā)展學生抽象能力、推理能力和有條理表達自己想法的能力.
教學思考:
體會數(shù)學的應(yīng)用價值,并學會在解決問題過程中與他人合作.解決問題。在獨立思考的基礎(chǔ)上,積極參與問題的討論,從交流中學習,并敢于發(fā)表自己的觀點和主張,同時尊重與理解別人的觀點。
情感態(tài)度與價值觀:
進一步嘗試學習數(shù)學的成功體驗,認識到不等式是解決實際問題的重要工具,逐漸形成對數(shù)學活動積極參與的意識。
重點:
對一元一次不等式基本性質(zhì)的掌握;理解不等式(組)解及解集的含義,會解簡單的一元一次不等式(組),并會在數(shù)軸上表示其解集;會解相關(guān)的問題,建立起相關(guān)的知識體系。
↓ ↓
安排一組練習讓學生充分充分討論解決.
(1)當X取何值時,Y>0(2)當X取何值時,Y=0(3)當X取何值時,Y
3.某工人制造機器零件,如果每天比預(yù)定多做一件,那么8天所做零件超過100件;如果每天比預(yù)定少做一件,那么8天所做零件不到90件,這個工人預(yù)定每天做幾個零件?
不等式的課件 篇3
一元二次不等式是高中數(shù)學中的一個重要概念,是指一個帶有二次項的不等式。在數(shù)學學習中,我們經(jīng)常需要利用二次不等式來解決問題,掌握這個概念對于深入了解高中數(shù)學知識是至關(guān)重要的。因此,學習一元二次不等式是高中數(shù)學學習中的一大難點,需要認真對待。
一元二次不等式的概念和性質(zhì)
一元二次不等式可以寫成如下形式:
ax2 + bx + c > 0
或
ax2 + bx + c
其中a、b、c都是實數(shù),a ≠ 0。
我們可以通過一些方法求出不等式的根,比如將其轉(zhuǎn)化為標準形式。將不等式變形,我們可以得到如下形式:
ax2 + bx
或
ax2 + bx > – c
然后,我們再用求一元二次方程根的方法求出不等式的解,就能夠得到它的解集。
對于不等式ax2 + bx + c > 0,其圖像為二次函數(shù)的上凸形,即開口向上的拋物線,而對于不等式ax2 + bx + c
一元二次不等式的解法
解一元二次不等式的方法有很多,下面我們介紹其中的兩種:
方法一:化為標準形式,再利用求一元二次方程根的方法求解。
方法二:利用符號法將不等式中的式子化簡,得到一系列不等式,然后將這些不等式求解即可。
實際上,解一元二次不等式還有很多其他的方法,比如絕對值法、圖形法等等。在解題時,我們要根據(jù)具體的情況選擇最合適的方法來求解。
一元二次不等式的應(yīng)用
一元二次不等式廣泛應(yīng)用于數(shù)學學習以及生活中的各個領(lǐng)域,比如物理學、經(jīng)濟學、社會學等。下面我們以生活中的一個例子來說明一元二次不等式的應(yīng)用。
假設(shè)你要購買一臺電視機,商家提供了兩種方案供你選擇。方案一:首付1500元,每月還款100元;方案二:首付3500元,每月還款80元。那么,你需要比較兩個方案的總花費,來決定哪個方案更加劃算。
我們假設(shè)電視機的總價格為x元。那么,方案一的總花費為:
C1 = 1500 + 100×n
而方案二的總花費為:
C2 = 3500 + 80×n
這里n為分期的期數(shù),即你需要還款的總期數(shù)。為了比較兩種方案的劃算程度,我們可以列出一個一元二次不等式:
1500 + 100×n
經(jīng)過化簡,我們可以得到:
20n > 2000
n > 100
因此,當還款期數(shù)大于100期時,方案一比方案二更加劃算。這個例子很好地展示了一元二次不等式的應(yīng)用,它能夠幫助我們在日常生活中做出明智的選擇,也能夠更加深入地理解數(shù)學知識。
總結(jié)
一元二次不等式是高中數(shù)學學習中的重要概念,它在數(shù)學中和生活中都有廣泛的應(yīng)用。學習一元二次不等式需要我們認真對待,掌握其概念、性質(zhì)和解法,同時也需要我們理解其實際應(yīng)用,這樣才能夠更好地掌握高中數(shù)學的知識。
不等式的課件 篇4
本節(jié)課的研究是對初中不等式學習的延續(xù)和拓展,也是實數(shù)理論的進一步發(fā)展.在本節(jié)課的學習過程中,將讓學生回憶實數(shù)的基本理論,并能用實數(shù)的基本理論來比較兩個代數(shù)式的大小.
通過本節(jié)課的學習,讓學生從一系列的具體問題情境中,感受到在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系,并充分認識不等關(guān)系的存在與應(yīng)用.對不等關(guān)系的相關(guān)素材,用數(shù)學觀點進行觀察、歸納、抽象,完成量與量的比較過程.即能用不等式或不等式組把這些不等關(guān)系表示出來.
在本節(jié)課的學習過程中還安排了一些簡單的、學生易于處理的問題,其用意在于讓學生注意對數(shù)學知識和方法的應(yīng)用,同時也能激發(fā)學生的學習興趣,并由衷地產(chǎn)生用數(shù)學工具研究不等關(guān)系的愿望.根據(jù)本節(jié)課的教學內(nèi)容,應(yīng)用再現(xiàn)、回憶得出實數(shù)的基本理論,并能用實數(shù)的基本理論來比較兩個代數(shù)式的大小.
在本節(jié)教學中,教師可讓學生閱讀書中實例,充分利用數(shù)軸這一簡單的數(shù)形結(jié)合工具,直接用實數(shù)與數(shù)軸上點的一一對應(yīng)關(guān)系,從數(shù)與形兩方面建立實數(shù)的順序關(guān)系.要在溫故知新的基礎(chǔ)上提高學生對不等式的認識.
1.在學生了解不等式產(chǎn)生的實際背景下,利用數(shù)軸回憶實數(shù)的基本理論,理解實數(shù)的大小關(guān)系,理解實數(shù)大小與數(shù)軸上對應(yīng)點位置間的關(guān)系.
2.會用作差法判斷實數(shù)與代數(shù)式的大小,會用配方法判斷二次式的大小和范圍.
3.通過溫故知新,提高學生對不等式的認識,激發(fā)學生的學習興趣,體會數(shù)學的奧秘與數(shù)學的結(jié)構(gòu)美.
教學重點:比較實數(shù)與代數(shù)式的大小關(guān)系,判斷二次式的大小和范圍.
思路1.(章頭圖導入)通過多媒體展示衛(wèi)星、飛船和一幅山巒重疊起伏的壯觀畫面,它將學生帶入“橫看成嶺側(cè)成峰,遠近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中,使學生在具體情境中感受到不等關(guān)系在現(xiàn)實世界和日常生活中是大量存在的,由此產(chǎn)生用數(shù)學研究不等關(guān)系的強烈愿望,自然地引入新課.
思路2.(情境導入)列舉出學生身體的高矮、身體的輕重、距離學校路程的遠近、百米賽跑的時間、數(shù)學成績的多少等現(xiàn)實生活中學生身邊熟悉的事例,描述出某種客觀事物在數(shù)量上存在的不等關(guān)系.這些不等關(guān)系怎樣在數(shù)學上表示出來呢?讓學生自由地展開聯(lián)想,教師組織不等關(guān)系的相關(guān)素材,讓學生用數(shù)學的觀點進行觀察、歸納,使學生在具體情境中感受到不等關(guān)系與相等關(guān)系一樣,在現(xiàn)實世界和日常生活中大量存在著.這樣學生會由衷地產(chǎn)生用數(shù)學工具研究不等關(guān)系的愿望,從而進入進一步的探究學習,由此引入新課.
1回憶初中學過的不等式,讓學生說出“不等關(guān)系”與“不等式”的異同.怎樣利用不等式研究及表示不等關(guān)系?
2在現(xiàn)實世界和日常生活中,既有相等關(guān)系,又存在著大量的不等關(guān)系.你能舉出一些實際例子嗎?
3數(shù)軸上的任意兩點與對應(yīng)的兩實數(shù)具有怎樣的關(guān)系?
4任意兩個實數(shù)具有怎樣的關(guān)系?用邏輯用語怎樣表達這個關(guān)系?
活動:教師引導學生回憶初中學過的不等式概念,使學生明確“不等關(guān)系”與“不等式”的異同.不等關(guān)系強調(diào)的是關(guān)系,可用符號“>”“b”“a
教師與學生一起舉出我們?nèi)粘I钪胁坏汝P(guān)系的例子,可讓學生充分合作討論,使學生感受到現(xiàn)實世界中存在著大量的不等關(guān)系.在學生了解了一些不等式產(chǎn)生的實際背景的前提下,進一步學習不等式的有關(guān)內(nèi)容.
實例1:某天的天氣預(yù)報報道,最高氣溫32 ℃,最低氣溫26 ℃.
實例2:對于數(shù)軸上任意不同的兩點A、B,若點A在點B的左邊,則xA
實例5:三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊.
實例6:限速40 km/h的路標指示司機在前方路段行駛時,應(yīng)使汽車的速度v不超過40 km/h.
實例7:某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定,酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不少于2.5%,蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于2.3%.
教師進一步點撥:能夠發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學當然很好,這說明同學們已經(jīng)走進了數(shù)學這門學科,但作為我們研究數(shù)學的人來說,能用數(shù)學的眼光、數(shù)學的觀點進行觀察、歸納、抽象,完成這些量與量的比較過程,這是我們每個研究數(shù)學的人必須要做的,那么,我們可以用我們所研究過的什么知識來表示這些不等關(guān)系呢?學生很容易想到,用不等式或不等式組來表示這些不等關(guān)系.那么不等式就是用不等號將兩個代數(shù)式連結(jié)起來所成的式子.如-71+4,2x≤6,a+2≥0,3≠4,0≤5等.
教師引導學生將上述的7個實例用不等式表示出來.實例1,若用t表示某天的氣溫,則26 ℃≤t≤32 ℃.實例3,若用x表示一個非負數(shù),則x≥0.實例5,|AC|+|BC|>|AB|,如下圖.
|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.
|AB|-|BC|
實例6,若用v表示速度,則v≤40 km/h.實例7,f≥2.5%,p≥2.3%.對于實例7,教師應(yīng)點撥學生注意酸奶中的脂肪含量與蛋白質(zhì)含量需同時滿足,避免寫成f≥2.5%或p≥2.3%,這是不對的.但可表示為f≥2.5%且p≥2.3%.
對以上問題,教師讓學生輪流回答,再用投影儀給出課本上的兩個結(jié)論.
討論結(jié)果:
(1)(2)略;(3)數(shù)軸上任意兩點中,右邊點對應(yīng)的實數(shù)比左邊點對應(yīng)的實數(shù)大.
(4)對于任意兩個實數(shù)a和b,在a=b,a>b,a0a>b;a-b=0a=b;a-b
活動:通過兩例讓學生熟悉兩個代數(shù)式的大小比較的基本方法:作差,配方法.
點評:本節(jié)兩例的求解,是借助因式分解和應(yīng)用配方法完成的,這兩種方法是代數(shù)式變形時經(jīng)常使用的方法,應(yīng)讓學生熟練掌握.
1.若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,則f(x)與g(x)的大小關(guān)系是( )
解析:f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0,∴f(x)>g(x).
2.已知x≠0,比較(x2+1)2與x4+x2+1的大小.
解:由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.
∵x≠0,得x2>0.從而(x2+1)2>x4+x2+1.
例2比較下列各組數(shù)的大小(a≠b).
(1)a+b2與21a+1b(a>0,b>0);
(2)a4-b4與4a3(a-b).
活動:比較兩個實數(shù)的大小,常根據(jù)實數(shù)的運算性質(zhì)與大小順序的關(guān)系,歸結(jié)為判斷它們的差的符號來確定.本例可由學生獨立完成,但要點撥學生在最后的符號判斷說理中,要理由充分,不可忽略這點.
解:(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=a+b2-4ab2a+b=a-b22a+b.
∵a>0,b>0且a≠b,∴a+b>0,(a-b)2>0.∴a-b22a+b>0,即a+b2>21a+1b.
(2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)
=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]
=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2].
∵2a2+(a+b)2≥0(當且僅當a=b=0時取等號),
又a≠b,∴(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0.∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2]
∴a4-b4
點評:比較大小常用作差法,一般步驟是作差——變形——判斷符號.變形常用的手段是分解因式和配方,前者將“差”變?yōu)椤胺e”,后者將“差”化為一個或幾個完全平方式的“和”,也可兩者并用.
已知x>y,且y≠0,比較xy與1的大小.
活動:要比較任意兩個數(shù)或式的大小關(guān)系,只需確定它們的差與0的大小關(guān)系.
∵x>y,∴x-y>0.
當y
當y>0時,x-yy>0,即xy-1>0.∴xy>1.
點評:當字母y取不同范圍的值時,差xy-1的正負情況不同,所以需對y分類討論.
例3建筑設(shè)計規(guī)定,民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積.但按采光標準,窗戶面積與地板面積的比值應(yīng)不小于10%,且這個比值越大,住宅的采光條件越好.試問:同時增加相等的窗戶面積和地板面積,住宅的采光條件是變好了,還是變壞了?請說明理由.
活動:解題關(guān)鍵首先是把文字語言轉(zhuǎn)換成數(shù)學語言,然后比較前后比值的大小,采用作差法.
解:設(shè)住宅窗戶面積和地板面積分別為a、b,同時增加的面積為m,根據(jù)問題的要求a
由于a+mb+m-ab=mb-abb+m>0,于是a+mb+m>ab.又ab≥10%,
因此a+mb+m>ab≥10%.
所以同時增加相等的窗戶面積和地板面積后,住宅的采光條件變好了.
點評:一般地,設(shè)a、b為正實數(shù),且a0,則a+mb+m>ab.
已知a1,a2,…為各項都大于零的等比數(shù)列,公比q≠1,則( )
C.a1+a8=a4+a5 D.a1+a8與a4+a5大小不確定
解析:(a1+a8)-(a4+a5)=a1+a1q7-a1q3-a1q4
=a1[(1-q3)-q4(1-q3)]=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q)(1+q2).
∵{an}各項都大于零,∴q>0,即1+q>0.
又∵q≠1,∴(a1+a8)-(a4+a5)>0,即a1+a8>a4+a5.
1.下列不等式:①a2+3>2a;②a2+b2>2(a-b-1);③x2+y2>2xy.其中恒成立的不等式的個數(shù)為( )
2.比較2x2+5x+9與x2+5x+6的大小.
答案:
1.C解析:∵②a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,
③x2+y2-2xy=(x-y)2≥0.
∴只有①恒成立.
2.解:因為2x2+5x+9-(x2+5x+6)=x2+3>0,
所以2x2+5x+9>x2+5x+6.
1.教師與學生共同完成本節(jié)課的小結(jié),從實數(shù)的基本性質(zhì)的回顧,到兩個實數(shù)大小的比較方法;從例題的活動探究點評,到緊跟著的變式訓練,讓學生去繁就簡,聯(lián)系舊知,將本節(jié)課所學納入已有的知識體系中.
2.教師畫龍點睛,點撥利用實數(shù)的基本性質(zhì)對兩個實數(shù)大小比較時易錯的地方.鼓勵學有余力的學生對節(jié)末的思考與討論在課后作進一步的探究.
1.本節(jié)設(shè)計關(guān)注了教學方法的優(yōu)化.經(jīng)驗告訴我們:課堂上應(yīng)根據(jù)具體情況,選擇、設(shè)計最能體現(xiàn)教學規(guī)律的教學過程,不宜長期使用一種固定的教學方法,或原封不動地照搬一種實驗?zāi)J?各種教學方法中,沒有一種能很好地適應(yīng)一切教學活動.也就是說,世上沒有萬能的教學方法.針對個性,靈活變化,因材施教才是成功的施教靈藥.
2.本節(jié)設(shè)計注重了難度控制.不等式內(nèi)容應(yīng)用面廣,可以說與其他所有內(nèi)容都有交匯,歷來是高考的重點與熱點.作為本章開始,可以適當開闊一些,算作拋磚引玉,讓學生有個自由探究聯(lián)想的平臺,但不宜過多向外拓展,以免對學生產(chǎn)生負面影響.
3.本節(jié)設(shè)計關(guān)注了學生思維能力的訓練.訓練學生的思維能力,提升思維的品質(zhì),是數(shù)學教師直面的重要課題,也是中學數(shù)學教育的主線.采用一題多解有助于思維的發(fā)散性及靈活性,克服思維的僵化.變式訓練教學又可以拓展學生思維視野的廣度,解題后的點撥反思有助于學生思維批判性品質(zhì)的提升.
1.比較(x-3)2與(x-2)(x-4)的大小.
2.試判斷下列各對整式的大小:(1)m2-2m+5和-2m+5;(2)a2-4a+3和-4a+1.
5.設(shè)a>0,b>0,且a≠b,試比較aabb與abba的大小.
∴(x-3)2>(x-2)(x-4).
=m2.
∵m2≥0,∴(m2-2m+5)-(-2m+5)≥0.
∴m2-2m+5≥-2m+5.
=a2+2.
∵a2≥0,∴a2+2≥2>0.
∴a2-4a+3>-4a+1.
=x24,
又∵x>0,∴x24>0.
∴(1+x2)2>(1+x)2.
由x>0,得1+x2>1+x.
=(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]
=-2xy(x-y).
∵x0,x-y
∴-2xy(x-y)>0.
∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).
5.解:∵aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b,且a≠b,
當a>b>0時,ab>1,a-b>0,
則(ab)a-b>1,于是aabb>abba.
則(ab)a-b>1.
于是aabb>abb a.
綜上所述,對于不相等的正數(shù)a、b,都有aabb>abba.
不等式的課件 篇5
基本不等式是初中數(shù)學中重要的一章內(nèi)容,也是高中數(shù)學和競賽數(shù)學的基礎(chǔ)?;静坏仁降膶W習不僅有助于提高學生的數(shù)學素養(yǎng)和解題能力,同時也能幫助他們提高邏輯思維能力。本文旨在探討“基本不等式”這一主題。
一、基本不等式的定義與性質(zhì)
基本不等式是說:對于正實數(shù)x1,x2,…,xn,有
(x1+x2+…+xn)/n≥√(x1x2…xn),當且僅當x1=x2=…=xn時等號成立。
基本不等式的性質(zhì)有以下幾條:
(1)當n為偶數(shù)時,等號成立;
(2)當n為奇數(shù)時,當且僅當所有數(shù)相等時等號成立;
(3)兩個數(shù)的平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù),即(a+b)/2≥√(ab),其中a,b均為正實數(shù)且a≠b;
(4)當n≥3時,三個數(shù)的平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù),即(a+b+c)/3≥√(abc),其中a,b,c均為正實數(shù)且a≠b≠c。
二、基本不等式的應(yīng)用
基本不等式作為一種重要的數(shù)學工具,可以應(yīng)用于眾多問題之中。以下是基本不等式的一些常見應(yīng)用。
1. 求和式的最小值
例題1:已知-x1+x2+x3+x4+x5=-18,其中x1,x2,x3,x4,x5均為正數(shù),并且x1+x2+x3+x4+x5≥5,則x1x2x3x4x5的最小值為多少?
解法:根據(jù)已知條件,設(shè)x1+x2+x3+x4+x5=5+m(其中m≥0),則有x1+x2+x3+x4+x5+m=5+2m。代入到基本不等式中可得:
(x1+x2+x3+x4+x5+m)/5≥√(x1x2x3x4x5)m/5≥√(x1x2x3x4x5)/5
移項得到x1x2x3x4x5≥1,則x1x2x3x4x5的最小值為1。
2. 比較函數(shù)大小
例題2:比較函數(shù)f(x)=√(a2+x2)+√(b2+(c-x)2)(a,b,c>0)在[0,c]上的最小和最大值。
解法:根據(jù)已知條件和基本不等式,將f(x)分解成兩個正數(shù)的平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的形式,即
f(x)=[√(a2+x2)+√(b2+(c-x)2)]/2+1/2[√(a2+x2)+√(b2+(c-x)2)]
≥√[(√(a2+x2)×√(b2+(c-x)2)]+1/2(2c)
=√(a2+b2+c2+ab-ac-bc)+c
當x=c/3時等號成立,即f(x)的最小值為√(a2+b2+c2+ab-ac-bc)+c,最大值為√(a2+b2+c2+ab+ac+bc)+c。
3. 求極限
例題3:已知數(shù)列{a_n}(n≥1)的通項公式為a_n=(√n+1)/(n+1),則求∑(n從1到∞)a_n的極限。
解法:根據(jù)基本不等式,有
a_1+a_2+…+a_n≥n(√(a_1a_2…a_n))^1/n
代入已知條件,可得:
a_1+a_2+…+a_n≥n[(√(1+1)×√(2+1)×…×√(n+1))/((1+1)×(2+1)×…×(n+1))]^(1/n)
= n[√(n+1)/2×1/3×…×1/(n+1)]^(1/n) =n[(n+1)/[2(n+1)]]^(1/n)
極限為1/2。
4. 求證不等式
例題4:已知a,b,c為正實數(shù),且a+b+c=1,證明∑(a/(1-a))≥3(a2+b2+c2)/(ab+bc+ca)。
解法:將不等式化簡,得:
∑(a/(1-a))≥3(a2+b2+c2)/(ab+bc+ca)
?(a/(1-a))+(b/(1-b))+(c/(1-c))≥3(a2+b2+c2)/(ab+bc+ca)
?(a/(1-a))+(b/(1-b))+(c/(1-c))≥3[(a+b+c)2-(ab+bc+ca)]/(ab+bc+ca)
由于a+b+c=1,有
(ab+bc+ca)≤a2+b2+c2,
(a/(1-a))+(b/(1-b))+(c/(1-c))≥(a+b+c)2/(a(1-a)+b(1-b)+c(1-c))≥3(a2+b2+c2)/(ab+bc+ca)
其中第一個不等式成立是因為當a=b=c=1/3時,等號成立;第二個不等式用到了基本不等式的形式。
綜上所述,基本不等式是數(shù)學中的重要概念,掌握了基本不等式的定義、性質(zhì)和應(yīng)用方法,將有助于提高人們的數(shù)學素養(yǎng)和解題能力。在日常生活和學習中,要重視基本不等式的學習和應(yīng)用,逐步提高自己的數(shù)學水平。
不等式的課件 篇6
學生初步接觸了一點代數(shù)知識(如用字母表示定律,用符號表示數(shù)),是在學生學習了用字母表示數(shù)以后基礎(chǔ)上進行學習。應(yīng)用方程是解決問題的基礎(chǔ),有關(guān)的幾個概念,教材只作描述不下定義。在教學設(shè)計中仍然把理念作為教學的重點,理解方程的意義,判斷“等式”和“方程”知道方程是一個“含有未知數(shù)的等式”,才有可能明確所謂解方程。
學生不夠活潑,學習積極性不是很高,學生數(shù)學基礎(chǔ)不好。方程對學生來說還是比較陌生的,在他們頭腦中還沒有過方程這樣的表象,所以授新課就要從學生原有的`基礎(chǔ)開始,因為在前面學習用字母表示數(shù)的這部分內(nèi)容時,有了基礎(chǔ),我想在學習簡易方程應(yīng)該沒什么大的問題。
1、使學生初步理解和辨析“等式”“不等式”的意義。
2、會按要求用方程表示出數(shù)量關(guān)系,
3、培養(yǎng)學生的觀察、比較、分析能力。
教學重點: 用字母表示常見的數(shù)量關(guān)系,會用方程的意義去判斷一個式子是否是方程。
教師介紹天平各部分名稱。讓學生操作當天平兩端托盤的物體的質(zhì)量相等時,天平就會平衡,指針指向中。根據(jù)這這個原理來稱物體的質(zhì)量。(讓學生操作,激發(fā)學生的興趣,借助實物演示的優(yōu)勢。初步感受平衡與不平衡的表象)
1、實物演示,引出方程:
(1)在天平稱出100克的左邊空杯,讓學生觀察是否平衡,感受1只空杯=100克。
(2)往空杯里倒入果汁,另一邊加100克法碼,問學生發(fā)現(xiàn)了什么? (讓學生感受天平慢慢傾斜,水是未知數(shù))引出100+X>200,往右加100克法碼, 問:哪邊重些?(學生初步感受平衡和不平衡的表象) 問:怎樣用式子表示?100+X<300
(3)教學100+X=250 問:如果是天平平衡怎么辦?(讓學生討論交流平衡的方案)把100克法碼換成50克的砝碼,這時會怎樣?(引導學生觀察這時天平出現(xiàn)平衡), 問:現(xiàn)在兩邊的質(zhì)量怎樣?現(xiàn)在水有多重知道嗎?如果用字母X表示怎樣用式子表示?得出:100+X=250
示題:100+X<250100+X=2504X+50>10040+40=80 X÷2=45X-12=27
請學生觀察合作交流分類:
(一)引出(1)兩邊不相等,叫做不等式。(2)兩邊相等叫做等式。
(2)含有未知數(shù)的等式100+X=250 X÷2=4 揭示:(2)這樣的含有未知數(shù)等式叫做方程(通過分類,培養(yǎng)學生對方程意義的了解) 問:方程的具備條件是什么?(感知必須是等式,而一定含有未知數(shù))你能寫出一些方程嗎?(同桌交流檢查)
(三)練習判斷那些是方程?那些不是方程?
6+2X=14103+X250÷2=1256+X>251÷A=3X+Y=180 (讓學生加深對方程的意義的認識,培養(yǎng)學生的判斷能力。)
教師:我們能夠判斷什么是方程了,方程和等式有很密切的關(guān)系,你能畫圖來表示他們的關(guān)系嗎?(小組合作討論交流)
方程 等式 (讓學生通過觀察、思考、分析、歸類,自主發(fā)現(xiàn)獲得對方程和等式的關(guān)系理解,同時初步滲透教學中的集合思想。)
不等式的課件 篇7
基本不等式作為高中數(shù)學必修內(nèi)容之一,在學生學習中扮演著極為重要的角色。本篇文章將圍繞基本不等式,探討它的概念、性質(zhì)、證明方法及應(yīng)用,并展示基本不等式的魅力和實用性。
一、基本不等式的概念
基本不等式是指對于任意正實數(shù) $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 和任意正整數(shù) $n$,有以下不等式成立:
$\dfrac{a_1}{n}+\dfrac{a_2}{n}+\cdots+\dfrac{a_n}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$
這個不等式也被稱為均值不等式或AM-GM不等式。其中,$\dfrac{a_1}{n}+\dfrac{a_2}{n}+\cdots+\dfrac{a_n}{n}$ 表示這些數(shù)的算術(shù)平均值,而 $\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$ 表示這些數(shù)的幾何平均值。均值不等式的意義在于,算術(shù)平均數(shù)大于等于幾何平均數(shù)。
二、基本不等式的性質(zhì)
基本不等式有以下幾個性質(zhì):
1. 當且僅當 $a_1=a_2=\cdots=a_n$ 時等號成立。
2. 如果 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 中至少有一個數(shù)為 $0$,則 $\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}=0$,這時等號成立。
3. 基本不等式可以擴展到實數(shù)范圍內(nèi)。
4. 均值不等式不等式對于大于 $0$ 的實數(shù)都成立。
三、基本不等式的證明方法
基本不等式有多種證明方法,下面列舉其中兩種:
方法一:數(shù)學歸納法
假設(shè)基本不等式對于 $n=k$ 時成立,即對于 $k$ 個正實數(shù) $a_1,a_2,\cdots,a_k$,有以下不等式成立:
$\dfrac{a_1}{k}+\dfrac{a_2}{k}+\cdots+\dfrac{a_k}{k}\geq\sqrt[k]{a_1a_2\cdots a_k}$
現(xiàn)證明它對于 $n=k+1$ 時也成立。將 $a_{k+1}$ 插入到原來的不等式中,得到:
$\dfrac{a_1}{k+1}+\dfrac{a_2}{k+1}+\cdots+\dfrac{a_k}{k+1}+\dfrac{a_{k+1}}{k+1}\geq\sqrt[k+1]{a_1a_2\cdots a_k a_{k+1}}$
由于:
$\dfrac{a_1}{k+1}+\dfrac{a_2}{k+1}+\cdots+\dfrac{a_k}{k+1}\geq\sqrt[k]{a_1a_2\cdots a_k}$
因此,我們只需證明以下不等式:
$\dfrac{(k+1)\sqrt[k]{a_1a_2\cdots a_k}\cdot a_{k+1}}{k+1}\geq\sqrt[k+1]{a_1a_2\cdots a_k a_{k+1}}$
經(jīng)過變形化簡,可以得到:
$\sqrt[k]{a_1a_2\cdots a_k} \geq \sqrt[k+1]{a_1a_2\cdots a_k a_{k+1}}$
顯然,這是成立的。
因此,按照歸納法的證明方式,基本不等式對于所有的正整數(shù) $n$ 都成立。
方法二:對數(shù)函數(shù)的應(yīng)用
對于 $a_1,a_2,\cdots,a_n$,我們可以定義函數(shù):
$f(x)=\ln{x}$
顯然,函數(shù) $f(x)$ 是連續(xù)的、單調(diào)遞增的。根據(jù)式子:
$\dfrac{a_1}{n}+\dfrac{a_2}{n}+\cdots+\dfrac{a_n}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$
可以得到:
$\ln\left(\dfrac{a_1}{n}\right)+\ln\left(\dfrac{a_2}{n}\right)+\cdots+\ln\left(\dfrac{a_n}{n}\right)\geq\dfrac{1}{n} (\ln a_1+\ln a_2+\cdots+\ln a_n)$
即:
$\ln\left(\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\right)\leq\dfrac{\ln a_1+\ln a_2+\cdots+\ln a_n}{n}$
對于左邊的式子,有:
$\ln\left(\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\right)=\dfrac{1}{n}\ln(a_1a_2\cdots a_n)$
對于右邊的式子,有:
$\dfrac{\ln a_1+\ln a_2+\cdots+\ln a_n}{n}=\ln\left(\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\right)$
因此,我們可以得到:
$\ln(a_1a_2\cdots a_n)\geq n\ln\left(\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\right)$
即:
$a_1a_2\cdots a_n\geq\left(\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\right)^n$
這正是均值不等式的形式。因此,基本不等式得證。
四、基本不等式的應(yīng)用
基本不等式在數(shù)學和物理學中有廣泛的應(yīng)用。下面介紹幾個常見的應(yīng)用場景:
1. 最小值求解
如果有 $n$ 個正實數(shù) $a_1,a_2,\cdots,a_n$,它們的和為 $k$,求它們的積的最大值,即:
$\max(a_1a_2\cdots a_n)$
根據(jù)基本不等式,有:
$\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$
因此,可以得到:
$\dfrac{k}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$
兩邊同時取冪,可以得到:
$\dfrac{k^n}{n^n}\geq a_1a_2\cdots a_n$
即:
$\max(a_1a_2\cdots a_n)=\dfrac{k^n}{n^n}$
2. 凸函數(shù)的優(yōu)化問題
如果 $f(x)$ 是一個凸函數(shù),$a_1,a_2,\cdots,a_n$ 是正實數(shù),$b_1,b_2,\cdots,b_n$ 是任意實數(shù)且 $\sum_{i=1}^n b_i=1$,則有:
$f(b_1a_1+b_2a_2+\cdots+b_na_n)\leq b_1f(a_1)+b_2f(a_2)+\cdots+b_nf(a_n)$
這是凸函數(shù)的優(yōu)化問題中常用的基本不等式形式。它可以通過Jensen不等式或基本不等式證明。
3. 三角形求證
如果我們可以用 $a,b,c$ 表示一個三角形的三邊長,則有:
$\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}\leq\dfrac{(a+b+c)^2}{4\sqrt{3}}$
這個不等式在三角形求證中也被廣泛應(yīng)用。
五、結(jié)語
基本不等式是高中數(shù)學必修內(nèi)容之一,但其實它的應(yīng)用范圍遠不止于此。在實際問題中,基本不等式常常能給我們提供有效的解決方案。通過本文的介紹,希望讀者能夠更加深入地理解基本不等式的概念、性質(zhì)、證明方法及應(yīng)用,并能在實際問題中靈活運用。
不等式的課件 篇8
關(guān)于基本不等式的主題范文:
基本不等式是數(shù)學中非常重要的一道課題,所以我們需要從以下幾個方面來對基本不等式進行介紹。
一、基本不等式是什么
基本不等式是指數(shù)學中的一個重要定理,它表述的是任意正整數(shù)n及n個正數(shù)a1,a2,…,an的積與它們的和之間的關(guān)系。也就是說,對于任意正整數(shù)n和n個正數(shù)a1,a2,…,an,有以下不等式成立:
(a1+a2+…+an)/n ≥ (a1×a2×…×an)1/n
其中,等式成立當且僅當a1 = a2 = … = an。
二、基本不等式的證明
下面我們來看一下基本不等式的證明過程。
首先,如果我們令A(yù)i = nai和G = (a1 × a2 × … × an)1/n,則我們可以將原不等式轉(zhuǎn)化為:
(a1+a2+…+an)/n ≥ G
接下來,我們來看一下如果證明G ≤ (a1+a2+…+an)/n,那么我們就可以證明基本不等式,因為不等式具有對稱性,即如果G ≤ (a1+a2+…+an)/n,則(a1+a2+…+an)/n ≥ G也成立。
接下來,我們證明G ≤ (a1+a2+…+an)/n,即:
(a1+a2+…+an)/n ≥ (a1 × a2 × … × an)1/n
將不等式右邊兩邊平方,得到:
(a1+a2+…+an)/n ≥ (a1 × a2 × … × an)2/n
這時,我們來觀察右邊的式子,將式子中的每一項都乘以(n-1),得到:
(a1 × (n-1) + a2 × (n-1) + … + an × (n-1)) / n ≥ (a1 × a2 × … × an)2/n
繼續(xù)進行簡化,得到:
[(a1 × (n-1)) + (a2 × (n-1)) + … + (an × (n-1))] / n ≥ (n-1) × a1 × a2 × … × an / n
左邊乘以1/n,右邊除以(n-1),得到:
(a1 + a2 + … + an) / n ≥ (a1 × a2 × … × an)1/n
這樣我們就完成了基本不等式的證明。
三、基本不等式在實際中的應(yīng)用
基本不等式在實際中的應(yīng)用非常廣泛,下面我們來看一下其中的幾個例子。
1. 求平均數(shù)
如果我們已知n個正數(shù)的積,需要求它們的平均數(shù),那么根據(jù)基本不等式,我們可以得到:
(a1 + a2 + … + an) / n ≥ (a1 × a2 × … × an)1/n
等式兩邊都乘以n-1,得到:
a1 + a2 + … + an ≥ (n-1) × (a1 × a2 × … × an)1/n
這樣我們就可以求得平均數(shù):
(a1 + a2 + … + an) / n ≥ (n-1) × (a1 × a2 × … × an)1/n / n
2. 求數(shù)列中n個數(shù)的積的最大值
假設(shè)我們需要從數(shù)列{a1, a2, …, an}中選取n個數(shù),求它們的積的最大值。根據(jù)基本不等式,我們有:
(a1 + a2 + … + an) / n ≥ (a1 × a2 × … × an)1/n
因為我們需要求積的最大值,所以當?shù)仁阶筮叺暮颓『玫扔趎個數(shù)的積時,這個積才能取到最大值。因此,我們可以得到:
a1 = a2 = … = an
這樣,我們就得到了求數(shù)列中n個數(shù)的積的最大值的方法。
三、結(jié)論
通過對基本不等式的介紹,我們可以發(fā)現(xiàn)它不僅僅是一道看似簡單的數(shù)學題目,而是一個非常重要的定理,有著廣泛的應(yīng)用價值。希望大家能夠在今后的學習中更加重視基本不等式,并能夠深刻理解它的實際應(yīng)用。
不等式的課件 篇9
基本不等式是高中數(shù)學中重要的一部分,也是初學者比較難掌握的一個概念。通過學習基本不等式,可以幫助學生理解不等式的基本概念、性質(zhì)和運算。同時,對于高中數(shù)學,基本不等式還有很多相關(guān)的題型需要掌握,比如極值問題、夾逼定理等。本文將從基本不等式的定義開始,探討其相關(guān)概念、性質(zhì)和應(yīng)用。
一、基本不等式的定義
基本不等式是指對于任意正實數(shù)a、b,有以下不等式成立:
(a + b)2 ≥ 4ab
這個不等式也可以寫成:
a2 + b2 ≥ 2ab
這個不等式的含義是:對于任意兩個正實數(shù)a、b,它們的平均數(shù)一定大于等于它們的幾何平均數(shù)。
二、基本不等式的證明
對于任意實數(shù)x,y,可以用(x-y)2≥0來證明基本不等式:
(x-y)2≥0
x2-2xy+y2≥0
x2+y2≥2xy
將x換成a、y換成b,即可得到基本不等式。
三、基本不等式的相關(guān)概念
1. 等式條件:
當且僅當a=b時,等式成立。
2. 平均數(shù)與幾何平均數(shù):
平均數(shù)指的是兩個數(shù)的和的一半,即(a+b)/2;幾何平均數(shù)指的是兩個數(shù)的積的二分之一,即√(ab)。由于基本不等式的成立,可以得出平均數(shù)大于等于幾何平均數(shù)的結(jié)論。
3. 關(guān)于兩個數(shù)之和與兩個數(shù)的比值的關(guān)系:
從基本不等式得到如下兩個等式:
(a+b)2=4ab+(a-b)2;ab≥(a+b)/2
以上兩個式子給出了兩個關(guān)于兩個數(shù)之和與兩個數(shù)的比值的關(guān)系。
四、基本不等式的性質(zhì)
1. 交換律和結(jié)合律:基本不等式滿足交換律和結(jié)合律。
2. 反比例函數(shù):若f(x)=1/x,x>0,則f(a)+f(b)≤2f((a+b)/2)對于a,b>0成立。
3. 帶約束的基本不等式:若a,b>0,且a+b=k,則(a+b)/2≥√(ab),即k/2≥√(ab)。
五、基本不等式的應(yīng)用
1. 求證夾逼定理:如果a1≤b1≤c1,且a2≤b2≤c2,則(a1a2+b1b2+c1c2)/3≥(a1b2+b1c2+c1a2)/3≥√(a1b1c1a2b2c2)。
2. 判斷一個二次函數(shù)的最大值或最小值:由于二次函數(shù)的導數(shù)為一次函數(shù),可以通過求導得到函數(shù)的極值。而基本不等式可以用于判斷二次函數(shù)的極值點是否合理,即是否在定義域內(nèi)。
3. 算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)之間的關(guān)系:通過基本不等式可以證明,當兩個數(shù)的和固定時,它們的平均數(shù)越大,它們的幾何平均數(shù)就越小。
總的來說,基本不等式是高中數(shù)學不可缺少的一部分,不僅在考試中占有重要地位,而且還具有很重要的理論意義。希望本文對初學者掌握基本不等式有所幫助。
不等式的課件 篇10
教學目標:
1.一元一次不等式與一次函數(shù)的關(guān)系.
2.會根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式,畫出函數(shù)圖象,并利用不等關(guān)系進行比較.
1.通過一元一次不等式與一次函數(shù)的圖象之間的結(jié)合,培養(yǎng)學生的數(shù)形結(jié)合意識.
2.訓練大家能利用數(shù)學知識去解決實際問題的能力.
體驗數(shù)、圖形是有效地描述現(xiàn)實世界的重要手段,認識到數(shù)學是解決問題和進行交流的重要工具,了解數(shù)學對促進社會進步和發(fā)展人類理性精神的作用.
自己根據(jù)題意列函數(shù)關(guān)系式,并能把函數(shù)關(guān)系式與一元一次不等式聯(lián)系起來作答.
1.張大爺買了一個手機,想辦理一張電話卡,開米廣場移動通訊公司業(yè)務(wù)員對張大爺介紹說:移動通訊公司開設(shè)了兩種有關(guān)神州行的通訊業(yè)務(wù):甲類使用者先繳15元基礎(chǔ)費,然后每通話1分鐘付話費0.2元;乙類不交月基礎(chǔ)費,每通話1分鐘付話費0.3元。你能幫幫張大爺選擇一種電話卡嗎?
2.展示學習目標:
(1)、理解一次函數(shù)圖象與一元一次不等式的關(guān)系。
(2)、能夠用圖像法解一元一次不等式。
(3)、理解兩種方法的關(guān)系,會選擇適當?shù)姆椒ń庖辉淮尾坏仁健?/p>
積極思考,嘗試回答問題,導出本節(jié)課題。
閱讀學習目標,明確探究方向。
問題1:結(jié)合函數(shù)y=2x-5的圖象,觀察圖象回答下列問題:
問題2:如果y=-2x-5,那么當x取何值時,y>0?當x取何值時,y
巡回每個小組之間,鼓勵學生用不同方法進行嘗試,尋找最佳方案。答疑展示中存在的問題。
問題3.兄弟倆賽跑,哥哥先讓弟弟跑9m,然后自己才開始跑,已知弟弟每秒跑3m,哥哥每秒跑4m,列出函數(shù)關(guān)系式,畫出函數(shù)圖象,觀察圖象回答下列問題:
(1)何時哥哥分追上弟弟?
(2)何時弟弟跑在哥哥前面?
(3)何時哥哥跑在弟弟前面?
(4)誰先跑過20m?誰先跑過100m?
你是怎樣求解的?與同伴交流。
問題4:已知y1=-x+3,y2=3x-4,當x取何值時,y1>y2?你是怎樣做的?與同伴交流.
讓學生體會數(shù)形結(jié)合的魅力所在。理解函數(shù)和不等式的聯(lián)系。
移動通訊公司開設(shè)了兩種長途通訊業(yè)務(wù):全球通使用者先繳50元基礎(chǔ)費,然后每通話1分鐘付話費0.4元;神州行不交月基礎(chǔ)費,每通話1分鐘付話費0.6元。若設(shè)一個月內(nèi)通話x分鐘,兩種通訊方式的費用分別為y1元和y2元,那么
(1)寫出y1、y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)在同一直角坐標系中畫出兩函數(shù)的圖象;
(3)求出或?qū)で蟪鲆粋€月內(nèi)通話多少分鐘,兩種通訊方式費用相同;
(4)若某人預(yù)計一個月內(nèi)使用話費200元,應(yīng)選擇哪種通訊方式較合算?
在共同探究的過程中加強理解,體會數(shù)學在生活中的重大應(yīng)用,進行能力提升。
積極完成導學案上的檢測內(nèi)容,相互點評。
學生回顧總結(jié)學習收獲,交流學習心得。
教材P51.習題2.6知識技能1;問題解決2,3.
一、學習與探究:
1.一元一次不等式與一次函數(shù)之間的關(guān)系;
2.做一做(根據(jù)函數(shù)圖象求不等式);
四、課后作業(yè):
等式課件
幼兒教師教育網(wǎng)編輯為大家整理的“等式課件”或許能幫助您解決一些疑惑。教案課件是每個老師在開學前需要準備的東西,每個人都要計劃自己的教案課件了。?設(shè)計有創(chuàng)意的教學課件可以增加學生的學習趣味。我們提供的樣本僅供參考具體操作請根據(jù)實際情況做出調(diào)整!
等式課件 篇1
【教材分析】
在新課程改革中,教材是重要的教育教學因素。等式的基本性質(zhì)是學生解方程的依據(jù),它是系統(tǒng)學習方程的開始。這節(jié)課的內(nèi)容在簡易方程中就起到了承上啟下的作用。原來的教材中對于等式的基本性質(zhì)只是初步的認識,并沒有總結(jié)成概念性的東西,但學生實際運用時卻需要概念來作支撐,所以在教材中作了調(diào)整,讓學生通過觀察天平演示實驗,由具體實物之間的平衡關(guān)系抽象概括出等式的兩個基本性質(zhì)就成了本節(jié)課的教學重點。本課“等式的基本性質(zhì)”是在上一節(jié)剛剛認識了等式和方程的基礎(chǔ)上進行教學的。,其核心思想是構(gòu)建等量關(guān)系的數(shù)學模型。課程標準要求學生能“理解等式的性質(zhì),會利用等式的性質(zhì)解簡單的方程”。
【教學目標】
1.通過天平演示保持平衡的幾種變換情況,初步認識等式的基本性質(zhì)。
2.利用觀察天平保持平衡所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律,能直接判斷天平發(fā)生變化后能否保持平衡。
3.逐步養(yǎng)成觀察與概括。比較與分析的能力。
【教學重點】
掌握等式的基本性質(zhì)。
【教學難點】
理解并掌握等式的性質(zhì),能根據(jù)具體情境列出相應(yīng)的方程。
【數(shù)學思想】
轉(zhuǎn)化的思想,數(shù)形結(jié)合的思想,符號化的思想
【教學過程】
一。創(chuàng)設(shè)情境,引出問題
教師活動
學生活動及達成目標
師:同學們,你們做過天平游戲嗎?這節(jié)課我們要利用天平一起來探索等式的性質(zhì)。(板書課題:等式的性質(zhì))
達成目標:由熟悉的天平引出課題激發(fā)學生的興趣。
二。共同探索,總結(jié)方法
教師活動
學生活動及達成目標
(一)等式的基本性質(zhì)一
1.出示教材第64頁情境圖1第一個天平圖。
讓學生仔細觀察圖,并說一說:通過圖你知道了什么?
教師小結(jié):1個茶壺的重量=2個茶杯的重量。
追問:如果設(shè)一個茶壺的重量是a克,1個茶杯的重量是b克,能用式子表示嗎?
(師板書)
引導學生思考:如果在天平的兩邊同時再各放上一個茶杯,天平會發(fā)生什么變化呢?為什么?
教師先進行實際操作天平驗證,再演示這一過程,并明確:兩邊仍然相等。
提問:如果兩邊各放上2個茶杯,還保持平衡嗎?
兩邊各放同樣的一把茶壺呢?
2.出示教材第64頁圖2的第一個天平圖。
(1)如果用a表示一個花盆的重量,用b表示一個花瓶的重量,怎樣用等式來表示這幅圖呢?
(2)如果把兩邊都拿掉1個花瓶,天平還平衡嗎?讓學生嘗試用等式怎樣表示?
從圖上你能知道什么?(出示教材第64頁圖2第二個天平圖)
3.通過這幾個實驗,你發(fā)現(xiàn)了什么?
4.你能用一句話來表示你的發(fā)現(xiàn)嗎?
(二)等式的基本性質(zhì)二
1.猜猜:除了向前面這樣的變化,天平仍保持平衡外,還可以怎么做能使天平保持平衡?
這時教師一定要及時強調(diào):這都是把等式的兩邊加上或減去同一個數(shù),并提示學生如果把等式的兩邊同時乘或除以一個相同的數(shù)(O除外),會怎么樣呢?
2.出示教材第65頁圖1的第一個天平圖,讓學生觀察并說明。
引導學生用a表示墨水的重量,用b表示鉛筆盒的重量,用式子怎樣表示?
猜一猜:左邊墨水的數(shù)量擴大到原來的2倍,右邊鉛筆盒的數(shù)量也擴大到原來的2倍,天平還保持平衡嗎?
如果把天平的兩邊物品的數(shù)量分別擴大到原來的。3倍。4倍呢?
3.出示教材第65頁圖2的第一個天平圖,讓學生觀察并說明知道了什么。
質(zhì)疑:如果把兩邊的球都平均分成2份,各去掉一份,天平還能平衡嗎?
教師演示。
4.通過剛才的試驗,你發(fā)現(xiàn)了什么?
5.你能用一句話總結(jié)一下等式的這個性質(zhì)嗎?
6.為什么等式兩邊不能除以O(shè)?
1.自主回答,學生可能會回答:天平的左邊放了一把茶壺,右邊放了兩個茶杯,天平保持平衡;這說明一個茶壺的重量與2個茶杯的重量相等。
嘗試寫出:a=2b
先猜一猜,學生可能會猜測出天平仍然平衡,因為兩邊加上的重量一樣多。
觀察小結(jié):實驗證明1個茶壺+1個茶杯的質(zhì)量=3個茶杯的質(zhì)量。
同時學生嘗試用字母表示這個式子:a+b=2b+b
學生回答后,教師演示,并讓學生分別用式子表示:a+2b=2b+2ba+a=2b+a
觀察現(xiàn)在的天平是什么樣的?(平衡)
生嘗試寫出:a+b=4b
先猜一猜,再回答,平衡:a+b-b=4b-b
得出1個花盆和3個花瓶同樣重。
3.學生思考后小結(jié):平衡的天平兩邊加上同樣的物品,天平還保持平衡。平衡的天平兩邊減去同樣的物品,天平還保持平衡。
4.學生歸納等式的性質(zhì)1:等式兩邊加上或減去同一個數(shù),左右兩邊仍然相等。
達成目標:通過演示在天平的兩邊同時放上或拿走同樣的物品,天平仍然平衡。給學生思考。感悟天平保持平衡的變化規(guī)律,提供了直觀的觀察材料。從而得出天平平衡的原理,即等式的一條基本性質(zhì):等式兩邊加上或減去相等的數(shù),等式不變。
1.如:學生猜測天平的兩邊同時放2個。3個杯子;同時減去一把茶壺等。
2.學生觀察并說明:
一瓶墨水的重量=一盒鉛筆盒的重量
寫出等式:a=b。
學生猜測平衡后,教師進行實際天平操作,驗證學生的猜測。
學生用等式表示:2a=2b。
天平仍然保持平衡
3.學生觀察得出:
2個排球的質(zhì)量=6個皮球的質(zhì)量
有了前面的經(jīng)驗學生用a表示排球的重量,用6表示皮球的重量,寫出等式:2a=6b。
學生猜測:平衡,并能用等式a=3b表示。
4.學生會發(fā)現(xiàn):平衡的天平兩邊的物品擴大到原來的相同倍數(shù),天平仍然平衡。平衡的天平兩邊的物品都縮小到原來的幾分之一,天平仍然平衡。
5.學生歸納小結(jié):等式兩邊乘同一個數(shù),或除以同一個不為0的數(shù),左右兩邊仍然相等。
達成目標:等式基本性質(zhì)2的推導在性質(zhì)1的基礎(chǔ)上,讓學生自己通過實驗探究,運用知識的遷移得出,這樣培養(yǎng)了學生的邏輯思維能力,抽象概括能力和口頭表達能力。
6.學生交流,匯報:O不能做除數(shù)。
三。運用方法,解決問題
教師活動
學生活動及達成目標
出示教材第66頁練習十四第4.5題。
學生試做集體訂正,注意學生列式計算時的取值是否正確。
四。反饋鞏固,分層練習
教師活動
學生活動及達成目標
基礎(chǔ)練習:利用等式的性質(zhì)填空
1.如果2x-5=9,那么2x=9+()
2.如果5=10+x,那么5x-()=10
3.如果3x=7,那么6x=()
4.如果5x=15,那么x=()
拓展練習:見課件
讓學生回憶等式的性質(zhì),再自主完成填空。
達成目標:等式的基本性質(zhì)一是簡易方程部分重要的概念,不僅要理解,而且還要會應(yīng)用。
五。課堂總結(jié),提升認識
教師活動
學生活動及達成目標
這節(jié)課你運用了哪些,你有什么收獲?你對自己這堂課的表現(xiàn)是怎么評價的?
學生總結(jié)本節(jié)課的收獲,在梳理總結(jié)過程中提高學生對性質(zhì)的認識和理解。
等式課件 篇2
教學內(nèi)容:教科書第3~4頁的內(nèi)容,練習一的4~6題。
教學目標:
1、通過學習,使學生知道等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù),所得的結(jié)果仍然是等式。
2、根據(jù)等式的性質(zhì)(一)學會解決含有加、減號的方程。
3、有意識地培養(yǎng)學生的自學能力。
教學過程:
一、教學例3
出示圖,學生根據(jù)圖獨立填空。
根據(jù)學生的回答,板書:
20=20xx+10=20+10
X=50X+20=50+20
50+a=50+a50+a-a=50+a-a
X+20=70X+20-20=70-20
提問:比較兩邊的算式,你有什么發(fā)現(xiàn),在小組里說說。
全班交流,引導學生說出:等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù),所得的結(jié)果仍然
是等式。這是等式的性質(zhì)。
獨立完成練一練第1題
二、教學例4
學生自學,不懂的問題和同組同學交流,能解決的就小組內(nèi)交流。
全班交流:例4中還有什么不懂的地方提出來,能由學生解決的就由學生解決,
學生解決不了的教師解決。
一是方法:根據(jù)等式的性質(zhì)把含有未知數(shù)的這邊化簡成就含有一個未知數(shù)。
二是檢驗:把計算的結(jié)果代到原式,看左右兩邊是否相等。
三強調(diào)書寫的格式。
小結(jié):求方程中未知數(shù)值的過程,叫做解方程。
完成試一試練一練的第2題。
學生獨立完成后集體訂正,重點幫助有困難的學生,針對學生出錯的地方及時分
析錯誤原因,幫助他們弄懂。
三、課堂作業(yè)
練習一的第4、5、6題。
第4、6題做在書上,第5題寫在作業(yè)本上。
板書:
等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù),所得的結(jié)果仍然是等式。
這時等式的性質(zhì)。
X+10=50
解:X+10-10=50-10
X=40
教后小記
等式課件 篇3
《不等式及其基本性質(zhì)》習題
【教學內(nèi)容】
課本上不等式的五個基本性質(zhì),并學會應(yīng)用.【教學目標】
1、掌握不等式的五個基本性質(zhì)并且能正確應(yīng)用.
2、經(jīng)歷探究不等式基本性質(zhì)的過程,體會不等式與等式的異同點,發(fā)展學生分析問題和解決問題的能力.
3、開展研究性學習,使學生初步體會學習不等式基本性質(zhì)的價值.
【重點難點】
重點:理解不等式的五個基本性質(zhì).難點:對不等式的基本性質(zhì)3的認識.【教學方法】
本節(jié)課采用“類比-實驗-交流”的教學方法.【教學過程】
一、回顧交流.
1、等式的基本性質(zhì) 解一元一次方程的基本步驟
2、問題牽引:
用“﹥”或“﹤”填空,并總結(jié)其中的規(guī)律:
(1)5>3,5+2
3+2,5-2 3-2 ;
(2)–1
-1+2 3+2,-1-3 3-3 ;
結(jié)果:
(1)>、>(2)
當不等式兩邊加或減去同一個數(shù)(正數(shù)或負數(shù))時,不等號的方向______
3、繼續(xù)探究,接著又出示(3)、(4)題: 5 2×5,6×(3)6>2,6×(-5)
2×(-5),6 3×6,(4)2
3×(-6).得到:
當不等式的兩邊同乘以一個正數(shù)時,不等號的方向不變; 當不等式的兩邊同乘以一個負數(shù)時,不等號的方向改變.總結(jié)出不等式的性質(zhì): 不等式的性質(zhì)1:不等式的兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子),不等號的方向不變.c
> b±c 字母表示為:如果a>b,那么a±不等式的性質(zhì)2:不等式的兩邊乘(或除以)同一個正數(shù),不等號的方向不變.字母表示為:如果a>b,c>0那么ac
> bc,不等式的性質(zhì)3:不等式的兩邊乘(或除以)同一個負數(shù),不等號的方向改變.字母表示為:如果a>b,c<0那么ac
不等式的對稱性:如果a>b,那么bb,b>c,那么a>c
二、范例學習,應(yīng)用所學.
1、利用不等式的性質(zhì)解下列不等式. (1)x-7>26
(2)3x
(4)-4x﹥3
22、逐題分析得出結(jié)果.(1)x-7>26 分析:解未知數(shù)為x的不等式,就是要使不等式逐步化為x﹥a或x﹤a的形式.
解:(1)為了使不等式x-7>26中不等號的一邊變?yōu)閤,根據(jù)不等式的性質(zhì)1,不等式兩邊都加7,不等號的方向不變,得 x-7+7﹥26+7 x﹥33(2)3x
為了使不等式3x
23不等號的方向不變,得 x﹥75(4)-4x﹥3
為了使不等式-4x﹥3中的不等號的一邊變?yōu)閤,根據(jù)不等式的性質(zhì)3,不等式兩邊都除以-4,不等號的方向改變,得x
3 4通過(3)(4)的求解過程,類似于解方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)(未知數(shù)系數(shù)化為1),解不等式時要注意未知數(shù)系數(shù)的正負,以決定是否改變不等號的方向.三、課堂探究.
已知a
四、課堂小結(jié)提問.不等式性質(zhì)的作用.
等式課件 篇4
尊敬的各位老師,下午好!
我叫孫有璽,來自音河中學。很高興能把《不等式的性質(zhì)(1)》一課的教學和大家一起探討。下面我將從學生狀況、教學任務(wù)、教學過程、設(shè)計說明等四個方面加以分析。
一、學生狀況分析:
七年級下期的學生活潑好動,有一定合作探究意識,在知識方面已經(jīng)學習了有理數(shù)大小比較,等式及基本性質(zhì)。這些都為自主探究不等式的性質(zhì)打下了良好的基礎(chǔ)。
二、教學任務(wù)分析:
(一)教材地位與作用:
不等式是初中代數(shù)的重要內(nèi)容之一,是已知量與未知量的矛盾統(tǒng)一體。數(shù)學關(guān)系中的相等與不等是事物運動和平衡的反映,學習研究數(shù)量的不等關(guān)系,可以更好地認識和掌握事物運動變化的規(guī)律?!安坏仁降男再|(zhì)”是學生學習整個不等式知識的理論基礎(chǔ),為以后學習解不等式(組)起到奠基的作用。
(二)教學目標:
知識目標:
探索不等式的基本性質(zhì),并能準確運用不等式的三條性質(zhì)將不等式變形。
能力目標:
讓學生學會類比的思想對等式性質(zhì)及不等式性質(zhì)進行了比較,培養(yǎng)學生的觀察、分析、歸納的能力。
情感目標:
通過“等”與“不等”的比較使學生進一步領(lǐng)會對立統(tǒng)一的思想,培養(yǎng)學生辨證唯物主義的觀點。
(三)教學重點、難點:
不等式的性質(zhì)是本節(jié)不等式變形的基礎(chǔ),也是今后解不等式(組)的依據(jù),所以掌握不等式的基本性質(zhì),并能正確運用它們將不等式變形是本節(jié)課的重點。
不等式的兩邊同乘以(或除以)負數(shù),不等號方向改變和等式的性質(zhì)不同,學生學習起來比較困難,因此,不等式性質(zhì)3的理解與正確使用是本節(jié)課的難點。讓學生自己動口、動手、動腦,進行比較、討論,并加以強化練習達到突破的目的。
(四)教學方法與學法的指導:
本節(jié)課屬于性質(zhì)類知識,重在探索,意在應(yīng)用。因此,我采用啟發(fā)誘導、實例探究的方法進行教學,這種教學方法以“主動探索”為基礎(chǔ),先“引導發(fā)現(xiàn)”后“講評點撥”,讓學生在克服困難與障礙的過程中發(fā)展自己的觀察力、想象力、思維力。引導學生學會類比、歸納的學習方法,幫助他們在自主探究過程中理解和掌握不等式的性質(zhì)。
三、教學過程
(一)復習提問、引入新課
為了使學生自己能在教師的指導下,自主探究問題,發(fā)現(xiàn)問題,獲得結(jié)論。而不是把現(xiàn)成的結(jié)論告訴學生。對于不等式性質(zhì)的發(fā)現(xiàn),我采用了下面的作法,我首先帶領(lǐng)學生復習等式的性質(zhì)
等式性質(zhì)1等式兩邊加(或減)同一個數(shù)或式子,結(jié)果仍相等。
等式性質(zhì)2等式兩邊乘同一個數(shù),或除以同一個不為零的數(shù),結(jié)果仍相等。
(二)合作交流、探究新知
在復習等式性質(zhì)后,教師提出不等式是否也有類似的性質(zhì)呢?先引導學生對不等式的兩邊都加、減同一個數(shù),會發(fā)現(xiàn)什么呢?學生通過思考和計算后會說出不等式兩邊都加、減同一個數(shù),“仍是不等式”。此時,教師抓住學生敘述中的問題予以糾正,不能籠統(tǒng)的說“仍是不等式”,因為“=”沒有方向性,而不等號有方向性,所以要改為“不等號的方向不變”。接著,讓學生不等式作兩邊都乘以或除以同一個數(shù)的變形,會發(fā)現(xiàn)什么呢?學生通過計算和討論,甚至會發(fā)生爭執(zhí),教師要深入學生,通過共同探討,學生會發(fā)現(xiàn)不等式兩邊都乘以或除以正數(shù),不等號方向不變,兩邊都乘以或除以負數(shù),不等號方向改變。最后由學生歸納出不等式的`性質(zhì)2和性質(zhì)3。
我這樣安排的目的是為了讓學生通過動手、動口、動腦發(fā)揮合作精神,學會運用類比、歸納的數(shù)學思想去探究問題,同時學生也會品嘗到成功的喜悅,從而提高他們學習數(shù)學的興趣。
(三)靈活運用、鞏固練習
為使學生能夠準確運用性質(zhì)將不等式變形,也為例題的教學做一些鋪墊,我先設(shè)置了兩組搶答題:
搶答:看誰答的快又準
1·設(shè)m>n,用“<”或“>”填空:
(1)m—5___n—5
(2)m+4___n+4
(3)6m___6n(4)
—5m___—5n
2·判斷:
(1)∵3+x>3+y,∴x>y()
(2)∵3>2,∴n+3>2+n()
(3)∵a<b,∴2a+1<2b+1()
(4)∵—2a<6,∴x>—3()
在學生練習過程中,老師特別強調(diào):當不等式兩邊同乘以或除以負數(shù)時,“不等號的方向改變”。
接著,給出例題:
例1·利用不等式的性質(zhì)解下列不等式,并在數(shù)軸上表示解集:
(1)x+7>10
(2)3x>2x+1
(3)—10x>50
(4)—4x
例2·根據(jù)下列已知條件,說出a與b的不等關(guān)系:
(1)a—3>b—3
(2)—a>—b
(3)—2a+1
例1由學生分組討論,寫出解題過程,老師展示幾個同學的解答并給予講解。對于例2我采用先引導學生分析解題思路,再讓學生口述解題過程,并說明根據(jù)不等式的哪一條性質(zhì),由師生共同完成。
為了解學生能否獨立運用性質(zhì)將練習三,安排學生演板:
3·利用不等式的性質(zhì)解不等式。
(1)—3x>12
(2)3x—4
請兩位學生演板,其余學生獨立完成,并對學生演板的結(jié)果作出評價,教師深入小組,發(fā)現(xiàn)問題及時糾正,通過學生的互相評價找出應(yīng)用不等式基本性質(zhì)進行變形中出現(xiàn)的錯誤,以防患于未然。
以上練習完成之后,學生已能準確運用不等式的性質(zhì),將不等式變形,為培養(yǎng)學生的解題能力,讓學生更深層地理解不等式的基本性質(zhì),在此基礎(chǔ)上我又作出了一些引申和推廣。
4·判斷正誤,并說明理由。
(1)∵5>4,∴5a>4a
(2)不等式2x>5x的兩邊同除以x,得2>5
(3)若ac2>bc2,則a>b
第4題設(shè)計說明,當不等式兩邊同乘或除以一個字母,而字母的取值不明確時,需對字母分情況討論。
〔四〕歸納小結(jié)、整體把握
為幫助學生從整體把握本節(jié)課所學的知識,培養(yǎng)良好的學習習慣,讓學生自己對本節(jié)課所學知識以及用到的解決問題的方法進行小結(jié)。方法是:由學生四人一組互談本節(jié)課的收獲,總結(jié)解題方法,并說明解題過程中應(yīng)該注意的問題,然后請一位同學小結(jié),其他學生補充,達到鞏固知識的目的。
教學設(shè)計說明
學生的學習內(nèi)容應(yīng)該是現(xiàn)實的、有趣的和富有挑戰(zhàn)性的,而老師則應(yīng)該創(chuàng)造一個有利于學生主動求知的學習環(huán)境。因此,本節(jié)課把培養(yǎng)學生的學習興趣和思維能力放在首位。教學中采用合作學習的方式,互相交流,集思廣益,突破創(chuàng)新,以達到共同提高的目的。然后,通過多樣化的練習鞏固知識,既調(diào)動學生的積極性,又使學習伙伴之間進行了思維的碰撞和溝通。使其在輕松的氛圍中多層次、多角度地掌握“不等式的性質(zhì)”。
本節(jié)課的設(shè)計體現(xiàn)了一個原則:低起點、多練習、勤反饋、快矯正、重能力、以求最大限度提高課堂效率。
等式課件 篇5
均值不等式
教學目標
(一) 知識與技能:明確均值不等式及其使用條件,能用均值不等式解決簡單的最值問題.
(二) 過程與方法:通過對問題主動探究,實現(xiàn)定理的發(fā)現(xiàn),體驗知識與規(guī)律的形成過程.
(三) 情感態(tài)度與價值觀:通過問題的解決以及自身的探索研究領(lǐng)略獲取新知的喜悅.教學重點:均值不等式的推導與證明,均值不等式的應(yīng)用.教學難點:均值不等式的應(yīng)用 教學過程
創(chuàng)設(shè)情境如圖,AB是圓的直徑,D是CAB上與A、B不重合的一點,AD=a,DB=b,過點D作垂直于AB的弦CD,連AC,BC,AaODbB則CD=__,半徑OC=____E 討論 :(1)CD OC (2)文字敘述(幾何意義): (3)試用含a、b的表達式來表示上述關(guān)系 注意:(1)當 時, (2)a、b的取值范圍
探求新知:均值不等式的內(nèi)容及證明
均值定理:
證明:(比較作差法)
變形應(yīng)用:(1)
(2)
討論釋疑:
牛刀小試:已知x?0,則x?1x? 例
1、已知ab?0,求證:baa?b?2并推導出式中等號成立的條件
例
2、求函數(shù)f(x)?x2?2x?3x(x?0)的最值,以及此時x的值
精煉鞏固:
?t2 1.設(shè)t?0,則函數(shù)f(t)?4t?1的最小值為此時t的值
4 2.已知正數(shù)a,b滿足a?b?1,則ab有最值為
點撥提高:
總結(jié)本節(jié)課的你的收獲。
課堂小測:
1 .已知正數(shù)a,b滿足a?b?1,則1a?1b有最值為。 2 .設(shè)x?3,則函數(shù)f(x)?(x?3)?2x?3的最小值為此時x的值3.已知a、b?R?,求證:(a?11a)(b?b)?4
課堂小測:
1 .已知正數(shù)a,b滿足a?b?1,則1a?1b有最值為。 2 .設(shè)x?3,則函數(shù)f(x)?(x?3)?2x?3的最小值為此時x的值3.已知a、b?R?,求證:(a?11a)(b?b)?4
課堂小測:
1
.已知正數(shù)a,b滿足a?b?1,則1a?1b有最值為。 2 .設(shè)x?3,則函數(shù)f(x)?(x?3)?2x?3的最小值為此時x的值3.已知a、b?R?,求證:(a?11a)(b?b)?4
課堂小測:
1
.已知正數(shù)a,b滿足a?b?1,則1a?1b有最值為。 2 .設(shè)x?3,則函數(shù)f(x)?(x?3)?2x?3的最小值為此時x的值3.已知a、b?R?,求證:(a?11a)(b?b)?4
不等式基本性質(zhì)教學設(shè)計
《等式的性質(zhì)》教學設(shè)計
《等式的性質(zhì)》教學設(shè)計
等式性質(zhì)教學設(shè)計(共8篇)
基本不等式教學設(shè)計
等式課件 篇6
教學內(nèi)容:教科書第3~4頁的內(nèi)容,練習一的4~6題。
教學目標:1、通過學習,使學生知道等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù),所得的結(jié)果仍然是等式。
2、有意識地培養(yǎng)學生的自學能力。
教學重點與難點:根據(jù)等式的性質(zhì)(一)學會解決含有加、減號的方程。
教學流程:
一、教學例3
出示圖,學生根據(jù)圖獨立填空。
根據(jù)學生的回答,板書:
20=20xx+10=20+10
X=50X+20=50+20
50+a=50+a50+a-a=50+a-a
X+20=70X+20-20=70-20
提問:比較兩邊的算式,你有什么發(fā)現(xiàn),在小組里說說。
全班交流,引導學生說出:等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù),所得的結(jié)果仍然
是等式。這是等式的性質(zhì)。
獨立完成練一練第1題
二、教學例4
學生自學,不懂的問題和同組同學交流,能解決的就小組內(nèi)交流。
全班交流:例4中還有什么不懂的地方提出來,能由學生解決的就由學生解決,學生解決不了的教師解決。
一是方法:根據(jù)等式的性質(zhì)把含有未知數(shù)的這邊化簡成就含有一個未知數(shù)。
二是檢驗:把計算的結(jié)果代到原式,看左右兩邊是否相等。
三強調(diào)書寫的格式。
小結(jié):求方程中未知數(shù)值的過程,叫做解方程。
完成試一試練一練的第2題。
學生獨立完成后集體訂正,重點幫助有困難的學生,針對學生出錯的地方及時分
析錯誤原因,幫助他們弄懂。
三、課堂作業(yè)
練習一的第5題。
板書:
等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù),所得的結(jié)果仍然是等式。
這時等式的性質(zhì)。
X+10=50
解:X+10-10=50-10
X=40
等式課件 篇7
1、具體情境,感受天平平衡
通過課件展示情境圖引導學生小結(jié)出等式并用字母表示。
2、猜想假設(shè)、小結(jié)規(guī)律
先讓學生猜想然后再通過課件在天平上演示過程。驗證學生的猜想,用字母表示。引導學生小結(jié)出:等式兩邊同時加上同一個數(shù),左右兩邊仍然相等。
3、觀察思考、總結(jié)發(fā)現(xiàn)
通過課件對教材第64頁圖2的演示過程讓學生獨立思考,再通過小組合作討論總結(jié)出發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。等式的性質(zhì)1:等式兩邊加上或減去同一個數(shù),左右兩邊仍然相等。
4、假設(shè)數(shù)據(jù)、驗證規(guī)律
得到結(jié)論后通過假設(shè)物體的具體的數(shù)據(jù)驗證學生自己總結(jié)出的規(guī)律。
5、口算練習、應(yīng)用規(guī)律
通過一些簡單的等式問答應(yīng)用等式兩邊同加或同減相同的數(shù)以加強規(guī)律的應(yīng)用。
6、設(shè)疑思考
提出問題讓學生思考還有沒有其他的運算也能使等式左右兩邊相等。留給學生思維的空間,再通過課件引導學生一步步總結(jié)出等式的性質(zhì)2:等式兩邊乘同一個數(shù),或除以同一個不為0的數(shù),左右兩邊仍然相等。
等式課件 篇8
1、創(chuàng)設(shè)情景,引發(fā)認知沖突
以前學生解方程習慣用加減法、乘除法互為逆運算的方式解方程,這樣的思路只適宜解比較簡單的方程,例如:x+3=5、3x=-12等,簡單的一元一次方程的解用估算的方法或逆運算的方式我們都可以求出方程的解;而象19+28x=33x-1這樣比較復雜的方程我們用上述方法還能求出它的解嗎?我利用學生認知上的沖突引入新課。這樣既激發(fā)了學生的學習興趣又明確了本節(jié)課的教學目的。為等式性質(zhì)的構(gòu)建做好鋪墊。
2、實驗探索,從特殊到一般
等式性質(zhì)的呈現(xiàn)屬于實驗探究型課,目的是要學生在活動中體驗等量的變化關(guān)系和等式的性質(zhì)。這里我分段逐步呈現(xiàn)等式的特性。首先出示平衡天平的圖形,給學生一個天平平衡的印象,引導學生用字母構(gòu)建一個等式,接著在上一個平衡天平的基礎(chǔ)上,兩側(cè)同放一個三角形的符號表示物體的重量,讓學生觀察這時出現(xiàn)什么現(xiàn)象,同時提出問題:怎樣做,兩邊才會保持平衡?通過學生實驗得出使天平兩邊平衡的方法,并用字母式子表示實驗的過程,再通過歸納,概括出對象的共同屬性加以表述,接著通過幾個練習加以鞏固,然后借助上一個實驗的經(jīng)驗和方法,進一步指導學生完成天平兩邊成倍變化的實驗,最后根據(jù)實驗情況觀察歸納結(jié)論。同時注意在總結(jié)時先讓學生根據(jù)實驗,把自己所得到的結(jié)論敘述出來,然后教師再對學生的結(jié)論給予概括得到等式的性質(zhì)。
上述講授等式的性質(zhì)用的是觀察實驗法,實驗觀察是科學研究的一種基本的方法,它是根據(jù)客觀事物和現(xiàn)象找出它具有的客觀規(guī)律,有助于發(fā)現(xiàn)一些數(shù)學事實,抽象出對象的屬性,再通過歸納,概括出對象的共同屬性加以表述。同時也體現(xiàn)了由特殊到一般的思維認知規(guī)律。
3、強化概念,指導學生嘗試
關(guān)于等式概念、等式與方程的聯(lián)系的引出,教法上采用充分利用學生已有的知識、練習回顧、交流的方式。等式的性質(zhì)的教學,采用師生共同觀察實驗,讓學生通過對直觀圖形的觀察、實驗和猜想,自已發(fā)現(xiàn)結(jié)論,并用總結(jié)的形式表述結(jié)論。等式性質(zhì)的理解和掌握關(guān)鍵在于應(yīng)用,只有通過大量練習來鞏固和提高,練習的速度越快正確越高,說明知識理解和掌握的越好。因此在教學中得到等式性質(zhì)后,就用三組嘗試練習加強鞏固和提高,這樣既調(diào)動了學生學習的趣味性和主動性,增強了學生積極參與教學活動的意識,又很好地培養(yǎng)了學生的動手操作能力、觀察能力、邏輯思維能力和總結(jié)歸納能力,同時,也向?qū)W生滲透了實踐——認識——再實踐——再認識的一種學習方法,使新舊知識技能得到了有機的結(jié)合。
等式課件 篇9
教學內(nèi)容:教科書第3~4頁的內(nèi)容,練習一的4~6題。
教學目標:1、通過學習,使學生知道等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù),所得的結(jié)果仍然是等式。
2、根據(jù)等式的性質(zhì)(一)學會解決含有加、減號的方程。
3、有意識地培養(yǎng)學生的自學能力。
教學過程:
一、教學例3
出示圖,學生根據(jù)圖獨立填空。
根據(jù)學生的回答,板書:
20=2020+10=20+10
X=50X+20=50+20
50+a=50+a50+a-a=50+a-a
X+20=70X+20-20=70-20
提問:比較兩邊的算式,你有什么發(fā)現(xiàn),在小組里說說。
全班交流,引導學生說出:等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù),所得的結(jié)果仍然
是等式。這是等式的性質(zhì)。
獨立完成練一練第1題
二、教學例4
學生自學,不懂的問題和同組同學交流,能解決的就小組內(nèi)交流。
全班交流:例4中還有什么不懂的地方提出來,能由學生解決的就由學生解決,
學生解決不了的教師解決。
一是方法:根據(jù)等式的性質(zhì)把含有未知數(shù)的這邊化簡成就含有一個未知數(shù)。
二是檢驗:把計算的結(jié)果代到原式,看左右兩邊是否相等。
三強調(diào)書寫的格式。
小結(jié):求方程中未知數(shù)值的過程,叫做解方程。
完成試一試練一練的第2題。
學生獨立完成后集體訂正,重點幫助有困難的學生,針對學生出錯的地方及時分
析錯誤原因,幫助他們弄懂。
三、課堂作業(yè)
練習一的第4、5、6題。
第4、6題做在書上,第5題寫在作業(yè)本上。
等式課件 篇10
一、學情分析:作為初一學生(132班和137班)在小學時已經(jīng)對等量關(guān)系和等式的性質(zhì)有所了解,通過本節(jié)課的學習,目的是要使學生從天平的特點中歸納得出等式的性質(zhì)。
新課標對本節(jié)課的要求是:掌握等式的性質(zhì)。在前面一節(jié)課的學習中,學生掌握了一元一次方程的概念和初步應(yīng)用后,需要解決的是一元一次方程的解法。本節(jié)內(nèi)容借助于等式的性質(zhì)這一工具來解一元一次方程。首先,通過天平的實驗操作,使學生學會觀察。嘗試分析歸納等式的性質(zhì)。然后,利用等式的性質(zhì)解一元一次方程。通過解方程的學習提高學生的觀察問題、解決問題的能力。
2、教育教學目標。
根據(jù)以上對教材的理解與內(nèi)容分析,考慮到學生已有的知識結(jié)構(gòu)和心理特征,制定如下教學目標:
(1)知識與技能:探究等式的性質(zhì),并能利用等式的性質(zhì)進行等式變形、解簡單的一元一次方程。
(2)過程與方法:通過實驗培養(yǎng)學生探索能力、觀察能力,歸納能力和應(yīng)用新知識的能力。
(3)情感態(tài)度價值觀:積極參與數(shù)學活動,體驗探索等式性質(zhì)過程的挑戰(zhàn)性和數(shù)學結(jié)論的確定性,建立學生學好數(shù)學的信心。
為了使學生能比較順利地達到教學目標,我確定了本節(jié)課的教學重、難點:
教學重點:探究等式的性質(zhì),能根據(jù)等式性質(zhì)進行等式變形、解簡單的一元一次方程。
教學難點:利用等式的性質(zhì)把簡單的一元一次方程變形為x=a(常數(shù))的形式;正確理解等式性質(zhì)2中除數(shù)不能為0。
(一)教學手段:如何突出重點、突破難點,從而實現(xiàn)教學目標,我在教學過程中利用多媒體演示擬計劃進行如下操作:
1、讀(看)――議――講結(jié)合法。
2、圖表分析法。
3、讀圖討論法。
4、教學過程中堅持啟發(fā)式教學的`原則。
堅持“以學生為主體,以教師為主導”的原則。即“以學生活動為主導,教師講述為輔,學生活動在前,教師點撥評價在后”的原則。根據(jù)初一學生的心理發(fā)展規(guī)律。聯(lián)系實際安排教學內(nèi)容,采用學生參與高度的學導式討論教學法、師生交談法、圖象信號法、問答法、教學課堂討論法,使學生動口、主動探索、發(fā)現(xiàn)問題、解決問題、互動合作、歸納概括、形成能力,突出學生的主體地位。在采用問答法時,特別注重不同難度的問題。
提問不同層次的學生面向全體,使基礎(chǔ)差的學生也有表現(xiàn)的機會,培養(yǎng)其自信心,激發(fā)學習熱情,有效開發(fā)各層次學生的潛在能力求使每個學生都在原有基礎(chǔ)上得到發(fā)展,同時通過課堂練習和課后作業(yè)啟發(fā)學生。在教學中要積極培養(yǎng)學生數(shù)學學習興趣和動機。明確學習目的,教師應(yīng)在課堂上充分調(diào)動學生積極性,激發(fā)來自學生主體的最有力的動力。
實際上,青少年好動,注意力易分散,愛發(fā)表見解。希望得到老師的表揚所以在教學中應(yīng)抓住學生這一生理特點。一方面運用直觀生動的形象,引發(fā)學生興趣,使他們的注意力始終集中在課堂上。另一方面要創(chuàng)造條件和機會,讓學生發(fā)表見解,發(fā)揮學生學習的主動性。
首先我出了一些可以看出方程解的題目,讓學生回答,由易到難,激起學生學習的欲望,緊接著就引入等式的定義,從而使學生明白解方程先要研究等式,從而引入課題。
由于學生的認知結(jié)構(gòu)是由簡單到復雜,由具體到抽象的過程,因此在這一環(huán)節(jié)中,我分兩個方面來教學:等式的性質(zhì)1由老師課件演示,學生觀察歸納概括。
我利用多媒體依次展示天平圖的各個操作。讓學生通過觀察,用語言來描述發(fā)現(xiàn),與同桌交流。這樣由具體演示到抽象概括,使學生記憶深刻,充分體現(xiàn)了學生為主體,教師為主導的原則。
通過上面的觀察,讓學生分組討論:如何用算式表示實驗結(jié)果?學生交流后,教師進行課件演示。
本節(jié)課,讓學生經(jīng)歷一種從平衡到不平衡再到新的平衡的過程,體驗變化是怎樣產(chǎn)生的,怎樣從打破平衡,又怎樣達到新的平衡。從而培養(yǎng)了學生觀察能力和抽象概括能力。
我接著提問:如果天平兩邊減去相同的質(zhì)量,天平會有什么變化?
讓學生先獨立思考,然后教師課件演示。你又發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?怎樣用等式描述?得出等式兩邊同時減去同一個數(shù),等式仍然成立。并且由以上兩條規(guī)律得出:等式的兩邊同時加上或減去同一個數(shù),等式仍然成立。
如果在天平兩邊同時加上或減去不同的質(zhì)量,天平會有什么變化?
學生經(jīng)過思考得出:等式的兩邊加上或減去的必須是同一個數(shù),才能使等式成立。這樣符合學生的認知規(guī)律,從實踐認識,再到實踐認識的過程。
教師再用課件展示天平圖,學生通過觀察,歸納得出:等式兩邊同時乘或除以同一個數(shù)(除數(shù)不能為0),等式仍然成立。
等式基本性質(zhì)2的推導在性質(zhì)1的基礎(chǔ)上,讓學生自己通過觀察探究,運用知識的遷移得出,這樣培養(yǎng)了學生邏輯思維能力,抽象概括能力和口頭表達能力。
(2)若a=b,則ac=bc,
注意:
(1)等式兩邊都要參加運算,且是同一種運算。
(2)等式兩邊加或減,乘或除以的數(shù)一定是同一個數(shù)或同一個式子。
(3)等式兩邊不能都除以0,即0不能作除數(shù)或分母。
在這個環(huán)節(jié)中把等式的兩個性質(zhì)展示出來,我特別提到了三個注意:因為這是在等式性質(zhì)解方程中容易出錯的地方,就是希望同學們認真細心,正確利用性質(zhì)解題。
我在練習中設(shè)計了三道題,從簡單的填空到判斷變形對錯,到最后的解方程,方程的四道題也是有簡單到復雜,總之練習題的設(shè)計,低起點,小臺階,循序漸進,符合學生接受知識的特點,是那些平時不舉手的同學也積極參與,竟然問題也答得很好。從這些方面培養(yǎng)了學生的靈活性,使學生獲得成功的滿足感。
作業(yè)設(shè)計:
PPT投影出課本第83頁習題3.1第4題。
等式課件 篇11
一、教材分析
等式的基本性質(zhì)是學生在剛剛認識了等式與方程的基礎(chǔ)上進行教學的。它是系統(tǒng)學習方程的開始,其核心思想是構(gòu)建等量關(guān)系的數(shù)學模型。本節(jié)課的學習是學生在實驗的基礎(chǔ)上,掌握等式的兩個基本性質(zhì),引導學生通過比較,發(fā)現(xiàn)規(guī)律,并為今后運用等式的基本性質(zhì)解方程打基礎(chǔ)。同時培養(yǎng)學生數(shù)學思維能力。
二、教學目標:
知識與技能:理解并能用語言表述等式的基本性質(zhì),能用等式的基本性質(zhì)解決簡單問題。
過程與方法:在用算式表示實驗結(jié)果、討論、歸納等活動中,經(jīng)歷探索等式基本性質(zhì)的過程。
情感態(tài)度價值觀:積極參與數(shù)學活動,體驗探索等式基本性質(zhì)過程的挑戰(zhàn)性和數(shù)學結(jié)論的確定性。
三、教學重點是:
引導學生探索發(fā)現(xiàn)等式的基本性質(zhì),利用等式的基本性質(zhì)解決簡單問題。
教學難點是抽象歸納出等式的基本性質(zhì)。
四、教學程序(分三部分教學)
(一)聯(lián)系實際,激趣引入
首先激發(fā)探究興趣:提出問題:“同學們,你用天平做過游戲嗎?”這節(jié)課我們就利用天平一起來探索天平游戲中所包含的數(shù)學知識。”
(二)自主探索,合作交流
學習等式的基本性質(zhì)1
1、具體情境,感受天平平衡
利用多媒體依次展示天平圖的各個操作。讓學生通過觀察,用語言來描述發(fā)現(xiàn),與同桌交流。這樣由具體演示到抽象概括,使學生記憶深刻,充分體現(xiàn)了學生為主體,教師為主導的原則。
圖1、圖2的教學模式:先讓學生觀察,問:你發(fā)現(xiàn)了什么?然后提問:怎樣變換,能使天平仍然保持平衡呢?待學生思考片刻,再進一步提問:往兩邊各放1個杯子,天平會發(fā)生什么變化?生口答,驗證。接下去,繼續(xù)提問:如果兩邊各放上2個茶杯,天平還會保持平衡嗎?兩邊各放上同樣的一把茶壺呢?生答,再一一演示驗證。
圖3、圖4的教學模式和前面一樣。
板書如下:
2、總結(jié)抽象,認識規(guī)律
通過上面的觀察,先用一句話歸納圖1和圖2的內(nèi)容。(1、等式的兩邊都加上或減去相同的數(shù),等式不變。)再以第一句話為基礎(chǔ)歸納出圖3和圖4的內(nèi)容。(2、等式的兩邊都乘或除以相同的數(shù)(0除外)等式不變。)
教師指出這是等式的一個非常重要的性質(zhì)。板書:等式的基本性質(zhì)
(三)鞏固練習,深化認識
練習題的設(shè)計,低起點,小臺階,循序漸進,符合學生接受知識的特點,培養(yǎng)了學生的靈活性,使學生獲得成功的滿足感。
1、根據(jù)圖(1)在下面每幅圖的括號里填上適當?shù)姆柣驍?shù)字,使天平平衡。
2、課堂作業(yè)。(當堂完成)
填一填。(a、b均不為0)
(1) 如果x+a=b,那么x+a-a=b○
(2) 如果x-a=b,那么x-a+a=b○
(3) 如果ax=b,那么a x÷a=b○
(4) 如果x÷a =b,那么x÷a×a=b○
3、拓展訓練。
五、最后,關(guān)注學生的和感受,提出:通過本節(jié)課的學習你有什么收獲?
一元一次不等式課件
每位老師不可或缺的課件是教案課件,因此教案課件可能就需要每天都去寫。教案是課程開展的向?qū)?。今天小編為大家?guī)砹艘黄P(guān)于“一元一次不等式課件”的相關(guān)文章,如果你希望長期關(guān)注我的分享請不要忘記將它收藏起來!
一元一次不等式課件 篇1
【知識與技能】
1、了解一元一次不等式組的概念。
2、理解一元一次不等式組的解集,能求一元一次不等式組的解集。
3、會解一元一次不等式組。
【過程與方法】
通過具體問題得到一元一次不等式組,從而了解一元一次不等式組的概念,解出每個不等式,利用數(shù)軸求出各不等式解集的公共部分,從而得到不等式組的解集,通過解幾個有代表性的一元一次不等式組,總結(jié)出求不等式組解集的法則。
【情感態(tài)度】
運用數(shù)軸確定不等式組的解集是行之有效的方法。這種“數(shù)形結(jié)合”的方法今后經(jīng)常用到,鍛煉同學們數(shù)形結(jié)合的能力,提高學習興趣。
【教學重點】
一元一次不等式組的解法。
【教學難點】
確定一元一次不等式組的解集。
一、情境導入,初步認識
問題1 現(xiàn)有兩根木條a和b,a長10cm,b長3cm,如果要再找一根木條c,用這三根木條釘成一個三角形木框,那么木條c的長度有什么要求?
解:由于三角形中兩邊之____大于第三邊,兩邊之____小于第三邊,設(shè)c的長為xcm,則x<____,①x>____,②
合起來,組成一個__________。
由①解得_____________,由②解得_____________。
在數(shù)軸上表示就是________________。
容易看出:x的取值范圍是____________________。
這就是說,當木條c比____cm長并且比____cm短時,它能與木條a和b一起釘成三角形木框。
問題2 由上面的解不等式組的過程用自己的語言歸納出一元一次不等式組的解法。
【教學說明】全班同學可獨立作業(yè),也可分組自由討論,10分鐘后交流成果,逐步得出結(jié)論。
二、思考探究,獲取新知
思考什么叫一元一次不等式組,什么叫一元一次不等式組的解集,什么叫解不等式組?
【歸納結(jié)論】
1、定義:
(1)一元一次不等式組:幾個含有相同未知數(shù)的一元一次不等式合起來組成一個一元一次不等式組。
(2)一元一次不等式組的解集:幾個不等式的解集的公共部分,叫做由它們所組成的不等式的解集。
(3)解不等式組:求一元一次不等式組的解集的過程叫解一元一次不等式組。
2、一元一次不等式組的解法:
(1)求出每個一元一次不等式的解集。
(2)求出這些解集的公共部分,便得到一元一次不等式組的解集。
一元一次不等式課件 篇2
一元一次不等式教案
教學目標
1、能夠根據(jù)實際問題中的數(shù)量關(guān)系,列一元一次不等式(組)解決實際問題.
2、通過例題教學,學生能夠?qū)W會從數(shù)學的角度認識問題,理解問題,提出問題,?? 學會從實際問題中抽象出數(shù)學模型.
3、能夠認識數(shù)學與人類生活的密切聯(lián)系,培養(yǎng)學生應(yīng)用所學數(shù)學知識解決實際問題的意識.
教學重點? 能夠根據(jù)實際問題中的數(shù)量關(guān)系,列出一元一次不等式(組)解決 實際問題
教學難點? 審題,根據(jù)實際問題列出不等式.
例題? 甲、乙兩商場以同樣的。價格出售同樣的商品,并且又各自推出不同的優(yōu)惠方案:在甲商場累計購物超過100元后,超出100元的部分按90%收費;在乙商場累計購物超過50元后,超出50元的部分按95%收費。顧客到哪家商場購物花費少??
解:設(shè)累計購物x元,根據(jù)題意得
(1)當0 < x≤50時,到甲、乙兩商場購物花費一樣;
(2)當50< x≤100時,到乙商場購物 m. 花費少;
(3)當x > 100時,到甲商場的花費為100+0.9(x-100) , 到乙商場的花費為50+0.95(x-50)則
50+0.95(x-50) > 100+0.9(x-100),解之得x >150
50+0.95(x-50) < 100+0.9(x-100),解之得x < 150
50+0.95(x-50) = 100+0.9(x-100),?? 解之得x = 150
答:當0 < x≤50時,到甲、乙兩商場購物花費一樣;
當50< x≤100時,到乙商場購物花費少;當x>150時,到甲商場購物花費少;當100 < x <150時,到乙商場購物花費少;當x=150時,到甲、乙兩商場購物花費一樣。
變式練習? 學校為解決部分學生的午餐問題,聯(lián)系了兩家快餐公司,兩家公司的報價、質(zhì)量和服務(wù)承諾都相同,且都表示對學生優(yōu)惠:甲公司表示每份按報價的90%收費,乙公司表示購買100份以上的部分按報價的80%收費。問:選擇哪家公司較好?
解:設(shè)購買午餐x份,每份報價為“1”,根據(jù)題意得
0.9x > 100+0.8(x-100),解之得x >200
0.9x < 100+0.8(x-100),解之得x < 200
0.9x = 100+0.8(x-100),解之得x = 200
答:當x>200時,選乙公司較好;當0 < x <200時,選甲公司較好;當x=200時,兩公司實際收費相同。
作業(yè)
1、某商店5月1號舉行促銷優(yōu)惠活動,當天到該商店購買商品有兩種方案,方案一:用168元購買會員卡成為會員后,憑會員卡購買商店內(nèi)任何商品,一律按商品價格的8折優(yōu)惠;方案二:若不購買會員卡,則購買商店內(nèi)任何商品,一律按商品價格的9.5折優(yōu)惠。已知小敏5月1日前不是該商店的會員。請幫小敏算一算,采用哪種方案更合算?
2、某單位計劃10月份組織員工到杭州旅游,人數(shù)估計在10~25之間。甲乙兩旅行社的服務(wù)質(zhì)量相同,且組織到杭州旅游的價格都是每人200元。該單位聯(lián)系時,甲旅行社表示可以給予每位旅客七五折優(yōu)惠;乙旅行社表示可先免去一帶隊領(lǐng)導的旅游費用,其余游客八折優(yōu)惠。問該單位怎樣選擇,可使其支付的旅游總費用較少?
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一元一次不等式課件 篇3
尊敬的各位老師:
大家好,今天,我說課的內(nèi)容是一元一次不等式。
對于本節(jié)課,我將從教什么、怎么教、為什么這么教來闡述本次說課。
新課標指出:數(shù)學課程要面向全體學生,適應(yīng)學生個性發(fā)展的需要,使得人人都能獲得良好的數(shù)學教育,不同的人在數(shù)學上都能得到不同的發(fā)展。今天我將貫徹這一理念從教材分析、學情分析、教學過程等幾個方面展開我的說課。
教材是連接教師和學生的紐帶,在整個教學過程中起著至關(guān)重要的作用,所以,先談?wù)勎覍滩牡睦斫狻?/p>
本節(jié)課主要講述的是一元一次不等式的概念及其解法。
在本節(jié)課之前學生已經(jīng)掌握了一元一次方程的相關(guān)知識和不等式的性質(zhì),所以,本節(jié)課類比一元一次方程的解法,利用不等式的性質(zhì)解一元一次不等式。另外,本節(jié)課為后續(xù)學習解一元一次不等式組奠定基礎(chǔ)。
不等式在日常生產(chǎn)生活中的應(yīng)用很廣泛,它與數(shù)、式、方程、函數(shù)甚至幾何圖形有著密切的聯(lián)系,它幾乎滲透到初中數(shù)學的每一部分。所以,本節(jié)課在數(shù)學領(lǐng)域中起著非常重要的地位。
合理把握學情是上好一堂課的基礎(chǔ),本次課所面對的學生群體具有以下特點。
本學段的學生逐漸掌握抽象概念和復雜的概念系統(tǒng),能作科學定義,抽象邏輯思維逐步占優(yōu)勢。
本階段的學生類比推理能力都有了一定的發(fā)展,并且在生活中已經(jīng)遇到過很多關(guān)于一元一次方程的具體的事例,所以在生活上面有了很多的經(jīng)驗基礎(chǔ)。為本節(jié)課的順利開展做好了充分準備。
根據(jù)以上對教材的.分析以及對學情的把握,我制定了如下三維目標:
通過對比解一元一次方程的步驟,學生自己總結(jié)歸納一元一次不等式步驟的過程,提高歸納能力,并學會類比的學習方法。
通過數(shù)學建模,提高對數(shù)學的學習興趣。
本著新課程標準,吃透教材,了解學生特點的基礎(chǔ)上我確定了以下重難點:
掌握一元一次不等式的概念,會解一元一次不等式并能夠在數(shù)軸上表示出來。
一元一次不等式課件 篇4
人教版七年級數(shù)學下冊《一次函數(shù)與一元一次不等式》教學反思
例1:請畫出函數(shù)y=-3x+12的圖像,你能利用圖像解決下列問題嗎?
(1)方程-3x+12=0的解(2)不等式-3x+12>0的解集.
(3)如果y的值在-6≤y≤6的范圍內(nèi),那么相應(yīng)的x的值在什么范圍內(nèi)?
問題一提出,就有學生不假思索,答案脫口而出,前兩問也太簡單了吧?我提醒學生注意題目要求,這時有學生開始畫函數(shù)圖像。讓學生自己動手,畫出一次函數(shù)y=-3x+12的圖像,目的是讓學生從畫圖的過程中感受從左至右,直線是呈“下降”趨勢的。即y隨x的增大而減小。對于前兩問,學生還比較好理解,但到第3問,有些學生就找不到答案了。這時就要引導學生從第2問,開始延伸,當解-3x+12>0,即函數(shù)值為正數(shù)時,對應(yīng)的函數(shù)的圖像在x軸的上方,y>0時,坐標系中表示的`是一個平面區(qū)域,在這個區(qū)域中找出對應(yīng)的自變量x的取值范圍即為不等式的解。讓學生對第3問,再次進行探究,由圖像找出函數(shù)值在-6--6之間的部分,對應(yīng)地可以找出自變量x的取值范圍。要求學生能在函數(shù)圖像上找到這個區(qū)域,老師再用多媒體進行動態(tài)演示。進一步激發(fā)學生思考,你能用其他方法解決這個問題嗎?學生能聯(lián)想到第3問也可以利用解不等式組的方法求出x的取值范圍。通過本題的解決,讓學生初步感受不等式與方程、函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系
一元一次不等式課件 篇5
一元一次不等式的應(yīng)用教案
一元一次不等式的應(yīng)用教案 孫云云 一、前置作業(yè) 請自學課本12、13頁,相信你會有很大的收獲!帶著的你的例子借助一元一次不等式來解決實際問題。 二、教學過程 一)導入 在現(xiàn)實中的許多問題,可以借助于一元一次不等式來解決。本節(jié)課我們來研究用元一次不等式解決實際 問題。 二、檢查前置作業(yè),交流組內(nèi)存在問題 怎樣借助一元一次不等式解決實際問題 三、班級匯報展示 帶著你的`例子借助一元一次不等式來解決實際問題。 四、總結(jié)提升 你學會了什么? 五、布置作業(yè) 教學反思:開始課堂沉悶,學生有些緊張,后來在教師的調(diào)解下,氣氛活躍了。樊廣文出的題中缺少一個條件,馬悅出的三道題所提出的問題都有不正確,盡管學生在編的實際問題中出現(xiàn)了失誤,但學生真的動起來了,在思想的相互碰撞中,每個問題都得到了解決。但也有不足,如小組的時效性較小,雖然經(jīng)歷了小組交流,但問題并未深入的解決,馬悅的三道題是代表小組的,但小組只停留在馬悅出題了,也沒有交流她出題的正確性。導致三道題都出現(xiàn)同一個問題。在今后的教學中教師更應(yīng)該關(guān)注小組的時效性。一元一次不等式組課件優(yōu)選13篇
幼兒教師教育網(wǎng)今天為大家介紹的是一篇有關(guān)“一元一次不等式組課件”的文章。對于新入職的老師而言,教案課件還是很重要的,因此教案課件不是隨便寫寫就可以的。只有高質(zhì)量的教案才能帶來好的教學效果。希望本文能夠為您提供一些實用建議!
一元一次不等式組課件【篇1】
教學目標
1.能夠根據(jù)具體問題中數(shù)量關(guān)系,列出一元一次不等式組,解決簡單問題。
2.滲透“數(shù)學建?!彼枷搿W顑?yōu)化理論。
3.提高分析問題解決問題能力。
教學重點
分析實際問題列不等式組。
教學難點
1.找實際問題中的不等關(guān)系列不等式組。
2.有條理的表達思考過程。
教學過程
一、創(chuàng)設(shè)問題情境。
本節(jié)課我們一起學習用一元一次不等式組解決一些簡單的實際問題。
出示問題:
某公園售出一次性使用門票,每張10元。為吸引更多游客,新近推出購買“個人年票”的售票方法。年票分A、B兩類。A類年票每張100元,持票者每次進入公園無需再購買門票。B類年票每張50元,持票者進入公園時需再購買每次2元的門票。你能知道某游客一年中進入該公園至少超過多少次,購買A類年票最合算嗎?
二、建立模形。
1.分析題意回答:
①游客購買門票,有幾種選取擇方式?
②設(shè)某游客選取擇了某種門票,一年進入該公園x次,門票支出是多少?
③買A類年票最合算,應(yīng)滿足什么關(guān)系?
2.討論交流,列出不等式組。
3.解不等式組,說出問題的答案。
三、應(yīng)用。
學生討論、交流。
1.什么情況下,購買每次10元的門票最合算。
2.什么情況下,購買B類年票最合算?
學生清晰、有條理地表達自己的思考過程,且考慮問題要全面。
四、練習。
某校安排寄宿時,如果每項間宿舍住7人,那么有1間雖有人住,但沒住滿。如果每間宿舍住4人,那么有100名學生住不下。問該校有多少寄宿生?有多少間宿舍?
(提示學生找到本題中的兩個不等關(guān)系。學生人數(shù),宿舍間數(shù)都為整數(shù)。解本題時,先獨立思考,再小組交流)
五、小結(jié)
列一元一次不等式組,解決實際問題的基本步驟是什么?(討論、交流,指名回答)
六、作業(yè)。
習題1.3A組第1題。
后記:
一元一次不等式組課件【篇2】
[學習目標]
1.進一步鞏固一元一次不等式組的解法
2.會用一元一次不等式組解決有關(guān)的實際問題
3.理解一元一次不等式組應(yīng)用題的一般解題步驟
[學習重點]一元一次不等式組的應(yīng)用
[學習難點]在實際問題中尋找不等關(guān)系,列出不等式組
[學習過程]
一、春耕(創(chuàng)設(shè)情境,導入新課)
在上課之前,老師請大家來幫一個忙,幫老師來解決一道難題:老師有一個熟人姓王,他有一個哥哥和一個弟弟,哥哥的年齡是20歲,小王的年齡的2倍加上他弟弟年齡的5倍等于97.現(xiàn)在小王要老師猜猜他和他弟弟的年齡各是多少?俗話說三個臭皮匠,可抵一個諸葛亮,現(xiàn)在我們?nèi)嗤瑢W可抵得上很多諸葛亮,所以老師相信大家一定有辦法的.
二、夏耘(師生互動,課堂探究)
(一)提出問題,引發(fā)討論
當一個未知數(shù)同時滿足幾個不等關(guān)系時,我們就按這些關(guān)系分別列幾個不等式,這樣就得到不等式組,用不等式組解決實際問題時,其公共解是否一定為實際問題的解呢?請舉例說明.
例:甲以5km/時的速度進行跑步鍛煉,2小時后,乙騎自行車從同地出發(fā)沿同一條路追趕甲.但他們兩人約定,乙最快不早于1小時追上甲,最慢不晚于1小時15分追上甲.你能確定乙騎車的速度應(yīng)當控制在什么范圍嗎?
(二)導入知識,解釋疑難
1.教材內(nèi)容講解
如課本例2(P145)(請同學自己閱讀,動手列不等式組進行求解,再將自己答案與課本答案進行比較)不等式組的解集為15
又如:將若干只雞放入若干個籠,若每個籠里放4只,則有1只雞無籠可放;若每個籠里放5只,則有1籠無雞可放,那么至少有多少只雞,多少個籠?
2.探究活動
把16根火柴首尾相接,圍成一個長方形(不包括正方形),怎樣找到圍出不同形狀的長方形個數(shù)最多的辦法呢?最多個數(shù)又是多少呢?
三.秋收(歸納總結(jié),知識回顧)
1. 應(yīng)用不等式組解決實際問題的步驟:1.審清題意;2.設(shè)未知數(shù),根據(jù)所設(shè)未知數(shù)列出不等式組;3.解不等式組;4.由不等式組的解確立實際問題的解;5.作答.(與列方程組解應(yīng)用題進行比較)
2.雙基練習
1.已知方程組 有正整數(shù)解,則k的取值范圍是_________.
2.若不等式組 無解,求a的取值范圍.
3.當2(m-3)x-m的解集.
4.某學校為學生安排宿舍,現(xiàn)有住房若干間,若每間5人還有14人安排不下,若每間7人,則有一間還余一些床位,問學校有幾間房可以安排學生住宿?可以安排住宿的學生多少人?
四.冬藏(創(chuàng)新提升)
某商場為了促銷,開展對顧客贈送禮品活動,準備了若干件禮品送給顧客,在一次活動中,如果每人送5件,則還余8件,如果每人送7件,則最后一人還不足3件.設(shè)該商場準備了m件禮品,有x名顧客獲贈,請回答下列問題:
(1)用含x的代數(shù)式表示m.
(2)求出該次活動中獲贈顧客人數(shù)及所準備的禮品數(shù)
一元一次不等式組課件【篇3】
教學目標:
了解一元一次不等式的概念,掌握一元一次不等式的解法。
教學重點:
是掌握解一元一次不等式的步驟
教學難點:
是必須切實注意遇到要在不等式兩邊都乘以(或除以)同一負數(shù)時,必須改變不等號的方向。
教學過程:
一、問題導入
復習:
1、不等式的基本性質(zhì)有哪些?什么是一元一次方程?并舉出兩個例子。
2、觀察不等式x+3<5與x<2,說明解x<2是x+3<5依據(jù)什么變形得到的?
3、解一元一次方程:6x+5=7-2x,目的是為了與下面所學的解一元一次不等式進行類比,找到它們的聯(lián)系與區(qū)別。
二、指導自學,小組合作交流
請同學們根據(jù)以下提問進行自學,先個人思考,后小組合作學習。
1、觀察下列不等式,說一說這些不等式有哪些共同特點?
(1)2x+5≥8(2)x+1≤—4(3)x<2(4)6—3x>43(x+1)≤0
觀察上面不等式有哪些共同特點,讓學生通過交流,再總結(jié)一元一次不等式的概念。老師板書定義。
2、讓學生舉出2或3個一元一次不等式的例子,小組交流。
3、讓學生通過比較解一元一次方程:6x+5=7-2x的解法試解一元一次不等式:6x+5<7-2x,并將解集在數(shù)軸上表示出來。
4、思考:一元一次不等式與一元一次方程的解法有哪些類似之處?有什么不同?
5、解下列不等式,并把它們的解集在數(shù)軸上表示出來。
(1)3-x<2x+9(2)2-4(x-1)>3(x+2)-x
(3)(x-1)/3≥(2-x)/2+1
總結(jié):解一元一次不等式的依據(jù)和解一元一次不等式的步驟。
三、互動交流,教師點撥
(一)、學生易出錯的問題和注意的事項:
1、確定一個不等式是不是一元一次不等式,要抓住三個要點:左右兩邊都是整式,只有一個未知數(shù),未知數(shù)的次數(shù)是1。
2、對于(1),讓學生說明不等式3-x<2x+9的每一步變形的依據(jù)是什么,特別注意的是:解不等式的移項和解方程的移項一樣。即移項要變號(培養(yǎng)學生運用類比的數(shù)學思想)。
3、不等式兩邊同時除以(-3)時,不等號的方向改變。
2、重點點撥(2)和(3),先讓學生到黑板上板演。老師再講評。
(2)易出錯的地方是:去括號時漏乘,括號前是負號,去掉括號后括號里的項沒變號,還有移項沒有變號;(3)易出錯的地方是:去分母時漏乘無分母的項。
3、歸納解一元一次不等式的步驟(與解一元一次方程的步驟類比):去分母,去括號,移項,合并同類項,系數(shù)化為1。(在系數(shù)化為1這一步要特別提醒學生注意當系數(shù)為負數(shù)時,要記住改變不等號的方向。)
四、鞏固練習
1、判斷下列不等式是不是一元一次不等式,為什么?
(1)2/x—3
(2)5x+3x–1
(4)x(2x+1)
(5)X+2≥x
2、解下列不等式,并把它們的解集在數(shù)軸上表示出來
(1)3x–8
(2)2(x–1)≥x+3
(3)x/5≥1+(x–3)/2
3、[思考]當x取何值時,代數(shù)式(x–2)/2的值比(3x+1)/3的值大?
小結(jié):
(1)不等式兩邊同時除以負數(shù)時,不等號的方向要改變。
(2)注意去括號時不要漏乘,括號前是負號,去掉括號后括號里的項要變號,還有移項一定要變號
(3)去分母時不要漏乘無分母的項。
一元一次不等式組課件【篇4】
教學建議
一、知識結(jié)構(gòu)
本書首先結(jié)合實例引入一元一次不等式組的解集的概念,然后通過三個例題說明利用數(shù)軸解一元一次不等式組的方法,最后對一元一次不等式組的解法步驟進行了總結(jié).
二、重點、難點分析
本節(jié)教學的重點是掌握一元一次不等式組的解法步驟并準確地求出解集.難點是正確應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)對不等式進行變形、求不等式組中各個不等式解集的公共部分.不等式在中學代數(shù)中是研究問題的重要工具,例如求函數(shù)的定義域、值域、研究函數(shù)的單調(diào)性,求最大值、最小值,一元二次方程根的討論等,都要用到不等式的知識.不等式也是進一步學習其他數(shù)學內(nèi)容的基礎(chǔ).學習和掌握不等式的求解和不等式的證明方法,對培養(yǎng)學生邏輯思維能力也有極其重要的作用.在處理解不等式的問題中,一元一次不等式組的解法,具有特別重要的意義.這是因為,解各類不等式的問題都可以歸結(jié)為解一些由簡單不等式所組成的不等式組.
1、在構(gòu)成不等式組的幾個不等式中
①這幾個一元一次不等式必須含有同一個未知數(shù);
②這里的“幾個”并未確定不等式的個數(shù),只要不是一個,兩個,三個,四個……都行.
2、當幾個不等式的解集沒有公共部分時,我們就說這個不等式組無解.
3、由兩個一元一次不等式組成的不等式的解集,共歸結(jié)為下面四種基本情況:
【注意】①其中第(4)個不等式組,實質(zhì)上是矛盾不等式組,任何數(shù)都不能使兩個不等式同時成立。所以說這個不等式組無解或說其解集為空集。②從上面列出的表中,我們可以概括出來不等式組公共解的一規(guī)律:同大取大,同小取小,一大一小中間找。
三、教法建議
1.解本節(jié)的引例及例1、例2、例3時,注意把解不等式組的思路講清楚,即先分別解每一個不等式,求出解集,再求這些解集的公共部分.求公共部分的過程一定要結(jié)合數(shù)軸來講。
2.這節(jié)課的講解自始至終要突出解不等式組的基本思想以及解一元一次不等式組的步驟這兩個重點.準確熟練地解一元一次不等式以及用數(shù)軸上的點表示不等式的解集是這節(jié)課的基礎(chǔ),因此講新課之前要復習提問這些內(nèi)容。
3.求公共解集是這節(jié)課的新授內(nèi)容,教師要充分利用數(shù)軸表示不等式解集具有形象、直觀、易于說明問題這些優(yōu)點.解集的公共部分教師可用彩筆在數(shù)軸的相應(yīng)部分描畫出來,使學生感到醒目,便于理解記憶。
4.每組不等式不要超過三個,關(guān)鍵是使學生理解和掌握解不等式組的基本思想和兩個步驟,不宜做過于難、過于多、重復的機械計算。
一元一次不等式組課件【篇5】
〖教學目標〗
1、理解一元一次不等式組的概念.
2、理解不等式組的解的概念.
3、會解由兩個一元一次不等式組成的不等式組,并會用數(shù)軸確定解.
4、培養(yǎng)學生類比推理能力.
〖教學重點與難點〗
教學重點:一元一次不等式組的解法.
教學難點:例2較為復雜,幾乎包括了解一元一次不等式的全部步驟,是本節(jié)教學的難點,用數(shù)軸表示一元一次不等式組的解也是難點。
〖教學過程〗
一.引入
1.想一想:某單位從超市購買了墨水筆和圓珠筆共15桶,所付金額超過570元,但不到580元。已知這兩種筆每桶的單價為圓珠筆34.90元/支,墨水筆44.90元/支。設(shè)購買圓珠筆X桶,你能列出幾個不等式?
2.學生活動:找出已知條件,列出所有不等關(guān)系式,互相討論,類推概念,鼓勵學生通過觀察,分析,補充解決問題。
3.最后教師總結(jié)兩個不等式。
如設(shè)購買圓珠筆的桶數(shù)為X,則:
二.新課
1.一元一次不等式組:一般地,由幾個同一個未知數(shù)的一元一次不等式所組成的一組不等式,叫做一元一次不等式組。像上面就是一元一次不等式組,再
例如:
都是一元一次不等式組.
2.不等式組解的概念:組成不等式組的各個不等式的解的公共部分就是不等式組的解.當它們沒有公共部分時.我們稱這個不等式組無解.
3.做一做:
例1.解一元一次不等式組
解:解不等式①,
得:
X>-1
解不等式②,
得:
X≤6
把
①
②兩個不等式的解表示在數(shù)軸上,如下圖:
-1
6
所以原不等式組的解是-14.應(yīng)用拓展:解由兩個一元一次不等式組成的不等式組,在取各個不等式的解公共部分時,有幾種不同情況嗎?若a用數(shù)軸試一試.(設(shè)a一般由兩個一元一次不等式組成的不等式組由四種基本類型確定,它們的解集、數(shù)軸表示如下表一元一次不等式組解集圖示口訣x>ax>bx>b大大取大xxx小小取小x>axa比小大,比大小,中間找xx>b無解比小小,比大大,解不了(無解)5.嘗試反饋:試一試,利用數(shù)軸分別求出滿足下列各組不等式組的x值的公共部分:6.探索較復雜的不等式組的解法:例2.解一元一次不等式組解:由不等式①,去擴號得3-5X>X-4X+2移項,整理得-2X>-1所以X解不等式②,去分母得3X-2>10-2X移項,整理得5X>12所以X>把①,②兩個不等式的解表示在數(shù)軸上.12所以原不等式組無解.7.通過范例,幫助學生總結(jié)解一元一次不等式組的步驟:(1)依次解各個一元一次不等式.(2)把各個一元一次不等式的解分別表示在同一數(shù)軸上.(3)根據(jù)解在數(shù)軸上的表示確定不等式組的解.三.鞏固(學生活動,與同伴交流自己的問題和解決問題的過程)1.解下列一元一次不等式組:2.分別求出本節(jié)開頭問題中購買墨水筆和圓珠筆的桶數(shù)四.歸納1.學生談本節(jié)課的收獲:優(yōu)等生談學到什么知識,上進生談體會;2.教師小結(jié):這節(jié)課主要學習了一元一次不等式組及不等式組的解的有關(guān)概念,要求會解有兩個一元一次不等式組成的一元一次不等式組,并會用數(shù)軸確定解集;也可以利用口訣“大大取大,小小取小,比小大比大小取中間,比大大比小小無解”來求不等式組的解。五.布置作業(yè)
一元一次不等式組課件【篇6】
一元一次不等式組
教學目標:1.學生通過生活實例,了解一元一次不等式組的意義和一元一次不等式組的解集的概念。
2.學生能利用數(shù)軸熟練的確定一元一次不等式組的解集,培養(yǎng)學生的觀察能力,分析能力。
3.掌握由兩個一元一次不等式所組成的不等式組的解集的四種情況。
4.學生通過對一元一次不等式組的學習,認識到事物間的相依關(guān)系。
教學重點:根據(jù)一元一次不等式組的四種情況,說出一元一次不等式組的解集。教學難點:利用數(shù)軸確定一元一次不等式組的解集。教學過程: 一.創(chuàng)設(shè)情境:
1.你能列出解決這個問題的式子嗎?
(小黑板)某學校初一()班準備一次秋季外出考察活動,該班級共有學生40人。學校根據(jù)預(yù)算要求該班這次活動的總經(jīng)費不能超過2400元;旅游公司按成本計算這次活動總經(jīng)費不能低于2000元。如果考慮雙方的要求,學生所付的經(jīng)費應(yīng)該在哪一范圍之內(nèi)?
學生列式:設(shè)每人所付的經(jīng)費為x元 40x≤2400 40x≥2000
?40x?2400 同時滿足兩個條件,列成不等式組 ?
?40x?2000給出定義:由幾個含有同一個未知數(shù)的一次不等式組成的不等式組叫做一元一次不等式組。
2.(小黑板)判別下列不等式組中哪些是一元一次不等式組,并說明為什么?
?x?0?x??3?x?2(1)?(2)?(3)? x?3?0y?3x?4????2x?3?54x?1?0???3x?1?4?(4)?(5)?2(6)?3x?2?1
??x?3?0?x?y?1?x?9?0?二.嘗試探究:
1.問題:怎樣確定不等式組的解集呢? ?40x?2400?x?60 比如:?的解集怎樣確定呢??這個式子就是不?40x?2000?x?50等式組的解集嗎?
2.利用數(shù)軸來確定不等式組的解集
?x?3?x?3?x?3?x?3 例:(1)?(2)?(3)?(4)?
?x??1?x??1?x?-1?x??1 本題教師和學生共同完成
鞏固練習:(書四題,學生練習,學生板演,小組互相檢查,教師巡視指導)
小組討論:當a>b時,如何確定下列不等式組的解集?
?x?a?x?a?x?a?x?a(?。?(2)?(3)?(4)?
?x?b?x?b?x?b?x?b 課后思考:當a
三.歸納小結(jié):
1.本節(jié)課我們認識了什么是一元一次不等式組及其解集,并學會了利用數(shù)軸來確定不等式組的解集。(利用例題中四個不等式組解集情況說明不等式組解集取法)
2.一元一次不等式組和二元一次方程組類似,也有不同的地方。兩者都是由兩個或幾個一次式組成,但不等式組是同一個字母,方程組中有兩個字母。3.具體求不等式組解集的方法,下節(jié)課我們接著學習。
四.布置作業(yè):
練習冊B冊習題
同步練習
一元一次不等式組課件【篇7】
1、由“彈簧掛物問題”導入
把教學內(nèi)容轉(zhuǎn)化為具有潛在意義的`問題,讓學生產(chǎn)生強烈的問題意識,使學生的整個學習過程成為“猜想”,繼而緊張地沉思,期待尋找理由和證明過程。
在實際情況下進行學習,可以使學生利用已有知識與經(jīng)驗,同化和索引出當前學習的新知識,這樣獲取的知識,不但易于保持,而且易于遷移到陌生的問題情境中。在本問題中使學生感受到一元一次不等式、一元一次方程、一次函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系
2、導疑:得出本課新的知識點是:一元一次不等式、一元一次方程、一次函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系
3、導研:講解例題?!覀冊谥v解例題時,不僅在于怎樣解,更在于為什么這樣解,而及時對解題方法和規(guī)律進行概括,有利于發(fā)展學生的思維能力。在題中:引導學生圍撓一元一次不等式、一元一次方程、一次函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系展開從多個角度進行思考。
4、導練:課后練習使學生能鞏固羨慕自覺運用所學知識與解題思想方法。
5、導評:總結(jié)結(jié)論,強化認識。知識性內(nèi)容的小結(jié),可把課堂教學傳授的知識盡快化為學生的素質(zhì);數(shù)學思想方法的小結(jié),可使學生更深刻地理解數(shù)學思想方法在解題中的地位和應(yīng)用,并且逐漸培養(yǎng)學生的良好的個性品質(zhì)目標。
6、變式延伸,進行重構(gòu)。重視課本例題,適當對題目進行引申,使例題的作用更加突出,有利于學生對知識的串聯(lián)、累積、加工,從而達到舉一反三的效果。
7、板書。
8、布置作業(yè)。針對學生素質(zhì)的差異進行分層訓練,既使學生掌握基礎(chǔ)知識,又使學有佘力的學生有所提高,從而達到拔尖和“減負”的目的。
(教學程序:
(一):課堂結(jié)構(gòu):導入、導疑、導研、導評、導練、布置作業(yè)等幾部分。
(二):教學簡要過程:
1:復習提問:(理由是:);2:導入講授新課:;3:課堂練習:4:新課鞏固:5:作業(yè)布置;)
五:作業(yè)布置:略
一元一次不等式組課件【篇8】
【知識與技能】
1、了解一元一次不等式組的概念。
2、理解一元一次不等式組的解集,能求一元一次不等式組的解集。
3、會解一元一次不等式組。
【過程與方法】
通過具體問題得到一元一次不等式組,從而了解一元一次不等式組的概念,解出每個不等式,利用數(shù)軸求出各不等式解集的公共部分,從而得到不等式組的解集,通過解幾個有代表性的一元一次不等式組,總結(jié)出求不等式組解集的法則。
【情感態(tài)度】
運用數(shù)軸確定不等式組的解集是行之有效的方法。這種“數(shù)形結(jié)合”的方法今后經(jīng)常用到,鍛煉同學們數(shù)形結(jié)合的能力,提高學習興趣。
【教學重點】
一元一次不等式組的解法。
【教學難點】
確定一元一次不等式組的解集。
一、情境導入,初步認識
問題1 現(xiàn)有兩根木條a和b,a長10cm,b長3cm,如果要再找一根木條c,用這三根木條釘成一個三角形木框,那么木條c的長度有什么要求?
解:由于三角形中兩邊之____大于第三邊,兩邊之____小于第三邊,設(shè)c的長為xcm,則x<____,①x>____,②
合起來,組成一個__________。
由①解得_____________,由②解得_____________。
在數(shù)軸上表示就是________________。
容易看出:x的取值范圍是____________________。
這就是說,當木條c比____cm長并且比____cm短時,它能與木條a和b一起釘成三角形木框。
問題2 由上面的解不等式組的過程用自己的語言歸納出一元一次不等式組的解法。
【教學說明】全班同學可獨立作業(yè),也可分組自由討論,10分鐘后交流成果,逐步得出結(jié)論。
二、思考探究,獲取新知
思考什么叫一元一次不等式組,什么叫一元一次不等式組的解集,什么叫解不等式組?
【歸納結(jié)論】
1、定義:
(1)一元一次不等式組:幾個含有相同未知數(shù)的一元一次不等式合起來組成一個一元一次不等式組。
(2)一元一次不等式組的解集:幾個不等式的解集的公共部分,叫做由它們所組成的不等式的解集。
(3)解不等式組:求一元一次不等式組的解集的過程叫解一元一次不等式組。
2、一元一次不等式組的解法:
(1)求出每個一元一次不等式的解集。
(2)求出這些解集的公共部分,便得到一元一次不等式組的解集。
一元一次不等式組課件【篇9】
1.會解一元一次不等式.
2.會用不等式來表示實際問題中的不等關(guān)系.
掌握解一元一次不等式的步驟;會用一元一次不等式解決簡單的實際問題.
尋找實際問題中的不等關(guān)系,建立數(shù)學模型.
1.?不等式的基本性質(zhì)有哪些?
(1)3x3.
.二、夏耘:
例 甲、乙兩商店以同樣價格出售同樣的商品,并且又各自推出不同的優(yōu)惠方案:在甲店累計購買100元商品后,再購買的商品按原價的90%收費;在乙店累計購買50元商品后,再購買的商品按原價的95%收費.顧客怎樣選擇商店購物能獲得更大優(yōu)惠?
這個問題較復雜,從何處入后考慮它呢?
甲商店優(yōu)惠方案的起點為購物款達___元后;
乙商店優(yōu)惠方案的起點為購物款過___元后.
我們是否應(yīng)分情況考慮?可以怎樣分情況呢?
(1)如果累計購物不超過50元,則在兩店購物花費有區(qū)別嗎?
(2)如果累計購物超過50元而不超過100元,則在哪家商店購物花費???為什么?
(3)如果累計購物超過100元,那么在甲店購物花費小嗎?
三、秋收:
1.某校校長暑假將帶領(lǐng)該校市級優(yōu)秀學生乘旅行社的車去a市參加科技夏令營,甲旅行社說:“如果校長買全票一張,則其余學生可享受半價優(yōu)惠”.乙旅行社說:“包括校長在內(nèi)全部按全票的6折優(yōu)惠”,若全票價為240元.
(1)設(shè)學生數(shù)為x,甲旅行社收費為y甲,乙旅行社收費為y乙.分別計算兩家旅行社的收費(建立表達式);
(2)當學生數(shù)是多少時,兩家旅行社的收費一樣?
(3) 就學生數(shù)x討論哪家旅行社更優(yōu)惠.
2.某商店出售茶壺和茶杯,茶壺每只20元,茶杯每只5元,該商店有兩種優(yōu)惠辦法:
(1)?買一只茶壺送一只茶杯;
(2)?按總價的92%付款.現(xiàn)有一顧客需購買4只茶壺,茶杯若干只(不少于4只).
請問:顧客買同樣多的茶杯時,用哪一種優(yōu)惠辦法購買省錢?
3.某人的移動電話(手機)可選擇兩種收費辦法中的一種,甲種收費辦法是,先交月租費50元,每通一次電話再收費0.40元;乙種收費辦法是,不交月租費,每通一次電話收費0.60元.問每月通話次數(shù)在什么范圍內(nèi)選擇甲種收費辦法合適?在什么范圍內(nèi)時選擇乙種收費辦法合適?
四、冬藏(補充練習):
1.有一批貨物,如月初售出,可獲利1000元,并可將本利之和再去投資,到月末獲1.5%的利息;如月末售出這批貨,可獲利1200元,但要付50元保管費.問這批貨在月初還是月末售出好.
2.某市自來水公司為限制單位用水,每月只給某單位計劃內(nèi)用水3000噸,計劃內(nèi)用水每噸收費0.5元,超計劃用水超出部分每噸收費0.8元.如果單位自建水泵房抽水,每月需交500元管理費,另外每月一噸水再交0.28元,已知每抽一噸水需成本0.07元.問該單位是用自來水公司的水合算,還是自建水泵房抽水合算.
一元一次不等式組課件【篇10】
科學合理的教學方法能使教學效果事半功倍,達到教與學的和諧完美統(tǒng)一。
基于此,我準備采用的教法講授法、討論法。德國教育學家第斯多慧:差的教師只會奉送真理,好的教師則交給學生如何發(fā)現(xiàn)真理,老師的教是為了不教,這才是教學的最高境界,所以我采用的學法是練習法、自主合作法。
在這節(jié)課的教學過程中,我注重突出重點,條理清晰,緊湊合理。各項活動的安排也注重互動、交流,最大限度的調(diào)動學生參與課堂的積極性、主動性。
首先是導入環(huán)節(jié),我采用復習舊知的導入方法。我會讓學生回憶不等式的概念以及一元一次方程的概念,明確指出今天學習的內(nèi)容是《一元一次不等式》。
這樣的設(shè)計既可以考查學生對之前知識的掌握情況,還能夠為今天學習一元一次方程的概念打下基礎(chǔ)。而且開門見山的導入方式能夠快速地進入主題。
接下來是新知探索環(huán)節(jié),首先我請學生類比不等式以及一元一次方程的概念,給一元一次不等式下定義。
能夠總結(jié)出:含有一個未知數(shù),未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式,叫做一元一次不等式。
接下來讓學生回憶上節(jié)課學習的不等式x-7>26如何解決的,通過學生回憶總結(jié)可以得到:通過“不等式的兩邊都加7,不等號的方向不變”而得到的。
接下來提問學生有沒有更加簡便的方法解不等式?讓學生類比解一元一次方程的步驟進行解題??梢缘玫较喈斢诳梢杂谩耙祈棥保瑏斫鉀Q。
在這個過程中,強調(diào)每一個步驟,在第二題最后一步,強調(diào)當不等式的兩邊同時乘以(或除以)同一個負數(shù)時,不等號的方向改變。
解完不等式,先讓學生回憶解一元一次方程的步驟是什么?并類比解一元一次方程的步驟,總結(jié)一下解一元一次不等式的步驟是什么?
從而我們歸納:解一元一次方程,要根據(jù)等式的性質(zhì),將方程逐步化為x=a的形式;而解一元一次不等式,則要根據(jù)不等式的性質(zhì),將不等式逐步化為xa的形式。
《數(shù)學課程標準》指出:“學生是數(shù)學學習的主人,教師是數(shù)學學習的組織者、引導者和合作者”。根據(jù)這一教學理念,在本環(huán)節(jié)中,我組織學生進行了自主探究活動,讓學生在保持高度學習熱情和探究欲望的活動過程中,始終以愉悅的心情,親身經(jīng)歷和體驗知識的形成過程。培養(yǎng)學生的探究能力、分析思維能力,激發(fā)他們的創(chuàng)新意識、參與意識。
第三個環(huán)節(jié)是課堂練習環(huán)節(jié),出示問題,解不等式,并在數(shù)軸上表示數(shù)集:5x+15>4x-1
之所以這樣設(shè)計是因為練習是掌握知識、形成技能、發(fā)展思維的重要手段,針對本課的教學重點和難點,上述練習,目的是讓學生進一步鞏固對新知的理解??梢陨罨虒W內(nèi)容,培養(yǎng)思維的靈活性。
最后一個環(huán)節(jié)為小結(jié)作業(yè)環(huán)節(jié),關(guān)于課堂小結(jié),我打算讓學生自己來總結(jié)今天的收獲。
這樣既發(fā)揮了學生的主體性,又可以提高學生的總結(jié)概括能力,讓我在第一時間得到學習反饋,及時加以疏導。
通過這樣的方式能夠為本節(jié)課學習的知識進行進一步的鞏固。
我的板書設(shè)計遵循簡潔明了突出重點的意圖,這是我的板書設(shè)計:
一元一次不等式組課件【篇11】
(一)復習提問:
三角形的三邊關(guān)系?
(二)列一元一次不等式組
問題:現(xiàn)有兩根木條a和b,a長10cm,b長3cm.如果要再找一根木條c,用這三根木條釘成一個三角形木框,那么對木條c的長度有什么要求?
注:這個問題是本節(jié)的'引入問題,三角形木框的形狀不唯一確定,只要能成為三角形即可.
探究:用三根長度分別為14cm,9cm,6cm的木條c1,c2,c3分別試試,其中哪根木條能與木條a和b一起釘成三角形木框?
可以發(fā)現(xiàn),當木條a和b的長度確定后,木條c太長或太短,都不能與a和b一起釘成三角形.
由于“三角形中兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊”,設(shè)木條c長xcm,則x必須同時滿足不等式x10+3①和x10-3②
注:木條c必須同時滿足兩個條件,即ca+b,ca-b.
類似于方程組,把這兩個不等式合起來,組成一個一元一次不等式組記作注:這里并未正式給一元一次不等式組下定義,只是說這兩個不等式合起來,組成一個一元一次不等式組.實際上,兩個或更多的一元一次不等式組合起來,都組成一個一元一次不等式組.
(三)一元一次不等式組的解集
類比方程組的解,怎樣確定不等式組中x的可取值的范圍呢?
不等式組中的各不等式解集的公共部分,就是不等式組中x可以取值的范圍.
注:這里還未正式出現(xiàn)不等式組的解集的概念,但已點出各不等式的解集的公共部分即不等式組中未知數(shù)的可取值范圍.
由不等式①解得x13.
由不等式②解得x7.
從圖9.3—2容易看出,x可以取值的范圍為713.
注:利用數(shù)軸可以直觀形象地認識公共部分.這個公共部分是兩端有界的開區(qū)間.
這就是說,當木條c比7cm長并且比13cm短時,它能與木條a和b一起釘成三角形木框.
一般地,幾個不等式的解集的公共部分,叫做由它們所組成的不等式組的解集.解不等式組就是求它的解集.
注:這里正式給出不等式組的解集以及解不等式組的定義13.注:利用數(shù)軸可以直觀形象地認識公共部分.這個公共部分是兩端有界的開區(qū)間.這就是說,當木條c比7cm長并且比13cm短時,它能與木條a和b一起釘成三角形木框.一般地,幾個不等式的解集的公共部分,叫做由它們所組成的不等式組的解集.解不等式組就是求它的解集.注:這里正式給出不等式組的解集以及解不等式組的定義。
一元一次不等式組課件【篇12】
一、教材分析
《一元一次不等式組》是華東師大版義務(wù)教育課程標準實驗教科書數(shù)學七年級下冊第八章第三節(jié),我把本節(jié)內(nèi)容分為兩個課時,第一課時是一元一次不等式組的概念及解法,第二課時是不等式組的實踐與探索。今天,我說課的內(nèi)容是第一課時。
《數(shù)學課程標準》對本節(jié)的要求是:充分感受生活中存在著大量的不等關(guān)系,了解不等式組的意義;會解簡單的一元一次不等式組,并會用數(shù)軸確定解集。
《一元一次不等式》的主要內(nèi)容是一元一次不等式(不等式組)的解法及其簡單應(yīng)用。是在學習了有理數(shù)的大小比較、等式及其性質(zhì)、一元一次方程的基礎(chǔ)上,開始學習簡單的數(shù)量之間的不等關(guān)系,進一步探究現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的重要內(nèi)容,是繼一元一次方程和二元一次方程組之后,又一次數(shù)學建模思想的學習,也是后繼學習一元二次方程、函數(shù)及進一步學習不等式的重要基礎(chǔ),具有承前啟后的重要作用。
《一元一次不等式組》是本章的最后一節(jié),是一元一次不等式知識的綜合運用和拓展延伸,是進一步刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的數(shù)學模型,是下一節(jié)利用一元一次不等式組解決實際問題的關(guān)鍵。因此,我把本節(jié)課的教學重點確定為一元一次不等式組的解法。
數(shù)學課程應(yīng)當從學生熟悉的現(xiàn)實生活開始,沿著數(shù)學發(fā)現(xiàn)過程中人類的活動軌跡,從生活中的問題到數(shù)學問題,從具體問題到抽象概念,從特殊關(guān)系到一般規(guī)則,逐步通過學生自己的發(fā)現(xiàn)去學習數(shù)學、獲取知識。得到抽象化的數(shù)學知識之后,再及時地把它們應(yīng)用到新的現(xiàn)實問題上去。按照這樣的途徑發(fā)展,數(shù)學教育才能較好地溝通生活中的數(shù)學與課堂上的數(shù)學的聯(lián)系,才能有益于學生理解數(shù)學,熱愛數(shù)學和使數(shù)學成為生活中有用的本領(lǐng)。
本節(jié)課,既有概念教學又有解題教學,而概念教學,應(yīng)該從生活、生產(chǎn)實例或?qū)W生熟悉的已有知識引入,引導學生通過觀察、比較、分析、綜合,抽取共性,得到概念的本質(zhì)屬性。在此基礎(chǔ)上歸納概括出概念的定義,并引導學生弄清定義中每一個字、詞的確切含義。華師版的'教科書中,只設(shè)計了一個問題情境,我感覺還不夠,不能從一個問題抽象出概念的本質(zhì)。因此,在這里我又增加了一個問題情境,以增加對不等式組概念的理解,加強數(shù)學應(yīng)用意識的培養(yǎng)。
二、學情分析
從學生學習的心理基礎(chǔ)和認知特點來說,學生已經(jīng)學習了一元一次不等式,并能較熟練地解一元一次不等式,能將簡單的實際問題抽象為數(shù)學模型,有一定的數(shù)學化能力。但學生將兩個一元一次不等式的解集在同一數(shù)軸上表示會產(chǎn)生一定的困惑。這個年齡段的學生,以感性認識為主,并向理性認知過渡,所以,我對本節(jié)課的設(shè)計是通過兩個學生所熟悉的問題情境,讓學生獨立思考,合作交流,從而引導其自主學習。
基于對學情的分析,我確定了本節(jié)課的教學難點是:正確理解不等式組的解集。
三、教學目標
在教材分析和學情分析的基礎(chǔ)上,結(jié)合預(yù)設(shè)的教學方法,確定了本節(jié)課的教學目標如下:
1、通過實例體會一元一次不等式組是研究量與量之間關(guān)系的重要模型之一。
2、了解一元一次不等式組及解集的概念。
3、會利用數(shù)軸解較簡單的一元一次不等式組。
4、培養(yǎng)學生分析、解決實際問題的能力。
5、通過實際問題的解決,體會數(shù)學知識在生活中的應(yīng)用,激發(fā)學生的學習興趣。能在解決問題過程中勤于思考、樂于探究,體驗解決問題策略的多樣性,體驗數(shù)學的價值。
四、教學手段
本節(jié)課采用多媒體教學,利用多媒體教學信息容量大、操作簡單、形象生動、反饋及時等優(yōu)點,直觀地展示教學內(nèi)容,這樣不但可以提高學習效率和質(zhì)量,而且容易激發(fā)學生學習的興趣,調(diào)動積極性。
五、教學過程
本節(jié)課的教學流程如下:實際問題——一元一次不等式組——解集——解法——應(yīng)用。
活動一、實際問題,創(chuàng)設(shè)情境
問題1。
小寶和爸爸,媽媽三人在操場上玩蹺蹺板,爸爸體重為72千克,體重只有媽媽一半的小寶和媽媽一同坐在蹺蹺板的另一端,這時爸爸的一端仍然著地。后來,小寶借來一副質(zhì)量為6千克的啞鈴,加在他和媽媽坐的一端,結(jié)果爸爸被蹺起離地。猜猜小寶的體重約是多少?在這個問題中,如果設(shè)小寶的體重為x千克。
(1)從蹺蹺板的狀況你可以找出怎樣的不等關(guān)系?
(2)你認為怎樣求x的范圍,可以盡可能地接近小寶的體重?
我提出問題(1),學生獨立思考,回答問題。
考察學生對應(yīng)用一元一次不等式解決實際問題的能力,并引出新知。
教師提出問題(2),學生小組合作、探索交流,回答問題。
我預(yù)計學生對于這個問題會產(chǎn)生兩種不同的看法:一種方法是利用估算的方法將特殊值代入來求出適合不等式組的特殊解;另一種方法是求出兩個不等式的解集,并分別將這兩個解集在數(shù)軸上表示。因此教師應(yīng)引導學生進一步理解本題的實際意義,能將兩個不等式的解集綜合分析。
這里是通過對數(shù)量關(guān)系的分析、抽象,突出數(shù)學建模思想的教學,注重對學生進行引導,讓學生充分發(fā)表意見,并鼓勵學生提出不同的解法。
問題2。
現(xiàn)有兩根木條,一根長為10厘米,另一根長為30厘米,如果再找一根木條,用這三根木條釘一個三角形木框,那么第三根木條的長度有什么要求?
教師提出問題,學生獨立思考,回答問題。
教學效果預(yù)估與對策:預(yù)計學生對三角形三邊關(guān)系可能有所遺忘,教師應(yīng)給予提示。
設(shè)計意圖:這是一個與三角形相關(guān)的問題,要求學生能綜合運用已有的知識,獨立思考、自主探索、嘗試解決,促使學生在探索和解決問題的過程中獲得體驗、得到發(fā)展,學會新的東西,發(fā)展自己的思維能力。
活動二、總結(jié)歸納,得出概念
1、一元一次不等式組
通過上面兩個實際問題的探究,歸納概括出一元一次不等式組的概念和一元一次不等式組解集的概念。
即:把兩個(或兩個以上)一元一次不等式合在一起,就得到了一個一元一次不等式組(linearinequalitiesofoneunknown)。
2、一元一次不等式組的解集
同時滿足不等式(1)、(2)的未知數(shù)x應(yīng)是這兩個不等式解集的公共部分。在同一數(shù)軸上表示出這兩個解集,找到公共部分,就是所列不等式組的解集。
不等式組中幾個不等式的解集的公共部分,叫做這個不等式組的解集。
師生活動:在活動一的基礎(chǔ)上,將學生得出的結(jié)論進行歸納總結(jié)。教師要注意傾聽學生敘述問題的準確性和全面性。
教學效果預(yù)估與對策:估計多數(shù)學生在經(jīng)歷了上述的探索過程后,能夠?qū)@個結(jié)論有所認識。
一元一次不等式組課件【篇13】
學習目標:
1、了解一元一次不等式組的概念,理解一元一次不等式組的解集的意義。
2、會解由兩個一元一次不等式組成的一元一次不等式組,能借助數(shù)軸正確的表示一元一次不等式組的解集。
3、通過探討一元一次不等式組的解法以及解集的確定,滲透轉(zhuǎn)化思想,進一步感受數(shù)形結(jié)合在解決問題中的作用。
4、體驗不等式在實際問題中的作用,感受數(shù)學的應(yīng)用價值。
學習重點:
一元一次不等式組的解法
學習難點:
一元一次不等式組解集的確定。
一、學前準備
【回顧】
1.解不等式 ,并把解集在數(shù)軸上表示出來。
【預(yù)習】
1、 認真閱讀教材34-35頁內(nèi)容
2、__________叫做一元一次不等式組。
_________叫做一元一次不等式組的解集。
叫做解不等式組。
4、求下列兩個不等式的解集,并在同一條數(shù)軸上表示出來
二、探究活動
【例題分析】
例1. (問題1)題中的買5筒錢不夠,買4筒錢又多的含義是什么?
例2. (問題2)題中的相等關(guān)系是什么?不等關(guān)系又是什么?
例3. 解不等式組
【小結(jié)】
不等式組解集口訣
同大取大,同小取小,大小小大中間找,大大小小解不了
一元一次不等式組解集四種類型如下表:
不等式組(a)
(1)xb
xb 同大取大
(2)x
x
(3)xax
a
(4)xb
無解 大大小小解不了
【課堂檢測】
1、不等式組 的解集是( )
A. B. C. D.無解
2、不等式組 的解集為( )
A.-1
3、不等式組 的解集在數(shù)軸上表示正確的是( )
A B C D
4、寫出下列不等式組的解集:(教材P35練習1)
三、自我測試
1.填空
(1)不等式組x-1 的解集是___;
(2)不等式組x-2 的解集 ;
(3)不等式組x1 的解集是____;
(4)不等式組x-4 解集是____。
2、解下列不等式組,并在數(shù)軸上表示出來
四、應(yīng)用與拓展
若不等式組 無解,則m的取值范圍是 _____.
例題三:
已知$a,b,c>0$,求證$\frac{(a+b)^2}{c}+\frac{(b+c)^2}{a}+\frac{(c+a)^2}\geq 12(a+b+c)$
解:由基本不等式得
$(a+b)^2\geq 4ab,(b+c)^2\geq 4bc,(c+a)^2\geq 4ac$
將以上三個式子代入原式變化得
$\frac{4ab}{c}+\frac{4bc}{a}+\frac{4ac}\geq 12(a+b+c)$
即(ab^2+bc^2+ca^2)\geq 12abc(a+b+c)$
即$(ab^2+bc^2+ca^2)\geq 3abc$
由于$a,b,c>0$,故得證。
三、基本不等式的擴展
除了基本不等式外,還有一些基本不等式的擴展形式,例如平均值不等式和柯西施瓦茲不等式等。這些擴展形式大大豐富了不等式的證明和應(yīng)用,并為數(shù)學研究提供了更加廣泛的空間。下面,我們就來簡單介紹一下平均值不等式和柯西施瓦茲不等式的相關(guān)內(nèi)容。
平均值不等式:對于$n$個非負實數(shù)$x_1,x_2,\cdots,x_n$,有
$\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\geq\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}$
其中等號成立當且僅當$x_1=x_2=\cdots=x_n$時成立。
柯西施瓦茲不等式:對于任意實數(shù)$x_1,x_2,\cdots,x_n$和$y_1,y_2,\cdots,y_n$,有
$(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)(y_1^2+y_2^2+\cdots+y_n^2)\geq(x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n)^2$
其中等號成立當且僅當$\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}=\cdots=\frac{x_n}{y_n}$時成立。
四、總結(jié)
綜上所述,基本不等式是數(shù)學中重要的一個概念,它與不等式的證明和應(yīng)用有著密切的關(guān)系?;静坏仁降慕夥ê退季S方法不僅能讓我們更好地掌握不等式的性質(zhì)和應(yīng)用,同時也能讓我們更好地解決數(shù)學中的其他問題。在學習和應(yīng)用基本不等式時,我們還需掌握其相關(guān)的擴展形式,如平均值不等式和柯西施瓦茲不等式等。只有充分掌握了這些知識點,我們才能更加深入地理解并應(yīng)用不等式的知識。
不等式的課件收藏
經(jīng)驗時常告訴我們,做事要提前做好準備。在幼兒教育工作中,我們都有會準備一寫需要用到資料。資料包含著人類在社會實踐,科學實驗和研究過程中所匯集的經(jīng)驗。有了資料的協(xié)助我們的工作會變得更加順利!所以,關(guān)于幼師資料你究竟了解多少呢?小編現(xiàn)在推薦你閱讀一下不等式的課件收藏,相信能對大家有所幫助。
不等式的課件 篇1
基本不等式是初中數(shù)學比較重要的一個概念,對于求解不等式問題有非常大的作用。在教學中,老師可以通過多學示例,呈現(xiàn)形式多樣,讓學生深刻理解基本不等式的本質(zhì)和應(yīng)用,使學生在解決實際問題中靈活掌握相關(guān)知識。本文將結(jié)合基本不等式的定義、性質(zhì)和應(yīng)用,探討其相關(guān)主題。
一、基本不等式的定義和性質(zhì)
基本不等式是在解決實際問題時常用到的一種數(shù)學方法,它可以有效地幫助我們解決很多實際問題。在數(shù)學中,一般把基本不等式定義為,對于任何正整數(shù)a和b,有下列不等關(guān)系:
(a+b)^2>=4ab
這個不等式在初中數(shù)學中非常重要,我們還可以把它解釋成下面的形式:對于任何兩個正數(shù)a和b,有下列不等式:
a/b+b/a>=2
這個式子實際上就是基本不等式的一個特例,也說明了基本不等式中的a和b可以指任何兩個正數(shù)。
基本不等式的一些性質(zhì):
1、兩邊同時乘以正數(shù)或是開根號(即不改變不等關(guān)系的實質(zhì))是允許的。
2、當a=b時等號成立。
3、當a不等于b時,不等號成立。
這些性質(zhì)是我們用基本不等式時需要注意的幾個關(guān)鍵點。如果我們了解了這些基本的性質(zhì),就可以更加靈活地運用基本不等式解決實際問題。
二、基本不等式的應(yīng)用
基本不等式的應(yīng)用非常廣泛,例如可以用它來解決以下問題:
1、證明
√(a^2+b^2)>=a/√2+b/√2
這個問題就可以使用基本不等式來證明,首先得到(a+b)^2>=2(a^2+b^2),將式子化簡可得√(a^2+b^2)>=a/√2+b/√2,這就是想要證明的結(jié)論。
2、解決一些最值問題。例如:如何使a+b的值最?。窟@個問題可以用基本不等式來解決,我們設(shè)a+b=k,那么a+b的平方就是k^2,代入基本不等式中可得出:
k^2>=4ab,即(a+b)^2>=4ab
這個不等式右邊是4ab,左邊則是(a+b)^2,因此a+b的值取得最小值時,應(yīng)當使(a+b)^2=4ab,所以a=b,因此a+b的最小值就是2a或是2b。
3、證明一些平方和不等式的結(jié)論。例如:
(a/b)^2+(b/a)^2>=2
這個問題可以通過基本不等式進行證明,首先我們設(shè)x=a/b,y=b/a,很顯然有x+y>=2,然后通過簡單的運算可得:x^2+y^2>=2,也即(a/b)^2+(b/a)^2>=2。
綜上所述,基本不等式作為初中數(shù)學比較重要的一部分,其定義、性質(zhì)和應(yīng)用都與實際問題密切相關(guān)。在解決實際問題時,我們可以通過多學示例,靈活運用基本不等式的性質(zhì)和應(yīng)用,進而更好地理解其本質(zhì)和應(yīng)用,從而使初中數(shù)學知識更加牢固。
不等式的課件 篇2
(1)運用問題的形式幫助學生整理全章的內(nèi)容,建立知識體系。
(2)在獨立思考的基礎(chǔ)上,鼓勵學生開展小組和全班的交流,使學生通過交流和反思加強對所學知識的理解和掌握,并逐步建立知識體系。
通過問題情境的設(shè)立,使學生再現(xiàn)已學知識,鍛煉抽象、概括的能力。解決問題
通過具體問題來體會知識間的聯(lián)系和學習本章所采用的主要思想方法。
通過獨立思考獲取學習的成功體驗,通過小組交流培養(yǎng)合作交流意識,通過大膽發(fā)表自己的觀點,增強自信心。
重點:對一元一次不等式基本性質(zhì)的掌握;理解不等式(組)解及解集的含義,會解簡單的一元一不等式(組),并會在數(shù)軸上表示其解集;會解相關(guān)的問題,建立起相關(guān)的知識體系。
不等式有哪些基本性質(zhì)?它與等式的性質(zhì)有什么相同和不同之處?
解一元一次不等式和解一元一次方程有什么異同?引導學生回憶解一元一次方程的步驟.比較兩者之間的不同學生舉例回答.
舉例說明在數(shù)軸上如何表示一元一不等式(組)的解集分組競賽.看哪一組出的題型好,全班一起解答.
舉例說明不等式、函數(shù)、方程的聯(lián)系.引導學生回憶函數(shù)的有關(guān)內(nèi)容.舉例說明三者之間的關(guān)系.小組討論,合作回答.函數(shù)性質(zhì)、圖象
小組交流、討論不等式和函數(shù)、函數(shù)和方程等之間的關(guān)系,分別舉例說明.
布置作業(yè)開動腦筋,勇于表達自己的'想法.
(1)在運用所學知識解決具體問題的同時,加深對全章知識體系理解。
(2)發(fā)展學生抽象能力、推理能力和有條理表達自己想法的能力.
教學思考:
體會數(shù)學的應(yīng)用價值,并學會在解決問題過程中與他人合作.解決問題。在獨立思考的基礎(chǔ)上,積極參與問題的討論,從交流中學習,并敢于發(fā)表自己的觀點和主張,同時尊重與理解別人的觀點。
情感態(tài)度與價值觀:
進一步嘗試學習數(shù)學的成功體驗,認識到不等式是解決實際問題的重要工具,逐漸形成對數(shù)學活動積極參與的意識。
重點:
對一元一次不等式基本性質(zhì)的掌握;理解不等式(組)解及解集的含義,會解簡單的一元一次不等式(組),并會在數(shù)軸上表示其解集;會解相關(guān)的問題,建立起相關(guān)的知識體系。
↓ ↓
安排一組練習讓學生充分充分討論解決.
(1)當X取何值時,Y>0(2)當X取何值時,Y=0(3)當X取何值時,Y
3.某工人制造機器零件,如果每天比預(yù)定多做一件,那么8天所做零件超過100件;如果每天比預(yù)定少做一件,那么8天所做零件不到90件,這個工人預(yù)定每天做幾個零件?
不等式的課件 篇3
一元二次不等式是高中數(shù)學中的一個重要概念,是指一個帶有二次項的不等式。在數(shù)學學習中,我們經(jīng)常需要利用二次不等式來解決問題,掌握這個概念對于深入了解高中數(shù)學知識是至關(guān)重要的。因此,學習一元二次不等式是高中數(shù)學學習中的一大難點,需要認真對待。
一元二次不等式的概念和性質(zhì)
一元二次不等式可以寫成如下形式:
ax2 + bx + c > 0
或
ax2 + bx + c
其中a、b、c都是實數(shù),a ≠ 0。
我們可以通過一些方法求出不等式的根,比如將其轉(zhuǎn)化為標準形式。將不等式變形,我們可以得到如下形式:
ax2 + bx
或
ax2 + bx > – c
然后,我們再用求一元二次方程根的方法求出不等式的解,就能夠得到它的解集。
對于不等式ax2 + bx + c > 0,其圖像為二次函數(shù)的上凸形,即開口向上的拋物線,而對于不等式ax2 + bx + c
一元二次不等式的解法
解一元二次不等式的方法有很多,下面我們介紹其中的兩種:
方法一:化為標準形式,再利用求一元二次方程根的方法求解。
方法二:利用符號法將不等式中的式子化簡,得到一系列不等式,然后將這些不等式求解即可。
實際上,解一元二次不等式還有很多其他的方法,比如絕對值法、圖形法等等。在解題時,我們要根據(jù)具體的情況選擇最合適的方法來求解。
一元二次不等式的應(yīng)用
一元二次不等式廣泛應(yīng)用于數(shù)學學習以及生活中的各個領(lǐng)域,比如物理學、經(jīng)濟學、社會學等。下面我們以生活中的一個例子來說明一元二次不等式的應(yīng)用。
假設(shè)你要購買一臺電視機,商家提供了兩種方案供你選擇。方案一:首付1500元,每月還款100元;方案二:首付3500元,每月還款80元。那么,你需要比較兩個方案的總花費,來決定哪個方案更加劃算。
我們假設(shè)電視機的總價格為x元。那么,方案一的總花費為:
C1 = 1500 + 100×n
而方案二的總花費為:
C2 = 3500 + 80×n
這里n為分期的期數(shù),即你需要還款的總期數(shù)。為了比較兩種方案的劃算程度,我們可以列出一個一元二次不等式:
1500 + 100×n
經(jīng)過化簡,我們可以得到:
20n > 2000
n > 100
因此,當還款期數(shù)大于100期時,方案一比方案二更加劃算。這個例子很好地展示了一元二次不等式的應(yīng)用,它能夠幫助我們在日常生活中做出明智的選擇,也能夠更加深入地理解數(shù)學知識。
總結(jié)
一元二次不等式是高中數(shù)學學習中的重要概念,它在數(shù)學中和生活中都有廣泛的應(yīng)用。學習一元二次不等式需要我們認真對待,掌握其概念、性質(zhì)和解法,同時也需要我們理解其實際應(yīng)用,這樣才能夠更好地掌握高中數(shù)學的知識。
不等式的課件 篇4
本節(jié)課的研究是對初中不等式學習的延續(xù)和拓展,也是實數(shù)理論的進一步發(fā)展.在本節(jié)課的學習過程中,將讓學生回憶實數(shù)的基本理論,并能用實數(shù)的基本理論來比較兩個代數(shù)式的大小.
通過本節(jié)課的學習,讓學生從一系列的具體問題情境中,感受到在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系,并充分認識不等關(guān)系的存在與應(yīng)用.對不等關(guān)系的相關(guān)素材,用數(shù)學觀點進行觀察、歸納、抽象,完成量與量的比較過程.即能用不等式或不等式組把這些不等關(guān)系表示出來.
在本節(jié)課的學習過程中還安排了一些簡單的、學生易于處理的問題,其用意在于讓學生注意對數(shù)學知識和方法的應(yīng)用,同時也能激發(fā)學生的學習興趣,并由衷地產(chǎn)生用數(shù)學工具研究不等關(guān)系的愿望.根據(jù)本節(jié)課的教學內(nèi)容,應(yīng)用再現(xiàn)、回憶得出實數(shù)的基本理論,并能用實數(shù)的基本理論來比較兩個代數(shù)式的大小.
在本節(jié)教學中,教師可讓學生閱讀書中實例,充分利用數(shù)軸這一簡單的數(shù)形結(jié)合工具,直接用實數(shù)與數(shù)軸上點的一一對應(yīng)關(guān)系,從數(shù)與形兩方面建立實數(shù)的順序關(guān)系.要在溫故知新的基礎(chǔ)上提高學生對不等式的認識.
1.在學生了解不等式產(chǎn)生的實際背景下,利用數(shù)軸回憶實數(shù)的基本理論,理解實數(shù)的大小關(guān)系,理解實數(shù)大小與數(shù)軸上對應(yīng)點位置間的關(guān)系.
2.會用作差法判斷實數(shù)與代數(shù)式的大小,會用配方法判斷二次式的大小和范圍.
3.通過溫故知新,提高學生對不等式的認識,激發(fā)學生的學習興趣,體會數(shù)學的奧秘與數(shù)學的結(jié)構(gòu)美.
教學重點:比較實數(shù)與代數(shù)式的大小關(guān)系,判斷二次式的大小和范圍.
思路1.(章頭圖導入)通過多媒體展示衛(wèi)星、飛船和一幅山巒重疊起伏的壯觀畫面,它將學生帶入“橫看成嶺側(cè)成峰,遠近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中,使學生在具體情境中感受到不等關(guān)系在現(xiàn)實世界和日常生活中是大量存在的,由此產(chǎn)生用數(shù)學研究不等關(guān)系的強烈愿望,自然地引入新課.
思路2.(情境導入)列舉出學生身體的高矮、身體的輕重、距離學校路程的遠近、百米賽跑的時間、數(shù)學成績的多少等現(xiàn)實生活中學生身邊熟悉的事例,描述出某種客觀事物在數(shù)量上存在的不等關(guān)系.這些不等關(guān)系怎樣在數(shù)學上表示出來呢?讓學生自由地展開聯(lián)想,教師組織不等關(guān)系的相關(guān)素材,讓學生用數(shù)學的觀點進行觀察、歸納,使學生在具體情境中感受到不等關(guān)系與相等關(guān)系一樣,在現(xiàn)實世界和日常生活中大量存在著.這樣學生會由衷地產(chǎn)生用數(shù)學工具研究不等關(guān)系的愿望,從而進入進一步的探究學習,由此引入新課.
1回憶初中學過的不等式,讓學生說出“不等關(guān)系”與“不等式”的異同.怎樣利用不等式研究及表示不等關(guān)系?
2在現(xiàn)實世界和日常生活中,既有相等關(guān)系,又存在著大量的不等關(guān)系.你能舉出一些實際例子嗎?
3數(shù)軸上的任意兩點與對應(yīng)的兩實數(shù)具有怎樣的關(guān)系?
4任意兩個實數(shù)具有怎樣的關(guān)系?用邏輯用語怎樣表達這個關(guān)系?
活動:教師引導學生回憶初中學過的不等式概念,使學生明確“不等關(guān)系”與“不等式”的異同.不等關(guān)系強調(diào)的是關(guān)系,可用符號“>”“b”“a
教師與學生一起舉出我們?nèi)粘I钪胁坏汝P(guān)系的例子,可讓學生充分合作討論,使學生感受到現(xiàn)實世界中存在著大量的不等關(guān)系.在學生了解了一些不等式產(chǎn)生的實際背景的前提下,進一步學習不等式的有關(guān)內(nèi)容.
實例1:某天的天氣預(yù)報報道,最高氣溫32 ℃,最低氣溫26 ℃.
實例2:對于數(shù)軸上任意不同的兩點A、B,若點A在點B的左邊,則xA
實例5:三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊.
實例6:限速40 km/h的路標指示司機在前方路段行駛時,應(yīng)使汽車的速度v不超過40 km/h.
實例7:某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定,酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不少于2.5%,蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于2.3%.
教師進一步點撥:能夠發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學當然很好,這說明同學們已經(jīng)走進了數(shù)學這門學科,但作為我們研究數(shù)學的人來說,能用數(shù)學的眼光、數(shù)學的觀點進行觀察、歸納、抽象,完成這些量與量的比較過程,這是我們每個研究數(shù)學的人必須要做的,那么,我們可以用我們所研究過的什么知識來表示這些不等關(guān)系呢?學生很容易想到,用不等式或不等式組來表示這些不等關(guān)系.那么不等式就是用不等號將兩個代數(shù)式連結(jié)起來所成的式子.如-71+4,2x≤6,a+2≥0,3≠4,0≤5等.
教師引導學生將上述的7個實例用不等式表示出來.實例1,若用t表示某天的氣溫,則26 ℃≤t≤32 ℃.實例3,若用x表示一個非負數(shù),則x≥0.實例5,|AC|+|BC|>|AB|,如下圖.
|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.
|AB|-|BC|
實例6,若用v表示速度,則v≤40 km/h.實例7,f≥2.5%,p≥2.3%.對于實例7,教師應(yīng)點撥學生注意酸奶中的脂肪含量與蛋白質(zhì)含量需同時滿足,避免寫成f≥2.5%或p≥2.3%,這是不對的.但可表示為f≥2.5%且p≥2.3%.
對以上問題,教師讓學生輪流回答,再用投影儀給出課本上的兩個結(jié)論.
討論結(jié)果:
(1)(2)略;(3)數(shù)軸上任意兩點中,右邊點對應(yīng)的實數(shù)比左邊點對應(yīng)的實數(shù)大.
(4)對于任意兩個實數(shù)a和b,在a=b,a>b,a0a>b;a-b=0a=b;a-b
活動:通過兩例讓學生熟悉兩個代數(shù)式的大小比較的基本方法:作差,配方法.
點評:本節(jié)兩例的求解,是借助因式分解和應(yīng)用配方法完成的,這兩種方法是代數(shù)式變形時經(jīng)常使用的方法,應(yīng)讓學生熟練掌握.
1.若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,則f(x)與g(x)的大小關(guān)系是( )
解析:f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0,∴f(x)>g(x).
2.已知x≠0,比較(x2+1)2與x4+x2+1的大小.
解:由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.
∵x≠0,得x2>0.從而(x2+1)2>x4+x2+1.
例2比較下列各組數(shù)的大小(a≠b).
(1)a+b2與21a+1b(a>0,b>0);
(2)a4-b4與4a3(a-b).
活動:比較兩個實數(shù)的大小,常根據(jù)實數(shù)的運算性質(zhì)與大小順序的關(guān)系,歸結(jié)為判斷它們的差的符號來確定.本例可由學生獨立完成,但要點撥學生在最后的符號判斷說理中,要理由充分,不可忽略這點.
解:(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=a+b2-4ab2a+b=a-b22a+b.
∵a>0,b>0且a≠b,∴a+b>0,(a-b)2>0.∴a-b22a+b>0,即a+b2>21a+1b.
(2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)
=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]
=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2].
∵2a2+(a+b)2≥0(當且僅當a=b=0時取等號),
又a≠b,∴(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0.∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2]
∴a4-b4
點評:比較大小常用作差法,一般步驟是作差——變形——判斷符號.變形常用的手段是分解因式和配方,前者將“差”變?yōu)椤胺e”,后者將“差”化為一個或幾個完全平方式的“和”,也可兩者并用.
已知x>y,且y≠0,比較xy與1的大小.
活動:要比較任意兩個數(shù)或式的大小關(guān)系,只需確定它們的差與0的大小關(guān)系.
∵x>y,∴x-y>0.
當y
當y>0時,x-yy>0,即xy-1>0.∴xy>1.
點評:當字母y取不同范圍的值時,差xy-1的正負情況不同,所以需對y分類討論.
例3建筑設(shè)計規(guī)定,民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積.但按采光標準,窗戶面積與地板面積的比值應(yīng)不小于10%,且這個比值越大,住宅的采光條件越好.試問:同時增加相等的窗戶面積和地板面積,住宅的采光條件是變好了,還是變壞了?請說明理由.
活動:解題關(guān)鍵首先是把文字語言轉(zhuǎn)換成數(shù)學語言,然后比較前后比值的大小,采用作差法.
解:設(shè)住宅窗戶面積和地板面積分別為a、b,同時增加的面積為m,根據(jù)問題的要求a
由于a+mb+m-ab=mb-abb+m>0,于是a+mb+m>ab.又ab≥10%,
因此a+mb+m>ab≥10%.
所以同時增加相等的窗戶面積和地板面積后,住宅的采光條件變好了.
點評:一般地,設(shè)a、b為正實數(shù),且a0,則a+mb+m>ab.
已知a1,a2,…為各項都大于零的等比數(shù)列,公比q≠1,則( )
C.a1+a8=a4+a5 D.a1+a8與a4+a5大小不確定
解析:(a1+a8)-(a4+a5)=a1+a1q7-a1q3-a1q4
=a1[(1-q3)-q4(1-q3)]=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q)(1+q2).
∵{an}各項都大于零,∴q>0,即1+q>0.
又∵q≠1,∴(a1+a8)-(a4+a5)>0,即a1+a8>a4+a5.
1.下列不等式:①a2+3>2a;②a2+b2>2(a-b-1);③x2+y2>2xy.其中恒成立的不等式的個數(shù)為( )
2.比較2x2+5x+9與x2+5x+6的大小.
答案:
1.C解析:∵②a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,
③x2+y2-2xy=(x-y)2≥0.
∴只有①恒成立.
2.解:因為2x2+5x+9-(x2+5x+6)=x2+3>0,
所以2x2+5x+9>x2+5x+6.
1.教師與學生共同完成本節(jié)課的小結(jié),從實數(shù)的基本性質(zhì)的回顧,到兩個實數(shù)大小的比較方法;從例題的活動探究點評,到緊跟著的變式訓練,讓學生去繁就簡,聯(lián)系舊知,將本節(jié)課所學納入已有的知識體系中.
2.教師畫龍點睛,點撥利用實數(shù)的基本性質(zhì)對兩個實數(shù)大小比較時易錯的地方.鼓勵學有余力的學生對節(jié)末的思考與討論在課后作進一步的探究.
1.本節(jié)設(shè)計關(guān)注了教學方法的優(yōu)化.經(jīng)驗告訴我們:課堂上應(yīng)根據(jù)具體情況,選擇、設(shè)計最能體現(xiàn)教學規(guī)律的教學過程,不宜長期使用一種固定的教學方法,或原封不動地照搬一種實驗?zāi)J?各種教學方法中,沒有一種能很好地適應(yīng)一切教學活動.也就是說,世上沒有萬能的教學方法.針對個性,靈活變化,因材施教才是成功的施教靈藥.
2.本節(jié)設(shè)計注重了難度控制.不等式內(nèi)容應(yīng)用面廣,可以說與其他所有內(nèi)容都有交匯,歷來是高考的重點與熱點.作為本章開始,可以適當開闊一些,算作拋磚引玉,讓學生有個自由探究聯(lián)想的平臺,但不宜過多向外拓展,以免對學生產(chǎn)生負面影響.
3.本節(jié)設(shè)計關(guān)注了學生思維能力的訓練.訓練學生的思維能力,提升思維的品質(zhì),是數(shù)學教師直面的重要課題,也是中學數(shù)學教育的主線.采用一題多解有助于思維的發(fā)散性及靈活性,克服思維的僵化.變式訓練教學又可以拓展學生思維視野的廣度,解題后的點撥反思有助于學生思維批判性品質(zhì)的提升.
1.比較(x-3)2與(x-2)(x-4)的大小.
2.試判斷下列各對整式的大?。?1)m2-2m+5和-2m+5;(2)a2-4a+3和-4a+1.
5.設(shè)a>0,b>0,且a≠b,試比較aabb與abba的大小.
∴(x-3)2>(x-2)(x-4).
=m2.
∵m2≥0,∴(m2-2m+5)-(-2m+5)≥0.
∴m2-2m+5≥-2m+5.
=a2+2.
∵a2≥0,∴a2+2≥2>0.
∴a2-4a+3>-4a+1.
=x24,
又∵x>0,∴x24>0.
∴(1+x2)2>(1+x)2.
由x>0,得1+x2>1+x.
=(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]
=-2xy(x-y).
∵x0,x-y
∴-2xy(x-y)>0.
∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).
5.解:∵aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b,且a≠b,
當a>b>0時,ab>1,a-b>0,
則(ab)a-b>1,于是aabb>abba.
則(ab)a-b>1.
于是aabb>abb a.
綜上所述,對于不相等的正數(shù)a、b,都有aabb>abba.
不等式的課件 篇5
基本不等式是初中數(shù)學中重要的一章內(nèi)容,也是高中數(shù)學和競賽數(shù)學的基礎(chǔ)?;静坏仁降膶W習不僅有助于提高學生的數(shù)學素養(yǎng)和解題能力,同時也能幫助他們提高邏輯思維能力。本文旨在探討“基本不等式”這一主題。
一、基本不等式的定義與性質(zhì)
基本不等式是說:對于正實數(shù)x1,x2,…,xn,有
(x1+x2+…+xn)/n≥√(x1x2…xn),當且僅當x1=x2=…=xn時等號成立。
基本不等式的性質(zhì)有以下幾條:
(1)當n為偶數(shù)時,等號成立;
(2)當n為奇數(shù)時,當且僅當所有數(shù)相等時等號成立;
(3)兩個數(shù)的平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù),即(a+b)/2≥√(ab),其中a,b均為正實數(shù)且a≠b;
(4)當n≥3時,三個數(shù)的平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù),即(a+b+c)/3≥√(abc),其中a,b,c均為正實數(shù)且a≠b≠c。
二、基本不等式的應(yīng)用
基本不等式作為一種重要的數(shù)學工具,可以應(yīng)用于眾多問題之中。以下是基本不等式的一些常見應(yīng)用。
1. 求和式的最小值
例題1:已知-x1+x2+x3+x4+x5=-18,其中x1,x2,x3,x4,x5均為正數(shù),并且x1+x2+x3+x4+x5≥5,則x1x2x3x4x5的最小值為多少?
解法:根據(jù)已知條件,設(shè)x1+x2+x3+x4+x5=5+m(其中m≥0),則有x1+x2+x3+x4+x5+m=5+2m。代入到基本不等式中可得:
(x1+x2+x3+x4+x5+m)/5≥√(x1x2x3x4x5)m/5≥√(x1x2x3x4x5)/5
移項得到x1x2x3x4x5≥1,則x1x2x3x4x5的最小值為1。
2. 比較函數(shù)大小
例題2:比較函數(shù)f(x)=√(a2+x2)+√(b2+(c-x)2)(a,b,c>0)在[0,c]上的最小和最大值。
解法:根據(jù)已知條件和基本不等式,將f(x)分解成兩個正數(shù)的平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的形式,即
f(x)=[√(a2+x2)+√(b2+(c-x)2)]/2+1/2[√(a2+x2)+√(b2+(c-x)2)]
≥√[(√(a2+x2)×√(b2+(c-x)2)]+1/2(2c)
=√(a2+b2+c2+ab-ac-bc)+c
當x=c/3時等號成立,即f(x)的最小值為√(a2+b2+c2+ab-ac-bc)+c,最大值為√(a2+b2+c2+ab+ac+bc)+c。
3. 求極限
例題3:已知數(shù)列{a_n}(n≥1)的通項公式為a_n=(√n+1)/(n+1),則求∑(n從1到∞)a_n的極限。
解法:根據(jù)基本不等式,有
a_1+a_2+…+a_n≥n(√(a_1a_2…a_n))^1/n
代入已知條件,可得:
a_1+a_2+…+a_n≥n[(√(1+1)×√(2+1)×…×√(n+1))/((1+1)×(2+1)×…×(n+1))]^(1/n)
= n[√(n+1)/2×1/3×…×1/(n+1)]^(1/n) =n[(n+1)/[2(n+1)]]^(1/n)
極限為1/2。
4. 求證不等式
例題4:已知a,b,c為正實數(shù),且a+b+c=1,證明∑(a/(1-a))≥3(a2+b2+c2)/(ab+bc+ca)。
解法:將不等式化簡,得:
∑(a/(1-a))≥3(a2+b2+c2)/(ab+bc+ca)
?(a/(1-a))+(b/(1-b))+(c/(1-c))≥3(a2+b2+c2)/(ab+bc+ca)
?(a/(1-a))+(b/(1-b))+(c/(1-c))≥3[(a+b+c)2-(ab+bc+ca)]/(ab+bc+ca)
由于a+b+c=1,有
(ab+bc+ca)≤a2+b2+c2,
(a/(1-a))+(b/(1-b))+(c/(1-c))≥(a+b+c)2/(a(1-a)+b(1-b)+c(1-c))≥3(a2+b2+c2)/(ab+bc+ca)
其中第一個不等式成立是因為當a=b=c=1/3時,等號成立;第二個不等式用到了基本不等式的形式。
綜上所述,基本不等式是數(shù)學中的重要概念,掌握了基本不等式的定義、性質(zhì)和應(yīng)用方法,將有助于提高人們的數(shù)學素養(yǎng)和解題能力。在日常生活和學習中,要重視基本不等式的學習和應(yīng)用,逐步提高自己的數(shù)學水平。
不等式的課件 篇6
學生初步接觸了一點代數(shù)知識(如用字母表示定律,用符號表示數(shù)),是在學生學習了用字母表示數(shù)以后基礎(chǔ)上進行學習。應(yīng)用方程是解決問題的基礎(chǔ),有關(guān)的幾個概念,教材只作描述不下定義。在教學設(shè)計中仍然把理念作為教學的重點,理解方程的意義,判斷“等式”和“方程”知道方程是一個“含有未知數(shù)的等式”,才有可能明確所謂解方程。
學生不夠活潑,學習積極性不是很高,學生數(shù)學基礎(chǔ)不好。方程對學生來說還是比較陌生的,在他們頭腦中還沒有過方程這樣的表象,所以授新課就要從學生原有的`基礎(chǔ)開始,因為在前面學習用字母表示數(shù)的這部分內(nèi)容時,有了基礎(chǔ),我想在學習簡易方程應(yīng)該沒什么大的問題。
1、使學生初步理解和辨析“等式”“不等式”的意義。
2、會按要求用方程表示出數(shù)量關(guān)系,
3、培養(yǎng)學生的觀察、比較、分析能力。
教學重點: 用字母表示常見的數(shù)量關(guān)系,會用方程的意義去判斷一個式子是否是方程。
教師介紹天平各部分名稱。讓學生操作當天平兩端托盤的物體的質(zhì)量相等時,天平就會平衡,指針指向中。根據(jù)這這個原理來稱物體的質(zhì)量。(讓學生操作,激發(fā)學生的興趣,借助實物演示的優(yōu)勢。初步感受平衡與不平衡的表象)
1、實物演示,引出方程:
(1)在天平稱出100克的左邊空杯,讓學生觀察是否平衡,感受1只空杯=100克。
(2)往空杯里倒入果汁,另一邊加100克法碼,問學生發(fā)現(xiàn)了什么? (讓學生感受天平慢慢傾斜,水是未知數(shù))引出100+X>200,往右加100克法碼, 問:哪邊重些?(學生初步感受平衡和不平衡的表象) 問:怎樣用式子表示?100+X<300
(3)教學100+X=250 問:如果是天平平衡怎么辦?(讓學生討論交流平衡的方案)把100克法碼換成50克的砝碼,這時會怎樣?(引導學生觀察這時天平出現(xiàn)平衡), 問:現(xiàn)在兩邊的質(zhì)量怎樣?現(xiàn)在水有多重知道嗎?如果用字母X表示怎樣用式子表示?得出:100+X=250
示題:100+X<250100+X=2504X+50>10040+40=80 X÷2=45X-12=27
請學生觀察合作交流分類:
(一)引出(1)兩邊不相等,叫做不等式。(2)兩邊相等叫做等式。
(2)含有未知數(shù)的等式100+X=250 X÷2=4 揭示:(2)這樣的含有未知數(shù)等式叫做方程(通過分類,培養(yǎng)學生對方程意義的了解) 問:方程的具備條件是什么?(感知必須是等式,而一定含有未知數(shù))你能寫出一些方程嗎?(同桌交流檢查)
(三)練習判斷那些是方程?那些不是方程?
6+2X=14103+X250÷2=1256+X>251÷A=3X+Y=180 (讓學生加深對方程的意義的認識,培養(yǎng)學生的判斷能力。)
教師:我們能夠判斷什么是方程了,方程和等式有很密切的關(guān)系,你能畫圖來表示他們的關(guān)系嗎?(小組合作討論交流)
方程 等式 (讓學生通過觀察、思考、分析、歸類,自主發(fā)現(xiàn)獲得對方程和等式的關(guān)系理解,同時初步滲透教學中的集合思想。)
不等式的課件 篇7
基本不等式作為高中數(shù)學必修內(nèi)容之一,在學生學習中扮演著極為重要的角色。本篇文章將圍繞基本不等式,探討它的概念、性質(zhì)、證明方法及應(yīng)用,并展示基本不等式的魅力和實用性。
一、基本不等式的概念
基本不等式是指對于任意正實數(shù) $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 和任意正整數(shù) $n$,有以下不等式成立:
$\dfrac{a_1}{n}+\dfrac{a_2}{n}+\cdots+\dfrac{a_n}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$
這個不等式也被稱為均值不等式或AM-GM不等式。其中,$\dfrac{a_1}{n}+\dfrac{a_2}{n}+\cdots+\dfrac{a_n}{n}$ 表示這些數(shù)的算術(shù)平均值,而 $\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$ 表示這些數(shù)的幾何平均值。均值不等式的意義在于,算術(shù)平均數(shù)大于等于幾何平均數(shù)。
二、基本不等式的性質(zhì)
基本不等式有以下幾個性質(zhì):
1. 當且僅當 $a_1=a_2=\cdots=a_n$ 時等號成立。
2. 如果 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 中至少有一個數(shù)為 id="article-content1">
不等式課件
發(fā)布時間:2024-02-23 不等式課件 不等式課件精選九篇。
為了促進學生掌握上課知識點,老師需要提前準備教案,老師在寫教案課件時還需要花點心思去寫。?教案和課件優(yōu)化可使教學任務(wù)的完成更加精細化。幼兒教師教育網(wǎng)小編特意為大家收集整理了“不等式課件”,歡迎參考愿您成為更好的自己!
不等式課件 篇1
不等式的性質(zhì) 教學設(shè)計
十六中 尚進軍
【教學重點與難點】
教學重點:掌握不等式的三條基本性質(zhì),尤其是不等式的基本性質(zhì)3 教學難點:正確應(yīng)用不等式的三條基本性質(zhì)進行不等式變形 【教學目標】
1、探索并掌握不等式的基本性質(zhì)
2、會用不等式的基本性質(zhì)進行化簡 【教學方法】
通過觀察、分析、討論,引導學生歸納總結(jié)出不等式的三條基本性質(zhì),從具體上升到理論,再由理論指導具體的練習,從而強化學生對知識的理解與掌握.
【教學過程】
一、創(chuàng)設(shè)情境 復習引入
(設(shè)計說明:設(shè)置以下習題是為了溫故而知新,為學習本節(jié)內(nèi)容提供必要的知識準備.)問題:
1、什么是等式?等式的基本性質(zhì)是什么?
2、什么是不等式?
3、用“>”或“<”填空.(1)3
2×5 3×5
2×(-1)3×(-1)3-5 7-5 2÷2 3÷2 2×(-5)3×(-5)3+a 7+a
2÷(-2)3÷(-2)(教學說明: 復習等式的基本性質(zhì)后學生自然會聯(lián)想到,不等式是否有與等式相類似的性質(zhì),從而引起學生的探究欲望.接著問題3為學生探究不等式的性質(zhì)提供了載體,通過觀察,尋找規(guī)律,得出不等式的性質(zhì).)
二、師生互動,探索新知
1、不等式的基本性質(zhì)
問題1:觀察思考問題3,猜想出不等式的性質(zhì)
先讓學生獨立思考,后合作交流,通過充分討論,類比等式性質(zhì)得出不等式的性質(zhì).觀察時,引導學生注意不等號的方向,通過(1)題學生容易得出不等式性質(zhì)1: 不等式基本性質(zhì)1 不等式兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子),不等號的方向不變. 比較(2)、(3)題,注意觀察不等號方向,并思考不等號方向的改變與什么有關(guān)?由學生概括總結(jié),教師補充完善得出: 不等式基本性質(zhì)2 不等式兩邊乘(或除以)同一個正數(shù),不等號的方向不變. 不等式基本性質(zhì)3 不等式兩邊乘(或除以)同一個負數(shù),不等號的方向改變.
問題2:將不等式-2<6兩邊都加上7,-9,兩邊都乘3,-3試一試,進一步驗證上面得出的三條結(jié)論. 教師 強調(diào)指出:不等式的三條基本性質(zhì)實質(zhì)上是對不等式兩邊進行“+”、“-”、“×”、“÷”四則運算,當進行“+”、“-”法時,不等號方向不變;當乘(或除以)同一個正數(shù)時,不等號方向不變;只有當乘(或除以)同一個負數(shù)時,不等號的方向才改變.
問題3:嘗試用數(shù)學式子表示不等式的三條基本性質(zhì). 學生思考出答案,教師訂正,最后得出:(1)如果a>b,那么a±c>b±c(2)如果a>b,c>0那么ac>bc(或>)(3)如果a>b,ca” 或“x26;(2)3x50;(4)-4x>3.解:(l)根據(jù)不等式基本性質(zhì)1,不等式的兩邊都加上7,不等號的方向不變. 得 x-7+7>26 +>33(2)根據(jù)不等式基本性質(zhì)1,兩邊都減去2x,不等號的方向不變,得3x-2x75,不等號的方向不變,得(4)根據(jù)不等式基本性質(zhì)3,兩邊都除以-4,不等號的方向改變,得x(教學說明:這些不等式比較簡單,可以利用不等式的性質(zhì)直接求解,從而加深對這些性質(zhì)的認識.教師板書(1)題解題過程.(2)(3)(4)題由學生在練習本上完成,指定三個學生板演,然后師生共同判斷板演是否正確.解題時要引導學生與解一元一次方程的思路進行對比,有助于加強知識之間的前后聯(lián)系,突出新知識的特點,并將原題與“x>a” 或“xc, a+c>b, b+c>a 我們現(xiàn)在求的是兩邊之差與第三邊的關(guān)系,所以由不等式的性質(zhì)1將上式變形為: 由a +b>c得a>c-b, b>c-a.同理,由a+c>b, b+c>a可得c>b-a, b>a-c,c>a-b, a>b-c.這就是說,三角形中任意兩邊之差小于第三邊.(教學說明:此問題應(yīng)用不等式的性質(zhì)由“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”得出“三角形中任意兩邊之差小于第三邊”這個與已有結(jié)論等價的新結(jié)論.“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”對應(yīng)的是三個形式一樣的不等式,而不是一個不等式.由這三個不等式再推出“三角形中任意兩邊之差小于第三邊”.為了加深學生的感性認識,可以通過測量的方法驗證這個結(jié)論.)三、鞏固訓練,熟練技能:1、如果a>b,那么(1)a-3 b-3,(2)2a 2b(3)-3a-3b,(4)a-b 0(5)(6)-b_____-、在下列各題橫線上填入不等號,并說明是根據(jù)不等式的哪一條基本性質(zhì).(1)若a–3<9,則a_____12;(2)若-a<10,則a_____–10;(3)若a>–1,則a_____–4;(4)若-a>0,則a_____0.3、利用不等式的性質(zhì)解下列不等式,并在數(shù)軸上表示解集(解未知數(shù)為x的不等式,就是要使不等式逐步化為“x>a”或“x<a”的形式)(1)x-1<0;(2)x>-x+6;(3)3x>7;(4)-x<-3.(教學說明:這些練習進一步加深了學生對不等式性質(zhì)的理解,做此練習題時,應(yīng)讓學生注意觀察它們是應(yīng)用不等式的哪條性質(zhì),是怎樣由已知變形得到的.注意應(yīng)用不等式性質(zhì)3時,不等號要改變方向.做第3題時要引導學生與解一元一次方程的思路進行對比,讓學生認識到應(yīng)用不等式的性質(zhì)1變形,相當于移項.)四、總結(jié)反思,課堂小結(jié)1、不等式的基本性質(zhì)是什么?如何用數(shù)學式子表示?2、在本節(jié)課的學習中,你還有什么疑惑? 3.主要用到的思想方法是類比思想.4.注意的問題: 當不等式兩邊同乘(或除以)同一個數(shù)時,一定要看清是正數(shù)還是負數(shù),若是負數(shù),要變兩個號,一個性質(zhì)符號,另一個是不等號,對于未給定范圍的字母,應(yīng)分情況討論.六、布置課后作業(yè):1、課本127頁練習2、課本128習題的5、6、7題 【評價與反思】通過具體的事例觀察并歸納出不等式的三條基本性質(zhì),引導學生用數(shù)學式子表示三條基本性質(zhì),同時注意將不等式的三條基本性質(zhì)與等式的基本性質(zhì)進行比較,以加深學生的理解.在教學過程中,注重培養(yǎng)學生運用類比方法觀察、分析、解決問題的能力及歸納總結(jié)概括的能力.同時培養(yǎng)了學生積極主動的參與意識和勇敢嘗試、探索的精神.
不等式課件 篇2
本節(jié)教學的重點是不等式的解集的概念及在數(shù)軸上表示不等式的解集的方法.難點為不等式的解集的概念.
相同點:定義方式相同(使方程成立的未知數(shù)的值,叫做方程的解);解的表示方法也相同.
不同點:解的個數(shù)不同,一般地,一個不等式有無數(shù)多個解,而一個方程只有一個或幾個解,例如, 能使不等式 成立,那么 是不等式的一個解,類似地 等也能使不等式 成立,它們都是不等式 的解,事實上,當 取大于 的數(shù)時,不等式 都成立,所以不等式 有無數(shù)多個解.
不等式的解與不等式的解集是兩個不同的概念,不等式的解是指滿足這個不等式的未知數(shù)的某個值,而不等式的解集,是指滿足這個不等式的未知數(shù)的所有的值,不等式的所有解組成了解集,解集中包括了每一個解.
注意:不等式的解集必須滿足兩個條件:第一,解集中的任何一個數(shù)值,都能使不等式成立;第二,解集外的任何一個數(shù)值,都不能使不等式成立.
一般地,一個含未知數(shù)的不等式有無數(shù)多個解,其解集是某個范圍,這個范圍可用一個最簡單的不等式表示出來,例如,不等式 的解集是 .
如不等式 的解集 ,可以用數(shù)軸上表示4的點的左邊部分表示,因為 包含 ,所以在表示4的點上畫實心圓.
如不等式 的解集 ,可以用數(shù)軸上表示4的點的左邊部分表示,因為 包含 ,所以在表示4的點上畫實心圈.
注意:在數(shù)軸上,右邊的點表示的數(shù)總比左邊的點表示的數(shù)大,所以在數(shù)軸上表示不等式的解集時應(yīng)牢記:大于向右畫,小于向左畫;有等號的畫實心圓點,無等號的畫空心圓圈.
1.使學生了解不等式的解集、解不等式的概念,會在數(shù)軸上表示出不等式的解集.
2.知道不等式的“解集”與方程“解”的不同點.
通過教學,使學生能夠正確地在數(shù)軸上表示出不等式的解集,并且能把數(shù)軸上的某部分數(shù)集用相應(yīng)的不等式表示.
通過講解不等式的“解集”與方程“解”的關(guān)系,向?qū)W生滲透對立統(tǒng)一的辯證觀點.
通過本節(jié)課的學習,讓學生了解不等式的解集可利用圖形來表達,滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學美.
2.學生學法:明確不等式的解與解集的區(qū)別和聯(lián)系,并能熟練地用數(shù)軸表示不等式的解集,在數(shù)軸上表示不等式的解集時,要特別注意:大于向右畫,小于向左畫;有等號的畫實心圓點,無等號的畫空心圓圈.
不等式課件 篇3
基本不等式是數(shù)學中一個重要的基礎(chǔ)公式,也是高中數(shù)學學習的重點之一。此公式廣泛應(yīng)用于各種求證、排列、組合、概率等數(shù)學問題中,具有廣泛的實際應(yīng)用價值。本文將圍繞基本不等式的定義、推導、應(yīng)用和解題技巧進行講解。
一、基本不等式的定義
基本不等式又稱柯西-施瓦茨不等式,其一般形式為:
∣∣∣∣∑iaibi∣∣∣∣∣≤∣∣∣∣∑iai∣∣∣∣∣∣∣∣∣∑ibi∣∣∣∣∣
其中a1,a2,…,an和b1,b2,…,bn為任意實數(shù)。該不等式的本質(zhì)含義是,在平面直角坐標系中,向量間的內(nèi)積不大于它們模的乘積之積,并且當且僅當向量線性相關(guān)時取等號。
二、基本不等式的推導
基本不等式的推導涉及到向量的概念。假設(shè)有兩個n維向量a和b,它們的內(nèi)積為∑iaibi,則它們的長度分別為:|a|=√∑iai2和|b|=√∑ibi2。
將a和b定義為Rn中的兩個向量,則它們的夾角為θ,則有:
cosθ=∑iaibi/|a||b|
通過分析cosθ的大小關(guān)系,顯然有:
?1≤cosθ≤1
進一步得到基本不等式:
|∑iaibi|≤∣∣∣∣∑iai∣∣∣∣∣∣∣∣∑ibi∣∣∣∣∣
三、基本不等式的應(yīng)用
基本不等式廣泛應(yīng)用于各種求證、排列、組合、概率等數(shù)學問題中,下面將分別介紹它們的應(yīng)用。
1. 求證
基本不等式可以用于求證數(shù)學中的一些定理,比如互余等比數(shù)列的和定理。具體應(yīng)用時,我們可以將等比數(shù)列拆成兩個向量,然后應(yīng)用基本不等式即可得到所證定理。
2. 排列組合
在排列組合問題中,基本不等式可以幫助我們確定最優(yōu)解,以最小或最大值為目標得到所需的數(shù)字。例如,在n個數(shù)字中有幾對數(shù)對,他們之間的差值恰好為k,可以通過將原問題轉(zhuǎn)換為求兩個向量之間的夾角,然后應(yīng)用基本不等式進行求解。
3. 概率
在概率問題中,基本不等式可以用于推算隨機事件中不等的概率值,例如玩牌游戲中的胡牌概率等。我們可以將每個事件看作向量,然后使用基本不等式計算它們的夾角,從而得到相應(yīng)的概率值。
四、基本不等式的解題技巧
基本不等式的應(yīng)用需要掌握一些解題技巧。下面列舉一些常用的技巧:
1. 將數(shù)列表示成向量
在排列組合問題中,將數(shù)列表示成向量,有利于方便運用基本不等式進行計算。
2. 極小化或極大化
當問題中要求最小或最大值時,我們可以使用極小化或極大化的思路,以求解最優(yōu)解。
3. 利用對稱性
當有對稱條件時,可以運用基本不等式中的對稱性質(zhì),簡化數(shù)學推理。
4. 運用方法的差異性
在某些情況下,我們可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)在大小方面的差異,從而確定使用哪個方法進行計算。
綜上所述,基本不等式是高中數(shù)學學習的重點之一,應(yīng)用范圍廣泛。掌握了基本不等式的定義、推導、應(yīng)用和解題技巧,能夠在數(shù)學競賽中取得更好的成績,也有利于我們理解、應(yīng)用其它數(shù)學定理。
不等式課件 篇4
《不等式的性質(zhì)(1)》教學設(shè)計
一、引入
展示任務(wù)單的數(shù)據(jù)分析,向?qū)W生明確本堂課的教學內(nèi)容。
二、預(yù)習檢測
學生回答“什么是不等式的性質(zhì)” 不等式的性質(zhì)1 不等式兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子),不等號的方向不變 不等式的性質(zhì)2 不等式兩邊乘(或除以)同一個正數(shù),不等號的方向不變 不等式的性質(zhì)3 不等式兩邊乘(或除以)同一個負數(shù),不等號的方向改變
三、應(yīng)用1:利用不等式的性質(zhì)比較大小
【例1】若a?b,判斷3?2a與3?2b的大小關(guān)系.小結(jié):利用不等式的性質(zhì)比較大小的一般思路: 利用不等式的性質(zhì)將“已知”逐步化成“目標
(1)教師對任務(wù)單中錯誤率較高的題目進行講解;
(2)設(shè)置類似的問題作為例題,并進行鞏固訓練和變式訓練。
【鞏固】(1)若3a?4?3b?4,則a___b;(2)若?5a?7??5b?7,則a___?b,則: 【變式一】若 ①(k2?1)a___(k2?1)b ②1?k2a___1?k2b
【變式二】若a?b,試比較ka與kb的大小.【鞏固】(1)若a?b,且(k?1)a?(k?1)b,則k的取值范圍是______.1(2)由kx?1變形可得x?,則k的取值范圍是________.k
四、應(yīng)用2:利用不等式的性質(zhì)解不等式
(1)針對任務(wù)單中學生解不等式時在步驟中出現(xiàn)的問題,教師規(guī)范解題步驟;
(2)教師分享某位同學任務(wù)單中對“不等式的性質(zhì)與等式性質(zhì)的異同?”的回答,小組討論利用不等式的性質(zhì)解不等式步驟中需要注意的問題;(3)學生綜合范例和討論結(jié)果,進行鞏固訓練和變式訓練?!纠?】利用不等式的性質(zhì)解不等式:4y?12??2?3y.【鞏固】13用不等式的性質(zhì)解不等式:y?2?y?522 【變式】13已知y?2?y?5,化簡y?3?(6?2y)
五、課堂小結(jié)
小組討論分享:通過本節(jié)課的學習,“我知道了??”“我掌握了??”。
六、課堂檢測
學生獨立完成課堂檢測,由數(shù)據(jù)反饋出本堂課的達成度
七、課后思考 布置課后思考題
利用不等式性質(zhì)1,比較2a與a的大小(a?0).2,比較2a與a的大?。╝?0).利用不等式性質(zhì)
不等式課件 篇5
基本不等式是中學數(shù)學中比較重要的知識點,它是一條數(shù)學公式,可以用來證明數(shù)學上的不等式問題。在中學階段,我們通常會學習到關(guān)于基本不等式的概念、性質(zhì)以及應(yīng)用等方面的知識。接下來,本篇文章將圍繞這一主題展開,詳細說明基本不等式的相關(guān)知識點和應(yīng)用場景。
一、基本不等式的概念和性質(zhì)
基本不等式實際上是針對于a、b兩個正實數(shù)而言的,它的數(shù)學表述為:(a+b)2≥4ab 。 這個公式被稱為基本不等式的“基本式”。同時,在這個式子中,等號成立的條件是a=b時。接下來,讓我們來看看基本不等式的一些性質(zhì)。
1.基本不等式的證明:
(a+b)2=a2+2ab+b2≥4ab (由于a2+b2≥2ab)
化簡得:a2+b2≥2ab,即(a-b)2≥0,結(jié)合等式左側(cè)兩邊同時加上4ab,則得到公式(a+b)2≥4ab,也就是基本不等式。
2. 基本不等式的解釋:
從式子來看,基本不等式的左邊是一個完全平方數(shù),即(a+b)2。右邊是4ab。又因為基本不等式中的變量a和b都是正實數(shù),所以無論a和b的大小關(guān)系如何,四倍的乘積4ab一定是大于等于a2+b2、即2ab的。因此,我們可以得到基本不等式的結(jié)論:(a+b)2≥4ab。
3. 基本不等式的應(yīng)用:
基本不等式有非常廣泛的應(yīng)用,其中一些典型的應(yīng)用場景包括以下幾種:
a. 使用基本不等式證明其他不等式:
比如,對于x、y兩個正實數(shù),我們可以將不等式(x-y)2≥0 化簡為x2+y2≥2xy 的形式,然后用上基本不等式,即可快速證明(x-y)2≥0 成立。
b. 使用基本不等式解決實際問題:
比如,用4米長的繩子圍成一個矩形獸欄,求獸欄能夠圍住的最大面積是多少? 我們可以將這個問題轉(zhuǎn)換為求:4m邊長的正方形對面提醒獸欄的最大面積問題。此時,我們可以利用基本不等式,推導出正方形的對角線最大長度即為4√2米,由此可以得出此時正方形的面積即為16平方米,也就是獸欄的最大面積。
c. 使用基本不等式驗證一些數(shù)學結(jié)論:
比如,我們可以利用基本不等式來驗證任意兩個正實數(shù)的平均數(shù)一定大于等于它們的幾何平均數(shù)。 具體的,對于兩個正實數(shù)a和b,我們可以推導得到:
(a+b)2≥4ab
(a+b)2/4≥ab
(√ab+√ab)2/4≥ab
(?ab) ≥ (a+b)/2
由此可得,兩個正實數(shù)的平均數(shù)一定大于等于它們的幾何平均數(shù),即( a+b)/2≥?ab。
二、基本不等式的應(yīng)用實例
1.題目描述:
小峰有若干元錢,他能夠涵蓋八天的生活物資開銷?,F(xiàn)在,他去買菜了,花掉了R元錢,求他能不能仍然用這筆錢過完余下的那幾天。
2.解題思路:
我們可以設(shè)小峰剩下的錢數(shù)為x,應(yīng)該取得一個不等式來表示這個問題。具體地,設(shè)日均消費為m(m 一定是小于R/x 和x/8之間較小數(shù)),則從第9天開始,小峰所存的錢應(yīng)數(shù)學表達式為:
x-R≥m*(8),
x≥m*(8)+R
這是一個關(guān)于x的不等式,為驗證其是否成立,我們需要對它進行推導。為了推導方便,我們將不等式變形如下:
m*(8)+R≤x
然后,我們可以利用基本不等式將其化簡為如下形式:
(mx/?8)^2+(Rx/?8)^2≥2mRx/4
由于 x>0,所以令 t = x/?8,則上式化簡為:
(m/2)t^2+(R/2)^2≥tmR
或者
(t-R/m)^2+(m/2)^2≥R^2/ 4m^2
根據(jù)上面的式子,我們可以得出,只要 t≥R/m,即x≥m*(8)+R,則小峰就有足夠的錢過余下的幾天生活了。
3.綜述
基本不等式是非常重要的中學數(shù)學知識點,它不僅有較為實際的應(yīng)用場景,還能用于證明和推導其他數(shù)學結(jié)論。在學習基本不等式的時候,我們需要注意,對于不等式的變量,要理解它們所表示的實際含義和邏輯關(guān)系,從而更好地應(yīng)用基本不等式來解決實際問題。
不等式課件 篇6
本節(jié)課的研究是對初中不等式學習的延續(xù)和拓展,也是實數(shù)理論的進一步發(fā)展.在本節(jié)課的學習過程中,將讓學生回憶實數(shù)的基本理論,并能用實數(shù)的基本理論來比較兩個代數(shù)式的大小.
通過本節(jié)課的學習,讓學生從一系列的具體問題情境中,感受到在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系,并充分認識不等關(guān)系的存在與應(yīng)用.對不等關(guān)系的相關(guān)素材,用數(shù)學觀點進行觀察、歸納、抽象,完成量與量的比較過程.即能用不等式或不等式組把這些不等關(guān)系表示出來.
在本節(jié)課的學習過程中還安排了一些簡單的、學生易于處理的問題,其用意在于讓學生注意對數(shù)學知識和方法的應(yīng)用,同時也能激發(fā)學生的學習興趣,并由衷地產(chǎn)生用數(shù)學工具研究不等關(guān)系的愿望.根據(jù)本節(jié)課的教學內(nèi)容,應(yīng)用再現(xiàn)、回憶得出實數(shù)的基本理論,并能用實數(shù)的基本理論來比較兩個代數(shù)式的大小.
在本節(jié)教學中,教師可讓學生閱讀書中實例,充分利用數(shù)軸這一簡單的數(shù)形結(jié)合工具,直接用實數(shù)與數(shù)軸上點的一一對應(yīng)關(guān)系,從數(shù)與形兩方面建立實數(shù)的順序關(guān)系.要在溫故知新的基礎(chǔ)上提高學生對不等式的認識.
1.在學生了解不等式產(chǎn)生的實際背景下,利用數(shù)軸回憶實數(shù)的基本理論,理解實數(shù)的大小關(guān)系,理解實數(shù)大小與數(shù)軸上對應(yīng)點位置間的關(guān)系.
2.會用作差法判斷實數(shù)與代數(shù)式的大小,會用配方法判斷二次式的大小和范圍.
3.通過溫故知新,提高學生對不等式的認識,激發(fā)學生的學習興趣,體會數(shù)學的奧秘與數(shù)學的結(jié)構(gòu)美.
教學重點:比較實數(shù)與代數(shù)式的大小關(guān)系,判斷二次式的大小和范圍.
思路1.(章頭圖導入)通過多媒體展示衛(wèi)星、飛船和一幅山巒重疊起伏的壯觀畫面,它將學生帶入“橫看成嶺側(cè)成峰,遠近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中,使學生在具體情境中感受到不等關(guān)系在現(xiàn)實世界和日常生活中是大量存在的,由此產(chǎn)生用數(shù)學研究不等關(guān)系的強烈愿望,自然地引入新課.
思路2.(情境導入)列舉出學生身體的高矮、身體的輕重、距離學校路程的遠近、百米賽跑的時間、數(shù)學成績的多少等現(xiàn)實生活中學生身邊熟悉的事例,描述出某種客觀事物在數(shù)量上存在的不等關(guān)系.這些不等關(guān)系怎樣在數(shù)學上表示出來呢?讓學生自由地展開聯(lián)想,教師組織不等關(guān)系的相關(guān)素材,讓學生用數(shù)學的觀點進行觀察、歸納,使學生在具體情境中感受到不等關(guān)系與相等關(guān)系一樣,在現(xiàn)實世界和日常生活中大量存在著.這樣學生會由衷地產(chǎn)生用數(shù)學工具研究不等關(guān)系的愿望,從而進入進一步的探究學習,由此引入新課.
1回憶初中學過的不等式,讓學生說出“不等關(guān)系”與“不等式”的異同.怎樣利用不等式研究及表示不等關(guān)系?
2在現(xiàn)實世界和日常生活中,既有相等關(guān)系,又存在著大量的不等關(guān)系.你能舉出一些實際例子嗎?
3數(shù)軸上的任意兩點與對應(yīng)的兩實數(shù)具有怎樣的關(guān)系?
4任意兩個實數(shù)具有怎樣的關(guān)系?用邏輯用語怎樣表達這個關(guān)系?
活動:教師引導學生回憶初中學過的不等式概念,使學生明確“不等關(guān)系”與“不等式”的異同.不等關(guān)系強調(diào)的是關(guān)系,可用符號“>”“b”“a
教師與學生一起舉出我們?nèi)粘I钪胁坏汝P(guān)系的例子,可讓學生充分合作討論,使學生感受到現(xiàn)實世界中存在著大量的不等關(guān)系.在學生了解了一些不等式產(chǎn)生的實際背景的前提下,進一步學習不等式的有關(guān)內(nèi)容.
實例1:某天的天氣預(yù)報報道,最高氣溫32 ℃,最低氣溫26 ℃.
實例2:對于數(shù)軸上任意不同的兩點A、B,若點A在點B的左邊,則xA
實例5:三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊.
實例6:限速40 km/h的路標指示司機在前方路段行駛時,應(yīng)使汽車的速度v不超過40 km/h.
實例7:某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定,酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不少于2.5%,蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于2.3%.
教師進一步點撥:能夠發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學當然很好,這說明同學們已經(jīng)走進了數(shù)學這門學科,但作為我們研究數(shù)學的人來說,能用數(shù)學的眼光、數(shù)學的觀點進行觀察、歸納、抽象,完成這些量與量的比較過程,這是我們每個研究數(shù)學的人必須要做的,那么,我們可以用我們所研究過的什么知識來表示這些不等關(guān)系呢?學生很容易想到,用不等式或不等式組來表示這些不等關(guān)系.那么不等式就是用不等號將兩個代數(shù)式連結(jié)起來所成的式子.如-71+4,2x≤6,a+2≥0,3≠4,0≤5等.
教師引導學生將上述的7個實例用不等式表示出來.實例1,若用t表示某天的氣溫,則26 ℃≤t≤32 ℃.實例3,若用x表示一個非負數(shù),則x≥0.實例5,|AC|+|BC|>|AB|,如下圖.
|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.
|AB|-|BC|
實例6,若用v表示速度,則v≤40 km/h.實例7,f≥2.5%,p≥2.3%.對于實例7,教師應(yīng)點撥學生注意酸奶中的脂肪含量與蛋白質(zhì)含量需同時滿足,避免寫成f≥2.5%或p≥2.3%,這是不對的.但可表示為f≥2.5%且p≥2.3%.
對以上問題,教師讓學生輪流回答,再用投影儀給出課本上的兩個結(jié)論.
討論結(jié)果:
(1)(2)略;(3)數(shù)軸上任意兩點中,右邊點對應(yīng)的實數(shù)比左邊點對應(yīng)的實數(shù)大.
(4)對于任意兩個實數(shù)a和b,在a=b,a>b,a0a>b;a-b=0a=b;a-b
活動:通過兩例讓學生熟悉兩個代數(shù)式的大小比較的基本方法:作差,配方法.
點評:本節(jié)兩例的求解,是借助因式分解和應(yīng)用配方法完成的,這兩種方法是代數(shù)式變形時經(jīng)常使用的方法,應(yīng)讓學生熟練掌握.
1.若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,則f(x)與g(x)的大小關(guān)系是( )
解析:f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0,∴f(x)>g(x).
2.已知x≠0,比較(x2+1)2與x4+x2+1的大小.
解:由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.
∵x≠0,得x2>0.從而(x2+1)2>x4+x2+1.
例2比較下列各組數(shù)的大小(a≠b).
(1)a+b2與21a+1b(a>0,b>0);
(2)a4-b4與4a3(a-b).
活動:比較兩個實數(shù)的大小,常根據(jù)實數(shù)的運算性質(zhì)與大小順序的關(guān)系,歸結(jié)為判斷它們的差的符號來確定.本例可由學生獨立完成,但要點撥學生在最后的符號判斷說理中,要理由充分,不可忽略這點.
解:(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=a+b2-4ab2a+b=a-b22a+b.
∵a>0,b>0且a≠b,∴a+b>0,(a-b)2>0.∴a-b22a+b>0,即a+b2>21a+1b.
(2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)
=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]
=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2].
∵2a2+(a+b)2≥0(當且僅當a=b=0時取等號),
又a≠b,∴(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0.∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2]
∴a4-b4
點評:比較大小常用作差法,一般步驟是作差——變形——判斷符號.變形常用的手段是分解因式和配方,前者將“差”變?yōu)椤胺e”,后者將“差”化為一個或幾個完全平方式的“和”,也可兩者并用.
已知x>y,且y≠0,比較xy與1的大小.
活動:要比較任意兩個數(shù)或式的大小關(guān)系,只需確定它們的差與0的大小關(guān)系.
∵x>y,∴x-y>0.
當y
當y>0時,x-yy>0,即xy-1>0.∴xy>1.
點評:當字母y取不同范圍的值時,差xy-1的正負情況不同,所以需對y分類討論.
例3建筑設(shè)計規(guī)定,民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積.但按采光標準,窗戶面積與地板面積的比值應(yīng)不小于10%,且這個比值越大,住宅的采光條件越好.試問:同時增加相等的窗戶面積和地板面積,住宅的采光條件是變好了,還是變壞了?請說明理由.
活動:解題關(guān)鍵首先是把文字語言轉(zhuǎn)換成數(shù)學語言,然后比較前后比值的大小,采用作差法.
解:設(shè)住宅窗戶面積和地板面積分別為a、b,同時增加的面積為m,根據(jù)問題的要求a
由于a+mb+m-ab=mb-abb+m>0,于是a+mb+m>ab.又ab≥10%,
因此a+mb+m>ab≥10%.
所以同時增加相等的窗戶面積和地板面積后,住宅的采光條件變好了.
點評:一般地,設(shè)a、b為正實數(shù),且a0,則a+mb+m>ab.
已知a1,a2,…為各項都大于零的等比數(shù)列,公比q≠1,則( )
C.a1+a8=a4+a5 D.a1+a8與a4+a5大小不確定
解析:(a1+a8)-(a4+a5)=a1+a1q7-a1q3-a1q4
=a1[(1-q3)-q4(1-q3)]=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q)(1+q2).
∵{an}各項都大于零,∴q>0,即1+q>0.
又∵q≠1,∴(a1+a8)-(a4+a5)>0,即a1+a8>a4+a5.
1.下列不等式:①a2+3>2a;②a2+b2>2(a-b-1);③x2+y2>2xy.其中恒成立的不等式的個數(shù)為( )
2.比較2x2+5x+9與x2+5x+6的大小.
答案:
1.C解析:∵②a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,
③x2+y2-2xy=(x-y)2≥0.
∴只有①恒成立.
2.解:因為2x2+5x+9-(x2+5x+6)=x2+3>0,
所以2x2+5x+9>x2+5x+6.
1.教師與學生共同完成本節(jié)課的小結(jié),從實數(shù)的基本性質(zhì)的回顧,到兩個實數(shù)大小的比較方法;從例題的活動探究點評,到緊跟著的變式訓練,讓學生去繁就簡,聯(lián)系舊知,將本節(jié)課所學納入已有的知識體系中.
2.教師畫龍點睛,點撥利用實數(shù)的基本性質(zhì)對兩個實數(shù)大小比較時易錯的地方.鼓勵學有余力的學生對節(jié)末的思考與討論在課后作進一步的探究.
1.本節(jié)設(shè)計關(guān)注了教學方法的優(yōu)化.經(jīng)驗告訴我們:課堂上應(yīng)根據(jù)具體情況,選擇、設(shè)計最能體現(xiàn)教學規(guī)律的教學過程,不宜長期使用一種固定的教學方法,或原封不動地照搬一種實驗?zāi)J?各種教學方法中,沒有一種能很好地適應(yīng)一切教學活動.也就是說,世上沒有萬能的教學方法.針對個性,靈活變化,因材施教才是成功的施教靈藥.
2.本節(jié)設(shè)計注重了難度控制.不等式內(nèi)容應(yīng)用面廣,可以說與其他所有內(nèi)容都有交匯,歷來是高考的重點與熱點.作為本章開始,可以適當開闊一些,算作拋磚引玉,讓學生有個自由探究聯(lián)想的平臺,但不宜過多向外拓展,以免對學生產(chǎn)生負面影響.
3.本節(jié)設(shè)計關(guān)注了學生思維能力的訓練.訓練學生的思維能力,提升思維的品質(zhì),是數(shù)學教師直面的重要課題,也是中學數(shù)學教育的主線.采用一題多解有助于思維的發(fā)散性及靈活性,克服思維的僵化.變式訓練教學又可以拓展學生思維視野的廣度,解題后的點撥反思有助于學生思維批判性品質(zhì)的提升.
1.比較(x-3)2與(x-2)(x-4)的大小.
2.試判斷下列各對整式的大?。?1)m2-2m+5和-2m+5;(2)a2-4a+3和-4a+1.
5.設(shè)a>0,b>0,且a≠b,試比較aabb與abba的大小.
∴(x-3)2>(x-2)(x-4).
=m2.
∵m2≥0,∴(m2-2m+5)-(-2m+5)≥0.
∴m2-2m+5≥-2m+5.
=a2+2.
∵a2≥0,∴a2+2≥2>0.
∴a2-4a+3>-4a+1.
=x24,
又∵x>0,∴x24>0.
∴(1+x2)2>(1+x)2.
由x>0,得1+x2>1+x.
=(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]
=-2xy(x-y).
∵x0,x-y
∴-2xy(x-y)>0.
∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).
5.解:∵aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b,且a≠b,
當a>b>0時,ab>1,a-b>0,
則(ab)a-b>1,于是aabb>abba.
則(ab)a-b>1.
于是aabb>abb a.
綜上所述,對于不相等的正數(shù)a、b,都有aabb>abba.
不等式課件 篇7
《課題:實際問題與一元一次不等式》教學設(shè)計
【教學目標】:
1.通過列一元一次不等式解決具有不等關(guān)系的實際問題,進一步熟練掌握一元一次不等式的解法,體會不等式是解決實際問題的有效的數(shù)學模型。
2.通過應(yīng)用一元一次不等式解決實際問題,進一步強化應(yīng)用數(shù)學的意識,從而使學生樂于接觸社會環(huán)境中的數(shù)學信息,談?wù)摂?shù)學話題,能夠在數(shù)學活動中發(fā)揮積極作用。
3.通過探究,增進學生之間的配合,培養(yǎng)學生敢于面對困難和克服困難的勇氣,樹立學好數(shù)學的自信心。
【重點難點】:
重點:由實際問題中的不等關(guān)系列出不等式。
難點:列一元一次不等式描述實際問題中的不等關(guān)系
【教學過程】:
回顧舊知、引入新課
師:之前我們學習過利用一元一次方程解決生活中的銷售問題,現(xiàn)在李老師就來考考大家,請看第一題:
出示幻燈片1
1.一種商品標價100元,按標價的8折出售,若想單件商品獲利10元,設(shè)進價為x元,則可列等式。
(學生解決并給出合理解釋)
師:那我們一起來回顧一下利用一元一次方程解決實際問題的基本步驟是什么?
學生回答后,教師總結(jié):
利用一元一次方程解決實際問題的一般步驟:
審、設(shè)、列、解、答
師:好!請看第二題:
2.一種商品標價100元,按標價的8折出售,若想單件商品獲利不低于10元,設(shè)進價為x元,則。
師:相較于第一題,題目發(fā)生了什么變化?
學生抓住關(guān)鍵詞“不低于”,列出不等式。
師:找到不等關(guān)系,列一元一次不等式也是解決實際問題的常用方法。今天,我們就來學習實際問題與一元一次不等式。
出示幻燈片
2小組討論、探究新知
師:馬上就要過春節(jié)了,想要給自己準備什么禮物?
師:老師也想給可愛的兒子買禮物,通過考察,已經(jīng)知道有兩家超市正在舉行優(yōu)惠活動,咱們一起去逛一逛,好不好?
出示幻燈片3
甲超市說:凡在本超市累計購買100元商品后,再購買的商品按原價的90%收費。
乙超市:凡在本超市累計購買50元商品后,再購買的商品按原價的95%收費
師:李老師覺得甲超市優(yōu)惠,因為打9折?你的意見呢?
(學生發(fā)表自己的意見)
師:剛才幾位同學表達了自己的觀點,可是這僅僅是我們的猜想,解決問題不能只靠猜想,運用數(shù)學知識該如何解決這個問題呢?
出示幻燈片
4下面老師就把時間交給大家,4人一小組展開討論,到底該選擇哪家超市購買才能獲得更大優(yōu)惠?
(學生討論的過程中,教師主要巡視并和學生共同探究。)
經(jīng)過探討,小組形成初步想法,小組派代表分享討論結(jié)果,逐一解決列表達式、分類、建模列不等式、解不等式等題目中難點,教師以板書形式將結(jié)果呈現(xiàn)在黑板上,并引導學生補充,完善解題過程,并利用多媒體進行展示。
學以致用 挑戰(zhàn)自我?guī)煟和瑢W們理解得非常到位!那么再碰到類似的問題你能解決了嗎?
出示幻燈片
5我校計劃在暑假期間組織學生到某地旅游,參加旅游的人數(shù)估計為10~25人,甲、乙兩家旅行社的服務(wù)質(zhì)量相同,且報價都是每人200元.經(jīng)過協(xié)商:甲旅行社表示可給予每位學生七五折優(yōu)惠;乙旅行社表示可先免去一位學生的旅游費用,其余學生八折優(yōu)惠.我校選擇哪一家旅行社支付的旅游費用較少?
學生獨立思考后進行小組討論,選代表上黑板展示。
梳理過程 總結(jié)提高
教師引導學生回顧兩道題的解題過程,談?wù)劔@得的感悟,學生獨立思考片刻后進行小組交流討論。
出示幻燈片6
回顧這個問題的解題過程,你有哪些感悟呢?
例如:我感受最深的是??
我感到最困難的是??
我發(fā)現(xiàn)生活中??
我學會了??
布置作業(yè) 測評反饋
出示幻燈片7
作業(yè):
一、在市場上收集兩種手機收費方式,幫爸爸(媽媽)選擇一種合適的消費方式.二、習題(134頁)1.(1)(2)5.
不等式課件 篇8
1.使學生感受到生活中存在著大量的不等關(guān)系,了解不等式和一元一次不等式的意義;
2.讓學生自發(fā)地尋找不等式的解,會在數(shù)軸上正確地表示出不等式的解集;
3.能夠根據(jù)題意準確迅速地列出相應(yīng)的不等式。
1.通過汽車行駛過a地這一實例的研究,使學生體會到數(shù)學來源于生活,又服務(wù)于生活,培養(yǎng)學生“學數(shù)學、用數(shù)學”的意識;
2.經(jīng)歷由具體實例建立不等模型的過程,探究不等式的解與解集的不同意義的過程,滲透數(shù)形結(jié)合的思想。
㈢情感、態(tài)度、價值觀:
1.通過對不等式、不等式的解與解集的探究,引導學生在獨立思考的基礎(chǔ)上積極參與對數(shù)學問題的討論,培養(yǎng)他們的合作交流意識;
2.讓學生充分體會到生活中處處有數(shù)學,并能將它們應(yīng)用到生活的各個領(lǐng)域中去。
3.培養(yǎng)學生類比的思想方法、數(shù)形結(jié)合的思想。
1.教學重點:不等式、一元一次不等式、不等式解與解集的意義;在數(shù)軸上正確地表示出不等式的解集;
2.教學難點:不等式解集的意義,根據(jù)題意列出相應(yīng)的不等式。
計算機、自制cai課件、實物投影儀、三角板等。
教師創(chuàng)設(shè)情境引入,學生交流探討;師生共同歸納;教師示范畫圖,課件交互式練習。
〖創(chuàng)設(shè)情境——從生活走向數(shù)學〗
[多媒體展示]“五·一黃金周”快要到了,蕪湖市某兩個商場為了促銷商品,推行以下促銷方案:①甲商場:購物不超過50元者,不優(yōu)惠;超過50元的,超過部分折優(yōu)惠。②乙商場:購物不超過100元者,不優(yōu)惠;超過100元的,超過部分九折優(yōu)惠。親愛的同學,如果五·一期間,你去購物,選擇到哪個商場,才比較合算呢?
(以上教學內(nèi)容是向?qū)W生設(shè)疑,激發(fā)學生探索問題、研究問題的積極性,可以讓學生討論一會兒)
教師:要想正確地解決這個問題,我們大家就要學習第九章《不等式和不等式組》,學完本章的內(nèi)容后,我相信,聰明的你們一定都會作出正確的選擇,真正地做到既經(jīng)濟又實惠。
首先,我們來共同學習本章的第一節(jié)課——9.1.1節(jié)《不等式及其解集》
〖新課學習〗
學習目標:
1.能感受到生活中存在著大量的不等關(guān)系,了解不等式和一元一次不等式和意義;
2.會尋找不等式的解,會在數(shù)軸上正確地表示出不等式的解集;
3.能夠根據(jù)題意準確迅速地列出相應(yīng)的不等式。
[多媒體展示一段動畫]:引例:一輛勻速行駛的汽車在11:20距離a地50千米,要在12:00之前駛過a地,車速應(yīng)滿足什么條件?
設(shè)車速是x千米/小時,
(1)從時間上看,汽車要在12:00之前駛過a地,則以這個速度行駛50千米所用的時間不到 小時,即
(2)從路程上看,汽車要在12:00之前駛過a地,則以這個速度行駛 小時的路程要超過50千米,即
請同學們觀察上面的兩個式子,式子左右兩邊的大小關(guān)系是怎樣的? 左右兩邊相等嗎?
在學生充分發(fā)表自己意見的基礎(chǔ)上,師生共同歸納得出:
用“>”或“<”號表示大小關(guān)系的式子叫做不等式;
用“≠”表示不等關(guān)系的式子也是不等式。
判斷下列式子中哪些是不等式,是不等式的請在題后的括號內(nèi)劃“√”,不是的請劃“×”
(1)3> 2????? (???? ) (2)2a+1> 0?? (???? )?? (3)a+b=b+a? (???? )
(4)x< 2x+1?? (???? )???? (5)x=2x-5??? (???? ) (6)2x+4x< 3x+1 (???? )????????? (7)15≠7+9? (???? )
上面的不等式中,有些不含未知數(shù),有些含有未知數(shù),大家把(2)、(4)、(6)式與(5)式類比,(5)式是一個一元一次方程,能不能給(2)、(4)、(6)式也起個名字呢?
含有一個未知數(shù), 未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式,叫做一元一次不等式.
問題2:車速可以是78千米/小時嗎?75千米/小時呢? 72千米/小時呢?
問題3:我們曾經(jīng)學過“使方程兩邊相等的未知數(shù)的值就是方程的解”,那么我們可以把使不等式成立的未知數(shù)的值叫做什么呢?
(師生共同歸納)使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解。
2.課堂練習二——動一動腦,動一動手,你一定能算得對。
76, 73, 79, 80, 74.9, 75.1, 90, 60
(學生做完后,師問):你還能找出這個不等式的其他的解嗎?這個不等式有多少個解?你從中發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?
(學生討論后,師生共同總結(jié)):當x>75時,不等式 x>50總成立;而當x<75或x=75時,不等式 x>50不成立,這就是說,任何一個大于75的數(shù)都是不等式 x>50的解,這樣的解有無數(shù)個。因此,x>75表示了能使不等式 x>50成立的x的取值范圍,叫做不等式 x>50的解的集合,簡稱解集。
我們再回到前面的問題,經(jīng)過剛才的分析,可以知道,要使汽車在12:00之前駛過a地,車速必須大于75千米/小時。
一個含有未知數(shù)的不等式的所有的解,組成了這個不等式的解集。
4.在數(shù)軸上表示不等式的解集;
注意:在表示75的點上畫空心圓圈,表示不包括這一點.
5.課堂練習三——動一動腦,動一動手,你一定能算得對。
判斷下列數(shù)中哪些是不等式x+3>6的解? 哪些不是?
-4, -2.5,? 0,? 1,? 2.5,? 3,? 3.2,? 4.8,? 8,? 12
求不等式的解集的過程叫做解不等式。
7.課堂練習四——看誰算得最快最準。
直接想出不等式的解集,并在數(shù)軸上表示出不等式的解集:
(1) x+3>6;??????? (2)2x<8;?? ?(3)x-2>0
解:(1)x>3;???????? (2)x<4;??? (3)x>2。
1.例用不等式表示:
(1)x與1的和是正數(shù);??????(2)的與的的差是負數(shù);
(3)的2倍與1的和大于3;(4)的一半與4的差小于的3倍.
解:(1)x+1>0;???????? (2)+b<0;
(3)2+1>3;????? (4)-4<3;
2.課堂練習五——看誰最列得又快又準。
用不等式表示:
(1)是正數(shù);??????????(2)是負數(shù);
(3)與5的和小于7;??(4)與2的差大于-1;
(5)的4倍大于8;??????(6)的一半小于3.
答案;(1)>0;??????? (2)<0;?? (3)+5>0;
學生小結(jié),師生共同完善:
2.會尋找不等式的解,會在數(shù)軸上正確地表示出不等式的解集;
3.能夠根據(jù)題意準確迅速地列出相應(yīng)的不等式。
不等式課件 篇9
不等式的性質(zhì)(2)教學目標
1.知識與技能:理解不等式的性質(zhì),會解簡單的一元一次不等式,并能在數(shù)軸上表示出解集。
2.過程與方法:通過經(jīng)歷不等式性質(zhì)的簡單應(yīng)用,積累數(shù)學活動。通過獨立解題,進一步理解不等式的性質(zhì),體會不等式性質(zhì)的價值。
3.情感態(tài)度和價值觀:認識到通過觀察、實驗、類比可以獲得數(shù)學結(jié)論,體驗數(shù)學活動充滿著探索性和創(chuàng)造性。在獨立思考的基礎(chǔ)上,積極參與對數(shù)學問題的討論,敢于發(fā)表自己的觀點,學會分享別人的想法和結(jié)果,并重新審視自己的想法,能從交流中獲益。重點難點
1.重點:不等式的性質(zhì)及其解法. 2.難點:不等式性質(zhì)的探索及運用.方法策略
啟發(fā)式教學法——以設(shè)問和疑問層層引導,激發(fā)學生,啟發(fā)學生積極思考,培養(yǎng)和發(fā)展學生的抽象思維能力。
探究教學法——引導學生去疑;鼓勵學生去探; 激勵學生去思,培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維和批判精神。教學過程:
一、梳理舊知,引出新課
問題1: 在前面的學習中,你學到了不等式的哪些性質(zhì)?(用文字語言敘述)(鼓勵學生回答問題,用電子白版顯示三條性質(zhì)的符號語言)問題2: 解一元一次方程最終的目的是把方程轉(zhuǎn)化成哪種形式?其主要的理論依據(jù)是什么?
(為問題3做鋪墊)
二、合作交流,探究新知
問題3: 利用不等式的性質(zhì)解下列不等式:
(1)x?7?26(2)3x?2x?1 2(3)x?50(4)?4x?3 3(類比著解一元一次方程的方法教師先解(1),并用數(shù)軸表示其解集,然后讓學生試解(2)(3)(4)并和同學交流,最后教師點評。)
思考1:(3)(4)的求解過程,類似于解方程的哪一步變形? 思考2:依據(jù)不等式性質(zhì)3解不等式時應(yīng)注意什么? 隨堂練習:1.完成課本P119練習1 問題4: 2011年北京的最低氣溫是19℃,最高氣溫是28℃,你能把北京的氣溫用不等式表示出來嗎?
(符號“≥”讀作“大于或等于”,也可以說是“不小于”;符號“≤”讀作“小于或等于”,也可以說是“不大于”.形如a≥b或a≤b的式子也是不等式,它們具有類似前面所說的不等式的性質(zhì)).隨堂練習:完成課本119頁練習2.問題5: 某長方體形狀的容器長5 cm,寬3 cm,高10 cm.容器內(nèi)原有水的高度為3cm,現(xiàn)準備向它繼續(xù)注水.用V(單位:cm3)表示新注入水的體積,寫出V的取值范圍.(學生先合作探究,然后讓學生交流探究結(jié)果,最后老師講評并強調(diào)在解決實際問題的時候,要考慮取值的現(xiàn)實意義。)
三、歸納完善,豐富新知
1:如何利用不等式的性質(zhì)解簡單不等式? 2:依據(jù)不等式性質(zhì)3解不等式時應(yīng)注意什么? 3:請說明符號“≥”和“≤”的含義?
四、布置作業(yè)
必做題:P120第5,7,8題.選做題:P120第9題
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不等式的課件
老師在開學前需要把教案課件準備好,每個人都要計劃自己的教案課件了。教案是實現(xiàn)高效教學的不可或缺要素之一。如果您想深入理解這一話題不妨看看“不等式的課件”,本文的內(nèi)容必將給您帶來很多有用的收獲!
不等式的課件 篇1
【教學目標】
1、知識與技能目標
(1)掌握基本不等式 ,認識其運算結(jié)構(gòu);
(2)了解基本不等式的幾何意義及代數(shù)意義;
(3)能夠利用基本不等式求簡單的最值。
2、過程與方法目標
(1)經(jīng)歷由幾何圖形抽象出基本不等式的過程;
(2)體驗數(shù)形結(jié)合思想。
3、情感、態(tài)度和價值觀目標
(1)感悟數(shù)學的發(fā)展過程,學會用數(shù)學的眼光觀察、分析事物;
(2)體會多角度探索、解決問題。
【能力培養(yǎng)】
培養(yǎng)學生嚴謹、規(guī)范的學習能力,辯證地分析問題的能力,學以致用的能力,分析問題、解決問題的能力。
【教學重點】
應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解不等式,并從不同角度探索不等式 的證明過程。
【教學難點】
基本不等式 等號成立條件。
【教學方法】
教師啟發(fā)引導與學生自主探索相結(jié)合
【教學工具】
課件輔助教學、實物演示實驗
【教學流程】
SHAPE MERGEFORMAT
【教學過程設(shè)計】
創(chuàng)設(shè)情景,引入新課
如圖是在北京召開的第24屆國際數(shù)學家大會的會標, 這是根據(jù)趙爽弦圖而設(shè)計的。用課前折好的趙爽弦圖示范,比較 4個直角三角形的面積和與大正方形的面積,你會得到怎樣的相 等和不等關(guān)系?
趙爽弦圖
1.探究圖形中的不等關(guān)系
將圖中的“風車”抽象成如圖,在正方形ABCD中右個全等的直角三角形。
設(shè)直角三角形的兩條直角邊長為a,b那么正方形的邊長為 。這樣,4個直角三角形的面積的和是2ab,正方形的面積為 。由于4個直角三角形的面積小于正方形的面積,我們就得到了一個不等式: 。
當直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?,即a=b時,正方形EFGH縮為一個點,這時有 。
2.得到結(jié)論:一般的,如果
3.思考證明:你能給出它的證明嗎?
證明:因為
當
所以, ,即
4.基本不等式
1)特別的,如果a>0,b>0,我們用分別代替a、b ,可得 ,通常我們把上式寫作:
2)從不等式的性質(zhì)推導基本不等式
用分析法證明:
要證 (1)
只要證 (2)
要證(2),只要證 a+b- 0 (3)
要證(3),只要證 ( - ) (4)
顯然,(4)是成立的。當且僅當a=b時,(4)中的等號成立。
3)理解基本不等式 的幾何意義
不等式的課件 篇2
基本不等式教學設(shè)計
數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學 鐘林
課題:人教A版必修5第3章4節(jié),基本不等式
【教學目標】
1.通過兩個探究實例,引導學生從幾何圖形中獲得兩個基本不等式,了解基本不等式的幾何背景,體會數(shù)形結(jié)合的思想。
2.進一步提煉、完善基本不等式,并從代數(shù)角度給出不等式的證明,組織學生分析證明方法,加深對基本不等式的認識,提高邏輯推理論證能力。 3.結(jié)合課本的探究圖形,引導學生進一步探究基本不等式的幾何解釋,強化數(shù)形結(jié)合的思想。
4.借助例1嘗試用基本不等式解決簡單的最值問題,通過例2及其變式引導學生
a?b領(lǐng)會運用基本不等式ab?的三個限制條件(一正二定三相等)在解決最
2值中的作用,提升解決問題的能力,體會方法與策略。
【重點難點】
重點:應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式,并從不同角度探索不等式a?bab?的證明過程。
2難點:在幾何背景下抽象出基本不等式,并理解基本不等式。
【教學設(shè)計】
(一)問題導入
欣賞2002年國際數(shù)學家大會會徽,會徽是根據(jù)中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設(shè)計的,顏色的明暗使它看上去象一個風車,代表中國人民熱情好客。你能發(fā)現(xiàn)它是什么圖形構(gòu)成的嗎?請根據(jù)會徽探索一些常見相等或不等關(guān)系。
探究一:在這張“弦圖”中能找出一些相等關(guān)系和不等關(guān)系嗎? 在正方形ABCD中有4個全等的直角三角形.設(shè)直角三角形兩條直角邊長為,a,b。
22a?b那么正方形的邊長為。
于是,4個直角三角形的面積之和S1?2ab。 正方形的面積S2?a2?b2。 由圖可知S2?S1,即a2?b2?2ab。
當直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切危磿r,正方形EFGH縮為一個點,這時 a2?b2?2ab
所以a2?b2?2ab。
探究二:如下圖所示的梯形中,EF是梯形ABCD的中位線,梯形ABGH相似于梯 形GHDC。
梯形ABCD的上底是a,下底是b。讓同學們自主研究GH和EF的大小關(guān)系。
a?b因為EF是中位線,所以EF?,
2由相似,可以得出GH?ab, 同樣因為相似,有
AGABa, ??GDGHb又因為a?b,所以AG?GD,即AG?AE,
a?b。 2顯然,當AB逐漸趨近CD的時候,GH也逐漸向EF靠近, 當AB=CD的時候,即ABCD是矩形的時候,GH與EF重合。
a?b即,當且僅當a?b時,ab?。
2a?b所以,ab?,當且僅當a?b時,等號成立。
2所以GH?EF,即ab?
(二)概念深入
根據(jù)上述兩個幾何背景,初步形成不等式結(jié)論:
若a,b?R?,則a2?b2?2ab。(當且僅當a=b時,等號成立)
a?b。(當且僅當a=b時,等號成立) 2請同學們運用代數(shù)法證明: 作法一(作差法): 若a,b?R?,則ab?a2?b2?2ab?(a?b)2?0a?b?2ab22
當且僅當a=b時,等號成立。且發(fā)現(xiàn)這里且a和b可以是全體實數(shù)、單項式、多項式。
作法二(分析法):
要證明a?b?ab, 2只需證明a?b?2ab, 即證a?b-2ab?0, 即為?a-b?2?0,該式顯然成立,所以,當a?b時取等號。
于是有這樣的結(jié)論:
稱ab為a,b的幾何平均數(shù);稱基本不等式ab?a?b為a,b的算術(shù)平均數(shù), 2a?b又可敘述為: 2兩個正數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的算術(shù)平均數(shù)
作法三(幾何法):
如圖,AB是圓O的直徑,點C是AB上一點,AC=a,BC=b.過點C作 垂直于AB的弦DE,連接AD,BD。 從而有CD?ab,OD?a?b。 2a?b。 2a?b當且僅當C點與圓心O點重合時,即a=b時,ab?
2故再次證明:
a?ba?0,b?0,ab?,當且僅當a=b時,等號成立。
2a?b也說明了ab?的幾何意義:半徑不小于半弦。
2由于直角三角形COD中,直角邊CD
(三)例題講解
例1.(1)用籬笆圍一個面積為100平方米的矩形菜園,問這個矩形的長、寬各為多少時,所用籬笆最短,最短的籬笆是多少?
(2)一段長為36米的籬笆圍成一個矩形菜園,問這個矩形的長、寬為多少時,菜園的面積最大,最大面積是多少?
(通過例1的講解,總結(jié)歸納利用基本不等式求最值問題的特征,實現(xiàn)積與和的轉(zhuǎn)化)
對于x,y?R?,
(1)若xy?p(定值),則當且僅當x?y時,x?y有最小值2p;
s2(2)若x?y?s(定值),則當且僅當x?y時,xy有最大值。
4(鼓勵學生自己探索推導,不但可使他們加深基本不等式的理解,還鍛煉了他們的思維,培養(yǎng)了勇于探索的精神。)
1例2.求y?x?(x?0)的值域。
x1變式1.若x?2,求x?的最小值.
x?21在運用基本不等式解題的基礎(chǔ)上,利用幾何畫板展示y?x?(x?0)的函數(shù)
x圖象,使學生再次感受數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想。
a?b并通過例2及其變式引導學生領(lǐng)會運用基本不等式ab?的三個限制
2條件(一正二定三相等)在解決最值問題中的作用,提升解決問題的能力,體會方法與策略。
(四)歸納小結(jié)&課后作業(yè) 基本不等式:
若a,b?R?,則a2?b2?2ab。(當且僅當a=b時,等號成立)
a?b。(當且僅當a=b時,等號成立) 2(1)基本不等式的幾何解釋(數(shù)形結(jié)合思想); (2)運用基本不等式解決簡單最值問題的基本方法。
作業(yè):A組第4題,B組第1題,第2題
若a,b?R?,則ab?
不等式的課件 篇3
課題:3.4.3 基本不等式 的應(yīng)用(二) 科目:數(shù)學 教學對象:高二(290)學生 課時:1課時 提供者:劉和安 單位: 姚安一中 一、教學內(nèi)容分析 本節(jié)課的研究是起到了對學生以前所學知識與方法的復習、應(yīng)用,進而構(gòu)建他們更完善的知識網(wǎng)絡(luò)。數(shù)學建模能力的培養(yǎng)與鍛煉是數(shù)學教學的一項長期而艱苦的任務(wù),這一點,在本節(jié)課是真正得到了體現(xiàn)和落實。?
根據(jù)本節(jié)課的教學內(nèi)容,應(yīng)用觀察、閱讀、歸納、邏輯分析、思考、合作交流、探究,對基本不等式展開實際應(yīng)用,進行啟發(fā)、探究式教學并使用投影儀輔助。? 二、教學目標 (一)知識目標:構(gòu)建基本不等式解決函數(shù)的值域、最值問題;
(二)能力目標:讓學生探究用基本不等式解決實際問題
(三)情感、態(tài)度和價值觀目標:
通過具體問題的解決,讓學生去感受、體驗現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等量關(guān)系并需要從理性的角度去思考,鼓勵學生用數(shù)學觀點進行類比、歸納、抽象,使學生感受數(shù) 學、走進數(shù)學、培養(yǎng)學生嚴謹?shù)臄?shù)學學習習慣和良好的思維習慣;? 三、學習者特征分析 在本節(jié)課的教學過程中,仍應(yīng)強調(diào)不等式的現(xiàn)實背景和實際應(yīng)用,真正地把不等式作為刻畫現(xiàn)實世界中不等關(guān)系的工具。通過實際問題的分析解決,讓學生去體會基本不等式所具有的廣泛的實用價值,同時,也讓學生去感受數(shù)學的應(yīng)用價值,從而激發(fā)學生去熱愛數(shù)學、研究數(shù)學。而不是覺得數(shù)學只是一門枯燥無味的推理學科。在解決實際問題的過程中,既要求學生能用數(shù)學的眼光、觀點去看待現(xiàn)實生活中的許多問題,又會涉及與函數(shù)、方程、三角等許多數(shù)學本身的知識與方法的處理 四、教學策略選擇與設(shè)計 1.采用探究法,按照觀察、閱讀、歸納、思考、交流、邏輯分析、抽象應(yīng)用的方法進行啟發(fā)式教學;?
2.教師提供問題、素材,并及時點撥,發(fā)揮老師的主導作用和學生的主體作用;?
3.設(shè)計較典型的具有挑戰(zhàn)性的問題,激發(fā)學生去積極思考,從而培養(yǎng)他們的數(shù)學學習興趣。?? 五、教學重點及難點 教學重點:1.構(gòu)建基本不等式解決函數(shù)的值域、最值問題。?
2.讓學生探究用基本不等式解決實際問題;?
教學難點:1.讓學生探究用基本不等式解決實際問題;?
2.基本不等式應(yīng)用時等號成立條件的考查;?
六、教學過程 教師活動 學生活動 設(shè)計意圖 (一)導入新課
(二)推進新課
已知 ,若ab為常數(shù)k,那么a+b的值如何變化?
若a+b為常數(shù)s,那么ab的值如何變化?
老師用投影儀給出本節(jié)課的第一組問題
(1)求函數(shù)y=2x2+ (x>0)的最小值。?
(2)求函數(shù)y=x2+ (x>0)的最小值。?
(3)求函數(shù)y=3x2-2x3(0
(4)求函數(shù)y=x(1-x2)(0
(5)設(shè)a>0,b>0,且a2+ =1,求 的最大值。?
(三)合作探究 我們來考慮運用正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)之間的關(guān)系來解答這些問題。根據(jù)函數(shù)最值的含義,我們不難發(fā)現(xiàn)若平均值不等式的某一端為常數(shù),則當?shù)忍柲軌蛉〉綍r,這個常數(shù)即為另一端的一個最值。 ?
(四)例題精析?
【例】某工廠要建造一個長方體形無蓋貯水池,其容積為4 800 m3,深為 3 m.如果池底每平方米的造價為150元,池壁每平方米的造價為120元,怎樣設(shè)計水池能使總造價最低?最低總造價是多少?
當且僅當a=b時,a+b就有最小值為2k.?
當且僅當a=b時,ab就有最大值 (或ab有 最大值 ).?
學生完成
留五分鐘的時間讓學生思考,合作交流
(根據(jù)學生完成的典型情況,找五位學生到黑板板演,然后老師根據(jù)學生到黑板板演的完成情況再一次作點評)?
學生思考、回答,
不等式的課件 篇4
不等式
教材分析:本課由實際問題中的不等關(guān)系引出不等式的概念;類比方程的解,明確不等式解和解集的概念,以及不等式解集的兩種表示方法。
教學目標:了解不等式概念,理解不等式的解和解集。 教學重難點:不等式及解集概念的理解。 教學過程: 一:引出新知。
現(xiàn)實世界中存在大量的數(shù)量關(guān)系,包括相等關(guān)系和不等關(guān)系。用等式(包括方程),我們可以研究相等關(guān)系,而研究不等關(guān)系需要用本章的不等式,如引言中選擇購物商場問題.二:探索新知。
問題1 一輛勻速行駛的汽車在11:20距離A地50 km,要在12:00之前駛過A地.你能用式子表示出車速應(yīng)滿足的條件嗎?
1、汽車在12:00之前駛過A地的意思是什么? 從時間上看,汽車要在12:00之前駛過A地,則 以這個速度行駛50 km所用的時間不到。
從路程上看,汽車要在12:00之前駛過A地,則以這個速度行駛的路程要超過50 km。
2、如何用式子表示以上不等關(guān)系? 設(shè):車速為x km/h. 從時間上看: 從路程上看:
(1)對于不等式 而言,車速可以是80 km/h嗎?78 km/h呢?75 km/h呢?72 km/h呢?
(2)類比方程的解,什么叫不等式的解?
使不等式成立的未知數(shù)的值.(3)不等式還有其他解嗎?如果有,這些解應(yīng)滿足什么條件?
一般地,一個含有未知數(shù)的不等式的所有的解,組成這個不等式的解集.求不等式的解集的過程叫做解不等式. (4)除了用不等式表示取值范圍,還有其他表示方法嗎? 數(shù)軸
三、運用新知。 例1 請用不等式表示:
(1) 是負數(shù);
(2) 與5的和小于-7;
(3) 的一半大于3.例2 直接說出不等式的解集,并在數(shù)軸上表
示出來.
四、歸納總結(jié) (1)什么叫不等式?
(2)什么叫不等式的解?不等式的解和方程的解的區(qū)別? (3)什么叫不等式的解集?不等式的解和不等式的解集的區(qū)別?
五、布置作業(yè)
教科書 習題 第
1、
2、3題。
不等式的課件 篇5
[教學目標]
依據(jù)《新標準》對《不等式》學段的目標要求和本班學生實際情況,特確定如下目標:
1、知識與能力目標:理解掌握基本不等式,并能運用基本不等式解決一些簡單問題(求最值、證明不等式);培養(yǎng)學生探究能力以及分析問題解決問題的能力。
2、過程與方法目標:按照創(chuàng)設(shè)情景,提出問題→ 剖析歸納證明→ 幾何解釋→ 應(yīng)用(最值的求法、不等式的證明)的過程呈現(xiàn)。啟動觀察、分析、歸納、總結(jié)、抽象概括等思維活動,培養(yǎng)學生的思維能力,體會數(shù)學概念的學習方法,通過運用多媒體的教學手段,引領(lǐng)學生主動探索基本不等式性質(zhì),體會學習數(shù)學規(guī)律的方法,體驗成功的樂趣。
3、情感與態(tài)度目標:通過問題情境的設(shè)置,使學生認識到數(shù)學是從實際中來,培養(yǎng)學生用數(shù)學的眼光看世界,通過數(shù)學思維認知世界,從而培養(yǎng)學生善于思考、勤于動手的良好品質(zhì)。
二、 [教學重點]
基本不等式 的證明過程及應(yīng)用。
三、 [教學難點]
1、基本不等式成立時的三個限制條件(簡稱一正、二定、三相等)的正確理解;
2、靈活利用基本不等式求解實際問題中的最大值和最小值。
四、 [教學方法]
本節(jié)課采啟發(fā)誘導、講練結(jié)合的教學方法,結(jié)合現(xiàn)代信息技術(shù)多媒體課件、幾何畫板作為教學輔助手段,加深學生對基本不等式的理解。
[教學用具]
多媒體、幾何畫板
六、 [教學過程]
教學過程設(shè)計以問題為中心,以探究解決問題的方法為主線展開。這種安排強調(diào)過程,符合學生的認知規(guī)律,使數(shù)學教學過程成為學生對知識的再創(chuàng)造、再發(fā)現(xiàn)的過程,從而培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識。
具體過程安排如下:
(一)、創(chuàng)設(shè)情景,提出問題;
上圖是在北京召開的第24屆國際數(shù)學家大會的會標,會標是根據(jù)中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設(shè)計的,顏色的明暗使它看上去像一個風車,代表中國人民熱情好客。
[問]你能在這個圖中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎?
利用圖中相關(guān)面積間存在的數(shù)量關(guān)系,抽象出不等式 。在此基礎(chǔ)上,引導學生認識基本不等式。
同時,(幾何畫板輔助教學)通過幾何畫板演示,
讓學生更直觀的抽象、歸納出結(jié)論:
(二)、抽象歸納:
一般地,對于任意實數(shù) ,有 ,當且僅當 時,等號成立。
[問] 你能給出它的證明嗎?
學生在黑板上板書。
特別地,當 時,在不等式 中,以 、 分別代替 ,得到什么?
答案: 。
【歸納總結(jié)】
如果 都是正數(shù),那么 ,當且僅當 時,等號成立。
我們稱此不等式為基本不等式。 其中 稱為 的算術(shù)平均數(shù), 稱為 的幾何平均數(shù)。
(三)、理解升華:
1、文字語言敘述:
兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。
2、符號語言敘述:
若 ,則有 ,當且僅當 時, 。
[問] 怎樣理解“當且僅當”?
3、探究基本不等式證明方法:
[問] 如何證明基本不等式?
方法一:作差比較或由 展開證明。
方法二:分析法。
分析法,實際上是尋找結(jié)論的充分條件,執(zhí)果索因的一種思維方法。
4、探究基本不等式的幾何意義:
讀書破萬卷下筆如有神,以上就是一米范文范文為大家?guī)淼?篇《2023高中數(shù)學基本不等式教學教案》,希望對您有一些參考價值。
不等式的課件 篇6
不等式和不等式組復習課教學設(shè)計
一、設(shè)計思想:
“不等式”是初中數(shù)學核心內(nèi)容之一。就不等式的解法來說,它是一種重要的數(shù)學技能;而就不等式的廣泛作用來說,不管是與實際相關(guān)的問題,還是純粹的數(shù)學問題,不管是代數(shù)方面的問題,還是幾何圖形方面的問題,乃至更為一般化的問題,只要是求未知數(shù)的值或范圍的問題,經(jīng)常要借助于不等式,可見學好不等式具有非常重要的意義。
這節(jié)課是中考前的專題復習課,知識點不多。由于學生已經(jīng)學過本章內(nèi)容,因此在本節(jié)復習中主要以提問的形式進行知識要點的復習,以學生自主探索和合作探究的學習方法學習本節(jié)內(nèi)容。教師主要在習題的設(shè)計上選好典型例題,復習的知識盡量全面。教學效果上使不同的學生有不同的收獲。
二、教學內(nèi)容分析:
1.《課程標準》對本專題教學內(nèi)容的要求:
(1)結(jié)合具體問題,了解不等式的意義,探索不等式的基本性質(zhì)。 (2)能解簡單的一元一次不等式,并能在數(shù)軸上表示出解集;會用數(shù)軸確定由兩個一元一次不等式組成的不等式組的解集。
(3)能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系,列出一元一次不等式,解決簡單的問題。 2.本節(jié)內(nèi)容在中考中的地位和作用。
本部分內(nèi)容在中考中大約6~12分,約占全卷分數(shù)的5%~8%左右。而且,近幾年考試中,經(jīng)常與方程、函數(shù)三角函數(shù)、幾何等內(nèi)容一起綜合考查,因此學好本節(jié)內(nèi)容對于解決這些綜合問題起著舉足輕重的作用。
三、教學目標:
1、知識技能:
①掌握不等式的概念和性質(zhì),能根據(jù)不等式的性質(zhì)解決有關(guān)問題;
②掌握不等式(組)的解法,會求不等式(組)的解集,特別是不等式組的整數(shù)解;
③能根據(jù)不等式組的解集確定字母系數(shù)的范圍;
④會列不等式(組)解決簡單的實際問題,特別是方案設(shè)計問題。
2、數(shù)學思考:通過列不等式或不等式組解決具有不等關(guān)系的實際問題,讓學生體會不等式是解決實際問題的有效的數(shù)學模型。
3、解決問題:通過不等式(組)描述不等關(guān)系解決實際問題,發(fā)展學生由實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的能力。
4、情感態(tài)度:①通過復習教學,繼續(xù)強化用數(shù)學的意識,從而使學生樂于接觸社會環(huán)境中的數(shù)學信息,愿意談?wù)撃承?shù)學話題,能夠在數(shù)學活動中發(fā)揮積極作用。
②.通過探索,增進學生之間的配合,使學生敢于面對數(shù)學活動中的困難,并有克服困難和運用知識解決問題的成功體驗,樹立學好數(shù)學的自信心。
教學重點:不等式(組)的解法的規(guī)范性及實際應(yīng)用
教學難點:不等式組有無解的問題中字母系數(shù)的確定和實際問題中不等式(組)的列出
教學方法:依托多媒體平臺,啟發(fā)、談?wù)摗⒒犹骄糠ǎ▽W生討論、教師點撥)、講練結(jié)合。
教學手段:計算機多媒體輔助教學。 教學時間:1課時
教學準備:1.學生準備:預(yù)習教材,了解本節(jié)的知識要點。
2.教師準備:將學生分組,選好組長;制作多媒體課件。
教學設(shè)計
一 情境設(shè)計
導入新課
出示多媒體課件
1、問題情境:問題:某化妝品店老板到廠家選購A、B兩種品牌的化妝品,若銷售1套A品牌的化妝品可獲利30元,銷售1套B品牌的化妝品可獲利20元,根據(jù)市場需求,化妝品店老板決定,購進B品牌化妝品的數(shù)量比購進A品牌化妝品數(shù)量的2倍還多4套,且B品牌化妝品最多可購進40套,這樣化妝品全部售出后,可使總的獲利不少于1200元,問有幾種進貨方案?如何進貨? 教師:同學們,如果你是這個化妝品店的老板,你怎么解決進貨方案問題? (學生思考):
教師:如何用數(shù)學符號表示標有下劃線的詞語?應(yīng)該考查我們哪部分知識? 學生:最多 —— ≤;不少于—— -≥。 教師:我們學過的哪章知識與它們聯(lián)系最密切?由此我們想到了哪部分知識? 學生:不等式和不等式組
教師:下面我們就來復習有關(guān)這方面的內(nèi)容,“專題復習
(二)方程和不等式-----------不等式和不等式”。 (板書課題)
(多媒體出示教學目標。圖略)
二、展示教學目標、教學重點和難點:(讓學生學有目的,學有依據(jù))
三、回顧知識要點:
1.知識網(wǎng)絡(luò)出示;(使學生對本節(jié)知識的復習內(nèi)容一目了然,從總體把握知識間的內(nèi)在聯(lián)系)
實際問題
3、知識要點復習不等關(guān)系不等式不等式的性質(zhì)解不等式解集一元一次不等式一元一次不等式組解法解法數(shù)軸表示解集數(shù)軸表示實際應(yīng)用解集數(shù)軸表示 2.知識要點復習:(通過提問由學生回答) ①基本概念復習
(澄清基本概念,對知識間的內(nèi)在聯(lián)系更明確。)
3、知識要點復習
一、基本概念:
1、不等式:
2、不等號:
3、不等式的解:
4、不等式的解集:
5、解不等式:
6、一元一次不等式:
7、一元一次不等式組:
8、一元一次不等式組的解集:
9、解一元一次不等式組: ②不等式性質(zhì)復習:(它是解不等式和不等式組的重要依據(jù),特別注意第3條性質(zhì),不等號方向改變問題,提醒學生,此處易錯,提起注意)
3、知識要點復習
二、不等式的性質(zhì):(1)如果a>b,那么a+c>b+c,a-c>b-c不等式的兩邊都加上(或減去)同一個數(shù)或同一個整式,不等號的方向不變。ab?(2)如果a>b,并且c>0,那么ac>bc,cc不等式兩邊都乘以(或除以)同一個正數(shù),不等號的方向不變。(3)如果a>b,并且c
3、知識要點復習三,規(guī)律與方法:1,不等式的解法:2,解不等式組的方法:3,不等式的解集在數(shù)軸上的表示:大向右,小向左,有等號是實心,無等號是空心.4,求幾個不等式的解的公共部分的方法和規(guī)律:(1)數(shù)軸法(2)口訣法同大取大同小取小一大一小中間找 ④用一元一次不等式組解決實際問題的步驟:(為解決實際問題提供依據(jù),這是本節(jié)的重點知識,學生可能會類比前邊復習的方程和方程組的知識說出。)
3、知識要點復習
5、用一元一次不等式組解決實際問題的步驟:實際問題設(shè)未知數(shù),列不等式(組)數(shù)學問題(不等式或不等式組)解不等式組實際問題的解答檢驗數(shù)學問題的解(不等式(組)的解集)
四、典型例題解析:(這一環(huán)節(jié)也是學生要達到的知識技能目標的重要一環(huán),學生解題的順利與否,是教師關(guān)注的重點。學生能夠獨立解出的,關(guān)注其過程是否規(guī)范,思路是否清晰,方法是否得當。不能解出的,先由小組合作探究,看是否能找到解題的思路,得出問題的答案;如果仍不能得出,教師加以點撥,引導,幫助學生找到解題思路,得出問題的答案。)
例1.(本題是一元一次不等式的解法的考查,是本節(jié)的基本題型,估計學生都能獨立解出,可讓中游的學生板演,這樣解題步驟展現(xiàn)在大家面前,如果規(guī)范,起個示范作用;不規(guī)范,示范改正,起警示作用。把重點放在解題步驟是否規(guī)范上。)
4、典型例題:例1.解一元一次不等式解:3 (x-1) ≤6 –2(x-2)3x –3 ≤6 –2x+43x+2x ≤6+4+35x ≤13x ≤135自然數(shù)解非負整數(shù)解正整數(shù)解最大解最大整數(shù)解 (右邊的云形圖中是在學生解完不等式后先后出示的五種特殊情況,這樣進
行變式教學,展示了一題多解的典型題目,同時又使學生鍛煉了仔細審題的能力。)
4、典型例題:例1.解一元一次不等式解一元一次方程一元一次不解:3 (x-1) = 6 –2(x-2)解:3 (x-1) ≤6 –2(x-2)3x –3 = 6 –2x+43x –3 ≤6 –2x+4等式和一元一次3x+2x =6+4+3方程有何共同點3x+2x ≤6+4+35x =13和不同點?5x ≤x =x≤55 (通過這種一元一次不等式和一元一次方程解法的類比,使學生明確知識間的內(nèi)在聯(lián)系,同時發(fā)現(xiàn)其中的異同,對兩者的區(qū)別更加清晰)
例2.(考查不等式的變形,解決問題的關(guān)鍵是正確理解不等式的概念和基本性質(zhì)。重點關(guān)注基本性質(zhì)的靈活掌握)
例3.(把平面直角坐標系的象限問題轉(zhuǎn)化成不等式組問題,既體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法,又見識了不等式組的廣泛應(yīng)用。可以幫學生回憶坐標系的有關(guān)知識。)
4、典型例題:a例2.若a1;b1a③a+b
3、在直角坐標系中,P(2x-6,x-5)在第四象限,則x的取值范圍是3
例4.(把不等式中的相等問題出示,體現(xiàn)了相等和不等可以互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想。并與數(shù)與式中的乘方問題相聯(lián)系,具有一定的綜合性。)
例5.(借助數(shù)軸確定不等式組的解集,對于解這類題非常有效,學生容易做錯,特別是是否包括界點問題,有一定難度,讓學生小組合作探究,共同尋找問題的答案。教師巡視,給有困難小組點撥,指導。)
4、典型例題:x?a?2例
4、(2009涼山)若不等式組集是-1
例題分析:問題5問題分析:本題存在兩個不等關(guān)系,一是購買B品牌化妝品不超過40套;二是兩種化妝品的獲利不少于1200元。根據(jù)這兩個不等關(guān)系,可列不等式組求解。 (學生寫出解題過程后,教師可出示規(guī)范的解題過程,體現(xiàn)數(shù)學學科的嚴謹性。)
4例題講解:、典型例題:解:設(shè)A品牌化妝品購進m套,則B品牌化妝品購進(2m+4)套。根據(jù)題意得:解得:16≤m≤18.因為m為正整數(shù),所以m=16,17,18,所以2m+4=
36、
38、40.所以有三種進貨方案:(1)A種品牌的化妝品的購進16套,B種品牌的化妝品購進36套;(1)A種品牌的化妝品的購進16套,B種品牌的化妝品購進36套;(1)A種品牌的化妝品的購進16套,B種品牌的化妝品購進36套; (通過方案設(shè)計題的解決,使學生能夠由實際問題建立數(shù)學模型,從而增強解決實際問題的能力。)
五、
歸納小結(jié)(先由學生自己歸納總結(jié)本節(jié)課的收獲,從而把課堂傳授的知識盡快化為學生的素質(zhì),以培養(yǎng)和增強學生的歸納總結(jié)能力;然后老師予以補充和歸納,為學生良好學習習慣的養(yǎng)成繼續(xù)進行指導。)
5、歸納小結(jié)你會了嗎?這節(jié)課你學到了什么?你有什么收獲?你還有什么問題?
六、達標檢測:(在這一環(huán)節(jié),我設(shè)計了幾個有梯度的題目,這樣可使不同層次的學生都能有所收獲,都能感受到成功的喜悅,使他們“在數(shù)學上都能有不同的發(fā)展”。)
6.達標檢測(1)若2x=3+k的解集是負數(shù),那么k的取值范圍是______.K
3、不等式組數(shù)解為(A的最小整)A,-1 B,0 C,2 D,3 9
6.達標檢測
4、躍壯五金商店準備從寧云機械廠購進甲、乙兩種零件進行銷售。若每個甲種零件的進價比每個乙種零件的進價少2元,且用80元購進甲種零件的數(shù)量與用100元購進乙種零件的數(shù)量相同。(1)求每個甲種零件、每個乙種零件的進價分別為多少元?(2)若該五金商店本次購進甲種零件的數(shù)量比購進乙種零件的數(shù)量的3倍還少5個,購進兩種零件的總數(shù)量不超過95個,該五金商店每個甲種零件的銷售價格為12元,每個乙種零件的銷售價格為15元,則將本次購進的甲、乙兩種零件全部售出后,可使銷售兩種零件的總利潤(利潤=售價-進價超過371元,通過計算求出躍壯五金商店本次從寧云機械廠購進甲、乙兩種零件有幾種方案?請你設(shè)計出來。 6.達標檢測選做題?若不等式組x?a?01?2x?x?2有解,則a的取?值范圍是(A)。?>-1 ≥-1 ≤1 <1
七、教學設(shè)計的理論依據(jù)
1.“理論聯(lián)系實際”的原則,聯(lián)系學生身邊的生活,引導學生學習運用理論知識分析、解決實際問題。
2.新課程標準中的“學生是學習的主人”的主體教育思想。
本節(jié)課努力構(gòu)建師生互動、生生互動的新的教學模式,創(chuàng)設(shè)情境引領(lǐng)教學,引導學生的合作學習,讓其在思考討論中自主學習,真正落實以學生為中心、以學生發(fā)展為根本,注重學生道德和能力的培養(yǎng)。
不等式的課件 篇7
《基本不等式》教學設(shè)計
基本不等式
開江中學 魏江蘭
目標分析
依據(jù)《新課程標準》對《不等式》學段的目標要求和學生的實際情況,特確定如下目標:
1、知識與能力目標:理解掌握基本不等式,并能運用基本不等式解決一些簡單的求最值問題;理解算數(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的概念,學會構(gòu)造條件使用基本不等式;培養(yǎng)學生探究能力以及分析問題解決問題的能力。
2、過程與方法目標:按照創(chuàng)設(shè)情景,提出問題→ 剖析歸納證明→ 幾何解釋→ 應(yīng)用(最值的求法、實際問題的解決)的過程呈現(xiàn)。啟動觀察、分析、歸納、總結(jié)、抽象概括等思維活動,培養(yǎng)學生的思維能力,體會數(shù)學概念的學習方法,通過運用多媒體的教學手段,引領(lǐng)學生主動探索基本不等式性質(zhì),體會學習數(shù)學規(guī)律的方法,體驗成功的樂趣。
3、情感與態(tài)度目標:通過問題情境的設(shè)置,使學生認識到數(shù)學是從實際中來,培養(yǎng)學生用數(shù)學的眼光看世界,通過數(shù)學思維認知世界,從而培養(yǎng)學生善于思考、勤于動手的良好品質(zhì)。
教學重、難點分析
重點:應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式,并從不同角度探索基本不等式ab?a?b的證明過程及應(yīng)用。 2難點:
1、基本不等式成立時的三個限制條件(簡稱一正、二定、三相等);
2、利用基本不等式求解實際問題中的最大值和最小值。
教法分析
本節(jié)課采用觀察——感知——抽象——歸納——探究;啟發(fā)誘導、講練結(jié)合的教學方法,以學生為主體,以基本不等式為主線,從實際問題出發(fā),放手讓學生探究思索。以現(xiàn)代信息技術(shù)多媒體課件作為教學輔助手段,加深學生對基本不等式的理解。
《基本不等式》教學設(shè)計
教學準備
多媒體課件、板書
教學過程
教學過程設(shè)計以問題為中心,以探究解決問題的方法為主線展開。這種安排強調(diào)過程,符合學生的認知規(guī)律,使數(shù)學教學過程成為學生對知識的再創(chuàng)造、再發(fā)現(xiàn)的過程,從而培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識。 具體過程安排如下:
一、創(chuàng)設(shè)情景,提出問題;
設(shè)計意圖:數(shù)學教育必須基于學生的“數(shù)學現(xiàn)實”,現(xiàn)實情境問題是數(shù)學教學的平臺,數(shù)學教師的任務(wù)之一就是幫助學生構(gòu)造數(shù)學現(xiàn)實,并在此基礎(chǔ)上發(fā)展他們的數(shù)學現(xiàn)實.基于此,設(shè)置如下情境: 上圖是在北京召開的第24屆國際數(shù)學家大會的會標,會標是根據(jù)中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設(shè)計的,顏色的明暗使它看上去像一個風車,代表中國人民熱情好客。
[問]你能在這個圖中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎?
本背景意圖在于利用圖中相關(guān)面積間存在的數(shù)量關(guān)系,抽象出不等式a2?b2?2ab。在此基礎(chǔ)上,引導學生認識基本不等式。
二、抽象歸納:
一般地,對于任意實數(shù)a,b,有a2?b2?2ab,當且僅當a=b時,等號成立。 [問] 你能給出它的證明嗎?
證明:因為a2?b2?2ab?(a?b)2?0,即a2?b2?2ab.(當a?b時取等號)
特別地,當a>0,b>0時,在不等式a2?b2?2ab中,以a、b分別代替a、b,得到什么?
設(shè)計依據(jù):類比是學習數(shù)學的一種重要方法,此環(huán)節(jié)不僅讓學生理解了基本不等式不等式的來源,突破了重點和難點,而且感受了其中的函數(shù)思想,為今后學習奠定基礎(chǔ).
《基本不等式》教學設(shè)計
答案: ab?a?b(a,b?0)。 2你能用不等式的性質(zhì)直接推導這個不等式嗎? 證明:(分析法):由于a,b?R?,于是要證明 a?b?2ab,
只要證明 a?b?2即證
2ab,
a?b?2ab?0,即 (a?b)2?0,
所以a?b?ab,(當a?b時取等號)
【歸納總結(jié)】
如果a,b都是正數(shù),那么ab?a?b,當且僅當a=b時,等號成立。 2a?b稱為a,b的算術(shù)平均數(shù),ab稱2我們稱此不等式為基本不等式。 其中為a,b的幾何平均數(shù)。
文字語言敘述:兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。
探究基本不等式的幾何意義:借助初中階段學生熟知的幾何圖形,引導學生探究ab?a?b(a,b?0)2的幾何解釋,通過數(shù)形結(jié)合,賦予不等式不等式ab?a?b(a,b?0)2幾何直觀。進一步領(lǐng)悟不等式中等號成立的條件。
如圖:AB是圓的直徑,點C是AB上一點,CD⊥AB,AC=a,CB=b,CD
D?ab
aba?b2abOCAB幾何解釋實質(zhì)可認為是:在同一半圓中,半徑不小于半弦(直徑是最長的弦);或者認為是,直角三角形斜邊的一半不小于斜邊上的高。
《基本不等式》教學設(shè)計
4.應(yīng)用舉例,鞏固提高
我們可以用兩個重要不等式來解決什么樣的問題呢?
例1(1)用籬笆圍一個面積為100平方米的矩形菜園,問這個矩形的長、寬各為多少時,所用籬笆最短,最短的籬笆是多少? (2)一段長為36米的籬笆圍成一個矩形菜園,問這個矩形的長、寬為多少時,菜園的面積最大,最大面積是多少?
(通過例1的講解,總結(jié)歸納利用基本不等式求最值問題的特征,實現(xiàn)積與和的轉(zhuǎn)化) 對于(1)若(2)若,
(定值),則當且僅當(定值),則當且僅當
時,時,
有最小值有最大值
; .
(鼓勵學生自己探索推導,不但可使他們加深基本不等式的理解,還鍛煉了他們的思維,培養(yǎng)了勇于探索的精神.)
1例 2:當x?0時,求y?x?的最小值?x1變式1:當x?0時,y?x?有最值嗎?
x1變式2:當x?1時,y?x?有最值嗎?
x通過例2及其變式引導學生領(lǐng)會運用基本不等式的三個限制條件(一正二定三相等)在解決最值問題中的作用,提升解決問題的能力,體會方法與策略.
練一練(自主練習):課本練習 5.歸納小結(jié),反思提高
《基本不等式》教學設(shè)計
基本不等式:若若
,則,則
(當且僅當(當且僅當
時,等號成立) 時,等號成立)
(1)基本不等式的幾何解釋(數(shù)形結(jié)合思想);(2)運用基本不等式解決簡單最值問題的基本方法(一正二定三相等). 6.布置作業(yè),課后延拓
(1)基本作業(yè):課本P100習題組
1、
2、3題
(2)拓展作業(yè):請同學們課外到閱覽室或網(wǎng)上查找基本不等式的其他幾何解釋,整理并相互交流.
基本不等式教學設(shè)計
《等式的性質(zhì)》教學設(shè)計
《等式的性質(zhì)》教學設(shè)計
等式性質(zhì)教學設(shè)計(共8篇)
等式的基本性質(zhì)的課后教學反思
不等式的課件 篇8
一、教學目標:
(一)知識與能力目標:(課件第2張)
1.體會解不等式的步驟,體會比較、轉(zhuǎn)化的作用。
2.學生理解、鞏固一元一次不等式的解法.
3.用數(shù)軸表示解集,加深對數(shù)形結(jié)合思想的進一步理解和掌握。
4.在解決實際問題中能夠體會將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學語言,學會用數(shù)學語言表示實際的數(shù)量關(guān)系。
(二)過程與方法目標:
1.介紹一元一次不等式的概念。
2.通過對一元一次方程的解法的復習和對不等式性質(zhì)的利用,導入對解不等式的討論。
3.學生體會通過綜合利用不等式的概念和基本性質(zhì)解不等式的方法。
4.學生將文字表達轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言,從而解決實際問題。
5.練習鞏固,將本節(jié)和上節(jié)內(nèi)容聯(lián)系起來。
(三)情感、態(tài)度與價值目標:(課件第3張)
1.在教學過程中,學生體會數(shù)學中的比較和轉(zhuǎn)化思想。
2.通過類比一元一次方程的解法,從而更好的掌握一元一次不等式的解法,樹立辯證統(tǒng)一思想。
3.通過學生的討論,學生進一步體會集體的作用,培養(yǎng)其集體合作的精神。
4.通過本節(jié)的學習,學生體會不等式解集的奇異的數(shù)學美。
二、教學重、難點:
1.掌握一元一次不等式的解法。
2.掌握解一元一次不等式的階梯步驟,并能準確求出解集。
3.能將文字敘述轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言,從而完成對應(yīng)用問題的解決。
三、教學突破:
教材中沒有給出解法的一般步驟,所以在教學中要注意讓學生經(jīng)歷將所給的不等式轉(zhuǎn)化為簡單不等式的過程,并通過學生的討論交流使學生經(jīng)歷知識的形成和鞏固過程。在解不等式的過程中,與上節(jié)課聯(lián)系起來,重視將解集表示在數(shù)軸上,從而指導學生體會用數(shù)形結(jié)合的方法解決問題。在研究中,鼓勵學生用多種方法求解,從而鍛煉他們活躍的思維。
四、教 具:計算機輔助教學.
五、教學流程:
(一)、復習:
教學環(huán)節(jié)
教 師 活 動
學 生 活 動
設(shè) 計 意 圖
2023不等式課件14篇
經(jīng)驗時常告訴我們,做事要提前做好準備。在平日里的學習中,幼兒園教師時常會提前準備好有用的資料。資料可以指人事物的相關(guān)多類信息、情報。有了資料才能更好地安排接下來的學習工作!你是否收藏了一些有用的幼師資料內(nèi)容呢?以下是由小編為大家整理的“2023不等式課件14篇”,僅供參考,歡迎大家閱讀。
不等式課件 篇1
七年級數(shù)學不等式課件
教學目標:
通過對具體實例的學習,使學生能夠了解生活中的不等量關(guān)系,理解不等式的概念,知道什么是不等式的解,為以后學習不等式的解法奠定基礎(chǔ).
知識與能力:
1.通過對具體事例的分析和探索,得到生活中不等量的關(guān)系.
2.通過理解得到不等式的概念,從而使學生經(jīng)歷實際問題中數(shù)量的分析、抽象過程,體會現(xiàn)實中有各種各樣錯綜復雜的數(shù)量關(guān)系.
3.了解不等式的意義,知道不等式是用來刻畫生活中的數(shù)量關(guān)系的.
4.知道什么是不等式的解.
過程與方法:
1.引導學生分析具體事例,從對具體事例的分析中得到不等量關(guān)系.
2.引導并幫助學生列出不等式,分析不等式的成立條件.
3.通過分析、抽象得到不等式的概念和不等式的解的概念.
4.通過習題鞏固和加深對概念的理解.
情感、態(tài)度與價值觀:
1.通過學生的分析和抽象過程使他們體會現(xiàn)實中錯綜復雜的數(shù)量關(guān)系,然后從而培養(yǎng)其抽象思維能力.
2.通過分組討論學習,體會在解決具體問題的過程中與他人合作的重要性,培養(yǎng)學生的團體協(xié)作精神,使學生獲得合作交流的學習方式.
3.通過聯(lián)系與發(fā)展、對立與統(tǒng)一的思考方法對學生進行辯證唯物主義教育.
4.通過創(chuàng)設(shè)問題串,讓學生仔細觀察、對比、歸納、整理,嘗試對有理數(shù)進行分類,然后體驗教學活動充滿著探索性和創(chuàng)造性.
教學重、難點及教學突破
重點:不等式的概念和不等式的解的概念.
難點:對文字表述的數(shù)量關(guān)系能列出不等式.
教學突破:由于學生在以前已經(jīng)對數(shù)量的大小關(guān)系和含數(shù)字的不等式有所了解,但還沒有接觸過含未知數(shù)的不等式,在學生分析問題的時候注意引入現(xiàn)實中大量存在的數(shù)量間的不等關(guān)系,研究它們的變化規(guī)律,使學生知道用不等式解決實際問題的方便之處.在本節(jié)的教學中能夠在組織學生討論的過程中適當?shù)貪B透變量的知識,讓學生感受其中的函數(shù)思想,并引導學生發(fā)現(xiàn)不等式的解與方程的解之間的區(qū)別.在處理本節(jié)難點時指導學生練習有理數(shù)和代數(shù)式的知識,準確“譯出”不等式.
教學過程:
一.研究問題:
世紀公園的票價是:每人5元,一次購票滿30張可少收1元.某班有27名少先隊員去世公園進行活動.當領(lǐng)隊王小華準備好了零錢到售票處買了27張票時,愛動腦的李敏同紀學喊住了王小華,提議買30張票.但有的同學不明白.明明只有27個人,買30張票,豈不浪費嗎?
那么,究竟李敏的提議對不對呢?是不是真的浪費呢
二.新課探究:
分析上面的問題:設(shè)有x人要進世紀公園,①若x≥30,應(yīng)該如何買票?②若x
結(jié)論:至少要有多少人進公園時,買30張票才合算?
概括:1、不等式的定義:表示不等關(guān)系的式子,叫做不等式.不等式用符號>,
2、不等式的解:能使不等式成立的未知數(shù)的值,叫做不等式的解.
3、不等式的分類:⑴恒不等式:-71+4,a+2>a+1.
⑵條件不等式:x+3>6,a+2>3,y-3>-5.
三、基礎(chǔ)訓練.
例1、用不等式表示:⑴a是正數(shù);⑵b不是負數(shù);⑶c是非負數(shù);⑷x的平方是非負數(shù);⑸x的一半小于-1;⑹y與4的和不小于3.
注:⑴不等式表示代數(shù)式之間的不相等關(guān)系,與方程表示相等關(guān)系相對應(yīng);
⑵研究不等關(guān)系列不等式的重點是抓關(guān)鍵詞,弄清不等關(guān)系.
例2、用不等式表示:⑴a與1的和是正數(shù);⑵x的2倍與y的3倍的差是非負數(shù);⑶x的2倍與1的和大于—1;⑷a的一半與4的差的絕對值不小于a.
例3、當x=2時,不等式x-1
注:⑴檢驗字母的值能否使不等式成立,只要代入不等式的左右兩邊,如果符合不等號所表示的關(guān)系,就成立,否則就不成立.⑵代入法是檢驗不等式的解的重要方法.
學生練習:課本P42練習1、2、3.
四、能力拓展
學校組織學生觀看電影,某電影院票價每張12元,50人以上(含50人)的團體票可享受8折優(yōu)惠,現(xiàn)有45名學生一起到電影院看電影,為享受8折優(yōu)惠,必須按50人購團體票.
⑴請問他們購買團體票是否比不打折而按45人購票便宜;
⑵若學生到該電影院人數(shù)不足50人,應(yīng)至少有多少人買團體票比不打折而按實際人數(shù)購票便宜.
解:⑴按實際45人購票需付錢_________ 元,然后如果按50人購買團體票則需付錢50×12×80%=480元,所以購買團體票便宜.
⑵設(shè)有x人到電影院觀看電影,當x_____時,按實際人數(shù)買票______張,需付款_______元,而按團體票購票需付款________元,如果買團體票合算,那么應(yīng)有不等式________________,
由①得,當x=45時,上式成立,讓我們再取一些數(shù)據(jù)試一試,將結(jié)果填入下表:
x12x比較480與12x的大小48
由上表可見,至少要__________人時進電影院,購團體票才合算.
五、小結(jié):
⑴不等式的定義,不等式的'解.
⑵對實際問題中探索得到的不等式的解,然后不僅要滿足數(shù)學式子,而且要注意實際意義.
六、作業(yè)課本P42習題8.1第1、2、3題.
補充題:
1.用不等式表示:
(1)與1的和是正數(shù);(2)的與的的差是非負數(shù);
(3)的2倍與1的和大于3;(4)的一半與4的差的絕對值不小于.
(5)的2倍減去1不小于與3的和;(6)與的平方和是非負數(shù);
(7)的2倍加上3的和大于-2且小于4;(8)減去5的差的絕對值不大于
2.小李和小張決定把省下的零用錢存起來.這個月小李存了168元,然后小張存了85元.下個月開始小李每月存16元,小張每月存25元.問幾個月后小張的存款數(shù)能超過小李?(試根據(jù)題意列出不等式,并參照教科書中問題1的探索,找出所列不等式的解)
3.某公司在甲、乙兩座倉庫分別有農(nóng)用車12輛和6輛,現(xiàn)需要調(diào)往A縣10輛,調(diào)往B縣8輛,已知從甲倉庫調(diào)運一輛農(nóng)用車到A縣和B縣的運費分別為40元和80元,然后從乙倉庫調(diào)運一輛農(nóng)用車到A縣和B縣的運費分別為30元和50元,(1)設(shè)從乙倉庫調(diào)往A縣農(nóng)用車輛,用含的代數(shù)式表示總運費W元;(2)請你用嘗試的方法,探求總運費不超過900元,共有幾種調(diào)運方案?你能否求出總運費最低的調(diào)運方案.
不等式課件 篇2
(1)本節(jié)內(nèi)容,是在學習了用方程思想解決實際問題和一元一次不等式的性質(zhì)及其解法等知識的基礎(chǔ)上,把實際問題和一元一次不等式結(jié)合在一起,既是對已學知識的運用和深化,又為今后用不等式組解決實際問題以及更廣泛的應(yīng)用數(shù)學建模的思想方法奠定基礎(chǔ),具有在代數(shù)學中承上啟下的作用;
(2)通過本節(jié)的學習,學生將繼續(xù)經(jīng)歷把生活中的數(shù)和數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)學符號的體驗過程,體會不等式和方程一樣都是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的重要模型。
(3)在列不等式解決實際問題的探索過程中,引導學生注意估算意識,體會算式結(jié)果所對應(yīng)的實際意義,滲透建立數(shù)學模型,分類討論等數(shù)學思想,對提升學生應(yīng)用數(shù)學意識思考和解決問題的能力起到積極的作用。
對于用不等式解決實際問題,學生容易出現(xiàn)的認知困難主要有兩個方面:①哪類的實際問題需要用一元一次不等式來解決;②如何將實際問題轉(zhuǎn)化為一元一次不等式并加以解決。
根據(jù)以上的分析和《數(shù)學課程標準》對本課內(nèi)容的教學要求,本節(jié)課的教學重點是:一元一次不等式在決策類實際問題中的應(yīng)用;難點是:如何將實際問題中的數(shù)量關(guān)系符號化,并根據(jù)解集和結(jié)合實際情況分類討論得出合理結(jié)論。
根據(jù)本課教材的特點、《數(shù)學課程標準》對本節(jié)課的教學要求以及學生的認知水平,我從三個方面確定了以下教學目標:
1、能進一步熟練的解一元一次不等式,能從實際問題中抽象出不等關(guān)系的數(shù)學模型,并結(jié)合解集解決簡單的實際問題。
2、通過觀察、實踐、討論等活動,積累利用一元一次不等式解決實際問題的經(jīng)驗,提高分類考慮、討論問題的能力,感知方程與不等式的內(nèi)在聯(lián)系,體會不等式和方程同樣都是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的重要模型。
3、在積極參與數(shù)學學習活動的過程中,體會實事求是的態(tài)度和從數(shù)學的角度思考問題的習慣;學會在解決困難時,與其他同學交流,相互啟發(fā),培養(yǎng)合作精神。
根據(jù)教學內(nèi)容、教學目標和學生的認知水平,我主要采取教師啟發(fā)引導,學生自主探究的教學方法.教學過程中,創(chuàng)設(shè)適當?shù)慕虒W情境,引導學生獨立思考、共同探究,使學生經(jīng)歷將生活中的數(shù)和數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)學符號的具體建模過程,體會不等式作為刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的重要模型的價值。
教學中使用多媒體投影、計算機輔助教學,目的是充分發(fā)揮其快捷、生動、形象的特點,為學生提供直觀感性的材料,有助于學生對問題的關(guān)注和理解,激發(fā)學生的學習興趣.
為了達到本節(jié)課的教學目標,突出重點,突破難點,我把教學過程通過兩個實際問題逐步深入;最后歸納小結(jié),布置作業(yè).具體過程如下:
1、課題引入:
我們以前已經(jīng)學過了一元一次方程以及二元一次方程組的解法,并在解決許多實際問題的過程中感受到:將相等關(guān)系用數(shù)學符號抽象后所得到的“方程”確實是一種有效數(shù)學工具,它能讓我們的思維過程更加準確和簡明!
但是,生活中除了相等的數(shù)量關(guān)系以外,還存在著大量的不等關(guān)系,通過前幾節(jié)課的學習,我們也已經(jīng)基本了解了不等式的性質(zhì)和簡單不等式的解法。今天,就讓我們通過一些帶有選擇“決策”意義的實際問題來共同探討一下一元一次不等式這種數(shù)學模型是如何解決生活中的實際問題的。
實際情景1:在為我校初一年級學生選定營養(yǎng)餐的過程中選中了有兩家公司.
這兩家公司某種適合初一學生的營養(yǎng)餐的報價均是是6.5元/份,營養(yǎng)含量和服務(wù)承諾也均相同,且都表示對學生優(yōu)惠:甲公司表示每份按報價的90%收費,乙公司表示購買100份以上的部分按報價的80%收費.
結(jié) 合新課標對本小節(jié)的要求:會用一元一次不等式解決簡單的實際問題,我選擇的是從數(shù)量關(guān)系上與教材例題類似的收費問題,并且真實數(shù)值與所在年級事情相一致,比書上的例題更能貼近學生的實際生活,引發(fā)學生探求的`興趣。特別的,通常此類題目是不給出具體單價的,因為并不影響最后結(jié)論,考慮到學生現(xiàn)階段的數(shù)學抽象 仍以識別數(shù)量的具體含義為主,所以我在此處添加了單價,并增設(shè)了問題一,用以降低抽象思維的梯度,為后續(xù)的設(shè)未知數(shù)的“代數(shù)化抽象”作適當?shù)匿亯|。
問題(1)請你判斷,我們年級580人用餐,應(yīng)該選擇哪家公司能讓每位學生的餐費平均算來更低呢?
預(yù)案 一:教師應(yīng)關(guān)注學生能否在討論中認清“每位學生的餐費平均算來更低”所對應(yīng)的數(shù)量意義,將之轉(zhuǎn)化為“付給公司的總金額少”。在此處不排除學生因生活經(jīng)歷的缺乏,而對題目中所隱含的數(shù)量關(guān)系抽象能力弱。應(yīng)關(guān)注每一位同學的感受,讓同學們充分理解交流,擴大參與思考的廣度,獲得基本抽象思維的生長點。
預(yù)案二:在進行甲乙公司所需費用的計算時,會有分部計算和綜合計算兩種計算形式,對于那些列綜合算式的同學,教師應(yīng)多給予展示機會,從而幫助其他同學整理思路,理解算式的實際含義;為后續(xù)的字母抽象做好鋪墊。具體計算學生可以合理使用計算器提高課堂速度。
預(yù)案三:學生還有可能不通過計算,直接猜測甲公司合算或者乙公司合算,對于這種有可能產(chǎn)生的聲音,教師應(yīng)從估算的角度加以引導。引導學生體會在580人的前提下,超過100人部分(480人)的甲公司是九折乙公司是八折, 10%的差距,;100人以內(nèi)(少于100人)甲公司九折,乙公司不打折10%的差距,480的10%明顯大于100的10%,所以選乙合算,并引導學生用計算的方法驗證估算的準確性。
結(jié)論:580人時選擇乙公司能讓每位學生的餐費平均算來更低。
問題(2)你能否用以前學過的知識,在不知道具體人數(shù)的前提下制定一套方案,當其他學校的初一年級也想在這兩家公司之間進行選擇時,不用重復第一題的計算過程,只要知道人數(shù)就馬上能根據(jù)你方案的結(jié)論作出決策呢?
結(jié)合以前的訓練,學生很容易想到要通過設(shè)未知數(shù)的方法進行符號表達,將非常關(guān)鍵而題目中并未給出的學生人數(shù)設(shè)為未知數(shù)。由于本題的具體分析過程仍然是由學生分析討論完成,可能出現(xiàn)的情況是:
預(yù)案一:一部分綜合能力較強的同學會根據(jù)實際意義直接列出綜合算式:或
此處教師應(yīng)該引導學生觀察,在化簡不等式的過程中單價并未影響結(jié)果(利用不等式性質(zhì)二將其作為公倍數(shù)約去),即:題目中沒有具體的單價也不會影響本題的決策。
還可以結(jié)合小學單位一的思想化簡不等式,引導學生體會并不是題目中出現(xiàn)的所有數(shù)量都會影響不等關(guān)系,有可能引發(fā)學生的關(guān)于數(shù)量關(guān)系的深層次思考。
預(yù)案 二:還有一部分學生會因為生活經(jīng)驗少的關(guān)系,綜合思考能力弱,無法快速的理清數(shù)量關(guān)系,列出綜合算式,思考受阻,教師應(yīng)引導學生體會在第一題的算式意義的提示下,如何分別列出表達甲乙公司所需總費用的過程量代數(shù)式。然后在通過將之用不等號連接的方式,來表達兩筆費用的大小,降低因綜合性所引起的思維梯度, 在過程中讓學生體會“分步建?!钡乃季S的條理性。
問題(1)如果你是該企業(yè)的高級管理人員,請你設(shè)計該企業(yè)在購買設(shè)備時兩種型號有幾種不同的組合方案;
問題(2)若按固定產(chǎn)量預(yù)算企業(yè)每月產(chǎn)生的污水量約為20xx噸,為了節(jié)約資金,應(yīng)選擇哪種購買方案?
實際情景2的選擇除涉及“角色扮演”和“環(huán)?!钡热宋囊蛩氐目紤]以外,在在結(jié)合本節(jié)的教學目標上還有如下考慮,
1、 本題取材于真實的實際生活問題,情景中的符號和數(shù)量關(guān)系較多,不等關(guān)系在文字語言的敘述中顯得比第一題更加隱蔽,需要學生更深化的思考才能列出算式,是在第一個情景的基礎(chǔ)上的擴展和深化。
2、 在學生的討論過程中,教師應(yīng)注重引導學生體會,用圖表表示的數(shù)字信息比文字表達更便于觀察和有序思考,感受“有序表達”在實際中的價值。
3、 結(jié)合本題每一個的具體問題的分析和解決,學生必須要從表格中分析篩選相關(guān)的有用數(shù)據(jù),(例如:在第一問設(shè)計方案時未用到“處理污水量”和“年消耗費”,在第二問中未用到“價格”和“年消耗費”)這種分析和篩選的思考經(jīng)歷將有助于加強學生對數(shù)據(jù)關(guān)系的理解和運用能力。
結(jié)合以前的訓練,在思考問題(1)學生很容易想到要通過設(shè)A型或B型設(shè)備的
例如:(1)設(shè)購買污水處理設(shè)備A型 臺,則B型(10 – )臺,由題意知:
在此處,將“限額為105萬元”轉(zhuǎn)化為“≤105”是學生要突破的第一關(guān),教師應(yīng)在次處多展示同學的對“限額為105萬元”語言解釋,盡可能多的在具有不同經(jīng)歷基礎(chǔ)的同學心中將這個抽象過程生活化、自然化。
因為在實際情景中往往要根據(jù)未知數(shù)所代表的具體含義為未知數(shù)的加一個取值范圍的限定,而這個隱含的限制條件往往是學生中所不容易考慮到的,教師應(yīng)注意引導學生注意這一問題,
例如:本題中的 是設(shè)備的臺數(shù),應(yīng)用非負整數(shù)的限制,所以 可取0、1、2,因此有三種購買方案:
①購A型0臺,B型10臺;
②購A型1臺,B型9臺;
③購A型2臺,B型8臺。
此處細節(jié)性的思考經(jīng)歷,有助于提高學生在建模過程中更全面的考慮數(shù)值的實際意義,促進抽象符號與具體意義在頭腦中的融合。
特別的,此處的“0”是學生最容易忽視和丟掉的,教師在此處應(yīng)重點引導學生思考當“ ”時,往往是企業(yè)最可能選的方案,因為不同的設(shè)備涉及到不同的維護問題,單一品種的設(shè)備往往更便于管理,這種思考有助于發(fā)散學生的思維,促進其結(jié)合實際作更全面的思考。
問題(2)的思維梯度較前幾個問題進一步加大,學生必須理解“節(jié)約資金”這個目的的達成 一定是在“完成任務(wù)”的前提下的,要先通過對(1)中所得的三套方案是否能完成任務(wù)加以討論和驗證,然后再涉及計算哪個方案費用更低的問題
在驗證三套方案的可行性時,收思維方式的局限,學生往往會選擇逐一列舉計算的討論方式,并且由于數(shù)量少,很容易得出答案,教師可引導學生思考,如果滿足(1)的方案不是三種,而是三十種呢?三百種呢?除了逐一討論以外還有沒有什么更好的方式能幫助我們迅速縮小范圍呢?引導學生將所買設(shè)備能否完成任務(wù)量轉(zhuǎn)化為如下不等關(guān)系:
(2)同(1)所設(shè)購買污水處理設(shè)備A型 臺,則B型(10 – )臺,
240 +200(10 – )≥20xx;
因此為了節(jié)約資金,應(yīng)選購A型1臺,B型9臺。
此處的分析和引導有助于學生體會不等式在有效縮小討論范圍時的實際價值。
通過以上問題的解決,學生對不等式和方程一樣都是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的重要模型有了進一部的認識,并感受到不等式確實是從實際問題中提出,又為解決實際問題提供明確的幫助有效數(shù)學工具。
本階段通過學習小結(jié)進行課堂教學的反饋,組織和指導學生歸納知識、技能、方法,深化對數(shù)學思想方法的認識,為后續(xù)學習打好基礎(chǔ)。
不等式課件 篇3
(1)本節(jié)內(nèi)容,是在學習了用方程思想解決實際問題和一元一次不等式的性質(zhì)及其解法等知識的基礎(chǔ)上,把實際問題和一元一次不等式結(jié)合在一起,既是對已學知識的運用和深化,又為今后用不等式組解決實際問題以及更廣泛的應(yīng)用數(shù)學建模的思想方法奠定基礎(chǔ),具有在代數(shù)學中承上啟下的作用;
(2)通過本節(jié)的學習,學生將繼續(xù)經(jīng)歷把生活中的數(shù)和數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)學符號的體驗過程,體會不等式和方程一樣都是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的重要模型。
(3)在列不等式解決實際問題的探索過程中,引導學生注意估算意識,體會算式結(jié)果所對應(yīng)的實際意義,滲透建立數(shù)學模型,分類討論等數(shù)學思想,對提升學生應(yīng)用數(shù)學意識思考和解決問題的能力起到積極的作用。
對于用不等式解決實際問題,學生容易出現(xiàn)的認知困難主要有兩個方面:①哪類的實際問題需要用一元一次不等式來解決;②如何將實際問題轉(zhuǎn)化為一元一次不等式并加以解決。
根據(jù)以上的分析和《數(shù)學課程標準》對本課內(nèi)容的教學要求,本節(jié)課的教學重點是:一元一次不等式在決策類實際問題中的應(yīng)用;難點是:如何將實際問題中的數(shù)量關(guān)系符號化,并根據(jù)解集和結(jié)合實際情況分類討論得出合理結(jié)論。
根據(jù)本課教材的特點、《數(shù)學課程標準》對本節(jié)課的教學要求以及學生的認知水平,我從三個方面確定了以下教學目標:
1.能進一步熟練的解一元一次不等式,能從實際問題中抽象出不等關(guān)系的數(shù)學模型,并結(jié)合解集解決簡單的實際問題。
2.通過觀察、實踐、討論等活動,積累利用一元一次不等式解決實際問題的經(jīng)驗,提高分類考慮、討論問題的能力,感知方程與不等式的內(nèi)在聯(lián)系,體會不等式和方程同樣都是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的重要模型。
3.在積極參與數(shù)學學習活動的過程中,體會實事求是的態(tài)度和從數(shù)學的角度思考問題的習慣;學會在解決困難時,與其他同學交流,相互啟發(fā),培養(yǎng)合作精神。
三、教學方法的選擇
根據(jù)教學內(nèi)容、教學目標和學生的認知水平,我主要采取教師啟發(fā)引導,學生自主探究的教學方法.教學過程中,創(chuàng)設(shè)適當?shù)慕虒W情境,引導學生獨立思考、共同探究,使學生經(jīng)歷將生活中的數(shù)和數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)學符號的具體建模過程,體會不等式作為刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的重要模型的價值,
教學中使用多媒體投影、計算機輔助教學,目的是充分發(fā)揮其快捷、生動、形象的特點,為學生提供直觀感性的材料,有助于學生對問題的.關(guān)注和理解,激發(fā)學生的學習興趣.
為了達到本節(jié)課的教學目標,突出重點,突破難點,我把教學過程通過兩個實際問題逐步深入;最后歸納小結(jié),布置作業(yè).具體過程如下:
1、課題引入:
我們以前已經(jīng)學過了一元一次方程以及二元一次方程組的解法,并在解決許多實際問題的過程中感受到:將相等關(guān)系用數(shù)學符號抽象后所得到的“方程”確實是一種有效數(shù)學工具,它能讓我們的思維過程更加準確和簡明!
但是,生活中除了相等的數(shù)量關(guān)系以外,還存在著大量的不等關(guān)系,通過前幾節(jié)課的學習,我們也已經(jīng)基本了解了不等式的性質(zhì)和簡單不等式的解法。今天,就讓我們通過一些帶有選擇“決策”意義的實際問題來共同探討一下一元一次不等式這種數(shù)學模型是如何解決生活中的實際問題的。
實際情景1:在為我校初一年級學生選定營養(yǎng)餐的過程中選中了有兩家公司.
這兩家公司某種適合初一學生的營養(yǎng)餐的報價均是是6.5元/份,營養(yǎng)含量和服務(wù)承諾也均相同,且都表示對學生優(yōu)惠:甲公司表示每份按報價的90%收費,乙公司表示購買100份以上的部分按報價的80%收費.
結(jié) 合新課標對本小節(jié)的要求:會用一元一次不等式解決簡單的實際問題,我選擇的是從數(shù)量關(guān)系上與教材例題類似的收費問題,并且真實數(shù)值與所在年級事情相一致,比書上的例題更能貼近學生的實際生活,引發(fā)學生探求的興趣。特別的,通常此類題目是不給出具體單價的,因為并不影響最后結(jié)論,考慮到學生現(xiàn)階段的數(shù)學抽象 仍以識別數(shù)量的具體含義為主,所以我在此處添加了單價,并增設(shè)了問題一,用以降低抽象思維的梯度,為后續(xù)的設(shè)未知數(shù)的“代數(shù)化抽象”作適當?shù)匿亯|。
問題(1)請你判斷,我們年級580人用餐,應(yīng)該選擇哪家公司能讓每位學生的餐費平均算來更低呢?
預(yù)案 一:教師應(yīng)關(guān)注學生能否在討論中認清“每位學生的餐費平均算來更低”所對應(yīng)的數(shù)量意義,將之轉(zhuǎn)化為“付給公司的總金額少”。在此處不排除學生因生活經(jīng)歷的缺乏,而對題目中所隱含的數(shù)量關(guān)系抽象能力弱。應(yīng)關(guān)注每一位同學的感受,讓同學們充分理解交流,擴大參與思考的廣度,獲得基本抽象思維的生長點。
預(yù)案二:在進行甲乙公司所需費用的計算時,會有分部計算和綜合計算兩種計算形式,對于那些列綜合算式的同學,教師應(yīng)多給予展示機會,從而幫助其他同學整理思路,理解算式的實際含義;為后續(xù)的字母抽象做好鋪墊。具體計算學生可以合理使用計算器提高課堂速度。
預(yù)案三:學生還有可能不通過計算,直接猜測甲公司合算或者乙公司合算,對于這種有可能產(chǎn)生的聲音,教師應(yīng)從估算的角度加以引導。引導學生體會在 580人的前提下,超過100人部分(480人)的甲公司是九折乙公司是八折, 10%的差距,;100人以內(nèi)(少于100人)甲公司九折,乙公司不打折10%的差距,480的10%明顯大于100的10%,所以選乙合算,并引導學生用計算的方法驗證估算的準確性。
不等式課件 篇4
教學建議
一、知識結(jié)構(gòu)
本書首先結(jié)合實例引入一元一次不等式組的解集的概念,然后通過三個例題說明利用數(shù)軸解一元一次不等式組的方法,最后對一元一次不等式組的解法步驟進行了總結(jié).
二、重點、難點分析
本節(jié)教學的重點是掌握一元一次不等式組的解法步驟并準確地求出解集.難點是正確應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)對不等式進行變形、求不等式組中各個不等式解集的公共部分.不等式在中學代數(shù)中是研究問題的重要工具,例如求函數(shù)的定義域、值域、研究函數(shù)的單調(diào)性,求最大值、最小值,一元二次方程根的討論等,都要用到不等式的知識.不等式也是進一步學習其他數(shù)學內(nèi)容的基礎(chǔ).學習和掌握不等式的求解和不等式的證明方法,對培養(yǎng)學生邏輯思維能力也有極其重要的作用.在處理解不等式的問題中,一元一次不等式組的解法,具有特別重要的意義.這是因為,解各類不等式的問題都可以歸結(jié)為解一些由簡單不等式所組成的不等式組.
1、在構(gòu)成不等式組的幾個不等式中
①這幾個一元一次不等式必須含有同一個未知數(shù);
②這里的“幾個”并未確定不等式的個數(shù),只要不是一個,兩個,三個,四個……都行.
2、當幾個不等式的解集沒有公共部分時,我們就說這個不等式組無解.
3、由兩個一元一次不等式組成的不等式的解集,共歸結(jié)為下面四種基本情況:
【注意】①其中第(4)個不等式組,實質(zhì)上是矛盾不等式組,任何數(shù)都不能使兩個不等式同時成立。所以說這個不等式組無解或說其解集為空集。②從上面列出的表中,我們可以概括出來不等式組公共解的一規(guī)律:同大取大,同小取小,一大一小中間找。
三、教法建議
1.解本節(jié)的引例及例1、例2、例3時,注意把解不等式組的思路講清楚,即先分別解每一個不等式,求出解集,再求這些解集的公共部分.求公共部分的過程一定要結(jié)合數(shù)軸來講。
2.這節(jié)課的講解自始至終要突出解不等式組的基本思想以及解一元一次不等式組的步驟這兩個重點.準確熟練地解一元一次不等式以及用數(shù)軸上的點表示不等式的解集是這節(jié)課的基礎(chǔ),因此講新課之前要復習提問這些內(nèi)容。
3.求公共解集是這節(jié)課的新授內(nèi)容,教師要充分利用數(shù)軸表示不等式解集具有形象、直觀、易于說明問題這些優(yōu)點.解集的公共部分教師可用彩筆在數(shù)軸的相應(yīng)部分描畫出來,使學生感到醒目,便于理解記憶。
4.每組不等式不要超過三個,關(guān)鍵是使學生理解和掌握解不等式組的基本思想和兩個步驟,不宜做過于難、過于多、重復的機械計算。
不等式課件 篇5
(一)復習提問:
三角形的三邊關(guān)系?
(二)列一元一次不等式組
問題:現(xiàn)有兩根木條a和b,a長10cm,b長3cm.如果要再找一根木條c,用這三根木條釘成一個三角形木框,那么對木條c的長度有什么要求?
注:這個問題是本節(jié)的'引入問題,三角形木框的形狀不唯一確定,只要能成為三角形即可.
探究:用三根長度分別為14cm,9cm,6cm的木條c1,c2,c3分別試試,其中哪根木條能與木條a和b一起釘成三角形木框?
可以發(fā)現(xiàn),當木條a和b的長度確定后,木條c太長或太短,都不能與a和b一起釘成三角形.
由于“三角形中兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊”,設(shè)木條c長xcm,則x必須同時滿足不等式x10+3①和x10-3②
注:木條c必須同時滿足兩個條件,即ca+b,ca-b.
類似于方程組,把這兩個不等式合起來,組成一個一元一次不等式組記作注:這里并未正式給一元一次不等式組下定義,只是說這兩個不等式合起來,組成一個一元一次不等式組.實際上,兩個或更多的一元一次不等式組合起來,都組成一個一元一次不等式組.
(三)一元一次不等式組的解集
類比方程組的解,怎樣確定不等式組中x的可取值的范圍呢?
不等式組中的各不等式解集的公共部分,就是不等式組中x可以取值的范圍.
注:這里還未正式出現(xiàn)不等式組的解集的概念,但已點出各不等式的解集的公共部分即不等式組中未知數(shù)的可取值范圍.
由不等式①解得x13.
由不等式②解得x7.
從圖9.3—2容易看出,x可以取值的范圍為713.
注:利用數(shù)軸可以直觀形象地認識公共部分.這個公共部分是兩端有界的開區(qū)間.
這就是說,當木條c比7cm長并且比13cm短時,它能與木條a和b一起釘成三角形木框.
一般地,幾個不等式的解集的公共部分,叫做由它們所組成的不等式組的解集.解不等式組就是求它的解集.
注:這里正式給出不等式組的解集以及解不等式組的定義13.注:利用數(shù)軸可以直觀形象地認識公共部分.這個公共部分是兩端有界的開區(qū)間.這就是說,當木條c比7cm長并且比13cm短時,它能與木條a和b一起釘成三角形木框.一般地,幾個不等式的解集的公共部分,叫做由它們所組成的不等式組的解集.解不等式組就是求它的解集.注:這里正式給出不等式組的解集以及解不等式組的定義。
不等式課件 篇6
一元一次不等式組(2)
文星中學唐波
一、教學目標
(一)知識與技能目標
1、熟練掌握一元一次不等式組的解法,會用一元一次不等式組解決有關(guān)的實際問題。
2、理解一元一次不等式組應(yīng)用題的一般解題步驟,逐步形成分析問題和解決問題的能力。
(二)過程與方法目標
通過利用列一元一次不等式組解答實際問題,初步學會從數(shù)學的角度提出問題、理解問題、并能綜合運用所學的知識解決問題,發(fā)展應(yīng)用意識。
(三)情感態(tài)度與價值觀
通過解決實際問題,體驗數(shù)學學習的樂趣,初步認識數(shù)學與人類生活的密切聯(lián)系。
二、教學重難點
(一)重點:建立用不等式組解決實際問題的數(shù)學模型。
(二)難點:正確分析實際問題中的不等關(guān)系,根據(jù)具體信息列出不等式組。
三、學法引導
(一)教師教法:直觀演示、引導探究相結(jié)合。
(二)學生學法:觀察發(fā)現(xiàn)、交流探究、練習鞏固相結(jié)合。
四、教具準備:多媒體演示
五、教學過程
(一)、設(shè)問激趣,引入新課
猜一猜:我屬狗,請同學們根據(jù)我的實際情況來猜測我的年齡。(學生大膽猜想,利用不等關(guān)系分析得出答案。)
(二)、觀察發(fā)現(xiàn),競賽闖關(guān)
1、比一比:填表找規(guī)律
(學生搶答,教師補充。)2利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解不等式組 ?(學生解答,抽生演板。)你可以得到它的整數(shù)解嗎?
(抽生回答:因為大于11小于14的整數(shù)有12和13,所以整數(shù)解為12和13。)3填空:三角形三邊長分別為2、7、c,則 c的取值范圍是__________。如果c是一個偶
數(shù),則 c=__________。
(學生回答,教師補充更正。)
(三)、欣賞圖片,探究新知
1、欣賞“五岳看山”。
2、利用欣賞引出例題(教科書P139例2仿編)
例:3名同學計劃在10天內(nèi)到嵩山拍照500張(每天拍照數(shù)量相同),按原來的計劃,不能完成任務(wù);如果每人每天比原計劃多拍1張,就能提前完成任務(wù),每個同學原計劃每天............拍多少張?
生齊讀,找出題中的已知條件和未知條件;再默讀,找一找表示數(shù)量關(guān)系的句子。師引導分析,并提出問題:
(1)你是怎樣理解“不能完成任務(wù)”的數(shù)量含義的?你是怎樣理解“提前完成任務(wù)”的數(shù)量含義的?
(2)解決這個問題,你打算怎樣設(shè)未知數(shù)?
(3)在本題中,可以找出幾個不等關(guān)系,可以列出幾個不等式?(學生交流討論,教師指導。)
?7x?98
?7(x?3)?98
解答完成后,學生自學課本例2。
3、由例解題答過程,類比列二元一次方程組解應(yīng)用題的步驟,總結(jié)列一元一次不等式組的解題步驟:
(1)、分析題意,設(shè)未知數(shù); .(2)、利用不等關(guān)系,列不等式組; .(3)、解不等式組; .
(4)、檢驗,根據(jù)題意寫出答案。.(學生總結(jié),抽生回答,教師補充。)
(四)、闖關(guān)練習,鞏固新知
1練一練:為紀念“5·12”大地震一周年,“五一”部分同學到青城山拍照留念,如果每人拍8張則多于如果每人拍9張則不夠問共有多少個同學參加青城山旅游? ..150張;..180張。
教師引導:抓住重點詞語,找到不等關(guān)系,列出不等式組。學生獨立完成,抽生回答。
比較列二元一次方程組和列一元一次不等式組解應(yīng)用題的區(qū)別:
(學生類比找區(qū)別,教師補充。)2練一練(教科書P140練習第2題):一本英語書共98頁,張力讀了一周(7天)還沒讀完,而李永不到一周就已讀完。李永平均每天比張力多讀3頁,張力平均每天讀多少頁(答案取整數(shù))?
學生分析列出不等式組,教師指導。(前面的練習已解出不等式組。)
(五)、暢所欲言,歸納小結(jié) 學生暢所欲言,談收獲體會 多媒體展示,本課內(nèi)容小結(jié):
1、解一元一次不等式組的秘笈:同大取大,同小取小,大小小大中間找,大大小小解不了。
2、具有多種不等關(guān)系的問題,可通過不等式組解決。
3、列一元一次不等式組解應(yīng)用題的步驟是:(1)、分析題意,設(shè)未知數(shù);(2)、利用不等關(guān)系,列不等式組;(3)、解不等式組;
(4)、檢驗,根據(jù)題意寫出答案。
(六)、課后演練,終極挑戰(zhàn)
必做題:教材習題第4、5、6題;
選做題:一個兩位數(shù),它的十位數(shù)字比個位數(shù)字大1,而且這個兩位數(shù)大于30小于42,則這個兩位數(shù)是多少?
六、板書設(shè)計
一元一次不等式組(2)
解:設(shè)每個同學原計劃每天拍x張,得
① ?3?10x?500
?
?3?10(x?1)?500②
1、分析題意,設(shè)未知數(shù);
解得x
3根據(jù)題意,x應(yīng)為整數(shù),所以x=16 答:每個同學原計劃每天拍16張。
2??
2、找不等關(guān)系,列不等式組; ?
?
3、解不等式組; ?步驟
??
?
4、檢驗并根據(jù)題意寫出答案。?
不等式課件 篇7
科學合理的教學方法能使教學效果事半功倍,達到教與學的和諧完美統(tǒng)一。
基于此,我準備采用的教法講授法、討論法。德國教育學家第斯多慧:差的教師只會奉送真理,好的教師則交給學生如何發(fā)現(xiàn)真理,老師的教是為了不教,這才是教學的最高境界,所以我采用的學法是練習法、自主合作法。
在這節(jié)課的教學過程中,我注重突出重點,條理清晰,緊湊合理。各項活動的安排也注重互動、交流,最大限度的調(diào)動學生參與課堂的積極性、主動性。
首先是導入環(huán)節(jié),我采用復習舊知的導入方法。我會讓學生回憶不等式的概念以及一元一次方程的概念,明確指出今天學習的內(nèi)容是《一元一次不等式》。
這樣的設(shè)計既可以考查學生對之前知識的掌握情況,還能夠為今天學習一元一次方程的概念打下基礎(chǔ)。而且開門見山的導入方式能夠快速地進入主題。
接下來是新知探索環(huán)節(jié),首先我請學生類比不等式以及一元一次方程的概念,給一元一次不等式下定義。
能夠總結(jié)出:含有一個未知數(shù),未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式,叫做一元一次不等式。
接下來讓學生回憶上節(jié)課學習的不等式x-7>26如何解決的,通過學生回憶總結(jié)可以得到:通過“不等式的兩邊都加7,不等號的方向不變”而得到的。
接下來提問學生有沒有更加簡便的方法解不等式?讓學生類比解一元一次方程的步驟進行解題??梢缘玫较喈斢诳梢杂谩耙祈棥?,來解決。
在這個過程中,強調(diào)每一個步驟,在第二題最后一步,強調(diào)當不等式的兩邊同時乘以(或除以)同一個負數(shù)時,不等號的方向改變。
解完不等式,先讓學生回憶解一元一次方程的步驟是什么?并類比解一元一次方程的步驟,總結(jié)一下解一元一次不等式的步驟是什么?
從而我們歸納:解一元一次方程,要根據(jù)等式的性質(zhì),將方程逐步化為x=a的形式;而解一元一次不等式,則要根據(jù)不等式的性質(zhì),將不等式逐步化為xa的形式。
《數(shù)學課程標準》指出:“學生是數(shù)學學習的主人,教師是數(shù)學學習的組織者、引導者和合作者”。根據(jù)這一教學理念,在本環(huán)節(jié)中,我組織學生進行了自主探究活動,讓學生在保持高度學習熱情和探究欲望的活動過程中,始終以愉悅的心情,親身經(jīng)歷和體驗知識的形成過程。培養(yǎng)學生的探究能力、分析思維能力,激發(fā)他們的創(chuàng)新意識、參與意識。
第三個環(huán)節(jié)是課堂練習環(huán)節(jié),出示問題,解不等式,并在數(shù)軸上表示數(shù)集:5x+15>4x-1
之所以這樣設(shè)計是因為練習是掌握知識、形成技能、發(fā)展思維的重要手段,針對本課的教學重點和難點,上述練習,目的是讓學生進一步鞏固對新知的理解。可以深化教學內(nèi)容,培養(yǎng)思維的靈活性。
最后一個環(huán)節(jié)為小結(jié)作業(yè)環(huán)節(jié),關(guān)于課堂小結(jié),我打算讓學生自己來總結(jié)今天的收獲。
這樣既發(fā)揮了學生的主體性,又可以提高學生的總結(jié)概括能力,讓我在第一時間得到學習反饋,及時加以疏導。
通過這樣的方式能夠為本節(jié)課學習的知識進行進一步的鞏固。
我的板書設(shè)計遵循簡潔明了突出重點的意圖,這是我的板書設(shè)計:
不等式課件 篇8
1、了解一元一次不等式組的概念。
2、理解一元一次不等式組的解集,能求一元一次不等式組的解集。
3、會解一元一次不等式組。
通過具體問題得到一元一次不等式組,從而了解一元一次不等式組的概念,解出每個不等式,利用數(shù)軸求出各不等式解集的公共部分,從而得到不等式組的解集,通過解幾個有代表性的一元一次不等式組,總結(jié)出求不等式組解集的法則。
運用數(shù)軸確定不等式組的解集是行之有效的方法。這種“數(shù)形結(jié)合”的方法今后經(jīng)常用到,鍛煉同學們數(shù)形結(jié)合的能力,提高學習興趣。
一元一次不等式組的解法。
確定一元一次不等式組的解集。
一、情境導入,初步認識
問題1現(xiàn)有兩根木條a和b,a長10cm,b長3cm,如果要再找一根木條c,用這三根木條釘成一個三角形木框,那么木條c的長度有什么要求?
解:由于三角形中兩邊之____大于第三邊,兩邊之____小于第三邊,設(shè)c的長為xcm,則x<____,①x>____,②合起來,組成一個__________。
由①解得_____________,由②解得_____________。
在數(shù)軸上表示就是________________。
容易看出:x的取值范圍是____________________。
這就是說,當木條c比____cm長并且比____cm短時,它能與木條a和b一起釘成三角形木框。
問題2由上面的解不等式組的過程用自己的語言歸納出一元一次不等式組的.解法。
全班同學可獨立作業(yè),也可分組自由討論,10分鐘后交流成果,逐步得出結(jié)論。
二、思考探究,獲取新知
思考什么叫一元一次不等式組,什么叫一元一次不等式組的解集,什么叫解不等式組?
1、定義:
(1)一元一次不等式組:幾個含有相同未知數(shù)的一元一次不等式合起來組成一個一元一次不等式組。
(2)一元一次不等式組的解集:幾個不等式的解集的公共部分,叫做由它們所組成的不等式的解集。
(3)解不等式組:求一元一次不等式組的解集的過程叫解一元一次不等式組。
2、一元一次不等式組的解法:
(1)求出每個一元一次不等式的解集。
(2)求出這些解集的公共部分,便得到一元一次不等式組的解集。
不等式課件 篇9
本節(jié)教學的重點是不等式的解集的概念及在數(shù)軸上表示不等式的解集的方法.難點為不等式的解集的概念.
相同點:定義方式相同(使方程成立的未知數(shù)的值,叫做方程的解);解的表示方法也相同.
不同點:解的個數(shù)不同,一般地,一個不等式有無數(shù)多個解,而一個方程只有一個或幾個解,例如, 能使不等式 成立,那么 是不等式的一個解,類似地 等也能使不等式 成立,它們都是不等式 的解,事實上,當 取大于 的數(shù)時,不等式 都成立,所以不等式 有無數(shù)多個解.
不等式的解與不等式的解集是兩個不同的概念,不等式的解是指滿足這個不等式的未知數(shù)的某個值,而不等式的解集,是指滿足這個不等式的未知數(shù)的所有的值,不等式的所有解組成了解集,解集中包括了每一個解.
注意:不等式的解集必須滿足兩個條件:第一,解集中的任何一個數(shù)值,都能使不等式成立;第二,解集外的任何一個數(shù)值,都不能使不等式成立.
一般地,一個含未知數(shù)的不等式有無數(shù)多個解,其解集是某個范圍,這個范圍可用一個最簡單的不等式表示出來,例如,不等式 的解集是 .
如不等式 的解集 ,可以用數(shù)軸上表示4的點的左邊部分表示,因為 包含 ,所以在表示4的點上畫實心圓.
如不等式 的解集 ,可以用數(shù)軸上表示4的點的左邊部分表示,因為 包含 ,所以在表示4的點上畫實心圈.
注意:在數(shù)軸上,右邊的點表示的數(shù)總比左邊的點表示的數(shù)大,所以在數(shù)軸上表示不等式的解集時應(yīng)牢記:大于向右畫,小于向左畫;有等號的畫實心圓點,無等號的畫空心圓圈.
1.使學生了解不等式的解集、解不等式的概念,會在數(shù)軸上表示出不等式的解集.
2.知道不等式的“解集”與方程“解”的不同點.
通過教學,使學生能夠正確地在數(shù)軸上表示出不等式的解集,并且能把數(shù)軸上的某部分數(shù)集用相應(yīng)的不等式表示.
通過講解不等式的“解集”與方程“解”的關(guān)系,向?qū)W生滲透對立統(tǒng)一的辯證觀點.
通過本節(jié)課的學習,讓學生了解不等式的解集可利用圖形來表達,滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學美.
2.學生學法:明確不等式的解與解集的區(qū)別和聯(lián)系,并能熟練地用數(shù)軸表示不等式的解集,在數(shù)軸上表示不等式的解集時,要特別注意:大于向右畫,小于向左畫;有等號的畫實心圓點,無等號的畫空心圓圈.
不等式課件 篇10
1.了解不等式及一元一次不等式概念。
2.理解不等式的解、解集,能正確表示不等式的解集。
通過類比等式的對應(yīng)知識,探索不等式的概念和解,體會不等式與等式的異同,初步掌握類比的思想方法。
1.經(jīng)歷把實際問題抽象為不等式的過程,能夠列出不等關(guān)系式。
2.初步體會不等式(組)是刻畫現(xiàn)實世界中不等關(guān)系的一種有效數(shù)學模型,培養(yǎng)學生的建模意識。
通過對不等式概念及其解集等有關(guān)概念的探索,培養(yǎng)學生的知識遷移能力和建模意識,加強同學之間的使用與交流。
活動一:
感知不等關(guān)系,了解不等式的概念。
通過實例,讓學生認識到不等關(guān)系在生活中的存在,通過問題的解答,讓學生了解不等式的概念,體會不等式是解決實際問題的有效工具。
活動二:
通過類比方程,繼續(xù)探索出不等式的解、解集及其表示方法。
通過解決上個環(huán)節(jié)的問題,得出不等式的解,再引導學生觀察解的特點,探索出解集的兩種表示方法(符號表示、數(shù)軸表示),并且培養(yǎng)學生用估算方法求解集的技能。
活動三:
繼續(xù)探索,歸納出一元一次不等式的意義。
針對所學的不等式,讓學生歸納出特點,得到一元一次不等式的概念,并對概念進行辨析。
運用本節(jié)所學的知識,解決實際問題,使學生經(jīng)歷將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題,再加以解決的過程,實現(xiàn)對所學知識的鞏固和深化。
讓學生通過自我反思和互相質(zhì)疑提問,歸納總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容,交流在概念、解及解集學習中的心得和體會,不斷積累數(shù)學活動經(jīng)驗,教師應(yīng)主動參與學生小結(jié)中,作好引導工作,布置好作業(yè),并作及時反饋。
小強準備隨父母乘車去武當山春游。
⑴在車上看到兒童買票所需的測身高標識線。
①x滿足______時,他可免票。
②x滿足______時,他該買全票。
⑵已知襄樊與武當山的距離為150千米,他們上午10點鐘從襄樊出發(fā),汽車勻速行駛。
①若該車計劃中午12點準時到達武當山,車速應(yīng)滿足什么條件?
②若該車實際上在中午12點之前已到達武當山,車速應(yīng)滿足什么條件?
用不等式表示:
⑴a是正數(shù);⑵a是負數(shù);⑶a與5的和小于7;⑷a與2的差大于-1;
⑸a的4倍大于8;
⑹a的一半小于3。
學生回答①這兩個由實際生活情境設(shè)置的問題,應(yīng)非常容易.問題②相對①難度加大了,難在題意中的條件不象上面那樣直接明了,并且可從距離和時間兩個角度來分析、解決問題,而七年級學生恰恰缺乏閱讀分析題意、多維度思考解決問題的能力,所以采用小組討論交流的形式解決問題②
學生討論角度估計大都集中在距離這一角度,教師可深入小組討論中,認真聽聽同學們的思路,應(yīng)鼓勵學生多發(fā)表意見,并適當點撥,直到得出兩種不等式。
此次活動中,教師應(yīng)重點關(guān)注:討論要有足夠的時間和空間,學生在小組討論交流時,是否敢于發(fā)表自己的想法。
再給出不等式概念:
像前面式子一樣用“>”或“
教師可要求學生舉出一些表示大小的式子,學生舉出的不等式中,可能會有一些不含未知數(shù)的,如5>3等。教師此時應(yīng)總結(jié):不等式中可含有未知數(shù),也可不含未知數(shù)。
教師根據(jù)學生舉例給出表示不等關(guān)系的第三種符號“≠”,并強調(diào):像前面式子一樣用“≠”表示不等關(guān)系的式子也是不等式。
鞏固練習是讓學生用不等式來刻畫題中6個簡單的不等關(guān)系。學生得出答案并不難,所以該環(huán)節(jié)讓學生獨立完成、互相評價,教師可深入到學生的解題過程中,觀察指導學生的解題思路,傾聽學生的評價。
問題1在課本中起導入新課作用,考慮學生實際情況(分析應(yīng)用題能力尚欠缺)和題目難度,所以設(shè)置問題串,降低難度。這樣編排教材我認為更能體現(xiàn)知識呈現(xiàn)的序列性,從易到難,讓學生“列不等式”能力實現(xiàn)螺旋上升。
問題3作用僅僅起鞏固上面所學的知識,所以采用書中的一組習題,讓學生獨立完成,進一步培養(yǎng)學生列不等式能力。
采用學生熟悉的生活情境作為導入內(nèi)容,然后層層推進,步步設(shè)問,環(huán)環(huán)相扣,直至推出不等式的概念及概念理解中應(yīng)注意的地方。這樣實現(xiàn)了:讓學生從已有的數(shù)學經(jīng)驗出發(fā),從生活中建構(gòu)數(shù)學模型,為后面利用“不等式”這一模型解決生活中實際問題作好鋪墊,體現(xiàn)了數(shù)學生活化、生活
不等式課件 篇11
1、一元一次不等式的概念:一般地,不等式中只含有一個未知數(shù),未知數(shù)的次數(shù)是1,且不等式的兩邊都是整式,這樣的不等式叫做一元一次不等式。
2、解一元一次不等式的一般步驟:(1)去分母(2)去括號(3)移項(4)合并同類項(5)將x項的系數(shù)化為1
1、一元一次不等式組的概念:幾個一元一次不等式合在一起,就組成了一個一元一次不等式組。
2、幾個一元一次不等式的解集的公共部分,叫做它們所組成的一元一次不等式組的解集。
3、求不等式組的解集的過程,叫做解不等式組。
4、當任何數(shù)x都不能使不等式同時成立,我們就說這個不等式組無解或其解為空集。
3、代數(shù)式1-m的值大于-1,又不大于3,則m的取值范圍是( )
A.x≥1 B.x≥-1/2 C.x>1 D.x>-1/2
A.5+4>8 B.2x-1 C.2x-5≤1 D.1/x-3x≥0
A. a>0? B.a≥0? C.a
11、若關(guān)于x的不等式組 的解集是x>2a,則a的取值范圍是
A. a>4 B. a>2 C. a=2 D.a≥2
12、若方程組 中,若未知數(shù)x、y滿足x+y>0,則m的取值范圍是
13、不等式2(1) x>-3的解集是 。
14、用代數(shù)式表示,比x的5倍大1的數(shù)不小于x的 與4的差 。
15、若(m-3)x-1,則m .
18、某次個人象棋賽規(guī)定:贏一局得2分,平一局得0分,負一局得反扣1分。在12局比賽中,積分超過15分就可以晉升下一輪比賽,小王進入了下一輪比賽,而且在全部12輪比賽中,沒有出現(xiàn)平局,問小王最多輸 局比賽
1、定義:把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180°,如果它能夠與另一個圖形重合,那么就說這兩個圖形關(guān)于這個點對稱或中心對稱,這個點叫做對稱中心.這兩個圖形中的對應(yīng)點叫做關(guān)于中心的對稱點。
2、心對稱的兩條基本性質(zhì):
(1)關(guān)于中心對稱的兩個圖形,對稱點所連線段都經(jīng)過對稱中心,而且被對稱中心所平分。
(2)關(guān)于中心對稱的兩個圖形是全等圖形。
把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180°,如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合,那么這個圖形叫做中心對稱圖形,這個點就是它的對稱中心。
每上第一次課,我所講的課程內(nèi)容都和學生的錯題有關(guān)。我通常把試卷中的錯題摘抄出幾個典型題,作為課堂的例題再講一遍。而學生的反應(yīng),或是像沒有見過,或是對題目非常熟悉,但沒有思路。
這些現(xiàn)象的發(fā)生,都是學生沒有及時總結(jié)的原因。所以第一次課后我都建議我的學生做一個錯題本,像寫日記一樣,記錄下自己的錯題和感想。
成也審題敗也審題。如何審題呢?
(1)這個題目有哪些個已知條件?我能不能把已知條件分開?
(2)求解的目標是什么?對求解有什么要求?
(3)能不能畫一個圖幫助思考?好多問題是沒有看清楚題意致錯。審題不清,你做得越多,可能錯的就越多。
(4)所給出的已知條件相互之間有什么關(guān)系?能不能從中發(fā)現(xiàn)隱含條件?
(5)已知條件與求解目標有什么聯(lián)系?能不能從中獲得解題的思路?找到進門的門檻?
不等式課件 篇12
1.使學生感受到生活中存在著大量的不等關(guān)系,了解不等式和一元一次不等式的意義;
2.讓學生自發(fā)地尋找不等式的解,會在數(shù)軸上正確地表示出不等式的解集;
3.能夠根據(jù)題意準確迅速地列出相應(yīng)的不等式。
1.通過汽車行駛過a地這一實例的研究,使學生體會到數(shù)學來源于生活,又服務(wù)于生活,培養(yǎng)學生“學數(shù)學、用數(shù)學”的意識;
2.經(jīng)歷由具體實例建立不等模型的過程,探究不等式的解與解集的不同意義的過程,滲透數(shù)形結(jié)合的思想。
㈢情感、態(tài)度、價值觀:
1.通過對不等式、不等式的解與解集的探究,引導學生在獨立思考的基礎(chǔ)上積極參與對數(shù)學問題的討論,培養(yǎng)他們的合作交流意識;
2.讓學生充分體會到生活中處處有數(shù)學,并能將它們應(yīng)用到生活的各個領(lǐng)域中去。
3.培養(yǎng)學生類比的思想方法、數(shù)形結(jié)合的思想。
1.教學重點:不等式、一元一次不等式、不等式解與解集的意義;在數(shù)軸上正確地表示出不等式的解集;
2.教學難點:不等式解集的意義,根據(jù)題意列出相應(yīng)的不等式。
計算機、自制cai課件、實物投影儀、三角板等。
教師創(chuàng)設(shè)情境引入,學生交流探討;師生共同歸納;教師示范畫圖,課件交互式練習。
〖創(chuàng)設(shè)情境——從生活走向數(shù)學〗
[多媒體展示]“五·一黃金周”快要到了,蕪湖市某兩個商場為了促銷商品,推行以下促銷方案:①甲商場:購物不超過50元者,不優(yōu)惠;超過50元的,超過部分折優(yōu)惠。②乙商場:購物不超過100元者,不優(yōu)惠;超過100元的,超過部分九折優(yōu)惠。親愛的同學,如果五·一期間,你去購物,選擇到哪個商場,才比較合算呢?
(以上教學內(nèi)容是向?qū)W生設(shè)疑,激發(fā)學生探索問題、研究問題的積極性,可以讓學生討論一會兒)
教師:要想正確地解決這個問題,我們大家就要學習第九章《不等式和不等式組》,學完本章的內(nèi)容后,我相信,聰明的你們一定都會作出正確的選擇,真正地做到既經(jīng)濟又實惠。
首先,我們來共同學習本章的第一節(jié)課——9.1.1節(jié)《不等式及其解集》
〖新課學習〗
學習目標:
1.能感受到生活中存在著大量的不等關(guān)系,了解不等式和一元一次不等式和意義;
2.會尋找不等式的解,會在數(shù)軸上正確地表示出不等式的解集;
3.能夠根據(jù)題意準確迅速地列出相應(yīng)的不等式。
[多媒體展示一段動畫]:引例:一輛勻速行駛的汽車在11:20距離a地50千米,要在12:00之前駛過a地,車速應(yīng)滿足什么條件?
設(shè)車速是x千米/小時,
(1)從時間上看,汽車要在12:00之前駛過a地,則以這個速度行駛50千米所用的時間不到 小時,即
(2)從路程上看,汽車要在12:00之前駛過a地,則以這個速度行駛 小時的路程要超過50千米,即
請同學們觀察上面的兩個式子,式子左右兩邊的大小關(guān)系是怎樣的? 左右兩邊相等嗎?
在學生充分發(fā)表自己意見的基礎(chǔ)上,師生共同歸納得出:
用“>”或“<”號表示大小關(guān)系的式子叫做不等式;
用“≠”表示不等關(guān)系的式子也是不等式。
判斷下列式子中哪些是不等式,是不等式的請在題后的括號內(nèi)劃“√”,不是的請劃“×”
(1)3> 2????? (???? ) (2)2a+1> 0?? (???? )?? (3)a+b=b+a? (???? )
(4)x< 2x+1?? (???? )???? (5)x=2x-5??? (???? ) (6)2x+4x< 3x+1 (???? )????????? (7)15≠7+9? (???? )
上面的不等式中,有些不含未知數(shù),有些含有未知數(shù),大家把(2)、(4)、(6)式與(5)式類比,(5)式是一個一元一次方程,能不能給(2)、(4)、(6)式也起個名字呢?
含有一個未知數(shù), 未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式,叫做一元一次不等式.
問題2:車速可以是78千米/小時嗎?75千米/小時呢? 72千米/小時呢?
問題3:我們曾經(jīng)學過“使方程兩邊相等的未知數(shù)的值就是方程的解”,那么我們可以把使不等式成立的未知數(shù)的值叫做什么呢?
(師生共同歸納)使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解。
2.課堂練習二——動一動腦,動一動手,你一定能算得對。
76, 73, 79, 80, 74.9, 75.1, 90, 60
(學生做完后,師問):你還能找出這個不等式的其他的解嗎?這個不等式有多少個解?你從中發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?
(學生討論后,師生共同總結(jié)):當x>75時,不等式 x>50總成立;而當x<75或x=75時,不等式 x>50不成立,這就是說,任何一個大于75的數(shù)都是不等式 x>50的解,這樣的解有無數(shù)個。因此,x>75表示了能使不等式 x>50成立的x的取值范圍,叫做不等式 x>50的解的集合,簡稱解集。
我們再回到前面的問題,經(jīng)過剛才的分析,可以知道,要使汽車在12:00之前駛過a地,車速必須大于75千米/小時。
一個含有未知數(shù)的不等式的所有的解,組成了這個不等式的解集。
4.在數(shù)軸上表示不等式的解集;
注意:在表示75的點上畫空心圓圈,表示不包括這一點.
5.課堂練習三——動一動腦,動一動手,你一定能算得對。
判斷下列數(shù)中哪些是不等式x+3>6的解? 哪些不是?
-4, -2.5,? 0,? 1,? 2.5,? 3,? 3.2,? 4.8,? 8,? 12
求不等式的解集的過程叫做解不等式。
7.課堂練習四——看誰算得最快最準。
直接想出不等式的解集,并在數(shù)軸上表示出不等式的解集:
(1) x+3>6;??????? (2)2x<8;?? ?(3)x-2>0
解:(1)x>3;???????? (2)x<4;??? (3)x>2。
1.例用不等式表示:
(1)x與1的和是正數(shù);??????(2)的與的的差是負數(shù);
(3)的2倍與1的和大于3;(4)的一半與4的差小于的3倍.
解:(1)x+1>0;???????? (2)+b<0;
(3)2+1>3;????? (4)-4<3;
2.課堂練習五——看誰最列得又快又準。
用不等式表示:
(1)是正數(shù);??????????(2)是負數(shù);
(3)與5的和小于7;??(4)與2的差大于-1;
(5)的4倍大于8;??????(6)的一半小于3.
答案;(1)>0;??????? (2)<0;?? (3)+5>0;
學生小結(jié),師生共同完善:
2.會尋找不等式的解,會在數(shù)軸上正確地表示出不等式的解集;
3.能夠根據(jù)題意準確迅速地列出相應(yīng)的不等式。
不等式課件 篇13
教學重點:掌握不等式的三條基本性質(zhì),尤其是不等式的基本性質(zhì)3.
教學難點:正確應(yīng)用不等式的三條基本性質(zhì)進行不等式變形.
通過觀察、分析、討論,引導學生歸納總結(jié)出不等式的三條基本性質(zhì),從具體上升到理論,再由理論指導具體的練習,從而強化學生對知識的理解與掌握.
(設(shè)計說明:設(shè)置以下習題是為了溫故而知新,為學習本節(jié)內(nèi)容提供必要的知識準備.)
2、什么是不等式?
3、用“>”或“<”填空.
(教學說明: 復習等式的基本性質(zhì)后學生自然會聯(lián)想到,不等式是否有與等式相類似的性質(zhì),從而引起學生的探究欲望.接著問題3為學生探究不等式的性質(zhì)提供了載體,通過觀察,尋找規(guī)律,得出不等式的性質(zhì).)
先讓學生獨立思考,后合作交流,通過充分討論,類比等式性質(zhì)得出不等式的性質(zhì).
觀察時,引導學生注意不等號的方向,通過(1)題學生容易得出不等式性質(zhì)1:
不等式基本性質(zhì)1 不等式兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子),不等號的方向不變.
比較(2)、(3)題,注意觀察不等號方向,并思考不等號方向的改變與什么有關(guān)?由學生概括總結(jié),教師補充完善得出:
不等式基本性質(zhì)2 不等式兩邊乘(或除以)同一個不為零的正數(shù),不等號的方向不變.
不等式基本性質(zhì)3 不等式兩邊乘(或除以)同一個不為零的負數(shù),不等號的方向改變.
通過PPT用圖形演示不等式的基本性質(zhì),讓學生更加清楚地認識不等式的基本性質(zhì)。
不等式有傳遞性嗎?
【學生通過討論能夠比較容易得出結(jié)論:不等式有對稱性,但要注意其不等號方向的`變化;不等式也有傳遞性,但要注意的是同向傳遞性?!?/p>
三、鞏固訓練,熟練技能:
1、(1) a - 3____b - 3;
(3) 0.1a____0.1b;
(5) 2a+3____2b+3;
【本題目采用提問的方式,因為內(nèi)容相對簡單,所以可以迅速得到結(jié)論。要讓提問者說清楚答案,并說明利用不等式的性質(zhì)幾來進行判定的?!?/p>
(1)因為7.5>5.7,所以-7.5<-5.7;
(2)因為a+8>4,所以a>-4;
(3)因為4a>4b,所以a>b;
(4)因為-1>-2,所以-a-1>-a-2;
(5)因為3>2,所以3a>2a.
【學生口答,并說明為什么。本題重點是第5小題,要引導學生總結(jié)出a的取值會影響到答案。當a>0時,3a>2a.(不等式基本性質(zhì)2)
當 a=0時,3a=2a.當a<0時,3a<2a.(不等式基本性質(zhì)3) 】
學生自己完成以下題目,之后進行集體講解。
(1)如果x-5>-1,那么______________________,得:x>4
(2)如果-2x>3,那么那么______________________,得X=______
師生共同小結(jié)本節(jié)課所學重點,不等式的基本性質(zhì)的具體內(nèi)容。
不等式課件 篇14
基本不等式是數(shù)學中重要的一個概念,它與不等式的證明和應(yīng)用有著密切的關(guān)系?;静坏仁降慕夥ê退季S方法不僅能讓我們更好地掌握不等式的性質(zhì)和應(yīng)用,同時也能讓我們更好地解決數(shù)學中的其他問題。下面,讓我們就基本不等式這一主題展開更加深入的探討。
一、基本不等式的定義、證明和性質(zhì)
基本不等式定義:對于任意實數(shù)$x$,$y$,有$(x^2+y^2)\geq 2xy$,等號成立當且僅當$x=y$時成立。
基本不等式的證明:我們可以通過平方展開和配方進行證明,即:
$(x-y)^2\geq 0$
$x^2-2xy+y^2\geq 0$
$x^2+y^2\geq 2xy$
證畢。
基本不等式的性質(zhì):基本不等式可以用于求證其他不等式和解決實際問題,例如可以用基本不等式證明算術(shù)平均數(shù)$\ge$幾何平均數(shù),可以用基本不等式求證要想最小化一個多項式,需要使其中的各項等于彼此等于基本不等式中的相等值等。
二、基本不等式的應(yīng)用及相關(guān)例題
基本不等式的應(yīng)用廣泛,其中最常見的應(yīng)用就是在證明和求解不等式問題中。下面,我們就通過例題來展示基本不等式的具體應(yīng)用。
例題一:
已知$a,b,c$均為正實數(shù),求出$abc$與$\frac{(a+b+c)^3}{27}$的大小關(guān)系。
解:由于$a,b,c$均為正實數(shù),故可運用基本不等式進行求解,即
$\begin{aligned}
\frac{(a+b+c)}{3}\geq\sqrt[3]{abc}\\
(a+b+c)^3\geq 27abc
\end{aligned}$
因此,
$\frac{(a+b+c)^3}{27}\geq abc$
即$\frac{(a+b+c)^3}{27}\geq abc$
得證。
例題二:
已知$a+b=3$,$a^2+b^2=5$,求出$a,b$的大小關(guān)系。
解:由已知條件可得$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$,即
$9=5+2ab$
$ab=\frac{4}{3}$
由基本不等式知得
$2ab=\frac{8}{3}\leq a^2+b^2=5$
即$a^2+b^2>2ab$,因此$a^2>b^2$,
又因為$a+b=3$,所以$b=3-a$,
所以$(3-a)^2
$9+a^2-6a
$a>\frac{3}{2}$
因此,
$a>b>\frac{3}{2}-a$
即$0
例題三:
已知$a,b,c>0$,求證$\frac{(a+b)^2}{c}+\frac{(b+c)^2}{a}+\frac{(c+a)^2}\geq 12(a+b+c)$
解:由基本不等式得
$(a+b)^2\geq 4ab,(b+c)^2\geq 4bc,(c+a)^2\geq 4ac$
將以上三個式子代入原式變化得
$\frac{4ab}{c}+\frac{4bc}{a}+\frac{4ac}\geq 12(a+b+c)$
即$4(ab^2+bc^2+ca^2)\geq 12abc(a+b+c)$
即$(ab^2+bc^2+ca^2)\geq 3abc$
由于$a,b,c>0$,故得證。
三、基本不等式的擴展
除了基本不等式外,還有一些基本不等式的擴展形式,例如平均值不等式和柯西施瓦茲不等式等。這些擴展形式大大豐富了不等式的證明和應(yīng)用,并為數(shù)學研究提供了更加廣泛的空間。下面,我們就來簡單介紹一下平均值不等式和柯西施瓦茲不等式的相關(guān)內(nèi)容。
平均值不等式:對于$n$個非負實數(shù)$x_1,x_2,\cdots,x_n$,有
$\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\geq\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}$
其中等號成立當且僅當$x_1=x_2=\cdots=x_n$時成立。
柯西施瓦茲不等式:對于任意實數(shù)$x_1,x_2,\cdots,x_n$和$y_1,y_2,\cdots,y_n$,有
$(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)(y_1^2+y_2^2+\cdots+y_n^2)\geq(x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n)^2$
其中等號成立當且僅當$\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}=\cdots=\frac{x_n}{y_n}$時成立。
四、總結(jié)
綜上所述,基本不等式是數(shù)學中重要的一個概念,它與不等式的證明和應(yīng)用有著密切的關(guān)系。基本不等式的解法和思維方法不僅能讓我們更好地掌握不等式的性質(zhì)和應(yīng)用,同時也能讓我們更好地解決數(shù)學中的其他問題。在學習和應(yīng)用基本不等式時,我們還需掌握其相關(guān)的擴展形式,如平均值不等式和柯西施瓦茲不等式等。只有充分掌握了這些知識點,我們才能更加深入地理解并應(yīng)用不等式的知識。
不等式的課件收藏
經(jīng)驗時常告訴我們,做事要提前做好準備。在幼兒教育工作中,我們都有會準備一寫需要用到資料。資料包含著人類在社會實踐,科學實驗和研究過程中所匯集的經(jīng)驗。有了資料的協(xié)助我們的工作會變得更加順利!所以,關(guān)于幼師資料你究竟了解多少呢?小編現(xiàn)在推薦你閱讀一下不等式的課件收藏,相信能對大家有所幫助。
不等式的課件 篇1
基本不等式是初中數(shù)學比較重要的一個概念,對于求解不等式問題有非常大的作用。在教學中,老師可以通過多學示例,呈現(xiàn)形式多樣,讓學生深刻理解基本不等式的本質(zhì)和應(yīng)用,使學生在解決實際問題中靈活掌握相關(guān)知識。本文將結(jié)合基本不等式的定義、性質(zhì)和應(yīng)用,探討其相關(guān)主題。
一、基本不等式的定義和性質(zhì)
基本不等式是在解決實際問題時常用到的一種數(shù)學方法,它可以有效地幫助我們解決很多實際問題。在數(shù)學中,一般把基本不等式定義為,對于任何正整數(shù)a和b,有下列不等關(guān)系:
(a+b)^2>=4ab
這個不等式在初中數(shù)學中非常重要,我們還可以把它解釋成下面的形式:對于任何兩個正數(shù)a和b,有下列不等式:
a/b+b/a>=2
這個式子實際上就是基本不等式的一個特例,也說明了基本不等式中的a和b可以指任何兩個正數(shù)。
基本不等式的一些性質(zhì):
1、兩邊同時乘以正數(shù)或是開根號(即不改變不等關(guān)系的實質(zhì))是允許的。
2、當a=b時等號成立。
3、當a不等于b時,不等號成立。
這些性質(zhì)是我們用基本不等式時需要注意的幾個關(guān)鍵點。如果我們了解了這些基本的性質(zhì),就可以更加靈活地運用基本不等式解決實際問題。
二、基本不等式的應(yīng)用
基本不等式的應(yīng)用非常廣泛,例如可以用它來解決以下問題:
1、證明
√(a^2+b^2)>=a/√2+b/√2
這個問題就可以使用基本不等式來證明,首先得到(a+b)^2>=2(a^2+b^2),將式子化簡可得√(a^2+b^2)>=a/√2+b/√2,這就是想要證明的結(jié)論。
2、解決一些最值問題。例如:如何使a+b的值最???這個問題可以用基本不等式來解決,我們設(shè)a+b=k,那么a+b的平方就是k^2,代入基本不等式中可得出:
k^2>=4ab,即(a+b)^2>=4ab
這個不等式右邊是4ab,左邊則是(a+b)^2,因此a+b的值取得最小值時,應(yīng)當使(a+b)^2=4ab,所以a=b,因此a+b的最小值就是2a或是2b。
3、證明一些平方和不等式的結(jié)論。例如:
(a/b)^2+(b/a)^2>=2
這個問題可以通過基本不等式進行證明,首先我們設(shè)x=a/b,y=b/a,很顯然有x+y>=2,然后通過簡單的運算可得:x^2+y^2>=2,也即(a/b)^2+(b/a)^2>=2。
綜上所述,基本不等式作為初中數(shù)學比較重要的一部分,其定義、性質(zhì)和應(yīng)用都與實際問題密切相關(guān)。在解決實際問題時,我們可以通過多學示例,靈活運用基本不等式的性質(zhì)和應(yīng)用,進而更好地理解其本質(zhì)和應(yīng)用,從而使初中數(shù)學知識更加牢固。
不等式的課件 篇2
(1)運用問題的形式幫助學生整理全章的內(nèi)容,建立知識體系。
(2)在獨立思考的基礎(chǔ)上,鼓勵學生開展小組和全班的交流,使學生通過交流和反思加強對所學知識的理解和掌握,并逐步建立知識體系。
通過問題情境的設(shè)立,使學生再現(xiàn)已學知識,鍛煉抽象、概括的能力。解決問題
通過具體問題來體會知識間的聯(lián)系和學習本章所采用的主要思想方法。
通過獨立思考獲取學習的成功體驗,通過小組交流培養(yǎng)合作交流意識,通過大膽發(fā)表自己的觀點,增強自信心。
重點:對一元一次不等式基本性質(zhì)的掌握;理解不等式(組)解及解集的含義,會解簡單的一元一不等式(組),并會在數(shù)軸上表示其解集;會解相關(guān)的問題,建立起相關(guān)的知識體系。
不等式有哪些基本性質(zhì)?它與等式的性質(zhì)有什么相同和不同之處?
解一元一次不等式和解一元一次方程有什么異同?引導學生回憶解一元一次方程的步驟.比較兩者之間的不同學生舉例回答.
舉例說明在數(shù)軸上如何表示一元一不等式(組)的解集分組競賽.看哪一組出的題型好,全班一起解答.
舉例說明不等式、函數(shù)、方程的聯(lián)系.引導學生回憶函數(shù)的有關(guān)內(nèi)容.舉例說明三者之間的關(guān)系.小組討論,合作回答.函數(shù)性質(zhì)、圖象
小組交流、討論不等式和函數(shù)、函數(shù)和方程等之間的關(guān)系,分別舉例說明.
布置作業(yè)開動腦筋,勇于表達自己的'想法.
(1)在運用所學知識解決具體問題的同時,加深對全章知識體系理解。
(2)發(fā)展學生抽象能力、推理能力和有條理表達自己想法的能力.
教學思考:
體會數(shù)學的應(yīng)用價值,并學會在解決問題過程中與他人合作.解決問題。在獨立思考的基礎(chǔ)上,積極參與問題的討論,從交流中學習,并敢于發(fā)表自己的觀點和主張,同時尊重與理解別人的觀點。
情感態(tài)度與價值觀:
進一步嘗試學習數(shù)學的成功體驗,認識到不等式是解決實際問題的重要工具,逐漸形成對數(shù)學活動積極參與的意識。
重點:
對一元一次不等式基本性質(zhì)的掌握;理解不等式(組)解及解集的含義,會解簡單的一元一次不等式(組),并會在數(shù)軸上表示其解集;會解相關(guān)的問題,建立起相關(guān)的知識體系。
↓ ↓
安排一組練習讓學生充分充分討論解決.
(1)當X取何值時,Y>0(2)當X取何值時,Y=0(3)當X取何值時,Y
3.某工人制造機器零件,如果每天比預(yù)定多做一件,那么8天所做零件超過100件;如果每天比預(yù)定少做一件,那么8天所做零件不到90件,這個工人預(yù)定每天做幾個零件?
不等式的課件 篇3
一元二次不等式是高中數(shù)學中的一個重要概念,是指一個帶有二次項的不等式。在數(shù)學學習中,我們經(jīng)常需要利用二次不等式來解決問題,掌握這個概念對于深入了解高中數(shù)學知識是至關(guān)重要的。因此,學習一元二次不等式是高中數(shù)學學習中的一大難點,需要認真對待。
一元二次不等式的概念和性質(zhì)
一元二次不等式可以寫成如下形式:
ax2 + bx + c > 0
或
ax2 + bx + c
其中a、b、c都是實數(shù),a ≠ 0。
我們可以通過一些方法求出不等式的根,比如將其轉(zhuǎn)化為標準形式。將不等式變形,我們可以得到如下形式:
ax2 + bx
或
ax2 + bx > – c
然后,我們再用求一元二次方程根的方法求出不等式的解,就能夠得到它的解集。
對于不等式ax2 + bx + c > 0,其圖像為二次函數(shù)的上凸形,即開口向上的拋物線,而對于不等式ax2 + bx + c
一元二次不等式的解法
解一元二次不等式的方法有很多,下面我們介紹其中的兩種:
方法一:化為標準形式,再利用求一元二次方程根的方法求解。
方法二:利用符號法將不等式中的式子化簡,得到一系列不等式,然后將這些不等式求解即可。
實際上,解一元二次不等式還有很多其他的方法,比如絕對值法、圖形法等等。在解題時,我們要根據(jù)具體的情況選擇最合適的方法來求解。
一元二次不等式的應(yīng)用
一元二次不等式廣泛應(yīng)用于數(shù)學學習以及生活中的各個領(lǐng)域,比如物理學、經(jīng)濟學、社會學等。下面我們以生活中的一個例子來說明一元二次不等式的應(yīng)用。
假設(shè)你要購買一臺電視機,商家提供了兩種方案供你選擇。方案一:首付1500元,每月還款100元;方案二:首付3500元,每月還款80元。那么,你需要比較兩個方案的總花費,來決定哪個方案更加劃算。
我們假設(shè)電視機的總價格為x元。那么,方案一的總花費為:
C1 = 1500 + 100×n
而方案二的總花費為:
C2 = 3500 + 80×n
這里n為分期的期數(shù),即你需要還款的總期數(shù)。為了比較兩種方案的劃算程度,我們可以列出一個一元二次不等式:
1500 + 100×n
經(jīng)過化簡,我們可以得到:
20n > 2000
n > 100
因此,當還款期數(shù)大于100期時,方案一比方案二更加劃算。這個例子很好地展示了一元二次不等式的應(yīng)用,它能夠幫助我們在日常生活中做出明智的選擇,也能夠更加深入地理解數(shù)學知識。
總結(jié)
一元二次不等式是高中數(shù)學學習中的重要概念,它在數(shù)學中和生活中都有廣泛的應(yīng)用。學習一元二次不等式需要我們認真對待,掌握其概念、性質(zhì)和解法,同時也需要我們理解其實際應(yīng)用,這樣才能夠更好地掌握高中數(shù)學的知識。
不等式的課件 篇4
本節(jié)課的研究是對初中不等式學習的延續(xù)和拓展,也是實數(shù)理論的進一步發(fā)展.在本節(jié)課的學習過程中,將讓學生回憶實數(shù)的基本理論,并能用實數(shù)的基本理論來比較兩個代數(shù)式的大小.
通過本節(jié)課的學習,讓學生從一系列的具體問題情境中,感受到在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系,并充分認識不等關(guān)系的存在與應(yīng)用.對不等關(guān)系的相關(guān)素材,用數(shù)學觀點進行觀察、歸納、抽象,完成量與量的比較過程.即能用不等式或不等式組把這些不等關(guān)系表示出來.
在本節(jié)課的學習過程中還安排了一些簡單的、學生易于處理的問題,其用意在于讓學生注意對數(shù)學知識和方法的應(yīng)用,同時也能激發(fā)學生的學習興趣,并由衷地產(chǎn)生用數(shù)學工具研究不等關(guān)系的愿望.根據(jù)本節(jié)課的教學內(nèi)容,應(yīng)用再現(xiàn)、回憶得出實數(shù)的基本理論,并能用實數(shù)的基本理論來比較兩個代數(shù)式的大小.
在本節(jié)教學中,教師可讓學生閱讀書中實例,充分利用數(shù)軸這一簡單的數(shù)形結(jié)合工具,直接用實數(shù)與數(shù)軸上點的一一對應(yīng)關(guān)系,從數(shù)與形兩方面建立實數(shù)的順序關(guān)系.要在溫故知新的基礎(chǔ)上提高學生對不等式的認識.
1.在學生了解不等式產(chǎn)生的實際背景下,利用數(shù)軸回憶實數(shù)的基本理論,理解實數(shù)的大小關(guān)系,理解實數(shù)大小與數(shù)軸上對應(yīng)點位置間的關(guān)系.
2.會用作差法判斷實數(shù)與代數(shù)式的大小,會用配方法判斷二次式的大小和范圍.
3.通過溫故知新,提高學生對不等式的認識,激發(fā)學生的學習興趣,體會數(shù)學的奧秘與數(shù)學的結(jié)構(gòu)美.
教學重點:比較實數(shù)與代數(shù)式的大小關(guān)系,判斷二次式的大小和范圍.
思路1.(章頭圖導入)通過多媒體展示衛(wèi)星、飛船和一幅山巒重疊起伏的壯觀畫面,它將學生帶入“橫看成嶺側(cè)成峰,遠近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中,使學生在具體情境中感受到不等關(guān)系在現(xiàn)實世界和日常生活中是大量存在的,由此產(chǎn)生用數(shù)學研究不等關(guān)系的強烈愿望,自然地引入新課.
思路2.(情境導入)列舉出學生身體的高矮、身體的輕重、距離學校路程的遠近、百米賽跑的時間、數(shù)學成績的多少等現(xiàn)實生活中學生身邊熟悉的事例,描述出某種客觀事物在數(shù)量上存在的不等關(guān)系.這些不等關(guān)系怎樣在數(shù)學上表示出來呢?讓學生自由地展開聯(lián)想,教師組織不等關(guān)系的相關(guān)素材,讓學生用數(shù)學的觀點進行觀察、歸納,使學生在具體情境中感受到不等關(guān)系與相等關(guān)系一樣,在現(xiàn)實世界和日常生活中大量存在著.這樣學生會由衷地產(chǎn)生用數(shù)學工具研究不等關(guān)系的愿望,從而進入進一步的探究學習,由此引入新課.
1回憶初中學過的不等式,讓學生說出“不等關(guān)系”與“不等式”的異同.怎樣利用不等式研究及表示不等關(guān)系?
2在現(xiàn)實世界和日常生活中,既有相等關(guān)系,又存在著大量的不等關(guān)系.你能舉出一些實際例子嗎?
3數(shù)軸上的任意兩點與對應(yīng)的兩實數(shù)具有怎樣的關(guān)系?
4任意兩個實數(shù)具有怎樣的關(guān)系?用邏輯用語怎樣表達這個關(guān)系?
活動:教師引導學生回憶初中學過的不等式概念,使學生明確“不等關(guān)系”與“不等式”的異同.不等關(guān)系強調(diào)的是關(guān)系,可用符號“>”“b”“a
教師與學生一起舉出我們?nèi)粘I钪胁坏汝P(guān)系的例子,可讓學生充分合作討論,使學生感受到現(xiàn)實世界中存在著大量的不等關(guān)系.在學生了解了一些不等式產(chǎn)生的實際背景的前提下,進一步學習不等式的有關(guān)內(nèi)容.
實例1:某天的天氣預(yù)報報道,最高氣溫32 ℃,最低氣溫26 ℃.
實例2:對于數(shù)軸上任意不同的兩點A、B,若點A在點B的左邊,則xA
實例5:三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊.
實例6:限速40 km/h的路標指示司機在前方路段行駛時,應(yīng)使汽車的速度v不超過40 km/h.
實例7:某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定,酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不少于2.5%,蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于2.3%.
教師進一步點撥:能夠發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學當然很好,這說明同學們已經(jīng)走進了數(shù)學這門學科,但作為我們研究數(shù)學的人來說,能用數(shù)學的眼光、數(shù)學的觀點進行觀察、歸納、抽象,完成這些量與量的比較過程,這是我們每個研究數(shù)學的人必須要做的,那么,我們可以用我們所研究過的什么知識來表示這些不等關(guān)系呢?學生很容易想到,用不等式或不等式組來表示這些不等關(guān)系.那么不等式就是用不等號將兩個代數(shù)式連結(jié)起來所成的式子.如-71+4,2x≤6,a+2≥0,3≠4,0≤5等.
教師引導學生將上述的7個實例用不等式表示出來.實例1,若用t表示某天的氣溫,則26 ℃≤t≤32 ℃.實例3,若用x表示一個非負數(shù),則x≥0.實例5,|AC|+|BC|>|AB|,如下圖.
|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.
|AB|-|BC|
實例6,若用v表示速度,則v≤40 km/h.實例7,f≥2.5%,p≥2.3%.對于實例7,教師應(yīng)點撥學生注意酸奶中的脂肪含量與蛋白質(zhì)含量需同時滿足,避免寫成f≥2.5%或p≥2.3%,這是不對的.但可表示為f≥2.5%且p≥2.3%.
對以上問題,教師讓學生輪流回答,再用投影儀給出課本上的兩個結(jié)論.
討論結(jié)果:
(1)(2)略;(3)數(shù)軸上任意兩點中,右邊點對應(yīng)的實數(shù)比左邊點對應(yīng)的實數(shù)大.
(4)對于任意兩個實數(shù)a和b,在a=b,a>b,a0a>b;a-b=0a=b;a-b
活動:通過兩例讓學生熟悉兩個代數(shù)式的大小比較的基本方法:作差,配方法.
點評:本節(jié)兩例的求解,是借助因式分解和應(yīng)用配方法完成的,這兩種方法是代數(shù)式變形時經(jīng)常使用的方法,應(yīng)讓學生熟練掌握.
1.若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,則f(x)與g(x)的大小關(guān)系是( )
解析:f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0,∴f(x)>g(x).
2.已知x≠0,比較(x2+1)2與x4+x2+1的大小.
解:由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.
∵x≠0,得x2>0.從而(x2+1)2>x4+x2+1.
例2比較下列各組數(shù)的大小(a≠b).
(1)a+b2與21a+1b(a>0,b>0);
(2)a4-b4與4a3(a-b).
活動:比較兩個實數(shù)的大小,常根據(jù)實數(shù)的運算性質(zhì)與大小順序的關(guān)系,歸結(jié)為判斷它們的差的符號來確定.本例可由學生獨立完成,但要點撥學生在最后的符號判斷說理中,要理由充分,不可忽略這點.
解:(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=a+b2-4ab2a+b=a-b22a+b.
∵a>0,b>0且a≠b,∴a+b>0,(a-b)2>0.∴a-b22a+b>0,即a+b2>21a+1b.
(2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)
=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]
=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2].
∵2a2+(a+b)2≥0(當且僅當a=b=0時取等號),
又a≠b,∴(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0.∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2]
∴a4-b4
點評:比較大小常用作差法,一般步驟是作差——變形——判斷符號.變形常用的手段是分解因式和配方,前者將“差”變?yōu)椤胺e”,后者將“差”化為一個或幾個完全平方式的“和”,也可兩者并用.
已知x>y,且y≠0,比較xy與1的大小.
活動:要比較任意兩個數(shù)或式的大小關(guān)系,只需確定它們的差與0的大小關(guān)系.
∵x>y,∴x-y>0.
當y
當y>0時,x-yy>0,即xy-1>0.∴xy>1.
點評:當字母y取不同范圍的值時,差xy-1的正負情況不同,所以需對y分類討論.
例3建筑設(shè)計規(guī)定,民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積.但按采光標準,窗戶面積與地板面積的比值應(yīng)不小于10%,且這個比值越大,住宅的采光條件越好.試問:同時增加相等的窗戶面積和地板面積,住宅的采光條件是變好了,還是變壞了?請說明理由.
活動:解題關(guān)鍵首先是把文字語言轉(zhuǎn)換成數(shù)學語言,然后比較前后比值的大小,采用作差法.
解:設(shè)住宅窗戶面積和地板面積分別為a、b,同時增加的面積為m,根據(jù)問題的要求a
由于a+mb+m-ab=mb-abb+m>0,于是a+mb+m>ab.又ab≥10%,
因此a+mb+m>ab≥10%.
所以同時增加相等的窗戶面積和地板面積后,住宅的采光條件變好了.
點評:一般地,設(shè)a、b為正實數(shù),且a0,則a+mb+m>ab.
已知a1,a2,…為各項都大于零的等比數(shù)列,公比q≠1,則( )
C.a1+a8=a4+a5 D.a1+a8與a4+a5大小不確定
解析:(a1+a8)-(a4+a5)=a1+a1q7-a1q3-a1q4
=a1[(1-q3)-q4(1-q3)]=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q)(1+q2).
∵{an}各項都大于零,∴q>0,即1+q>0.
又∵q≠1,∴(a1+a8)-(a4+a5)>0,即a1+a8>a4+a5.
1.下列不等式:①a2+3>2a;②a2+b2>2(a-b-1);③x2+y2>2xy.其中恒成立的不等式的個數(shù)為( )
2.比較2x2+5x+9與x2+5x+6的大小.
答案:
1.C解析:∵②a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,
③x2+y2-2xy=(x-y)2≥0.
∴只有①恒成立.
2.解:因為2x2+5x+9-(x2+5x+6)=x2+3>0,
所以2x2+5x+9>x2+5x+6.
1.教師與學生共同完成本節(jié)課的小結(jié),從實數(shù)的基本性質(zhì)的回顧,到兩個實數(shù)大小的比較方法;從例題的活動探究點評,到緊跟著的變式訓練,讓學生去繁就簡,聯(lián)系舊知,將本節(jié)課所學納入已有的知識體系中.
2.教師畫龍點睛,點撥利用實數(shù)的基本性質(zhì)對兩個實數(shù)大小比較時易錯的地方.鼓勵學有余力的學生對節(jié)末的思考與討論在課后作進一步的探究.
1.本節(jié)設(shè)計關(guān)注了教學方法的優(yōu)化.經(jīng)驗告訴我們:課堂上應(yīng)根據(jù)具體情況,選擇、設(shè)計最能體現(xiàn)教學規(guī)律的教學過程,不宜長期使用一種固定的教學方法,或原封不動地照搬一種實驗?zāi)J?各種教學方法中,沒有一種能很好地適應(yīng)一切教學活動.也就是說,世上沒有萬能的教學方法.針對個性,靈活變化,因材施教才是成功的施教靈藥.
2.本節(jié)設(shè)計注重了難度控制.不等式內(nèi)容應(yīng)用面廣,可以說與其他所有內(nèi)容都有交匯,歷來是高考的重點與熱點.作為本章開始,可以適當開闊一些,算作拋磚引玉,讓學生有個自由探究聯(lián)想的平臺,但不宜過多向外拓展,以免對學生產(chǎn)生負面影響.
3.本節(jié)設(shè)計關(guān)注了學生思維能力的訓練.訓練學生的思維能力,提升思維的品質(zhì),是數(shù)學教師直面的重要課題,也是中學數(shù)學教育的主線.采用一題多解有助于思維的發(fā)散性及靈活性,克服思維的僵化.變式訓練教學又可以拓展學生思維視野的廣度,解題后的點撥反思有助于學生思維批判性品質(zhì)的提升.
1.比較(x-3)2與(x-2)(x-4)的大小.
2.試判斷下列各對整式的大?。?1)m2-2m+5和-2m+5;(2)a2-4a+3和-4a+1.
5.設(shè)a>0,b>0,且a≠b,試比較aabb與abba的大小.
∴(x-3)2>(x-2)(x-4).
=m2.
∵m2≥0,∴(m2-2m+5)-(-2m+5)≥0.
∴m2-2m+5≥-2m+5.
=a2+2.
∵a2≥0,∴a2+2≥2>0.
∴a2-4a+3>-4a+1.
=x24,
又∵x>0,∴x24>0.
∴(1+x2)2>(1+x)2.
由x>0,得1+x2>1+x.
=(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]
=-2xy(x-y).
∵x0,x-y
∴-2xy(x-y)>0.
∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).
5.解:∵aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b,且a≠b,
當a>b>0時,ab>1,a-b>0,
則(ab)a-b>1,于是aabb>abba.
則(ab)a-b>1.
于是aabb>abb a.
綜上所述,對于不相等的正數(shù)a、b,都有aabb>abba.
不等式的課件 篇5
基本不等式是初中數(shù)學中重要的一章內(nèi)容,也是高中數(shù)學和競賽數(shù)學的基礎(chǔ)。基本不等式的學習不僅有助于提高學生的數(shù)學素養(yǎng)和解題能力,同時也能幫助他們提高邏輯思維能力。本文旨在探討“基本不等式”這一主題。
一、基本不等式的定義與性質(zhì)
基本不等式是說:對于正實數(shù)x1,x2,…,xn,有
(x1+x2+…+xn)/n≥√(x1x2…xn),當且僅當x1=x2=…=xn時等號成立。
基本不等式的性質(zhì)有以下幾條:
(1)當n為偶數(shù)時,等號成立;
(2)當n為奇數(shù)時,當且僅當所有數(shù)相等時等號成立;
(3)兩個數(shù)的平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù),即(a+b)/2≥√(ab),其中a,b均為正實數(shù)且a≠b;
(4)當n≥3時,三個數(shù)的平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù),即(a+b+c)/3≥√(abc),其中a,b,c均為正實數(shù)且a≠b≠c。
二、基本不等式的應(yīng)用
基本不等式作為一種重要的數(shù)學工具,可以應(yīng)用于眾多問題之中。以下是基本不等式的一些常見應(yīng)用。
1. 求和式的最小值
例題1:已知-x1+x2+x3+x4+x5=-18,其中x1,x2,x3,x4,x5均為正數(shù),并且x1+x2+x3+x4+x5≥5,則x1x2x3x4x5的最小值為多少?
解法:根據(jù)已知條件,設(shè)x1+x2+x3+x4+x5=5+m(其中m≥0),則有x1+x2+x3+x4+x5+m=5+2m。代入到基本不等式中可得:
(x1+x2+x3+x4+x5+m)/5≥√(x1x2x3x4x5)m/5≥√(x1x2x3x4x5)/5
移項得到x1x2x3x4x5≥1,則x1x2x3x4x5的最小值為1。
2. 比較函數(shù)大小
例題2:比較函數(shù)f(x)=√(a2+x2)+√(b2+(c-x)2)(a,b,c>0)在[0,c]上的最小和最大值。
解法:根據(jù)已知條件和基本不等式,將f(x)分解成兩個正數(shù)的平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的形式,即
f(x)=[√(a2+x2)+√(b2+(c-x)2)]/2+1/2[√(a2+x2)+√(b2+(c-x)2)]
≥√[(√(a2+x2)×√(b2+(c-x)2)]+1/2(2c)
=√(a2+b2+c2+ab-ac-bc)+c
當x=c/3時等號成立,即f(x)的最小值為√(a2+b2+c2+ab-ac-bc)+c,最大值為√(a2+b2+c2+ab+ac+bc)+c。
3. 求極限
例題3:已知數(shù)列{a_n}(n≥1)的通項公式為a_n=(√n+1)/(n+1),則求∑(n從1到∞)a_n的極限。
解法:根據(jù)基本不等式,有
a_1+a_2+…+a_n≥n(√(a_1a_2…a_n))^1/n
代入已知條件,可得:
a_1+a_2+…+a_n≥n[(√(1+1)×√(2+1)×…×√(n+1))/((1+1)×(2+1)×…×(n+1))]^(1/n)
= n[√(n+1)/2×1/3×…×1/(n+1)]^(1/n) =n[(n+1)/[2(n+1)]]^(1/n)
極限為1/2。
4. 求證不等式
例題4:已知a,b,c為正實數(shù),且a+b+c=1,證明∑(a/(1-a))≥3(a2+b2+c2)/(ab+bc+ca)。
解法:將不等式化簡,得:
∑(a/(1-a))≥3(a2+b2+c2)/(ab+bc+ca)
?(a/(1-a))+(b/(1-b))+(c/(1-c))≥3(a2+b2+c2)/(ab+bc+ca)
?(a/(1-a))+(b/(1-b))+(c/(1-c))≥3[(a+b+c)2-(ab+bc+ca)]/(ab+bc+ca)
由于a+b+c=1,有
(ab+bc+ca)≤a2+b2+c2,
(a/(1-a))+(b/(1-b))+(c/(1-c))≥(a+b+c)2/(a(1-a)+b(1-b)+c(1-c))≥3(a2+b2+c2)/(ab+bc+ca)
其中第一個不等式成立是因為當a=b=c=1/3時,等號成立;第二個不等式用到了基本不等式的形式。
綜上所述,基本不等式是數(shù)學中的重要概念,掌握了基本不等式的定義、性質(zhì)和應(yīng)用方法,將有助于提高人們的數(shù)學素養(yǎng)和解題能力。在日常生活和學習中,要重視基本不等式的學習和應(yīng)用,逐步提高自己的數(shù)學水平。
不等式的課件 篇6
學生初步接觸了一點代數(shù)知識(如用字母表示定律,用符號表示數(shù)),是在學生學習了用字母表示數(shù)以后基礎(chǔ)上進行學習。應(yīng)用方程是解決問題的基礎(chǔ),有關(guān)的幾個概念,教材只作描述不下定義。在教學設(shè)計中仍然把理念作為教學的重點,理解方程的意義,判斷“等式”和“方程”知道方程是一個“含有未知數(shù)的等式”,才有可能明確所謂解方程。
學生不夠活潑,學習積極性不是很高,學生數(shù)學基礎(chǔ)不好。方程對學生來說還是比較陌生的,在他們頭腦中還沒有過方程這樣的表象,所以授新課就要從學生原有的`基礎(chǔ)開始,因為在前面學習用字母表示數(shù)的這部分內(nèi)容時,有了基礎(chǔ),我想在學習簡易方程應(yīng)該沒什么大的問題。
1、使學生初步理解和辨析“等式”“不等式”的意義。
2、會按要求用方程表示出數(shù)量關(guān)系,
3、培養(yǎng)學生的觀察、比較、分析能力。
教學重點: 用字母表示常見的數(shù)量關(guān)系,會用方程的意義去判斷一個式子是否是方程。
教師介紹天平各部分名稱。讓學生操作當天平兩端托盤的物體的質(zhì)量相等時,天平就會平衡,指針指向中。根據(jù)這這個原理來稱物體的質(zhì)量。(讓學生操作,激發(fā)學生的興趣,借助實物演示的優(yōu)勢。初步感受平衡與不平衡的表象)
1、實物演示,引出方程:
(1)在天平稱出100克的左邊空杯,讓學生觀察是否平衡,感受1只空杯=100克。
(2)往空杯里倒入果汁,另一邊加100克法碼,問學生發(fā)現(xiàn)了什么? (讓學生感受天平慢慢傾斜,水是未知數(shù))引出100+X>200,往右加100克法碼, 問:哪邊重些?(學生初步感受平衡和不平衡的表象) 問:怎樣用式子表示?100+X<300
(3)教學100+X=250 問:如果是天平平衡怎么辦?(讓學生討論交流平衡的方案)把100克法碼換成50克的砝碼,這時會怎樣?(引導學生觀察這時天平出現(xiàn)平衡), 問:現(xiàn)在兩邊的質(zhì)量怎樣?現(xiàn)在水有多重知道嗎?如果用字母X表示怎樣用式子表示?得出:100+X=250
示題:100+X<250100+X=2504X+50>10040+40=80 X÷2=45X-12=27
請學生觀察合作交流分類:
(一)引出(1)兩邊不相等,叫做不等式。(2)兩邊相等叫做等式。
(2)含有未知數(shù)的等式100+X=250 X÷2=4 揭示:(2)這樣的含有未知數(shù)等式叫做方程(通過分類,培養(yǎng)學生對方程意義的了解) 問:方程的具備條件是什么?(感知必須是等式,而一定含有未知數(shù))你能寫出一些方程嗎?(同桌交流檢查)
(三)練習判斷那些是方程?那些不是方程?
6+2X=14103+X250÷2=1256+X>251÷A=3X+Y=180 (讓學生加深對方程的意義的認識,培養(yǎng)學生的判斷能力。)
教師:我們能夠判斷什么是方程了,方程和等式有很密切的關(guān)系,你能畫圖來表示他們的關(guān)系嗎?(小組合作討論交流)
方程 等式 (讓學生通過觀察、思考、分析、歸類,自主發(fā)現(xiàn)獲得對方程和等式的關(guān)系理解,同時初步滲透教學中的集合思想。)
不等式的課件 篇7
基本不等式作為高中數(shù)學必修內(nèi)容之一,在學生學習中扮演著極為重要的角色。本篇文章將圍繞基本不等式,探討它的概念、性質(zhì)、證明方法及應(yīng)用,并展示基本不等式的魅力和實用性。
一、基本不等式的概念
基本不等式是指對于任意正實數(shù) $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 和任意正整數(shù) $n$,有以下不等式成立:
$\dfrac{a_1}{n}+\dfrac{a_2}{n}+\cdots+\dfrac{a_n}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$
這個不等式也被稱為均值不等式或AM-GM不等式。其中,$\dfrac{a_1}{n}+\dfrac{a_2}{n}+\cdots+\dfrac{a_n}{n}$ 表示這些數(shù)的算術(shù)平均值,而 $\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$ 表示這些數(shù)的幾何平均值。均值不等式的意義在于,算術(shù)平均數(shù)大于等于幾何平均數(shù)。
二、基本不等式的性質(zhì)
基本不等式有以下幾個性質(zhì):
1. 當且僅當 $a_1=a_2=\cdots=a_n$ 時等號成立。
2. 如果 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 中至少有一個數(shù)為 $0$,則 $\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}=0$,這時等號成立。
3. 基本不等式可以擴展到實數(shù)范圍內(nèi)。
4. 均值不等式不等式對于大于 $0$ 的實數(shù)都成立。
三、基本不等式的證明方法
基本不等式有多種證明方法,下面列舉其中兩種:
方法一:數(shù)學歸納法
假設(shè)基本不等式對于 $n=k$ 時成立,即對于 $k$ 個正實數(shù) $a_1,a_2,\cdots,a_k$,有以下不等式成立:
$\dfrac{a_1}{k}+\dfrac{a_2}{k}+\cdots+\dfrac{a_k}{k}\geq\sqrt[k]{a_1a_2\cdots a_k}$
現(xiàn)證明它對于 $n=k+1$ 時也成立。將 $a_{k+1}$ 插入到原來的不等式中,得到:
$\dfrac{a_1}{k+1}+\dfrac{a_2}{k+1}+\cdots+\dfrac{a_k}{k+1}+\dfrac{a_{k+1}}{k+1}\geq\sqrt[k+1]{a_1a_2\cdots a_k a_{k+1}}$
由于:
$\dfrac{a_1}{k+1}+\dfrac{a_2}{k+1}+\cdots+\dfrac{a_k}{k+1}\geq\sqrt[k]{a_1a_2\cdots a_k}$
因此,我們只需證明以下不等式:
$\dfrac{(k+1)\sqrt[k]{a_1a_2\cdots a_k}\cdot a_{k+1}}{k+1}\geq\sqrt[k+1]{a_1a_2\cdots a_k a_{k+1}}$
經(jīng)過變形化簡,可以得到:
$\sqrt[k]{a_1a_2\cdots a_k} \geq \sqrt[k+1]{a_1a_2\cdots a_k a_{k+1}}$
顯然,這是成立的。
因此,按照歸納法的證明方式,基本不等式對于所有的正整數(shù) $n$ 都成立。
方法二:對數(shù)函數(shù)的應(yīng)用
對于 $a_1,a_2,\cdots,a_n$,我們可以定義函數(shù):
$f(x)=\ln{x}$
顯然,函數(shù) $f(x)$ 是連續(xù)的、單調(diào)遞增的。根據(jù)式子:
$\dfrac{a_1}{n}+\dfrac{a_2}{n}+\cdots+\dfrac{a_n}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$
可以得到:
$\ln\left(\dfrac{a_1}{n}\right)+\ln\left(\dfrac{a_2}{n}\right)+\cdots+\ln\left(\dfrac{a_n}{n}\right)\geq\dfrac{1}{n} (\ln a_1+\ln a_2+\cdots+\ln a_n)$
即:
$\ln\left(\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\right)\leq\dfrac{\ln a_1+\ln a_2+\cdots+\ln a_n}{n}$
對于左邊的式子,有:
$\ln\left(\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\right)=\dfrac{1}{n}\ln(a_1a_2\cdots a_n)$
對于右邊的式子,有:
$\dfrac{\ln a_1+\ln a_2+\cdots+\ln a_n}{n}=\ln\left(\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\right)$
因此,我們可以得到:
$\ln(a_1a_2\cdots a_n)\geq n\ln\left(\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\right)$
即:
$a_1a_2\cdots a_n\geq\left(\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\right)^n$
這正是均值不等式的形式。因此,基本不等式得證。
四、基本不等式的應(yīng)用
基本不等式在數(shù)學和物理學中有廣泛的應(yīng)用。下面介紹幾個常見的應(yīng)用場景:
1. 最小值求解
如果有 $n$ 個正實數(shù) $a_1,a_2,\cdots,a_n$,它們的和為 $k$,求它們的積的最大值,即:
$\max(a_1a_2\cdots a_n)$
根據(jù)基本不等式,有:
$\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$
因此,可以得到:
$\dfrac{k}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$
兩邊同時取冪,可以得到:
$\dfrac{k^n}{n^n}\geq a_1a_2\cdots a_n$
即:
$\max(a_1a_2\cdots a_n)=\dfrac{k^n}{n^n}$
2. 凸函數(shù)的優(yōu)化問題
如果 $f(x)$ 是一個凸函數(shù),$a_1,a_2,\cdots,a_n$ 是正實數(shù),$b_1,b_2,\cdots,b_n$ 是任意實數(shù)且 $\sum_{i=1}^n b_i=1$,則有:
$f(b_1a_1+b_2a_2+\cdots+b_na_n)\leq b_1f(a_1)+b_2f(a_2)+\cdots+b_nf(a_n)$
這是凸函數(shù)的優(yōu)化問題中常用的基本不等式形式。它可以通過Jensen不等式或基本不等式證明。
3. 三角形求證
如果我們可以用 $a,b,c$ 表示一個三角形的三邊長,則有:
$\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}\leq\dfrac{(a+b+c)^2}{4\sqrt{3}}$
這個不等式在三角形求證中也被廣泛應(yīng)用。
五、結(jié)語
基本不等式是高中數(shù)學必修內(nèi)容之一,但其實它的應(yīng)用范圍遠不止于此。在實際問題中,基本不等式常常能給我們提供有效的解決方案。通過本文的介紹,希望讀者能夠更加深入地理解基本不等式的概念、性質(zhì)、證明方法及應(yīng)用,并能在實際問題中靈活運用。
不等式的課件 篇8
關(guān)于基本不等式的主題范文:
基本不等式是數(shù)學中非常重要的一道課題,所以我們需要從以下幾個方面來對基本不等式進行介紹。
一、基本不等式是什么
基本不等式是指數(shù)學中的一個重要定理,它表述的是任意正整數(shù)n及n個正數(shù)a1,a2,…,an的積與它們的和之間的關(guān)系。也就是說,對于任意正整數(shù)n和n個正數(shù)a1,a2,…,an,有以下不等式成立:
(a1+a2+…+an)/n ≥ (a1×a2×…×an)1/n
其中,等式成立當且僅當a1 = a2 = … = an。
二、基本不等式的證明
下面我們來看一下基本不等式的證明過程。
首先,如果我們令A(yù)i = nai和G = (a1 × a2 × … × an)1/n,則我們可以將原不等式轉(zhuǎn)化為:
(a1+a2+…+an)/n ≥ G
接下來,我們來看一下如果證明G ≤ (a1+a2+…+an)/n,那么我們就可以證明基本不等式,因為不等式具有對稱性,即如果G ≤ (a1+a2+…+an)/n,則(a1+a2+…+an)/n ≥ G也成立。
接下來,我們證明G ≤ (a1+a2+…+an)/n,即:
(a1+a2+…+an)/n ≥ (a1 × a2 × … × an)1/n
將不等式右邊兩邊平方,得到:
(a1+a2+…+an)/n ≥ (a1 × a2 × … × an)2/n
這時,我們來觀察右邊的式子,將式子中的每一項都乘以(n-1),得到:
(a1 × (n-1) + a2 × (n-1) + … + an × (n-1)) / n ≥ (a1 × a2 × … × an)2/n
繼續(xù)進行簡化,得到:
[(a1 × (n-1)) + (a2 × (n-1)) + … + (an × (n-1))] / n ≥ (n-1) × a1 × a2 × … × an / n
左邊乘以1/n,右邊除以(n-1),得到:
(a1 + a2 + … + an) / n ≥ (a1 × a2 × … × an)1/n
這樣我們就完成了基本不等式的證明。
三、基本不等式在實際中的應(yīng)用
基本不等式在實際中的應(yīng)用非常廣泛,下面我們來看一下其中的幾個例子。
1. 求平均數(shù)
如果我們已知n個正數(shù)的積,需要求它們的平均數(shù),那么根據(jù)基本不等式,我們可以得到:
(a1 + a2 + … + an) / n ≥ (a1 × a2 × … × an)1/n
等式兩邊都乘以n-1,得到:
a1 + a2 + … + an ≥ (n-1) × (a1 × a2 × … × an)1/n
這樣我們就可以求得平均數(shù):
(a1 + a2 + … + an) / n ≥ (n-1) × (a1 × a2 × … × an)1/n / n
2. 求數(shù)列中n個數(shù)的積的最大值
假設(shè)我們需要從數(shù)列{a1, a2, …, an}中選取n個數(shù),求它們的積的最大值。根據(jù)基本不等式,我們有:
(a1 + a2 + … + an) / n ≥ (a1 × a2 × … × an)1/n
因為我們需要求積的最大值,所以當?shù)仁阶筮叺暮颓『玫扔趎個數(shù)的積時,這個積才能取到最大值。因此,我們可以得到:
a1 = a2 = … = an
這樣,我們就得到了求數(shù)列中n個數(shù)的積的最大值的方法。
三、結(jié)論
通過對基本不等式的介紹,我們可以發(fā)現(xiàn)它不僅僅是一道看似簡單的數(shù)學題目,而是一個非常重要的定理,有著廣泛的應(yīng)用價值。希望大家能夠在今后的學習中更加重視基本不等式,并能夠深刻理解它的實際應(yīng)用。
不等式的課件 篇9
基本不等式是高中數(shù)學中重要的一部分,也是初學者比較難掌握的一個概念。通過學習基本不等式,可以幫助學生理解不等式的基本概念、性質(zhì)和運算。同時,對于高中數(shù)學,基本不等式還有很多相關(guān)的題型需要掌握,比如極值問題、夾逼定理等。本文將從基本不等式的定義開始,探討其相關(guān)概念、性質(zhì)和應(yīng)用。
一、基本不等式的定義
基本不等式是指對于任意正實數(shù)a、b,有以下不等式成立:
(a + b)2 ≥ 4ab
這個不等式也可以寫成:
a2 + b2 ≥ 2ab
這個不等式的含義是:對于任意兩個正實數(shù)a、b,它們的平均數(shù)一定大于等于它們的幾何平均數(shù)。
二、基本不等式的證明
對于任意實數(shù)x,y,可以用(x-y)2≥0來證明基本不等式:
(x-y)2≥0
x2-2xy+y2≥0
x2+y2≥2xy
將x換成a、y換成b,即可得到基本不等式。
三、基本不等式的相關(guān)概念
1. 等式條件:
當且僅當a=b時,等式成立。
2. 平均數(shù)與幾何平均數(shù):
平均數(shù)指的是兩個數(shù)的和的一半,即(a+b)/2;幾何平均數(shù)指的是兩個數(shù)的積的二分之一,即√(ab)。由于基本不等式的成立,可以得出平均數(shù)大于等于幾何平均數(shù)的結(jié)論。
3. 關(guān)于兩個數(shù)之和與兩個數(shù)的比值的關(guān)系:
從基本不等式得到如下兩個等式:
(a+b)2=4ab+(a-b)2;ab≥(a+b)/2
以上兩個式子給出了兩個關(guān)于兩個數(shù)之和與兩個數(shù)的比值的關(guān)系。
四、基本不等式的性質(zhì)
1. 交換律和結(jié)合律:基本不等式滿足交換律和結(jié)合律。
2. 反比例函數(shù):若f(x)=1/x,x>0,則f(a)+f(b)≤2f((a+b)/2)對于a,b>0成立。
3. 帶約束的基本不等式:若a,b>0,且a+b=k,則(a+b)/2≥√(ab),即k/2≥√(ab)。
五、基本不等式的應(yīng)用
1. 求證夾逼定理:如果a1≤b1≤c1,且a2≤b2≤c2,則(a1a2+b1b2+c1c2)/3≥(a1b2+b1c2+c1a2)/3≥√(a1b1c1a2b2c2)。
2. 判斷一個二次函數(shù)的最大值或最小值:由于二次函數(shù)的導數(shù)為一次函數(shù),可以通過求導得到函數(shù)的極值。而基本不等式可以用于判斷二次函數(shù)的極值點是否合理,即是否在定義域內(nèi)。
3. 算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)之間的關(guān)系:通過基本不等式可以證明,當兩個數(shù)的和固定時,它們的平均數(shù)越大,它們的幾何平均數(shù)就越小。
總的來說,基本不等式是高中數(shù)學不可缺少的一部分,不僅在考試中占有重要地位,而且還具有很重要的理論意義。希望本文對初學者掌握基本不等式有所幫助。
不等式的課件 篇10
教學目標:
1.一元一次不等式與一次函數(shù)的關(guān)系.
2.會根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式,畫出函數(shù)圖象,并利用不等關(guān)系進行比較.
1.通過一元一次不等式與一次函數(shù)的圖象之間的結(jié)合,培養(yǎng)學生的數(shù)形結(jié)合意識.
2.訓練大家能利用數(shù)學知識去解決實際問題的能力.
體驗數(shù)、圖形是有效地描述現(xiàn)實世界的重要手段,認識到數(shù)學是解決問題和進行交流的重要工具,了解數(shù)學對促進社會進步和發(fā)展人類理性精神的作用.
自己根據(jù)題意列函數(shù)關(guān)系式,并能把函數(shù)關(guān)系式與一元一次不等式聯(lián)系起來作答.
1.張大爺買了一個手機,想辦理一張電話卡,開米廣場移動通訊公司業(yè)務(wù)員對張大爺介紹說:移動通訊公司開設(shè)了兩種有關(guān)神州行的通訊業(yè)務(wù):甲類使用者先繳15元基礎(chǔ)費,然后每通話1分鐘付話費0.2元;乙類不交月基礎(chǔ)費,每通話1分鐘付話費0.3元。你能幫幫張大爺選擇一種電話卡嗎?
2.展示學習目標:
(1)、理解一次函數(shù)圖象與一元一次不等式的關(guān)系。
(2)、能夠用圖像法解一元一次不等式。
(3)、理解兩種方法的關(guān)系,會選擇適當?shù)姆椒ń庖辉淮尾坏仁健?/p>
積極思考,嘗試回答問題,導出本節(jié)課題。
閱讀學習目標,明確探究方向。
問題1:結(jié)合函數(shù)y=2x-5的圖象,觀察圖象回答下列問題:
問題2:如果y=-2x-5,那么當x取何值時,y>0?當x取何值時,y
巡回每個小組之間,鼓勵學生用不同方法進行嘗試,尋找最佳方案。答疑展示中存在的問題。
問題3.兄弟倆賽跑,哥哥先讓弟弟跑9m,然后自己才開始跑,已知弟弟每秒跑3m,哥哥每秒跑4m,列出函數(shù)關(guān)系式,畫出函數(shù)圖象,觀察圖象回答下列問題:
(1)何時哥哥分追上弟弟?
(2)何時弟弟跑在哥哥前面?
(3)何時哥哥跑在弟弟前面?
(4)誰先跑過20m?誰先跑過100m?
你是怎樣求解的?與同伴交流。
問題4:已知y1=-x+3,y2=3x-4,當x取何值時,y1>y2?你是怎樣做的?與同伴交流.
讓學生體會數(shù)形結(jié)合的魅力所在。理解函數(shù)和不等式的聯(lián)系。
移動通訊公司開設(shè)了兩種長途通訊業(yè)務(wù):全球通使用者先繳50元基礎(chǔ)費,然后每通話1分鐘付話費0.4元;神州行不交月基礎(chǔ)費,每通話1分鐘付話費0.6元。若設(shè)一個月內(nèi)通話x分鐘,兩種通訊方式的費用分別為y1元和y2元,那么
(1)寫出y1、y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)在同一直角坐標系中畫出兩函數(shù)的圖象;
(3)求出或?qū)で蟪鲆粋€月內(nèi)通話多少分鐘,兩種通訊方式費用相同;
(4)若某人預(yù)計一個月內(nèi)使用話費200元,應(yīng)選擇哪種通訊方式較合算?
在共同探究的過程中加強理解,體會數(shù)學在生活中的重大應(yīng)用,進行能力提升。
積極完成導學案上的檢測內(nèi)容,相互點評。
學生回顧總結(jié)學習收獲,交流學習心得。
教材P51.習題2.6知識技能1;問題解決2,3.
一、學習與探究:
1.一元一次不等式與一次函數(shù)之間的關(guān)系;
2.做一做(根據(jù)函數(shù)圖象求不等式);
四、課后作業(yè):
等式課件
幼兒教師教育網(wǎng)編輯為大家整理的“等式課件”或許能幫助您解決一些疑惑。教案課件是每個老師在開學前需要準備的東西,每個人都要計劃自己的教案課件了。?設(shè)計有創(chuàng)意的教學課件可以增加學生的學習趣味。我們提供的樣本僅供參考具體操作請根據(jù)實際情況做出調(diào)整!
等式課件 篇1
【教材分析】
在新課程改革中,教材是重要的教育教學因素。等式的基本性質(zhì)是學生解方程的依據(jù),它是系統(tǒng)學習方程的開始。這節(jié)課的內(nèi)容在簡易方程中就起到了承上啟下的作用。原來的教材中對于等式的基本性質(zhì)只是初步的認識,并沒有總結(jié)成概念性的東西,但學生實際運用時卻需要概念來作支撐,所以在教材中作了調(diào)整,讓學生通過觀察天平演示實驗,由具體實物之間的平衡關(guān)系抽象概括出等式的兩個基本性質(zhì)就成了本節(jié)課的教學重點。本課“等式的基本性質(zhì)”是在上一節(jié)剛剛認識了等式和方程的基礎(chǔ)上進行教學的。,其核心思想是構(gòu)建等量關(guān)系的數(shù)學模型。課程標準要求學生能“理解等式的性質(zhì),會利用等式的性質(zhì)解簡單的方程”。
【教學目標】
1.通過天平演示保持平衡的幾種變換情況,初步認識等式的基本性質(zhì)。
2.利用觀察天平保持平衡所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律,能直接判斷天平發(fā)生變化后能否保持平衡。
3.逐步養(yǎng)成觀察與概括。比較與分析的能力。
【教學重點】
掌握等式的基本性質(zhì)。
【教學難點】
理解并掌握等式的性質(zhì),能根據(jù)具體情境列出相應(yīng)的方程。
【數(shù)學思想】
轉(zhuǎn)化的思想,數(shù)形結(jié)合的思想,符號化的思想
【教學過程】
一。創(chuàng)設(shè)情境,引出問題
教師活動
學生活動及達成目標
師:同學們,你們做過天平游戲嗎?這節(jié)課我們要利用天平一起來探索等式的性質(zhì)。(板書課題:等式的性質(zhì))
達成目標:由熟悉的天平引出課題激發(fā)學生的興趣。
二。共同探索,總結(jié)方法
教師活動
學生活動及達成目標
(一)等式的基本性質(zhì)一
1.出示教材第64頁情境圖1第一個天平圖。
讓學生仔細觀察圖,并說一說:通過圖你知道了什么?
教師小結(jié):1個茶壺的重量=2個茶杯的重量。
追問:如果設(shè)一個茶壺的重量是a克,1個茶杯的重量是b克,能用式子表示嗎?
(師板書)
引導學生思考:如果在天平的兩邊同時再各放上一個茶杯,天平會發(fā)生什么變化呢?為什么?
教師先進行實際操作天平驗證,再演示這一過程,并明確:兩邊仍然相等。
提問:如果兩邊各放上2個茶杯,還保持平衡嗎?
兩邊各放同樣的一把茶壺呢?
2.出示教材第64頁圖2的第一個天平圖。
(1)如果用a表示一個花盆的重量,用b表示一個花瓶的重量,怎樣用等式來表示這幅圖呢?
(2)如果把兩邊都拿掉1個花瓶,天平還平衡嗎?讓學生嘗試用等式怎樣表示?
從圖上你能知道什么?(出示教材第64頁圖2第二個天平圖)
3.通過這幾個實驗,你發(fā)現(xiàn)了什么?
4.你能用一句話來表示你的發(fā)現(xiàn)嗎?
(二)等式的基本性質(zhì)二
1.猜猜:除了向前面這樣的變化,天平仍保持平衡外,還可以怎么做能使天平保持平衡?
這時教師一定要及時強調(diào):這都是把等式的兩邊加上或減去同一個數(shù),并提示學生如果把等式的兩邊同時乘或除以一個相同的數(shù)(O除外),會怎么樣呢?
2.出示教材第65頁圖1的第一個天平圖,讓學生觀察并說明。
引導學生用a表示墨水的重量,用b表示鉛筆盒的重量,用式子怎樣表示?
猜一猜:左邊墨水的數(shù)量擴大到原來的2倍,右邊鉛筆盒的數(shù)量也擴大到原來的2倍,天平還保持平衡嗎?
如果把天平的兩邊物品的數(shù)量分別擴大到原來的。3倍。4倍呢?
3.出示教材第65頁圖2的第一個天平圖,讓學生觀察并說明知道了什么。
質(zhì)疑:如果把兩邊的球都平均分成2份,各去掉一份,天平還能平衡嗎?
教師演示。
4.通過剛才的試驗,你發(fā)現(xiàn)了什么?
5.你能用一句話總結(jié)一下等式的這個性質(zhì)嗎?
6.為什么等式兩邊不能除以O(shè)?
1.自主回答,學生可能會回答:天平的左邊放了一把茶壺,右邊放了兩個茶杯,天平保持平衡;這說明一個茶壺的重量與2個茶杯的重量相等。
嘗試寫出:a=2b
先猜一猜,學生可能會猜測出天平仍然平衡,因為兩邊加上的重量一樣多。
觀察小結(jié):實驗證明1個茶壺+1個茶杯的質(zhì)量=3個茶杯的質(zhì)量。
同時學生嘗試用字母表示這個式子:a+b=2b+b
學生回答后,教師演示,并讓學生分別用式子表示:a+2b=2b+2ba+a=2b+a
觀察現(xiàn)在的天平是什么樣的?(平衡)
生嘗試寫出:a+b=4b
先猜一猜,再回答,平衡:a+b-b=4b-b
得出1個花盆和3個花瓶同樣重。
3.學生思考后小結(jié):平衡的天平兩邊加上同樣的物品,天平還保持平衡。平衡的天平兩邊減去同樣的物品,天平還保持平衡。
4.學生歸納等式的性質(zhì)1:等式兩邊加上或減去同一個數(shù),左右兩邊仍然相等。
達成目標:通過演示在天平的兩邊同時放上或拿走同樣的物品,天平仍然平衡。給學生思考。感悟天平保持平衡的變化規(guī)律,提供了直觀的觀察材料。從而得出天平平衡的原理,即等式的一條基本性質(zhì):等式兩邊加上或減去相等的數(shù),等式不變。
1.如:學生猜測天平的兩邊同時放2個。3個杯子;同時減去一把茶壺等。
2.學生觀察并說明:
一瓶墨水的重量=一盒鉛筆盒的重量
寫出等式:a=b。
學生猜測平衡后,教師進行實際天平操作,驗證學生的猜測。
學生用等式表示:2a=2b。
天平仍然保持平衡
3.學生觀察得出:
2個排球的質(zhì)量=6個皮球的質(zhì)量
有了前面的經(jīng)驗學生用a表示排球的重量,用6表示皮球的重量,寫出等式:2a=6b。
學生猜測:平衡,并能用等式a=3b表示。
4.學生會發(fā)現(xiàn):平衡的天平兩邊的物品擴大到原來的相同倍數(shù),天平仍然平衡。平衡的天平兩邊的物品都縮小到原來的幾分之一,天平仍然平衡。
5.學生歸納小結(jié):等式兩邊乘同一個數(shù),或除以同一個不為0的數(shù),左右兩邊仍然相等。
達成目標:等式基本性質(zhì)2的推導在性質(zhì)1的基礎(chǔ)上,讓學生自己通過實驗探究,運用知識的遷移得出,這樣培養(yǎng)了學生的邏輯思維能力,抽象概括能力和口頭表達能力。
6.學生交流,匯報:O不能做除數(shù)。
三。運用方法,解決問題
教師活動
學生活動及達成目標
出示教材第66頁練習十四第4.5題。
學生試做集體訂正,注意學生列式計算時的取值是否正確。
四。反饋鞏固,分層練習
教師活動
學生活動及達成目標
基礎(chǔ)練習:利用等式的性質(zhì)填空
1.如果2x-5=9,那么2x=9+()
2.如果5=10+x,那么5x-()=10
3.如果3x=7,那么6x=()
4.如果5x=15,那么x=()
拓展練習:見課件
讓學生回憶等式的性質(zhì),再自主完成填空。
達成目標:等式的基本性質(zhì)一是簡易方程部分重要的概念,不僅要理解,而且還要會應(yīng)用。
五。課堂總結(jié),提升認識
教師活動
學生活動及達成目標
這節(jié)課你運用了哪些,你有什么收獲?你對自己這堂課的表現(xiàn)是怎么評價的?
學生總結(jié)本節(jié)課的收獲,在梳理總結(jié)過程中提高學生對性質(zhì)的認識和理解。
等式課件 篇2
教學內(nèi)容:教科書第3~4頁的內(nèi)容,練習一的4~6題。
教學目標:
1、通過學習,使學生知道等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù),所得的結(jié)果仍然是等式。
2、根據(jù)等式的性質(zhì)(一)學會解決含有加、減號的方程。
3、有意識地培養(yǎng)學生的自學能力。
教學過程:
一、教學例3
出示圖,學生根據(jù)圖獨立填空。
根據(jù)學生的回答,板書:
20=20xx+10=20+10
X=50X+20=50+20
50+a=50+a50+a-a=50+a-a
X+20=70X+20-20=70-20
提問:比較兩邊的算式,你有什么發(fā)現(xiàn),在小組里說說。
全班交流,引導學生說出:等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù),所得的結(jié)果仍然
是等式。這是等式的性質(zhì)。
獨立完成練一練第1題
二、教學例4
學生自學,不懂的問題和同組同學交流,能解決的就小組內(nèi)交流。
全班交流:例4中還有什么不懂的地方提出來,能由學生解決的就由學生解決,
學生解決不了的教師解決。
一是方法:根據(jù)等式的性質(zhì)把含有未知數(shù)的這邊化簡成就含有一個未知數(shù)。
二是檢驗:把計算的結(jié)果代到原式,看左右兩邊是否相等。
三強調(diào)書寫的格式。
小結(jié):求方程中未知數(shù)值的過程,叫做解方程。
完成試一試練一練的第2題。
學生獨立完成后集體訂正,重點幫助有困難的學生,針對學生出錯的地方及時分
析錯誤原因,幫助他們弄懂。
三、課堂作業(yè)
練習一的第4、5、6題。
第4、6題做在書上,第5題寫在作業(yè)本上。
板書:
等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù),所得的結(jié)果仍然是等式。
這時等式的性質(zhì)。
X+10=50
解:X+10-10=50-10
X=40
教后小記
等式課件 篇3
《不等式及其基本性質(zhì)》習題
【教學內(nèi)容】
課本上不等式的五個基本性質(zhì),并學會應(yīng)用.【教學目標】
1、掌握不等式的五個基本性質(zhì)并且能正確應(yīng)用.
2、經(jīng)歷探究不等式基本性質(zhì)的過程,體會不等式與等式的異同點,發(fā)展學生分析問題和解決問題的能力.
3、開展研究性學習,使學生初步體會學習不等式基本性質(zhì)的價值.
【重點難點】
重點:理解不等式的五個基本性質(zhì).難點:對不等式的基本性質(zhì)3的認識.【教學方法】
本節(jié)課采用“類比-實驗-交流”的教學方法.【教學過程】
一、回顧交流.
1、等式的基本性質(zhì) 解一元一次方程的基本步驟
2、問題牽引:
用“﹥”或“﹤”填空,并總結(jié)其中的規(guī)律:
(1)5>3,5+2
3+2,5-2 3-2 ;
(2)–1
-1+2 3+2,-1-3 3-3 ;
結(jié)果:
(1)>、>(2)
當不等式兩邊加或減去同一個數(shù)(正數(shù)或負數(shù))時,不等號的方向______
3、繼續(xù)探究,接著又出示(3)、(4)題: 5 2×5,6×(3)6>2,6×(-5)
2×(-5),6 3×6,(4)2
3×(-6).得到:
當不等式的兩邊同乘以一個正數(shù)時,不等號的方向不變; 當不等式的兩邊同乘以一個負數(shù)時,不等號的方向改變.總結(jié)出不等式的性質(zhì): 不等式的性質(zhì)1:不等式的兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子),不等號的方向不變.c
> b±c 字母表示為:如果a>b,那么a±不等式的性質(zhì)2:不等式的兩邊乘(或除以)同一個正數(shù),不等號的方向不變.字母表示為:如果a>b,c>0那么ac
> bc,不等式的性質(zhì)3:不等式的兩邊乘(或除以)同一個負數(shù),不等號的方向改變.字母表示為:如果a>b,c<0那么ac
不等式的對稱性:如果a>b,那么bb,b>c,那么a>c
二、范例學習,應(yīng)用所學.
1、利用不等式的性質(zhì)解下列不等式. (1)x-7>26
(2)3x
(4)-4x﹥3
22、逐題分析得出結(jié)果.(1)x-7>26 分析:解未知數(shù)為x的不等式,就是要使不等式逐步化為x﹥a或x﹤a的形式.
解:(1)為了使不等式x-7>26中不等號的一邊變?yōu)閤,根據(jù)不等式的性質(zhì)1,不等式兩邊都加7,不等號的方向不變,得 x-7+7﹥26+7 x﹥33(2)3x
為了使不等式3x
23不等號的方向不變,得 x﹥75(4)-4x﹥3
為了使不等式-4x﹥3中的不等號的一邊變?yōu)閤,根據(jù)不等式的性質(zhì)3,不等式兩邊都除以-4,不等號的方向改變,得x
3 4通過(3)(4)的求解過程,類似于解方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)(未知數(shù)系數(shù)化為1),解不等式時要注意未知數(shù)系數(shù)的正負,以決定是否改變不等號的方向.三、課堂探究.
已知a
四、課堂小結(jié)提問.不等式性質(zhì)的作用.
等式課件 篇4
尊敬的各位老師,下午好!
我叫孫有璽,來自音河中學。很高興能把《不等式的性質(zhì)(1)》一課的教學和大家一起探討。下面我將從學生狀況、教學任務(wù)、教學過程、設(shè)計說明等四個方面加以分析。
一、學生狀況分析:
七年級下期的學生活潑好動,有一定合作探究意識,在知識方面已經(jīng)學習了有理數(shù)大小比較,等式及基本性質(zhì)。這些都為自主探究不等式的性質(zhì)打下了良好的基礎(chǔ)。
二、教學任務(wù)分析:
(一)教材地位與作用:
不等式是初中代數(shù)的重要內(nèi)容之一,是已知量與未知量的矛盾統(tǒng)一體。數(shù)學關(guān)系中的相等與不等是事物運動和平衡的反映,學習研究數(shù)量的不等關(guān)系,可以更好地認識和掌握事物運動變化的規(guī)律?!安坏仁降男再|(zhì)”是學生學習整個不等式知識的理論基礎(chǔ),為以后學習解不等式(組)起到奠基的作用。
(二)教學目標:
知識目標:
探索不等式的基本性質(zhì),并能準確運用不等式的三條性質(zhì)將不等式變形。
能力目標:
讓學生學會類比的思想對等式性質(zhì)及不等式性質(zhì)進行了比較,培養(yǎng)學生的觀察、分析、歸納的能力。
情感目標:
通過“等”與“不等”的比較使學生進一步領(lǐng)會對立統(tǒng)一的思想,培養(yǎng)學生辨證唯物主義的觀點。
(三)教學重點、難點:
不等式的性質(zhì)是本節(jié)不等式變形的基礎(chǔ),也是今后解不等式(組)的依據(jù),所以掌握不等式的基本性質(zhì),并能正確運用它們將不等式變形是本節(jié)課的重點。
不等式的兩邊同乘以(或除以)負數(shù),不等號方向改變和等式的性質(zhì)不同,學生學習起來比較困難,因此,不等式性質(zhì)3的理解與正確使用是本節(jié)課的難點。讓學生自己動口、動手、動腦,進行比較、討論,并加以強化練習達到突破的目的。
(四)教學方法與學法的指導:
本節(jié)課屬于性質(zhì)類知識,重在探索,意在應(yīng)用。因此,我采用啟發(fā)誘導、實例探究的方法進行教學,這種教學方法以“主動探索”為基礎(chǔ),先“引導發(fā)現(xiàn)”后“講評點撥”,讓學生在克服困難與障礙的過程中發(fā)展自己的觀察力、想象力、思維力。引導學生學會類比、歸納的學習方法,幫助他們在自主探究過程中理解和掌握不等式的性質(zhì)。
三、教學過程
(一)復習提問、引入新課
為了使學生自己能在教師的指導下,自主探究問題,發(fā)現(xiàn)問題,獲得結(jié)論。而不是把現(xiàn)成的結(jié)論告訴學生。對于不等式性質(zhì)的發(fā)現(xiàn),我采用了下面的作法,我首先帶領(lǐng)學生復習等式的性質(zhì)
等式性質(zhì)1等式兩邊加(或減)同一個數(shù)或式子,結(jié)果仍相等。
等式性質(zhì)2等式兩邊乘同一個數(shù),或除以同一個不為零的數(shù),結(jié)果仍相等。
(二)合作交流、探究新知
在復習等式性質(zhì)后,教師提出不等式是否也有類似的性質(zhì)呢?先引導學生對不等式的兩邊都加、減同一個數(shù),會發(fā)現(xiàn)什么呢?學生通過思考和計算后會說出不等式兩邊都加、減同一個數(shù),“仍是不等式”。此時,教師抓住學生敘述中的問題予以糾正,不能籠統(tǒng)的說“仍是不等式”,因為“=”沒有方向性,而不等號有方向性,所以要改為“不等號的方向不變”。接著,讓學生不等式作兩邊都乘以或除以同一個數(shù)的變形,會發(fā)現(xiàn)什么呢?學生通過計算和討論,甚至會發(fā)生爭執(zhí),教師要深入學生,通過共同探討,學生會發(fā)現(xiàn)不等式兩邊都乘以或除以正數(shù),不等號方向不變,兩邊都乘以或除以負數(shù),不等號方向改變。最后由學生歸納出不等式的`性質(zhì)2和性質(zhì)3。
我這樣安排的目的是為了讓學生通過動手、動口、動腦發(fā)揮合作精神,學會運用類比、歸納的數(shù)學思想去探究問題,同時學生也會品嘗到成功的喜悅,從而提高他們學習數(shù)學的興趣。
(三)靈活運用、鞏固練習
為使學生能夠準確運用性質(zhì)將不等式變形,也為例題的教學做一些鋪墊,我先設(shè)置了兩組搶答題:
搶答:看誰答的快又準
1·設(shè)m>n,用“<”或“>”填空:
(1)m—5___n—5
(2)m+4___n+4
(3)6m___6n(4)
—5m___—5n
2·判斷:
(1)∵3+x>3+y,∴x>y()
(2)∵3>2,∴n+3>2+n()
(3)∵a<b,∴2a+1<2b+1()
(4)∵—2a<6,∴x>—3()
在學生練習過程中,老師特別強調(diào):當不等式兩邊同乘以或除以負數(shù)時,“不等號的方向改變”。
接著,給出例題:
例1·利用不等式的性質(zhì)解下列不等式,并在數(shù)軸上表示解集:
(1)x+7>10
(2)3x>2x+1
(3)—10x>50
(4)—4x
例2·根據(jù)下列已知條件,說出a與b的不等關(guān)系:
(1)a—3>b—3
(2)—a>—b
(3)—2a+1
例1由學生分組討論,寫出解題過程,老師展示幾個同學的解答并給予講解。對于例2我采用先引導學生分析解題思路,再讓學生口述解題過程,并說明根據(jù)不等式的哪一條性質(zhì),由師生共同完成。
為了解學生能否獨立運用性質(zhì)將練習三,安排學生演板:
3·利用不等式的性質(zhì)解不等式。
(1)—3x>12
(2)3x—4
請兩位學生演板,其余學生獨立完成,并對學生演板的結(jié)果作出評價,教師深入小組,發(fā)現(xiàn)問題及時糾正,通過學生的互相評價找出應(yīng)用不等式基本性質(zhì)進行變形中出現(xiàn)的錯誤,以防患于未然。
以上練習完成之后,學生已能準確運用不等式的性質(zhì),將不等式變形,為培養(yǎng)學生的解題能力,讓學生更深層地理解不等式的基本性質(zhì),在此基礎(chǔ)上我又作出了一些引申和推廣。
4·判斷正誤,并說明理由。
(1)∵5>4,∴5a>4a
(2)不等式2x>5x的兩邊同除以x,得2>5
(3)若ac2>bc2,則a>b
第4題設(shè)計說明,當不等式兩邊同乘或除以一個字母,而字母的取值不明確時,需對字母分情況討論。
〔四〕歸納小結(jié)、整體把握
為幫助學生從整體把握本節(jié)課所學的知識,培養(yǎng)良好的學習習慣,讓學生自己對本節(jié)課所學知識以及用到的解決問題的方法進行小結(jié)。方法是:由學生四人一組互談本節(jié)課的收獲,總結(jié)解題方法,并說明解題過程中應(yīng)該注意的問題,然后請一位同學小結(jié),其他學生補充,達到鞏固知識的目的。
教學設(shè)計說明
學生的學習內(nèi)容應(yīng)該是現(xiàn)實的、有趣的和富有挑戰(zhàn)性的,而老師則應(yīng)該創(chuàng)造一個有利于學生主動求知的學習環(huán)境。因此,本節(jié)課把培養(yǎng)學生的學習興趣和思維能力放在首位。教學中采用合作學習的方式,互相交流,集思廣益,突破創(chuàng)新,以達到共同提高的目的。然后,通過多樣化的練習鞏固知識,既調(diào)動學生的積極性,又使學習伙伴之間進行了思維的碰撞和溝通。使其在輕松的氛圍中多層次、多角度地掌握“不等式的性質(zhì)”。
本節(jié)課的設(shè)計體現(xiàn)了一個原則:低起點、多練習、勤反饋、快矯正、重能力、以求最大限度提高課堂效率。
等式課件 篇5
均值不等式
教學目標
(一) 知識與技能:明確均值不等式及其使用條件,能用均值不等式解決簡單的最值問題.
(二) 過程與方法:通過對問題主動探究,實現(xiàn)定理的發(fā)現(xiàn),體驗知識與規(guī)律的形成過程.
(三) 情感態(tài)度與價值觀:通過問題的解決以及自身的探索研究領(lǐng)略獲取新知的喜悅.教學重點:均值不等式的推導與證明,均值不等式的應(yīng)用.教學難點:均值不等式的應(yīng)用 教學過程
創(chuàng)設(shè)情境如圖,AB是圓的直徑,D是CAB上與A、B不重合的一點,AD=a,DB=b,過點D作垂直于AB的弦CD,連AC,BC,AaODbB則CD=__,半徑OC=____E 討論 :(1)CD OC (2)文字敘述(幾何意義): (3)試用含a、b的表達式來表示上述關(guān)系 注意:(1)當 時, (2)a、b的取值范圍
探求新知:均值不等式的內(nèi)容及證明
均值定理:
證明:(比較作差法)
變形應(yīng)用:(1)
(2)
討論釋疑:
牛刀小試:已知x?0,則x?1x? 例
1、已知ab?0,求證:baa?b?2并推導出式中等號成立的條件
例
2、求函數(shù)f(x)?x2?2x?3x(x?0)的最值,以及此時x的值
精煉鞏固:
?t2 1.設(shè)t?0,則函數(shù)f(t)?4t?1的最小值為此時t的值
4 2.已知正數(shù)a,b滿足a?b?1,則ab有最值為
點撥提高:
總結(jié)本節(jié)課的你的收獲。
課堂小測:
1 .已知正數(shù)a,b滿足a?b?1,則1a?1b有最值為。 2 .設(shè)x?3,則函數(shù)f(x)?(x?3)?2x?3的最小值為此時x的值3.已知a、b?R?,求證:(a?11a)(b?b)?4
課堂小測:
1 .已知正數(shù)a,b滿足a?b?1,則1a?1b有最值為。 2 .設(shè)x?3,則函數(shù)f(x)?(x?3)?2x?3的最小值為此時x的值3.已知a、b?R?,求證:(a?11a)(b?b)?4
課堂小測:
1
.已知正數(shù)a,b滿足a?b?1,則1a?1b有最值為。 2 .設(shè)x?3,則函數(shù)f(x)?(x?3)?2x?3的最小值為此時x的值3.已知a、b?R?,求證:(a?11a)(b?b)?4
課堂小測:
1
.已知正數(shù)a,b滿足a?b?1,則1a?1b有最值為。 2 .設(shè)x?3,則函數(shù)f(x)?(x?3)?2x?3的最小值為此時x的值3.已知a、b?R?,求證:(a?11a)(b?b)?4
不等式基本性質(zhì)教學設(shè)計
《等式的性質(zhì)》教學設(shè)計
《等式的性質(zhì)》教學設(shè)計
等式性質(zhì)教學設(shè)計(共8篇)
基本不等式教學設(shè)計
等式課件 篇6
教學內(nèi)容:教科書第3~4頁的內(nèi)容,練習一的4~6題。
教學目標:1、通過學習,使學生知道等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù),所得的結(jié)果仍然是等式。
2、有意識地培養(yǎng)學生的自學能力。
教學重點與難點:根據(jù)等式的性質(zhì)(一)學會解決含有加、減號的方程。
教學流程:
一、教學例3
出示圖,學生根據(jù)圖獨立填空。
根據(jù)學生的回答,板書:
20=20xx+10=20+10
X=50X+20=50+20
50+a=50+a50+a-a=50+a-a
X+20=70X+20-20=70-20
提問:比較兩邊的算式,你有什么發(fā)現(xiàn),在小組里說說。
全班交流,引導學生說出:等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù),所得的結(jié)果仍然
是等式。這是等式的性質(zhì)。
獨立完成練一練第1題
二、教學例4
學生自學,不懂的問題和同組同學交流,能解決的就小組內(nèi)交流。
全班交流:例4中還有什么不懂的地方提出來,能由學生解決的就由學生解決,學生解決不了的教師解決。
一是方法:根據(jù)等式的性質(zhì)把含有未知數(shù)的這邊化簡成就含有一個未知數(shù)。
二是檢驗:把計算的結(jié)果代到原式,看左右兩邊是否相等。
三強調(diào)書寫的格式。
小結(jié):求方程中未知數(shù)值的過程,叫做解方程。
完成試一試練一練的第2題。
學生獨立完成后集體訂正,重點幫助有困難的學生,針對學生出錯的地方及時分
析錯誤原因,幫助他們弄懂。
三、課堂作業(yè)
練習一的第5題。
板書:
等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù),所得的結(jié)果仍然是等式。
這時等式的性質(zhì)。
X+10=50
解:X+10-10=50-10
X=40
等式課件 篇7
1、具體情境,感受天平平衡
通過課件展示情境圖引導學生小結(jié)出等式并用字母表示。
2、猜想假設(shè)、小結(jié)規(guī)律
先讓學生猜想然后再通過課件在天平上演示過程。驗證學生的猜想,用字母表示。引導學生小結(jié)出:等式兩邊同時加上同一個數(shù),左右兩邊仍然相等。
3、觀察思考、總結(jié)發(fā)現(xiàn)
通過課件對教材第64頁圖2的演示過程讓學生獨立思考,再通過小組合作討論總結(jié)出發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。等式的性質(zhì)1:等式兩邊加上或減去同一個數(shù),左右兩邊仍然相等。
4、假設(shè)數(shù)據(jù)、驗證規(guī)律
得到結(jié)論后通過假設(shè)物體的具體的數(shù)據(jù)驗證學生自己總結(jié)出的規(guī)律。
5、口算練習、應(yīng)用規(guī)律
通過一些簡單的等式問答應(yīng)用等式兩邊同加或同減相同的數(shù)以加強規(guī)律的應(yīng)用。
6、設(shè)疑思考
提出問題讓學生思考還有沒有其他的運算也能使等式左右兩邊相等。留給學生思維的空間,再通過課件引導學生一步步總結(jié)出等式的性質(zhì)2:等式兩邊乘同一個數(shù),或除以同一個不為0的數(shù),左右兩邊仍然相等。
等式課件 篇8
1、創(chuàng)設(shè)情景,引發(fā)認知沖突
以前學生解方程習慣用加減法、乘除法互為逆運算的方式解方程,這樣的思路只適宜解比較簡單的方程,例如:x+3=5、3x=-12等,簡單的一元一次方程的解用估算的方法或逆運算的方式我們都可以求出方程的解;而象19+28x=33x-1這樣比較復雜的方程我們用上述方法還能求出它的解嗎?我利用學生認知上的沖突引入新課。這樣既激發(fā)了學生的學習興趣又明確了本節(jié)課的教學目的。為等式性質(zhì)的構(gòu)建做好鋪墊。
2、實驗探索,從特殊到一般
等式性質(zhì)的呈現(xiàn)屬于實驗探究型課,目的是要學生在活動中體驗等量的變化關(guān)系和等式的性質(zhì)。這里我分段逐步呈現(xiàn)等式的特性。首先出示平衡天平的圖形,給學生一個天平平衡的印象,引導學生用字母構(gòu)建一個等式,接著在上一個平衡天平的基礎(chǔ)上,兩側(cè)同放一個三角形的符號表示物體的重量,讓學生觀察這時出現(xiàn)什么現(xiàn)象,同時提出問題:怎樣做,兩邊才會保持平衡?通過學生實驗得出使天平兩邊平衡的方法,并用字母式子表示實驗的過程,再通過歸納,概括出對象的共同屬性加以表述,接著通過幾個練習加以鞏固,然后借助上一個實驗的經(jīng)驗和方法,進一步指導學生完成天平兩邊成倍變化的實驗,最后根據(jù)實驗情況觀察歸納結(jié)論。同時注意在總結(jié)時先讓學生根據(jù)實驗,把自己所得到的結(jié)論敘述出來,然后教師再對學生的結(jié)論給予概括得到等式的性質(zhì)。
上述講授等式的性質(zhì)用的是觀察實驗法,實驗觀察是科學研究的一種基本的方法,它是根據(jù)客觀事物和現(xiàn)象找出它具有的客觀規(guī)律,有助于發(fā)現(xiàn)一些數(shù)學事實,抽象出對象的屬性,再通過歸納,概括出對象的共同屬性加以表述。同時也體現(xiàn)了由特殊到一般的思維認知規(guī)律。
3、強化概念,指導學生嘗試
關(guān)于等式概念、等式與方程的聯(lián)系的引出,教法上采用充分利用學生已有的知識、練習回顧、交流的方式。等式的性質(zhì)的教學,采用師生共同觀察實驗,讓學生通過對直觀圖形的觀察、實驗和猜想,自已發(fā)現(xiàn)結(jié)論,并用總結(jié)的形式表述結(jié)論。等式性質(zhì)的理解和掌握關(guān)鍵在于應(yīng)用,只有通過大量練習來鞏固和提高,練習的速度越快正確越高,說明知識理解和掌握的越好。因此在教學中得到等式性質(zhì)后,就用三組嘗試練習加強鞏固和提高,這樣既調(diào)動了學生學習的趣味性和主動性,增強了學生積極參與教學活動的意識,又很好地培養(yǎng)了學生的動手操作能力、觀察能力、邏輯思維能力和總結(jié)歸納能力,同時,也向?qū)W生滲透了實踐——認識——再實踐——再認識的一種學習方法,使新舊知識技能得到了有機的結(jié)合。
等式課件 篇9
教學內(nèi)容:教科書第3~4頁的內(nèi)容,練習一的4~6題。
教學目標:1、通過學習,使學生知道等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù),所得的結(jié)果仍然是等式。
2、根據(jù)等式的性質(zhì)(一)學會解決含有加、減號的方程。
3、有意識地培養(yǎng)學生的自學能力。
教學過程:
一、教學例3
出示圖,學生根據(jù)圖獨立填空。
根據(jù)學生的回答,板書:
20=2020+10=20+10
X=50X+20=50+20
50+a=50+a50+a-a=50+a-a
X+20=70X+20-20=70-20
提問:比較兩邊的算式,你有什么發(fā)現(xiàn),在小組里說說。
全班交流,引導學生說出:等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù),所得的結(jié)果仍然
是等式。這是等式的性質(zhì)。
獨立完成練一練第1題
二、教學例4
學生自學,不懂的問題和同組同學交流,能解決的就小組內(nèi)交流。
全班交流:例4中還有什么不懂的地方提出來,能由學生解決的就由學生解決,
學生解決不了的教師解決。
一是方法:根據(jù)等式的性質(zhì)把含有未知數(shù)的這邊化簡成就含有一個未知數(shù)。
二是檢驗:把計算的結(jié)果代到原式,看左右兩邊是否相等。
三強調(diào)書寫的格式。
小結(jié):求方程中未知數(shù)值的過程,叫做解方程。
完成試一試練一練的第2題。
學生獨立完成后集體訂正,重點幫助有困難的學生,針對學生出錯的地方及時分
析錯誤原因,幫助他們弄懂。
三、課堂作業(yè)
練習一的第4、5、6題。
第4、6題做在書上,第5題寫在作業(yè)本上。
等式課件 篇10
一、學情分析:作為初一學生(132班和137班)在小學時已經(jīng)對等量關(guān)系和等式的性質(zhì)有所了解,通過本節(jié)課的學習,目的是要使學生從天平的特點中歸納得出等式的性質(zhì)。
新課標對本節(jié)課的要求是:掌握等式的性質(zhì)。在前面一節(jié)課的學習中,學生掌握了一元一次方程的概念和初步應(yīng)用后,需要解決的是一元一次方程的解法。本節(jié)內(nèi)容借助于等式的性質(zhì)這一工具來解一元一次方程。首先,通過天平的實驗操作,使學生學會觀察。嘗試分析歸納等式的性質(zhì)。然后,利用等式的性質(zhì)解一元一次方程。通過解方程的學習提高學生的觀察問題、解決問題的能力。
2、教育教學目標。
根據(jù)以上對教材的理解與內(nèi)容分析,考慮到學生已有的知識結(jié)構(gòu)和心理特征,制定如下教學目標:
(1)知識與技能:探究等式的性質(zhì),并能利用等式的性質(zhì)進行等式變形、解簡單的一元一次方程。
(2)過程與方法:通過實驗培養(yǎng)學生探索能力、觀察能力,歸納能力和應(yīng)用新知識的能力。
(3)情感態(tài)度價值觀:積極參與數(shù)學活動,體驗探索等式性質(zhì)過程的挑戰(zhàn)性和數(shù)學結(jié)論的確定性,建立學生學好數(shù)學的信心。
為了使學生能比較順利地達到教學目標,我確定了本節(jié)課的教學重、難點:
教學重點:探究等式的性質(zhì),能根據(jù)等式性質(zhì)進行等式變形、解簡單的一元一次方程。
教學難點:利用等式的性質(zhì)把簡單的一元一次方程變形為x=a(常數(shù))的形式;正確理解等式性質(zhì)2中除數(shù)不能為0。
(一)教學手段:如何突出重點、突破難點,從而實現(xiàn)教學目標,我在教學過程中利用多媒體演示擬計劃進行如下操作:
1、讀(看)――議――講結(jié)合法。
2、圖表分析法。
3、讀圖討論法。
4、教學過程中堅持啟發(fā)式教學的`原則。
堅持“以學生為主體,以教師為主導”的原則。即“以學生活動為主導,教師講述為輔,學生活動在前,教師點撥評價在后”的原則。根據(jù)初一學生的心理發(fā)展規(guī)律。聯(lián)系實際安排教學內(nèi)容,采用學生參與高度的學導式討論教學法、師生交談法、圖象信號法、問答法、教學課堂討論法,使學生動口、主動探索、發(fā)現(xiàn)問題、解決問題、互動合作、歸納概括、形成能力,突出學生的主體地位。在采用問答法時,特別注重不同難度的問題。
提問不同層次的學生面向全體,使基礎(chǔ)差的學生也有表現(xiàn)的機會,培養(yǎng)其自信心,激發(fā)學習熱情,有效開發(fā)各層次學生的潛在能力求使每個學生都在原有基礎(chǔ)上得到發(fā)展,同時通過課堂練習和課后作業(yè)啟發(fā)學生。在教學中要積極培養(yǎng)學生數(shù)學學習興趣和動機。明確學習目的,教師應(yīng)在課堂上充分調(diào)動學生積極性,激發(fā)來自學生主體的最有力的動力。
實際上,青少年好動,注意力易分散,愛發(fā)表見解。希望得到老師的表揚所以在教學中應(yīng)抓住學生這一生理特點。一方面運用直觀生動的形象,引發(fā)學生興趣,使他們的注意力始終集中在課堂上。另一方面要創(chuàng)造條件和機會,讓學生發(fā)表見解,發(fā)揮學生學習的主動性。
首先我出了一些可以看出方程解的題目,讓學生回答,由易到難,激起學生學習的欲望,緊接著就引入等式的定義,從而使學生明白解方程先要研究等式,從而引入課題。
由于學生的認知結(jié)構(gòu)是由簡單到復雜,由具體到抽象的過程,因此在這一環(huán)節(jié)中,我分兩個方面來教學:等式的性質(zhì)1由老師課件演示,學生觀察歸納概括。
我利用多媒體依次展示天平圖的各個操作。讓學生通過觀察,用語言來描述發(fā)現(xiàn),與同桌交流。這樣由具體演示到抽象概括,使學生記憶深刻,充分體現(xiàn)了學生為主體,教師為主導的原則。
通過上面的觀察,讓學生分組討論:如何用算式表示實驗結(jié)果?學生交流后,教師進行課件演示。
本節(jié)課,讓學生經(jīng)歷一種從平衡到不平衡再到新的平衡的過程,體驗變化是怎樣產(chǎn)生的,怎樣從打破平衡,又怎樣達到新的平衡。從而培養(yǎng)了學生觀察能力和抽象概括能力。
我接著提問:如果天平兩邊減去相同的質(zhì)量,天平會有什么變化?
讓學生先獨立思考,然后教師課件演示。你又發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?怎樣用等式描述?得出等式兩邊同時減去同一個數(shù),等式仍然成立。并且由以上兩條規(guī)律得出:等式的兩邊同時加上或減去同一個數(shù),等式仍然成立。
如果在天平兩邊同時加上或減去不同的質(zhì)量,天平會有什么變化?
學生經(jīng)過思考得出:等式的兩邊加上或減去的必須是同一個數(shù),才能使等式成立。這樣符合學生的認知規(guī)律,從實踐認識,再到實踐認識的過程。
教師再用課件展示天平圖,學生通過觀察,歸納得出:等式兩邊同時乘或除以同一個數(shù)(除數(shù)不能為0),等式仍然成立。
等式基本性質(zhì)2的推導在性質(zhì)1的基礎(chǔ)上,讓學生自己通過觀察探究,運用知識的遷移得出,這樣培養(yǎng)了學生邏輯思維能力,抽象概括能力和口頭表達能力。
(2)若a=b,則ac=bc,
注意:
(1)等式兩邊都要參加運算,且是同一種運算。
(2)等式兩邊加或減,乘或除以的數(shù)一定是同一個數(shù)或同一個式子。
(3)等式兩邊不能都除以0,即0不能作除數(shù)或分母。
在這個環(huán)節(jié)中把等式的兩個性質(zhì)展示出來,我特別提到了三個注意:因為這是在等式性質(zhì)解方程中容易出錯的地方,就是希望同學們認真細心,正確利用性質(zhì)解題。
我在練習中設(shè)計了三道題,從簡單的填空到判斷變形對錯,到最后的解方程,方程的四道題也是有簡單到復雜,總之練習題的設(shè)計,低起點,小臺階,循序漸進,符合學生接受知識的特點,是那些平時不舉手的同學也積極參與,竟然問題也答得很好。從這些方面培養(yǎng)了學生的靈活性,使學生獲得成功的滿足感。
作業(yè)設(shè)計:
PPT投影出課本第83頁習題3.1第4題。
等式課件 篇11
一、教材分析
等式的基本性質(zhì)是學生在剛剛認識了等式與方程的基礎(chǔ)上進行教學的。它是系統(tǒng)學習方程的開始,其核心思想是構(gòu)建等量關(guān)系的數(shù)學模型。本節(jié)課的學習是學生在實驗的基礎(chǔ)上,掌握等式的兩個基本性質(zhì),引導學生通過比較,發(fā)現(xiàn)規(guī)律,并為今后運用等式的基本性質(zhì)解方程打基礎(chǔ)。同時培養(yǎng)學生數(shù)學思維能力。
二、教學目標:
知識與技能:理解并能用語言表述等式的基本性質(zhì),能用等式的基本性質(zhì)解決簡單問題。
過程與方法:在用算式表示實驗結(jié)果、討論、歸納等活動中,經(jīng)歷探索等式基本性質(zhì)的過程。
情感態(tài)度價值觀:積極參與數(shù)學活動,體驗探索等式基本性質(zhì)過程的挑戰(zhàn)性和數(shù)學結(jié)論的確定性。
三、教學重點是:
引導學生探索發(fā)現(xiàn)等式的基本性質(zhì),利用等式的基本性質(zhì)解決簡單問題。
教學難點是抽象歸納出等式的基本性質(zhì)。
四、教學程序(分三部分教學)
(一)聯(lián)系實際,激趣引入
首先激發(fā)探究興趣:提出問題:“同學們,你用天平做過游戲嗎?”這節(jié)課我們就利用天平一起來探索天平游戲中所包含的數(shù)學知識?!?/p>
(二)自主探索,合作交流
學習等式的基本性質(zhì)1
1、具體情境,感受天平平衡
利用多媒體依次展示天平圖的各個操作。讓學生通過觀察,用語言來描述發(fā)現(xiàn),與同桌交流。這樣由具體演示到抽象概括,使學生記憶深刻,充分體現(xiàn)了學生為主體,教師為主導的原則。
圖1、圖2的教學模式:先讓學生觀察,問:你發(fā)現(xiàn)了什么?然后提問:怎樣變換,能使天平仍然保持平衡呢?待學生思考片刻,再進一步提問:往兩邊各放1個杯子,天平會發(fā)生什么變化?生口答,驗證。接下去,繼續(xù)提問:如果兩邊各放上2個茶杯,天平還會保持平衡嗎?兩邊各放上同樣的一把茶壺呢?生答,再一一演示驗證。
圖3、圖4的教學模式和前面一樣。
板書如下:
2、總結(jié)抽象,認識規(guī)律
通過上面的觀察,先用一句話歸納圖1和圖2的內(nèi)容。(1、等式的兩邊都加上或減去相同的數(shù),等式不變。)再以第一句話為基礎(chǔ)歸納出圖3和圖4的內(nèi)容。(2、等式的兩邊都乘或除以相同的數(shù)(0除外)等式不變。)
教師指出這是等式的一個非常重要的性質(zhì)。板書:等式的基本性質(zhì)
(三)鞏固練習,深化認識
練習題的設(shè)計,低起點,小臺階,循序漸進,符合學生接受知識的特點,培養(yǎng)了學生的靈活性,使學生獲得成功的滿足感。
1、根據(jù)圖(1)在下面每幅圖的括號里填上適當?shù)姆柣驍?shù)字,使天平平衡。
2、課堂作業(yè)。(當堂完成)
填一填。(a、b均不為0)
(1) 如果x+a=b,那么x+a-a=b○
(2) 如果x-a=b,那么x-a+a=b○
(3) 如果ax=b,那么a x÷a=b○
(4) 如果x÷a =b,那么x÷a×a=b○
3、拓展訓練。
五、最后,關(guān)注學生的和感受,提出:通過本節(jié)課的學習你有什么收獲?
一元一次不等式課件
每位老師不可或缺的課件是教案課件,因此教案課件可能就需要每天都去寫。教案是課程開展的向?qū)?。今天小編為大家?guī)砹艘黄P(guān)于“一元一次不等式課件”的相關(guān)文章,如果你希望長期關(guān)注我的分享請不要忘記將它收藏起來!
一元一次不等式課件 篇1
【知識與技能】
1、了解一元一次不等式組的概念。
2、理解一元一次不等式組的解集,能求一元一次不等式組的解集。
3、會解一元一次不等式組。
【過程與方法】
通過具體問題得到一元一次不等式組,從而了解一元一次不等式組的概念,解出每個不等式,利用數(shù)軸求出各不等式解集的公共部分,從而得到不等式組的解集,通過解幾個有代表性的一元一次不等式組,總結(jié)出求不等式組解集的法則。
【情感態(tài)度】
運用數(shù)軸確定不等式組的解集是行之有效的方法。這種“數(shù)形結(jié)合”的方法今后經(jīng)常用到,鍛煉同學們數(shù)形結(jié)合的能力,提高學習興趣。
【教學重點】
一元一次不等式組的解法。
【教學難點】
確定一元一次不等式組的解集。
一、情境導入,初步認識
問題1 現(xiàn)有兩根木條a和b,a長10cm,b長3cm,如果要再找一根木條c,用這三根木條釘成一個三角形木框,那么木條c的長度有什么要求?
解:由于三角形中兩邊之____大于第三邊,兩邊之____小于第三邊,設(shè)c的長為xcm,則x<____,①x>____,②
合起來,組成一個__________。
由①解得_____________,由②解得_____________。
在數(shù)軸上表示就是________________。
容易看出:x的取值范圍是____________________。
這就是說,當木條c比____cm長并且比____cm短時,它能與木條a和b一起釘成三角形木框。
問題2 由上面的解不等式組的過程用自己的語言歸納出一元一次不等式組的解法。
【教學說明】全班同學可獨立作業(yè),也可分組自由討論,10分鐘后交流成果,逐步得出結(jié)論。
二、思考探究,獲取新知
思考什么叫一元一次不等式組,什么叫一元一次不等式組的解集,什么叫解不等式組?
【歸納結(jié)論】
1、定義:
(1)一元一次不等式組:幾個含有相同未知數(shù)的一元一次不等式合起來組成一個一元一次不等式組。
(2)一元一次不等式組的解集:幾個不等式的解集的公共部分,叫做由它們所組成的不等式的解集。
(3)解不等式組:求一元一次不等式組的解集的過程叫解一元一次不等式組。
2、一元一次不等式組的解法:
(1)求出每個一元一次不等式的解集。
(2)求出這些解集的公共部分,便得到一元一次不等式組的解集。
一元一次不等式課件 篇2
一元一次不等式教案
教學目標
1、能夠根據(jù)實際問題中的數(shù)量關(guān)系,列一元一次不等式(組)解決實際問題.
2、通過例題教學,學生能夠?qū)W會從數(shù)學的角度認識問題,理解問題,提出問題,?? 學會從實際問題中抽象出數(shù)學模型.
3、能夠認識數(shù)學與人類生活的密切聯(lián)系,培養(yǎng)學生應(yīng)用所學數(shù)學知識解決實際問題的意識.
教學重點? 能夠根據(jù)實際問題中的數(shù)量關(guān)系,列出一元一次不等式(組)解決 實際問題
教學難點? 審題,根據(jù)實際問題列出不等式.
例題? 甲、乙兩商場以同樣的。價格出售同樣的商品,并且又各自推出不同的優(yōu)惠方案:在甲商場累計購物超過100元后,超出100元的部分按90%收費;在乙商場累計購物超過50元后,超出50元的部分按95%收費。顧客到哪家商場購物花費少??
解:設(shè)累計購物x元,根據(jù)題意得
(1)當0 < x≤50時,到甲、乙兩商場購物花費一樣;
(2)當50< x≤100時,到乙商場購物 m. 花費少;
(3)當x > 100時,到甲商場的花費為100+0.9(x-100) , 到乙商場的花費為50+0.95(x-50)則
50+0.95(x-50) > 100+0.9(x-100),解之得x >150
50+0.95(x-50) < 100+0.9(x-100),解之得x < 150
50+0.95(x-50) = 100+0.9(x-100),?? 解之得x = 150
答:當0 < x≤50時,到甲、乙兩商場購物花費一樣;
當50< x≤100時,到乙商場購物花費少;當x>150時,到甲商場購物花費少;當100 < x <150時,到乙商場購物花費少;當x=150時,到甲、乙兩商場購物花費一樣。
變式練習? 學校為解決部分學生的午餐問題,聯(lián)系了兩家快餐公司,兩家公司的報價、質(zhì)量和服務(wù)承諾都相同,且都表示對學生優(yōu)惠:甲公司表示每份按報價的90%收費,乙公司表示購買100份以上的部分按報價的80%收費。問:選擇哪家公司較好?
解:設(shè)購買午餐x份,每份報價為“1”,根據(jù)題意得
0.9x > 100+0.8(x-100),解之得x >200
0.9x < 100+0.8(x-100),解之得x < 200
0.9x = 100+0.8(x-100),解之得x = 200
答:當x>200時,選乙公司較好;當0 < x <200時,選甲公司較好;當x=200時,兩公司實際收費相同。
作業(yè)
1、某商店5月1號舉行促銷優(yōu)惠活動,當天到該商店購買商品有兩種方案,方案一:用168元購買會員卡成為會員后,憑會員卡購買商店內(nèi)任何商品,一律按商品價格的8折優(yōu)惠;方案二:若不購買會員卡,則購買商店內(nèi)任何商品,一律按商品價格的9.5折優(yōu)惠。已知小敏5月1日前不是該商店的會員。請幫小敏算一算,采用哪種方案更合算?
2、某單位計劃10月份組織員工到杭州旅游,人數(shù)估計在10~25之間。甲乙兩旅行社的服務(wù)質(zhì)量相同,且組織到杭州旅游的價格都是每人200元。該單位聯(lián)系時,甲旅行社表示可以給予每位旅客七五折優(yōu)惠;乙旅行社表示可先免去一帶隊領(lǐng)導的旅游費用,其余游客八折優(yōu)惠。問該單位怎樣選擇,可使其支付的旅游總費用較少?
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一元一次不等式課件 篇3
尊敬的各位老師:
大家好,今天,我說課的內(nèi)容是一元一次不等式。
對于本節(jié)課,我將從教什么、怎么教、為什么這么教來闡述本次說課。
新課標指出:數(shù)學課程要面向全體學生,適應(yīng)學生個性發(fā)展的需要,使得人人都能獲得良好的數(shù)學教育,不同的人在數(shù)學上都能得到不同的發(fā)展。今天我將貫徹這一理念從教材分析、學情分析、教學過程等幾個方面展開我的說課。
教材是連接教師和學生的紐帶,在整個教學過程中起著至關(guān)重要的作用,所以,先談?wù)勎覍滩牡睦斫狻?/p>
本節(jié)課主要講述的是一元一次不等式的概念及其解法。
在本節(jié)課之前學生已經(jīng)掌握了一元一次方程的相關(guān)知識和不等式的性質(zhì),所以,本節(jié)課類比一元一次方程的解法,利用不等式的性質(zhì)解一元一次不等式。另外,本節(jié)課為后續(xù)學習解一元一次不等式組奠定基礎(chǔ)。
不等式在日常生產(chǎn)生活中的應(yīng)用很廣泛,它與數(shù)、式、方程、函數(shù)甚至幾何圖形有著密切的聯(lián)系,它幾乎滲透到初中數(shù)學的每一部分。所以,本節(jié)課在數(shù)學領(lǐng)域中起著非常重要的地位。
合理把握學情是上好一堂課的基礎(chǔ),本次課所面對的學生群體具有以下特點。
本學段的學生逐漸掌握抽象概念和復雜的概念系統(tǒng),能作科學定義,抽象邏輯思維逐步占優(yōu)勢。
本階段的學生類比推理能力都有了一定的發(fā)展,并且在生活中已經(jīng)遇到過很多關(guān)于一元一次方程的具體的事例,所以在生活上面有了很多的經(jīng)驗基礎(chǔ)。為本節(jié)課的順利開展做好了充分準備。
根據(jù)以上對教材的.分析以及對學情的把握,我制定了如下三維目標:
通過對比解一元一次方程的步驟,學生自己總結(jié)歸納一元一次不等式步驟的過程,提高歸納能力,并學會類比的學習方法。
通過數(shù)學建模,提高對數(shù)學的學習興趣。
本著新課程標準,吃透教材,了解學生特點的基礎(chǔ)上我確定了以下重難點:
掌握一元一次不等式的概念,會解一元一次不等式并能夠在數(shù)軸上表示出來。
一元一次不等式課件 篇4
人教版七年級數(shù)學下冊《一次函數(shù)與一元一次不等式》教學反思
例1:請畫出函數(shù)y=-3x+12的圖像,你能利用圖像解決下列問題嗎?
(1)方程-3x+12=0的解(2)不等式-3x+12>0的解集.
(3)如果y的值在-6≤y≤6的范圍內(nèi),那么相應(yīng)的x的值在什么范圍內(nèi)?
問題一提出,就有學生不假思索,答案脫口而出,前兩問也太簡單了吧?我提醒學生注意題目要求,這時有學生開始畫函數(shù)圖像。讓學生自己動手,畫出一次函數(shù)y=-3x+12的圖像,目的是讓學生從畫圖的過程中感受從左至右,直線是呈“下降”趨勢的。即y隨x的增大而減小。對于前兩問,學生還比較好理解,但到第3問,有些學生就找不到答案了。這時就要引導學生從第2問,開始延伸,當解-3x+12>0,即函數(shù)值為正數(shù)時,對應(yīng)的函數(shù)的圖像在x軸的上方,y>0時,坐標系中表示的`是一個平面區(qū)域,在這個區(qū)域中找出對應(yīng)的自變量x的取值范圍即為不等式的解。讓學生對第3問,再次進行探究,由圖像找出函數(shù)值在-6--6之間的部分,對應(yīng)地可以找出自變量x的取值范圍。要求學生能在函數(shù)圖像上找到這個區(qū)域,老師再用多媒體進行動態(tài)演示。進一步激發(fā)學生思考,你能用其他方法解決這個問題嗎?學生能聯(lián)想到第3問也可以利用解不等式組的方法求出x的取值范圍。通過本題的解決,讓學生初步感受不等式與方程、函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系
一元一次不等式課件 篇5
一元一次不等式的應(yīng)用教案
一元一次不等式的應(yīng)用教案 孫云云 一、前置作業(yè) 請自學課本12、13頁,相信你會有很大的收獲!帶著的你的例子借助一元一次不等式來解決實際問題。 二、教學過程 一)導入 在現(xiàn)實中的許多問題,可以借助于一元一次不等式來解決。本節(jié)課我們來研究用元一次不等式解決實際 問題。 二、檢查前置作業(yè),交流組內(nèi)存在問題 怎樣借助一元一次不等式解決實際問題 三、班級匯報展示 帶著你的`例子借助一元一次不等式來解決實際問題。 四、總結(jié)提升 你學會了什么? 五、布置作業(yè) 教學反思:開始課堂沉悶,學生有些緊張,后來在教師的調(diào)解下,氣氛活躍了。樊廣文出的題中缺少一個條件,馬悅出的三道題所提出的問題都有不正確,盡管學生在編的實際問題中出現(xiàn)了失誤,但學生真的動起來了,在思想的相互碰撞中,每個問題都得到了解決。但也有不足,如小組的時效性較小,雖然經(jīng)歷了小組交流,但問題并未深入的解決,馬悅的三道題是代表小組的,但小組只停留在馬悅出題了,也沒有交流她出題的正確性。導致三道題都出現(xiàn)同一個問題。在今后的教學中教師更應(yīng)該關(guān)注小組的時效性。
一元一次不等式組課件優(yōu)選13篇
幼兒教師教育網(wǎng)今天為大家介紹的是一篇有關(guān)“一元一次不等式組課件”的文章。對于新入職的老師而言,教案課件還是很重要的,因此教案課件不是隨便寫寫就可以的。只有高質(zhì)量的教案才能帶來好的教學效果。希望本文能夠為您提供一些實用建議!
一元一次不等式組課件【篇1】
教學目標
1.能夠根據(jù)具體問題中數(shù)量關(guān)系,列出一元一次不等式組,解決簡單問題。
2.滲透“數(shù)學建模”思想。最優(yōu)化理論。
3.提高分析問題解決問題能力。
教學重點
分析實際問題列不等式組。
教學難點
1.找實際問題中的不等關(guān)系列不等式組。
2.有條理的表達思考過程。
教學過程
一、創(chuàng)設(shè)問題情境。
本節(jié)課我們一起學習用一元一次不等式組解決一些簡單的實際問題。
出示問題:
某公園售出一次性使用門票,每張10元。為吸引更多游客,新近推出購買“個人年票”的售票方法。年票分A、B兩類。A類年票每張100元,持票者每次進入公園無需再購買門票。B類年票每張50元,持票者進入公園時需再購買每次2元的門票。你能知道某游客一年中進入該公園至少超過多少次,購買A類年票最合算嗎?
二、建立模形。
1.分析題意回答:
①游客購買門票,有幾種選取擇方式?
②設(shè)某游客選取擇了某種門票,一年進入該公園x次,門票支出是多少?
③買A類年票最合算,應(yīng)滿足什么關(guān)系?
2.討論交流,列出不等式組。
3.解不等式組,說出問題的答案。
三、應(yīng)用。
學生討論、交流。
1.什么情況下,購買每次10元的門票最合算。
2.什么情況下,購買B類年票最合算?
學生清晰、有條理地表達自己的思考過程,且考慮問題要全面。
四、練習。
某校安排寄宿時,如果每項間宿舍住7人,那么有1間雖有人住,但沒住滿。如果每間宿舍住4人,那么有100名學生住不下。問該校有多少寄宿生?有多少間宿舍?
(提示學生找到本題中的兩個不等關(guān)系。學生人數(shù),宿舍間數(shù)都為整數(shù)。解本題時,先獨立思考,再小組交流)
五、小結(jié)
列一元一次不等式組,解決實際問題的基本步驟是什么?(討論、交流,指名回答)
六、作業(yè)。
習題1.3A組第1題。
后記:
一元一次不等式組課件【篇2】
[學習目標]
1.進一步鞏固一元一次不等式組的解法
2.會用一元一次不等式組解決有關(guān)的實際問題
3.理解一元一次不等式組應(yīng)用題的一般解題步驟
[學習重點]一元一次不等式組的應(yīng)用
[學習難點]在實際問題中尋找不等關(guān)系,列出不等式組
[學習過程]
一、春耕(創(chuàng)設(shè)情境,導入新課)
在上課之前,老師請大家來幫一個忙,幫老師來解決一道難題:老師有一個熟人姓王,他有一個哥哥和一個弟弟,哥哥的年齡是20歲,小王的年齡的2倍加上他弟弟年齡的5倍等于97.現(xiàn)在小王要老師猜猜他和他弟弟的年齡各是多少?俗話說三個臭皮匠,可抵一個諸葛亮,現(xiàn)在我們?nèi)嗤瑢W可抵得上很多諸葛亮,所以老師相信大家一定有辦法的.
二、夏耘(師生互動,課堂探究)
(一)提出問題,引發(fā)討論
當一個未知數(shù)同時滿足幾個不等關(guān)系時,我們就按這些關(guān)系分別列幾個不等式,這樣就得到不等式組,用不等式組解決實際問題時,其公共解是否一定為實際問題的解呢?請舉例說明.
例:甲以5km/時的速度進行跑步鍛煉,2小時后,乙騎自行車從同地出發(fā)沿同一條路追趕甲.但他們兩人約定,乙最快不早于1小時追上甲,最慢不晚于1小時15分追上甲.你能確定乙騎車的速度應(yīng)當控制在什么范圍嗎?
(二)導入知識,解釋疑難
1.教材內(nèi)容講解
如課本例2(P145)(請同學自己閱讀,動手列不等式組進行求解,再將自己答案與課本答案進行比較)不等式組的解集為15
又如:將若干只雞放入若干個籠,若每個籠里放4只,則有1只雞無籠可放;若每個籠里放5只,則有1籠無雞可放,那么至少有多少只雞,多少個籠?
2.探究活動
把16根火柴首尾相接,圍成一個長方形(不包括正方形),怎樣找到圍出不同形狀的長方形個數(shù)最多的辦法呢?最多個數(shù)又是多少呢?
三.秋收(歸納總結(jié),知識回顧)
1. 應(yīng)用不等式組解決實際問題的步驟:1.審清題意;2.設(shè)未知數(shù),根據(jù)所設(shè)未知數(shù)列出不等式組;3.解不等式組;4.由不等式組的解確立實際問題的解;5.作答.(與列方程組解應(yīng)用題進行比較)
2.雙基練習
1.已知方程組 有正整數(shù)解,則k的取值范圍是_________.
2.若不等式組 無解,求a的取值范圍.
3.當2(m-3)x-m的解集.
4.某學校為學生安排宿舍,現(xiàn)有住房若干間,若每間5人還有14人安排不下,若每間7人,則有一間還余一些床位,問學校有幾間房可以安排學生住宿?可以安排住宿的學生多少人?
四.冬藏(創(chuàng)新提升)
某商場為了促銷,開展對顧客贈送禮品活動,準備了若干件禮品送給顧客,在一次活動中,如果每人送5件,則還余8件,如果每人送7件,則最后一人還不足3件.設(shè)該商場準備了m件禮品,有x名顧客獲贈,請回答下列問題:
(1)用含x的代數(shù)式表示m.
(2)求出該次活動中獲贈顧客人數(shù)及所準備的禮品數(shù)
一元一次不等式組課件【篇3】
教學目標:
了解一元一次不等式的概念,掌握一元一次不等式的解法。
教學重點:
是掌握解一元一次不等式的步驟
教學難點:
是必須切實注意遇到要在不等式兩邊都乘以(或除以)同一負數(shù)時,必須改變不等號的方向。
教學過程:
一、問題導入
復習:
1、不等式的基本性質(zhì)有哪些?什么是一元一次方程?并舉出兩個例子。
2、觀察不等式x+3<5與x<2,說明解x<2是x+3<5依據(jù)什么變形得到的?
3、解一元一次方程:6x+5=7-2x,目的是為了與下面所學的解一元一次不等式進行類比,找到它們的聯(lián)系與區(qū)別。
二、指導自學,小組合作交流
請同學們根據(jù)以下提問進行自學,先個人思考,后小組合作學習。
1、觀察下列不等式,說一說這些不等式有哪些共同特點?
(1)2x+5≥8(2)x+1≤—4(3)x<2(4)6—3x>43(x+1)≤0
觀察上面不等式有哪些共同特點,讓學生通過交流,再總結(jié)一元一次不等式的概念。老師板書定義。
2、讓學生舉出2或3個一元一次不等式的例子,小組交流。
3、讓學生通過比較解一元一次方程:6x+5=7-2x的解法試解一元一次不等式:6x+5<7-2x,并將解集在數(shù)軸上表示出來。
4、思考:一元一次不等式與一元一次方程的解法有哪些類似之處?有什么不同?
5、解下列不等式,并把它們的解集在數(shù)軸上表示出來。
(1)3-x<2x+9(2)2-4(x-1)>3(x+2)-x
(3)(x-1)/3≥(2-x)/2+1
總結(jié):解一元一次不等式的依據(jù)和解一元一次不等式的步驟。
三、互動交流,教師點撥
(一)、學生易出錯的問題和注意的事項:
1、確定一個不等式是不是一元一次不等式,要抓住三個要點:左右兩邊都是整式,只有一個未知數(shù),未知數(shù)的次數(shù)是1。
2、對于(1),讓學生說明不等式3-x<2x+9的每一步變形的依據(jù)是什么,特別注意的是:解不等式的移項和解方程的移項一樣。即移項要變號(培養(yǎng)學生運用類比的數(shù)學思想)。
3、不等式兩邊同時除以(-3)時,不等號的方向改變。
2、重點點撥(2)和(3),先讓學生到黑板上板演。老師再講評。
(2)易出錯的地方是:去括號時漏乘,括號前是負號,去掉括號后括號里的項沒變號,還有移項沒有變號;(3)易出錯的地方是:去分母時漏乘無分母的項。
3、歸納解一元一次不等式的步驟(與解一元一次方程的步驟類比):去分母,去括號,移項,合并同類項,系數(shù)化為1。(在系數(shù)化為1這一步要特別提醒學生注意當系數(shù)為負數(shù)時,要記住改變不等號的方向。)
四、鞏固練習
1、判斷下列不等式是不是一元一次不等式,為什么?
(1)2/x—3
(2)5x+3x–1
(4)x(2x+1)
(5)X+2≥x
2、解下列不等式,并把它們的解集在數(shù)軸上表示出來
(1)3x–8
(2)2(x–1)≥x+3
(3)x/5≥1+(x–3)/2
3、[思考]當x取何值時,代數(shù)式(x–2)/2的值比(3x+1)/3的值大?
小結(jié):
(1)不等式兩邊同時除以負數(shù)時,不等號的方向要改變。
(2)注意去括號時不要漏乘,括號前是負號,去掉括號后括號里的項要變號,還有移項一定要變號
(3)去分母時不要漏乘無分母的項。
一元一次不等式組課件【篇4】
教學建議
一、知識結(jié)構(gòu)
本書首先結(jié)合實例引入一元一次不等式組的解集的概念,然后通過三個例題說明利用數(shù)軸解一元一次不等式組的方法,最后對一元一次不等式組的解法步驟進行了總結(jié).
二、重點、難點分析
本節(jié)教學的重點是掌握一元一次不等式組的解法步驟并準確地求出解集.難點是正確應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)對不等式進行變形、求不等式組中各個不等式解集的公共部分.不等式在中學代數(shù)中是研究問題的重要工具,例如求函數(shù)的定義域、值域、研究函數(shù)的單調(diào)性,求最大值、最小值,一元二次方程根的討論等,都要用到不等式的知識.不等式也是進一步學習其他數(shù)學內(nèi)容的基礎(chǔ).學習和掌握不等式的求解和不等式的證明方法,對培養(yǎng)學生邏輯思維能力也有極其重要的作用.在處理解不等式的問題中,一元一次不等式組的解法,具有特別重要的意義.這是因為,解各類不等式的問題都可以歸結(jié)為解一些由簡單不等式所組成的不等式組.
1、在構(gòu)成不等式組的幾個不等式中
①這幾個一元一次不等式必須含有同一個未知數(shù);
②這里的“幾個”并未確定不等式的個數(shù),只要不是一個,兩個,三個,四個……都行.
2、當幾個不等式的解集沒有公共部分時,我們就說這個不等式組無解.
3、由兩個一元一次不等式組成的不等式的解集,共歸結(jié)為下面四種基本情況:
【注意】①其中第(4)個不等式組,實質(zhì)上是矛盾不等式組,任何數(shù)都不能使兩個不等式同時成立。所以說這個不等式組無解或說其解集為空集。②從上面列出的表中,我們可以概括出來不等式組公共解的一規(guī)律:同大取大,同小取小,一大一小中間找。
三、教法建議
1.解本節(jié)的引例及例1、例2、例3時,注意把解不等式組的思路講清楚,即先分別解每一個不等式,求出解集,再求這些解集的公共部分.求公共部分的過程一定要結(jié)合數(shù)軸來講。
2.這節(jié)課的講解自始至終要突出解不等式組的基本思想以及解一元一次不等式組的步驟這兩個重點.準確熟練地解一元一次不等式以及用數(shù)軸上的點表示不等式的解集是這節(jié)課的基礎(chǔ),因此講新課之前要復習提問這些內(nèi)容。
3.求公共解集是這節(jié)課的新授內(nèi)容,教師要充分利用數(shù)軸表示不等式解集具有形象、直觀、易于說明問題這些優(yōu)點.解集的公共部分教師可用彩筆在數(shù)軸的相應(yīng)部分描畫出來,使學生感到醒目,便于理解記憶。
4.每組不等式不要超過三個,關(guān)鍵是使學生理解和掌握解不等式組的基本思想和兩個步驟,不宜做過于難、過于多、重復的機械計算。
一元一次不等式組課件【篇5】
〖教學目標〗
1、理解一元一次不等式組的概念.
2、理解不等式組的解的概念.
3、會解由兩個一元一次不等式組成的不等式組,并會用數(shù)軸確定解.
4、培養(yǎng)學生類比推理能力.
〖教學重點與難點〗
教學重點:一元一次不等式組的解法.
教學難點:例2較為復雜,幾乎包括了解一元一次不等式的全部步驟,是本節(jié)教學的難點,用數(shù)軸表示一元一次不等式組的解也是難點。
〖教學過程〗
一.引入
1.想一想:某單位從超市購買了墨水筆和圓珠筆共15桶,所付金額超過570元,但不到580元。已知這兩種筆每桶的單價為圓珠筆34.90元/支,墨水筆44.90元/支。設(shè)購買圓珠筆X桶,你能列出幾個不等式?
2.學生活動:找出已知條件,列出所有不等關(guān)系式,互相討論,類推概念,鼓勵學生通過觀察,分析,補充解決問題。
3.最后教師總結(jié)兩個不等式。
如設(shè)購買圓珠筆的桶數(shù)為X,則:
二.新課
1.一元一次不等式組:一般地,由幾個同一個未知數(shù)的一元一次不等式所組成的一組不等式,叫做一元一次不等式組。像上面就是一元一次不等式組,再
例如:
都是一元一次不等式組.
2.不等式組解的概念:組成不等式組的各個不等式的解的公共部分就是不等式組的解.當它們沒有公共部分時.我們稱這個不等式組無解.
3.做一做:
例1.解一元一次不等式組
解:解不等式①,
得:
X>-1
解不等式②,
得:
X≤6
把
①
②兩個不等式的解表示在數(shù)軸上,如下圖:
-1
6
所以原不等式組的解是-14.應(yīng)用拓展:解由兩個一元一次不等式組成的不等式組,在取各個不等式的解公共部分時,有幾種不同情況嗎?若a用數(shù)軸試一試.(設(shè)a一般由兩個一元一次不等式組成的不等式組由四種基本類型確定,它們的解集、數(shù)軸表示如下表一元一次不等式組解集圖示口訣x>ax>bx>b大大取大xxx小小取小x>axa比小大,比大小,中間找xx>b無解比小小,比大大,解不了(無解)5.嘗試反饋:試一試,利用數(shù)軸分別求出滿足下列各組不等式組的x值的公共部分:6.探索較復雜的不等式組的解法:例2.解一元一次不等式組解:由不等式①,去擴號得3-5X>X-4X+2移項,整理得-2X>-1所以X解不等式②,去分母得3X-2>10-2X移項,整理得5X>12所以X>把①,②兩個不等式的解表示在數(shù)軸上.12所以原不等式組無解.7.通過范例,幫助學生總結(jié)解一元一次不等式組的步驟:(1)依次解各個一元一次不等式.(2)把各個一元一次不等式的解分別表示在同一數(shù)軸上.(3)根據(jù)解在數(shù)軸上的表示確定不等式組的解.三.鞏固(學生活動,與同伴交流自己的問題和解決問題的過程)1.解下列一元一次不等式組:2.分別求出本節(jié)開頭問題中購買墨水筆和圓珠筆的桶數(shù)四.歸納1.學生談本節(jié)課的收獲:優(yōu)等生談學到什么知識,上進生談體會;2.教師小結(jié):這節(jié)課主要學習了一元一次不等式組及不等式組的解的有關(guān)概念,要求會解有兩個一元一次不等式組成的一元一次不等式組,并會用數(shù)軸確定解集;也可以利用口訣“大大取大,小小取小,比小大比大小取中間,比大大比小小無解”來求不等式組的解。五.布置作業(yè)
一元一次不等式組課件【篇6】
一元一次不等式組
教學目標:1.學生通過生活實例,了解一元一次不等式組的意義和一元一次不等式組的解集的概念。
2.學生能利用數(shù)軸熟練的確定一元一次不等式組的解集,培養(yǎng)學生的觀察能力,分析能力。
3.掌握由兩個一元一次不等式所組成的不等式組的解集的四種情況。
4.學生通過對一元一次不等式組的學習,認識到事物間的相依關(guān)系。
教學重點:根據(jù)一元一次不等式組的四種情況,說出一元一次不等式組的解集。教學難點:利用數(shù)軸確定一元一次不等式組的解集。教學過程: 一.創(chuàng)設(shè)情境:
1.你能列出解決這個問題的式子嗎?
(小黑板)某學校初一()班準備一次秋季外出考察活動,該班級共有學生40人。學校根據(jù)預(yù)算要求該班這次活動的總經(jīng)費不能超過2400元;旅游公司按成本計算這次活動總經(jīng)費不能低于2000元。如果考慮雙方的要求,學生所付的經(jīng)費應(yīng)該在哪一范圍之內(nèi)?
學生列式:設(shè)每人所付的經(jīng)費為x元 40x≤2400 40x≥2000
?40x?2400 同時滿足兩個條件,列成不等式組 ?
?40x?2000給出定義:由幾個含有同一個未知數(shù)的一次不等式組成的不等式組叫做一元一次不等式組。
2.(小黑板)判別下列不等式組中哪些是一元一次不等式組,并說明為什么?
?x?0?x??3?x?2(1)?(2)?(3)? x?3?0y?3x?4????2x?3?54x?1?0???3x?1?4?(4)?(5)?2(6)?3x?2?1
??x?3?0?x?y?1?x?9?0?二.嘗試探究:
1.問題:怎樣確定不等式組的解集呢? ?40x?2400?x?60 比如:?的解集怎樣確定呢??這個式子就是不?40x?2000?x?50等式組的解集嗎?
2.利用數(shù)軸來確定不等式組的解集
?x?3?x?3?x?3?x?3 例:(1)?(2)?(3)?(4)?
?x??1?x??1?x?-1?x??1 本題教師和學生共同完成
鞏固練習:(書四題,學生練習,學生板演,小組互相檢查,教師巡視指導)
小組討論:當a>b時,如何確定下列不等式組的解集?
?x?a?x?a?x?a?x?a(?。?(2)?(3)?(4)?
?x?b?x?b?x?b?x?b 課后思考:當a
三.歸納小結(jié):
1.本節(jié)課我們認識了什么是一元一次不等式組及其解集,并學會了利用數(shù)軸來確定不等式組的解集。(利用例題中四個不等式組解集情況說明不等式組解集取法)
2.一元一次不等式組和二元一次方程組類似,也有不同的地方。兩者都是由兩個或幾個一次式組成,但不等式組是同一個字母,方程組中有兩個字母。3.具體求不等式組解集的方法,下節(jié)課我們接著學習。
四.布置作業(yè):
練習冊B冊習題
同步練習
一元一次不等式組課件【篇7】
1、由“彈簧掛物問題”導入
把教學內(nèi)容轉(zhuǎn)化為具有潛在意義的`問題,讓學生產(chǎn)生強烈的問題意識,使學生的整個學習過程成為“猜想”,繼而緊張地沉思,期待尋找理由和證明過程。
在實際情況下進行學習,可以使學生利用已有知識與經(jīng)驗,同化和索引出當前學習的新知識,這樣獲取的知識,不但易于保持,而且易于遷移到陌生的問題情境中。在本問題中使學生感受到一元一次不等式、一元一次方程、一次函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系
2、導疑:得出本課新的知識點是:一元一次不等式、一元一次方程、一次函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系
3、導研:講解例題?!覀冊谥v解例題時,不僅在于怎樣解,更在于為什么這樣解,而及時對解題方法和規(guī)律進行概括,有利于發(fā)展學生的思維能力。在題中:引導學生圍撓一元一次不等式、一元一次方程、一次函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系展開從多個角度進行思考。
4、導練:課后練習使學生能鞏固羨慕自覺運用所學知識與解題思想方法。
5、導評:總結(jié)結(jié)論,強化認識。知識性內(nèi)容的小結(jié),可把課堂教學傳授的知識盡快化為學生的素質(zhì);數(shù)學思想方法的小結(jié),可使學生更深刻地理解數(shù)學思想方法在解題中的地位和應(yīng)用,并且逐漸培養(yǎng)學生的良好的個性品質(zhì)目標。
6、變式延伸,進行重構(gòu)。重視課本例題,適當對題目進行引申,使例題的作用更加突出,有利于學生對知識的串聯(lián)、累積、加工,從而達到舉一反三的效果。
7、板書。
8、布置作業(yè)。針對學生素質(zhì)的差異進行分層訓練,既使學生掌握基礎(chǔ)知識,又使學有佘力的學生有所提高,從而達到拔尖和“減負”的目的。
(教學程序:
(一):課堂結(jié)構(gòu):導入、導疑、導研、導評、導練、布置作業(yè)等幾部分。
(二):教學簡要過程:
1:復習提問:(理由是:);2:導入講授新課:;3:課堂練習:4:新課鞏固:5:作業(yè)布置;)
五:作業(yè)布置:略
一元一次不等式組課件【篇8】
【知識與技能】
1、了解一元一次不等式組的概念。
2、理解一元一次不等式組的解集,能求一元一次不等式組的解集。
3、會解一元一次不等式組。
【過程與方法】
通過具體問題得到一元一次不等式組,從而了解一元一次不等式組的概念,解出每個不等式,利用數(shù)軸求出各不等式解集的公共部分,從而得到不等式組的解集,通過解幾個有代表性的一元一次不等式組,總結(jié)出求不等式組解集的法則。
【情感態(tài)度】
運用數(shù)軸確定不等式組的解集是行之有效的方法。這種“數(shù)形結(jié)合”的方法今后經(jīng)常用到,鍛煉同學們數(shù)形結(jié)合的能力,提高學習興趣。
【教學重點】
一元一次不等式組的解法。
【教學難點】
確定一元一次不等式組的解集。
一、情境導入,初步認識
問題1 現(xiàn)有兩根木條a和b,a長10cm,b長3cm,如果要再找一根木條c,用這三根木條釘成一個三角形木框,那么木條c的長度有什么要求?
解:由于三角形中兩邊之____大于第三邊,兩邊之____小于第三邊,設(shè)c的長為xcm,則x<____,①x>____,②
合起來,組成一個__________。
由①解得_____________,由②解得_____________。
在數(shù)軸上表示就是________________。
容易看出:x的取值范圍是____________________。
這就是說,當木條c比____cm長并且比____cm短時,它能與木條a和b一起釘成三角形木框。
問題2 由上面的解不等式組的過程用自己的語言歸納出一元一次不等式組的解法。
【教學說明】全班同學可獨立作業(yè),也可分組自由討論,10分鐘后交流成果,逐步得出結(jié)論。
二、思考探究,獲取新知
思考什么叫一元一次不等式組,什么叫一元一次不等式組的解集,什么叫解不等式組?
【歸納結(jié)論】
1、定義:
(1)一元一次不等式組:幾個含有相同未知數(shù)的一元一次不等式合起來組成一個一元一次不等式組。
(2)一元一次不等式組的解集:幾個不等式的解集的公共部分,叫做由它們所組成的不等式的解集。
(3)解不等式組:求一元一次不等式組的解集的過程叫解一元一次不等式組。
2、一元一次不等式組的解法:
(1)求出每個一元一次不等式的解集。
(2)求出這些解集的公共部分,便得到一元一次不等式組的解集。
一元一次不等式組課件【篇9】
1.會解一元一次不等式.
2.會用不等式來表示實際問題中的不等關(guān)系.
掌握解一元一次不等式的步驟;會用一元一次不等式解決簡單的實際問題.
尋找實際問題中的不等關(guān)系,建立數(shù)學模型.
1.?不等式的基本性質(zhì)有哪些?
(1)3x3.
.二、夏耘:
例 甲、乙兩商店以同樣價格出售同樣的商品,并且又各自推出不同的優(yōu)惠方案:在甲店累計購買100元商品后,再購買的商品按原價的90%收費;在乙店累計購買50元商品后,再購買的商品按原價的95%收費.顧客怎樣選擇商店購物能獲得更大優(yōu)惠?
這個問題較復雜,從何處入后考慮它呢?
甲商店優(yōu)惠方案的起點為購物款達___元后;
乙商店優(yōu)惠方案的起點為購物款過___元后.
我們是否應(yīng)分情況考慮?可以怎樣分情況呢?
(1)如果累計購物不超過50元,則在兩店購物花費有區(qū)別嗎?
(2)如果累計購物超過50元而不超過100元,則在哪家商店購物花費???為什么?
(3)如果累計購物超過100元,那么在甲店購物花費小嗎?
三、秋收:
1.某校校長暑假將帶領(lǐng)該校市級優(yōu)秀學生乘旅行社的車去a市參加科技夏令營,甲旅行社說:“如果校長買全票一張,則其余學生可享受半價優(yōu)惠”.乙旅行社說:“包括校長在內(nèi)全部按全票的6折優(yōu)惠”,若全票價為240元.
(1)設(shè)學生數(shù)為x,甲旅行社收費為y甲,乙旅行社收費為y乙.分別計算兩家旅行社的收費(建立表達式);
(2)當學生數(shù)是多少時,兩家旅行社的收費一樣?
(3) 就學生數(shù)x討論哪家旅行社更優(yōu)惠.
2.某商店出售茶壺和茶杯,茶壺每只20元,茶杯每只5元,該商店有兩種優(yōu)惠辦法:
(1)?買一只茶壺送一只茶杯;
(2)?按總價的92%付款.現(xiàn)有一顧客需購買4只茶壺,茶杯若干只(不少于4只).
請問:顧客買同樣多的茶杯時,用哪一種優(yōu)惠辦法購買省錢?
3.某人的移動電話(手機)可選擇兩種收費辦法中的一種,甲種收費辦法是,先交月租費50元,每通一次電話再收費0.40元;乙種收費辦法是,不交月租費,每通一次電話收費0.60元.問每月通話次數(shù)在什么范圍內(nèi)選擇甲種收費辦法合適?在什么范圍內(nèi)時選擇乙種收費辦法合適?
四、冬藏(補充練習):
1.有一批貨物,如月初售出,可獲利1000元,并可將本利之和再去投資,到月末獲1.5%的利息;如月末售出這批貨,可獲利1200元,但要付50元保管費.問這批貨在月初還是月末售出好.
2.某市自來水公司為限制單位用水,每月只給某單位計劃內(nèi)用水3000噸,計劃內(nèi)用水每噸收費0.5元,超計劃用水超出部分每噸收費0.8元.如果單位自建水泵房抽水,每月需交500元管理費,另外每月一噸水再交0.28元,已知每抽一噸水需成本0.07元.問該單位是用自來水公司的水合算,還是自建水泵房抽水合算.
一元一次不等式組課件【篇10】
科學合理的教學方法能使教學效果事半功倍,達到教與學的和諧完美統(tǒng)一。
基于此,我準備采用的教法講授法、討論法。德國教育學家第斯多慧:差的教師只會奉送真理,好的教師則交給學生如何發(fā)現(xiàn)真理,老師的教是為了不教,這才是教學的最高境界,所以我采用的學法是練習法、自主合作法。
在這節(jié)課的教學過程中,我注重突出重點,條理清晰,緊湊合理。各項活動的安排也注重互動、交流,最大限度的調(diào)動學生參與課堂的積極性、主動性。
首先是導入環(huán)節(jié),我采用復習舊知的導入方法。我會讓學生回憶不等式的概念以及一元一次方程的概念,明確指出今天學習的內(nèi)容是《一元一次不等式》。
這樣的設(shè)計既可以考查學生對之前知識的掌握情況,還能夠為今天學習一元一次方程的概念打下基礎(chǔ)。而且開門見山的導入方式能夠快速地進入主題。
接下來是新知探索環(huán)節(jié),首先我請學生類比不等式以及一元一次方程的概念,給一元一次不等式下定義。
能夠總結(jié)出:含有一個未知數(shù),未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式,叫做一元一次不等式。
接下來讓學生回憶上節(jié)課學習的不等式x-7>26如何解決的,通過學生回憶總結(jié)可以得到:通過“不等式的兩邊都加7,不等號的方向不變”而得到的。
接下來提問學生有沒有更加簡便的方法解不等式?讓學生類比解一元一次方程的步驟進行解題??梢缘玫较喈斢诳梢杂谩耙祈棥保瑏斫鉀Q。
在這個過程中,強調(diào)每一個步驟,在第二題最后一步,強調(diào)當不等式的兩邊同時乘以(或除以)同一個負數(shù)時,不等號的方向改變。
解完不等式,先讓學生回憶解一元一次方程的步驟是什么?并類比解一元一次方程的步驟,總結(jié)一下解一元一次不等式的步驟是什么?
從而我們歸納:解一元一次方程,要根據(jù)等式的性質(zhì),將方程逐步化為x=a的形式;而解一元一次不等式,則要根據(jù)不等式的性質(zhì),將不等式逐步化為xa的形式。
《數(shù)學課程標準》指出:“學生是數(shù)學學習的主人,教師是數(shù)學學習的組織者、引導者和合作者”。根據(jù)這一教學理念,在本環(huán)節(jié)中,我組織學生進行了自主探究活動,讓學生在保持高度學習熱情和探究欲望的活動過程中,始終以愉悅的心情,親身經(jīng)歷和體驗知識的形成過程。培養(yǎng)學生的探究能力、分析思維能力,激發(fā)他們的創(chuàng)新意識、參與意識。
第三個環(huán)節(jié)是課堂練習環(huán)節(jié),出示問題,解不等式,并在數(shù)軸上表示數(shù)集:5x+15>4x-1
之所以這樣設(shè)計是因為練習是掌握知識、形成技能、發(fā)展思維的重要手段,針對本課的教學重點和難點,上述練習,目的是讓學生進一步鞏固對新知的理解??梢陨罨虒W內(nèi)容,培養(yǎng)思維的靈活性。
最后一個環(huán)節(jié)為小結(jié)作業(yè)環(huán)節(jié),關(guān)于課堂小結(jié),我打算讓學生自己來總結(jié)今天的收獲。
這樣既發(fā)揮了學生的主體性,又可以提高學生的總結(jié)概括能力,讓我在第一時間得到學習反饋,及時加以疏導。
通過這樣的方式能夠為本節(jié)課學習的知識進行進一步的鞏固。
我的板書設(shè)計遵循簡潔明了突出重點的意圖,這是我的板書設(shè)計:
一元一次不等式組課件【篇11】
(一)復習提問:
三角形的三邊關(guān)系?
(二)列一元一次不等式組
問題:現(xiàn)有兩根木條a和b,a長10cm,b長3cm.如果要再找一根木條c,用這三根木條釘成一個三角形木框,那么對木條c的長度有什么要求?
注:這個問題是本節(jié)的'引入問題,三角形木框的形狀不唯一確定,只要能成為三角形即可.
探究:用三根長度分別為14cm,9cm,6cm的木條c1,c2,c3分別試試,其中哪根木條能與木條a和b一起釘成三角形木框?
可以發(fā)現(xiàn),當木條a和b的長度確定后,木條c太長或太短,都不能與a和b一起釘成三角形.
由于“三角形中兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊”,設(shè)木條c長xcm,則x必須同時滿足不等式x10+3①和x10-3②
注:木條c必須同時滿足兩個條件,即ca+b,ca-b.
類似于方程組,把這兩個不等式合起來,組成一個一元一次不等式組記作注:這里并未正式給一元一次不等式組下定義,只是說這兩個不等式合起來,組成一個一元一次不等式組.實際上,兩個或更多的一元一次不等式組合起來,都組成一個一元一次不等式組.
(三)一元一次不等式組的解集
類比方程組的解,怎樣確定不等式組中x的可取值的范圍呢?
不等式組中的各不等式解集的公共部分,就是不等式組中x可以取值的范圍.
注:這里還未正式出現(xiàn)不等式組的解集的概念,但已點出各不等式的解集的公共部分即不等式組中未知數(shù)的可取值范圍.
由不等式①解得x13.
由不等式②解得x7.
從圖9.3—2容易看出,x可以取值的范圍為713.
注:利用數(shù)軸可以直觀形象地認識公共部分.這個公共部分是兩端有界的開區(qū)間.
這就是說,當木條c比7cm長并且比13cm短時,它能與木條a和b一起釘成三角形木框.
一般地,幾個不等式的解集的公共部分,叫做由它們所組成的不等式組的解集.解不等式組就是求它的解集.
注:這里正式給出不等式組的解集以及解不等式組的定義13.注:利用數(shù)軸可以直觀形象地認識公共部分.這個公共部分是兩端有界的開區(qū)間.這就是說,當木條c比7cm長并且比13cm短時,它能與木條a和b一起釘成三角形木框.一般地,幾個不等式的解集的公共部分,叫做由它們所組成的不等式組的解集.解不等式組就是求它的解集.注:這里正式給出不等式組的解集以及解不等式組的定義。
一元一次不等式組課件【篇12】
一、教材分析
《一元一次不等式組》是華東師大版義務(wù)教育課程標準實驗教科書數(shù)學七年級下冊第八章第三節(jié),我把本節(jié)內(nèi)容分為兩個課時,第一課時是一元一次不等式組的概念及解法,第二課時是不等式組的實踐與探索。今天,我說課的內(nèi)容是第一課時。
《數(shù)學課程標準》對本節(jié)的要求是:充分感受生活中存在著大量的不等關(guān)系,了解不等式組的意義;會解簡單的一元一次不等式組,并會用數(shù)軸確定解集。
《一元一次不等式》的主要內(nèi)容是一元一次不等式(不等式組)的解法及其簡單應(yīng)用。是在學習了有理數(shù)的大小比較、等式及其性質(zhì)、一元一次方程的基礎(chǔ)上,開始學習簡單的數(shù)量之間的不等關(guān)系,進一步探究現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的重要內(nèi)容,是繼一元一次方程和二元一次方程組之后,又一次數(shù)學建模思想的學習,也是后繼學習一元二次方程、函數(shù)及進一步學習不等式的重要基礎(chǔ),具有承前啟后的重要作用。
《一元一次不等式組》是本章的最后一節(jié),是一元一次不等式知識的綜合運用和拓展延伸,是進一步刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的數(shù)學模型,是下一節(jié)利用一元一次不等式組解決實際問題的關(guān)鍵。因此,我把本節(jié)課的教學重點確定為一元一次不等式組的解法。
數(shù)學課程應(yīng)當從學生熟悉的現(xiàn)實生活開始,沿著數(shù)學發(fā)現(xiàn)過程中人類的活動軌跡,從生活中的問題到數(shù)學問題,從具體問題到抽象概念,從特殊關(guān)系到一般規(guī)則,逐步通過學生自己的發(fā)現(xiàn)去學習數(shù)學、獲取知識。得到抽象化的數(shù)學知識之后,再及時地把它們應(yīng)用到新的現(xiàn)實問題上去。按照這樣的途徑發(fā)展,數(shù)學教育才能較好地溝通生活中的數(shù)學與課堂上的數(shù)學的聯(lián)系,才能有益于學生理解數(shù)學,熱愛數(shù)學和使數(shù)學成為生活中有用的本領(lǐng)。
本節(jié)課,既有概念教學又有解題教學,而概念教學,應(yīng)該從生活、生產(chǎn)實例或?qū)W生熟悉的已有知識引入,引導學生通過觀察、比較、分析、綜合,抽取共性,得到概念的本質(zhì)屬性。在此基礎(chǔ)上歸納概括出概念的定義,并引導學生弄清定義中每一個字、詞的確切含義。華師版的'教科書中,只設(shè)計了一個問題情境,我感覺還不夠,不能從一個問題抽象出概念的本質(zhì)。因此,在這里我又增加了一個問題情境,以增加對不等式組概念的理解,加強數(shù)學應(yīng)用意識的培養(yǎng)。
二、學情分析
從學生學習的心理基礎(chǔ)和認知特點來說,學生已經(jīng)學習了一元一次不等式,并能較熟練地解一元一次不等式,能將簡單的實際問題抽象為數(shù)學模型,有一定的數(shù)學化能力。但學生將兩個一元一次不等式的解集在同一數(shù)軸上表示會產(chǎn)生一定的困惑。這個年齡段的學生,以感性認識為主,并向理性認知過渡,所以,我對本節(jié)課的設(shè)計是通過兩個學生所熟悉的問題情境,讓學生獨立思考,合作交流,從而引導其自主學習。
基于對學情的分析,我確定了本節(jié)課的教學難點是:正確理解不等式組的解集。
三、教學目標
在教材分析和學情分析的基礎(chǔ)上,結(jié)合預(yù)設(shè)的教學方法,確定了本節(jié)課的教學目標如下:
1、通過實例體會一元一次不等式組是研究量與量之間關(guān)系的重要模型之一。
2、了解一元一次不等式組及解集的概念。
3、會利用數(shù)軸解較簡單的一元一次不等式組。
4、培養(yǎng)學生分析、解決實際問題的能力。
5、通過實際問題的解決,體會數(shù)學知識在生活中的應(yīng)用,激發(fā)學生的學習興趣。能在解決問題過程中勤于思考、樂于探究,體驗解決問題策略的多樣性,體驗數(shù)學的價值。
四、教學手段
本節(jié)課采用多媒體教學,利用多媒體教學信息容量大、操作簡單、形象生動、反饋及時等優(yōu)點,直觀地展示教學內(nèi)容,這樣不但可以提高學習效率和質(zhì)量,而且容易激發(fā)學生學習的興趣,調(diào)動積極性。
五、教學過程
本節(jié)課的教學流程如下:實際問題——一元一次不等式組——解集——解法——應(yīng)用。
活動一、實際問題,創(chuàng)設(shè)情境
問題1。
小寶和爸爸,媽媽三人在操場上玩蹺蹺板,爸爸體重為72千克,體重只有媽媽一半的小寶和媽媽一同坐在蹺蹺板的另一端,這時爸爸的一端仍然著地。后來,小寶借來一副質(zhì)量為6千克的啞鈴,加在他和媽媽坐的一端,結(jié)果爸爸被蹺起離地。猜猜小寶的體重約是多少?在這個問題中,如果設(shè)小寶的體重為x千克。
(1)從蹺蹺板的狀況你可以找出怎樣的不等關(guān)系?
(2)你認為怎樣求x的范圍,可以盡可能地接近小寶的體重?
我提出問題(1),學生獨立思考,回答問題。
考察學生對應(yīng)用一元一次不等式解決實際問題的能力,并引出新知。
教師提出問題(2),學生小組合作、探索交流,回答問題。
我預(yù)計學生對于這個問題會產(chǎn)生兩種不同的看法:一種方法是利用估算的方法將特殊值代入來求出適合不等式組的特殊解;另一種方法是求出兩個不等式的解集,并分別將這兩個解集在數(shù)軸上表示。因此教師應(yīng)引導學生進一步理解本題的實際意義,能將兩個不等式的解集綜合分析。
這里是通過對數(shù)量關(guān)系的分析、抽象,突出數(shù)學建模思想的教學,注重對學生進行引導,讓學生充分發(fā)表意見,并鼓勵學生提出不同的解法。
問題2。
現(xiàn)有兩根木條,一根長為10厘米,另一根長為30厘米,如果再找一根木條,用這三根木條釘一個三角形木框,那么第三根木條的長度有什么要求?
教師提出問題,學生獨立思考,回答問題。
教學效果預(yù)估與對策:預(yù)計學生對三角形三邊關(guān)系可能有所遺忘,教師應(yīng)給予提示。
設(shè)計意圖:這是一個與三角形相關(guān)的問題,要求學生能綜合運用已有的知識,獨立思考、自主探索、嘗試解決,促使學生在探索和解決問題的過程中獲得體驗、得到發(fā)展,學會新的東西,發(fā)展自己的思維能力。
活動二、總結(jié)歸納,得出概念
1、一元一次不等式組
通過上面兩個實際問題的探究,歸納概括出一元一次不等式組的概念和一元一次不等式組解集的概念。
即:把兩個(或兩個以上)一元一次不等式合在一起,就得到了一個一元一次不等式組(linearinequalitiesofoneunknown)。
2、一元一次不等式組的解集
同時滿足不等式(1)、(2)的未知數(shù)x應(yīng)是這兩個不等式解集的公共部分。在同一數(shù)軸上表示出這兩個解集,找到公共部分,就是所列不等式組的解集。
不等式組中幾個不等式的解集的公共部分,叫做這個不等式組的解集。
師生活動:在活動一的基礎(chǔ)上,將學生得出的結(jié)論進行歸納總結(jié)。教師要注意傾聽學生敘述問題的準確性和全面性。
教學效果預(yù)估與對策:估計多數(shù)學生在經(jīng)歷了上述的探索過程后,能夠?qū)@個結(jié)論有所認識。
一元一次不等式組課件【篇13】
學習目標:
1、了解一元一次不等式組的概念,理解一元一次不等式組的解集的意義。
2、會解由兩個一元一次不等式組成的一元一次不等式組,能借助數(shù)軸正確的表示一元一次不等式組的解集。
3、通過探討一元一次不等式組的解法以及解集的確定,滲透轉(zhuǎn)化思想,進一步感受數(shù)形結(jié)合在解決問題中的作用。
4、體驗不等式在實際問題中的作用,感受數(shù)學的應(yīng)用價值。
學習重點:
一元一次不等式組的解法
學習難點:
一元一次不等式組解集的確定。
一、學前準備
【回顧】
1.解不等式 ,并把解集在數(shù)軸上表示出來。
【預(yù)習】
1、 認真閱讀教材34-35頁內(nèi)容
2、__________叫做一元一次不等式組。
_________叫做一元一次不等式組的解集。
叫做解不等式組。
4、求下列兩個不等式的解集,并在同一條數(shù)軸上表示出來
二、探究活動
【例題分析】
例1. (問題1)題中的買5筒錢不夠,買4筒錢又多的含義是什么?
例2. (問題2)題中的相等關(guān)系是什么?不等關(guān)系又是什么?
例3. 解不等式組
【小結(jié)】
不等式組解集口訣
同大取大,同小取小,大小小大中間找,大大小小解不了
一元一次不等式組解集四種類型如下表:
不等式組(a)
(1)xb
xb 同大取大
(2)x
x
(3)xax
a
(4)xb
無解 大大小小解不了
【課堂檢測】
1、不等式組 的解集是( )
A. B. C. D.無解
2、不等式組 的解集為( )
A.-1
3、不等式組 的解集在數(shù)軸上表示正確的是( )
A B C D
4、寫出下列不等式組的解集:(教材P35練習1)
三、自我測試
1.填空
(1)不等式組x-1 的解集是___;
(2)不等式組x-2 的解集 ;
(3)不等式組x1 的解集是____;
(4)不等式組x-4 解集是____。
2、解下列不等式組,并在數(shù)軸上表示出來
四、應(yīng)用與拓展
若不等式組 無解,則m的取值范圍是 _____.
$,則 $\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}=0$,這時等號成立。
3. 基本不等式可以擴展到實數(shù)范圍內(nèi)。
4. 均值不等式不等式對于大于 id="article-content1">
不等式課件
發(fā)布時間:2024-02-23 不等式課件 不等式課件精選九篇。
為了促進學生掌握上課知識點,老師需要提前準備教案,老師在寫教案課件時還需要花點心思去寫。?教案和課件優(yōu)化可使教學任務(wù)的完成更加精細化。幼兒教師教育網(wǎng)小編特意為大家收集整理了“不等式課件”,歡迎參考愿您成為更好的自己!
不等式課件 篇1
不等式的性質(zhì) 教學設(shè)計
十六中 尚進軍
【教學重點與難點】
教學重點:掌握不等式的三條基本性質(zhì),尤其是不等式的基本性質(zhì)3 教學難點:正確應(yīng)用不等式的三條基本性質(zhì)進行不等式變形 【教學目標】
1、探索并掌握不等式的基本性質(zhì)
2、會用不等式的基本性質(zhì)進行化簡 【教學方法】
通過觀察、分析、討論,引導學生歸納總結(jié)出不等式的三條基本性質(zhì),從具體上升到理論,再由理論指導具體的練習,從而強化學生對知識的理解與掌握.
【教學過程】
一、創(chuàng)設(shè)情境 復習引入
(設(shè)計說明:設(shè)置以下習題是為了溫故而知新,為學習本節(jié)內(nèi)容提供必要的知識準備.)問題:
1、什么是等式?等式的基本性質(zhì)是什么?
2、什么是不等式?
3、用“>”或“<”填空.(1)3
2×5 3×5
2×(-1)3×(-1)3-5 7-5 2÷2 3÷2 2×(-5)3×(-5)3+a 7+a
2÷(-2)3÷(-2)(教學說明: 復習等式的基本性質(zhì)后學生自然會聯(lián)想到,不等式是否有與等式相類似的性質(zhì),從而引起學生的探究欲望.接著問題3為學生探究不等式的性質(zhì)提供了載體,通過觀察,尋找規(guī)律,得出不等式的性質(zhì).)
二、師生互動,探索新知
1、不等式的基本性質(zhì)
問題1:觀察思考問題3,猜想出不等式的性質(zhì)
先讓學生獨立思考,后合作交流,通過充分討論,類比等式性質(zhì)得出不等式的性質(zhì).觀察時,引導學生注意不等號的方向,通過(1)題學生容易得出不等式性質(zhì)1: 不等式基本性質(zhì)1 不等式兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子),不等號的方向不變. 比較(2)、(3)題,注意觀察不等號方向,并思考不等號方向的改變與什么有關(guān)?由學生概括總結(jié),教師補充完善得出: 不等式基本性質(zhì)2 不等式兩邊乘(或除以)同一個正數(shù),不等號的方向不變. 不等式基本性質(zhì)3 不等式兩邊乘(或除以)同一個負數(shù),不等號的方向改變.
問題2:將不等式-2<6兩邊都加上7,-9,兩邊都乘3,-3試一試,進一步驗證上面得出的三條結(jié)論. 教師 強調(diào)指出:不等式的三條基本性質(zhì)實質(zhì)上是對不等式兩邊進行“+”、“-”、“×”、“÷”四則運算,當進行“+”、“-”法時,不等號方向不變;當乘(或除以)同一個正數(shù)時,不等號方向不變;只有當乘(或除以)同一個負數(shù)時,不等號的方向才改變.
問題3:嘗試用數(shù)學式子表示不等式的三條基本性質(zhì). 學生思考出答案,教師訂正,最后得出:(1)如果a>b,那么a±c>b±c(2)如果a>b,c>0那么ac>bc(或>)(3)如果a>b,ca” 或“x26;(2)3x50;(4)-4x>3.解:(l)根據(jù)不等式基本性質(zhì)1,不等式的兩邊都加上7,不等號的方向不變. 得 x-7+7>26 +>33(2)根據(jù)不等式基本性質(zhì)1,兩邊都減去2x,不等號的方向不變,得3x-2x75,不等號的方向不變,得(4)根據(jù)不等式基本性質(zhì)3,兩邊都除以-4,不等號的方向改變,得x(教學說明:這些不等式比較簡單,可以利用不等式的性質(zhì)直接求解,從而加深對這些性質(zhì)的認識.教師板書(1)題解題過程.(2)(3)(4)題由學生在練習本上完成,指定三個學生板演,然后師生共同判斷板演是否正確.解題時要引導學生與解一元一次方程的思路進行對比,有助于加強知識之間的前后聯(lián)系,突出新知識的特點,并將原題與“x>a” 或“xc, a+c>b, b+c>a 我們現(xiàn)在求的是兩邊之差與第三邊的關(guān)系,所以由不等式的性質(zhì)1將上式變形為: 由a +b>c得a>c-b, b>c-a.同理,由a+c>b, b+c>a可得c>b-a, b>a-c,c>a-b, a>b-c.這就是說,三角形中任意兩邊之差小于第三邊.(教學說明:此問題應(yīng)用不等式的性質(zhì)由“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”得出“三角形中任意兩邊之差小于第三邊”這個與已有結(jié)論等價的新結(jié)論.“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”對應(yīng)的是三個形式一樣的不等式,而不是一個不等式.由這三個不等式再推出“三角形中任意兩邊之差小于第三邊”.為了加深學生的感性認識,可以通過測量的方法驗證這個結(jié)論.)三、鞏固訓練,熟練技能:1、如果a>b,那么(1)a-3 b-3,(2)2a 2b(3)-3a-3b,(4)a-b 0(5)(6)-b_____-、在下列各題橫線上填入不等號,并說明是根據(jù)不等式的哪一條基本性質(zhì).(1)若a–3<9,則a_____12;(2)若-a<10,則a_____–10;(3)若a>–1,則a_____–4;(4)若-a>0,則a_____0.3、利用不等式的性質(zhì)解下列不等式,并在數(shù)軸上表示解集(解未知數(shù)為x的不等式,就是要使不等式逐步化為“x>a”或“x<a”的形式)(1)x-1<0;(2)x>-x+6;(3)3x>7;(4)-x<-3.(教學說明:這些練習進一步加深了學生對不等式性質(zhì)的理解,做此練習題時,應(yīng)讓學生注意觀察它們是應(yīng)用不等式的哪條性質(zhì),是怎樣由已知變形得到的.注意應(yīng)用不等式性質(zhì)3時,不等號要改變方向.做第3題時要引導學生與解一元一次方程的思路進行對比,讓學生認識到應(yīng)用不等式的性質(zhì)1變形,相當于移項.)四、總結(jié)反思,課堂小結(jié)1、不等式的基本性質(zhì)是什么?如何用數(shù)學式子表示?2、在本節(jié)課的學習中,你還有什么疑惑? 3.主要用到的思想方法是類比思想.4.注意的問題: 當不等式兩邊同乘(或除以)同一個數(shù)時,一定要看清是正數(shù)還是負數(shù),若是負數(shù),要變兩個號,一個性質(zhì)符號,另一個是不等號,對于未給定范圍的字母,應(yīng)分情況討論.六、布置課后作業(yè):1、課本127頁練習2、課本128習題的5、6、7題 【評價與反思】通過具體的事例觀察并歸納出不等式的三條基本性質(zhì),引導學生用數(shù)學式子表示三條基本性質(zhì),同時注意將不等式的三條基本性質(zhì)與等式的基本性質(zhì)進行比較,以加深學生的理解.在教學過程中,注重培養(yǎng)學生運用類比方法觀察、分析、解決問題的能力及歸納總結(jié)概括的能力.同時培養(yǎng)了學生積極主動的參與意識和勇敢嘗試、探索的精神.
不等式課件 篇2
本節(jié)教學的重點是不等式的解集的概念及在數(shù)軸上表示不等式的解集的方法.難點為不等式的解集的概念.
相同點:定義方式相同(使方程成立的未知數(shù)的值,叫做方程的解);解的表示方法也相同.
不同點:解的個數(shù)不同,一般地,一個不等式有無數(shù)多個解,而一個方程只有一個或幾個解,例如, 能使不等式 成立,那么 是不等式的一個解,類似地 等也能使不等式 成立,它們都是不等式 的解,事實上,當 取大于 的數(shù)時,不等式 都成立,所以不等式 有無數(shù)多個解.
不等式的解與不等式的解集是兩個不同的概念,不等式的解是指滿足這個不等式的未知數(shù)的某個值,而不等式的解集,是指滿足這個不等式的未知數(shù)的所有的值,不等式的所有解組成了解集,解集中包括了每一個解.
注意:不等式的解集必須滿足兩個條件:第一,解集中的任何一個數(shù)值,都能使不等式成立;第二,解集外的任何一個數(shù)值,都不能使不等式成立.
一般地,一個含未知數(shù)的不等式有無數(shù)多個解,其解集是某個范圍,這個范圍可用一個最簡單的不等式表示出來,例如,不等式 的解集是 .
如不等式 的解集 ,可以用數(shù)軸上表示4的點的左邊部分表示,因為 包含 ,所以在表示4的點上畫實心圓.
如不等式 的解集 ,可以用數(shù)軸上表示4的點的左邊部分表示,因為 包含 ,所以在表示4的點上畫實心圈.
注意:在數(shù)軸上,右邊的點表示的數(shù)總比左邊的點表示的數(shù)大,所以在數(shù)軸上表示不等式的解集時應(yīng)牢記:大于向右畫,小于向左畫;有等號的畫實心圓點,無等號的畫空心圓圈.
1.使學生了解不等式的解集、解不等式的概念,會在數(shù)軸上表示出不等式的解集.
2.知道不等式的“解集”與方程“解”的不同點.
通過教學,使學生能夠正確地在數(shù)軸上表示出不等式的解集,并且能把數(shù)軸上的某部分數(shù)集用相應(yīng)的不等式表示.
通過講解不等式的“解集”與方程“解”的關(guān)系,向?qū)W生滲透對立統(tǒng)一的辯證觀點.
通過本節(jié)課的學習,讓學生了解不等式的解集可利用圖形來表達,滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學美.
2.學生學法:明確不等式的解與解集的區(qū)別和聯(lián)系,并能熟練地用數(shù)軸表示不等式的解集,在數(shù)軸上表示不等式的解集時,要特別注意:大于向右畫,小于向左畫;有等號的畫實心圓點,無等號的畫空心圓圈.
不等式課件 篇3
基本不等式是數(shù)學中一個重要的基礎(chǔ)公式,也是高中數(shù)學學習的重點之一。此公式廣泛應(yīng)用于各種求證、排列、組合、概率等數(shù)學問題中,具有廣泛的實際應(yīng)用價值。本文將圍繞基本不等式的定義、推導、應(yīng)用和解題技巧進行講解。
一、基本不等式的定義
基本不等式又稱柯西-施瓦茨不等式,其一般形式為:
∣∣∣∣∑iaibi∣∣∣∣∣≤∣∣∣∣∑iai∣∣∣∣∣∣∣∣∣∑ibi∣∣∣∣∣
其中a1,a2,…,an和b1,b2,…,bn為任意實數(shù)。該不等式的本質(zhì)含義是,在平面直角坐標系中,向量間的內(nèi)積不大于它們模的乘積之積,并且當且僅當向量線性相關(guān)時取等號。
二、基本不等式的推導
基本不等式的推導涉及到向量的概念。假設(shè)有兩個n維向量a和b,它們的內(nèi)積為∑iaibi,則它們的長度分別為:|a|=√∑iai2和|b|=√∑ibi2。
將a和b定義為Rn中的兩個向量,則它們的夾角為θ,則有:
cosθ=∑iaibi/|a||b|
通過分析cosθ的大小關(guān)系,顯然有:
?1≤cosθ≤1
進一步得到基本不等式:
|∑iaibi|≤∣∣∣∣∑iai∣∣∣∣∣∣∣∣∑ibi∣∣∣∣∣
三、基本不等式的應(yīng)用
基本不等式廣泛應(yīng)用于各種求證、排列、組合、概率等數(shù)學問題中,下面將分別介紹它們的應(yīng)用。
1. 求證
基本不等式可以用于求證數(shù)學中的一些定理,比如互余等比數(shù)列的和定理。具體應(yīng)用時,我們可以將等比數(shù)列拆成兩個向量,然后應(yīng)用基本不等式即可得到所證定理。
2. 排列組合
在排列組合問題中,基本不等式可以幫助我們確定最優(yōu)解,以最小或最大值為目標得到所需的數(shù)字。例如,在n個數(shù)字中有幾對數(shù)對,他們之間的差值恰好為k,可以通過將原問題轉(zhuǎn)換為求兩個向量之間的夾角,然后應(yīng)用基本不等式進行求解。
3. 概率
在概率問題中,基本不等式可以用于推算隨機事件中不等的概率值,例如玩牌游戲中的胡牌概率等。我們可以將每個事件看作向量,然后使用基本不等式計算它們的夾角,從而得到相應(yīng)的概率值。
四、基本不等式的解題技巧
基本不等式的應(yīng)用需要掌握一些解題技巧。下面列舉一些常用的技巧:
1. 將數(shù)列表示成向量
在排列組合問題中,將數(shù)列表示成向量,有利于方便運用基本不等式進行計算。
2. 極小化或極大化
當問題中要求最小或最大值時,我們可以使用極小化或極大化的思路,以求解最優(yōu)解。
3. 利用對稱性
當有對稱條件時,可以運用基本不等式中的對稱性質(zhì),簡化數(shù)學推理。
4. 運用方法的差異性
在某些情況下,我們可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)在大小方面的差異,從而確定使用哪個方法進行計算。
綜上所述,基本不等式是高中數(shù)學學習的重點之一,應(yīng)用范圍廣泛。掌握了基本不等式的定義、推導、應(yīng)用和解題技巧,能夠在數(shù)學競賽中取得更好的成績,也有利于我們理解、應(yīng)用其它數(shù)學定理。
不等式課件 篇4
《不等式的性質(zhì)(1)》教學設(shè)計
一、引入
展示任務(wù)單的數(shù)據(jù)分析,向?qū)W生明確本堂課的教學內(nèi)容。
二、預(yù)習檢測
學生回答“什么是不等式的性質(zhì)” 不等式的性質(zhì)1 不等式兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子),不等號的方向不變 不等式的性質(zhì)2 不等式兩邊乘(或除以)同一個正數(shù),不等號的方向不變 不等式的性質(zhì)3 不等式兩邊乘(或除以)同一個負數(shù),不等號的方向改變
三、應(yīng)用1:利用不等式的性質(zhì)比較大小
【例1】若a?b,判斷3?2a與3?2b的大小關(guān)系.小結(jié):利用不等式的性質(zhì)比較大小的一般思路: 利用不等式的性質(zhì)將“已知”逐步化成“目標
(1)教師對任務(wù)單中錯誤率較高的題目進行講解;
(2)設(shè)置類似的問題作為例題,并進行鞏固訓練和變式訓練。
【鞏固】(1)若3a?4?3b?4,則a___b;(2)若?5a?7??5b?7,則a___?b,則: 【變式一】若 ①(k2?1)a___(k2?1)b ②1?k2a___1?k2b
【變式二】若a?b,試比較ka與kb的大小.【鞏固】(1)若a?b,且(k?1)a?(k?1)b,則k的取值范圍是______.1(2)由kx?1變形可得x?,則k的取值范圍是________.k
四、應(yīng)用2:利用不等式的性質(zhì)解不等式
(1)針對任務(wù)單中學生解不等式時在步驟中出現(xiàn)的問題,教師規(guī)范解題步驟;
(2)教師分享某位同學任務(wù)單中對“不等式的性質(zhì)與等式性質(zhì)的異同?”的回答,小組討論利用不等式的性質(zhì)解不等式步驟中需要注意的問題;(3)學生綜合范例和討論結(jié)果,進行鞏固訓練和變式訓練?!纠?】利用不等式的性質(zhì)解不等式:4y?12??2?3y.【鞏固】13用不等式的性質(zhì)解不等式:y?2?y?522 【變式】13已知y?2?y?5,化簡y?3?(6?2y)
五、課堂小結(jié)
小組討論分享:通過本節(jié)課的學習,“我知道了??”“我掌握了??”。
六、課堂檢測
學生獨立完成課堂檢測,由數(shù)據(jù)反饋出本堂課的達成度
七、課后思考 布置課后思考題
利用不等式性質(zhì)1,比較2a與a的大小(a?0).2,比較2a與a的大小(a?0).利用不等式性質(zhì)
不等式課件 篇5
基本不等式是中學數(shù)學中比較重要的知識點,它是一條數(shù)學公式,可以用來證明數(shù)學上的不等式問題。在中學階段,我們通常會學習到關(guān)于基本不等式的概念、性質(zhì)以及應(yīng)用等方面的知識。接下來,本篇文章將圍繞這一主題展開,詳細說明基本不等式的相關(guān)知識點和應(yīng)用場景。
一、基本不等式的概念和性質(zhì)
基本不等式實際上是針對于a、b兩個正實數(shù)而言的,它的數(shù)學表述為:(a+b)2≥4ab 。 這個公式被稱為基本不等式的“基本式”。同時,在這個式子中,等號成立的條件是a=b時。接下來,讓我們來看看基本不等式的一些性質(zhì)。
1.基本不等式的證明:
(a+b)2=a2+2ab+b2≥4ab (由于a2+b2≥2ab)
化簡得:a2+b2≥2ab,即(a-b)2≥0,結(jié)合等式左側(cè)兩邊同時加上4ab,則得到公式(a+b)2≥4ab,也就是基本不等式。
2. 基本不等式的解釋:
從式子來看,基本不等式的左邊是一個完全平方數(shù),即(a+b)2。右邊是4ab。又因為基本不等式中的變量a和b都是正實數(shù),所以無論a和b的大小關(guān)系如何,四倍的乘積4ab一定是大于等于a2+b2、即2ab的。因此,我們可以得到基本不等式的結(jié)論:(a+b)2≥4ab。
3. 基本不等式的應(yīng)用:
基本不等式有非常廣泛的應(yīng)用,其中一些典型的應(yīng)用場景包括以下幾種:
a. 使用基本不等式證明其他不等式:
比如,對于x、y兩個正實數(shù),我們可以將不等式(x-y)2≥0 化簡為x2+y2≥2xy 的形式,然后用上基本不等式,即可快速證明(x-y)2≥0 成立。
b. 使用基本不等式解決實際問題:
比如,用4米長的繩子圍成一個矩形獸欄,求獸欄能夠圍住的最大面積是多少? 我們可以將這個問題轉(zhuǎn)換為求:4m邊長的正方形對面提醒獸欄的最大面積問題。此時,我們可以利用基本不等式,推導出正方形的對角線最大長度即為4√2米,由此可以得出此時正方形的面積即為16平方米,也就是獸欄的最大面積。
c. 使用基本不等式驗證一些數(shù)學結(jié)論:
比如,我們可以利用基本不等式來驗證任意兩個正實數(shù)的平均數(shù)一定大于等于它們的幾何平均數(shù)。 具體的,對于兩個正實數(shù)a和b,我們可以推導得到:
(a+b)2≥4ab
(a+b)2/4≥ab
(√ab+√ab)2/4≥ab
(?ab) ≥ (a+b)/2
由此可得,兩個正實數(shù)的平均數(shù)一定大于等于它們的幾何平均數(shù),即( a+b)/2≥?ab。
二、基本不等式的應(yīng)用實例
1.題目描述:
小峰有若干元錢,他能夠涵蓋八天的生活物資開銷?,F(xiàn)在,他去買菜了,花掉了R元錢,求他能不能仍然用這筆錢過完余下的那幾天。
2.解題思路:
我們可以設(shè)小峰剩下的錢數(shù)為x,應(yīng)該取得一個不等式來表示這個問題。具體地,設(shè)日均消費為m(m 一定是小于R/x 和x/8之間較小數(shù)),則從第9天開始,小峰所存的錢應(yīng)數(shù)學表達式為:
x-R≥m*(8),
x≥m*(8)+R
這是一個關(guān)于x的不等式,為驗證其是否成立,我們需要對它進行推導。為了推導方便,我們將不等式變形如下:
m*(8)+R≤x
然后,我們可以利用基本不等式將其化簡為如下形式:
(mx/?8)^2+(Rx/?8)^2≥2mRx/4
由于 x>0,所以令 t = x/?8,則上式化簡為:
(m/2)t^2+(R/2)^2≥tmR
或者
(t-R/m)^2+(m/2)^2≥R^2/ 4m^2
根據(jù)上面的式子,我們可以得出,只要 t≥R/m,即x≥m*(8)+R,則小峰就有足夠的錢過余下的幾天生活了。
3.綜述
基本不等式是非常重要的中學數(shù)學知識點,它不僅有較為實際的應(yīng)用場景,還能用于證明和推導其他數(shù)學結(jié)論。在學習基本不等式的時候,我們需要注意,對于不等式的變量,要理解它們所表示的實際含義和邏輯關(guān)系,從而更好地應(yīng)用基本不等式來解決實際問題。
不等式課件 篇6
本節(jié)課的研究是對初中不等式學習的延續(xù)和拓展,也是實數(shù)理論的進一步發(fā)展.在本節(jié)課的學習過程中,將讓學生回憶實數(shù)的基本理論,并能用實數(shù)的基本理論來比較兩個代數(shù)式的大小.
通過本節(jié)課的學習,讓學生從一系列的具體問題情境中,感受到在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系,并充分認識不等關(guān)系的存在與應(yīng)用.對不等關(guān)系的相關(guān)素材,用數(shù)學觀點進行觀察、歸納、抽象,完成量與量的比較過程.即能用不等式或不等式組把這些不等關(guān)系表示出來.
在本節(jié)課的學習過程中還安排了一些簡單的、學生易于處理的問題,其用意在于讓學生注意對數(shù)學知識和方法的應(yīng)用,同時也能激發(fā)學生的學習興趣,并由衷地產(chǎn)生用數(shù)學工具研究不等關(guān)系的愿望.根據(jù)本節(jié)課的教學內(nèi)容,應(yīng)用再現(xiàn)、回憶得出實數(shù)的基本理論,并能用實數(shù)的基本理論來比較兩個代數(shù)式的大小.
在本節(jié)教學中,教師可讓學生閱讀書中實例,充分利用數(shù)軸這一簡單的數(shù)形結(jié)合工具,直接用實數(shù)與數(shù)軸上點的一一對應(yīng)關(guān)系,從數(shù)與形兩方面建立實數(shù)的順序關(guān)系.要在溫故知新的基礎(chǔ)上提高學生對不等式的認識.
1.在學生了解不等式產(chǎn)生的實際背景下,利用數(shù)軸回憶實數(shù)的基本理論,理解實數(shù)的大小關(guān)系,理解實數(shù)大小與數(shù)軸上對應(yīng)點位置間的關(guān)系.
2.會用作差法判斷實數(shù)與代數(shù)式的大小,會用配方法判斷二次式的大小和范圍.
3.通過溫故知新,提高學生對不等式的認識,激發(fā)學生的學習興趣,體會數(shù)學的奧秘與數(shù)學的結(jié)構(gòu)美.
教學重點:比較實數(shù)與代數(shù)式的大小關(guān)系,判斷二次式的大小和范圍.
思路1.(章頭圖導入)通過多媒體展示衛(wèi)星、飛船和一幅山巒重疊起伏的壯觀畫面,它將學生帶入“橫看成嶺側(cè)成峰,遠近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中,使學生在具體情境中感受到不等關(guān)系在現(xiàn)實世界和日常生活中是大量存在的,由此產(chǎn)生用數(shù)學研究不等關(guān)系的強烈愿望,自然地引入新課.
思路2.(情境導入)列舉出學生身體的高矮、身體的輕重、距離學校路程的遠近、百米賽跑的時間、數(shù)學成績的多少等現(xiàn)實生活中學生身邊熟悉的事例,描述出某種客觀事物在數(shù)量上存在的不等關(guān)系.這些不等關(guān)系怎樣在數(shù)學上表示出來呢?讓學生自由地展開聯(lián)想,教師組織不等關(guān)系的相關(guān)素材,讓學生用數(shù)學的觀點進行觀察、歸納,使學生在具體情境中感受到不等關(guān)系與相等關(guān)系一樣,在現(xiàn)實世界和日常生活中大量存在著.這樣學生會由衷地產(chǎn)生用數(shù)學工具研究不等關(guān)系的愿望,從而進入進一步的探究學習,由此引入新課.
1回憶初中學過的不等式,讓學生說出“不等關(guān)系”與“不等式”的異同.怎樣利用不等式研究及表示不等關(guān)系?
2在現(xiàn)實世界和日常生活中,既有相等關(guān)系,又存在著大量的不等關(guān)系.你能舉出一些實際例子嗎?
3數(shù)軸上的任意兩點與對應(yīng)的兩實數(shù)具有怎樣的關(guān)系?
4任意兩個實數(shù)具有怎樣的關(guān)系?用邏輯用語怎樣表達這個關(guān)系?
活動:教師引導學生回憶初中學過的不等式概念,使學生明確“不等關(guān)系”與“不等式”的異同.不等關(guān)系強調(diào)的是關(guān)系,可用符號“>”“b”“a
教師與學生一起舉出我們?nèi)粘I钪胁坏汝P(guān)系的例子,可讓學生充分合作討論,使學生感受到現(xiàn)實世界中存在著大量的不等關(guān)系.在學生了解了一些不等式產(chǎn)生的實際背景的前提下,進一步學習不等式的有關(guān)內(nèi)容.
實例1:某天的天氣預(yù)報報道,最高氣溫32 ℃,最低氣溫26 ℃.
實例2:對于數(shù)軸上任意不同的兩點A、B,若點A在點B的左邊,則xA
實例5:三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊.
實例6:限速40 km/h的路標指示司機在前方路段行駛時,應(yīng)使汽車的速度v不超過40 km/h.
實例7:某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定,酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不少于2.5%,蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于2.3%.
教師進一步點撥:能夠發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學當然很好,這說明同學們已經(jīng)走進了數(shù)學這門學科,但作為我們研究數(shù)學的人來說,能用數(shù)學的眼光、數(shù)學的觀點進行觀察、歸納、抽象,完成這些量與量的比較過程,這是我們每個研究數(shù)學的人必須要做的,那么,我們可以用我們所研究過的什么知識來表示這些不等關(guān)系呢?學生很容易想到,用不等式或不等式組來表示這些不等關(guān)系.那么不等式就是用不等號將兩個代數(shù)式連結(jié)起來所成的式子.如-71+4,2x≤6,a+2≥0,3≠4,0≤5等.
教師引導學生將上述的7個實例用不等式表示出來.實例1,若用t表示某天的氣溫,則26 ℃≤t≤32 ℃.實例3,若用x表示一個非負數(shù),則x≥0.實例5,|AC|+|BC|>|AB|,如下圖.
|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.
|AB|-|BC|
實例6,若用v表示速度,則v≤40 km/h.實例7,f≥2.5%,p≥2.3%.對于實例7,教師應(yīng)點撥學生注意酸奶中的脂肪含量與蛋白質(zhì)含量需同時滿足,避免寫成f≥2.5%或p≥2.3%,這是不對的.但可表示為f≥2.5%且p≥2.3%.
對以上問題,教師讓學生輪流回答,再用投影儀給出課本上的兩個結(jié)論.
討論結(jié)果:
(1)(2)略;(3)數(shù)軸上任意兩點中,右邊點對應(yīng)的實數(shù)比左邊點對應(yīng)的實數(shù)大.
(4)對于任意兩個實數(shù)a和b,在a=b,a>b,a0a>b;a-b=0a=b;a-b
活動:通過兩例讓學生熟悉兩個代數(shù)式的大小比較的基本方法:作差,配方法.
點評:本節(jié)兩例的求解,是借助因式分解和應(yīng)用配方法完成的,這兩種方法是代數(shù)式變形時經(jīng)常使用的方法,應(yīng)讓學生熟練掌握.
1.若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,則f(x)與g(x)的大小關(guān)系是( )
解析:f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0,∴f(x)>g(x).
2.已知x≠0,比較(x2+1)2與x4+x2+1的大小.
解:由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.
∵x≠0,得x2>0.從而(x2+1)2>x4+x2+1.
例2比較下列各組數(shù)的大小(a≠b).
(1)a+b2與21a+1b(a>0,b>0);
(2)a4-b4與4a3(a-b).
活動:比較兩個實數(shù)的大小,常根據(jù)實數(shù)的運算性質(zhì)與大小順序的關(guān)系,歸結(jié)為判斷它們的差的符號來確定.本例可由學生獨立完成,但要點撥學生在最后的符號判斷說理中,要理由充分,不可忽略這點.
解:(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=a+b2-4ab2a+b=a-b22a+b.
∵a>0,b>0且a≠b,∴a+b>0,(a-b)2>0.∴a-b22a+b>0,即a+b2>21a+1b.
(2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)
=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]
=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2].
∵2a2+(a+b)2≥0(當且僅當a=b=0時取等號),
又a≠b,∴(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0.∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2]
∴a4-b4
點評:比較大小常用作差法,一般步驟是作差——變形——判斷符號.變形常用的手段是分解因式和配方,前者將“差”變?yōu)椤胺e”,后者將“差”化為一個或幾個完全平方式的“和”,也可兩者并用.
已知x>y,且y≠0,比較xy與1的大小.
活動:要比較任意兩個數(shù)或式的大小關(guān)系,只需確定它們的差與0的大小關(guān)系.
∵x>y,∴x-y>0.
當y
當y>0時,x-yy>0,即xy-1>0.∴xy>1.
點評:當字母y取不同范圍的值時,差xy-1的正負情況不同,所以需對y分類討論.
例3建筑設(shè)計規(guī)定,民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積.但按采光標準,窗戶面積與地板面積的比值應(yīng)不小于10%,且這個比值越大,住宅的采光條件越好.試問:同時增加相等的窗戶面積和地板面積,住宅的采光條件是變好了,還是變壞了?請說明理由.
活動:解題關(guān)鍵首先是把文字語言轉(zhuǎn)換成數(shù)學語言,然后比較前后比值的大小,采用作差法.
解:設(shè)住宅窗戶面積和地板面積分別為a、b,同時增加的面積為m,根據(jù)問題的要求a
由于a+mb+m-ab=mb-abb+m>0,于是a+mb+m>ab.又ab≥10%,
因此a+mb+m>ab≥10%.
所以同時增加相等的窗戶面積和地板面積后,住宅的采光條件變好了.
點評:一般地,設(shè)a、b為正實數(shù),且a0,則a+mb+m>ab.
已知a1,a2,…為各項都大于零的等比數(shù)列,公比q≠1,則( )
C.a1+a8=a4+a5 D.a1+a8與a4+a5大小不確定
解析:(a1+a8)-(a4+a5)=a1+a1q7-a1q3-a1q4
=a1[(1-q3)-q4(1-q3)]=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q)(1+q2).
∵{an}各項都大于零,∴q>0,即1+q>0.
又∵q≠1,∴(a1+a8)-(a4+a5)>0,即a1+a8>a4+a5.
1.下列不等式:①a2+3>2a;②a2+b2>2(a-b-1);③x2+y2>2xy.其中恒成立的不等式的個數(shù)為( )
2.比較2x2+5x+9與x2+5x+6的大小.
答案:
1.C解析:∵②a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,
③x2+y2-2xy=(x-y)2≥0.
∴只有①恒成立.
2.解:因為2x2+5x+9-(x2+5x+6)=x2+3>0,
所以2x2+5x+9>x2+5x+6.
1.教師與學生共同完成本節(jié)課的小結(jié),從實數(shù)的基本性質(zhì)的回顧,到兩個實數(shù)大小的比較方法;從例題的活動探究點評,到緊跟著的變式訓練,讓學生去繁就簡,聯(lián)系舊知,將本節(jié)課所學納入已有的知識體系中.
2.教師畫龍點睛,點撥利用實數(shù)的基本性質(zhì)對兩個實數(shù)大小比較時易錯的地方.鼓勵學有余力的學生對節(jié)末的思考與討論在課后作進一步的探究.
1.本節(jié)設(shè)計關(guān)注了教學方法的優(yōu)化.經(jīng)驗告訴我們:課堂上應(yīng)根據(jù)具體情況,選擇、設(shè)計最能體現(xiàn)教學規(guī)律的教學過程,不宜長期使用一種固定的教學方法,或原封不動地照搬一種實驗?zāi)J?各種教學方法中,沒有一種能很好地適應(yīng)一切教學活動.也就是說,世上沒有萬能的教學方法.針對個性,靈活變化,因材施教才是成功的施教靈藥.
2.本節(jié)設(shè)計注重了難度控制.不等式內(nèi)容應(yīng)用面廣,可以說與其他所有內(nèi)容都有交匯,歷來是高考的重點與熱點.作為本章開始,可以適當開闊一些,算作拋磚引玉,讓學生有個自由探究聯(lián)想的平臺,但不宜過多向外拓展,以免對學生產(chǎn)生負面影響.
3.本節(jié)設(shè)計關(guān)注了學生思維能力的訓練.訓練學生的思維能力,提升思維的品質(zhì),是數(shù)學教師直面的重要課題,也是中學數(shù)學教育的主線.采用一題多解有助于思維的發(fā)散性及靈活性,克服思維的僵化.變式訓練教學又可以拓展學生思維視野的廣度,解題后的點撥反思有助于學生思維批判性品質(zhì)的提升.
1.比較(x-3)2與(x-2)(x-4)的大小.
2.試判斷下列各對整式的大小:(1)m2-2m+5和-2m+5;(2)a2-4a+3和-4a+1.
5.設(shè)a>0,b>0,且a≠b,試比較aabb與abba的大小.
∴(x-3)2>(x-2)(x-4).
=m2.
∵m2≥0,∴(m2-2m+5)-(-2m+5)≥0.
∴m2-2m+5≥-2m+5.
=a2+2.
∵a2≥0,∴a2+2≥2>0.
∴a2-4a+3>-4a+1.
=x24,
又∵x>0,∴x24>0.
∴(1+x2)2>(1+x)2.
由x>0,得1+x2>1+x.
=(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]
=-2xy(x-y).
∵x0,x-y
∴-2xy(x-y)>0.
∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).
5.解:∵aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b,且a≠b,
當a>b>0時,ab>1,a-b>0,
則(ab)a-b>1,于是aabb>abba.
則(ab)a-b>1.
于是aabb>abb a.
綜上所述,對于不相等的正數(shù)a、b,都有aabb>abba.
不等式課件 篇7
《課題:實際問題與一元一次不等式》教學設(shè)計
【教學目標】:
1.通過列一元一次不等式解決具有不等關(guān)系的實際問題,進一步熟練掌握一元一次不等式的解法,體會不等式是解決實際問題的有效的數(shù)學模型。
2.通過應(yīng)用一元一次不等式解決實際問題,進一步強化應(yīng)用數(shù)學的意識,從而使學生樂于接觸社會環(huán)境中的數(shù)學信息,談?wù)摂?shù)學話題,能夠在數(shù)學活動中發(fā)揮積極作用。
3.通過探究,增進學生之間的配合,培養(yǎng)學生敢于面對困難和克服困難的勇氣,樹立學好數(shù)學的自信心。
【重點難點】:
重點:由實際問題中的不等關(guān)系列出不等式。
難點:列一元一次不等式描述實際問題中的不等關(guān)系
【教學過程】:
回顧舊知、引入新課
師:之前我們學習過利用一元一次方程解決生活中的銷售問題,現(xiàn)在李老師就來考考大家,請看第一題:
出示幻燈片1
1.一種商品標價100元,按標價的8折出售,若想單件商品獲利10元,設(shè)進價為x元,則可列等式。
(學生解決并給出合理解釋)
師:那我們一起來回顧一下利用一元一次方程解決實際問題的基本步驟是什么?
學生回答后,教師總結(jié):
利用一元一次方程解決實際問題的一般步驟:
審、設(shè)、列、解、答
師:好!請看第二題:
2.一種商品標價100元,按標價的8折出售,若想單件商品獲利不低于10元,設(shè)進價為x元,則。
師:相較于第一題,題目發(fā)生了什么變化?
學生抓住關(guān)鍵詞“不低于”,列出不等式。
師:找到不等關(guān)系,列一元一次不等式也是解決實際問題的常用方法。今天,我們就來學習實際問題與一元一次不等式。
出示幻燈片
2小組討論、探究新知
師:馬上就要過春節(jié)了,想要給自己準備什么禮物?
師:老師也想給可愛的兒子買禮物,通過考察,已經(jīng)知道有兩家超市正在舉行優(yōu)惠活動,咱們一起去逛一逛,好不好?
出示幻燈片3
甲超市說:凡在本超市累計購買100元商品后,再購買的商品按原價的90%收費。
乙超市:凡在本超市累計購買50元商品后,再購買的商品按原價的95%收費
師:李老師覺得甲超市優(yōu)惠,因為打9折?你的意見呢?
(學生發(fā)表自己的意見)
師:剛才幾位同學表達了自己的觀點,可是這僅僅是我們的猜想,解決問題不能只靠猜想,運用數(shù)學知識該如何解決這個問題呢?
出示幻燈片
4下面老師就把時間交給大家,4人一小組展開討論,到底該選擇哪家超市購買才能獲得更大優(yōu)惠?
(學生討論的過程中,教師主要巡視并和學生共同探究。)
經(jīng)過探討,小組形成初步想法,小組派代表分享討論結(jié)果,逐一解決列表達式、分類、建模列不等式、解不等式等題目中難點,教師以板書形式將結(jié)果呈現(xiàn)在黑板上,并引導學生補充,完善解題過程,并利用多媒體進行展示。
學以致用 挑戰(zhàn)自我?guī)煟和瑢W們理解得非常到位!那么再碰到類似的問題你能解決了嗎?
出示幻燈片
5我校計劃在暑假期間組織學生到某地旅游,參加旅游的人數(shù)估計為10~25人,甲、乙兩家旅行社的服務(wù)質(zhì)量相同,且報價都是每人200元.經(jīng)過協(xié)商:甲旅行社表示可給予每位學生七五折優(yōu)惠;乙旅行社表示可先免去一位學生的旅游費用,其余學生八折優(yōu)惠.我校選擇哪一家旅行社支付的旅游費用較少?
學生獨立思考后進行小組討論,選代表上黑板展示。
梳理過程 總結(jié)提高
教師引導學生回顧兩道題的解題過程,談?wù)劔@得的感悟,學生獨立思考片刻后進行小組交流討論。
出示幻燈片6
回顧這個問題的解題過程,你有哪些感悟呢?
例如:我感受最深的是??
我感到最困難的是??
我發(fā)現(xiàn)生活中??
我學會了??
布置作業(yè) 測評反饋
出示幻燈片7
作業(yè):
一、在市場上收集兩種手機收費方式,幫爸爸(媽媽)選擇一種合適的消費方式.二、習題(134頁)1.(1)(2)5.
不等式課件 篇8
1.使學生感受到生活中存在著大量的不等關(guān)系,了解不等式和一元一次不等式的意義;
2.讓學生自發(fā)地尋找不等式的解,會在數(shù)軸上正確地表示出不等式的解集;
3.能夠根據(jù)題意準確迅速地列出相應(yīng)的不等式。
1.通過汽車行駛過a地這一實例的研究,使學生體會到數(shù)學來源于生活,又服務(wù)于生活,培養(yǎng)學生“學數(shù)學、用數(shù)學”的意識;
2.經(jīng)歷由具體實例建立不等模型的過程,探究不等式的解與解集的不同意義的過程,滲透數(shù)形結(jié)合的思想。
㈢情感、態(tài)度、價值觀:
1.通過對不等式、不等式的解與解集的探究,引導學生在獨立思考的基礎(chǔ)上積極參與對數(shù)學問題的討論,培養(yǎng)他們的合作交流意識;
2.讓學生充分體會到生活中處處有數(shù)學,并能將它們應(yīng)用到生活的各個領(lǐng)域中去。
3.培養(yǎng)學生類比的思想方法、數(shù)形結(jié)合的思想。
1.教學重點:不等式、一元一次不等式、不等式解與解集的意義;在數(shù)軸上正確地表示出不等式的解集;
2.教學難點:不等式解集的意義,根據(jù)題意列出相應(yīng)的不等式。
計算機、自制cai課件、實物投影儀、三角板等。
教師創(chuàng)設(shè)情境引入,學生交流探討;師生共同歸納;教師示范畫圖,課件交互式練習。
〖創(chuàng)設(shè)情境——從生活走向數(shù)學〗
[多媒體展示]“五·一黃金周”快要到了,蕪湖市某兩個商場為了促銷商品,推行以下促銷方案:①甲商場:購物不超過50元者,不優(yōu)惠;超過50元的,超過部分折優(yōu)惠。②乙商場:購物不超過100元者,不優(yōu)惠;超過100元的,超過部分九折優(yōu)惠。親愛的同學,如果五·一期間,你去購物,選擇到哪個商場,才比較合算呢?
(以上教學內(nèi)容是向?qū)W生設(shè)疑,激發(fā)學生探索問題、研究問題的積極性,可以讓學生討論一會兒)
教師:要想正確地解決這個問題,我們大家就要學習第九章《不等式和不等式組》,學完本章的內(nèi)容后,我相信,聰明的你們一定都會作出正確的選擇,真正地做到既經(jīng)濟又實惠。
首先,我們來共同學習本章的第一節(jié)課——9.1.1節(jié)《不等式及其解集》
〖新課學習〗
學習目標:
1.能感受到生活中存在著大量的不等關(guān)系,了解不等式和一元一次不等式和意義;
2.會尋找不等式的解,會在數(shù)軸上正確地表示出不等式的解集;
3.能夠根據(jù)題意準確迅速地列出相應(yīng)的不等式。
[多媒體展示一段動畫]:引例:一輛勻速行駛的汽車在11:20距離a地50千米,要在12:00之前駛過a地,車速應(yīng)滿足什么條件?
設(shè)車速是x千米/小時,
(1)從時間上看,汽車要在12:00之前駛過a地,則以這個速度行駛50千米所用的時間不到 小時,即
(2)從路程上看,汽車要在12:00之前駛過a地,則以這個速度行駛 小時的路程要超過50千米,即
請同學們觀察上面的兩個式子,式子左右兩邊的大小關(guān)系是怎樣的? 左右兩邊相等嗎?
在學生充分發(fā)表自己意見的基礎(chǔ)上,師生共同歸納得出:
用“>”或“<”號表示大小關(guān)系的式子叫做不等式;
用“≠”表示不等關(guān)系的式子也是不等式。
判斷下列式子中哪些是不等式,是不等式的請在題后的括號內(nèi)劃“√”,不是的請劃“×”
(1)3> 2????? (???? ) (2)2a+1> 0?? (???? )?? (3)a+b=b+a? (???? )
(4)x< 2x+1?? (???? )???? (5)x=2x-5??? (???? ) (6)2x+4x< 3x+1 (???? )????????? (7)15≠7+9? (???? )
上面的不等式中,有些不含未知數(shù),有些含有未知數(shù),大家把(2)、(4)、(6)式與(5)式類比,(5)式是一個一元一次方程,能不能給(2)、(4)、(6)式也起個名字呢?
含有一個未知數(shù), 未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式,叫做一元一次不等式.
問題2:車速可以是78千米/小時嗎?75千米/小時呢? 72千米/小時呢?
問題3:我們曾經(jīng)學過“使方程兩邊相等的未知數(shù)的值就是方程的解”,那么我們可以把使不等式成立的未知數(shù)的值叫做什么呢?
(師生共同歸納)使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解。
2.課堂練習二——動一動腦,動一動手,你一定能算得對。
76, 73, 79, 80, 74.9, 75.1, 90, 60
(學生做完后,師問):你還能找出這個不等式的其他的解嗎?這個不等式有多少個解?你從中發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?
(學生討論后,師生共同總結(jié)):當x>75時,不等式 x>50總成立;而當x<75或x=75時,不等式 x>50不成立,這就是說,任何一個大于75的數(shù)都是不等式 x>50的解,這樣的解有無數(shù)個。因此,x>75表示了能使不等式 x>50成立的x的取值范圍,叫做不等式 x>50的解的集合,簡稱解集。
我們再回到前面的問題,經(jīng)過剛才的分析,可以知道,要使汽車在12:00之前駛過a地,車速必須大于75千米/小時。
一個含有未知數(shù)的不等式的所有的解,組成了這個不等式的解集。
4.在數(shù)軸上表示不等式的解集;
注意:在表示75的點上畫空心圓圈,表示不包括這一點.
5.課堂練習三——動一動腦,動一動手,你一定能算得對。
判斷下列數(shù)中哪些是不等式x+3>6的解? 哪些不是?
-4, -2.5,? 0,? 1,? 2.5,? 3,? 3.2,? 4.8,? 8,? 12
求不等式的解集的過程叫做解不等式。
7.課堂練習四——看誰算得最快最準。
直接想出不等式的解集,并在數(shù)軸上表示出不等式的解集:
(1) x+3>6;??????? (2)2x<8;?? ?(3)x-2>0
解:(1)x>3;???????? (2)x<4;??? (3)x>2。
1.例用不等式表示:
(1)x與1的和是正數(shù);??????(2)的與的的差是負數(shù);
(3)的2倍與1的和大于3;(4)的一半與4的差小于的3倍.
解:(1)x+1>0;???????? (2)+b<0;
(3)2+1>3;????? (4)-4<3;
2.課堂練習五——看誰最列得又快又準。
用不等式表示:
(1)是正數(shù);??????????(2)是負數(shù);
(3)與5的和小于7;??(4)與2的差大于-1;
(5)的4倍大于8;??????(6)的一半小于3.
答案;(1)>0;??????? (2)<0;?? (3)+5>0;
學生小結(jié),師生共同完善:
2.會尋找不等式的解,會在數(shù)軸上正確地表示出不等式的解集;
3.能夠根據(jù)題意準確迅速地列出相應(yīng)的不等式。
不等式課件 篇9
不等式的性質(zhì)(2)教學目標
1.知識與技能:理解不等式的性質(zhì),會解簡單的一元一次不等式,并能在數(shù)軸上表示出解集。
2.過程與方法:通過經(jīng)歷不等式性質(zhì)的簡單應(yīng)用,積累數(shù)學活動。通過獨立解題,進一步理解不等式的性質(zhì),體會不等式性質(zhì)的價值。
3.情感態(tài)度和價值觀:認識到通過觀察、實驗、類比可以獲得數(shù)學結(jié)論,體驗數(shù)學活動充滿著探索性和創(chuàng)造性。在獨立思考的基礎(chǔ)上,積極參與對數(shù)學問題的討論,敢于發(fā)表自己的觀點,學會分享別人的想法和結(jié)果,并重新審視自己的想法,能從交流中獲益。重點難點
1.重點:不等式的性質(zhì)及其解法. 2.難點:不等式性質(zhì)的探索及運用.方法策略
啟發(fā)式教學法——以設(shè)問和疑問層層引導,激發(fā)學生,啟發(fā)學生積極思考,培養(yǎng)和發(fā)展學生的抽象思維能力。
探究教學法——引導學生去疑;鼓勵學生去探; 激勵學生去思,培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維和批判精神。教學過程:
一、梳理舊知,引出新課
問題1: 在前面的學習中,你學到了不等式的哪些性質(zhì)?(用文字語言敘述)(鼓勵學生回答問題,用電子白版顯示三條性質(zhì)的符號語言)問題2: 解一元一次方程最終的目的是把方程轉(zhuǎn)化成哪種形式?其主要的理論依據(jù)是什么?
(為問題3做鋪墊)
二、合作交流,探究新知
問題3: 利用不等式的性質(zhì)解下列不等式:
(1)x?7?26(2)3x?2x?1 2(3)x?50(4)?4x?3 3(類比著解一元一次方程的方法教師先解(1),并用數(shù)軸表示其解集,然后讓學生試解(2)(3)(4)并和同學交流,最后教師點評。)
思考1:(3)(4)的求解過程,類似于解方程的哪一步變形? 思考2:依據(jù)不等式性質(zhì)3解不等式時應(yīng)注意什么? 隨堂練習:1.完成課本P119練習1 問題4: 2011年北京的最低氣溫是19℃,最高氣溫是28℃,你能把北京的氣溫用不等式表示出來嗎?
(符號“≥”讀作“大于或等于”,也可以說是“不小于”;符號“≤”讀作“小于或等于”,也可以說是“不大于”.形如a≥b或a≤b的式子也是不等式,它們具有類似前面所說的不等式的性質(zhì)).隨堂練習:完成課本119頁練習2.問題5: 某長方體形狀的容器長5 cm,寬3 cm,高10 cm.容器內(nèi)原有水的高度為3cm,現(xiàn)準備向它繼續(xù)注水.用V(單位:cm3)表示新注入水的體積,寫出V的取值范圍.(學生先合作探究,然后讓學生交流探究結(jié)果,最后老師講評并強調(diào)在解決實際問題的時候,要考慮取值的現(xiàn)實意義。)
三、歸納完善,豐富新知
1:如何利用不等式的性質(zhì)解簡單不等式? 2:依據(jù)不等式性質(zhì)3解不等式時應(yīng)注意什么? 3:請說明符號“≥”和“≤”的含義?
四、布置作業(yè)
必做題:P120第5,7,8題.選做題:P120第9題
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不等式的課件
老師在開學前需要把教案課件準備好,每個人都要計劃自己的教案課件了。教案是實現(xiàn)高效教學的不可或缺要素之一。如果您想深入理解這一話題不妨看看“不等式的課件”,本文的內(nèi)容必將給您帶來很多有用的收獲!
不等式的課件 篇1
【教學目標】
1、知識與技能目標
(1)掌握基本不等式 ,認識其運算結(jié)構(gòu);
(2)了解基本不等式的幾何意義及代數(shù)意義;
(3)能夠利用基本不等式求簡單的最值。
2、過程與方法目標
(1)經(jīng)歷由幾何圖形抽象出基本不等式的過程;
(2)體驗數(shù)形結(jié)合思想。
3、情感、態(tài)度和價值觀目標
(1)感悟數(shù)學的發(fā)展過程,學會用數(shù)學的眼光觀察、分析事物;
(2)體會多角度探索、解決問題。
【能力培養(yǎng)】
培養(yǎng)學生嚴謹、規(guī)范的學習能力,辯證地分析問題的能力,學以致用的能力,分析問題、解決問題的能力。
【教學重點】
應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解不等式,并從不同角度探索不等式 的證明過程。
【教學難點】
基本不等式 等號成立條件。
【教學方法】
教師啟發(fā)引導與學生自主探索相結(jié)合
【教學工具】
課件輔助教學、實物演示實驗
【教學流程】
SHAPE MERGEFORMAT
【教學過程設(shè)計】
創(chuàng)設(shè)情景,引入新課
如圖是在北京召開的第24屆國際數(shù)學家大會的會標, 這是根據(jù)趙爽弦圖而設(shè)計的。用課前折好的趙爽弦圖示范,比較 4個直角三角形的面積和與大正方形的面積,你會得到怎樣的相 等和不等關(guān)系?
趙爽弦圖
1.探究圖形中的不等關(guān)系
將圖中的“風車”抽象成如圖,在正方形ABCD中右個全等的直角三角形。
設(shè)直角三角形的兩條直角邊長為a,b那么正方形的邊長為 。這樣,4個直角三角形的面積的和是2ab,正方形的面積為 。由于4個直角三角形的面積小于正方形的面積,我們就得到了一個不等式: 。
當直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?,即a=b時,正方形EFGH縮為一個點,這時有 。
2.得到結(jié)論:一般的,如果
3.思考證明:你能給出它的證明嗎?
證明:因為
當
所以, ,即
4.基本不等式
1)特別的,如果a>0,b>0,我們用分別代替a、b ,可得 ,通常我們把上式寫作:
2)從不等式的性質(zhì)推導基本不等式
用分析法證明:
要證 (1)
只要證 (2)
要證(2),只要證 a+b- 0 (3)
要證(3),只要證 ( - ) (4)
顯然,(4)是成立的。當且僅當a=b時,(4)中的等號成立。
3)理解基本不等式 的幾何意義
不等式的課件 篇2
基本不等式教學設(shè)計
數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學 鐘林
課題:人教A版必修5第3章4節(jié),基本不等式
【教學目標】
1.通過兩個探究實例,引導學生從幾何圖形中獲得兩個基本不等式,了解基本不等式的幾何背景,體會數(shù)形結(jié)合的思想。
2.進一步提煉、完善基本不等式,并從代數(shù)角度給出不等式的證明,組織學生分析證明方法,加深對基本不等式的認識,提高邏輯推理論證能力。 3.結(jié)合課本的探究圖形,引導學生進一步探究基本不等式的幾何解釋,強化數(shù)形結(jié)合的思想。
4.借助例1嘗試用基本不等式解決簡單的最值問題,通過例2及其變式引導學生
a?b領(lǐng)會運用基本不等式ab?的三個限制條件(一正二定三相等)在解決最
2值中的作用,提升解決問題的能力,體會方法與策略。
【重點難點】
重點:應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式,并從不同角度探索不等式a?bab?的證明過程。
2難點:在幾何背景下抽象出基本不等式,并理解基本不等式。
【教學設(shè)計】
(一)問題導入
欣賞2002年國際數(shù)學家大會會徽,會徽是根據(jù)中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設(shè)計的,顏色的明暗使它看上去象一個風車,代表中國人民熱情好客。你能發(fā)現(xiàn)它是什么圖形構(gòu)成的嗎?請根據(jù)會徽探索一些常見相等或不等關(guān)系。
探究一:在這張“弦圖”中能找出一些相等關(guān)系和不等關(guān)系嗎? 在正方形ABCD中有4個全等的直角三角形.設(shè)直角三角形兩條直角邊長為,a,b。
22a?b那么正方形的邊長為。
于是,4個直角三角形的面積之和S1?2ab。 正方形的面積S2?a2?b2。 由圖可知S2?S1,即a2?b2?2ab。
當直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?,即時,正方形EFGH縮為一個點,這時 a2?b2?2ab
所以a2?b2?2ab。
探究二:如下圖所示的梯形中,EF是梯形ABCD的中位線,梯形ABGH相似于梯 形GHDC。
梯形ABCD的上底是a,下底是b。讓同學們自主研究GH和EF的大小關(guān)系。
a?b因為EF是中位線,所以EF?,
2由相似,可以得出GH?ab, 同樣因為相似,有
AGABa, ??GDGHb又因為a?b,所以AG?GD,即AG?AE,
a?b。 2顯然,當AB逐漸趨近CD的時候,GH也逐漸向EF靠近, 當AB=CD的時候,即ABCD是矩形的時候,GH與EF重合。
a?b即,當且僅當a?b時,ab?。
2a?b所以,ab?,當且僅當a?b時,等號成立。
2所以GH?EF,即ab?
(二)概念深入
根據(jù)上述兩個幾何背景,初步形成不等式結(jié)論:
若a,b?R?,則a2?b2?2ab。(當且僅當a=b時,等號成立)
a?b。(當且僅當a=b時,等號成立) 2請同學們運用代數(shù)法證明: 作法一(作差法): 若a,b?R?,則ab?a2?b2?2ab?(a?b)2?0a?b?2ab22
當且僅當a=b時,等號成立。且發(fā)現(xiàn)這里且a和b可以是全體實數(shù)、單項式、多項式。
作法二(分析法):
要證明a?b?ab, 2只需證明a?b?2ab, 即證a?b-2ab?0, 即為?a-b?2?0,該式顯然成立,所以,當a?b時取等號。
于是有這樣的結(jié)論:
稱ab為a,b的幾何平均數(shù);稱基本不等式ab?a?b為a,b的算術(shù)平均數(shù), 2a?b又可敘述為: 2兩個正數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的算術(shù)平均數(shù)
作法三(幾何法):
如圖,AB是圓O的直徑,點C是AB上一點,AC=a,BC=b.過點C作 垂直于AB的弦DE,連接AD,BD。 從而有CD?ab,OD?a?b。 2a?b。 2a?b當且僅當C點與圓心O點重合時,即a=b時,ab?
2故再次證明:
a?ba?0,b?0,ab?,當且僅當a=b時,等號成立。
2a?b也說明了ab?的幾何意義:半徑不小于半弦。
2由于直角三角形COD中,直角邊CD
(三)例題講解
例1.(1)用籬笆圍一個面積為100平方米的矩形菜園,問這個矩形的長、寬各為多少時,所用籬笆最短,最短的籬笆是多少?
(2)一段長為36米的籬笆圍成一個矩形菜園,問這個矩形的長、寬為多少時,菜園的面積最大,最大面積是多少?
(通過例1的講解,總結(jié)歸納利用基本不等式求最值問題的特征,實現(xiàn)積與和的轉(zhuǎn)化)
對于x,y?R?,
(1)若xy?p(定值),則當且僅當x?y時,x?y有最小值2p;
s2(2)若x?y?s(定值),則當且僅當x?y時,xy有最大值。
4(鼓勵學生自己探索推導,不但可使他們加深基本不等式的理解,還鍛煉了他們的思維,培養(yǎng)了勇于探索的精神。)
1例2.求y?x?(x?0)的值域。
x1變式1.若x?2,求x?的最小值.
x?21在運用基本不等式解題的基礎(chǔ)上,利用幾何畫板展示y?x?(x?0)的函數(shù)
x圖象,使學生再次感受數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想。
a?b并通過例2及其變式引導學生領(lǐng)會運用基本不等式ab?的三個限制
2條件(一正二定三相等)在解決最值問題中的作用,提升解決問題的能力,體會方法與策略。
(四)歸納小結(jié)&課后作業(yè) 基本不等式:
若a,b?R?,則a2?b2?2ab。(當且僅當a=b時,等號成立)
a?b。(當且僅當a=b時,等號成立) 2(1)基本不等式的幾何解釋(數(shù)形結(jié)合思想); (2)運用基本不等式解決簡單最值問題的基本方法。
作業(yè):A組第4題,B組第1題,第2題
若a,b?R?,則ab?
不等式的課件 篇3
課題:3.4.3 基本不等式 的應(yīng)用(二) 科目:數(shù)學 教學對象:高二(290)學生 課時:1課時 提供者:劉和安 單位: 姚安一中 一、教學內(nèi)容分析 本節(jié)課的研究是起到了對學生以前所學知識與方法的復習、應(yīng)用,進而構(gòu)建他們更完善的知識網(wǎng)絡(luò)。數(shù)學建模能力的培養(yǎng)與鍛煉是數(shù)學教學的一項長期而艱苦的任務(wù),這一點,在本節(jié)課是真正得到了體現(xiàn)和落實。?
根據(jù)本節(jié)課的教學內(nèi)容,應(yīng)用觀察、閱讀、歸納、邏輯分析、思考、合作交流、探究,對基本不等式展開實際應(yīng)用,進行啟發(fā)、探究式教學并使用投影儀輔助。? 二、教學目標 (一)知識目標:構(gòu)建基本不等式解決函數(shù)的值域、最值問題;
(二)能力目標:讓學生探究用基本不等式解決實際問題
(三)情感、態(tài)度和價值觀目標:
通過具體問題的解決,讓學生去感受、體驗現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等量關(guān)系并需要從理性的角度去思考,鼓勵學生用數(shù)學觀點進行類比、歸納、抽象,使學生感受數(shù) 學、走進數(shù)學、培養(yǎng)學生嚴謹?shù)臄?shù)學學習習慣和良好的思維習慣;? 三、學習者特征分析 在本節(jié)課的教學過程中,仍應(yīng)強調(diào)不等式的現(xiàn)實背景和實際應(yīng)用,真正地把不等式作為刻畫現(xiàn)實世界中不等關(guān)系的工具。通過實際問題的分析解決,讓學生去體會基本不等式所具有的廣泛的實用價值,同時,也讓學生去感受數(shù)學的應(yīng)用價值,從而激發(fā)學生去熱愛數(shù)學、研究數(shù)學。而不是覺得數(shù)學只是一門枯燥無味的推理學科。在解決實際問題的過程中,既要求學生能用數(shù)學的眼光、觀點去看待現(xiàn)實生活中的許多問題,又會涉及與函數(shù)、方程、三角等許多數(shù)學本身的知識與方法的處理 四、教學策略選擇與設(shè)計 1.采用探究法,按照觀察、閱讀、歸納、思考、交流、邏輯分析、抽象應(yīng)用的方法進行啟發(fā)式教學;?
2.教師提供問題、素材,并及時點撥,發(fā)揮老師的主導作用和學生的主體作用;?
3.設(shè)計較典型的具有挑戰(zhàn)性的問題,激發(fā)學生去積極思考,從而培養(yǎng)他們的數(shù)學學習興趣。?? 五、教學重點及難點 教學重點:1.構(gòu)建基本不等式解決函數(shù)的值域、最值問題。?
2.讓學生探究用基本不等式解決實際問題;?
教學難點:1.讓學生探究用基本不等式解決實際問題;?
2.基本不等式應(yīng)用時等號成立條件的考查;?
六、教學過程 教師活動 學生活動 設(shè)計意圖 (一)導入新課
(二)推進新課
已知 ,若ab為常數(shù)k,那么a+b的值如何變化?
若a+b為常數(shù)s,那么ab的值如何變化?
老師用投影儀給出本節(jié)課的第一組問題
(1)求函數(shù)y=2x2+ (x>0)的最小值。?
(2)求函數(shù)y=x2+ (x>0)的最小值。?
(3)求函數(shù)y=3x2-2x3(0
(4)求函數(shù)y=x(1-x2)(0
(5)設(shè)a>0,b>0,且a2+ =1,求 的最大值。?
(三)合作探究 我們來考慮運用正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)之間的關(guān)系來解答這些問題。根據(jù)函數(shù)最值的含義,我們不難發(fā)現(xiàn)若平均值不等式的某一端為常數(shù),則當?shù)忍柲軌蛉〉綍r,這個常數(shù)即為另一端的一個最值。 ?
(四)例題精析?
【例】某工廠要建造一個長方體形無蓋貯水池,其容積為4 800 m3,深為 3 m.如果池底每平方米的造價為150元,池壁每平方米的造價為120元,怎樣設(shè)計水池能使總造價最低?最低總造價是多少?
當且僅當a=b時,a+b就有最小值為2k.?
當且僅當a=b時,ab就有最大值 (或ab有 最大值 ).?
學生完成
留五分鐘的時間讓學生思考,合作交流
(根據(jù)學生完成的典型情況,找五位學生到黑板板演,然后老師根據(jù)學生到黑板板演的完成情況再一次作點評)?
學生思考、回答,
不等式的課件 篇4
不等式
教材分析:本課由實際問題中的不等關(guān)系引出不等式的概念;類比方程的解,明確不等式解和解集的概念,以及不等式解集的兩種表示方法。
教學目標:了解不等式概念,理解不等式的解和解集。 教學重難點:不等式及解集概念的理解。 教學過程: 一:引出新知。
現(xiàn)實世界中存在大量的數(shù)量關(guān)系,包括相等關(guān)系和不等關(guān)系。用等式(包括方程),我們可以研究相等關(guān)系,而研究不等關(guān)系需要用本章的不等式,如引言中選擇購物商場問題.二:探索新知。
問題1 一輛勻速行駛的汽車在11:20距離A地50 km,要在12:00之前駛過A地.你能用式子表示出車速應(yīng)滿足的條件嗎?
1、汽車在12:00之前駛過A地的意思是什么? 從時間上看,汽車要在12:00之前駛過A地,則 以這個速度行駛50 km所用的時間不到。
從路程上看,汽車要在12:00之前駛過A地,則以這個速度行駛的路程要超過50 km。
2、如何用式子表示以上不等關(guān)系? 設(shè):車速為x km/h. 從時間上看: 從路程上看:
(1)對于不等式 而言,車速可以是80 km/h嗎?78 km/h呢?75 km/h呢?72 km/h呢?
(2)類比方程的解,什么叫不等式的解?
使不等式成立的未知數(shù)的值.(3)不等式還有其他解嗎?如果有,這些解應(yīng)滿足什么條件?
一般地,一個含有未知數(shù)的不等式的所有的解,組成這個不等式的解集.求不等式的解集的過程叫做解不等式. (4)除了用不等式表示取值范圍,還有其他表示方法嗎? 數(shù)軸
三、運用新知。 例1 請用不等式表示:
(1) 是負數(shù);
(2) 與5的和小于-7;
(3) 的一半大于3.例2 直接說出不等式的解集,并在數(shù)軸上表
示出來.
四、歸納總結(jié) (1)什么叫不等式?
(2)什么叫不等式的解?不等式的解和方程的解的區(qū)別? (3)什么叫不等式的解集?不等式的解和不等式的解集的區(qū)別?
五、布置作業(yè)
教科書 習題 第
1、
2、3題。
不等式的課件 篇5
[教學目標]
依據(jù)《新標準》對《不等式》學段的目標要求和本班學生實際情況,特確定如下目標:
1、知識與能力目標:理解掌握基本不等式,并能運用基本不等式解決一些簡單問題(求最值、證明不等式);培養(yǎng)學生探究能力以及分析問題解決問題的能力。
2、過程與方法目標:按照創(chuàng)設(shè)情景,提出問題→ 剖析歸納證明→ 幾何解釋→ 應(yīng)用(最值的求法、不等式的證明)的過程呈現(xiàn)。啟動觀察、分析、歸納、總結(jié)、抽象概括等思維活動,培養(yǎng)學生的思維能力,體會數(shù)學概念的學習方法,通過運用多媒體的教學手段,引領(lǐng)學生主動探索基本不等式性質(zhì),體會學習數(shù)學規(guī)律的方法,體驗成功的樂趣。
3、情感與態(tài)度目標:通過問題情境的設(shè)置,使學生認識到數(shù)學是從實際中來,培養(yǎng)學生用數(shù)學的眼光看世界,通過數(shù)學思維認知世界,從而培養(yǎng)學生善于思考、勤于動手的良好品質(zhì)。
二、 [教學重點]
基本不等式 的證明過程及應(yīng)用。
三、 [教學難點]
1、基本不等式成立時的三個限制條件(簡稱一正、二定、三相等)的正確理解;
2、靈活利用基本不等式求解實際問題中的最大值和最小值。
四、 [教學方法]
本節(jié)課采啟發(fā)誘導、講練結(jié)合的教學方法,結(jié)合現(xiàn)代信息技術(shù)多媒體課件、幾何畫板作為教學輔助手段,加深學生對基本不等式的理解。
[教學用具]
多媒體、幾何畫板
六、 [教學過程]
教學過程設(shè)計以問題為中心,以探究解決問題的方法為主線展開。這種安排強調(diào)過程,符合學生的認知規(guī)律,使數(shù)學教學過程成為學生對知識的再創(chuàng)造、再發(fā)現(xiàn)的過程,從而培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識。
具體過程安排如下:
(一)、創(chuàng)設(shè)情景,提出問題;
上圖是在北京召開的第24屆國際數(shù)學家大會的會標,會標是根據(jù)中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設(shè)計的,顏色的明暗使它看上去像一個風車,代表中國人民熱情好客。
[問]你能在這個圖中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎?
利用圖中相關(guān)面積間存在的數(shù)量關(guān)系,抽象出不等式 。在此基礎(chǔ)上,引導學生認識基本不等式。
同時,(幾何畫板輔助教學)通過幾何畫板演示,
讓學生更直觀的抽象、歸納出結(jié)論:
(二)、抽象歸納:
一般地,對于任意實數(shù) ,有 ,當且僅當 時,等號成立。
[問] 你能給出它的證明嗎?
學生在黑板上板書。
特別地,當 時,在不等式 中,以 、 分別代替 ,得到什么?
答案: 。
【歸納總結(jié)】
如果 都是正數(shù),那么 ,當且僅當 時,等號成立。
我們稱此不等式為基本不等式。 其中 稱為 的算術(shù)平均數(shù), 稱為 的幾何平均數(shù)。
(三)、理解升華:
1、文字語言敘述:
兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。
2、符號語言敘述:
若 ,則有 ,當且僅當 時, 。
[問] 怎樣理解“當且僅當”?
3、探究基本不等式證明方法:
[問] 如何證明基本不等式?
方法一:作差比較或由 展開證明。
方法二:分析法。
分析法,實際上是尋找結(jié)論的充分條件,執(zhí)果索因的一種思維方法。
4、探究基本不等式的幾何意義:
讀書破萬卷下筆如有神,以上就是一米范文范文為大家?guī)淼?篇《2023高中數(shù)學基本不等式教學教案》,希望對您有一些參考價值。
不等式的課件 篇6
不等式和不等式組復習課教學設(shè)計
一、設(shè)計思想:
“不等式”是初中數(shù)學核心內(nèi)容之一。就不等式的解法來說,它是一種重要的數(shù)學技能;而就不等式的廣泛作用來說,不管是與實際相關(guān)的問題,還是純粹的數(shù)學問題,不管是代數(shù)方面的問題,還是幾何圖形方面的問題,乃至更為一般化的問題,只要是求未知數(shù)的值或范圍的問題,經(jīng)常要借助于不等式,可見學好不等式具有非常重要的意義。
這節(jié)課是中考前的專題復習課,知識點不多。由于學生已經(jīng)學過本章內(nèi)容,因此在本節(jié)復習中主要以提問的形式進行知識要點的復習,以學生自主探索和合作探究的學習方法學習本節(jié)內(nèi)容。教師主要在習題的設(shè)計上選好典型例題,復習的知識盡量全面。教學效果上使不同的學生有不同的收獲。
二、教學內(nèi)容分析:
1.《課程標準》對本專題教學內(nèi)容的要求:
(1)結(jié)合具體問題,了解不等式的意義,探索不等式的基本性質(zhì)。 (2)能解簡單的一元一次不等式,并能在數(shù)軸上表示出解集;會用數(shù)軸確定由兩個一元一次不等式組成的不等式組的解集。
(3)能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系,列出一元一次不等式,解決簡單的問題。 2.本節(jié)內(nèi)容在中考中的地位和作用。
本部分內(nèi)容在中考中大約6~12分,約占全卷分數(shù)的5%~8%左右。而且,近幾年考試中,經(jīng)常與方程、函數(shù)三角函數(shù)、幾何等內(nèi)容一起綜合考查,因此學好本節(jié)內(nèi)容對于解決這些綜合問題起著舉足輕重的作用。
三、教學目標:
1、知識技能:
①掌握不等式的概念和性質(zhì),能根據(jù)不等式的性質(zhì)解決有關(guān)問題;
②掌握不等式(組)的解法,會求不等式(組)的解集,特別是不等式組的整數(shù)解;
③能根據(jù)不等式組的解集確定字母系數(shù)的范圍;
④會列不等式(組)解決簡單的實際問題,特別是方案設(shè)計問題。
2、數(shù)學思考:通過列不等式或不等式組解決具有不等關(guān)系的實際問題,讓學生體會不等式是解決實際問題的有效的數(shù)學模型。
3、解決問題:通過不等式(組)描述不等關(guān)系解決實際問題,發(fā)展學生由實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的能力。
4、情感態(tài)度:①通過復習教學,繼續(xù)強化用數(shù)學的意識,從而使學生樂于接觸社會環(huán)境中的數(shù)學信息,愿意談?wù)撃承?shù)學話題,能夠在數(shù)學活動中發(fā)揮積極作用。
②.通過探索,增進學生之間的配合,使學生敢于面對數(shù)學活動中的困難,并有克服困難和運用知識解決問題的成功體驗,樹立學好數(shù)學的自信心。
教學重點:不等式(組)的解法的規(guī)范性及實際應(yīng)用
教學難點:不等式組有無解的問題中字母系數(shù)的確定和實際問題中不等式(組)的列出
教學方法:依托多媒體平臺,啟發(fā)、談?wù)?、互動探究法(學生討論、教師點撥)、講練結(jié)合。
教學手段:計算機多媒體輔助教學。 教學時間:1課時
教學準備:1.學生準備:預(yù)習教材,了解本節(jié)的知識要點。
2.教師準備:將學生分組,選好組長;制作多媒體課件。
教學設(shè)計
一 情境設(shè)計
導入新課
出示多媒體課件
1、問題情境:問題:某化妝品店老板到廠家選購A、B兩種品牌的化妝品,若銷售1套A品牌的化妝品可獲利30元,銷售1套B品牌的化妝品可獲利20元,根據(jù)市場需求,化妝品店老板決定,購進B品牌化妝品的數(shù)量比購進A品牌化妝品數(shù)量的2倍還多4套,且B品牌化妝品最多可購進40套,這樣化妝品全部售出后,可使總的獲利不少于1200元,問有幾種進貨方案?如何進貨? 教師:同學們,如果你是這個化妝品店的老板,你怎么解決進貨方案問題? (學生思考):
教師:如何用數(shù)學符號表示標有下劃線的詞語?應(yīng)該考查我們哪部分知識? 學生:最多 —— ≤;不少于—— -≥。 教師:我們學過的哪章知識與它們聯(lián)系最密切?由此我們想到了哪部分知識? 學生:不等式和不等式組
教師:下面我們就來復習有關(guān)這方面的內(nèi)容,“專題復習
(二)方程和不等式-----------不等式和不等式”。 (板書課題)
(多媒體出示教學目標。圖略)
二、展示教學目標、教學重點和難點:(讓學生學有目的,學有依據(jù))
三、回顧知識要點:
1.知識網(wǎng)絡(luò)出示;(使學生對本節(jié)知識的復習內(nèi)容一目了然,從總體把握知識間的內(nèi)在聯(lián)系)
實際問題
3、知識要點復習不等關(guān)系不等式不等式的性質(zhì)解不等式解集一元一次不等式一元一次不等式組解法解法數(shù)軸表示解集數(shù)軸表示實際應(yīng)用解集數(shù)軸表示 2.知識要點復習:(通過提問由學生回答) ①基本概念復習
(澄清基本概念,對知識間的內(nèi)在聯(lián)系更明確。)
3、知識要點復習
一、基本概念:
1、不等式:
2、不等號:
3、不等式的解:
4、不等式的解集:
5、解不等式:
6、一元一次不等式:
7、一元一次不等式組:
8、一元一次不等式組的解集:
9、解一元一次不等式組: ②不等式性質(zhì)復習:(它是解不等式和不等式組的重要依據(jù),特別注意第3條性質(zhì),不等號方向改變問題,提醒學生,此處易錯,提起注意)
3、知識要點復習
二、不等式的性質(zhì):(1)如果a>b,那么a+c>b+c,a-c>b-c不等式的兩邊都加上(或減去)同一個數(shù)或同一個整式,不等號的方向不變。ab?(2)如果a>b,并且c>0,那么ac>bc,cc不等式兩邊都乘以(或除以)同一個正數(shù),不等號的方向不變。(3)如果a>b,并且c
3、知識要點復習三,規(guī)律與方法:1,不等式的解法:2,解不等式組的方法:3,不等式的解集在數(shù)軸上的表示:大向右,小向左,有等號是實心,無等號是空心.4,求幾個不等式的解的公共部分的方法和規(guī)律:(1)數(shù)軸法(2)口訣法同大取大同小取小一大一小中間找 ④用一元一次不等式組解決實際問題的步驟:(為解決實際問題提供依據(jù),這是本節(jié)的重點知識,學生可能會類比前邊復習的方程和方程組的知識說出。)
3、知識要點復習
5、用一元一次不等式組解決實際問題的步驟:實際問題設(shè)未知數(shù),列不等式(組)數(shù)學問題(不等式或不等式組)解不等式組實際問題的解答檢驗數(shù)學問題的解(不等式(組)的解集)
四、典型例題解析:(這一環(huán)節(jié)也是學生要達到的知識技能目標的重要一環(huán),學生解題的順利與否,是教師關(guān)注的重點。學生能夠獨立解出的,關(guān)注其過程是否規(guī)范,思路是否清晰,方法是否得當。不能解出的,先由小組合作探究,看是否能找到解題的思路,得出問題的答案;如果仍不能得出,教師加以點撥,引導,幫助學生找到解題思路,得出問題的答案。)
例1.(本題是一元一次不等式的解法的考查,是本節(jié)的基本題型,估計學生都能獨立解出,可讓中游的學生板演,這樣解題步驟展現(xiàn)在大家面前,如果規(guī)范,起個示范作用;不規(guī)范,示范改正,起警示作用。把重點放在解題步驟是否規(guī)范上。)
4、典型例題:例1.解一元一次不等式解:3 (x-1) ≤6 –2(x-2)3x –3 ≤6 –2x+43x+2x ≤6+4+35x ≤13x ≤135自然數(shù)解非負整數(shù)解正整數(shù)解最大解最大整數(shù)解 (右邊的云形圖中是在學生解完不等式后先后出示的五種特殊情況,這樣進
行變式教學,展示了一題多解的典型題目,同時又使學生鍛煉了仔細審題的能力。)
4、典型例題:例1.解一元一次不等式解一元一次方程一元一次不解:3 (x-1) = 6 –2(x-2)解:3 (x-1) ≤6 –2(x-2)3x –3 = 6 –2x+43x –3 ≤6 –2x+4等式和一元一次3x+2x =6+4+3方程有何共同點3x+2x ≤6+4+35x =13和不同點?5x ≤x =x≤55 (通過這種一元一次不等式和一元一次方程解法的類比,使學生明確知識間的內(nèi)在聯(lián)系,同時發(fā)現(xiàn)其中的異同,對兩者的區(qū)別更加清晰)
例2.(考查不等式的變形,解決問題的關(guān)鍵是正確理解不等式的概念和基本性質(zhì)。重點關(guān)注基本性質(zhì)的靈活掌握)
例3.(把平面直角坐標系的象限問題轉(zhuǎn)化成不等式組問題,既體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法,又見識了不等式組的廣泛應(yīng)用??梢詭蛯W生回憶坐標系的有關(guān)知識。)
4、典型例題:a例2.若a1;b1a③a+b
3、在直角坐標系中,P(2x-6,x-5)在第四象限,則x的取值范圍是3
例4.(把不等式中的相等問題出示,體現(xiàn)了相等和不等可以互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想。并與數(shù)與式中的乘方問題相聯(lián)系,具有一定的綜合性。)
例5.(借助數(shù)軸確定不等式組的解集,對于解這類題非常有效,學生容易做錯,特別是是否包括界點問題,有一定難度,讓學生小組合作探究,共同尋找問題的答案。教師巡視,給有困難小組點撥,指導。)
4、典型例題:x?a?2例
4、(2009涼山)若不等式組集是-1
例題分析:問題5問題分析:本題存在兩個不等關(guān)系,一是購買B品牌化妝品不超過40套;二是兩種化妝品的獲利不少于1200元。根據(jù)這兩個不等關(guān)系,可列不等式組求解。 (學生寫出解題過程后,教師可出示規(guī)范的解題過程,體現(xiàn)數(shù)學學科的嚴謹性。)
4例題講解:、典型例題:解:設(shè)A品牌化妝品購進m套,則B品牌化妝品購進(2m+4)套。根據(jù)題意得:解得:16≤m≤18.因為m為正整數(shù),所以m=16,17,18,所以2m+4=
36、
38、40.所以有三種進貨方案:(1)A種品牌的化妝品的購進16套,B種品牌的化妝品購進36套;(1)A種品牌的化妝品的購進16套,B種品牌的化妝品購進36套;(1)A種品牌的化妝品的購進16套,B種品牌的化妝品購進36套; (通過方案設(shè)計題的解決,使學生能夠由實際問題建立數(shù)學模型,從而增強解決實際問題的能力。)
五、
歸納小結(jié)(先由學生自己歸納總結(jié)本節(jié)課的收獲,從而把課堂傳授的知識盡快化為學生的素質(zhì),以培養(yǎng)和增強學生的歸納總結(jié)能力;然后老師予以補充和歸納,為學生良好學習習慣的養(yǎng)成繼續(xù)進行指導。)
5、歸納小結(jié)你會了嗎?這節(jié)課你學到了什么?你有什么收獲?你還有什么問題?
六、達標檢測:(在這一環(huán)節(jié),我設(shè)計了幾個有梯度的題目,這樣可使不同層次的學生都能有所收獲,都能感受到成功的喜悅,使他們“在數(shù)學上都能有不同的發(fā)展”。)
6.達標檢測(1)若2x=3+k的解集是負數(shù),那么k的取值范圍是______.K
3、不等式組數(shù)解為(A的最小整)A,-1 B,0 C,2 D,3 9
6.達標檢測
4、躍壯五金商店準備從寧云機械廠購進甲、乙兩種零件進行銷售。若每個甲種零件的進價比每個乙種零件的進價少2元,且用80元購進甲種零件的數(shù)量與用100元購進乙種零件的數(shù)量相同。(1)求每個甲種零件、每個乙種零件的進價分別為多少元?(2)若該五金商店本次購進甲種零件的數(shù)量比購進乙種零件的數(shù)量的3倍還少5個,購進兩種零件的總數(shù)量不超過95個,該五金商店每個甲種零件的銷售價格為12元,每個乙種零件的銷售價格為15元,則將本次購進的甲、乙兩種零件全部售出后,可使銷售兩種零件的總利潤(利潤=售價-進價超過371元,通過計算求出躍壯五金商店本次從寧云機械廠購進甲、乙兩種零件有幾種方案?請你設(shè)計出來。 6.達標檢測選做題?若不等式組x?a?01?2x?x?2有解,則a的取?值范圍是(A)。?>-1 ≥-1 ≤1 <1
七、教學設(shè)計的理論依據(jù)
1.“理論聯(lián)系實際”的原則,聯(lián)系學生身邊的生活,引導學生學習運用理論知識分析、解決實際問題。
2.新課程標準中的“學生是學習的主人”的主體教育思想。
本節(jié)課努力構(gòu)建師生互動、生生互動的新的教學模式,創(chuàng)設(shè)情境引領(lǐng)教學,引導學生的合作學習,讓其在思考討論中自主學習,真正落實以學生為中心、以學生發(fā)展為根本,注重學生道德和能力的培養(yǎng)。
不等式的課件 篇7
《基本不等式》教學設(shè)計
基本不等式
開江中學 魏江蘭
目標分析
依據(jù)《新課程標準》對《不等式》學段的目標要求和學生的實際情況,特確定如下目標:
1、知識與能力目標:理解掌握基本不等式,并能運用基本不等式解決一些簡單的求最值問題;理解算數(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的概念,學會構(gòu)造條件使用基本不等式;培養(yǎng)學生探究能力以及分析問題解決問題的能力。
2、過程與方法目標:按照創(chuàng)設(shè)情景,提出問題→ 剖析歸納證明→ 幾何解釋→ 應(yīng)用(最值的求法、實際問題的解決)的過程呈現(xiàn)。啟動觀察、分析、歸納、總結(jié)、抽象概括等思維活動,培養(yǎng)學生的思維能力,體會數(shù)學概念的學習方法,通過運用多媒體的教學手段,引領(lǐng)學生主動探索基本不等式性質(zhì),體會學習數(shù)學規(guī)律的方法,體驗成功的樂趣。
3、情感與態(tài)度目標:通過問題情境的設(shè)置,使學生認識到數(shù)學是從實際中來,培養(yǎng)學生用數(shù)學的眼光看世界,通過數(shù)學思維認知世界,從而培養(yǎng)學生善于思考、勤于動手的良好品質(zhì)。
教學重、難點分析
重點:應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式,并從不同角度探索基本不等式ab?a?b的證明過程及應(yīng)用。 2難點:
1、基本不等式成立時的三個限制條件(簡稱一正、二定、三相等);
2、利用基本不等式求解實際問題中的最大值和最小值。
教法分析
本節(jié)課采用觀察——感知——抽象——歸納——探究;啟發(fā)誘導、講練結(jié)合的教學方法,以學生為主體,以基本不等式為主線,從實際問題出發(fā),放手讓學生探究思索。以現(xiàn)代信息技術(shù)多媒體課件作為教學輔助手段,加深學生對基本不等式的理解。
《基本不等式》教學設(shè)計
教學準備
多媒體課件、板書
教學過程
教學過程設(shè)計以問題為中心,以探究解決問題的方法為主線展開。這種安排強調(diào)過程,符合學生的認知規(guī)律,使數(shù)學教學過程成為學生對知識的再創(chuàng)造、再發(fā)現(xiàn)的過程,從而培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識。 具體過程安排如下:
一、創(chuàng)設(shè)情景,提出問題;
設(shè)計意圖:數(shù)學教育必須基于學生的“數(shù)學現(xiàn)實”,現(xiàn)實情境問題是數(shù)學教學的平臺,數(shù)學教師的任務(wù)之一就是幫助學生構(gòu)造數(shù)學現(xiàn)實,并在此基礎(chǔ)上發(fā)展他們的數(shù)學現(xiàn)實.基于此,設(shè)置如下情境: 上圖是在北京召開的第24屆國際數(shù)學家大會的會標,會標是根據(jù)中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設(shè)計的,顏色的明暗使它看上去像一個風車,代表中國人民熱情好客。
[問]你能在這個圖中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎?
本背景意圖在于利用圖中相關(guān)面積間存在的數(shù)量關(guān)系,抽象出不等式a2?b2?2ab。在此基礎(chǔ)上,引導學生認識基本不等式。
二、抽象歸納:
一般地,對于任意實數(shù)a,b,有a2?b2?2ab,當且僅當a=b時,等號成立。 [問] 你能給出它的證明嗎?
證明:因為a2?b2?2ab?(a?b)2?0,即a2?b2?2ab.(當a?b時取等號)
特別地,當a>0,b>0時,在不等式a2?b2?2ab中,以a、b分別代替a、b,得到什么?
設(shè)計依據(jù):類比是學習數(shù)學的一種重要方法,此環(huán)節(jié)不僅讓學生理解了基本不等式不等式的來源,突破了重點和難點,而且感受了其中的函數(shù)思想,為今后學習奠定基礎(chǔ).
《基本不等式》教學設(shè)計
答案: ab?a?b(a,b?0)。 2你能用不等式的性質(zhì)直接推導這個不等式嗎? 證明:(分析法):由于a,b?R?,于是要證明 a?b?2ab,
只要證明 a?b?2即證
2ab,
a?b?2ab?0,即 (a?b)2?0,
所以a?b?ab,(當a?b時取等號)
【歸納總結(jié)】
如果a,b都是正數(shù),那么ab?a?b,當且僅當a=b時,等號成立。 2a?b稱為a,b的算術(shù)平均數(shù),ab稱2我們稱此不等式為基本不等式。 其中為a,b的幾何平均數(shù)。
文字語言敘述:兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。
探究基本不等式的幾何意義:借助初中階段學生熟知的幾何圖形,引導學生探究ab?a?b(a,b?0)2的幾何解釋,通過數(shù)形結(jié)合,賦予不等式不等式ab?a?b(a,b?0)2幾何直觀。進一步領(lǐng)悟不等式中等號成立的條件。
如圖:AB是圓的直徑,點C是AB上一點,CD⊥AB,AC=a,CB=b,CD
D?ab
aba?b2abOCAB幾何解釋實質(zhì)可認為是:在同一半圓中,半徑不小于半弦(直徑是最長的弦);或者認為是,直角三角形斜邊的一半不小于斜邊上的高。
《基本不等式》教學設(shè)計
4.應(yīng)用舉例,鞏固提高
我們可以用兩個重要不等式來解決什么樣的問題呢?
例1(1)用籬笆圍一個面積為100平方米的矩形菜園,問這個矩形的長、寬各為多少時,所用籬笆最短,最短的籬笆是多少? (2)一段長為36米的籬笆圍成一個矩形菜園,問這個矩形的長、寬為多少時,菜園的面積最大,最大面積是多少?
(通過例1的講解,總結(jié)歸納利用基本不等式求最值問題的特征,實現(xiàn)積與和的轉(zhuǎn)化) 對于(1)若(2)若,
(定值),則當且僅當(定值),則當且僅當
時,時,
有最小值有最大值
; .
(鼓勵學生自己探索推導,不但可使他們加深基本不等式的理解,還鍛煉了他們的思維,培養(yǎng)了勇于探索的精神.)
1例 2:當x?0時,求y?x?的最小值?x1變式1:當x?0時,y?x?有最值嗎?
x1變式2:當x?1時,y?x?有最值嗎?
x通過例2及其變式引導學生領(lǐng)會運用基本不等式的三個限制條件(一正二定三相等)在解決最值問題中的作用,提升解決問題的能力,體會方法與策略.
練一練(自主練習):課本練習 5.歸納小結(jié),反思提高
《基本不等式》教學設(shè)計
基本不等式:若若
,則,則
(當且僅當(當且僅當
時,等號成立) 時,等號成立)
(1)基本不等式的幾何解釋(數(shù)形結(jié)合思想);(2)運用基本不等式解決簡單最值問題的基本方法(一正二定三相等). 6.布置作業(yè),課后延拓
(1)基本作業(yè):課本P100習題組
1、
2、3題
(2)拓展作業(yè):請同學們課外到閱覽室或網(wǎng)上查找基本不等式的其他幾何解釋,整理并相互交流.
基本不等式教學設(shè)計
《等式的性質(zhì)》教學設(shè)計
《等式的性質(zhì)》教學設(shè)計
等式性質(zhì)教學設(shè)計(共8篇)
等式的基本性質(zhì)的課后教學反思
不等式的課件 篇8
一、教學目標:
(一)知識與能力目標:(課件第2張)
1.體會解不等式的步驟,體會比較、轉(zhuǎn)化的作用。
2.學生理解、鞏固一元一次不等式的解法.
3.用數(shù)軸表示解集,加深對數(shù)形結(jié)合思想的進一步理解和掌握。
4.在解決實際問題中能夠體會將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學語言,學會用數(shù)學語言表示實際的數(shù)量關(guān)系。
(二)過程與方法目標:
1.介紹一元一次不等式的概念。
2.通過對一元一次方程的解法的復習和對不等式性質(zhì)的利用,導入對解不等式的討論。
3.學生體會通過綜合利用不等式的概念和基本性質(zhì)解不等式的方法。
4.學生將文字表達轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言,從而解決實際問題。
5.練習鞏固,將本節(jié)和上節(jié)內(nèi)容聯(lián)系起來。
(三)情感、態(tài)度與價值目標:(課件第3張)
1.在教學過程中,學生體會數(shù)學中的比較和轉(zhuǎn)化思想。
2.通過類比一元一次方程的解法,從而更好的掌握一元一次不等式的解法,樹立辯證統(tǒng)一思想。
3.通過學生的討論,學生進一步體會集體的作用,培養(yǎng)其集體合作的精神。
4.通過本節(jié)的學習,學生體會不等式解集的奇異的數(shù)學美。
二、教學重、難點:
1.掌握一元一次不等式的解法。
2.掌握解一元一次不等式的階梯步驟,并能準確求出解集。
3.能將文字敘述轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言,從而完成對應(yīng)用問題的解決。
三、教學突破:
教材中沒有給出解法的一般步驟,所以在教學中要注意讓學生經(jīng)歷將所給的不等式轉(zhuǎn)化為簡單不等式的過程,并通過學生的討論交流使學生經(jīng)歷知識的形成和鞏固過程。在解不等式的過程中,與上節(jié)課聯(lián)系起來,重視將解集表示在數(shù)軸上,從而指導學生體會用數(shù)形結(jié)合的方法解決問題。在研究中,鼓勵學生用多種方法求解,從而鍛煉他們活躍的思維。
四、教 具:計算機輔助教學.
五、教學流程:
(一)、復習:
教學環(huán)節(jié)
教 師 活 動
學 生 活 動
設(shè) 計 意 圖
2023不等式課件14篇
經(jīng)驗時常告訴我們,做事要提前做好準備。在平日里的學習中,幼兒園教師時常會提前準備好有用的資料。資料可以指人事物的相關(guān)多類信息、情報。有了資料才能更好地安排接下來的學習工作!你是否收藏了一些有用的幼師資料內(nèi)容呢?以下是由小編為大家整理的“2023不等式課件14篇”,僅供參考,歡迎大家閱讀。
不等式課件 篇1
七年級數(shù)學不等式課件
教學目標:
通過對具體實例的學習,使學生能夠了解生活中的不等量關(guān)系,理解不等式的概念,知道什么是不等式的解,為以后學習不等式的解法奠定基礎(chǔ).
知識與能力:
1.通過對具體事例的分析和探索,得到生活中不等量的關(guān)系.
2.通過理解得到不等式的概念,從而使學生經(jīng)歷實際問題中數(shù)量的分析、抽象過程,體會現(xiàn)實中有各種各樣錯綜復雜的數(shù)量關(guān)系.
3.了解不等式的意義,知道不等式是用來刻畫生活中的數(shù)量關(guān)系的.
4.知道什么是不等式的解.
過程與方法:
1.引導學生分析具體事例,從對具體事例的分析中得到不等量關(guān)系.
2.引導并幫助學生列出不等式,分析不等式的成立條件.
3.通過分析、抽象得到不等式的概念和不等式的解的概念.
4.通過習題鞏固和加深對概念的理解.
情感、態(tài)度與價值觀:
1.通過學生的分析和抽象過程使他們體會現(xiàn)實中錯綜復雜的數(shù)量關(guān)系,然后從而培養(yǎng)其抽象思維能力.
2.通過分組討論學習,體會在解決具體問題的過程中與他人合作的重要性,培養(yǎng)學生的團體協(xié)作精神,使學生獲得合作交流的學習方式.
3.通過聯(lián)系與發(fā)展、對立與統(tǒng)一的思考方法對學生進行辯證唯物主義教育.
4.通過創(chuàng)設(shè)問題串,讓學生仔細觀察、對比、歸納、整理,嘗試對有理數(shù)進行分類,然后體驗教學活動充滿著探索性和創(chuàng)造性.
教學重、難點及教學突破
重點:不等式的概念和不等式的解的概念.
難點:對文字表述的數(shù)量關(guān)系能列出不等式.
教學突破:由于學生在以前已經(jīng)對數(shù)量的大小關(guān)系和含數(shù)字的不等式有所了解,但還沒有接觸過含未知數(shù)的不等式,在學生分析問題的時候注意引入現(xiàn)實中大量存在的數(shù)量間的不等關(guān)系,研究它們的變化規(guī)律,使學生知道用不等式解決實際問題的方便之處.在本節(jié)的教學中能夠在組織學生討論的過程中適當?shù)貪B透變量的知識,讓學生感受其中的函數(shù)思想,并引導學生發(fā)現(xiàn)不等式的解與方程的解之間的區(qū)別.在處理本節(jié)難點時指導學生練習有理數(shù)和代數(shù)式的知識,準確“譯出”不等式.
教學過程:
一.研究問題:
世紀公園的票價是:每人5元,一次購票滿30張可少收1元.某班有27名少先隊員去世公園進行活動.當領(lǐng)隊王小華準備好了零錢到售票處買了27張票時,愛動腦的李敏同紀學喊住了王小華,提議買30張票.但有的同學不明白.明明只有27個人,買30張票,豈不浪費嗎?
那么,究竟李敏的提議對不對呢?是不是真的浪費呢
二.新課探究:
分析上面的問題:設(shè)有x人要進世紀公園,①若x≥30,應(yīng)該如何買票?②若x
結(jié)論:至少要有多少人進公園時,買30張票才合算?
概括:1、不等式的定義:表示不等關(guān)系的式子,叫做不等式.不等式用符號>,
2、不等式的解:能使不等式成立的未知數(shù)的值,叫做不等式的解.
3、不等式的分類:⑴恒不等式:-71+4,a+2>a+1.
⑵條件不等式:x+3>6,a+2>3,y-3>-5.
三、基礎(chǔ)訓練.
例1、用不等式表示:⑴a是正數(shù);⑵b不是負數(shù);⑶c是非負數(shù);⑷x的平方是非負數(shù);⑸x的一半小于-1;⑹y與4的和不小于3.
注:⑴不等式表示代數(shù)式之間的不相等關(guān)系,與方程表示相等關(guān)系相對應(yīng);
⑵研究不等關(guān)系列不等式的重點是抓關(guān)鍵詞,弄清不等關(guān)系.
例2、用不等式表示:⑴a與1的和是正數(shù);⑵x的2倍與y的3倍的差是非負數(shù);⑶x的2倍與1的和大于—1;⑷a的一半與4的差的絕對值不小于a.
例3、當x=2時,不等式x-1
注:⑴檢驗字母的值能否使不等式成立,只要代入不等式的左右兩邊,如果符合不等號所表示的關(guān)系,就成立,否則就不成立.⑵代入法是檢驗不等式的解的重要方法.
學生練習:課本P42練習1、2、3.
四、能力拓展
學校組織學生觀看電影,某電影院票價每張12元,50人以上(含50人)的團體票可享受8折優(yōu)惠,現(xiàn)有45名學生一起到電影院看電影,為享受8折優(yōu)惠,必須按50人購團體票.
⑴請問他們購買團體票是否比不打折而按45人購票便宜;
⑵若學生到該電影院人數(shù)不足50人,應(yīng)至少有多少人買團體票比不打折而按實際人數(shù)購票便宜.
解:⑴按實際45人購票需付錢_________ 元,然后如果按50人購買團體票則需付錢50×12×80%=480元,所以購買團體票便宜.
⑵設(shè)有x人到電影院觀看電影,當x_____時,按實際人數(shù)買票______張,需付款_______元,而按團體票購票需付款________元,如果買團體票合算,那么應(yīng)有不等式________________,
由①得,當x=45時,上式成立,讓我們再取一些數(shù)據(jù)試一試,將結(jié)果填入下表:
x12x比較480與12x的大小48
由上表可見,至少要__________人時進電影院,購團體票才合算.
五、小結(jié):
⑴不等式的定義,不等式的'解.
⑵對實際問題中探索得到的不等式的解,然后不僅要滿足數(shù)學式子,而且要注意實際意義.
六、作業(yè)課本P42習題8.1第1、2、3題.
補充題:
1.用不等式表示:
(1)與1的和是正數(shù);(2)的與的的差是非負數(shù);
(3)的2倍與1的和大于3;(4)的一半與4的差的絕對值不小于.
(5)的2倍減去1不小于與3的和;(6)與的平方和是非負數(shù);
(7)的2倍加上3的和大于-2且小于4;(8)減去5的差的絕對值不大于
2.小李和小張決定把省下的零用錢存起來.這個月小李存了168元,然后小張存了85元.下個月開始小李每月存16元,小張每月存25元.問幾個月后小張的存款數(shù)能超過小李?(試根據(jù)題意列出不等式,并參照教科書中問題1的探索,找出所列不等式的解)
3.某公司在甲、乙兩座倉庫分別有農(nóng)用車12輛和6輛,現(xiàn)需要調(diào)往A縣10輛,調(diào)往B縣8輛,已知從甲倉庫調(diào)運一輛農(nóng)用車到A縣和B縣的運費分別為40元和80元,然后從乙倉庫調(diào)運一輛農(nóng)用車到A縣和B縣的運費分別為30元和50元,(1)設(shè)從乙倉庫調(diào)往A縣農(nóng)用車輛,用含的代數(shù)式表示總運費W元;(2)請你用嘗試的方法,探求總運費不超過900元,共有幾種調(diào)運方案?你能否求出總運費最低的調(diào)運方案.
不等式課件 篇2
(1)本節(jié)內(nèi)容,是在學習了用方程思想解決實際問題和一元一次不等式的性質(zhì)及其解法等知識的基礎(chǔ)上,把實際問題和一元一次不等式結(jié)合在一起,既是對已學知識的運用和深化,又為今后用不等式組解決實際問題以及更廣泛的應(yīng)用數(shù)學建模的思想方法奠定基礎(chǔ),具有在代數(shù)學中承上啟下的作用;
(2)通過本節(jié)的學習,學生將繼續(xù)經(jīng)歷把生活中的數(shù)和數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)學符號的體驗過程,體會不等式和方程一樣都是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的重要模型。
(3)在列不等式解決實際問題的探索過程中,引導學生注意估算意識,體會算式結(jié)果所對應(yīng)的實際意義,滲透建立數(shù)學模型,分類討論等數(shù)學思想,對提升學生應(yīng)用數(shù)學意識思考和解決問題的能力起到積極的作用。
對于用不等式解決實際問題,學生容易出現(xiàn)的認知困難主要有兩個方面:①哪類的實際問題需要用一元一次不等式來解決;②如何將實際問題轉(zhuǎn)化為一元一次不等式并加以解決。
根據(jù)以上的分析和《數(shù)學課程標準》對本課內(nèi)容的教學要求,本節(jié)課的教學重點是:一元一次不等式在決策類實際問題中的應(yīng)用;難點是:如何將實際問題中的數(shù)量關(guān)系符號化,并根據(jù)解集和結(jié)合實際情況分類討論得出合理結(jié)論。
根據(jù)本課教材的特點、《數(shù)學課程標準》對本節(jié)課的教學要求以及學生的認知水平,我從三個方面確定了以下教學目標:
1、能進一步熟練的解一元一次不等式,能從實際問題中抽象出不等關(guān)系的數(shù)學模型,并結(jié)合解集解決簡單的實際問題。
2、通過觀察、實踐、討論等活動,積累利用一元一次不等式解決實際問題的經(jīng)驗,提高分類考慮、討論問題的能力,感知方程與不等式的內(nèi)在聯(lián)系,體會不等式和方程同樣都是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的重要模型。
3、在積極參與數(shù)學學習活動的過程中,體會實事求是的態(tài)度和從數(shù)學的角度思考問題的習慣;學會在解決困難時,與其他同學交流,相互啟發(fā),培養(yǎng)合作精神。
根據(jù)教學內(nèi)容、教學目標和學生的認知水平,我主要采取教師啟發(fā)引導,學生自主探究的教學方法.教學過程中,創(chuàng)設(shè)適當?shù)慕虒W情境,引導學生獨立思考、共同探究,使學生經(jīng)歷將生活中的數(shù)和數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)學符號的具體建模過程,體會不等式作為刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的重要模型的價值。
教學中使用多媒體投影、計算機輔助教學,目的是充分發(fā)揮其快捷、生動、形象的特點,為學生提供直觀感性的材料,有助于學生對問題的關(guān)注和理解,激發(fā)學生的學習興趣.
為了達到本節(jié)課的教學目標,突出重點,突破難點,我把教學過程通過兩個實際問題逐步深入;最后歸納小結(jié),布置作業(yè).具體過程如下:
1、課題引入:
我們以前已經(jīng)學過了一元一次方程以及二元一次方程組的解法,并在解決許多實際問題的過程中感受到:將相等關(guān)系用數(shù)學符號抽象后所得到的“方程”確實是一種有效數(shù)學工具,它能讓我們的思維過程更加準確和簡明!
但是,生活中除了相等的數(shù)量關(guān)系以外,還存在著大量的不等關(guān)系,通過前幾節(jié)課的學習,我們也已經(jīng)基本了解了不等式的性質(zhì)和簡單不等式的解法。今天,就讓我們通過一些帶有選擇“決策”意義的實際問題來共同探討一下一元一次不等式這種數(shù)學模型是如何解決生活中的實際問題的。
實際情景1:在為我校初一年級學生選定營養(yǎng)餐的過程中選中了有兩家公司.
這兩家公司某種適合初一學生的營養(yǎng)餐的報價均是是6.5元/份,營養(yǎng)含量和服務(wù)承諾也均相同,且都表示對學生優(yōu)惠:甲公司表示每份按報價的90%收費,乙公司表示購買100份以上的部分按報價的80%收費.
結(jié) 合新課標對本小節(jié)的要求:會用一元一次不等式解決簡單的實際問題,我選擇的是從數(shù)量關(guān)系上與教材例題類似的收費問題,并且真實數(shù)值與所在年級事情相一致,比書上的例題更能貼近學生的實際生活,引發(fā)學生探求的`興趣。特別的,通常此類題目是不給出具體單價的,因為并不影響最后結(jié)論,考慮到學生現(xiàn)階段的數(shù)學抽象 仍以識別數(shù)量的具體含義為主,所以我在此處添加了單價,并增設(shè)了問題一,用以降低抽象思維的梯度,為后續(xù)的設(shè)未知數(shù)的“代數(shù)化抽象”作適當?shù)匿亯|。
問題(1)請你判斷,我們年級580人用餐,應(yīng)該選擇哪家公司能讓每位學生的餐費平均算來更低呢?
預(yù)案 一:教師應(yīng)關(guān)注學生能否在討論中認清“每位學生的餐費平均算來更低”所對應(yīng)的數(shù)量意義,將之轉(zhuǎn)化為“付給公司的總金額少”。在此處不排除學生因生活經(jīng)歷的缺乏,而對題目中所隱含的數(shù)量關(guān)系抽象能力弱。應(yīng)關(guān)注每一位同學的感受,讓同學們充分理解交流,擴大參與思考的廣度,獲得基本抽象思維的生長點。
預(yù)案二:在進行甲乙公司所需費用的計算時,會有分部計算和綜合計算兩種計算形式,對于那些列綜合算式的同學,教師應(yīng)多給予展示機會,從而幫助其他同學整理思路,理解算式的實際含義;為后續(xù)的字母抽象做好鋪墊。具體計算學生可以合理使用計算器提高課堂速度。
預(yù)案三:學生還有可能不通過計算,直接猜測甲公司合算或者乙公司合算,對于這種有可能產(chǎn)生的聲音,教師應(yīng)從估算的角度加以引導。引導學生體會在580人的前提下,超過100人部分(480人)的甲公司是九折乙公司是八折, 10%的差距,;100人以內(nèi)(少于100人)甲公司九折,乙公司不打折10%的差距,480的10%明顯大于100的10%,所以選乙合算,并引導學生用計算的方法驗證估算的準確性。
結(jié)論:580人時選擇乙公司能讓每位學生的餐費平均算來更低。
問題(2)你能否用以前學過的知識,在不知道具體人數(shù)的前提下制定一套方案,當其他學校的初一年級也想在這兩家公司之間進行選擇時,不用重復第一題的計算過程,只要知道人數(shù)就馬上能根據(jù)你方案的結(jié)論作出決策呢?
結(jié)合以前的訓練,學生很容易想到要通過設(shè)未知數(shù)的方法進行符號表達,將非常關(guān)鍵而題目中并未給出的學生人數(shù)設(shè)為未知數(shù)。由于本題的具體分析過程仍然是由學生分析討論完成,可能出現(xiàn)的情況是:
預(yù)案一:一部分綜合能力較強的同學會根據(jù)實際意義直接列出綜合算式:或
此處教師應(yīng)該引導學生觀察,在化簡不等式的過程中單價并未影響結(jié)果(利用不等式性質(zhì)二將其作為公倍數(shù)約去),即:題目中沒有具體的單價也不會影響本題的決策。
還可以結(jié)合小學單位一的思想化簡不等式,引導學生體會并不是題目中出現(xiàn)的所有數(shù)量都會影響不等關(guān)系,有可能引發(fā)學生的關(guān)于數(shù)量關(guān)系的深層次思考。
預(yù)案 二:還有一部分學生會因為生活經(jīng)驗少的關(guān)系,綜合思考能力弱,無法快速的理清數(shù)量關(guān)系,列出綜合算式,思考受阻,教師應(yīng)引導學生體會在第一題的算式意義的提示下,如何分別列出表達甲乙公司所需總費用的過程量代數(shù)式。然后在通過將之用不等號連接的方式,來表達兩筆費用的大小,降低因綜合性所引起的思維梯度, 在過程中讓學生體會“分步建模”的思維的條理性。
問題(1)如果你是該企業(yè)的高級管理人員,請你設(shè)計該企業(yè)在購買設(shè)備時兩種型號有幾種不同的組合方案;
問題(2)若按固定產(chǎn)量預(yù)算企業(yè)每月產(chǎn)生的污水量約為20xx噸,為了節(jié)約資金,應(yīng)選擇哪種購買方案?
實際情景2的選擇除涉及“角色扮演”和“環(huán)保”等人文因素的考慮以外,在在結(jié)合本節(jié)的教學目標上還有如下考慮,
1、 本題取材于真實的實際生活問題,情景中的符號和數(shù)量關(guān)系較多,不等關(guān)系在文字語言的敘述中顯得比第一題更加隱蔽,需要學生更深化的思考才能列出算式,是在第一個情景的基礎(chǔ)上的擴展和深化。
2、 在學生的討論過程中,教師應(yīng)注重引導學生體會,用圖表表示的數(shù)字信息比文字表達更便于觀察和有序思考,感受“有序表達”在實際中的價值。
3、 結(jié)合本題每一個的具體問題的分析和解決,學生必須要從表格中分析篩選相關(guān)的有用數(shù)據(jù),(例如:在第一問設(shè)計方案時未用到“處理污水量”和“年消耗費”,在第二問中未用到“價格”和“年消耗費”)這種分析和篩選的思考經(jīng)歷將有助于加強學生對數(shù)據(jù)關(guān)系的理解和運用能力。
結(jié)合以前的訓練,在思考問題(1)學生很容易想到要通過設(shè)A型或B型設(shè)備的
例如:(1)設(shè)購買污水處理設(shè)備A型 臺,則B型(10 – )臺,由題意知:
在此處,將“限額為105萬元”轉(zhuǎn)化為“≤105”是學生要突破的第一關(guān),教師應(yīng)在次處多展示同學的對“限額為105萬元”語言解釋,盡可能多的在具有不同經(jīng)歷基礎(chǔ)的同學心中將這個抽象過程生活化、自然化。
因為在實際情景中往往要根據(jù)未知數(shù)所代表的具體含義為未知數(shù)的加一個取值范圍的限定,而這個隱含的限制條件往往是學生中所不容易考慮到的,教師應(yīng)注意引導學生注意這一問題,
例如:本題中的 是設(shè)備的臺數(shù),應(yīng)用非負整數(shù)的限制,所以 可取0、1、2,因此有三種購買方案:
①購A型0臺,B型10臺;
②購A型1臺,B型9臺;
③購A型2臺,B型8臺。
此處細節(jié)性的思考經(jīng)歷,有助于提高學生在建模過程中更全面的考慮數(shù)值的實際意義,促進抽象符號與具體意義在頭腦中的融合。
特別的,此處的“0”是學生最容易忽視和丟掉的,教師在此處應(yīng)重點引導學生思考當“ ”時,往往是企業(yè)最可能選的方案,因為不同的設(shè)備涉及到不同的維護問題,單一品種的設(shè)備往往更便于管理,這種思考有助于發(fā)散學生的思維,促進其結(jié)合實際作更全面的思考。
問題(2)的思維梯度較前幾個問題進一步加大,學生必須理解“節(jié)約資金”這個目的的達成 一定是在“完成任務(wù)”的前提下的,要先通過對(1)中所得的三套方案是否能完成任務(wù)加以討論和驗證,然后再涉及計算哪個方案費用更低的問題
在驗證三套方案的可行性時,收思維方式的局限,學生往往會選擇逐一列舉計算的討論方式,并且由于數(shù)量少,很容易得出答案,教師可引導學生思考,如果滿足(1)的方案不是三種,而是三十種呢?三百種呢?除了逐一討論以外還有沒有什么更好的方式能幫助我們迅速縮小范圍呢?引導學生將所買設(shè)備能否完成任務(wù)量轉(zhuǎn)化為如下不等關(guān)系:
(2)同(1)所設(shè)購買污水處理設(shè)備A型 臺,則B型(10 – )臺,
240 +200(10 – )≥20xx;
因此為了節(jié)約資金,應(yīng)選購A型1臺,B型9臺。
此處的分析和引導有助于學生體會不等式在有效縮小討論范圍時的實際價值。
通過以上問題的解決,學生對不等式和方程一樣都是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的重要模型有了進一部的認識,并感受到不等式確實是從實際問題中提出,又為解決實際問題提供明確的幫助有效數(shù)學工具。
本階段通過學習小結(jié)進行課堂教學的反饋,組織和指導學生歸納知識、技能、方法,深化對數(shù)學思想方法的認識,為后續(xù)學習打好基礎(chǔ)。
不等式課件 篇3
(1)本節(jié)內(nèi)容,是在學習了用方程思想解決實際問題和一元一次不等式的性質(zhì)及其解法等知識的基礎(chǔ)上,把實際問題和一元一次不等式結(jié)合在一起,既是對已學知識的運用和深化,又為今后用不等式組解決實際問題以及更廣泛的應(yīng)用數(shù)學建模的思想方法奠定基礎(chǔ),具有在代數(shù)學中承上啟下的作用;
(2)通過本節(jié)的學習,學生將繼續(xù)經(jīng)歷把生活中的數(shù)和數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)學符號的體驗過程,體會不等式和方程一樣都是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的重要模型。
(3)在列不等式解決實際問題的探索過程中,引導學生注意估算意識,體會算式結(jié)果所對應(yīng)的實際意義,滲透建立數(shù)學模型,分類討論等數(shù)學思想,對提升學生應(yīng)用數(shù)學意識思考和解決問題的能力起到積極的作用。
對于用不等式解決實際問題,學生容易出現(xiàn)的認知困難主要有兩個方面:①哪類的實際問題需要用一元一次不等式來解決;②如何將實際問題轉(zhuǎn)化為一元一次不等式并加以解決。
根據(jù)以上的分析和《數(shù)學課程標準》對本課內(nèi)容的教學要求,本節(jié)課的教學重點是:一元一次不等式在決策類實際問題中的應(yīng)用;難點是:如何將實際問題中的數(shù)量關(guān)系符號化,并根據(jù)解集和結(jié)合實際情況分類討論得出合理結(jié)論。
根據(jù)本課教材的特點、《數(shù)學課程標準》對本節(jié)課的教學要求以及學生的認知水平,我從三個方面確定了以下教學目標:
1.能進一步熟練的解一元一次不等式,能從實際問題中抽象出不等關(guān)系的數(shù)學模型,并結(jié)合解集解決簡單的實際問題。
2.通過觀察、實踐、討論等活動,積累利用一元一次不等式解決實際問題的經(jīng)驗,提高分類考慮、討論問題的能力,感知方程與不等式的內(nèi)在聯(lián)系,體會不等式和方程同樣都是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的重要模型。
3.在積極參與數(shù)學學習活動的過程中,體會實事求是的態(tài)度和從數(shù)學的角度思考問題的習慣;學會在解決困難時,與其他同學交流,相互啟發(fā),培養(yǎng)合作精神。
三、教學方法的選擇
根據(jù)教學內(nèi)容、教學目標和學生的認知水平,我主要采取教師啟發(fā)引導,學生自主探究的教學方法.教學過程中,創(chuàng)設(shè)適當?shù)慕虒W情境,引導學生獨立思考、共同探究,使學生經(jīng)歷將生活中的數(shù)和數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)學符號的具體建模過程,體會不等式作為刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的重要模型的價值,
教學中使用多媒體投影、計算機輔助教學,目的是充分發(fā)揮其快捷、生動、形象的特點,為學生提供直觀感性的材料,有助于學生對問題的.關(guān)注和理解,激發(fā)學生的學習興趣.
為了達到本節(jié)課的教學目標,突出重點,突破難點,我把教學過程通過兩個實際問題逐步深入;最后歸納小結(jié),布置作業(yè).具體過程如下:
1、課題引入:
我們以前已經(jīng)學過了一元一次方程以及二元一次方程組的解法,并在解決許多實際問題的過程中感受到:將相等關(guān)系用數(shù)學符號抽象后所得到的“方程”確實是一種有效數(shù)學工具,它能讓我們的思維過程更加準確和簡明!
但是,生活中除了相等的數(shù)量關(guān)系以外,還存在著大量的不等關(guān)系,通過前幾節(jié)課的學習,我們也已經(jīng)基本了解了不等式的性質(zhì)和簡單不等式的解法。今天,就讓我們通過一些帶有選擇“決策”意義的實際問題來共同探討一下一元一次不等式這種數(shù)學模型是如何解決生活中的實際問題的。
實際情景1:在為我校初一年級學生選定營養(yǎng)餐的過程中選中了有兩家公司.
這兩家公司某種適合初一學生的營養(yǎng)餐的報價均是是6.5元/份,營養(yǎng)含量和服務(wù)承諾也均相同,且都表示對學生優(yōu)惠:甲公司表示每份按報價的90%收費,乙公司表示購買100份以上的部分按報價的80%收費.
結(jié) 合新課標對本小節(jié)的要求:會用一元一次不等式解決簡單的實際問題,我選擇的是從數(shù)量關(guān)系上與教材例題類似的收費問題,并且真實數(shù)值與所在年級事情相一致,比書上的例題更能貼近學生的實際生活,引發(fā)學生探求的興趣。特別的,通常此類題目是不給出具體單價的,因為并不影響最后結(jié)論,考慮到學生現(xiàn)階段的數(shù)學抽象 仍以識別數(shù)量的具體含義為主,所以我在此處添加了單價,并增設(shè)了問題一,用以降低抽象思維的梯度,為后續(xù)的設(shè)未知數(shù)的“代數(shù)化抽象”作適當?shù)匿亯|。
問題(1)請你判斷,我們年級580人用餐,應(yīng)該選擇哪家公司能讓每位學生的餐費平均算來更低呢?
預(yù)案 一:教師應(yīng)關(guān)注學生能否在討論中認清“每位學生的餐費平均算來更低”所對應(yīng)的數(shù)量意義,將之轉(zhuǎn)化為“付給公司的總金額少”。在此處不排除學生因生活經(jīng)歷的缺乏,而對題目中所隱含的數(shù)量關(guān)系抽象能力弱。應(yīng)關(guān)注每一位同學的感受,讓同學們充分理解交流,擴大參與思考的廣度,獲得基本抽象思維的生長點。
預(yù)案二:在進行甲乙公司所需費用的計算時,會有分部計算和綜合計算兩種計算形式,對于那些列綜合算式的同學,教師應(yīng)多給予展示機會,從而幫助其他同學整理思路,理解算式的實際含義;為后續(xù)的字母抽象做好鋪墊。具體計算學生可以合理使用計算器提高課堂速度。
預(yù)案三:學生還有可能不通過計算,直接猜測甲公司合算或者乙公司合算,對于這種有可能產(chǎn)生的聲音,教師應(yīng)從估算的角度加以引導。引導學生體會在 580人的前提下,超過100人部分(480人)的甲公司是九折乙公司是八折, 10%的差距,;100人以內(nèi)(少于100人)甲公司九折,乙公司不打折10%的差距,480的10%明顯大于100的10%,所以選乙合算,并引導學生用計算的方法驗證估算的準確性。
不等式課件 篇4
教學建議
一、知識結(jié)構(gòu)
本書首先結(jié)合實例引入一元一次不等式組的解集的概念,然后通過三個例題說明利用數(shù)軸解一元一次不等式組的方法,最后對一元一次不等式組的解法步驟進行了總結(jié).
二、重點、難點分析
本節(jié)教學的重點是掌握一元一次不等式組的解法步驟并準確地求出解集.難點是正確應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)對不等式進行變形、求不等式組中各個不等式解集的公共部分.不等式在中學代數(shù)中是研究問題的重要工具,例如求函數(shù)的定義域、值域、研究函數(shù)的單調(diào)性,求最大值、最小值,一元二次方程根的討論等,都要用到不等式的知識.不等式也是進一步學習其他數(shù)學內(nèi)容的基礎(chǔ).學習和掌握不等式的求解和不等式的證明方法,對培養(yǎng)學生邏輯思維能力也有極其重要的作用.在處理解不等式的問題中,一元一次不等式組的解法,具有特別重要的意義.這是因為,解各類不等式的問題都可以歸結(jié)為解一些由簡單不等式所組成的不等式組.
1、在構(gòu)成不等式組的幾個不等式中
①這幾個一元一次不等式必須含有同一個未知數(shù);
②這里的“幾個”并未確定不等式的個數(shù),只要不是一個,兩個,三個,四個……都行.
2、當幾個不等式的解集沒有公共部分時,我們就說這個不等式組無解.
3、由兩個一元一次不等式組成的不等式的解集,共歸結(jié)為下面四種基本情況:
【注意】①其中第(4)個不等式組,實質(zhì)上是矛盾不等式組,任何數(shù)都不能使兩個不等式同時成立。所以說這個不等式組無解或說其解集為空集。②從上面列出的表中,我們可以概括出來不等式組公共解的一規(guī)律:同大取大,同小取小,一大一小中間找。
三、教法建議
1.解本節(jié)的引例及例1、例2、例3時,注意把解不等式組的思路講清楚,即先分別解每一個不等式,求出解集,再求這些解集的公共部分.求公共部分的過程一定要結(jié)合數(shù)軸來講。
2.這節(jié)課的講解自始至終要突出解不等式組的基本思想以及解一元一次不等式組的步驟這兩個重點.準確熟練地解一元一次不等式以及用數(shù)軸上的點表示不等式的解集是這節(jié)課的基礎(chǔ),因此講新課之前要復習提問這些內(nèi)容。
3.求公共解集是這節(jié)課的新授內(nèi)容,教師要充分利用數(shù)軸表示不等式解集具有形象、直觀、易于說明問題這些優(yōu)點.解集的公共部分教師可用彩筆在數(shù)軸的相應(yīng)部分描畫出來,使學生感到醒目,便于理解記憶。
4.每組不等式不要超過三個,關(guān)鍵是使學生理解和掌握解不等式組的基本思想和兩個步驟,不宜做過于難、過于多、重復的機械計算。
不等式課件 篇5
(一)復習提問:
三角形的三邊關(guān)系?
(二)列一元一次不等式組
問題:現(xiàn)有兩根木條a和b,a長10cm,b長3cm.如果要再找一根木條c,用這三根木條釘成一個三角形木框,那么對木條c的長度有什么要求?
注:這個問題是本節(jié)的'引入問題,三角形木框的形狀不唯一確定,只要能成為三角形即可.
探究:用三根長度分別為14cm,9cm,6cm的木條c1,c2,c3分別試試,其中哪根木條能與木條a和b一起釘成三角形木框?
可以發(fā)現(xiàn),當木條a和b的長度確定后,木條c太長或太短,都不能與a和b一起釘成三角形.
由于“三角形中兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊”,設(shè)木條c長xcm,則x必須同時滿足不等式x10+3①和x10-3②
注:木條c必須同時滿足兩個條件,即ca+b,ca-b.
類似于方程組,把這兩個不等式合起來,組成一個一元一次不等式組記作注:這里并未正式給一元一次不等式組下定義,只是說這兩個不等式合起來,組成一個一元一次不等式組.實際上,兩個或更多的一元一次不等式組合起來,都組成一個一元一次不等式組.
(三)一元一次不等式組的解集
類比方程組的解,怎樣確定不等式組中x的可取值的范圍呢?
不等式組中的各不等式解集的公共部分,就是不等式組中x可以取值的范圍.
注:這里還未正式出現(xiàn)不等式組的解集的概念,但已點出各不等式的解集的公共部分即不等式組中未知數(shù)的可取值范圍.
由不等式①解得x13.
由不等式②解得x7.
從圖9.3—2容易看出,x可以取值的范圍為713.
注:利用數(shù)軸可以直觀形象地認識公共部分.這個公共部分是兩端有界的開區(qū)間.
這就是說,當木條c比7cm長并且比13cm短時,它能與木條a和b一起釘成三角形木框.
一般地,幾個不等式的解集的公共部分,叫做由它們所組成的不等式組的解集.解不等式組就是求它的解集.
注:這里正式給出不等式組的解集以及解不等式組的定義13.注:利用數(shù)軸可以直觀形象地認識公共部分.這個公共部分是兩端有界的開區(qū)間.這就是說,當木條c比7cm長并且比13cm短時,它能與木條a和b一起釘成三角形木框.一般地,幾個不等式的解集的公共部分,叫做由它們所組成的不等式組的解集.解不等式組就是求它的解集.注:這里正式給出不等式組的解集以及解不等式組的定義。
不等式課件 篇6
一元一次不等式組(2)
文星中學唐波
一、教學目標
(一)知識與技能目標
1、熟練掌握一元一次不等式組的解法,會用一元一次不等式組解決有關(guān)的實際問題。
2、理解一元一次不等式組應(yīng)用題的一般解題步驟,逐步形成分析問題和解決問題的能力。
(二)過程與方法目標
通過利用列一元一次不等式組解答實際問題,初步學會從數(shù)學的角度提出問題、理解問題、并能綜合運用所學的知識解決問題,發(fā)展應(yīng)用意識。
(三)情感態(tài)度與價值觀
通過解決實際問題,體驗數(shù)學學習的樂趣,初步認識數(shù)學與人類生活的密切聯(lián)系。
二、教學重難點
(一)重點:建立用不等式組解決實際問題的數(shù)學模型。
(二)難點:正確分析實際問題中的不等關(guān)系,根據(jù)具體信息列出不等式組。
三、學法引導
(一)教師教法:直觀演示、引導探究相結(jié)合。
(二)學生學法:觀察發(fā)現(xiàn)、交流探究、練習鞏固相結(jié)合。
四、教具準備:多媒體演示
五、教學過程
(一)、設(shè)問激趣,引入新課
猜一猜:我屬狗,請同學們根據(jù)我的實際情況來猜測我的年齡。(學生大膽猜想,利用不等關(guān)系分析得出答案。)
(二)、觀察發(fā)現(xiàn),競賽闖關(guān)
1、比一比:填表找規(guī)律
(學生搶答,教師補充。)2利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解不等式組 ?(學生解答,抽生演板。)你可以得到它的整數(shù)解嗎?
(抽生回答:因為大于11小于14的整數(shù)有12和13,所以整數(shù)解為12和13。)3填空:三角形三邊長分別為2、7、c,則 c的取值范圍是__________。如果c是一個偶
數(shù),則 c=__________。
(學生回答,教師補充更正。)
(三)、欣賞圖片,探究新知
1、欣賞“五岳看山”。
2、利用欣賞引出例題(教科書P139例2仿編)
例:3名同學計劃在10天內(nèi)到嵩山拍照500張(每天拍照數(shù)量相同),按原來的計劃,不能完成任務(wù);如果每人每天比原計劃多拍1張,就能提前完成任務(wù),每個同學原計劃每天............拍多少張?
生齊讀,找出題中的已知條件和未知條件;再默讀,找一找表示數(shù)量關(guān)系的句子。師引導分析,并提出問題:
(1)你是怎樣理解“不能完成任務(wù)”的數(shù)量含義的?你是怎樣理解“提前完成任務(wù)”的數(shù)量含義的?
(2)解決這個問題,你打算怎樣設(shè)未知數(shù)?
(3)在本題中,可以找出幾個不等關(guān)系,可以列出幾個不等式?(學生交流討論,教師指導。)
?7x?98
?7(x?3)?98
解答完成后,學生自學課本例2。
3、由例解題答過程,類比列二元一次方程組解應(yīng)用題的步驟,總結(jié)列一元一次不等式組的解題步驟:
(1)、分析題意,設(shè)未知數(shù); .(2)、利用不等關(guān)系,列不等式組; .(3)、解不等式組; .
(4)、檢驗,根據(jù)題意寫出答案。.(學生總結(jié),抽生回答,教師補充。)
(四)、闖關(guān)練習,鞏固新知
1練一練:為紀念“5·12”大地震一周年,“五一”部分同學到青城山拍照留念,如果每人拍8張則多于如果每人拍9張則不夠問共有多少個同學參加青城山旅游? ..150張;..180張。
教師引導:抓住重點詞語,找到不等關(guān)系,列出不等式組。學生獨立完成,抽生回答。
比較列二元一次方程組和列一元一次不等式組解應(yīng)用題的區(qū)別:
(學生類比找區(qū)別,教師補充。)2練一練(教科書P140練習第2題):一本英語書共98頁,張力讀了一周(7天)還沒讀完,而李永不到一周就已讀完。李永平均每天比張力多讀3頁,張力平均每天讀多少頁(答案取整數(shù))?
學生分析列出不等式組,教師指導。(前面的練習已解出不等式組。)
(五)、暢所欲言,歸納小結(jié) 學生暢所欲言,談收獲體會 多媒體展示,本課內(nèi)容小結(jié):
1、解一元一次不等式組的秘笈:同大取大,同小取小,大小小大中間找,大大小小解不了。
2、具有多種不等關(guān)系的問題,可通過不等式組解決。
3、列一元一次不等式組解應(yīng)用題的步驟是:(1)、分析題意,設(shè)未知數(shù);(2)、利用不等關(guān)系,列不等式組;(3)、解不等式組;
(4)、檢驗,根據(jù)題意寫出答案。
(六)、課后演練,終極挑戰(zhàn)
必做題:教材習題第4、5、6題;
選做題:一個兩位數(shù),它的十位數(shù)字比個位數(shù)字大1,而且這個兩位數(shù)大于30小于42,則這個兩位數(shù)是多少?
六、板書設(shè)計
一元一次不等式組(2)
解:設(shè)每個同學原計劃每天拍x張,得
① ?3?10x?500
?
?3?10(x?1)?500②
1、分析題意,設(shè)未知數(shù);
解得x
3根據(jù)題意,x應(yīng)為整數(shù),所以x=16 答:每個同學原計劃每天拍16張。
2??
2、找不等關(guān)系,列不等式組; ?
?
3、解不等式組; ?步驟
??
?
4、檢驗并根據(jù)題意寫出答案。?
不等式課件 篇7
科學合理的教學方法能使教學效果事半功倍,達到教與學的和諧完美統(tǒng)一。
基于此,我準備采用的教法講授法、討論法。德國教育學家第斯多慧:差的教師只會奉送真理,好的教師則交給學生如何發(fā)現(xiàn)真理,老師的教是為了不教,這才是教學的最高境界,所以我采用的學法是練習法、自主合作法。
在這節(jié)課的教學過程中,我注重突出重點,條理清晰,緊湊合理。各項活動的安排也注重互動、交流,最大限度的調(diào)動學生參與課堂的積極性、主動性。
首先是導入環(huán)節(jié),我采用復習舊知的導入方法。我會讓學生回憶不等式的概念以及一元一次方程的概念,明確指出今天學習的內(nèi)容是《一元一次不等式》。
這樣的設(shè)計既可以考查學生對之前知識的掌握情況,還能夠為今天學習一元一次方程的概念打下基礎(chǔ)。而且開門見山的導入方式能夠快速地進入主題。
接下來是新知探索環(huán)節(jié),首先我請學生類比不等式以及一元一次方程的概念,給一元一次不等式下定義。
能夠總結(jié)出:含有一個未知數(shù),未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式,叫做一元一次不等式。
接下來讓學生回憶上節(jié)課學習的不等式x-7>26如何解決的,通過學生回憶總結(jié)可以得到:通過“不等式的兩邊都加7,不等號的方向不變”而得到的。
接下來提問學生有沒有更加簡便的方法解不等式?讓學生類比解一元一次方程的步驟進行解題。可以得到相當于可以用“移項”,來解決。
在這個過程中,強調(diào)每一個步驟,在第二題最后一步,強調(diào)當不等式的兩邊同時乘以(或除以)同一個負數(shù)時,不等號的方向改變。
解完不等式,先讓學生回憶解一元一次方程的步驟是什么?并類比解一元一次方程的步驟,總結(jié)一下解一元一次不等式的步驟是什么?
從而我們歸納:解一元一次方程,要根據(jù)等式的性質(zhì),將方程逐步化為x=a的形式;而解一元一次不等式,則要根據(jù)不等式的性質(zhì),將不等式逐步化為xa的形式。
《數(shù)學課程標準》指出:“學生是數(shù)學學習的主人,教師是數(shù)學學習的組織者、引導者和合作者”。根據(jù)這一教學理念,在本環(huán)節(jié)中,我組織學生進行了自主探究活動,讓學生在保持高度學習熱情和探究欲望的活動過程中,始終以愉悅的心情,親身經(jīng)歷和體驗知識的形成過程。培養(yǎng)學生的探究能力、分析思維能力,激發(fā)他們的創(chuàng)新意識、參與意識。
第三個環(huán)節(jié)是課堂練習環(huán)節(jié),出示問題,解不等式,并在數(shù)軸上表示數(shù)集:5x+15>4x-1
之所以這樣設(shè)計是因為練習是掌握知識、形成技能、發(fā)展思維的重要手段,針對本課的教學重點和難點,上述練習,目的是讓學生進一步鞏固對新知的理解??梢陨罨虒W內(nèi)容,培養(yǎng)思維的靈活性。
最后一個環(huán)節(jié)為小結(jié)作業(yè)環(huán)節(jié),關(guān)于課堂小結(jié),我打算讓學生自己來總結(jié)今天的收獲。
這樣既發(fā)揮了學生的主體性,又可以提高學生的總結(jié)概括能力,讓我在第一時間得到學習反饋,及時加以疏導。
通過這樣的方式能夠為本節(jié)課學習的知識進行進一步的鞏固。
我的板書設(shè)計遵循簡潔明了突出重點的意圖,這是我的板書設(shè)計:
不等式課件 篇8
1、了解一元一次不等式組的概念。
2、理解一元一次不等式組的解集,能求一元一次不等式組的解集。
3、會解一元一次不等式組。
通過具體問題得到一元一次不等式組,從而了解一元一次不等式組的概念,解出每個不等式,利用數(shù)軸求出各不等式解集的公共部分,從而得到不等式組的解集,通過解幾個有代表性的一元一次不等式組,總結(jié)出求不等式組解集的法則。
運用數(shù)軸確定不等式組的解集是行之有效的方法。這種“數(shù)形結(jié)合”的方法今后經(jīng)常用到,鍛煉同學們數(shù)形結(jié)合的能力,提高學習興趣。
一元一次不等式組的解法。
確定一元一次不等式組的解集。
一、情境導入,初步認識
問題1現(xiàn)有兩根木條a和b,a長10cm,b長3cm,如果要再找一根木條c,用這三根木條釘成一個三角形木框,那么木條c的長度有什么要求?
解:由于三角形中兩邊之____大于第三邊,兩邊之____小于第三邊,設(shè)c的長為xcm,則x<____,①x>____,②合起來,組成一個__________。
由①解得_____________,由②解得_____________。
在數(shù)軸上表示就是________________。
容易看出:x的取值范圍是____________________。
這就是說,當木條c比____cm長并且比____cm短時,它能與木條a和b一起釘成三角形木框。
問題2由上面的解不等式組的過程用自己的語言歸納出一元一次不等式組的.解法。
全班同學可獨立作業(yè),也可分組自由討論,10分鐘后交流成果,逐步得出結(jié)論。
二、思考探究,獲取新知
思考什么叫一元一次不等式組,什么叫一元一次不等式組的解集,什么叫解不等式組?
1、定義:
(1)一元一次不等式組:幾個含有相同未知數(shù)的一元一次不等式合起來組成一個一元一次不等式組。
(2)一元一次不等式組的解集:幾個不等式的解集的公共部分,叫做由它們所組成的不等式的解集。
(3)解不等式組:求一元一次不等式組的解集的過程叫解一元一次不等式組。
2、一元一次不等式組的解法:
(1)求出每個一元一次不等式的解集。
(2)求出這些解集的公共部分,便得到一元一次不等式組的解集。
不等式課件 篇9
本節(jié)教學的重點是不等式的解集的概念及在數(shù)軸上表示不等式的解集的方法.難點為不等式的解集的概念.
相同點:定義方式相同(使方程成立的未知數(shù)的值,叫做方程的解);解的表示方法也相同.
不同點:解的個數(shù)不同,一般地,一個不等式有無數(shù)多個解,而一個方程只有一個或幾個解,例如, 能使不等式 成立,那么 是不等式的一個解,類似地 等也能使不等式 成立,它們都是不等式 的解,事實上,當 取大于 的數(shù)時,不等式 都成立,所以不等式 有無數(shù)多個解.
不等式的解與不等式的解集是兩個不同的概念,不等式的解是指滿足這個不等式的未知數(shù)的某個值,而不等式的解集,是指滿足這個不等式的未知數(shù)的所有的值,不等式的所有解組成了解集,解集中包括了每一個解.
注意:不等式的解集必須滿足兩個條件:第一,解集中的任何一個數(shù)值,都能使不等式成立;第二,解集外的任何一個數(shù)值,都不能使不等式成立.
一般地,一個含未知數(shù)的不等式有無數(shù)多個解,其解集是某個范圍,這個范圍可用一個最簡單的不等式表示出來,例如,不等式 的解集是 .
如不等式 的解集 ,可以用數(shù)軸上表示4的點的左邊部分表示,因為 包含 ,所以在表示4的點上畫實心圓.
如不等式 的解集 ,可以用數(shù)軸上表示4的點的左邊部分表示,因為 包含 ,所以在表示4的點上畫實心圈.
注意:在數(shù)軸上,右邊的點表示的數(shù)總比左邊的點表示的數(shù)大,所以在數(shù)軸上表示不等式的解集時應(yīng)牢記:大于向右畫,小于向左畫;有等號的畫實心圓點,無等號的畫空心圓圈.
1.使學生了解不等式的解集、解不等式的概念,會在數(shù)軸上表示出不等式的解集.
2.知道不等式的“解集”與方程“解”的不同點.
通過教學,使學生能夠正確地在數(shù)軸上表示出不等式的解集,并且能把數(shù)軸上的某部分數(shù)集用相應(yīng)的不等式表示.
通過講解不等式的“解集”與方程“解”的關(guān)系,向?qū)W生滲透對立統(tǒng)一的辯證觀點.
通過本節(jié)課的學習,讓學生了解不等式的解集可利用圖形來表達,滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學美.
2.學生學法:明確不等式的解與解集的區(qū)別和聯(lián)系,并能熟練地用數(shù)軸表示不等式的解集,在數(shù)軸上表示不等式的解集時,要特別注意:大于向右畫,小于向左畫;有等號的畫實心圓點,無等號的畫空心圓圈.
不等式課件 篇10
1.了解不等式及一元一次不等式概念。
2.理解不等式的解、解集,能正確表示不等式的解集。
通過類比等式的對應(yīng)知識,探索不等式的概念和解,體會不等式與等式的異同,初步掌握類比的思想方法。
1.經(jīng)歷把實際問題抽象為不等式的過程,能夠列出不等關(guān)系式。
2.初步體會不等式(組)是刻畫現(xiàn)實世界中不等關(guān)系的一種有效數(shù)學模型,培養(yǎng)學生的建模意識。
通過對不等式概念及其解集等有關(guān)概念的探索,培養(yǎng)學生的知識遷移能力和建模意識,加強同學之間的使用與交流。
活動一:
感知不等關(guān)系,了解不等式的概念。
通過實例,讓學生認識到不等關(guān)系在生活中的存在,通過問題的解答,讓學生了解不等式的概念,體會不等式是解決實際問題的有效工具。
活動二:
通過類比方程,繼續(xù)探索出不等式的解、解集及其表示方法。
通過解決上個環(huán)節(jié)的問題,得出不等式的解,再引導學生觀察解的特點,探索出解集的兩種表示方法(符號表示、數(shù)軸表示),并且培養(yǎng)學生用估算方法求解集的技能。
活動三:
繼續(xù)探索,歸納出一元一次不等式的意義。
針對所學的不等式,讓學生歸納出特點,得到一元一次不等式的概念,并對概念進行辨析。
運用本節(jié)所學的知識,解決實際問題,使學生經(jīng)歷將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題,再加以解決的過程,實現(xiàn)對所學知識的鞏固和深化。
讓學生通過自我反思和互相質(zhì)疑提問,歸納總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容,交流在概念、解及解集學習中的心得和體會,不斷積累數(shù)學活動經(jīng)驗,教師應(yīng)主動參與學生小結(jié)中,作好引導工作,布置好作業(yè),并作及時反饋。
小強準備隨父母乘車去武當山春游。
⑴在車上看到兒童買票所需的測身高標識線。
①x滿足______時,他可免票。
②x滿足______時,他該買全票。
⑵已知襄樊與武當山的距離為150千米,他們上午10點鐘從襄樊出發(fā),汽車勻速行駛。
①若該車計劃中午12點準時到達武當山,車速應(yīng)滿足什么條件?
②若該車實際上在中午12點之前已到達武當山,車速應(yīng)滿足什么條件?
用不等式表示:
⑴a是正數(shù);⑵a是負數(shù);⑶a與5的和小于7;⑷a與2的差大于-1;
⑸a的4倍大于8;
⑹a的一半小于3。
學生回答①這兩個由實際生活情境設(shè)置的問題,應(yīng)非常容易.問題②相對①難度加大了,難在題意中的條件不象上面那樣直接明了,并且可從距離和時間兩個角度來分析、解決問題,而七年級學生恰恰缺乏閱讀分析題意、多維度思考解決問題的能力,所以采用小組討論交流的形式解決問題②
學生討論角度估計大都集中在距離這一角度,教師可深入小組討論中,認真聽聽同學們的思路,應(yīng)鼓勵學生多發(fā)表意見,并適當點撥,直到得出兩種不等式。
此次活動中,教師應(yīng)重點關(guān)注:討論要有足夠的時間和空間,學生在小組討論交流時,是否敢于發(fā)表自己的想法。
再給出不等式概念:
像前面式子一樣用“>”或“
教師可要求學生舉出一些表示大小的式子,學生舉出的不等式中,可能會有一些不含未知數(shù)的,如5>3等。教師此時應(yīng)總結(jié):不等式中可含有未知數(shù),也可不含未知數(shù)。
教師根據(jù)學生舉例給出表示不等關(guān)系的第三種符號“≠”,并強調(diào):像前面式子一樣用“≠”表示不等關(guān)系的式子也是不等式。
鞏固練習是讓學生用不等式來刻畫題中6個簡單的不等關(guān)系。學生得出答案并不難,所以該環(huán)節(jié)讓學生獨立完成、互相評價,教師可深入到學生的解題過程中,觀察指導學生的解題思路,傾聽學生的評價。
問題1在課本中起導入新課作用,考慮學生實際情況(分析應(yīng)用題能力尚欠缺)和題目難度,所以設(shè)置問題串,降低難度。這樣編排教材我認為更能體現(xiàn)知識呈現(xiàn)的序列性,從易到難,讓學生“列不等式”能力實現(xiàn)螺旋上升。
問題3作用僅僅起鞏固上面所學的知識,所以采用書中的一組習題,讓學生獨立完成,進一步培養(yǎng)學生列不等式能力。
采用學生熟悉的生活情境作為導入內(nèi)容,然后層層推進,步步設(shè)問,環(huán)環(huán)相扣,直至推出不等式的概念及概念理解中應(yīng)注意的地方。這樣實現(xiàn)了:讓學生從已有的數(shù)學經(jīng)驗出發(fā),從生活中建構(gòu)數(shù)學模型,為后面利用“不等式”這一模型解決生活中實際問題作好鋪墊,體現(xiàn)了數(shù)學生活化、生活
不等式課件 篇11
1、一元一次不等式的概念:一般地,不等式中只含有一個未知數(shù),未知數(shù)的次數(shù)是1,且不等式的兩邊都是整式,這樣的不等式叫做一元一次不等式。
2、解一元一次不等式的一般步驟:(1)去分母(2)去括號(3)移項(4)合并同類項(5)將x項的系數(shù)化為1
1、一元一次不等式組的概念:幾個一元一次不等式合在一起,就組成了一個一元一次不等式組。
2、幾個一元一次不等式的解集的公共部分,叫做它們所組成的一元一次不等式組的解集。
3、求不等式組的解集的過程,叫做解不等式組。
4、當任何數(shù)x都不能使不等式同時成立,我們就說這個不等式組無解或其解為空集。
3、代數(shù)式1-m的值大于-1,又不大于3,則m的取值范圍是( )
A.x≥1 B.x≥-1/2 C.x>1 D.x>-1/2
A.5+4>8 B.2x-1 C.2x-5≤1 D.1/x-3x≥0
A. a>0? B.a≥0? C.a
11、若關(guān)于x的不等式組 的解集是x>2a,則a的取值范圍是
A. a>4 B. a>2 C. a=2 D.a≥2
12、若方程組 中,若未知數(shù)x、y滿足x+y>0,則m的取值范圍是
13、不等式2(1) x>-3的解集是 。
14、用代數(shù)式表示,比x的5倍大1的數(shù)不小于x的 與4的差 。
15、若(m-3)x-1,則m .
18、某次個人象棋賽規(guī)定:贏一局得2分,平一局得0分,負一局得反扣1分。在12局比賽中,積分超過15分就可以晉升下一輪比賽,小王進入了下一輪比賽,而且在全部12輪比賽中,沒有出現(xiàn)平局,問小王最多輸 局比賽
1、定義:把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180°,如果它能夠與另一個圖形重合,那么就說這兩個圖形關(guān)于這個點對稱或中心對稱,這個點叫做對稱中心.這兩個圖形中的對應(yīng)點叫做關(guān)于中心的對稱點。
2、心對稱的兩條基本性質(zhì):
(1)關(guān)于中心對稱的兩個圖形,對稱點所連線段都經(jīng)過對稱中心,而且被對稱中心所平分。
(2)關(guān)于中心對稱的兩個圖形是全等圖形。
把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180°,如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合,那么這個圖形叫做中心對稱圖形,這個點就是它的對稱中心。
每上第一次課,我所講的課程內(nèi)容都和學生的錯題有關(guān)。我通常把試卷中的錯題摘抄出幾個典型題,作為課堂的例題再講一遍。而學生的反應(yīng),或是像沒有見過,或是對題目非常熟悉,但沒有思路。
這些現(xiàn)象的發(fā)生,都是學生沒有及時總結(jié)的原因。所以第一次課后我都建議我的學生做一個錯題本,像寫日記一樣,記錄下自己的錯題和感想。
成也審題敗也審題。如何審題呢?
(1)這個題目有哪些個已知條件?我能不能把已知條件分開?
(2)求解的目標是什么?對求解有什么要求?
(3)能不能畫一個圖幫助思考?好多問題是沒有看清楚題意致錯。審題不清,你做得越多,可能錯的就越多。
(4)所給出的已知條件相互之間有什么關(guān)系?能不能從中發(fā)現(xiàn)隱含條件?
(5)已知條件與求解目標有什么聯(lián)系?能不能從中獲得解題的思路?找到進門的門檻?
不等式課件 篇12
1.使學生感受到生活中存在著大量的不等關(guān)系,了解不等式和一元一次不等式的意義;
2.讓學生自發(fā)地尋找不等式的解,會在數(shù)軸上正確地表示出不等式的解集;
3.能夠根據(jù)題意準確迅速地列出相應(yīng)的不等式。
1.通過汽車行駛過a地這一實例的研究,使學生體會到數(shù)學來源于生活,又服務(wù)于生活,培養(yǎng)學生“學數(shù)學、用數(shù)學”的意識;
2.經(jīng)歷由具體實例建立不等模型的過程,探究不等式的解與解集的不同意義的過程,滲透數(shù)形結(jié)合的思想。
㈢情感、態(tài)度、價值觀:
1.通過對不等式、不等式的解與解集的探究,引導學生在獨立思考的基礎(chǔ)上積極參與對數(shù)學問題的討論,培養(yǎng)他們的合作交流意識;
2.讓學生充分體會到生活中處處有數(shù)學,并能將它們應(yīng)用到生活的各個領(lǐng)域中去。
3.培養(yǎng)學生類比的思想方法、數(shù)形結(jié)合的思想。
1.教學重點:不等式、一元一次不等式、不等式解與解集的意義;在數(shù)軸上正確地表示出不等式的解集;
2.教學難點:不等式解集的意義,根據(jù)題意列出相應(yīng)的不等式。
計算機、自制cai課件、實物投影儀、三角板等。
教師創(chuàng)設(shè)情境引入,學生交流探討;師生共同歸納;教師示范畫圖,課件交互式練習。
〖創(chuàng)設(shè)情境——從生活走向數(shù)學〗
[多媒體展示]“五·一黃金周”快要到了,蕪湖市某兩個商場為了促銷商品,推行以下促銷方案:①甲商場:購物不超過50元者,不優(yōu)惠;超過50元的,超過部分折優(yōu)惠。②乙商場:購物不超過100元者,不優(yōu)惠;超過100元的,超過部分九折優(yōu)惠。親愛的同學,如果五·一期間,你去購物,選擇到哪個商場,才比較合算呢?
(以上教學內(nèi)容是向?qū)W生設(shè)疑,激發(fā)學生探索問題、研究問題的積極性,可以讓學生討論一會兒)
教師:要想正確地解決這個問題,我們大家就要學習第九章《不等式和不等式組》,學完本章的內(nèi)容后,我相信,聰明的你們一定都會作出正確的選擇,真正地做到既經(jīng)濟又實惠。
首先,我們來共同學習本章的第一節(jié)課——9.1.1節(jié)《不等式及其解集》
〖新課學習〗
學習目標:
1.能感受到生活中存在著大量的不等關(guān)系,了解不等式和一元一次不等式和意義;
2.會尋找不等式的解,會在數(shù)軸上正確地表示出不等式的解集;
3.能夠根據(jù)題意準確迅速地列出相應(yīng)的不等式。
[多媒體展示一段動畫]:引例:一輛勻速行駛的汽車在11:20距離a地50千米,要在12:00之前駛過a地,車速應(yīng)滿足什么條件?
設(shè)車速是x千米/小時,
(1)從時間上看,汽車要在12:00之前駛過a地,則以這個速度行駛50千米所用的時間不到 小時,即
(2)從路程上看,汽車要在12:00之前駛過a地,則以這個速度行駛 小時的路程要超過50千米,即
請同學們觀察上面的兩個式子,式子左右兩邊的大小關(guān)系是怎樣的? 左右兩邊相等嗎?
在學生充分發(fā)表自己意見的基礎(chǔ)上,師生共同歸納得出:
用“>”或“<”號表示大小關(guān)系的式子叫做不等式;
用“≠”表示不等關(guān)系的式子也是不等式。
判斷下列式子中哪些是不等式,是不等式的請在題后的括號內(nèi)劃“√”,不是的請劃“×”
(1)3> 2????? (???? ) (2)2a+1> 0?? (???? )?? (3)a+b=b+a? (???? )
(4)x< 2x+1?? (???? )???? (5)x=2x-5??? (???? ) (6)2x+4x< 3x+1 (???? )????????? (7)15≠7+9? (???? )
上面的不等式中,有些不含未知數(shù),有些含有未知數(shù),大家把(2)、(4)、(6)式與(5)式類比,(5)式是一個一元一次方程,能不能給(2)、(4)、(6)式也起個名字呢?
含有一個未知數(shù), 未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式,叫做一元一次不等式.
問題2:車速可以是78千米/小時嗎?75千米/小時呢? 72千米/小時呢?
問題3:我們曾經(jīng)學過“使方程兩邊相等的未知數(shù)的值就是方程的解”,那么我們可以把使不等式成立的未知數(shù)的值叫做什么呢?
(師生共同歸納)使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解。
2.課堂練習二——動一動腦,動一動手,你一定能算得對。
76, 73, 79, 80, 74.9, 75.1, 90, 60
(學生做完后,師問):你還能找出這個不等式的其他的解嗎?這個不等式有多少個解?你從中發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?
(學生討論后,師生共同總結(jié)):當x>75時,不等式 x>50總成立;而當x<75或x=75時,不等式 x>50不成立,這就是說,任何一個大于75的數(shù)都是不等式 x>50的解,這樣的解有無數(shù)個。因此,x>75表示了能使不等式 x>50成立的x的取值范圍,叫做不等式 x>50的解的集合,簡稱解集。
我們再回到前面的問題,經(jīng)過剛才的分析,可以知道,要使汽車在12:00之前駛過a地,車速必須大于75千米/小時。
一個含有未知數(shù)的不等式的所有的解,組成了這個不等式的解集。
4.在數(shù)軸上表示不等式的解集;
注意:在表示75的點上畫空心圓圈,表示不包括這一點.
5.課堂練習三——動一動腦,動一動手,你一定能算得對。
判斷下列數(shù)中哪些是不等式x+3>6的解? 哪些不是?
-4, -2.5,? 0,? 1,? 2.5,? 3,? 3.2,? 4.8,? 8,? 12
求不等式的解集的過程叫做解不等式。
7.課堂練習四——看誰算得最快最準。
直接想出不等式的解集,并在數(shù)軸上表示出不等式的解集:
(1) x+3>6;??????? (2)2x<8;?? ?(3)x-2>0
解:(1)x>3;???????? (2)x<4;??? (3)x>2。
1.例用不等式表示:
(1)x與1的和是正數(shù);??????(2)的與的的差是負數(shù);
(3)的2倍與1的和大于3;(4)的一半與4的差小于的3倍.
解:(1)x+1>0;???????? (2)+b<0;
(3)2+1>3;????? (4)-4<3;
2.課堂練習五——看誰最列得又快又準。
用不等式表示:
(1)是正數(shù);??????????(2)是負數(shù);
(3)與5的和小于7;??(4)與2的差大于-1;
(5)的4倍大于8;??????(6)的一半小于3.
答案;(1)>0;??????? (2)<0;?? (3)+5>0;
學生小結(jié),師生共同完善:
2.會尋找不等式的解,會在數(shù)軸上正確地表示出不等式的解集;
3.能夠根據(jù)題意準確迅速地列出相應(yīng)的不等式。
不等式課件 篇13
教學重點:掌握不等式的三條基本性質(zhì),尤其是不等式的基本性質(zhì)3.
教學難點:正確應(yīng)用不等式的三條基本性質(zhì)進行不等式變形.
通過觀察、分析、討論,引導學生歸納總結(jié)出不等式的三條基本性質(zhì),從具體上升到理論,再由理論指導具體的練習,從而強化學生對知識的理解與掌握.
(設(shè)計說明:設(shè)置以下習題是為了溫故而知新,為學習本節(jié)內(nèi)容提供必要的知識準備.)
2、什么是不等式?
3、用“>”或“<”填空.
(教學說明: 復習等式的基本性質(zhì)后學生自然會聯(lián)想到,不等式是否有與等式相類似的性質(zhì),從而引起學生的探究欲望.接著問題3為學生探究不等式的性質(zhì)提供了載體,通過觀察,尋找規(guī)律,得出不等式的性質(zhì).)
先讓學生獨立思考,后合作交流,通過充分討論,類比等式性質(zhì)得出不等式的性質(zhì).
觀察時,引導學生注意不等號的方向,通過(1)題學生容易得出不等式性質(zhì)1:
不等式基本性質(zhì)1 不等式兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子),不等號的方向不變.
比較(2)、(3)題,注意觀察不等號方向,并思考不等號方向的改變與什么有關(guān)?由學生概括總結(jié),教師補充完善得出:
不等式基本性質(zhì)2 不等式兩邊乘(或除以)同一個不為零的正數(shù),不等號的方向不變.
不等式基本性質(zhì)3 不等式兩邊乘(或除以)同一個不為零的負數(shù),不等號的方向改變.
通過PPT用圖形演示不等式的基本性質(zhì),讓學生更加清楚地認識不等式的基本性質(zhì)。
不等式有傳遞性嗎?
【學生通過討論能夠比較容易得出結(jié)論:不等式有對稱性,但要注意其不等號方向的`變化;不等式也有傳遞性,但要注意的是同向傳遞性?!?/p>
三、鞏固訓練,熟練技能:
1、(1) a - 3____b - 3;
(3) 0.1a____0.1b;
(5) 2a+3____2b+3;
【本題目采用提問的方式,因為內(nèi)容相對簡單,所以可以迅速得到結(jié)論。要讓提問者說清楚答案,并說明利用不等式的性質(zhì)幾來進行判定的?!?/p>
(1)因為7.5>5.7,所以-7.5<-5.7;
(2)因為a+8>4,所以a>-4;
(3)因為4a>4b,所以a>b;
(4)因為-1>-2,所以-a-1>-a-2;
(5)因為3>2,所以3a>2a.
【學生口答,并說明為什么。本題重點是第5小題,要引導學生總結(jié)出a的取值會影響到答案。當a>0時,3a>2a.(不等式基本性質(zhì)2)
當 a=0時,3a=2a.當a<0時,3a<2a.(不等式基本性質(zhì)3) 】
學生自己完成以下題目,之后進行集體講解。
(1)如果x-5>-1,那么______________________,得:x>4
(2)如果-2x>3,那么那么______________________,得X=______
師生共同小結(jié)本節(jié)課所學重點,不等式的基本性質(zhì)的具體內(nèi)容。
不等式課件 篇14
基本不等式是數(shù)學中重要的一個概念,它與不等式的證明和應(yīng)用有著密切的關(guān)系?;静坏仁降慕夥ê退季S方法不僅能讓我們更好地掌握不等式的性質(zhì)和應(yīng)用,同時也能讓我們更好地解決數(shù)學中的其他問題。下面,讓我們就基本不等式這一主題展開更加深入的探討。
一、基本不等式的定義、證明和性質(zhì)
基本不等式定義:對于任意實數(shù)$x$,$y$,有$(x^2+y^2)\geq 2xy$,等號成立當且僅當$x=y$時成立。
基本不等式的證明:我們可以通過平方展開和配方進行證明,即:
$(x-y)^2\geq 0$
$x^2-2xy+y^2\geq 0$
$x^2+y^2\geq 2xy$
證畢。
基本不等式的性質(zhì):基本不等式可以用于求證其他不等式和解決實際問題,例如可以用基本不等式證明算術(shù)平均數(shù)$\ge$幾何平均數(shù),可以用基本不等式求證要想最小化一個多項式,需要使其中的各項等于彼此等于基本不等式中的相等值等。
二、基本不等式的應(yīng)用及相關(guān)例題
基本不等式的應(yīng)用廣泛,其中最常見的應(yīng)用就是在證明和求解不等式問題中。下面,我們就通過例題來展示基本不等式的具體應(yīng)用。
例題一:
已知$a,b,c$均為正實數(shù),求出$abc$與$\frac{(a+b+c)^3}{27}$的大小關(guān)系。
解:由于$a,b,c$均為正實數(shù),故可運用基本不等式進行求解,即
$\begin{aligned}
\frac{(a+b+c)}{3}\geq\sqrt[3]{abc}\\
(a+b+c)^3\geq 27abc
\end{aligned}$
因此,
$\frac{(a+b+c)^3}{27}\geq abc$
即$\frac{(a+b+c)^3}{27}\geq abc$
得證。
例題二:
已知$a+b=3$,$a^2+b^2=5$,求出$a,b$的大小關(guān)系。
解:由已知條件可得$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$,即
$9=5+2ab$
$ab=\frac{4}{3}$
由基本不等式知得
$2ab=\frac{8}{3}\leq a^2+b^2=5$
即$a^2+b^2>2ab$,因此$a^2>b^2$,
又因為$a+b=3$,所以$b=3-a$,
所以$(3-a)^2
$9+a^2-6a
$a>\frac{3}{2}$
因此,
$a>b>\frac{3}{2}-a$
即$0
例題三:
已知$a,b,c>0$,求證$\frac{(a+b)^2}{c}+\frac{(b+c)^2}{a}+\frac{(c+a)^2}\geq 12(a+b+c)$
解:由基本不等式得
$(a+b)^2\geq 4ab,(b+c)^2\geq 4bc,(c+a)^2\geq 4ac$
將以上三個式子代入原式變化得
$\frac{4ab}{c}+\frac{4bc}{a}+\frac{4ac}\geq 12(a+b+c)$
即$4(ab^2+bc^2+ca^2)\geq 12abc(a+b+c)$
即$(ab^2+bc^2+ca^2)\geq 3abc$
由于$a,b,c>0$,故得證。
三、基本不等式的擴展
除了基本不等式外,還有一些基本不等式的擴展形式,例如平均值不等式和柯西施瓦茲不等式等。這些擴展形式大大豐富了不等式的證明和應(yīng)用,并為數(shù)學研究提供了更加廣泛的空間。下面,我們就來簡單介紹一下平均值不等式和柯西施瓦茲不等式的相關(guān)內(nèi)容。
平均值不等式:對于$n$個非負實數(shù)$x_1,x_2,\cdots,x_n$,有
$\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\geq\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}$
其中等號成立當且僅當$x_1=x_2=\cdots=x_n$時成立。
柯西施瓦茲不等式:對于任意實數(shù)$x_1,x_2,\cdots,x_n$和$y_1,y_2,\cdots,y_n$,有
$(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)(y_1^2+y_2^2+\cdots+y_n^2)\geq(x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n)^2$
其中等號成立當且僅當$\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}=\cdots=\frac{x_n}{y_n}$時成立。
四、總結(jié)
綜上所述,基本不等式是數(shù)學中重要的一個概念,它與不等式的證明和應(yīng)用有著密切的關(guān)系?;静坏仁降慕夥ê退季S方法不僅能讓我們更好地掌握不等式的性質(zhì)和應(yīng)用,同時也能讓我們更好地解決數(shù)學中的其他問題。在學習和應(yīng)用基本不等式時,我們還需掌握其相關(guān)的擴展形式,如平均值不等式和柯西施瓦茲不等式等。只有充分掌握了這些知識點,我們才能更加深入地理解并應(yīng)用不等式的知識。
不等式的課件收藏
經(jīng)驗時常告訴我們,做事要提前做好準備。在幼兒教育工作中,我們都有會準備一寫需要用到資料。資料包含著人類在社會實踐,科學實驗和研究過程中所匯集的經(jīng)驗。有了資料的協(xié)助我們的工作會變得更加順利!所以,關(guān)于幼師資料你究竟了解多少呢?小編現(xiàn)在推薦你閱讀一下不等式的課件收藏,相信能對大家有所幫助。
不等式的課件 篇1
基本不等式是初中數(shù)學比較重要的一個概念,對于求解不等式問題有非常大的作用。在教學中,老師可以通過多學示例,呈現(xiàn)形式多樣,讓學生深刻理解基本不等式的本質(zhì)和應(yīng)用,使學生在解決實際問題中靈活掌握相關(guān)知識。本文將結(jié)合基本不等式的定義、性質(zhì)和應(yīng)用,探討其相關(guān)主題。
一、基本不等式的定義和性質(zhì)
基本不等式是在解決實際問題時常用到的一種數(shù)學方法,它可以有效地幫助我們解決很多實際問題。在數(shù)學中,一般把基本不等式定義為,對于任何正整數(shù)a和b,有下列不等關(guān)系:
(a+b)^2>=4ab
這個不等式在初中數(shù)學中非常重要,我們還可以把它解釋成下面的形式:對于任何兩個正數(shù)a和b,有下列不等式:
a/b+b/a>=2
這個式子實際上就是基本不等式的一個特例,也說明了基本不等式中的a和b可以指任何兩個正數(shù)。
基本不等式的一些性質(zhì):
1、兩邊同時乘以正數(shù)或是開根號(即不改變不等關(guān)系的實質(zhì))是允許的。
2、當a=b時等號成立。
3、當a不等于b時,不等號成立。
這些性質(zhì)是我們用基本不等式時需要注意的幾個關(guān)鍵點。如果我們了解了這些基本的性質(zhì),就可以更加靈活地運用基本不等式解決實際問題。
二、基本不等式的應(yīng)用
基本不等式的應(yīng)用非常廣泛,例如可以用它來解決以下問題:
1、證明
√(a^2+b^2)>=a/√2+b/√2
這個問題就可以使用基本不等式來證明,首先得到(a+b)^2>=2(a^2+b^2),將式子化簡可得√(a^2+b^2)>=a/√2+b/√2,這就是想要證明的結(jié)論。
2、解決一些最值問題。例如:如何使a+b的值最?。窟@個問題可以用基本不等式來解決,我們設(shè)a+b=k,那么a+b的平方就是k^2,代入基本不等式中可得出:
k^2>=4ab,即(a+b)^2>=4ab
這個不等式右邊是4ab,左邊則是(a+b)^2,因此a+b的值取得最小值時,應(yīng)當使(a+b)^2=4ab,所以a=b,因此a+b的最小值就是2a或是2b。
3、證明一些平方和不等式的結(jié)論。例如:
(a/b)^2+(b/a)^2>=2
這個問題可以通過基本不等式進行證明,首先我們設(shè)x=a/b,y=b/a,很顯然有x+y>=2,然后通過簡單的運算可得:x^2+y^2>=2,也即(a/b)^2+(b/a)^2>=2。
綜上所述,基本不等式作為初中數(shù)學比較重要的一部分,其定義、性質(zhì)和應(yīng)用都與實際問題密切相關(guān)。在解決實際問題時,我們可以通過多學示例,靈活運用基本不等式的性質(zhì)和應(yīng)用,進而更好地理解其本質(zhì)和應(yīng)用,從而使初中數(shù)學知識更加牢固。
不等式的課件 篇2
(1)運用問題的形式幫助學生整理全章的內(nèi)容,建立知識體系。
(2)在獨立思考的基礎(chǔ)上,鼓勵學生開展小組和全班的交流,使學生通過交流和反思加強對所學知識的理解和掌握,并逐步建立知識體系。
通過問題情境的設(shè)立,使學生再現(xiàn)已學知識,鍛煉抽象、概括的能力。解決問題
通過具體問題來體會知識間的聯(lián)系和學習本章所采用的主要思想方法。
通過獨立思考獲取學習的成功體驗,通過小組交流培養(yǎng)合作交流意識,通過大膽發(fā)表自己的觀點,增強自信心。
重點:對一元一次不等式基本性質(zhì)的掌握;理解不等式(組)解及解集的含義,會解簡單的一元一不等式(組),并會在數(shù)軸上表示其解集;會解相關(guān)的問題,建立起相關(guān)的知識體系。
不等式有哪些基本性質(zhì)?它與等式的性質(zhì)有什么相同和不同之處?
解一元一次不等式和解一元一次方程有什么異同?引導學生回憶解一元一次方程的步驟.比較兩者之間的不同學生舉例回答.
舉例說明在數(shù)軸上如何表示一元一不等式(組)的解集分組競賽.看哪一組出的題型好,全班一起解答.
舉例說明不等式、函數(shù)、方程的聯(lián)系.引導學生回憶函數(shù)的有關(guān)內(nèi)容.舉例說明三者之間的關(guān)系.小組討論,合作回答.函數(shù)性質(zhì)、圖象
小組交流、討論不等式和函數(shù)、函數(shù)和方程等之間的關(guān)系,分別舉例說明.
布置作業(yè)開動腦筋,勇于表達自己的'想法.
(1)在運用所學知識解決具體問題的同時,加深對全章知識體系理解。
(2)發(fā)展學生抽象能力、推理能力和有條理表達自己想法的能力.
教學思考:
體會數(shù)學的應(yīng)用價值,并學會在解決問題過程中與他人合作.解決問題。在獨立思考的基礎(chǔ)上,積極參與問題的討論,從交流中學習,并敢于發(fā)表自己的觀點和主張,同時尊重與理解別人的觀點。
情感態(tài)度與價值觀:
進一步嘗試學習數(shù)學的成功體驗,認識到不等式是解決實際問題的重要工具,逐漸形成對數(shù)學活動積極參與的意識。
重點:
對一元一次不等式基本性質(zhì)的掌握;理解不等式(組)解及解集的含義,會解簡單的一元一次不等式(組),并會在數(shù)軸上表示其解集;會解相關(guān)的問題,建立起相關(guān)的知識體系。
↓ ↓
安排一組練習讓學生充分充分討論解決.
(1)當X取何值時,Y>0(2)當X取何值時,Y=0(3)當X取何值時,Y
3.某工人制造機器零件,如果每天比預(yù)定多做一件,那么8天所做零件超過100件;如果每天比預(yù)定少做一件,那么8天所做零件不到90件,這個工人預(yù)定每天做幾個零件?
不等式的課件 篇3
一元二次不等式是高中數(shù)學中的一個重要概念,是指一個帶有二次項的不等式。在數(shù)學學習中,我們經(jīng)常需要利用二次不等式來解決問題,掌握這個概念對于深入了解高中數(shù)學知識是至關(guān)重要的。因此,學習一元二次不等式是高中數(shù)學學習中的一大難點,需要認真對待。
一元二次不等式的概念和性質(zhì)
一元二次不等式可以寫成如下形式:
ax2 + bx + c > 0
或
ax2 + bx + c
其中a、b、c都是實數(shù),a ≠ 0。
我們可以通過一些方法求出不等式的根,比如將其轉(zhuǎn)化為標準形式。將不等式變形,我們可以得到如下形式:
ax2 + bx
或
ax2 + bx > – c
然后,我們再用求一元二次方程根的方法求出不等式的解,就能夠得到它的解集。
對于不等式ax2 + bx + c > 0,其圖像為二次函數(shù)的上凸形,即開口向上的拋物線,而對于不等式ax2 + bx + c
一元二次不等式的解法
解一元二次不等式的方法有很多,下面我們介紹其中的兩種:
方法一:化為標準形式,再利用求一元二次方程根的方法求解。
方法二:利用符號法將不等式中的式子化簡,得到一系列不等式,然后將這些不等式求解即可。
實際上,解一元二次不等式還有很多其他的方法,比如絕對值法、圖形法等等。在解題時,我們要根據(jù)具體的情況選擇最合適的方法來求解。
一元二次不等式的應(yīng)用
一元二次不等式廣泛應(yīng)用于數(shù)學學習以及生活中的各個領(lǐng)域,比如物理學、經(jīng)濟學、社會學等。下面我們以生活中的一個例子來說明一元二次不等式的應(yīng)用。
假設(shè)你要購買一臺電視機,商家提供了兩種方案供你選擇。方案一:首付1500元,每月還款100元;方案二:首付3500元,每月還款80元。那么,你需要比較兩個方案的總花費,來決定哪個方案更加劃算。
我們假設(shè)電視機的總價格為x元。那么,方案一的總花費為:
C1 = 1500 + 100×n
而方案二的總花費為:
C2 = 3500 + 80×n
這里n為分期的期數(shù),即你需要還款的總期數(shù)。為了比較兩種方案的劃算程度,我們可以列出一個一元二次不等式:
1500 + 100×n
經(jīng)過化簡,我們可以得到:
20n > 2000
n > 100
因此,當還款期數(shù)大于100期時,方案一比方案二更加劃算。這個例子很好地展示了一元二次不等式的應(yīng)用,它能夠幫助我們在日常生活中做出明智的選擇,也能夠更加深入地理解數(shù)學知識。
總結(jié)
一元二次不等式是高中數(shù)學學習中的重要概念,它在數(shù)學中和生活中都有廣泛的應(yīng)用。學習一元二次不等式需要我們認真對待,掌握其概念、性質(zhì)和解法,同時也需要我們理解其實際應(yīng)用,這樣才能夠更好地掌握高中數(shù)學的知識。
不等式的課件 篇4
本節(jié)課的研究是對初中不等式學習的延續(xù)和拓展,也是實數(shù)理論的進一步發(fā)展.在本節(jié)課的學習過程中,將讓學生回憶實數(shù)的基本理論,并能用實數(shù)的基本理論來比較兩個代數(shù)式的大小.
通過本節(jié)課的學習,讓學生從一系列的具體問題情境中,感受到在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系,并充分認識不等關(guān)系的存在與應(yīng)用.對不等關(guān)系的相關(guān)素材,用數(shù)學觀點進行觀察、歸納、抽象,完成量與量的比較過程.即能用不等式或不等式組把這些不等關(guān)系表示出來.
在本節(jié)課的學習過程中還安排了一些簡單的、學生易于處理的問題,其用意在于讓學生注意對數(shù)學知識和方法的應(yīng)用,同時也能激發(fā)學生的學習興趣,并由衷地產(chǎn)生用數(shù)學工具研究不等關(guān)系的愿望.根據(jù)本節(jié)課的教學內(nèi)容,應(yīng)用再現(xiàn)、回憶得出實數(shù)的基本理論,并能用實數(shù)的基本理論來比較兩個代數(shù)式的大小.
在本節(jié)教學中,教師可讓學生閱讀書中實例,充分利用數(shù)軸這一簡單的數(shù)形結(jié)合工具,直接用實數(shù)與數(shù)軸上點的一一對應(yīng)關(guān)系,從數(shù)與形兩方面建立實數(shù)的順序關(guān)系.要在溫故知新的基礎(chǔ)上提高學生對不等式的認識.
1.在學生了解不等式產(chǎn)生的實際背景下,利用數(shù)軸回憶實數(shù)的基本理論,理解實數(shù)的大小關(guān)系,理解實數(shù)大小與數(shù)軸上對應(yīng)點位置間的關(guān)系.
2.會用作差法判斷實數(shù)與代數(shù)式的大小,會用配方法判斷二次式的大小和范圍.
3.通過溫故知新,提高學生對不等式的認識,激發(fā)學生的學習興趣,體會數(shù)學的奧秘與數(shù)學的結(jié)構(gòu)美.
教學重點:比較實數(shù)與代數(shù)式的大小關(guān)系,判斷二次式的大小和范圍.
思路1.(章頭圖導入)通過多媒體展示衛(wèi)星、飛船和一幅山巒重疊起伏的壯觀畫面,它將學生帶入“橫看成嶺側(cè)成峰,遠近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中,使學生在具體情境中感受到不等關(guān)系在現(xiàn)實世界和日常生活中是大量存在的,由此產(chǎn)生用數(shù)學研究不等關(guān)系的強烈愿望,自然地引入新課.
思路2.(情境導入)列舉出學生身體的高矮、身體的輕重、距離學校路程的遠近、百米賽跑的時間、數(shù)學成績的多少等現(xiàn)實生活中學生身邊熟悉的事例,描述出某種客觀事物在數(shù)量上存在的不等關(guān)系.這些不等關(guān)系怎樣在數(shù)學上表示出來呢?讓學生自由地展開聯(lián)想,教師組織不等關(guān)系的相關(guān)素材,讓學生用數(shù)學的觀點進行觀察、歸納,使學生在具體情境中感受到不等關(guān)系與相等關(guān)系一樣,在現(xiàn)實世界和日常生活中大量存在著.這樣學生會由衷地產(chǎn)生用數(shù)學工具研究不等關(guān)系的愿望,從而進入進一步的探究學習,由此引入新課.
1回憶初中學過的不等式,讓學生說出“不等關(guān)系”與“不等式”的異同.怎樣利用不等式研究及表示不等關(guān)系?
2在現(xiàn)實世界和日常生活中,既有相等關(guān)系,又存在著大量的不等關(guān)系.你能舉出一些實際例子嗎?
3數(shù)軸上的任意兩點與對應(yīng)的兩實數(shù)具有怎樣的關(guān)系?
4任意兩個實數(shù)具有怎樣的關(guān)系?用邏輯用語怎樣表達這個關(guān)系?
活動:教師引導學生回憶初中學過的不等式概念,使學生明確“不等關(guān)系”與“不等式”的異同.不等關(guān)系強調(diào)的是關(guān)系,可用符號“>”“b”“a
教師與學生一起舉出我們?nèi)粘I钪胁坏汝P(guān)系的例子,可讓學生充分合作討論,使學生感受到現(xiàn)實世界中存在著大量的不等關(guān)系.在學生了解了一些不等式產(chǎn)生的實際背景的前提下,進一步學習不等式的有關(guān)內(nèi)容.
實例1:某天的天氣預(yù)報報道,最高氣溫32 ℃,最低氣溫26 ℃.
實例2:對于數(shù)軸上任意不同的兩點A、B,若點A在點B的左邊,則xA
實例5:三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊.
實例6:限速40 km/h的路標指示司機在前方路段行駛時,應(yīng)使汽車的速度v不超過40 km/h.
實例7:某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定,酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不少于2.5%,蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于2.3%.
教師進一步點撥:能夠發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學當然很好,這說明同學們已經(jīng)走進了數(shù)學這門學科,但作為我們研究數(shù)學的人來說,能用數(shù)學的眼光、數(shù)學的觀點進行觀察、歸納、抽象,完成這些量與量的比較過程,這是我們每個研究數(shù)學的人必須要做的,那么,我們可以用我們所研究過的什么知識來表示這些不等關(guān)系呢?學生很容易想到,用不等式或不等式組來表示這些不等關(guān)系.那么不等式就是用不等號將兩個代數(shù)式連結(jié)起來所成的式子.如-71+4,2x≤6,a+2≥0,3≠4,0≤5等.
教師引導學生將上述的7個實例用不等式表示出來.實例1,若用t表示某天的氣溫,則26 ℃≤t≤32 ℃.實例3,若用x表示一個非負數(shù),則x≥0.實例5,|AC|+|BC|>|AB|,如下圖.
|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.
|AB|-|BC|
實例6,若用v表示速度,則v≤40 km/h.實例7,f≥2.5%,p≥2.3%.對于實例7,教師應(yīng)點撥學生注意酸奶中的脂肪含量與蛋白質(zhì)含量需同時滿足,避免寫成f≥2.5%或p≥2.3%,這是不對的.但可表示為f≥2.5%且p≥2.3%.
對以上問題,教師讓學生輪流回答,再用投影儀給出課本上的兩個結(jié)論.
討論結(jié)果:
(1)(2)略;(3)數(shù)軸上任意兩點中,右邊點對應(yīng)的實數(shù)比左邊點對應(yīng)的實數(shù)大.
(4)對于任意兩個實數(shù)a和b,在a=b,a>b,a0a>b;a-b=0a=b;a-b
活動:通過兩例讓學生熟悉兩個代數(shù)式的大小比較的基本方法:作差,配方法.
點評:本節(jié)兩例的求解,是借助因式分解和應(yīng)用配方法完成的,這兩種方法是代數(shù)式變形時經(jīng)常使用的方法,應(yīng)讓學生熟練掌握.
1.若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,則f(x)與g(x)的大小關(guān)系是( )
解析:f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0,∴f(x)>g(x).
2.已知x≠0,比較(x2+1)2與x4+x2+1的大小.
解:由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.
∵x≠0,得x2>0.從而(x2+1)2>x4+x2+1.
例2比較下列各組數(shù)的大小(a≠b).
(1)a+b2與21a+1b(a>0,b>0);
(2)a4-b4與4a3(a-b).
活動:比較兩個實數(shù)的大小,常根據(jù)實數(shù)的運算性質(zhì)與大小順序的關(guān)系,歸結(jié)為判斷它們的差的符號來確定.本例可由學生獨立完成,但要點撥學生在最后的符號判斷說理中,要理由充分,不可忽略這點.
解:(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=a+b2-4ab2a+b=a-b22a+b.
∵a>0,b>0且a≠b,∴a+b>0,(a-b)2>0.∴a-b22a+b>0,即a+b2>21a+1b.
(2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)
=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]
=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2].
∵2a2+(a+b)2≥0(當且僅當a=b=0時取等號),
又a≠b,∴(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0.∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2]
∴a4-b4
點評:比較大小常用作差法,一般步驟是作差——變形——判斷符號.變形常用的手段是分解因式和配方,前者將“差”變?yōu)椤胺e”,后者將“差”化為一個或幾個完全平方式的“和”,也可兩者并用.
已知x>y,且y≠0,比較xy與1的大小.
活動:要比較任意兩個數(shù)或式的大小關(guān)系,只需確定它們的差與0的大小關(guān)系.
∵x>y,∴x-y>0.
當y
當y>0時,x-yy>0,即xy-1>0.∴xy>1.
點評:當字母y取不同范圍的值時,差xy-1的正負情況不同,所以需對y分類討論.
例3建筑設(shè)計規(guī)定,民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積.但按采光標準,窗戶面積與地板面積的比值應(yīng)不小于10%,且這個比值越大,住宅的采光條件越好.試問:同時增加相等的窗戶面積和地板面積,住宅的采光條件是變好了,還是變壞了?請說明理由.
活動:解題關(guān)鍵首先是把文字語言轉(zhuǎn)換成數(shù)學語言,然后比較前后比值的大小,采用作差法.
解:設(shè)住宅窗戶面積和地板面積分別為a、b,同時增加的面積為m,根據(jù)問題的要求a
由于a+mb+m-ab=mb-abb+m>0,于是a+mb+m>ab.又ab≥10%,
因此a+mb+m>ab≥10%.
所以同時增加相等的窗戶面積和地板面積后,住宅的采光條件變好了.
點評:一般地,設(shè)a、b為正實數(shù),且a0,則a+mb+m>ab.
已知a1,a2,…為各項都大于零的等比數(shù)列,公比q≠1,則( )
C.a1+a8=a4+a5 D.a1+a8與a4+a5大小不確定
解析:(a1+a8)-(a4+a5)=a1+a1q7-a1q3-a1q4
=a1[(1-q3)-q4(1-q3)]=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q)(1+q2).
∵{an}各項都大于零,∴q>0,即1+q>0.
又∵q≠1,∴(a1+a8)-(a4+a5)>0,即a1+a8>a4+a5.
1.下列不等式:①a2+3>2a;②a2+b2>2(a-b-1);③x2+y2>2xy.其中恒成立的不等式的個數(shù)為( )
2.比較2x2+5x+9與x2+5x+6的大小.
答案:
1.C解析:∵②a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,
③x2+y2-2xy=(x-y)2≥0.
∴只有①恒成立.
2.解:因為2x2+5x+9-(x2+5x+6)=x2+3>0,
所以2x2+5x+9>x2+5x+6.
1.教師與學生共同完成本節(jié)課的小結(jié),從實數(shù)的基本性質(zhì)的回顧,到兩個實數(shù)大小的比較方法;從例題的活動探究點評,到緊跟著的變式訓練,讓學生去繁就簡,聯(lián)系舊知,將本節(jié)課所學納入已有的知識體系中.
2.教師畫龍點睛,點撥利用實數(shù)的基本性質(zhì)對兩個實數(shù)大小比較時易錯的地方.鼓勵學有余力的學生對節(jié)末的思考與討論在課后作進一步的探究.
1.本節(jié)設(shè)計關(guān)注了教學方法的優(yōu)化.經(jīng)驗告訴我們:課堂上應(yīng)根據(jù)具體情況,選擇、設(shè)計最能體現(xiàn)教學規(guī)律的教學過程,不宜長期使用一種固定的教學方法,或原封不動地照搬一種實驗?zāi)J?各種教學方法中,沒有一種能很好地適應(yīng)一切教學活動.也就是說,世上沒有萬能的教學方法.針對個性,靈活變化,因材施教才是成功的施教靈藥.
2.本節(jié)設(shè)計注重了難度控制.不等式內(nèi)容應(yīng)用面廣,可以說與其他所有內(nèi)容都有交匯,歷來是高考的重點與熱點.作為本章開始,可以適當開闊一些,算作拋磚引玉,讓學生有個自由探究聯(lián)想的平臺,但不宜過多向外拓展,以免對學生產(chǎn)生負面影響.
3.本節(jié)設(shè)計關(guān)注了學生思維能力的訓練.訓練學生的思維能力,提升思維的品質(zhì),是數(shù)學教師直面的重要課題,也是中學數(shù)學教育的主線.采用一題多解有助于思維的發(fā)散性及靈活性,克服思維的僵化.變式訓練教學又可以拓展學生思維視野的廣度,解題后的點撥反思有助于學生思維批判性品質(zhì)的提升.
1.比較(x-3)2與(x-2)(x-4)的大小.
2.試判斷下列各對整式的大?。?1)m2-2m+5和-2m+5;(2)a2-4a+3和-4a+1.
5.設(shè)a>0,b>0,且a≠b,試比較aabb與abba的大小.
∴(x-3)2>(x-2)(x-4).
=m2.
∵m2≥0,∴(m2-2m+5)-(-2m+5)≥0.
∴m2-2m+5≥-2m+5.
=a2+2.
∵a2≥0,∴a2+2≥2>0.
∴a2-4a+3>-4a+1.
=x24,
又∵x>0,∴x24>0.
∴(1+x2)2>(1+x)2.
由x>0,得1+x2>1+x.
=(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]
=-2xy(x-y).
∵x0,x-y
∴-2xy(x-y)>0.
∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).
5.解:∵aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b,且a≠b,
當a>b>0時,ab>1,a-b>0,
則(ab)a-b>1,于是aabb>abba.
則(ab)a-b>1.
于是aabb>abb a.
綜上所述,對于不相等的正數(shù)a、b,都有aabb>abba.
不等式的課件 篇5
基本不等式是初中數(shù)學中重要的一章內(nèi)容,也是高中數(shù)學和競賽數(shù)學的基礎(chǔ)。基本不等式的學習不僅有助于提高學生的數(shù)學素養(yǎng)和解題能力,同時也能幫助他們提高邏輯思維能力。本文旨在探討“基本不等式”這一主題。
一、基本不等式的定義與性質(zhì)
基本不等式是說:對于正實數(shù)x1,x2,…,xn,有
(x1+x2+…+xn)/n≥√(x1x2…xn),當且僅當x1=x2=…=xn時等號成立。
基本不等式的性質(zhì)有以下幾條:
(1)當n為偶數(shù)時,等號成立;
(2)當n為奇數(shù)時,當且僅當所有數(shù)相等時等號成立;
(3)兩個數(shù)的平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù),即(a+b)/2≥√(ab),其中a,b均為正實數(shù)且a≠b;
(4)當n≥3時,三個數(shù)的平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù),即(a+b+c)/3≥√(abc),其中a,b,c均為正實數(shù)且a≠b≠c。
二、基本不等式的應(yīng)用
基本不等式作為一種重要的數(shù)學工具,可以應(yīng)用于眾多問題之中。以下是基本不等式的一些常見應(yīng)用。
1. 求和式的最小值
例題1:已知-x1+x2+x3+x4+x5=-18,其中x1,x2,x3,x4,x5均為正數(shù),并且x1+x2+x3+x4+x5≥5,則x1x2x3x4x5的最小值為多少?
解法:根據(jù)已知條件,設(shè)x1+x2+x3+x4+x5=5+m(其中m≥0),則有x1+x2+x3+x4+x5+m=5+2m。代入到基本不等式中可得:
(x1+x2+x3+x4+x5+m)/5≥√(x1x2x3x4x5)m/5≥√(x1x2x3x4x5)/5
移項得到x1x2x3x4x5≥1,則x1x2x3x4x5的最小值為1。
2. 比較函數(shù)大小
例題2:比較函數(shù)f(x)=√(a2+x2)+√(b2+(c-x)2)(a,b,c>0)在[0,c]上的最小和最大值。
解法:根據(jù)已知條件和基本不等式,將f(x)分解成兩個正數(shù)的平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的形式,即
f(x)=[√(a2+x2)+√(b2+(c-x)2)]/2+1/2[√(a2+x2)+√(b2+(c-x)2)]
≥√[(√(a2+x2)×√(b2+(c-x)2)]+1/2(2c)
=√(a2+b2+c2+ab-ac-bc)+c
當x=c/3時等號成立,即f(x)的最小值為√(a2+b2+c2+ab-ac-bc)+c,最大值為√(a2+b2+c2+ab+ac+bc)+c。
3. 求極限
例題3:已知數(shù)列{a_n}(n≥1)的通項公式為a_n=(√n+1)/(n+1),則求∑(n從1到∞)a_n的極限。
解法:根據(jù)基本不等式,有
a_1+a_2+…+a_n≥n(√(a_1a_2…a_n))^1/n
代入已知條件,可得:
a_1+a_2+…+a_n≥n[(√(1+1)×√(2+1)×…×√(n+1))/((1+1)×(2+1)×…×(n+1))]^(1/n)
= n[√(n+1)/2×1/3×…×1/(n+1)]^(1/n) =n[(n+1)/[2(n+1)]]^(1/n)
極限為1/2。
4. 求證不等式
例題4:已知a,b,c為正實數(shù),且a+b+c=1,證明∑(a/(1-a))≥3(a2+b2+c2)/(ab+bc+ca)。
解法:將不等式化簡,得:
∑(a/(1-a))≥3(a2+b2+c2)/(ab+bc+ca)
?(a/(1-a))+(b/(1-b))+(c/(1-c))≥3(a2+b2+c2)/(ab+bc+ca)
?(a/(1-a))+(b/(1-b))+(c/(1-c))≥3[(a+b+c)2-(ab+bc+ca)]/(ab+bc+ca)
由于a+b+c=1,有
(ab+bc+ca)≤a2+b2+c2,
(a/(1-a))+(b/(1-b))+(c/(1-c))≥(a+b+c)2/(a(1-a)+b(1-b)+c(1-c))≥3(a2+b2+c2)/(ab+bc+ca)
其中第一個不等式成立是因為當a=b=c=1/3時,等號成立;第二個不等式用到了基本不等式的形式。
綜上所述,基本不等式是數(shù)學中的重要概念,掌握了基本不等式的定義、性質(zhì)和應(yīng)用方法,將有助于提高人們的數(shù)學素養(yǎng)和解題能力。在日常生活和學習中,要重視基本不等式的學習和應(yīng)用,逐步提高自己的數(shù)學水平。
不等式的課件 篇6
學生初步接觸了一點代數(shù)知識(如用字母表示定律,用符號表示數(shù)),是在學生學習了用字母表示數(shù)以后基礎(chǔ)上進行學習。應(yīng)用方程是解決問題的基礎(chǔ),有關(guān)的幾個概念,教材只作描述不下定義。在教學設(shè)計中仍然把理念作為教學的重點,理解方程的意義,判斷“等式”和“方程”知道方程是一個“含有未知數(shù)的等式”,才有可能明確所謂解方程。
學生不夠活潑,學習積極性不是很高,學生數(shù)學基礎(chǔ)不好。方程對學生來說還是比較陌生的,在他們頭腦中還沒有過方程這樣的表象,所以授新課就要從學生原有的`基礎(chǔ)開始,因為在前面學習用字母表示數(shù)的這部分內(nèi)容時,有了基礎(chǔ),我想在學習簡易方程應(yīng)該沒什么大的問題。
1、使學生初步理解和辨析“等式”“不等式”的意義。
2、會按要求用方程表示出數(shù)量關(guān)系,
3、培養(yǎng)學生的觀察、比較、分析能力。
教學重點: 用字母表示常見的數(shù)量關(guān)系,會用方程的意義去判斷一個式子是否是方程。
教師介紹天平各部分名稱。讓學生操作當天平兩端托盤的物體的質(zhì)量相等時,天平就會平衡,指針指向中。根據(jù)這這個原理來稱物體的質(zhì)量。(讓學生操作,激發(fā)學生的興趣,借助實物演示的優(yōu)勢。初步感受平衡與不平衡的表象)
1、實物演示,引出方程:
(1)在天平稱出100克的左邊空杯,讓學生觀察是否平衡,感受1只空杯=100克。
(2)往空杯里倒入果汁,另一邊加100克法碼,問學生發(fā)現(xiàn)了什么? (讓學生感受天平慢慢傾斜,水是未知數(shù))引出100+X>200,往右加100克法碼, 問:哪邊重些?(學生初步感受平衡和不平衡的表象) 問:怎樣用式子表示?100+X<300
(3)教學100+X=250 問:如果是天平平衡怎么辦?(讓學生討論交流平衡的方案)把100克法碼換成50克的砝碼,這時會怎樣?(引導學生觀察這時天平出現(xiàn)平衡), 問:現(xiàn)在兩邊的質(zhì)量怎樣?現(xiàn)在水有多重知道嗎?如果用字母X表示怎樣用式子表示?得出:100+X=250
示題:100+X<250100+X=2504X+50>10040+40=80 X÷2=45X-12=27
請學生觀察合作交流分類:
(一)引出(1)兩邊不相等,叫做不等式。(2)兩邊相等叫做等式。
(2)含有未知數(shù)的等式100+X=250 X÷2=4 揭示:(2)這樣的含有未知數(shù)等式叫做方程(通過分類,培養(yǎng)學生對方程意義的了解) 問:方程的具備條件是什么?(感知必須是等式,而一定含有未知數(shù))你能寫出一些方程嗎?(同桌交流檢查)
(三)練習判斷那些是方程?那些不是方程?
6+2X=14103+X250÷2=1256+X>251÷A=3X+Y=180 (讓學生加深對方程的意義的認識,培養(yǎng)學生的判斷能力。)
教師:我們能夠判斷什么是方程了,方程和等式有很密切的關(guān)系,你能畫圖來表示他們的關(guān)系嗎?(小組合作討論交流)
方程 等式 (讓學生通過觀察、思考、分析、歸類,自主發(fā)現(xiàn)獲得對方程和等式的關(guān)系理解,同時初步滲透教學中的集合思想。)
不等式的課件 篇7
基本不等式作為高中數(shù)學必修內(nèi)容之一,在學生學習中扮演著極為重要的角色。本篇文章將圍繞基本不等式,探討它的概念、性質(zhì)、證明方法及應(yīng)用,并展示基本不等式的魅力和實用性。
一、基本不等式的概念
基本不等式是指對于任意正實數(shù) $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 和任意正整數(shù) $n$,有以下不等式成立:
$\dfrac{a_1}{n}+\dfrac{a_2}{n}+\cdots+\dfrac{a_n}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$
這個不等式也被稱為均值不等式或AM-GM不等式。其中,$\dfrac{a_1}{n}+\dfrac{a_2}{n}+\cdots+\dfrac{a_n}{n}$ 表示這些數(shù)的算術(shù)平均值,而 $\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$ 表示這些數(shù)的幾何平均值。均值不等式的意義在于,算術(shù)平均數(shù)大于等于幾何平均數(shù)。
二、基本不等式的性質(zhì)
基本不等式有以下幾個性質(zhì):
1. 當且僅當 $a_1=a_2=\cdots=a_n$ 時等號成立。
2. 如果 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 中至少有一個數(shù)為 $0$,則 $\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}=0$,這時等號成立。
3. 基本不等式可以擴展到實數(shù)范圍內(nèi)。
4. 均值不等式不等式對于大于 $0$ 的實數(shù)都成立。
三、基本不等式的證明方法
基本不等式有多種證明方法,下面列舉其中兩種:
方法一:數(shù)學歸納法
假設(shè)基本不等式對于 $n=k$ 時成立,即對于 $k$ 個正實數(shù) $a_1,a_2,\cdots,a_k$,有以下不等式成立:
$\dfrac{a_1}{k}+\dfrac{a_2}{k}+\cdots+\dfrac{a_k}{k}\geq\sqrt[k]{a_1a_2\cdots a_k}$
現(xiàn)證明它對于 $n=k+1$ 時也成立。將 $a_{k+1}$ 插入到原來的不等式中,得到:
$\dfrac{a_1}{k+1}+\dfrac{a_2}{k+1}+\cdots+\dfrac{a_k}{k+1}+\dfrac{a_{k+1}}{k+1}\geq\sqrt[k+1]{a_1a_2\cdots a_k a_{k+1}}$
由于:
$\dfrac{a_1}{k+1}+\dfrac{a_2}{k+1}+\cdots+\dfrac{a_k}{k+1}\geq\sqrt[k]{a_1a_2\cdots a_k}$
因此,我們只需證明以下不等式:
$\dfrac{(k+1)\sqrt[k]{a_1a_2\cdots a_k}\cdot a_{k+1}}{k+1}\geq\sqrt[k+1]{a_1a_2\cdots a_k a_{k+1}}$
經(jīng)過變形化簡,可以得到:
$\sqrt[k]{a_1a_2\cdots a_k} \geq \sqrt[k+1]{a_1a_2\cdots a_k a_{k+1}}$
顯然,這是成立的。
因此,按照歸納法的證明方式,基本不等式對于所有的正整數(shù) $n$ 都成立。
方法二:對數(shù)函數(shù)的應(yīng)用
對于 $a_1,a_2,\cdots,a_n$,我們可以定義函數(shù):
$f(x)=\ln{x}$
顯然,函數(shù) $f(x)$ 是連續(xù)的、單調(diào)遞增的。根據(jù)式子:
$\dfrac{a_1}{n}+\dfrac{a_2}{n}+\cdots+\dfrac{a_n}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$
可以得到:
$\ln\left(\dfrac{a_1}{n}\right)+\ln\left(\dfrac{a_2}{n}\right)+\cdots+\ln\left(\dfrac{a_n}{n}\right)\geq\dfrac{1}{n} (\ln a_1+\ln a_2+\cdots+\ln a_n)$
即:
$\ln\left(\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\right)\leq\dfrac{\ln a_1+\ln a_2+\cdots+\ln a_n}{n}$
對于左邊的式子,有:
$\ln\left(\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\right)=\dfrac{1}{n}\ln(a_1a_2\cdots a_n)$
對于右邊的式子,有:
$\dfrac{\ln a_1+\ln a_2+\cdots+\ln a_n}{n}=\ln\left(\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\right)$
因此,我們可以得到:
$\ln(a_1a_2\cdots a_n)\geq n\ln\left(\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\right)$
即:
$a_1a_2\cdots a_n\geq\left(\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\right)^n$
這正是均值不等式的形式。因此,基本不等式得證。
四、基本不等式的應(yīng)用
基本不等式在數(shù)學和物理學中有廣泛的應(yīng)用。下面介紹幾個常見的應(yīng)用場景:
1. 最小值求解
如果有 $n$ 個正實數(shù) $a_1,a_2,\cdots,a_n$,它們的和為 $k$,求它們的積的最大值,即:
$\max(a_1a_2\cdots a_n)$
根據(jù)基本不等式,有:
$\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$
因此,可以得到:
$\dfrac{k}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$
兩邊同時取冪,可以得到:
$\dfrac{k^n}{n^n}\geq a_1a_2\cdots a_n$
即:
$\max(a_1a_2\cdots a_n)=\dfrac{k^n}{n^n}$
2. 凸函數(shù)的優(yōu)化問題
如果 $f(x)$ 是一個凸函數(shù),$a_1,a_2,\cdots,a_n$ 是正實數(shù),$b_1,b_2,\cdots,b_n$ 是任意實數(shù)且 $\sum_{i=1}^n b_i=1$,則有:
$f(b_1a_1+b_2a_2+\cdots+b_na_n)\leq b_1f(a_1)+b_2f(a_2)+\cdots+b_nf(a_n)$
這是凸函數(shù)的優(yōu)化問題中常用的基本不等式形式。它可以通過Jensen不等式或基本不等式證明。
3. 三角形求證
如果我們可以用 $a,b,c$ 表示一個三角形的三邊長,則有:
$\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}\leq\dfrac{(a+b+c)^2}{4\sqrt{3}}$
這個不等式在三角形求證中也被廣泛應(yīng)用。
五、結(jié)語
基本不等式是高中數(shù)學必修內(nèi)容之一,但其實它的應(yīng)用范圍遠不止于此。在實際問題中,基本不等式常常能給我們提供有效的解決方案。通過本文的介紹,希望讀者能夠更加深入地理解基本不等式的概念、性質(zhì)、證明方法及應(yīng)用,并能在實際問題中靈活運用。
不等式的課件 篇8
關(guān)于基本不等式的主題范文:
基本不等式是數(shù)學中非常重要的一道課題,所以我們需要從以下幾個方面來對基本不等式進行介紹。
一、基本不等式是什么
基本不等式是指數(shù)學中的一個重要定理,它表述的是任意正整數(shù)n及n個正數(shù)a1,a2,…,an的積與它們的和之間的關(guān)系。也就是說,對于任意正整數(shù)n和n個正數(shù)a1,a2,…,an,有以下不等式成立:
(a1+a2+…+an)/n ≥ (a1×a2×…×an)1/n
其中,等式成立當且僅當a1 = a2 = … = an。
二、基本不等式的證明
下面我們來看一下基本不等式的證明過程。
首先,如果我們令A(yù)i = nai和G = (a1 × a2 × … × an)1/n,則我們可以將原不等式轉(zhuǎn)化為:
(a1+a2+…+an)/n ≥ G
接下來,我們來看一下如果證明G ≤ (a1+a2+…+an)/n,那么我們就可以證明基本不等式,因為不等式具有對稱性,即如果G ≤ (a1+a2+…+an)/n,則(a1+a2+…+an)/n ≥ G也成立。
接下來,我們證明G ≤ (a1+a2+…+an)/n,即:
(a1+a2+…+an)/n ≥ (a1 × a2 × … × an)1/n
將不等式右邊兩邊平方,得到:
(a1+a2+…+an)/n ≥ (a1 × a2 × … × an)2/n
這時,我們來觀察右邊的式子,將式子中的每一項都乘以(n-1),得到:
(a1 × (n-1) + a2 × (n-1) + … + an × (n-1)) / n ≥ (a1 × a2 × … × an)2/n
繼續(xù)進行簡化,得到:
[(a1 × (n-1)) + (a2 × (n-1)) + … + (an × (n-1))] / n ≥ (n-1) × a1 × a2 × … × an / n
左邊乘以1/n,右邊除以(n-1),得到:
(a1 + a2 + … + an) / n ≥ (a1 × a2 × … × an)1/n
這樣我們就完成了基本不等式的證明。
三、基本不等式在實際中的應(yīng)用
基本不等式在實際中的應(yīng)用非常廣泛,下面我們來看一下其中的幾個例子。
1. 求平均數(shù)
如果我們已知n個正數(shù)的積,需要求它們的平均數(shù),那么根據(jù)基本不等式,我們可以得到:
(a1 + a2 + … + an) / n ≥ (a1 × a2 × … × an)1/n
等式兩邊都乘以n-1,得到:
a1 + a2 + … + an ≥ (n-1) × (a1 × a2 × … × an)1/n
這樣我們就可以求得平均數(shù):
(a1 + a2 + … + an) / n ≥ (n-1) × (a1 × a2 × … × an)1/n / n
2. 求數(shù)列中n個數(shù)的積的最大值
假設(shè)我們需要從數(shù)列{a1, a2, …, an}中選取n個數(shù),求它們的積的最大值。根據(jù)基本不等式,我們有:
(a1 + a2 + … + an) / n ≥ (a1 × a2 × … × an)1/n
因為我們需要求積的最大值,所以當?shù)仁阶筮叺暮颓『玫扔趎個數(shù)的積時,這個積才能取到最大值。因此,我們可以得到:
a1 = a2 = … = an
這樣,我們就得到了求數(shù)列中n個數(shù)的積的最大值的方法。
三、結(jié)論
通過對基本不等式的介紹,我們可以發(fā)現(xiàn)它不僅僅是一道看似簡單的數(shù)學題目,而是一個非常重要的定理,有著廣泛的應(yīng)用價值。希望大家能夠在今后的學習中更加重視基本不等式,并能夠深刻理解它的實際應(yīng)用。
不等式的課件 篇9
基本不等式是高中數(shù)學中重要的一部分,也是初學者比較難掌握的一個概念。通過學習基本不等式,可以幫助學生理解不等式的基本概念、性質(zhì)和運算。同時,對于高中數(shù)學,基本不等式還有很多相關(guān)的題型需要掌握,比如極值問題、夾逼定理等。本文將從基本不等式的定義開始,探討其相關(guān)概念、性質(zhì)和應(yīng)用。
一、基本不等式的定義
基本不等式是指對于任意正實數(shù)a、b,有以下不等式成立:
(a + b)2 ≥ 4ab
這個不等式也可以寫成:
a2 + b2 ≥ 2ab
這個不等式的含義是:對于任意兩個正實數(shù)a、b,它們的平均數(shù)一定大于等于它們的幾何平均數(shù)。
二、基本不等式的證明
對于任意實數(shù)x,y,可以用(x-y)2≥0來證明基本不等式:
(x-y)2≥0
x2-2xy+y2≥0
x2+y2≥2xy
將x換成a、y換成b,即可得到基本不等式。
三、基本不等式的相關(guān)概念
1. 等式條件:
當且僅當a=b時,等式成立。
2. 平均數(shù)與幾何平均數(shù):
平均數(shù)指的是兩個數(shù)的和的一半,即(a+b)/2;幾何平均數(shù)指的是兩個數(shù)的積的二分之一,即√(ab)。由于基本不等式的成立,可以得出平均數(shù)大于等于幾何平均數(shù)的結(jié)論。
3. 關(guān)于兩個數(shù)之和與兩個數(shù)的比值的關(guān)系:
從基本不等式得到如下兩個等式:
(a+b)2=4ab+(a-b)2;ab≥(a+b)/2
以上兩個式子給出了兩個關(guān)于兩個數(shù)之和與兩個數(shù)的比值的關(guān)系。
四、基本不等式的性質(zhì)
1. 交換律和結(jié)合律:基本不等式滿足交換律和結(jié)合律。
2. 反比例函數(shù):若f(x)=1/x,x>0,則f(a)+f(b)≤2f((a+b)/2)對于a,b>0成立。
3. 帶約束的基本不等式:若a,b>0,且a+b=k,則(a+b)/2≥√(ab),即k/2≥√(ab)。
五、基本不等式的應(yīng)用
1. 求證夾逼定理:如果a1≤b1≤c1,且a2≤b2≤c2,則(a1a2+b1b2+c1c2)/3≥(a1b2+b1c2+c1a2)/3≥√(a1b1c1a2b2c2)。
2. 判斷一個二次函數(shù)的最大值或最小值:由于二次函數(shù)的導數(shù)為一次函數(shù),可以通過求導得到函數(shù)的極值。而基本不等式可以用于判斷二次函數(shù)的極值點是否合理,即是否在定義域內(nèi)。
3. 算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)之間的關(guān)系:通過基本不等式可以證明,當兩個數(shù)的和固定時,它們的平均數(shù)越大,它們的幾何平均數(shù)就越小。
總的來說,基本不等式是高中數(shù)學不可缺少的一部分,不僅在考試中占有重要地位,而且還具有很重要的理論意義。希望本文對初學者掌握基本不等式有所幫助。
不等式的課件 篇10
教學目標:
1.一元一次不等式與一次函數(shù)的關(guān)系.
2.會根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式,畫出函數(shù)圖象,并利用不等關(guān)系進行比較.
1.通過一元一次不等式與一次函數(shù)的圖象之間的結(jié)合,培養(yǎng)學生的數(shù)形結(jié)合意識.
2.訓練大家能利用數(shù)學知識去解決實際問題的能力.
體驗數(shù)、圖形是有效地描述現(xiàn)實世界的重要手段,認識到數(shù)學是解決問題和進行交流的重要工具,了解數(shù)學對促進社會進步和發(fā)展人類理性精神的作用.
自己根據(jù)題意列函數(shù)關(guān)系式,并能把函數(shù)關(guān)系式與一元一次不等式聯(lián)系起來作答.
1.張大爺買了一個手機,想辦理一張電話卡,開米廣場移動通訊公司業(yè)務(wù)員對張大爺介紹說:移動通訊公司開設(shè)了兩種有關(guān)神州行的通訊業(yè)務(wù):甲類使用者先繳15元基礎(chǔ)費,然后每通話1分鐘付話費0.2元;乙類不交月基礎(chǔ)費,每通話1分鐘付話費0.3元。你能幫幫張大爺選擇一種電話卡嗎?
2.展示學習目標:
(1)、理解一次函數(shù)圖象與一元一次不等式的關(guān)系。
(2)、能夠用圖像法解一元一次不等式。
(3)、理解兩種方法的關(guān)系,會選擇適當?shù)姆椒ń庖辉淮尾坏仁健?/p>
積極思考,嘗試回答問題,導出本節(jié)課題。
閱讀學習目標,明確探究方向。
問題1:結(jié)合函數(shù)y=2x-5的圖象,觀察圖象回答下列問題:
問題2:如果y=-2x-5,那么當x取何值時,y>0?當x取何值時,y
巡回每個小組之間,鼓勵學生用不同方法進行嘗試,尋找最佳方案。答疑展示中存在的問題。
問題3.兄弟倆賽跑,哥哥先讓弟弟跑9m,然后自己才開始跑,已知弟弟每秒跑3m,哥哥每秒跑4m,列出函數(shù)關(guān)系式,畫出函數(shù)圖象,觀察圖象回答下列問題:
(1)何時哥哥分追上弟弟?
(2)何時弟弟跑在哥哥前面?
(3)何時哥哥跑在弟弟前面?
(4)誰先跑過20m?誰先跑過100m?
你是怎樣求解的?與同伴交流。
問題4:已知y1=-x+3,y2=3x-4,當x取何值時,y1>y2?你是怎樣做的?與同伴交流.
讓學生體會數(shù)形結(jié)合的魅力所在。理解函數(shù)和不等式的聯(lián)系。
移動通訊公司開設(shè)了兩種長途通訊業(yè)務(wù):全球通使用者先繳50元基礎(chǔ)費,然后每通話1分鐘付話費0.4元;神州行不交月基礎(chǔ)費,每通話1分鐘付話費0.6元。若設(shè)一個月內(nèi)通話x分鐘,兩種通訊方式的費用分別為y1元和y2元,那么
(1)寫出y1、y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)在同一直角坐標系中畫出兩函數(shù)的圖象;
(3)求出或?qū)で蟪鲆粋€月內(nèi)通話多少分鐘,兩種通訊方式費用相同;
(4)若某人預(yù)計一個月內(nèi)使用話費200元,應(yīng)選擇哪種通訊方式較合算?
在共同探究的過程中加強理解,體會數(shù)學在生活中的重大應(yīng)用,進行能力提升。
積極完成導學案上的檢測內(nèi)容,相互點評。
學生回顧總結(jié)學習收獲,交流學習心得。
教材P51.習題2.6知識技能1;問題解決2,3.
一、學習與探究:
1.一元一次不等式與一次函數(shù)之間的關(guān)系;
2.做一做(根據(jù)函數(shù)圖象求不等式);
四、課后作業(yè):
等式課件
幼兒教師教育網(wǎng)編輯為大家整理的“等式課件”或許能幫助您解決一些疑惑。教案課件是每個老師在開學前需要準備的東西,每個人都要計劃自己的教案課件了。?設(shè)計有創(chuàng)意的教學課件可以增加學生的學習趣味。我們提供的樣本僅供參考具體操作請根據(jù)實際情況做出調(diào)整!
等式課件 篇1
【教材分析】
在新課程改革中,教材是重要的教育教學因素。等式的基本性質(zhì)是學生解方程的依據(jù),它是系統(tǒng)學習方程的開始。這節(jié)課的內(nèi)容在簡易方程中就起到了承上啟下的作用。原來的教材中對于等式的基本性質(zhì)只是初步的認識,并沒有總結(jié)成概念性的東西,但學生實際運用時卻需要概念來作支撐,所以在教材中作了調(diào)整,讓學生通過觀察天平演示實驗,由具體實物之間的平衡關(guān)系抽象概括出等式的兩個基本性質(zhì)就成了本節(jié)課的教學重點。本課“等式的基本性質(zhì)”是在上一節(jié)剛剛認識了等式和方程的基礎(chǔ)上進行教學的。,其核心思想是構(gòu)建等量關(guān)系的數(shù)學模型。課程標準要求學生能“理解等式的性質(zhì),會利用等式的性質(zhì)解簡單的方程”。
【教學目標】
1.通過天平演示保持平衡的幾種變換情況,初步認識等式的基本性質(zhì)。
2.利用觀察天平保持平衡所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律,能直接判斷天平發(fā)生變化后能否保持平衡。
3.逐步養(yǎng)成觀察與概括。比較與分析的能力。
【教學重點】
掌握等式的基本性質(zhì)。
【教學難點】
理解并掌握等式的性質(zhì),能根據(jù)具體情境列出相應(yīng)的方程。
【數(shù)學思想】
轉(zhuǎn)化的思想,數(shù)形結(jié)合的思想,符號化的思想
【教學過程】
一。創(chuàng)設(shè)情境,引出問題
教師活動
學生活動及達成目標
師:同學們,你們做過天平游戲嗎?這節(jié)課我們要利用天平一起來探索等式的性質(zhì)。(板書課題:等式的性質(zhì))
達成目標:由熟悉的天平引出課題激發(fā)學生的興趣。
二。共同探索,總結(jié)方法
教師活動
學生活動及達成目標
(一)等式的基本性質(zhì)一
1.出示教材第64頁情境圖1第一個天平圖。
讓學生仔細觀察圖,并說一說:通過圖你知道了什么?
教師小結(jié):1個茶壺的重量=2個茶杯的重量。
追問:如果設(shè)一個茶壺的重量是a克,1個茶杯的重量是b克,能用式子表示嗎?
(師板書)
引導學生思考:如果在天平的兩邊同時再各放上一個茶杯,天平會發(fā)生什么變化呢?為什么?
教師先進行實際操作天平驗證,再演示這一過程,并明確:兩邊仍然相等。
提問:如果兩邊各放上2個茶杯,還保持平衡嗎?
兩邊各放同樣的一把茶壺呢?
2.出示教材第64頁圖2的第一個天平圖。
(1)如果用a表示一個花盆的重量,用b表示一個花瓶的重量,怎樣用等式來表示這幅圖呢?
(2)如果把兩邊都拿掉1個花瓶,天平還平衡嗎?讓學生嘗試用等式怎樣表示?
從圖上你能知道什么?(出示教材第64頁圖2第二個天平圖)
3.通過這幾個實驗,你發(fā)現(xiàn)了什么?
4.你能用一句話來表示你的發(fā)現(xiàn)嗎?
(二)等式的基本性質(zhì)二
1.猜猜:除了向前面這樣的變化,天平仍保持平衡外,還可以怎么做能使天平保持平衡?
這時教師一定要及時強調(diào):這都是把等式的兩邊加上或減去同一個數(shù),并提示學生如果把等式的兩邊同時乘或除以一個相同的數(shù)(O除外),會怎么樣呢?
2.出示教材第65頁圖1的第一個天平圖,讓學生觀察并說明。
引導學生用a表示墨水的重量,用b表示鉛筆盒的重量,用式子怎樣表示?
猜一猜:左邊墨水的數(shù)量擴大到原來的2倍,右邊鉛筆盒的數(shù)量也擴大到原來的2倍,天平還保持平衡嗎?
如果把天平的兩邊物品的數(shù)量分別擴大到原來的。3倍。4倍呢?
3.出示教材第65頁圖2的第一個天平圖,讓學生觀察并說明知道了什么。
質(zhì)疑:如果把兩邊的球都平均分成2份,各去掉一份,天平還能平衡嗎?
教師演示。
4.通過剛才的試驗,你發(fā)現(xiàn)了什么?
5.你能用一句話總結(jié)一下等式的這個性質(zhì)嗎?
6.為什么等式兩邊不能除以O(shè)?
1.自主回答,學生可能會回答:天平的左邊放了一把茶壺,右邊放了兩個茶杯,天平保持平衡;這說明一個茶壺的重量與2個茶杯的重量相等。
嘗試寫出:a=2b
先猜一猜,學生可能會猜測出天平仍然平衡,因為兩邊加上的重量一樣多。
觀察小結(jié):實驗證明1個茶壺+1個茶杯的質(zhì)量=3個茶杯的質(zhì)量。
同時學生嘗試用字母表示這個式子:a+b=2b+b
學生回答后,教師演示,并讓學生分別用式子表示:a+2b=2b+2ba+a=2b+a
觀察現(xiàn)在的天平是什么樣的?(平衡)
生嘗試寫出:a+b=4b
先猜一猜,再回答,平衡:a+b-b=4b-b
得出1個花盆和3個花瓶同樣重。
3.學生思考后小結(jié):平衡的天平兩邊加上同樣的物品,天平還保持平衡。平衡的天平兩邊減去同樣的物品,天平還保持平衡。
4.學生歸納等式的性質(zhì)1:等式兩邊加上或減去同一個數(shù),左右兩邊仍然相等。
達成目標:通過演示在天平的兩邊同時放上或拿走同樣的物品,天平仍然平衡。給學生思考。感悟天平保持平衡的變化規(guī)律,提供了直觀的觀察材料。從而得出天平平衡的原理,即等式的一條基本性質(zhì):等式兩邊加上或減去相等的數(shù),等式不變。
1.如:學生猜測天平的兩邊同時放2個。3個杯子;同時減去一把茶壺等。
2.學生觀察并說明:
一瓶墨水的重量=一盒鉛筆盒的重量
寫出等式:a=b。
學生猜測平衡后,教師進行實際天平操作,驗證學生的猜測。
學生用等式表示:2a=2b。
天平仍然保持平衡
3.學生觀察得出:
2個排球的質(zhì)量=6個皮球的質(zhì)量
有了前面的經(jīng)驗學生用a表示排球的重量,用6表示皮球的重量,寫出等式:2a=6b。
學生猜測:平衡,并能用等式a=3b表示。
4.學生會發(fā)現(xiàn):平衡的天平兩邊的物品擴大到原來的相同倍數(shù),天平仍然平衡。平衡的天平兩邊的物品都縮小到原來的幾分之一,天平仍然平衡。
5.學生歸納小結(jié):等式兩邊乘同一個數(shù),或除以同一個不為0的數(shù),左右兩邊仍然相等。
達成目標:等式基本性質(zhì)2的推導在性質(zhì)1的基礎(chǔ)上,讓學生自己通過實驗探究,運用知識的遷移得出,這樣培養(yǎng)了學生的邏輯思維能力,抽象概括能力和口頭表達能力。
6.學生交流,匯報:O不能做除數(shù)。
三。運用方法,解決問題
教師活動
學生活動及達成目標
出示教材第66頁練習十四第4.5題。
學生試做集體訂正,注意學生列式計算時的取值是否正確。
四。反饋鞏固,分層練習
教師活動
學生活動及達成目標
基礎(chǔ)練習:利用等式的性質(zhì)填空
1.如果2x-5=9,那么2x=9+()
2.如果5=10+x,那么5x-()=10
3.如果3x=7,那么6x=()
4.如果5x=15,那么x=()
拓展練習:見課件
讓學生回憶等式的性質(zhì),再自主完成填空。
達成目標:等式的基本性質(zhì)一是簡易方程部分重要的概念,不僅要理解,而且還要會應(yīng)用。
五。課堂總結(jié),提升認識
教師活動
學生活動及達成目標
這節(jié)課你運用了哪些,你有什么收獲?你對自己這堂課的表現(xiàn)是怎么評價的?
學生總結(jié)本節(jié)課的收獲,在梳理總結(jié)過程中提高學生對性質(zhì)的認識和理解。
等式課件 篇2
教學內(nèi)容:教科書第3~4頁的內(nèi)容,練習一的4~6題。
教學目標:
1、通過學習,使學生知道等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù),所得的結(jié)果仍然是等式。
2、根據(jù)等式的性質(zhì)(一)學會解決含有加、減號的方程。
3、有意識地培養(yǎng)學生的自學能力。
教學過程:
一、教學例3
出示圖,學生根據(jù)圖獨立填空。
根據(jù)學生的回答,板書:
20=20xx+10=20+10
X=50X+20=50+20
50+a=50+a50+a-a=50+a-a
X+20=70X+20-20=70-20
提問:比較兩邊的算式,你有什么發(fā)現(xiàn),在小組里說說。
全班交流,引導學生說出:等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù),所得的結(jié)果仍然
是等式。這是等式的性質(zhì)。
獨立完成練一練第1題
二、教學例4
學生自學,不懂的問題和同組同學交流,能解決的就小組內(nèi)交流。
全班交流:例4中還有什么不懂的地方提出來,能由學生解決的就由學生解決,
學生解決不了的教師解決。
一是方法:根據(jù)等式的性質(zhì)把含有未知數(shù)的這邊化簡成就含有一個未知數(shù)。
二是檢驗:把計算的結(jié)果代到原式,看左右兩邊是否相等。
三強調(diào)書寫的格式。
小結(jié):求方程中未知數(shù)值的過程,叫做解方程。
完成試一試練一練的第2題。
學生獨立完成后集體訂正,重點幫助有困難的學生,針對學生出錯的地方及時分
析錯誤原因,幫助他們弄懂。
三、課堂作業(yè)
練習一的第4、5、6題。
第4、6題做在書上,第5題寫在作業(yè)本上。
板書:
等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù),所得的結(jié)果仍然是等式。
這時等式的性質(zhì)。
X+10=50
解:X+10-10=50-10
X=40
教后小記
等式課件 篇3
《不等式及其基本性質(zhì)》習題
【教學內(nèi)容】
課本上不等式的五個基本性質(zhì),并學會應(yīng)用.【教學目標】
1、掌握不等式的五個基本性質(zhì)并且能正確應(yīng)用.
2、經(jīng)歷探究不等式基本性質(zhì)的過程,體會不等式與等式的異同點,發(fā)展學生分析問題和解決問題的能力.
3、開展研究性學習,使學生初步體會學習不等式基本性質(zhì)的價值.
【重點難點】
重點:理解不等式的五個基本性質(zhì).難點:對不等式的基本性質(zhì)3的認識.【教學方法】
本節(jié)課采用“類比-實驗-交流”的教學方法.【教學過程】
一、回顧交流.
1、等式的基本性質(zhì) 解一元一次方程的基本步驟
2、問題牽引:
用“﹥”或“﹤”填空,并總結(jié)其中的規(guī)律:
(1)5>3,5+2
3+2,5-2 3-2 ;
(2)–1
-1+2 3+2,-1-3 3-3 ;
結(jié)果:
(1)>、>(2)
當不等式兩邊加或減去同一個數(shù)(正數(shù)或負數(shù))時,不等號的方向______
3、繼續(xù)探究,接著又出示(3)、(4)題: 5 2×5,6×(3)6>2,6×(-5)
2×(-5),6 3×6,(4)2
3×(-6).得到:
當不等式的兩邊同乘以一個正數(shù)時,不等號的方向不變; 當不等式的兩邊同乘以一個負數(shù)時,不等號的方向改變.總結(jié)出不等式的性質(zhì): 不等式的性質(zhì)1:不等式的兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子),不等號的方向不變.c
> b±c 字母表示為:如果a>b,那么a±不等式的性質(zhì)2:不等式的兩邊乘(或除以)同一個正數(shù),不等號的方向不變.字母表示為:如果a>b,c>0那么ac
> bc,不等式的性質(zhì)3:不等式的兩邊乘(或除以)同一個負數(shù),不等號的方向改變.字母表示為:如果a>b,c<0那么ac
不等式的對稱性:如果a>b,那么bb,b>c,那么a>c
二、范例學習,應(yīng)用所學.
1、利用不等式的性質(zhì)解下列不等式. (1)x-7>26
(2)3x
(4)-4x﹥3
22、逐題分析得出結(jié)果.(1)x-7>26 分析:解未知數(shù)為x的不等式,就是要使不等式逐步化為x﹥a或x﹤a的形式.
解:(1)為了使不等式x-7>26中不等號的一邊變?yōu)閤,根據(jù)不等式的性質(zhì)1,不等式兩邊都加7,不等號的方向不變,得 x-7+7﹥26+7 x﹥33(2)3x
為了使不等式3x
23不等號的方向不變,得 x﹥75(4)-4x﹥3
為了使不等式-4x﹥3中的不等號的一邊變?yōu)閤,根據(jù)不等式的性質(zhì)3,不等式兩邊都除以-4,不等號的方向改變,得x
3 4通過(3)(4)的求解過程,類似于解方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)(未知數(shù)系數(shù)化為1),解不等式時要注意未知數(shù)系數(shù)的正負,以決定是否改變不等號的方向.三、課堂探究.
已知a
四、課堂小結(jié)提問.不等式性質(zhì)的作用.
等式課件 篇4
尊敬的各位老師,下午好!
我叫孫有璽,來自音河中學。很高興能把《不等式的性質(zhì)(1)》一課的教學和大家一起探討。下面我將從學生狀況、教學任務(wù)、教學過程、設(shè)計說明等四個方面加以分析。
一、學生狀況分析:
七年級下期的學生活潑好動,有一定合作探究意識,在知識方面已經(jīng)學習了有理數(shù)大小比較,等式及基本性質(zhì)。這些都為自主探究不等式的性質(zhì)打下了良好的基礎(chǔ)。
二、教學任務(wù)分析:
(一)教材地位與作用:
不等式是初中代數(shù)的重要內(nèi)容之一,是已知量與未知量的矛盾統(tǒng)一體。數(shù)學關(guān)系中的相等與不等是事物運動和平衡的反映,學習研究數(shù)量的不等關(guān)系,可以更好地認識和掌握事物運動變化的規(guī)律?!安坏仁降男再|(zhì)”是學生學習整個不等式知識的理論基礎(chǔ),為以后學習解不等式(組)起到奠基的作用。
(二)教學目標:
知識目標:
探索不等式的基本性質(zhì),并能準確運用不等式的三條性質(zhì)將不等式變形。
能力目標:
讓學生學會類比的思想對等式性質(zhì)及不等式性質(zhì)進行了比較,培養(yǎng)學生的觀察、分析、歸納的能力。
情感目標:
通過“等”與“不等”的比較使學生進一步領(lǐng)會對立統(tǒng)一的思想,培養(yǎng)學生辨證唯物主義的觀點。
(三)教學重點、難點:
不等式的性質(zhì)是本節(jié)不等式變形的基礎(chǔ),也是今后解不等式(組)的依據(jù),所以掌握不等式的基本性質(zhì),并能正確運用它們將不等式變形是本節(jié)課的重點。
不等式的兩邊同乘以(或除以)負數(shù),不等號方向改變和等式的性質(zhì)不同,學生學習起來比較困難,因此,不等式性質(zhì)3的理解與正確使用是本節(jié)課的難點。讓學生自己動口、動手、動腦,進行比較、討論,并加以強化練習達到突破的目的。
(四)教學方法與學法的指導:
本節(jié)課屬于性質(zhì)類知識,重在探索,意在應(yīng)用。因此,我采用啟發(fā)誘導、實例探究的方法進行教學,這種教學方法以“主動探索”為基礎(chǔ),先“引導發(fā)現(xiàn)”后“講評點撥”,讓學生在克服困難與障礙的過程中發(fā)展自己的觀察力、想象力、思維力。引導學生學會類比、歸納的學習方法,幫助他們在自主探究過程中理解和掌握不等式的性質(zhì)。
三、教學過程
(一)復習提問、引入新課
為了使學生自己能在教師的指導下,自主探究問題,發(fā)現(xiàn)問題,獲得結(jié)論。而不是把現(xiàn)成的結(jié)論告訴學生。對于不等式性質(zhì)的發(fā)現(xiàn),我采用了下面的作法,我首先帶領(lǐng)學生復習等式的性質(zhì)
等式性質(zhì)1等式兩邊加(或減)同一個數(shù)或式子,結(jié)果仍相等。
等式性質(zhì)2等式兩邊乘同一個數(shù),或除以同一個不為零的數(shù),結(jié)果仍相等。
(二)合作交流、探究新知
在復習等式性質(zhì)后,教師提出不等式是否也有類似的性質(zhì)呢?先引導學生對不等式的兩邊都加、減同一個數(shù),會發(fā)現(xiàn)什么呢?學生通過思考和計算后會說出不等式兩邊都加、減同一個數(shù),“仍是不等式”。此時,教師抓住學生敘述中的問題予以糾正,不能籠統(tǒng)的說“仍是不等式”,因為“=”沒有方向性,而不等號有方向性,所以要改為“不等號的方向不變”。接著,讓學生不等式作兩邊都乘以或除以同一個數(shù)的變形,會發(fā)現(xiàn)什么呢?學生通過計算和討論,甚至會發(fā)生爭執(zhí),教師要深入學生,通過共同探討,學生會發(fā)現(xiàn)不等式兩邊都乘以或除以正數(shù),不等號方向不變,兩邊都乘以或除以負數(shù),不等號方向改變。最后由學生歸納出不等式的`性質(zhì)2和性質(zhì)3。
我這樣安排的目的是為了讓學生通過動手、動口、動腦發(fā)揮合作精神,學會運用類比、歸納的數(shù)學思想去探究問題,同時學生也會品嘗到成功的喜悅,從而提高他們學習數(shù)學的興趣。
(三)靈活運用、鞏固練習
為使學生能夠準確運用性質(zhì)將不等式變形,也為例題的教學做一些鋪墊,我先設(shè)置了兩組搶答題:
搶答:看誰答的快又準
1·設(shè)m>n,用“<”或“>”填空:
(1)m—5___n—5
(2)m+4___n+4
(3)6m___6n(4)
—5m___—5n
2·判斷:
(1)∵3+x>3+y,∴x>y()
(2)∵3>2,∴n+3>2+n()
(3)∵a<b,∴2a+1<2b+1()
(4)∵—2a<6,∴x>—3()
在學生練習過程中,老師特別強調(diào):當不等式兩邊同乘以或除以負數(shù)時,“不等號的方向改變”。
接著,給出例題:
例1·利用不等式的性質(zhì)解下列不等式,并在數(shù)軸上表示解集:
(1)x+7>10
(2)3x>2x+1
(3)—10x>50
(4)—4x
例2·根據(jù)下列已知條件,說出a與b的不等關(guān)系:
(1)a—3>b—3
(2)—a>—b
(3)—2a+1
例1由學生分組討論,寫出解題過程,老師展示幾個同學的解答并給予講解。對于例2我采用先引導學生分析解題思路,再讓學生口述解題過程,并說明根據(jù)不等式的哪一條性質(zhì),由師生共同完成。
為了解學生能否獨立運用性質(zhì)將練習三,安排學生演板:
3·利用不等式的性質(zhì)解不等式。
(1)—3x>12
(2)3x—4
請兩位學生演板,其余學生獨立完成,并對學生演板的結(jié)果作出評價,教師深入小組,發(fā)現(xiàn)問題及時糾正,通過學生的互相評價找出應(yīng)用不等式基本性質(zhì)進行變形中出現(xiàn)的錯誤,以防患于未然。
以上練習完成之后,學生已能準確運用不等式的性質(zhì),將不等式變形,為培養(yǎng)學生的解題能力,讓學生更深層地理解不等式的基本性質(zhì),在此基礎(chǔ)上我又作出了一些引申和推廣。
4·判斷正誤,并說明理由。
(1)∵5>4,∴5a>4a
(2)不等式2x>5x的兩邊同除以x,得2>5
(3)若ac2>bc2,則a>b
第4題設(shè)計說明,當不等式兩邊同乘或除以一個字母,而字母的取值不明確時,需對字母分情況討論。
〔四〕歸納小結(jié)、整體把握
為幫助學生從整體把握本節(jié)課所學的知識,培養(yǎng)良好的學習習慣,讓學生自己對本節(jié)課所學知識以及用到的解決問題的方法進行小結(jié)。方法是:由學生四人一組互談本節(jié)課的收獲,總結(jié)解題方法,并說明解題過程中應(yīng)該注意的問題,然后請一位同學小結(jié),其他學生補充,達到鞏固知識的目的。
教學設(shè)計說明
學生的學習內(nèi)容應(yīng)該是現(xiàn)實的、有趣的和富有挑戰(zhàn)性的,而老師則應(yīng)該創(chuàng)造一個有利于學生主動求知的學習環(huán)境。因此,本節(jié)課把培養(yǎng)學生的學習興趣和思維能力放在首位。教學中采用合作學習的方式,互相交流,集思廣益,突破創(chuàng)新,以達到共同提高的目的。然后,通過多樣化的練習鞏固知識,既調(diào)動學生的積極性,又使學習伙伴之間進行了思維的碰撞和溝通。使其在輕松的氛圍中多層次、多角度地掌握“不等式的性質(zhì)”。
本節(jié)課的設(shè)計體現(xiàn)了一個原則:低起點、多練習、勤反饋、快矯正、重能力、以求最大限度提高課堂效率。
等式課件 篇5
均值不等式
教學目標
(一) 知識與技能:明確均值不等式及其使用條件,能用均值不等式解決簡單的最值問題.
(二) 過程與方法:通過對問題主動探究,實現(xiàn)定理的發(fā)現(xiàn),體驗知識與規(guī)律的形成過程.
(三) 情感態(tài)度與價值觀:通過問題的解決以及自身的探索研究領(lǐng)略獲取新知的喜悅.教學重點:均值不等式的推導與證明,均值不等式的應(yīng)用.教學難點:均值不等式的應(yīng)用 教學過程
創(chuàng)設(shè)情境如圖,AB是圓的直徑,D是CAB上與A、B不重合的一點,AD=a,DB=b,過點D作垂直于AB的弦CD,連AC,BC,AaODbB則CD=__,半徑OC=____E 討論 :(1)CD OC (2)文字敘述(幾何意義): (3)試用含a、b的表達式來表示上述關(guān)系 注意:(1)當 時, (2)a、b的取值范圍
探求新知:均值不等式的內(nèi)容及證明
均值定理:
證明:(比較作差法)
變形應(yīng)用:(1)
(2)
討論釋疑:
牛刀小試:已知x?0,則x?1x? 例
1、已知ab?0,求證:baa?b?2并推導出式中等號成立的條件
例
2、求函數(shù)f(x)?x2?2x?3x(x?0)的最值,以及此時x的值
精煉鞏固:
?t2 1.設(shè)t?0,則函數(shù)f(t)?4t?1的最小值為此時t的值
4 2.已知正數(shù)a,b滿足a?b?1,則ab有最值為
點撥提高:
總結(jié)本節(jié)課的你的收獲。
課堂小測:
1 .已知正數(shù)a,b滿足a?b?1,則1a?1b有最值為。 2 .設(shè)x?3,則函數(shù)f(x)?(x?3)?2x?3的最小值為此時x的值3.已知a、b?R?,求證:(a?11a)(b?b)?4
課堂小測:
1 .已知正數(shù)a,b滿足a?b?1,則1a?1b有最值為。 2 .設(shè)x?3,則函數(shù)f(x)?(x?3)?2x?3的最小值為此時x的值3.已知a、b?R?,求證:(a?11a)(b?b)?4
課堂小測:
1
.已知正數(shù)a,b滿足a?b?1,則1a?1b有最值為。 2 .設(shè)x?3,則函數(shù)f(x)?(x?3)?2x?3的最小值為此時x的值3.已知a、b?R?,求證:(a?11a)(b?b)?4
課堂小測:
1
.已知正數(shù)a,b滿足a?b?1,則1a?1b有最值為。 2 .設(shè)x?3,則函數(shù)f(x)?(x?3)?2x?3的最小值為此時x的值3.已知a、b?R?,求證:(a?11a)(b?b)?4
不等式基本性質(zhì)教學設(shè)計
《等式的性質(zhì)》教學設(shè)計
《等式的性質(zhì)》教學設(shè)計
等式性質(zhì)教學設(shè)計(共8篇)
基本不等式教學設(shè)計
等式課件 篇6
教學內(nèi)容:教科書第3~4頁的內(nèi)容,練習一的4~6題。
教學目標:1、通過學習,使學生知道等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù),所得的結(jié)果仍然是等式。
2、有意識地培養(yǎng)學生的自學能力。
教學重點與難點:根據(jù)等式的性質(zhì)(一)學會解決含有加、減號的方程。
教學流程:
一、教學例3
出示圖,學生根據(jù)圖獨立填空。
根據(jù)學生的回答,板書:
20=20xx+10=20+10
X=50X+20=50+20
50+a=50+a50+a-a=50+a-a
X+20=70X+20-20=70-20
提問:比較兩邊的算式,你有什么發(fā)現(xiàn),在小組里說說。
全班交流,引導學生說出:等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù),所得的結(jié)果仍然
是等式。這是等式的性質(zhì)。
獨立完成練一練第1題
二、教學例4
學生自學,不懂的問題和同組同學交流,能解決的就小組內(nèi)交流。
全班交流:例4中還有什么不懂的地方提出來,能由學生解決的就由學生解決,學生解決不了的教師解決。
一是方法:根據(jù)等式的性質(zhì)把含有未知數(shù)的這邊化簡成就含有一個未知數(shù)。
二是檢驗:把計算的結(jié)果代到原式,看左右兩邊是否相等。
三強調(diào)書寫的格式。
小結(jié):求方程中未知數(shù)值的過程,叫做解方程。
完成試一試練一練的第2題。
學生獨立完成后集體訂正,重點幫助有困難的學生,針對學生出錯的地方及時分
析錯誤原因,幫助他們弄懂。
三、課堂作業(yè)
練習一的第5題。
板書:
等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù),所得的結(jié)果仍然是等式。
這時等式的性質(zhì)。
X+10=50
解:X+10-10=50-10
X=40
等式課件 篇7
1、具體情境,感受天平平衡
通過課件展示情境圖引導學生小結(jié)出等式并用字母表示。
2、猜想假設(shè)、小結(jié)規(guī)律
先讓學生猜想然后再通過課件在天平上演示過程。驗證學生的猜想,用字母表示。引導學生小結(jié)出:等式兩邊同時加上同一個數(shù),左右兩邊仍然相等。
3、觀察思考、總結(jié)發(fā)現(xiàn)
通過課件對教材第64頁圖2的演示過程讓學生獨立思考,再通過小組合作討論總結(jié)出發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。等式的性質(zhì)1:等式兩邊加上或減去同一個數(shù),左右兩邊仍然相等。
4、假設(shè)數(shù)據(jù)、驗證規(guī)律
得到結(jié)論后通過假設(shè)物體的具體的數(shù)據(jù)驗證學生自己總結(jié)出的規(guī)律。
5、口算練習、應(yīng)用規(guī)律
通過一些簡單的等式問答應(yīng)用等式兩邊同加或同減相同的數(shù)以加強規(guī)律的應(yīng)用。
6、設(shè)疑思考
提出問題讓學生思考還有沒有其他的運算也能使等式左右兩邊相等。留給學生思維的空間,再通過課件引導學生一步步總結(jié)出等式的性質(zhì)2:等式兩邊乘同一個數(shù),或除以同一個不為0的數(shù),左右兩邊仍然相等。
等式課件 篇8
1、創(chuàng)設(shè)情景,引發(fā)認知沖突
以前學生解方程習慣用加減法、乘除法互為逆運算的方式解方程,這樣的思路只適宜解比較簡單的方程,例如:x+3=5、3x=-12等,簡單的一元一次方程的解用估算的方法或逆運算的方式我們都可以求出方程的解;而象19+28x=33x-1這樣比較復雜的方程我們用上述方法還能求出它的解嗎?我利用學生認知上的沖突引入新課。這樣既激發(fā)了學生的學習興趣又明確了本節(jié)課的教學目的。為等式性質(zhì)的構(gòu)建做好鋪墊。
2、實驗探索,從特殊到一般
等式性質(zhì)的呈現(xiàn)屬于實驗探究型課,目的是要學生在活動中體驗等量的變化關(guān)系和等式的性質(zhì)。這里我分段逐步呈現(xiàn)等式的特性。首先出示平衡天平的圖形,給學生一個天平平衡的印象,引導學生用字母構(gòu)建一個等式,接著在上一個平衡天平的基礎(chǔ)上,兩側(cè)同放一個三角形的符號表示物體的重量,讓學生觀察這時出現(xiàn)什么現(xiàn)象,同時提出問題:怎樣做,兩邊才會保持平衡?通過學生實驗得出使天平兩邊平衡的方法,并用字母式子表示實驗的過程,再通過歸納,概括出對象的共同屬性加以表述,接著通過幾個練習加以鞏固,然后借助上一個實驗的經(jīng)驗和方法,進一步指導學生完成天平兩邊成倍變化的實驗,最后根據(jù)實驗情況觀察歸納結(jié)論。同時注意在總結(jié)時先讓學生根據(jù)實驗,把自己所得到的結(jié)論敘述出來,然后教師再對學生的結(jié)論給予概括得到等式的性質(zhì)。
上述講授等式的性質(zhì)用的是觀察實驗法,實驗觀察是科學研究的一種基本的方法,它是根據(jù)客觀事物和現(xiàn)象找出它具有的客觀規(guī)律,有助于發(fā)現(xiàn)一些數(shù)學事實,抽象出對象的屬性,再通過歸納,概括出對象的共同屬性加以表述。同時也體現(xiàn)了由特殊到一般的思維認知規(guī)律。
3、強化概念,指導學生嘗試
關(guān)于等式概念、等式與方程的聯(lián)系的引出,教法上采用充分利用學生已有的知識、練習回顧、交流的方式。等式的性質(zhì)的教學,采用師生共同觀察實驗,讓學生通過對直觀圖形的觀察、實驗和猜想,自已發(fā)現(xiàn)結(jié)論,并用總結(jié)的形式表述結(jié)論。等式性質(zhì)的理解和掌握關(guān)鍵在于應(yīng)用,只有通過大量練習來鞏固和提高,練習的速度越快正確越高,說明知識理解和掌握的越好。因此在教學中得到等式性質(zhì)后,就用三組嘗試練習加強鞏固和提高,這樣既調(diào)動了學生學習的趣味性和主動性,增強了學生積極參與教學活動的意識,又很好地培養(yǎng)了學生的動手操作能力、觀察能力、邏輯思維能力和總結(jié)歸納能力,同時,也向?qū)W生滲透了實踐——認識——再實踐——再認識的一種學習方法,使新舊知識技能得到了有機的結(jié)合。
等式課件 篇9
教學內(nèi)容:教科書第3~4頁的內(nèi)容,練習一的4~6題。
教學目標:1、通過學習,使學生知道等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù),所得的結(jié)果仍然是等式。
2、根據(jù)等式的性質(zhì)(一)學會解決含有加、減號的方程。
3、有意識地培養(yǎng)學生的自學能力。
教學過程:
一、教學例3
出示圖,學生根據(jù)圖獨立填空。
根據(jù)學生的回答,板書:
20=2020+10=20+10
X=50X+20=50+20
50+a=50+a50+a-a=50+a-a
X+20=70X+20-20=70-20
提問:比較兩邊的算式,你有什么發(fā)現(xiàn),在小組里說說。
全班交流,引導學生說出:等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù),所得的結(jié)果仍然
是等式。這是等式的性質(zhì)。
獨立完成練一練第1題
二、教學例4
學生自學,不懂的問題和同組同學交流,能解決的就小組內(nèi)交流。
全班交流:例4中還有什么不懂的地方提出來,能由學生解決的就由學生解決,
學生解決不了的教師解決。
一是方法:根據(jù)等式的性質(zhì)把含有未知數(shù)的這邊化簡成就含有一個未知數(shù)。
二是檢驗:把計算的結(jié)果代到原式,看左右兩邊是否相等。
三強調(diào)書寫的格式。
小結(jié):求方程中未知數(shù)值的過程,叫做解方程。
完成試一試練一練的第2題。
學生獨立完成后集體訂正,重點幫助有困難的學生,針對學生出錯的地方及時分
析錯誤原因,幫助他們弄懂。
三、課堂作業(yè)
練習一的第4、5、6題。
第4、6題做在書上,第5題寫在作業(yè)本上。
等式課件 篇10
一、學情分析:作為初一學生(132班和137班)在小學時已經(jīng)對等量關(guān)系和等式的性質(zhì)有所了解,通過本節(jié)課的學習,目的是要使學生從天平的特點中歸納得出等式的性質(zhì)。
新課標對本節(jié)課的要求是:掌握等式的性質(zhì)。在前面一節(jié)課的學習中,學生掌握了一元一次方程的概念和初步應(yīng)用后,需要解決的是一元一次方程的解法。本節(jié)內(nèi)容借助于等式的性質(zhì)這一工具來解一元一次方程。首先,通過天平的實驗操作,使學生學會觀察。嘗試分析歸納等式的性質(zhì)。然后,利用等式的性質(zhì)解一元一次方程。通過解方程的學習提高學生的觀察問題、解決問題的能力。
2、教育教學目標。
根據(jù)以上對教材的理解與內(nèi)容分析,考慮到學生已有的知識結(jié)構(gòu)和心理特征,制定如下教學目標:
(1)知識與技能:探究等式的性質(zhì),并能利用等式的性質(zhì)進行等式變形、解簡單的一元一次方程。
(2)過程與方法:通過實驗培養(yǎng)學生探索能力、觀察能力,歸納能力和應(yīng)用新知識的能力。
(3)情感態(tài)度價值觀:積極參與數(shù)學活動,體驗探索等式性質(zhì)過程的挑戰(zhàn)性和數(shù)學結(jié)論的確定性,建立學生學好數(shù)學的信心。
為了使學生能比較順利地達到教學目標,我確定了本節(jié)課的教學重、難點:
教學重點:探究等式的性質(zhì),能根據(jù)等式性質(zhì)進行等式變形、解簡單的一元一次方程。
教學難點:利用等式的性質(zhì)把簡單的一元一次方程變形為x=a(常數(shù))的形式;正確理解等式性質(zhì)2中除數(shù)不能為0。
(一)教學手段:如何突出重點、突破難點,從而實現(xiàn)教學目標,我在教學過程中利用多媒體演示擬計劃進行如下操作:
1、讀(看)――議――講結(jié)合法。
2、圖表分析法。
3、讀圖討論法。
4、教學過程中堅持啟發(fā)式教學的`原則。
堅持“以學生為主體,以教師為主導”的原則。即“以學生活動為主導,教師講述為輔,學生活動在前,教師點撥評價在后”的原則。根據(jù)初一學生的心理發(fā)展規(guī)律。聯(lián)系實際安排教學內(nèi)容,采用學生參與高度的學導式討論教學法、師生交談法、圖象信號法、問答法、教學課堂討論法,使學生動口、主動探索、發(fā)現(xiàn)問題、解決問題、互動合作、歸納概括、形成能力,突出學生的主體地位。在采用問答法時,特別注重不同難度的問題。
提問不同層次的學生面向全體,使基礎(chǔ)差的學生也有表現(xiàn)的機會,培養(yǎng)其自信心,激發(fā)學習熱情,有效開發(fā)各層次學生的潛在能力求使每個學生都在原有基礎(chǔ)上得到發(fā)展,同時通過課堂練習和課后作業(yè)啟發(fā)學生。在教學中要積極培養(yǎng)學生數(shù)學學習興趣和動機。明確學習目的,教師應(yīng)在課堂上充分調(diào)動學生積極性,激發(fā)來自學生主體的最有力的動力。
實際上,青少年好動,注意力易分散,愛發(fā)表見解。希望得到老師的表揚所以在教學中應(yīng)抓住學生這一生理特點。一方面運用直觀生動的形象,引發(fā)學生興趣,使他們的注意力始終集中在課堂上。另一方面要創(chuàng)造條件和機會,讓學生發(fā)表見解,發(fā)揮學生學習的主動性。
首先我出了一些可以看出方程解的題目,讓學生回答,由易到難,激起學生學習的欲望,緊接著就引入等式的定義,從而使學生明白解方程先要研究等式,從而引入課題。
由于學生的認知結(jié)構(gòu)是由簡單到復雜,由具體到抽象的過程,因此在這一環(huán)節(jié)中,我分兩個方面來教學:等式的性質(zhì)1由老師課件演示,學生觀察歸納概括。
我利用多媒體依次展示天平圖的各個操作。讓學生通過觀察,用語言來描述發(fā)現(xiàn),與同桌交流。這樣由具體演示到抽象概括,使學生記憶深刻,充分體現(xiàn)了學生為主體,教師為主導的原則。
通過上面的觀察,讓學生分組討論:如何用算式表示實驗結(jié)果?學生交流后,教師進行課件演示。
本節(jié)課,讓學生經(jīng)歷一種從平衡到不平衡再到新的平衡的過程,體驗變化是怎樣產(chǎn)生的,怎樣從打破平衡,又怎樣達到新的平衡。從而培養(yǎng)了學生觀察能力和抽象概括能力。
我接著提問:如果天平兩邊減去相同的質(zhì)量,天平會有什么變化?
讓學生先獨立思考,然后教師課件演示。你又發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?怎樣用等式描述?得出等式兩邊同時減去同一個數(shù),等式仍然成立。并且由以上兩條規(guī)律得出:等式的兩邊同時加上或減去同一個數(shù),等式仍然成立。
如果在天平兩邊同時加上或減去不同的質(zhì)量,天平會有什么變化?
學生經(jīng)過思考得出:等式的兩邊加上或減去的必須是同一個數(shù),才能使等式成立。這樣符合學生的認知規(guī)律,從實踐認識,再到實踐認識的過程。
教師再用課件展示天平圖,學生通過觀察,歸納得出:等式兩邊同時乘或除以同一個數(shù)(除數(shù)不能為0),等式仍然成立。
等式基本性質(zhì)2的推導在性質(zhì)1的基礎(chǔ)上,讓學生自己通過觀察探究,運用知識的遷移得出,這樣培養(yǎng)了學生邏輯思維能力,抽象概括能力和口頭表達能力。
(2)若a=b,則ac=bc,
注意:
(1)等式兩邊都要參加運算,且是同一種運算。
(2)等式兩邊加或減,乘或除以的數(shù)一定是同一個數(shù)或同一個式子。
(3)等式兩邊不能都除以0,即0不能作除數(shù)或分母。
在這個環(huán)節(jié)中把等式的兩個性質(zhì)展示出來,我特別提到了三個注意:因為這是在等式性質(zhì)解方程中容易出錯的地方,就是希望同學們認真細心,正確利用性質(zhì)解題。
我在練習中設(shè)計了三道題,從簡單的填空到判斷變形對錯,到最后的解方程,方程的四道題也是有簡單到復雜,總之練習題的設(shè)計,低起點,小臺階,循序漸進,符合學生接受知識的特點,是那些平時不舉手的同學也積極參與,竟然問題也答得很好。從這些方面培養(yǎng)了學生的靈活性,使學生獲得成功的滿足感。
作業(yè)設(shè)計:
PPT投影出課本第83頁習題3.1第4題。
等式課件 篇11
一、教材分析
等式的基本性質(zhì)是學生在剛剛認識了等式與方程的基礎(chǔ)上進行教學的。它是系統(tǒng)學習方程的開始,其核心思想是構(gòu)建等量關(guān)系的數(shù)學模型。本節(jié)課的學習是學生在實驗的基礎(chǔ)上,掌握等式的兩個基本性質(zhì),引導學生通過比較,發(fā)現(xiàn)規(guī)律,并為今后運用等式的基本性質(zhì)解方程打基礎(chǔ)。同時培養(yǎng)學生數(shù)學思維能力。
二、教學目標:
知識與技能:理解并能用語言表述等式的基本性質(zhì),能用等式的基本性質(zhì)解決簡單問題。
過程與方法:在用算式表示實驗結(jié)果、討論、歸納等活動中,經(jīng)歷探索等式基本性質(zhì)的過程。
情感態(tài)度價值觀:積極參與數(shù)學活動,體驗探索等式基本性質(zhì)過程的挑戰(zhàn)性和數(shù)學結(jié)論的確定性。
三、教學重點是:
引導學生探索發(fā)現(xiàn)等式的基本性質(zhì),利用等式的基本性質(zhì)解決簡單問題。
教學難點是抽象歸納出等式的基本性質(zhì)。
四、教學程序(分三部分教學)
(一)聯(lián)系實際,激趣引入
首先激發(fā)探究興趣:提出問題:“同學們,你用天平做過游戲嗎?”這節(jié)課我們就利用天平一起來探索天平游戲中所包含的數(shù)學知識?!?/p>
(二)自主探索,合作交流
學習等式的基本性質(zhì)1
1、具體情境,感受天平平衡
利用多媒體依次展示天平圖的各個操作。讓學生通過觀察,用語言來描述發(fā)現(xiàn),與同桌交流。這樣由具體演示到抽象概括,使學生記憶深刻,充分體現(xiàn)了學生為主體,教師為主導的原則。
圖1、圖2的教學模式:先讓學生觀察,問:你發(fā)現(xiàn)了什么?然后提問:怎樣變換,能使天平仍然保持平衡呢?待學生思考片刻,再進一步提問:往兩邊各放1個杯子,天平會發(fā)生什么變化?生口答,驗證。接下去,繼續(xù)提問:如果兩邊各放上2個茶杯,天平還會保持平衡嗎?兩邊各放上同樣的一把茶壺呢?生答,再一一演示驗證。
圖3、圖4的教學模式和前面一樣。
板書如下:
2、總結(jié)抽象,認識規(guī)律
通過上面的觀察,先用一句話歸納圖1和圖2的內(nèi)容。(1、等式的兩邊都加上或減去相同的數(shù),等式不變。)再以第一句話為基礎(chǔ)歸納出圖3和圖4的內(nèi)容。(2、等式的兩邊都乘或除以相同的數(shù)(0除外)等式不變。)
教師指出這是等式的一個非常重要的性質(zhì)。板書:等式的基本性質(zhì)
(三)鞏固練習,深化認識
練習題的設(shè)計,低起點,小臺階,循序漸進,符合學生接受知識的特點,培養(yǎng)了學生的靈活性,使學生獲得成功的滿足感。
1、根據(jù)圖(1)在下面每幅圖的括號里填上適當?shù)姆柣驍?shù)字,使天平平衡。
2、課堂作業(yè)。(當堂完成)
填一填。(a、b均不為0)
(1) 如果x+a=b,那么x+a-a=b○
(2) 如果x-a=b,那么x-a+a=b○
(3) 如果ax=b,那么a x÷a=b○
(4) 如果x÷a =b,那么x÷a×a=b○
3、拓展訓練。
五、最后,關(guān)注學生的和感受,提出:通過本節(jié)課的學習你有什么收獲?
一元一次不等式課件
每位老師不可或缺的課件是教案課件,因此教案課件可能就需要每天都去寫。教案是課程開展的向?qū)?。今天小編為大家?guī)砹艘黄P(guān)于“一元一次不等式課件”的相關(guān)文章,如果你希望長期關(guān)注我的分享請不要忘記將它收藏起來!
一元一次不等式課件 篇1
【知識與技能】
1、了解一元一次不等式組的概念。
2、理解一元一次不等式組的解集,能求一元一次不等式組的解集。
3、會解一元一次不等式組。
【過程與方法】
通過具體問題得到一元一次不等式組,從而了解一元一次不等式組的概念,解出每個不等式,利用數(shù)軸求出各不等式解集的公共部分,從而得到不等式組的解集,通過解幾個有代表性的一元一次不等式組,總結(jié)出求不等式組解集的法則。
【情感態(tài)度】
運用數(shù)軸確定不等式組的解集是行之有效的方法。這種“數(shù)形結(jié)合”的方法今后經(jīng)常用到,鍛煉同學們數(shù)形結(jié)合的能力,提高學習興趣。
【教學重點】
一元一次不等式組的解法。
【教學難點】
確定一元一次不等式組的解集。
一、情境導入,初步認識
問題1 現(xiàn)有兩根木條a和b,a長10cm,b長3cm,如果要再找一根木條c,用這三根木條釘成一個三角形木框,那么木條c的長度有什么要求?
解:由于三角形中兩邊之____大于第三邊,兩邊之____小于第三邊,設(shè)c的長為xcm,則x<____,①x>____,②
合起來,組成一個__________。
由①解得_____________,由②解得_____________。
在數(shù)軸上表示就是________________。
容易看出:x的取值范圍是____________________。
這就是說,當木條c比____cm長并且比____cm短時,它能與木條a和b一起釘成三角形木框。
問題2 由上面的解不等式組的過程用自己的語言歸納出一元一次不等式組的解法。
【教學說明】全班同學可獨立作業(yè),也可分組自由討論,10分鐘后交流成果,逐步得出結(jié)論。
二、思考探究,獲取新知
思考什么叫一元一次不等式組,什么叫一元一次不等式組的解集,什么叫解不等式組?
【歸納結(jié)論】
1、定義:
(1)一元一次不等式組:幾個含有相同未知數(shù)的一元一次不等式合起來組成一個一元一次不等式組。
(2)一元一次不等式組的解集:幾個不等式的解集的公共部分,叫做由它們所組成的不等式的解集。
(3)解不等式組:求一元一次不等式組的解集的過程叫解一元一次不等式組。
2、一元一次不等式組的解法:
(1)求出每個一元一次不等式的解集。
(2)求出這些解集的公共部分,便得到一元一次不等式組的解集。
一元一次不等式課件 篇2
一元一次不等式教案
教學目標
1、能夠根據(jù)實際問題中的數(shù)量關(guān)系,列一元一次不等式(組)解決實際問題.
2、通過例題教學,學生能夠?qū)W會從數(shù)學的角度認識問題,理解問題,提出問題,?? 學會從實際問題中抽象出數(shù)學模型.
3、能夠認識數(shù)學與人類生活的密切聯(lián)系,培養(yǎng)學生應(yīng)用所學數(shù)學知識解決實際問題的意識.
教學重點? 能夠根據(jù)實際問題中的數(shù)量關(guān)系,列出一元一次不等式(組)解決 實際問題
教學難點? 審題,根據(jù)實際問題列出不等式.
例題? 甲、乙兩商場以同樣的。價格出售同樣的商品,并且又各自推出不同的優(yōu)惠方案:在甲商場累計購物超過100元后,超出100元的部分按90%收費;在乙商場累計購物超過50元后,超出50元的部分按95%收費。顧客到哪家商場購物花費少??
解:設(shè)累計購物x元,根據(jù)題意得
(1)當0 < x≤50時,到甲、乙兩商場購物花費一樣;
(2)當50< x≤100時,到乙商場購物 m. 花費少;
(3)當x > 100時,到甲商場的花費為100+0.9(x-100) , 到乙商場的花費為50+0.95(x-50)則
50+0.95(x-50) > 100+0.9(x-100),解之得x >150
50+0.95(x-50) < 100+0.9(x-100),解之得x < 150
50+0.95(x-50) = 100+0.9(x-100),?? 解之得x = 150
答:當0 < x≤50時,到甲、乙兩商場購物花費一樣;
當50< x≤100時,到乙商場購物花費少;當x>150時,到甲商場購物花費少;當100 < x <150時,到乙商場購物花費少;當x=150時,到甲、乙兩商場購物花費一樣。
變式練習? 學校為解決部分學生的午餐問題,聯(lián)系了兩家快餐公司,兩家公司的報價、質(zhì)量和服務(wù)承諾都相同,且都表示對學生優(yōu)惠:甲公司表示每份按報價的90%收費,乙公司表示購買100份以上的部分按報價的80%收費。問:選擇哪家公司較好?
解:設(shè)購買午餐x份,每份報價為“1”,根據(jù)題意得
0.9x > 100+0.8(x-100),解之得x >200
0.9x < 100+0.8(x-100),解之得x < 200
0.9x = 100+0.8(x-100),解之得x = 200
答:當x>200時,選乙公司較好;當0 < x <200時,選甲公司較好;當x=200時,兩公司實際收費相同。
作業(yè)
1、某商店5月1號舉行促銷優(yōu)惠活動,當天到該商店購買商品有兩種方案,方案一:用168元購買會員卡成為會員后,憑會員卡購買商店內(nèi)任何商品,一律按商品價格的8折優(yōu)惠;方案二:若不購買會員卡,則購買商店內(nèi)任何商品,一律按商品價格的9.5折優(yōu)惠。已知小敏5月1日前不是該商店的會員。請幫小敏算一算,采用哪種方案更合算?
2、某單位計劃10月份組織員工到杭州旅游,人數(shù)估計在10~25之間。甲乙兩旅行社的服務(wù)質(zhì)量相同,且組織到杭州旅游的價格都是每人200元。該單位聯(lián)系時,甲旅行社表示可以給予每位旅客七五折優(yōu)惠;乙旅行社表示可先免去一帶隊領(lǐng)導的旅游費用,其余游客八折優(yōu)惠。問該單位怎樣選擇,可使其支付的旅游總費用較少?
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一元一次不等式課件 篇3
尊敬的各位老師:
大家好,今天,我說課的內(nèi)容是一元一次不等式。
對于本節(jié)課,我將從教什么、怎么教、為什么這么教來闡述本次說課。
新課標指出:數(shù)學課程要面向全體學生,適應(yīng)學生個性發(fā)展的需要,使得人人都能獲得良好的數(shù)學教育,不同的人在數(shù)學上都能得到不同的發(fā)展。今天我將貫徹這一理念從教材分析、學情分析、教學過程等幾個方面展開我的說課。
教材是連接教師和學生的紐帶,在整個教學過程中起著至關(guān)重要的作用,所以,先談?wù)勎覍滩牡睦斫狻?/p>
本節(jié)課主要講述的是一元一次不等式的概念及其解法。
在本節(jié)課之前學生已經(jīng)掌握了一元一次方程的相關(guān)知識和不等式的性質(zhì),所以,本節(jié)課類比一元一次方程的解法,利用不等式的性質(zhì)解一元一次不等式。另外,本節(jié)課為后續(xù)學習解一元一次不等式組奠定基礎(chǔ)。
不等式在日常生產(chǎn)生活中的應(yīng)用很廣泛,它與數(shù)、式、方程、函數(shù)甚至幾何圖形有著密切的聯(lián)系,它幾乎滲透到初中數(shù)學的每一部分。所以,本節(jié)課在數(shù)學領(lǐng)域中起著非常重要的地位。
合理把握學情是上好一堂課的基礎(chǔ),本次課所面對的學生群體具有以下特點。
本學段的學生逐漸掌握抽象概念和復雜的概念系統(tǒng),能作科學定義,抽象邏輯思維逐步占優(yōu)勢。
本階段的學生類比推理能力都有了一定的發(fā)展,并且在生活中已經(jīng)遇到過很多關(guān)于一元一次方程的具體的事例,所以在生活上面有了很多的經(jīng)驗基礎(chǔ)。為本節(jié)課的順利開展做好了充分準備。
根據(jù)以上對教材的.分析以及對學情的把握,我制定了如下三維目標:
通過對比解一元一次方程的步驟,學生自己總結(jié)歸納一元一次不等式步驟的過程,提高歸納能力,并學會類比的學習方法。
通過數(shù)學建模,提高對數(shù)學的學習興趣。
本著新課程標準,吃透教材,了解學生特點的基礎(chǔ)上我確定了以下重難點:
掌握一元一次不等式的概念,會解一元一次不等式并能夠在數(shù)軸上表示出來。
一元一次不等式課件 篇4
人教版七年級數(shù)學下冊《一次函數(shù)與一元一次不等式》教學反思
例1:請畫出函數(shù)y=-3x+12的圖像,你能利用圖像解決下列問題嗎?
(1)方程-3x+12=0的解(2)不等式-3x+12>0的解集.
(3)如果y的值在-6≤y≤6的范圍內(nèi),那么相應(yīng)的x的值在什么范圍內(nèi)?
問題一提出,就有學生不假思索,答案脫口而出,前兩問也太簡單了吧?我提醒學生注意題目要求,這時有學生開始畫函數(shù)圖像。讓學生自己動手,畫出一次函數(shù)y=-3x+12的圖像,目的是讓學生從畫圖的過程中感受從左至右,直線是呈“下降”趨勢的。即y隨x的增大而減小。對于前兩問,學生還比較好理解,但到第3問,有些學生就找不到答案了。這時就要引導學生從第2問,開始延伸,當解-3x+12>0,即函數(shù)值為正數(shù)時,對應(yīng)的函數(shù)的圖像在x軸的上方,y>0時,坐標系中表示的`是一個平面區(qū)域,在這個區(qū)域中找出對應(yīng)的自變量x的取值范圍即為不等式的解。讓學生對第3問,再次進行探究,由圖像找出函數(shù)值在-6--6之間的部分,對應(yīng)地可以找出自變量x的取值范圍。要求學生能在函數(shù)圖像上找到這個區(qū)域,老師再用多媒體進行動態(tài)演示。進一步激發(fā)學生思考,你能用其他方法解決這個問題嗎?學生能聯(lián)想到第3問也可以利用解不等式組的方法求出x的取值范圍。通過本題的解決,讓學生初步感受不等式與方程、函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系
一元一次不等式課件 篇5
一元一次不等式的應(yīng)用教案
一元一次不等式的應(yīng)用教案 孫云云 一、前置作業(yè) 請自學課本12、13頁,相信你會有很大的收獲!帶著的你的例子借助一元一次不等式來解決實際問題。 二、教學過程 一)導入 在現(xiàn)實中的許多問題,可以借助于一元一次不等式來解決。本節(jié)課我們來研究用元一次不等式解決實際 問題。 二、檢查前置作業(yè),交流組內(nèi)存在問題 怎樣借助一元一次不等式解決實際問題 三、班級匯報展示 帶著你的`例子借助一元一次不等式來解決實際問題。 四、總結(jié)提升 你學會了什么? 五、布置作業(yè) 教學反思:開始課堂沉悶,學生有些緊張,后來在教師的調(diào)解下,氣氛活躍了。樊廣文出的題中缺少一個條件,馬悅出的三道題所提出的問題都有不正確,盡管學生在編的實際問題中出現(xiàn)了失誤,但學生真的動起來了,在思想的相互碰撞中,每個問題都得到了解決。但也有不足,如小組的時效性較小,雖然經(jīng)歷了小組交流,但問題并未深入的解決,馬悅的三道題是代表小組的,但小組只停留在馬悅出題了,也沒有交流她出題的正確性。導致三道題都出現(xiàn)同一個問題。在今后的教學中教師更應(yīng)該關(guān)注小組的時效性。
一元一次不等式組課件優(yōu)選13篇
幼兒教師教育網(wǎng)今天為大家介紹的是一篇有關(guān)“一元一次不等式組課件”的文章。對于新入職的老師而言,教案課件還是很重要的,因此教案課件不是隨便寫寫就可以的。只有高質(zhì)量的教案才能帶來好的教學效果。希望本文能夠為您提供一些實用建議!
一元一次不等式組課件【篇1】
教學目標
1.能夠根據(jù)具體問題中數(shù)量關(guān)系,列出一元一次不等式組,解決簡單問題。
2.滲透“數(shù)學建?!彼枷?。最優(yōu)化理論。
3.提高分析問題解決問題能力。
教學重點
分析實際問題列不等式組。
教學難點
1.找實際問題中的不等關(guān)系列不等式組。
2.有條理的表達思考過程。
教學過程
一、創(chuàng)設(shè)問題情境。
本節(jié)課我們一起學習用一元一次不等式組解決一些簡單的實際問題。
出示問題:
某公園售出一次性使用門票,每張10元。為吸引更多游客,新近推出購買“個人年票”的售票方法。年票分A、B兩類。A類年票每張100元,持票者每次進入公園無需再購買門票。B類年票每張50元,持票者進入公園時需再購買每次2元的門票。你能知道某游客一年中進入該公園至少超過多少次,購買A類年票最合算嗎?
二、建立模形。
1.分析題意回答:
①游客購買門票,有幾種選取擇方式?
②設(shè)某游客選取擇了某種門票,一年進入該公園x次,門票支出是多少?
③買A類年票最合算,應(yīng)滿足什么關(guān)系?
2.討論交流,列出不等式組。
3.解不等式組,說出問題的答案。
三、應(yīng)用。
學生討論、交流。
1.什么情況下,購買每次10元的門票最合算。
2.什么情況下,購買B類年票最合算?
學生清晰、有條理地表達自己的思考過程,且考慮問題要全面。
四、練習。
某校安排寄宿時,如果每項間宿舍住7人,那么有1間雖有人住,但沒住滿。如果每間宿舍住4人,那么有100名學生住不下。問該校有多少寄宿生?有多少間宿舍?
(提示學生找到本題中的兩個不等關(guān)系。學生人數(shù),宿舍間數(shù)都為整數(shù)。解本題時,先獨立思考,再小組交流)
五、小結(jié)
列一元一次不等式組,解決實際問題的基本步驟是什么?(討論、交流,指名回答)
六、作業(yè)。
習題1.3A組第1題。
后記:
一元一次不等式組課件【篇2】
[學習目標]
1.進一步鞏固一元一次不等式組的解法
2.會用一元一次不等式組解決有關(guān)的實際問題
3.理解一元一次不等式組應(yīng)用題的一般解題步驟
[學習重點]一元一次不等式組的應(yīng)用
[學習難點]在實際問題中尋找不等關(guān)系,列出不等式組
[學習過程]
一、春耕(創(chuàng)設(shè)情境,導入新課)
在上課之前,老師請大家來幫一個忙,幫老師來解決一道難題:老師有一個熟人姓王,他有一個哥哥和一個弟弟,哥哥的年齡是20歲,小王的年齡的2倍加上他弟弟年齡的5倍等于97.現(xiàn)在小王要老師猜猜他和他弟弟的年齡各是多少?俗話說三個臭皮匠,可抵一個諸葛亮,現(xiàn)在我們?nèi)嗤瑢W可抵得上很多諸葛亮,所以老師相信大家一定有辦法的.
二、夏耘(師生互動,課堂探究)
(一)提出問題,引發(fā)討論
當一個未知數(shù)同時滿足幾個不等關(guān)系時,我們就按這些關(guān)系分別列幾個不等式,這樣就得到不等式組,用不等式組解決實際問題時,其公共解是否一定為實際問題的解呢?請舉例說明.
例:甲以5km/時的速度進行跑步鍛煉,2小時后,乙騎自行車從同地出發(fā)沿同一條路追趕甲.但他們兩人約定,乙最快不早于1小時追上甲,最慢不晚于1小時15分追上甲.你能確定乙騎車的速度應(yīng)當控制在什么范圍嗎?
(二)導入知識,解釋疑難
1.教材內(nèi)容講解
如課本例2(P145)(請同學自己閱讀,動手列不等式組進行求解,再將自己答案與課本答案進行比較)不等式組的解集為15
又如:將若干只雞放入若干個籠,若每個籠里放4只,則有1只雞無籠可放;若每個籠里放5只,則有1籠無雞可放,那么至少有多少只雞,多少個籠?
2.探究活動
把16根火柴首尾相接,圍成一個長方形(不包括正方形),怎樣找到圍出不同形狀的長方形個數(shù)最多的辦法呢?最多個數(shù)又是多少呢?
三.秋收(歸納總結(jié),知識回顧)
1. 應(yīng)用不等式組解決實際問題的步驟:1.審清題意;2.設(shè)未知數(shù),根據(jù)所設(shè)未知數(shù)列出不等式組;3.解不等式組;4.由不等式組的解確立實際問題的解;5.作答.(與列方程組解應(yīng)用題進行比較)
2.雙基練習
1.已知方程組 有正整數(shù)解,則k的取值范圍是_________.
2.若不等式組 無解,求a的取值范圍.
3.當2(m-3)x-m的解集.
4.某學校為學生安排宿舍,現(xiàn)有住房若干間,若每間5人還有14人安排不下,若每間7人,則有一間還余一些床位,問學校有幾間房可以安排學生住宿?可以安排住宿的學生多少人?
四.冬藏(創(chuàng)新提升)
某商場為了促銷,開展對顧客贈送禮品活動,準備了若干件禮品送給顧客,在一次活動中,如果每人送5件,則還余8件,如果每人送7件,則最后一人還不足3件.設(shè)該商場準備了m件禮品,有x名顧客獲贈,請回答下列問題:
(1)用含x的代數(shù)式表示m.
(2)求出該次活動中獲贈顧客人數(shù)及所準備的禮品數(shù)
一元一次不等式組課件【篇3】
教學目標:
了解一元一次不等式的概念,掌握一元一次不等式的解法。
教學重點:
是掌握解一元一次不等式的步驟
教學難點:
是必須切實注意遇到要在不等式兩邊都乘以(或除以)同一負數(shù)時,必須改變不等號的方向。
教學過程:
一、問題導入
復習:
1、不等式的基本性質(zhì)有哪些?什么是一元一次方程?并舉出兩個例子。
2、觀察不等式x+3<5與x<2,說明解x<2是x+3<5依據(jù)什么變形得到的?
3、解一元一次方程:6x+5=7-2x,目的是為了與下面所學的解一元一次不等式進行類比,找到它們的聯(lián)系與區(qū)別。
二、指導自學,小組合作交流
請同學們根據(jù)以下提問進行自學,先個人思考,后小組合作學習。
1、觀察下列不等式,說一說這些不等式有哪些共同特點?
(1)2x+5≥8(2)x+1≤—4(3)x<2(4)6—3x>43(x+1)≤0
觀察上面不等式有哪些共同特點,讓學生通過交流,再總結(jié)一元一次不等式的概念。老師板書定義。
2、讓學生舉出2或3個一元一次不等式的例子,小組交流。
3、讓學生通過比較解一元一次方程:6x+5=7-2x的解法試解一元一次不等式:6x+5<7-2x,并將解集在數(shù)軸上表示出來。
4、思考:一元一次不等式與一元一次方程的解法有哪些類似之處?有什么不同?
5、解下列不等式,并把它們的解集在數(shù)軸上表示出來。
(1)3-x<2x+9(2)2-4(x-1)>3(x+2)-x
(3)(x-1)/3≥(2-x)/2+1
總結(jié):解一元一次不等式的依據(jù)和解一元一次不等式的步驟。
三、互動交流,教師點撥
(一)、學生易出錯的問題和注意的事項:
1、確定一個不等式是不是一元一次不等式,要抓住三個要點:左右兩邊都是整式,只有一個未知數(shù),未知數(shù)的次數(shù)是1。
2、對于(1),讓學生說明不等式3-x<2x+9的每一步變形的依據(jù)是什么,特別注意的是:解不等式的移項和解方程的移項一樣。即移項要變號(培養(yǎng)學生運用類比的數(shù)學思想)。
3、不等式兩邊同時除以(-3)時,不等號的方向改變。
2、重點點撥(2)和(3),先讓學生到黑板上板演。老師再講評。
(2)易出錯的地方是:去括號時漏乘,括號前是負號,去掉括號后括號里的項沒變號,還有移項沒有變號;(3)易出錯的地方是:去分母時漏乘無分母的項。
3、歸納解一元一次不等式的步驟(與解一元一次方程的步驟類比):去分母,去括號,移項,合并同類項,系數(shù)化為1。(在系數(shù)化為1這一步要特別提醒學生注意當系數(shù)為負數(shù)時,要記住改變不等號的方向。)
四、鞏固練習
1、判斷下列不等式是不是一元一次不等式,為什么?
(1)2/x—3
(2)5x+3x–1
(4)x(2x+1)
(5)X+2≥x
2、解下列不等式,并把它們的解集在數(shù)軸上表示出來
(1)3x–8
(2)2(x–1)≥x+3
(3)x/5≥1+(x–3)/2
3、[思考]當x取何值時,代數(shù)式(x–2)/2的值比(3x+1)/3的值大?
小結(jié):
(1)不等式兩邊同時除以負數(shù)時,不等號的方向要改變。
(2)注意去括號時不要漏乘,括號前是負號,去掉括號后括號里的項要變號,還有移項一定要變號
(3)去分母時不要漏乘無分母的項。
一元一次不等式組課件【篇4】
教學建議
一、知識結(jié)構(gòu)
本書首先結(jié)合實例引入一元一次不等式組的解集的概念,然后通過三個例題說明利用數(shù)軸解一元一次不等式組的方法,最后對一元一次不等式組的解法步驟進行了總結(jié).
二、重點、難點分析
本節(jié)教學的重點是掌握一元一次不等式組的解法步驟并準確地求出解集.難點是正確應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)對不等式進行變形、求不等式組中各個不等式解集的公共部分.不等式在中學代數(shù)中是研究問題的重要工具,例如求函數(shù)的定義域、值域、研究函數(shù)的單調(diào)性,求最大值、最小值,一元二次方程根的討論等,都要用到不等式的知識.不等式也是進一步學習其他數(shù)學內(nèi)容的基礎(chǔ).學習和掌握不等式的求解和不等式的證明方法,對培養(yǎng)學生邏輯思維能力也有極其重要的作用.在處理解不等式的問題中,一元一次不等式組的解法,具有特別重要的意義.這是因為,解各類不等式的問題都可以歸結(jié)為解一些由簡單不等式所組成的不等式組.
1、在構(gòu)成不等式組的幾個不等式中
①這幾個一元一次不等式必須含有同一個未知數(shù);
②這里的“幾個”并未確定不等式的個數(shù),只要不是一個,兩個,三個,四個……都行.
2、當幾個不等式的解集沒有公共部分時,我們就說這個不等式組無解.
3、由兩個一元一次不等式組成的不等式的解集,共歸結(jié)為下面四種基本情況:
【注意】①其中第(4)個不等式組,實質(zhì)上是矛盾不等式組,任何數(shù)都不能使兩個不等式同時成立。所以說這個不等式組無解或說其解集為空集。②從上面列出的表中,我們可以概括出來不等式組公共解的一規(guī)律:同大取大,同小取小,一大一小中間找。
三、教法建議
1.解本節(jié)的引例及例1、例2、例3時,注意把解不等式組的思路講清楚,即先分別解每一個不等式,求出解集,再求這些解集的公共部分.求公共部分的過程一定要結(jié)合數(shù)軸來講。
2.這節(jié)課的講解自始至終要突出解不等式組的基本思想以及解一元一次不等式組的步驟這兩個重點.準確熟練地解一元一次不等式以及用數(shù)軸上的點表示不等式的解集是這節(jié)課的基礎(chǔ),因此講新課之前要復習提問這些內(nèi)容。
3.求公共解集是這節(jié)課的新授內(nèi)容,教師要充分利用數(shù)軸表示不等式解集具有形象、直觀、易于說明問題這些優(yōu)點.解集的公共部分教師可用彩筆在數(shù)軸的相應(yīng)部分描畫出來,使學生感到醒目,便于理解記憶。
4.每組不等式不要超過三個,關(guān)鍵是使學生理解和掌握解不等式組的基本思想和兩個步驟,不宜做過于難、過于多、重復的機械計算。
一元一次不等式組課件【篇5】
〖教學目標〗
1、理解一元一次不等式組的概念.
2、理解不等式組的解的概念.
3、會解由兩個一元一次不等式組成的不等式組,并會用數(shù)軸確定解.
4、培養(yǎng)學生類比推理能力.
〖教學重點與難點〗
教學重點:一元一次不等式組的解法.
教學難點:例2較為復雜,幾乎包括了解一元一次不等式的全部步驟,是本節(jié)教學的難點,用數(shù)軸表示一元一次不等式組的解也是難點。
〖教學過程〗
一.引入
1.想一想:某單位從超市購買了墨水筆和圓珠筆共15桶,所付金額超過570元,但不到580元。已知這兩種筆每桶的單價為圓珠筆34.90元/支,墨水筆44.90元/支。設(shè)購買圓珠筆X桶,你能列出幾個不等式?
2.學生活動:找出已知條件,列出所有不等關(guān)系式,互相討論,類推概念,鼓勵學生通過觀察,分析,補充解決問題。
3.最后教師總結(jié)兩個不等式。
如設(shè)購買圓珠筆的桶數(shù)為X,則:
二.新課
1.一元一次不等式組:一般地,由幾個同一個未知數(shù)的一元一次不等式所組成的一組不等式,叫做一元一次不等式組。像上面就是一元一次不等式組,再
例如:
都是一元一次不等式組.
2.不等式組解的概念:組成不等式組的各個不等式的解的公共部分就是不等式組的解.當它們沒有公共部分時.我們稱這個不等式組無解.
3.做一做:
例1.解一元一次不等式組
解:解不等式①,
得:
X>-1
解不等式②,
得:
X≤6
把
①
②兩個不等式的解表示在數(shù)軸上,如下圖:
-1
6
所以原不等式組的解是-14.應(yīng)用拓展:解由兩個一元一次不等式組成的不等式組,在取各個不等式的解公共部分時,有幾種不同情況嗎?若a用數(shù)軸試一試.(設(shè)a一般由兩個一元一次不等式組成的不等式組由四種基本類型確定,它們的解集、數(shù)軸表示如下表一元一次不等式組解集圖示口訣x>ax>bx>b大大取大xxx小小取小x>axa比小大,比大小,中間找xx>b無解比小小,比大大,解不了(無解)5.嘗試反饋:試一試,利用數(shù)軸分別求出滿足下列各組不等式組的x值的公共部分:6.探索較復雜的不等式組的解法:例2.解一元一次不等式組解:由不等式①,去擴號得3-5X>X-4X+2移項,整理得-2X>-1所以X解不等式②,去分母得3X-2>10-2X移項,整理得5X>12所以X>把①,②兩個不等式的解表示在數(shù)軸上.12所以原不等式組無解.7.通過范例,幫助學生總結(jié)解一元一次不等式組的步驟:(1)依次解各個一元一次不等式.(2)把各個一元一次不等式的解分別表示在同一數(shù)軸上.(3)根據(jù)解在數(shù)軸上的表示確定不等式組的解.三.鞏固(學生活動,與同伴交流自己的問題和解決問題的過程)1.解下列一元一次不等式組:2.分別求出本節(jié)開頭問題中購買墨水筆和圓珠筆的桶數(shù)四.歸納1.學生談本節(jié)課的收獲:優(yōu)等生談學到什么知識,上進生談體會;2.教師小結(jié):這節(jié)課主要學習了一元一次不等式組及不等式組的解的有關(guān)概念,要求會解有兩個一元一次不等式組成的一元一次不等式組,并會用數(shù)軸確定解集;也可以利用口訣“大大取大,小小取小,比小大比大小取中間,比大大比小小無解”來求不等式組的解。五.布置作業(yè)
一元一次不等式組課件【篇6】
一元一次不等式組
教學目標:1.學生通過生活實例,了解一元一次不等式組的意義和一元一次不等式組的解集的概念。
2.學生能利用數(shù)軸熟練的確定一元一次不等式組的解集,培養(yǎng)學生的觀察能力,分析能力。
3.掌握由兩個一元一次不等式所組成的不等式組的解集的四種情況。
4.學生通過對一元一次不等式組的學習,認識到事物間的相依關(guān)系。
教學重點:根據(jù)一元一次不等式組的四種情況,說出一元一次不等式組的解集。教學難點:利用數(shù)軸確定一元一次不等式組的解集。教學過程: 一.創(chuàng)設(shè)情境:
1.你能列出解決這個問題的式子嗎?
(小黑板)某學校初一()班準備一次秋季外出考察活動,該班級共有學生40人。學校根據(jù)預(yù)算要求該班這次活動的總經(jīng)費不能超過2400元;旅游公司按成本計算這次活動總經(jīng)費不能低于2000元。如果考慮雙方的要求,學生所付的經(jīng)費應(yīng)該在哪一范圍之內(nèi)?
學生列式:設(shè)每人所付的經(jīng)費為x元 40x≤2400 40x≥2000
?40x?2400 同時滿足兩個條件,列成不等式組 ?
?40x?2000給出定義:由幾個含有同一個未知數(shù)的一次不等式組成的不等式組叫做一元一次不等式組。
2.(小黑板)判別下列不等式組中哪些是一元一次不等式組,并說明為什么?
?x?0?x??3?x?2(1)?(2)?(3)? x?3?0y?3x?4????2x?3?54x?1?0???3x?1?4?(4)?(5)?2(6)?3x?2?1
??x?3?0?x?y?1?x?9?0?二.嘗試探究:
1.問題:怎樣確定不等式組的解集呢? ?40x?2400?x?60 比如:?的解集怎樣確定呢??這個式子就是不?40x?2000?x?50等式組的解集嗎?
2.利用數(shù)軸來確定不等式組的解集
?x?3?x?3?x?3?x?3 例:(1)?(2)?(3)?(4)?
?x??1?x??1?x?-1?x??1 本題教師和學生共同完成
鞏固練習:(書四題,學生練習,學生板演,小組互相檢查,教師巡視指導)
小組討論:當a>b時,如何確定下列不等式組的解集?
?x?a?x?a?x?a?x?a(?。?(2)?(3)?(4)?
?x?b?x?b?x?b?x?b 課后思考:當a
三.歸納小結(jié):
1.本節(jié)課我們認識了什么是一元一次不等式組及其解集,并學會了利用數(shù)軸來確定不等式組的解集。(利用例題中四個不等式組解集情況說明不等式組解集取法)
2.一元一次不等式組和二元一次方程組類似,也有不同的地方。兩者都是由兩個或幾個一次式組成,但不等式組是同一個字母,方程組中有兩個字母。3.具體求不等式組解集的方法,下節(jié)課我們接著學習。
四.布置作業(yè):
練習冊B冊習題
同步練習
一元一次不等式組課件【篇7】
1、由“彈簧掛物問題”導入
把教學內(nèi)容轉(zhuǎn)化為具有潛在意義的`問題,讓學生產(chǎn)生強烈的問題意識,使學生的整個學習過程成為“猜想”,繼而緊張地沉思,期待尋找理由和證明過程。
在實際情況下進行學習,可以使學生利用已有知識與經(jīng)驗,同化和索引出當前學習的新知識,這樣獲取的知識,不但易于保持,而且易于遷移到陌生的問題情境中。在本問題中使學生感受到一元一次不等式、一元一次方程、一次函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系
2、導疑:得出本課新的知識點是:一元一次不等式、一元一次方程、一次函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系
3、導研:講解例題?!覀冊谥v解例題時,不僅在于怎樣解,更在于為什么這樣解,而及時對解題方法和規(guī)律進行概括,有利于發(fā)展學生的思維能力。在題中:引導學生圍撓一元一次不等式、一元一次方程、一次函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系展開從多個角度進行思考。
4、導練:課后練習使學生能鞏固羨慕自覺運用所學知識與解題思想方法。
5、導評:總結(jié)結(jié)論,強化認識。知識性內(nèi)容的小結(jié),可把課堂教學傳授的知識盡快化為學生的素質(zhì);數(shù)學思想方法的小結(jié),可使學生更深刻地理解數(shù)學思想方法在解題中的地位和應(yīng)用,并且逐漸培養(yǎng)學生的良好的個性品質(zhì)目標。
6、變式延伸,進行重構(gòu)。重視課本例題,適當對題目進行引申,使例題的作用更加突出,有利于學生對知識的串聯(lián)、累積、加工,從而達到舉一反三的效果。
7、板書。
8、布置作業(yè)。針對學生素質(zhì)的差異進行分層訓練,既使學生掌握基礎(chǔ)知識,又使學有佘力的學生有所提高,從而達到拔尖和“減負”的目的。
(教學程序:
(一):課堂結(jié)構(gòu):導入、導疑、導研、導評、導練、布置作業(yè)等幾部分。
(二):教學簡要過程:
1:復習提問:(理由是:);2:導入講授新課:;3:課堂練習:4:新課鞏固:5:作業(yè)布置;)
五:作業(yè)布置:略
一元一次不等式組課件【篇8】
【知識與技能】
1、了解一元一次不等式組的概念。
2、理解一元一次不等式組的解集,能求一元一次不等式組的解集。
3、會解一元一次不等式組。
【過程與方法】
通過具體問題得到一元一次不等式組,從而了解一元一次不等式組的概念,解出每個不等式,利用數(shù)軸求出各不等式解集的公共部分,從而得到不等式組的解集,通過解幾個有代表性的一元一次不等式組,總結(jié)出求不等式組解集的法則。
【情感態(tài)度】
運用數(shù)軸確定不等式組的解集是行之有效的方法。這種“數(shù)形結(jié)合”的方法今后經(jīng)常用到,鍛煉同學們數(shù)形結(jié)合的能力,提高學習興趣。
【教學重點】
一元一次不等式組的解法。
【教學難點】
確定一元一次不等式組的解集。
一、情境導入,初步認識
問題1 現(xiàn)有兩根木條a和b,a長10cm,b長3cm,如果要再找一根木條c,用這三根木條釘成一個三角形木框,那么木條c的長度有什么要求?
解:由于三角形中兩邊之____大于第三邊,兩邊之____小于第三邊,設(shè)c的長為xcm,則x<____,①x>____,②
合起來,組成一個__________。
由①解得_____________,由②解得_____________。
在數(shù)軸上表示就是________________。
容易看出:x的取值范圍是____________________。
這就是說,當木條c比____cm長并且比____cm短時,它能與木條a和b一起釘成三角形木框。
問題2 由上面的解不等式組的過程用自己的語言歸納出一元一次不等式組的解法。
【教學說明】全班同學可獨立作業(yè),也可分組自由討論,10分鐘后交流成果,逐步得出結(jié)論。
二、思考探究,獲取新知
思考什么叫一元一次不等式組,什么叫一元一次不等式組的解集,什么叫解不等式組?
【歸納結(jié)論】
1、定義:
(1)一元一次不等式組:幾個含有相同未知數(shù)的一元一次不等式合起來組成一個一元一次不等式組。
(2)一元一次不等式組的解集:幾個不等式的解集的公共部分,叫做由它們所組成的不等式的解集。
(3)解不等式組:求一元一次不等式組的解集的過程叫解一元一次不等式組。
2、一元一次不等式組的解法:
(1)求出每個一元一次不等式的解集。
(2)求出這些解集的公共部分,便得到一元一次不等式組的解集。
一元一次不等式組課件【篇9】
1.會解一元一次不等式.
2.會用不等式來表示實際問題中的不等關(guān)系.
掌握解一元一次不等式的步驟;會用一元一次不等式解決簡單的實際問題.
尋找實際問題中的不等關(guān)系,建立數(shù)學模型.
1.?不等式的基本性質(zhì)有哪些?
(1)3x3.
.二、夏耘:
例 甲、乙兩商店以同樣價格出售同樣的商品,并且又各自推出不同的優(yōu)惠方案:在甲店累計購買100元商品后,再購買的商品按原價的90%收費;在乙店累計購買50元商品后,再購買的商品按原價的95%收費.顧客怎樣選擇商店購物能獲得更大優(yōu)惠?
這個問題較復雜,從何處入后考慮它呢?
甲商店優(yōu)惠方案的起點為購物款達___元后;
乙商店優(yōu)惠方案的起點為購物款過___元后.
我們是否應(yīng)分情況考慮?可以怎樣分情況呢?
(1)如果累計購物不超過50元,則在兩店購物花費有區(qū)別嗎?
(2)如果累計購物超過50元而不超過100元,則在哪家商店購物花費?。繛槭裁??
(3)如果累計購物超過100元,那么在甲店購物花費小嗎?
三、秋收:
1.某校校長暑假將帶領(lǐng)該校市級優(yōu)秀學生乘旅行社的車去a市參加科技夏令營,甲旅行社說:“如果校長買全票一張,則其余學生可享受半價優(yōu)惠”.乙旅行社說:“包括校長在內(nèi)全部按全票的6折優(yōu)惠”,若全票價為240元.
(1)設(shè)學生數(shù)為x,甲旅行社收費為y甲,乙旅行社收費為y乙.分別計算兩家旅行社的收費(建立表達式);
(2)當學生數(shù)是多少時,兩家旅行社的收費一樣?
(3) 就學生數(shù)x討論哪家旅行社更優(yōu)惠.
2.某商店出售茶壺和茶杯,茶壺每只20元,茶杯每只5元,該商店有兩種優(yōu)惠辦法:
(1)?買一只茶壺送一只茶杯;
(2)?按總價的92%付款.現(xiàn)有一顧客需購買4只茶壺,茶杯若干只(不少于4只).
請問:顧客買同樣多的茶杯時,用哪一種優(yōu)惠辦法購買省錢?
3.某人的移動電話(手機)可選擇兩種收費辦法中的一種,甲種收費辦法是,先交月租費50元,每通一次電話再收費0.40元;乙種收費辦法是,不交月租費,每通一次電話收費0.60元.問每月通話次數(shù)在什么范圍內(nèi)選擇甲種收費辦法合適?在什么范圍內(nèi)時選擇乙種收費辦法合適?
四、冬藏(補充練習):
1.有一批貨物,如月初售出,可獲利1000元,并可將本利之和再去投資,到月末獲1.5%的利息;如月末售出這批貨,可獲利1200元,但要付50元保管費.問這批貨在月初還是月末售出好.
2.某市自來水公司為限制單位用水,每月只給某單位計劃內(nèi)用水3000噸,計劃內(nèi)用水每噸收費0.5元,超計劃用水超出部分每噸收費0.8元.如果單位自建水泵房抽水,每月需交500元管理費,另外每月一噸水再交0.28元,已知每抽一噸水需成本0.07元.問該單位是用自來水公司的水合算,還是自建水泵房抽水合算.
一元一次不等式組課件【篇10】
科學合理的教學方法能使教學效果事半功倍,達到教與學的和諧完美統(tǒng)一。
基于此,我準備采用的教法講授法、討論法。德國教育學家第斯多慧:差的教師只會奉送真理,好的教師則交給學生如何發(fā)現(xiàn)真理,老師的教是為了不教,這才是教學的最高境界,所以我采用的學法是練習法、自主合作法。
在這節(jié)課的教學過程中,我注重突出重點,條理清晰,緊湊合理。各項活動的安排也注重互動、交流,最大限度的調(diào)動學生參與課堂的積極性、主動性。
首先是導入環(huán)節(jié),我采用復習舊知的導入方法。我會讓學生回憶不等式的概念以及一元一次方程的概念,明確指出今天學習的內(nèi)容是《一元一次不等式》。
這樣的設(shè)計既可以考查學生對之前知識的掌握情況,還能夠為今天學習一元一次方程的概念打下基礎(chǔ)。而且開門見山的導入方式能夠快速地進入主題。
接下來是新知探索環(huán)節(jié),首先我請學生類比不等式以及一元一次方程的概念,給一元一次不等式下定義。
能夠總結(jié)出:含有一個未知數(shù),未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式,叫做一元一次不等式。
接下來讓學生回憶上節(jié)課學習的不等式x-7>26如何解決的,通過學生回憶總結(jié)可以得到:通過“不等式的兩邊都加7,不等號的方向不變”而得到的。
接下來提問學生有沒有更加簡便的方法解不等式?讓學生類比解一元一次方程的步驟進行解題??梢缘玫较喈斢诳梢杂谩耙祈棥?,來解決。
在這個過程中,強調(diào)每一個步驟,在第二題最后一步,強調(diào)當不等式的兩邊同時乘以(或除以)同一個負數(shù)時,不等號的方向改變。
解完不等式,先讓學生回憶解一元一次方程的步驟是什么?并類比解一元一次方程的步驟,總結(jié)一下解一元一次不等式的步驟是什么?
從而我們歸納:解一元一次方程,要根據(jù)等式的性質(zhì),將方程逐步化為x=a的形式;而解一元一次不等式,則要根據(jù)不等式的性質(zhì),將不等式逐步化為xa的形式。
《數(shù)學課程標準》指出:“學生是數(shù)學學習的主人,教師是數(shù)學學習的組織者、引導者和合作者”。根據(jù)這一教學理念,在本環(huán)節(jié)中,我組織學生進行了自主探究活動,讓學生在保持高度學習熱情和探究欲望的活動過程中,始終以愉悅的心情,親身經(jīng)歷和體驗知識的形成過程。培養(yǎng)學生的探究能力、分析思維能力,激發(fā)他們的創(chuàng)新意識、參與意識。
第三個環(huán)節(jié)是課堂練習環(huán)節(jié),出示問題,解不等式,并在數(shù)軸上表示數(shù)集:5x+15>4x-1
之所以這樣設(shè)計是因為練習是掌握知識、形成技能、發(fā)展思維的重要手段,針對本課的教學重點和難點,上述練習,目的是讓學生進一步鞏固對新知的理解。可以深化教學內(nèi)容,培養(yǎng)思維的靈活性。
最后一個環(huán)節(jié)為小結(jié)作業(yè)環(huán)節(jié),關(guān)于課堂小結(jié),我打算讓學生自己來總結(jié)今天的收獲。
這樣既發(fā)揮了學生的主體性,又可以提高學生的總結(jié)概括能力,讓我在第一時間得到學習反饋,及時加以疏導。
通過這樣的方式能夠為本節(jié)課學習的知識進行進一步的鞏固。
我的板書設(shè)計遵循簡潔明了突出重點的意圖,這是我的板書設(shè)計:
一元一次不等式組課件【篇11】
(一)復習提問:
三角形的三邊關(guān)系?
(二)列一元一次不等式組
問題:現(xiàn)有兩根木條a和b,a長10cm,b長3cm.如果要再找一根木條c,用這三根木條釘成一個三角形木框,那么對木條c的長度有什么要求?
注:這個問題是本節(jié)的'引入問題,三角形木框的形狀不唯一確定,只要能成為三角形即可.
探究:用三根長度分別為14cm,9cm,6cm的木條c1,c2,c3分別試試,其中哪根木條能與木條a和b一起釘成三角形木框?
可以發(fā)現(xiàn),當木條a和b的長度確定后,木條c太長或太短,都不能與a和b一起釘成三角形.
由于“三角形中兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊”,設(shè)木條c長xcm,則x必須同時滿足不等式x10+3①和x10-3②
注:木條c必須同時滿足兩個條件,即ca+b,ca-b.
類似于方程組,把這兩個不等式合起來,組成一個一元一次不等式組記作注:這里并未正式給一元一次不等式組下定義,只是說這兩個不等式合起來,組成一個一元一次不等式組.實際上,兩個或更多的一元一次不等式組合起來,都組成一個一元一次不等式組.
(三)一元一次不等式組的解集
類比方程組的解,怎樣確定不等式組中x的可取值的范圍呢?
不等式組中的各不等式解集的公共部分,就是不等式組中x可以取值的范圍.
注:這里還未正式出現(xiàn)不等式組的解集的概念,但已點出各不等式的解集的公共部分即不等式組中未知數(shù)的可取值范圍.
由不等式①解得x13.
由不等式②解得x7.
從圖9.3—2容易看出,x可以取值的范圍為713.
注:利用數(shù)軸可以直觀形象地認識公共部分.這個公共部分是兩端有界的開區(qū)間.
這就是說,當木條c比7cm長并且比13cm短時,它能與木條a和b一起釘成三角形木框.
一般地,幾個不等式的解集的公共部分,叫做由它們所組成的不等式組的解集.解不等式組就是求它的解集.
注:這里正式給出不等式組的解集以及解不等式組的定義13.注:利用數(shù)軸可以直觀形象地認識公共部分.這個公共部分是兩端有界的開區(qū)間.這就是說,當木條c比7cm長并且比13cm短時,它能與木條a和b一起釘成三角形木框.一般地,幾個不等式的解集的公共部分,叫做由它們所組成的不等式組的解集.解不等式組就是求它的解集.注:這里正式給出不等式組的解集以及解不等式組的定義。
一元一次不等式組課件【篇12】
一、教材分析
《一元一次不等式組》是華東師大版義務(wù)教育課程標準實驗教科書數(shù)學七年級下冊第八章第三節(jié),我把本節(jié)內(nèi)容分為兩個課時,第一課時是一元一次不等式組的概念及解法,第二課時是不等式組的實踐與探索。今天,我說課的內(nèi)容是第一課時。
《數(shù)學課程標準》對本節(jié)的要求是:充分感受生活中存在著大量的不等關(guān)系,了解不等式組的意義;會解簡單的一元一次不等式組,并會用數(shù)軸確定解集。
《一元一次不等式》的主要內(nèi)容是一元一次不等式(不等式組)的解法及其簡單應(yīng)用。是在學習了有理數(shù)的大小比較、等式及其性質(zhì)、一元一次方程的基礎(chǔ)上,開始學習簡單的數(shù)量之間的不等關(guān)系,進一步探究現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的重要內(nèi)容,是繼一元一次方程和二元一次方程組之后,又一次數(shù)學建模思想的學習,也是后繼學習一元二次方程、函數(shù)及進一步學習不等式的重要基礎(chǔ),具有承前啟后的重要作用。
《一元一次不等式組》是本章的最后一節(jié),是一元一次不等式知識的綜合運用和拓展延伸,是進一步刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的數(shù)學模型,是下一節(jié)利用一元一次不等式組解決實際問題的關(guān)鍵。因此,我把本節(jié)課的教學重點確定為一元一次不等式組的解法。
數(shù)學課程應(yīng)當從學生熟悉的現(xiàn)實生活開始,沿著數(shù)學發(fā)現(xiàn)過程中人類的活動軌跡,從生活中的問題到數(shù)學問題,從具體問題到抽象概念,從特殊關(guān)系到一般規(guī)則,逐步通過學生自己的發(fā)現(xiàn)去學習數(shù)學、獲取知識。得到抽象化的數(shù)學知識之后,再及時地把它們應(yīng)用到新的現(xiàn)實問題上去。按照這樣的途徑發(fā)展,數(shù)學教育才能較好地溝通生活中的數(shù)學與課堂上的數(shù)學的聯(lián)系,才能有益于學生理解數(shù)學,熱愛數(shù)學和使數(shù)學成為生活中有用的本領(lǐng)。
本節(jié)課,既有概念教學又有解題教學,而概念教學,應(yīng)該從生活、生產(chǎn)實例或?qū)W生熟悉的已有知識引入,引導學生通過觀察、比較、分析、綜合,抽取共性,得到概念的本質(zhì)屬性。在此基礎(chǔ)上歸納概括出概念的定義,并引導學生弄清定義中每一個字、詞的確切含義。華師版的'教科書中,只設(shè)計了一個問題情境,我感覺還不夠,不能從一個問題抽象出概念的本質(zhì)。因此,在這里我又增加了一個問題情境,以增加對不等式組概念的理解,加強數(shù)學應(yīng)用意識的培養(yǎng)。
二、學情分析
從學生學習的心理基礎(chǔ)和認知特點來說,學生已經(jīng)學習了一元一次不等式,并能較熟練地解一元一次不等式,能將簡單的實際問題抽象為數(shù)學模型,有一定的數(shù)學化能力。但學生將兩個一元一次不等式的解集在同一數(shù)軸上表示會產(chǎn)生一定的困惑。這個年齡段的學生,以感性認識為主,并向理性認知過渡,所以,我對本節(jié)課的設(shè)計是通過兩個學生所熟悉的問題情境,讓學生獨立思考,合作交流,從而引導其自主學習。
基于對學情的分析,我確定了本節(jié)課的教學難點是:正確理解不等式組的解集。
三、教學目標
在教材分析和學情分析的基礎(chǔ)上,結(jié)合預(yù)設(shè)的教學方法,確定了本節(jié)課的教學目標如下:
1、通過實例體會一元一次不等式組是研究量與量之間關(guān)系的重要模型之一。
2、了解一元一次不等式組及解集的概念。
3、會利用數(shù)軸解較簡單的一元一次不等式組。
4、培養(yǎng)學生分析、解決實際問題的能力。
5、通過實際問題的解決,體會數(shù)學知識在生活中的應(yīng)用,激發(fā)學生的學習興趣。能在解決問題過程中勤于思考、樂于探究,體驗解決問題策略的多樣性,體驗數(shù)學的價值。
四、教學手段
本節(jié)課采用多媒體教學,利用多媒體教學信息容量大、操作簡單、形象生動、反饋及時等優(yōu)點,直觀地展示教學內(nèi)容,這樣不但可以提高學習效率和質(zhì)量,而且容易激發(fā)學生學習的興趣,調(diào)動積極性。
五、教學過程
本節(jié)課的教學流程如下:實際問題——一元一次不等式組——解集——解法——應(yīng)用。
活動一、實際問題,創(chuàng)設(shè)情境
問題1。
小寶和爸爸,媽媽三人在操場上玩蹺蹺板,爸爸體重為72千克,體重只有媽媽一半的小寶和媽媽一同坐在蹺蹺板的另一端,這時爸爸的一端仍然著地。后來,小寶借來一副質(zhì)量為6千克的啞鈴,加在他和媽媽坐的一端,結(jié)果爸爸被蹺起離地。猜猜小寶的體重約是多少?在這個問題中,如果設(shè)小寶的體重為x千克。
(1)從蹺蹺板的狀況你可以找出怎樣的不等關(guān)系?
(2)你認為怎樣求x的范圍,可以盡可能地接近小寶的體重?
我提出問題(1),學生獨立思考,回答問題。
考察學生對應(yīng)用一元一次不等式解決實際問題的能力,并引出新知。
教師提出問題(2),學生小組合作、探索交流,回答問題。
我預(yù)計學生對于這個問題會產(chǎn)生兩種不同的看法:一種方法是利用估算的方法將特殊值代入來求出適合不等式組的特殊解;另一種方法是求出兩個不等式的解集,并分別將這兩個解集在數(shù)軸上表示。因此教師應(yīng)引導學生進一步理解本題的實際意義,能將兩個不等式的解集綜合分析。
這里是通過對數(shù)量關(guān)系的分析、抽象,突出數(shù)學建模思想的教學,注重對學生進行引導,讓學生充分發(fā)表意見,并鼓勵學生提出不同的解法。
問題2。
現(xiàn)有兩根木條,一根長為10厘米,另一根長為30厘米,如果再找一根木條,用這三根木條釘一個三角形木框,那么第三根木條的長度有什么要求?
教師提出問題,學生獨立思考,回答問題。
教學效果預(yù)估與對策:預(yù)計學生對三角形三邊關(guān)系可能有所遺忘,教師應(yīng)給予提示。
設(shè)計意圖:這是一個與三角形相關(guān)的問題,要求學生能綜合運用已有的知識,獨立思考、自主探索、嘗試解決,促使學生在探索和解決問題的過程中獲得體驗、得到發(fā)展,學會新的東西,發(fā)展自己的思維能力。
活動二、總結(jié)歸納,得出概念
1、一元一次不等式組
通過上面兩個實際問題的探究,歸納概括出一元一次不等式組的概念和一元一次不等式組解集的概念。
即:把兩個(或兩個以上)一元一次不等式合在一起,就得到了一個一元一次不等式組(linearinequalitiesofoneunknown)。
2、一元一次不等式組的解集
同時滿足不等式(1)、(2)的未知數(shù)x應(yīng)是這兩個不等式解集的公共部分。在同一數(shù)軸上表示出這兩個解集,找到公共部分,就是所列不等式組的解集。
不等式組中幾個不等式的解集的公共部分,叫做這個不等式組的解集。
師生活動:在活動一的基礎(chǔ)上,將學生得出的結(jié)論進行歸納總結(jié)。教師要注意傾聽學生敘述問題的準確性和全面性。
教學效果預(yù)估與對策:估計多數(shù)學生在經(jīng)歷了上述的探索過程后,能夠?qū)@個結(jié)論有所認識。
一元一次不等式組課件【篇13】
學習目標:
1、了解一元一次不等式組的概念,理解一元一次不等式組的解集的意義。
2、會解由兩個一元一次不等式組成的一元一次不等式組,能借助數(shù)軸正確的表示一元一次不等式組的解集。
3、通過探討一元一次不等式組的解法以及解集的確定,滲透轉(zhuǎn)化思想,進一步感受數(shù)形結(jié)合在解決問題中的作用。
4、體驗不等式在實際問題中的作用,感受數(shù)學的應(yīng)用價值。
學習重點:
一元一次不等式組的解法
學習難點:
一元一次不等式組解集的確定。
一、學前準備
【回顧】
1.解不等式 ,并把解集在數(shù)軸上表示出來。
【預(yù)習】
1、 認真閱讀教材34-35頁內(nèi)容
2、__________叫做一元一次不等式組。
_________叫做一元一次不等式組的解集。
叫做解不等式組。
4、求下列兩個不等式的解集,并在同一條數(shù)軸上表示出來
二、探究活動
【例題分析】
例1. (問題1)題中的買5筒錢不夠,買4筒錢又多的含義是什么?
例2. (問題2)題中的相等關(guān)系是什么?不等關(guān)系又是什么?
例3. 解不等式組
【小結(jié)】
不等式組解集口訣
同大取大,同小取小,大小小大中間找,大大小小解不了
一元一次不等式組解集四種類型如下表:
不等式組(a)
(1)xb
xb 同大取大
(2)x
x
(3)xax
a
(4)xb
無解 大大小小解不了
【課堂檢測】
1、不等式組 的解集是( )
A. B. C. D.無解
2、不等式組 的解集為( )
A.-1
3、不等式組 的解集在數(shù)軸上表示正確的是( )
A B C D
4、寫出下列不等式組的解集:(教材P35練習1)
三、自我測試
1.填空
(1)不等式組x-1 的解集是___;
(2)不等式組x-2 的解集 ;
(3)不等式組x1 的解集是____;
(4)不等式組x-4 解集是____。
2、解下列不等式組,并在數(shù)軸上表示出來
四、應(yīng)用與拓展
若不等式組 無解,則m的取值范圍是 _____.
$ 的實數(shù)都成立。
三、基本不等式的證明方法
基本不等式有多種證明方法,下面列舉其中兩種:
方法一:數(shù)學歸納法
假設(shè)基本不等式對于 $n=k$ 時成立,即對于 $k$ 個正實數(shù) $a_1,a_2,\cdots,a_k$,有以下不等式成立:
$\dfrac{a_1}{k}+\dfrac{a_2}{k}+\cdots+\dfrac{a_k}{k}\geq\sqrt[k]{a_1a_2\cdots a_k}$
現(xiàn)證明它對于 $n=k+1$ 時也成立。將 $a_{k+1}$ 插入到原來的不等式中,得到:
$\dfrac{a_1}{k+1}+\dfrac{a_2}{k+1}+\cdots+\dfrac{a_k}{k+1}+\dfrac{a_{k+1}}{k+1}\geq\sqrt[k+1]{a_1a_2\cdots a_k a_{k+1}}$
由于:
$\dfrac{a_1}{k+1}+\dfrac{a_2}{k+1}+\cdots+\dfrac{a_k}{k+1}\geq\sqrt[k]{a_1a_2\cdots a_k}$
因此,我們只需證明以下不等式:
$\dfrac{(k+1)\sqrt[k]{a_1a_2\cdots a_k}\cdot a_{k+1}}{k+1}\geq\sqrt[k+1]{a_1a_2\cdots a_k a_{k+1}}$
經(jīng)過變形化簡,可以得到:
$\sqrt[k]{a_1a_2\cdots a_k} \geq \sqrt[k+1]{a_1a_2\cdots a_k a_{k+1}}$
顯然,這是成立的。
因此,按照歸納法的證明方式,基本不等式對于所有的正整數(shù) $n$ 都成立。
方法二:對數(shù)函數(shù)的應(yīng)用
對于 $a_1,a_2,\cdots,a_n$,我們可以定義函數(shù):
$f(x)=\ln{x}$
顯然,函數(shù) $f(x)$ 是連續(xù)的、單調(diào)遞增的。根據(jù)式子:
$\dfrac{a_1}{n}+\dfrac{a_2}{n}+\cdots+\dfrac{a_n}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$
可以得到:
$\ln\left(\dfrac{a_1}{n}\right)+\ln\left(\dfrac{a_2}{n}\right)+\cdots+\ln\left(\dfrac{a_n}{n}\right)\geq\dfrac{1}{n} (\ln a_1+\ln a_2+\cdots+\ln a_n)$
即:
$\ln\left(\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\right)\leq\dfrac{\ln a_1+\ln a_2+\cdots+\ln a_n}{n}$
對于左邊的式子,有:
$\ln\left(\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\right)=\dfrac{1}{n}\ln(a_1a_2\cdots a_n)$
對于右邊的式子,有:
$\dfrac{\ln a_1+\ln a_2+\cdots+\ln a_n}{n}=\ln\left(\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\right)$
因此,我們可以得到:
$\ln(a_1a_2\cdots a_n)\geq n\ln\left(\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\right)$
即:
$a_1a_2\cdots a_n\geq\left(\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\right)^n$
這正是均值不等式的形式。因此,基本不等式得證。
四、基本不等式的應(yīng)用
基本不等式在數(shù)學和物理學中有廣泛的應(yīng)用。下面介紹幾個常見的應(yīng)用場景:
1. 最小值求解
如果有 $n$ 個正實數(shù) $a_1,a_2,\cdots,a_n$,它們的和為 $k$,求它們的積的最大值,即:
$\max(a_1a_2\cdots a_n)$
根據(jù)基本不等式,有:
$\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$
因此,可以得到:
$\dfrac{k}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$
兩邊同時取冪,可以得到:
$\dfrac{k^n}{n^n}\geq a_1a_2\cdots a_n$
即:
$\max(a_1a_2\cdots a_n)=\dfrac{k^n}{n^n}$
2. 凸函數(shù)的優(yōu)化問題
如果 $f(x)$ 是一個凸函數(shù),$a_1,a_2,\cdots,a_n$ 是正實數(shù),$b_1,b_2,\cdots,b_n$ 是任意實數(shù)且 $\sum_{i=1}^n b_i=1$,則有:
$f(b_1a_1+b_2a_2+\cdots+b_na_n)\leq b_1f(a_1)+b_2f(a_2)+\cdots+b_nf(a_n)$
這是凸函數(shù)的優(yōu)化問題中常用的基本不等式形式。它可以通過Jensen不等式或基本不等式證明。
3. 三角形求證
如果我們可以用 $a,b,c$ 表示一個三角形的三邊長,則有:
$\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}\leq\dfrac{(a+b+c)^2}{4\sqrt{3}}$
這個不等式在三角形求證中也被廣泛應(yīng)用。
五、結(jié)語
基本不等式是高中數(shù)學必修內(nèi)容之一,但其實它的應(yīng)用范圍遠不止于此。在實際問題中,基本不等式常常能給我們提供有效的解決方案。通過本文的介紹,希望讀者能夠更加深入地理解基本不等式的概念、性質(zhì)、證明方法及應(yīng)用,并能在實際問題中靈活運用。
不等式的課件 篇8
關(guān)于基本不等式的主題范文:
基本不等式是數(shù)學中非常重要的一道課題,所以我們需要從以下幾個方面來對基本不等式進行介紹。
一、基本不等式是什么
基本不等式是指數(shù)學中的一個重要定理,它表述的是任意正整數(shù)n及n個正數(shù)a1,a2,…,an的積與它們的和之間的關(guān)系。也就是說,對于任意正整數(shù)n和n個正數(shù)a1,a2,…,an,有以下不等式成立:
(a1+a2+…+an)/n ≥ (a1×a2×…×an)1/n
其中,等式成立當且僅當a1 = a2 = … = an。
二、基本不等式的證明
下面我們來看一下基本不等式的證明過程。
首先,如果我們令A(yù)i = nai和G = (a1 × a2 × … × an)1/n,則我們可以將原不等式轉(zhuǎn)化為:
(a1+a2+…+an)/n ≥ G
接下來,我們來看一下如果證明G ≤ (a1+a2+…+an)/n,那么我們就可以證明基本不等式,因為不等式具有對稱性,即如果G ≤ (a1+a2+…+an)/n,則(a1+a2+…+an)/n ≥ G也成立。
接下來,我們證明G ≤ (a1+a2+…+an)/n,即:
(a1+a2+…+an)/n ≥ (a1 × a2 × … × an)1/n
將不等式右邊兩邊平方,得到:
(a1+a2+…+an)/n ≥ (a1 × a2 × … × an)2/n
這時,我們來觀察右邊的式子,將式子中的每一項都乘以(n-1),得到:
(a1 × (n-1) + a2 × (n-1) + … + an × (n-1)) / n ≥ (a1 × a2 × … × an)2/n
繼續(xù)進行簡化,得到:
[(a1 × (n-1)) + (a2 × (n-1)) + … + (an × (n-1))] / n ≥ (n-1) × a1 × a2 × … × an / n
左邊乘以1/n,右邊除以(n-1),得到:
(a1 + a2 + … + an) / n ≥ (a1 × a2 × … × an)1/n
這樣我們就完成了基本不等式的證明。
三、基本不等式在實際中的應(yīng)用
基本不等式在實際中的應(yīng)用非常廣泛,下面我們來看一下其中的幾個例子。
1. 求平均數(shù)
如果我們已知n個正數(shù)的積,需要求它們的平均數(shù),那么根據(jù)基本不等式,我們可以得到:
(a1 + a2 + … + an) / n ≥ (a1 × a2 × … × an)1/n
等式兩邊都乘以n-1,得到:
a1 + a2 + … + an ≥ (n-1) × (a1 × a2 × … × an)1/n
這樣我們就可以求得平均數(shù):
(a1 + a2 + … + an) / n ≥ (n-1) × (a1 × a2 × … × an)1/n / n
2. 求數(shù)列中n個數(shù)的積的最大值
假設(shè)我們需要從數(shù)列{a1, a2, …, an}中選取n個數(shù),求它們的積的最大值。根據(jù)基本不等式,我們有:
(a1 + a2 + … + an) / n ≥ (a1 × a2 × … × an)1/n
因為我們需要求積的最大值,所以當?shù)仁阶筮叺暮颓『玫扔趎個數(shù)的積時,這個積才能取到最大值。因此,我們可以得到:
a1 = a2 = … = an
這樣,我們就得到了求數(shù)列中n個數(shù)的積的最大值的方法。
三、結(jié)論
通過對基本不等式的介紹,我們可以發(fā)現(xiàn)它不僅僅是一道看似簡單的數(shù)學題目,而是一個非常重要的定理,有著廣泛的應(yīng)用價值。希望大家能夠在今后的學習中更加重視基本不等式,并能夠深刻理解它的實際應(yīng)用。
不等式的課件 篇9
基本不等式是高中數(shù)學中重要的一部分,也是初學者比較難掌握的一個概念。通過學習基本不等式,可以幫助學生理解不等式的基本概念、性質(zhì)和運算。同時,對于高中數(shù)學,基本不等式還有很多相關(guān)的題型需要掌握,比如極值問題、夾逼定理等。本文將從基本不等式的定義開始,探討其相關(guān)概念、性質(zhì)和應(yīng)用。
一、基本不等式的定義
基本不等式是指對于任意正實數(shù)a、b,有以下不等式成立:
(a + b)2 ≥ 4ab
這個不等式也可以寫成:
a2 + b2 ≥ 2ab
這個不等式的含義是:對于任意兩個正實數(shù)a、b,它們的平均數(shù)一定大于等于它們的幾何平均數(shù)。
二、基本不等式的證明
對于任意實數(shù)x,y,可以用(x-y)2≥0來證明基本不等式:
(x-y)2≥0
x2-2xy+y2≥0
x2+y2≥2xy
將x換成a、y換成b,即可得到基本不等式。
三、基本不等式的相關(guān)概念
1. 等式條件:
當且僅當a=b時,等式成立。
2. 平均數(shù)與幾何平均數(shù):
平均數(shù)指的是兩個數(shù)的和的一半,即(a+b)/2;幾何平均數(shù)指的是兩個數(shù)的積的二分之一,即√(ab)。由于基本不等式的成立,可以得出平均數(shù)大于等于幾何平均數(shù)的結(jié)論。
3. 關(guān)于兩個數(shù)之和與兩個數(shù)的比值的關(guān)系:
從基本不等式得到如下兩個等式:
(a+b)2=4ab+(a-b)2;ab≥(a+b)/2
以上兩個式子給出了兩個關(guān)于兩個數(shù)之和與兩個數(shù)的比值的關(guān)系。
四、基本不等式的性質(zhì)
1. 交換律和結(jié)合律:基本不等式滿足交換律和結(jié)合律。
2. 反比例函數(shù):若f(x)=1/x,x>0,則f(a)+f(b)≤2f((a+b)/2)對于a,b>0成立。
3. 帶約束的基本不等式:若a,b>0,且a+b=k,則(a+b)/2≥√(ab),即k/2≥√(ab)。
五、基本不等式的應(yīng)用
1. 求證夾逼定理:如果a1≤b1≤c1,且a2≤b2≤c2,則(a1a2+b1b2+c1c2)/3≥(a1b2+b1c2+c1a2)/3≥√(a1b1c1a2b2c2)。
2. 判斷一個二次函數(shù)的最大值或最小值:由于二次函數(shù)的導數(shù)為一次函數(shù),可以通過求導得到函數(shù)的極值。而基本不等式可以用于判斷二次函數(shù)的極值點是否合理,即是否在定義域內(nèi)。
3. 算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)之間的關(guān)系:通過基本不等式可以證明,當兩個數(shù)的和固定時,它們的平均數(shù)越大,它們的幾何平均數(shù)就越小。
總的來說,基本不等式是高中數(shù)學不可缺少的一部分,不僅在考試中占有重要地位,而且還具有很重要的理論意義。希望本文對初學者掌握基本不等式有所幫助。
不等式的課件 篇10
教學目標:
1.一元一次不等式與一次函數(shù)的關(guān)系.
2.會根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式,畫出函數(shù)圖象,并利用不等關(guān)系進行比較.
1.通過一元一次不等式與一次函數(shù)的圖象之間的結(jié)合,培養(yǎng)學生的數(shù)形結(jié)合意識.
2.訓練大家能利用數(shù)學知識去解決實際問題的能力.
體驗數(shù)、圖形是有效地描述現(xiàn)實世界的重要手段,認識到數(shù)學是解決問題和進行交流的重要工具,了解數(shù)學對促進社會進步和發(fā)展人類理性精神的作用.
自己根據(jù)題意列函數(shù)關(guān)系式,并能把函數(shù)關(guān)系式與一元一次不等式聯(lián)系起來作答.
1.張大爺買了一個手機,想辦理一張電話卡,開米廣場移動通訊公司業(yè)務(wù)員對張大爺介紹說:移動通訊公司開設(shè)了兩種有關(guān)神州行的通訊業(yè)務(wù):甲類使用者先繳15元基礎(chǔ)費,然后每通話1分鐘付話費0.2元;乙類不交月基礎(chǔ)費,每通話1分鐘付話費0.3元。你能幫幫張大爺選擇一種電話卡嗎?
2.展示學習目標:
(1)、理解一次函數(shù)圖象與一元一次不等式的關(guān)系。
(2)、能夠用圖像法解一元一次不等式。
(3)、理解兩種方法的關(guān)系,會選擇適當?shù)姆椒ń庖辉淮尾坏仁健?/p>
積極思考,嘗試回答問題,導出本節(jié)課題。
閱讀學習目標,明確探究方向。
問題1:結(jié)合函數(shù)y=2x-5的圖象,觀察圖象回答下列問題:
問題2:如果y=-2x-5,那么當x取何值時,y>0?當x取何值時,y
巡回每個小組之間,鼓勵學生用不同方法進行嘗試,尋找最佳方案。答疑展示中存在的問題。
問題3.兄弟倆賽跑,哥哥先讓弟弟跑9m,然后自己才開始跑,已知弟弟每秒跑3m,哥哥每秒跑4m,列出函數(shù)關(guān)系式,畫出函數(shù)圖象,觀察圖象回答下列問題:
(1)何時哥哥分追上弟弟?
(2)何時弟弟跑在哥哥前面?
(3)何時哥哥跑在弟弟前面?
(4)誰先跑過20m?誰先跑過100m?
你是怎樣求解的?與同伴交流。
問題4:已知y1=-x+3,y2=3x-4,當x取何值時,y1>y2?你是怎樣做的?與同伴交流.
讓學生體會數(shù)形結(jié)合的魅力所在。理解函數(shù)和不等式的聯(lián)系。
移動通訊公司開設(shè)了兩種長途通訊業(yè)務(wù):全球通使用者先繳50元基礎(chǔ)費,然后每通話1分鐘付話費0.4元;神州行不交月基礎(chǔ)費,每通話1分鐘付話費0.6元。若設(shè)一個月內(nèi)通話x分鐘,兩種通訊方式的費用分別為y1元和y2元,那么
(1)寫出y1、y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)在同一直角坐標系中畫出兩函數(shù)的圖象;
(3)求出或?qū)で蟪鲆粋€月內(nèi)通話多少分鐘,兩種通訊方式費用相同;
(4)若某人預(yù)計一個月內(nèi)使用話費200元,應(yīng)選擇哪種通訊方式較合算?
在共同探究的過程中加強理解,體會數(shù)學在生活中的重大應(yīng)用,進行能力提升。
積極完成導學案上的檢測內(nèi)容,相互點評。
學生回顧總結(jié)學習收獲,交流學習心得。
教材P51.習題2.6知識技能1;問題解決2,3.
一、學習與探究:
1.一元一次不等式與一次函數(shù)之間的關(guān)系;
2.做一做(根據(jù)函數(shù)圖象求不等式);
四、課后作業(yè):
等式課件
幼兒教師教育網(wǎng)編輯為大家整理的“等式課件”或許能幫助您解決一些疑惑。教案課件是每個老師在開學前需要準備的東西,每個人都要計劃自己的教案課件了。?設(shè)計有創(chuàng)意的教學課件可以增加學生的學習趣味。我們提供的樣本僅供參考具體操作請根據(jù)實際情況做出調(diào)整!
等式課件 篇1
【教材分析】
在新課程改革中,教材是重要的教育教學因素。等式的基本性質(zhì)是學生解方程的依據(jù),它是系統(tǒng)學習方程的開始。這節(jié)課的內(nèi)容在簡易方程中就起到了承上啟下的作用。原來的教材中對于等式的基本性質(zhì)只是初步的認識,并沒有總結(jié)成概念性的東西,但學生實際運用時卻需要概念來作支撐,所以在教材中作了調(diào)整,讓學生通過觀察天平演示實驗,由具體實物之間的平衡關(guān)系抽象概括出等式的兩個基本性質(zhì)就成了本節(jié)課的教學重點。本課“等式的基本性質(zhì)”是在上一節(jié)剛剛認識了等式和方程的基礎(chǔ)上進行教學的。,其核心思想是構(gòu)建等量關(guān)系的數(shù)學模型。課程標準要求學生能“理解等式的性質(zhì),會利用等式的性質(zhì)解簡單的方程”。
【教學目標】
1.通過天平演示保持平衡的幾種變換情況,初步認識等式的基本性質(zhì)。
2.利用觀察天平保持平衡所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律,能直接判斷天平發(fā)生變化后能否保持平衡。
3.逐步養(yǎng)成觀察與概括。比較與分析的能力。
【教學重點】
掌握等式的基本性質(zhì)。
【教學難點】
理解并掌握等式的性質(zhì),能根據(jù)具體情境列出相應(yīng)的方程。
【數(shù)學思想】
轉(zhuǎn)化的思想,數(shù)形結(jié)合的思想,符號化的思想
【教學過程】
一。創(chuàng)設(shè)情境,引出問題
教師活動
學生活動及達成目標
師:同學們,你們做過天平游戲嗎?這節(jié)課我們要利用天平一起來探索等式的性質(zhì)。(板書課題:等式的性質(zhì))
達成目標:由熟悉的天平引出課題激發(fā)學生的興趣。
二。共同探索,總結(jié)方法
教師活動
學生活動及達成目標
(一)等式的基本性質(zhì)一
1.出示教材第64頁情境圖1第一個天平圖。
讓學生仔細觀察圖,并說一說:通過圖你知道了什么?
教師小結(jié):1個茶壺的重量=2個茶杯的重量。
追問:如果設(shè)一個茶壺的重量是a克,1個茶杯的重量是b克,能用式子表示嗎?
(師板書)
引導學生思考:如果在天平的兩邊同時再各放上一個茶杯,天平會發(fā)生什么變化呢?為什么?
教師先進行實際操作天平驗證,再演示這一過程,并明確:兩邊仍然相等。
提問:如果兩邊各放上2個茶杯,還保持平衡嗎?
兩邊各放同樣的一把茶壺呢?
2.出示教材第64頁圖2的第一個天平圖。
(1)如果用a表示一個花盆的重量,用b表示一個花瓶的重量,怎樣用等式來表示這幅圖呢?
(2)如果把兩邊都拿掉1個花瓶,天平還平衡嗎?讓學生嘗試用等式怎樣表示?
從圖上你能知道什么?(出示教材第64頁圖2第二個天平圖)
3.通過這幾個實驗,你發(fā)現(xiàn)了什么?
4.你能用一句話來表示你的發(fā)現(xiàn)嗎?
(二)等式的基本性質(zhì)二
1.猜猜:除了向前面這樣的變化,天平仍保持平衡外,還可以怎么做能使天平保持平衡?
這時教師一定要及時強調(diào):這都是把等式的兩邊加上或減去同一個數(shù),并提示學生如果把等式的兩邊同時乘或除以一個相同的數(shù)(O除外),會怎么樣呢?
2.出示教材第65頁圖1的第一個天平圖,讓學生觀察并說明。
引導學生用a表示墨水的重量,用b表示鉛筆盒的重量,用式子怎樣表示?
猜一猜:左邊墨水的數(shù)量擴大到原來的2倍,右邊鉛筆盒的數(shù)量也擴大到原來的2倍,天平還保持平衡嗎?
如果把天平的兩邊物品的數(shù)量分別擴大到原來的。3倍。4倍呢?
3.出示教材第65頁圖2的第一個天平圖,讓學生觀察并說明知道了什么。
質(zhì)疑:如果把兩邊的球都平均分成2份,各去掉一份,天平還能平衡嗎?
教師演示。
4.通過剛才的試驗,你發(fā)現(xiàn)了什么?
5.你能用一句話總結(jié)一下等式的這個性質(zhì)嗎?
6.為什么等式兩邊不能除以O(shè)?
1.自主回答,學生可能會回答:天平的左邊放了一把茶壺,右邊放了兩個茶杯,天平保持平衡;這說明一個茶壺的重量與2個茶杯的重量相等。
嘗試寫出:a=2b
先猜一猜,學生可能會猜測出天平仍然平衡,因為兩邊加上的重量一樣多。
觀察小結(jié):實驗證明1個茶壺+1個茶杯的質(zhì)量=3個茶杯的質(zhì)量。
同時學生嘗試用字母表示這個式子:a+b=2b+b
學生回答后,教師演示,并讓學生分別用式子表示:a+2b=2b+2ba+a=2b+a
觀察現(xiàn)在的天平是什么樣的?(平衡)
生嘗試寫出:a+b=4b
先猜一猜,再回答,平衡:a+b-b=4b-b
得出1個花盆和3個花瓶同樣重。
3.學生思考后小結(jié):平衡的天平兩邊加上同樣的物品,天平還保持平衡。平衡的天平兩邊減去同樣的物品,天平還保持平衡。
4.學生歸納等式的性質(zhì)1:等式兩邊加上或減去同一個數(shù),左右兩邊仍然相等。
達成目標:通過演示在天平的兩邊同時放上或拿走同樣的物品,天平仍然平衡。給學生思考。感悟天平保持平衡的變化規(guī)律,提供了直觀的觀察材料。從而得出天平平衡的原理,即等式的一條基本性質(zhì):等式兩邊加上或減去相等的數(shù),等式不變。
1.如:學生猜測天平的兩邊同時放2個。3個杯子;同時減去一把茶壺等。
2.學生觀察并說明:
一瓶墨水的重量=一盒鉛筆盒的重量
寫出等式:a=b。
學生猜測平衡后,教師進行實際天平操作,驗證學生的猜測。
學生用等式表示:2a=2b。
天平仍然保持平衡
3.學生觀察得出:
2個排球的質(zhì)量=6個皮球的質(zhì)量
有了前面的經(jīng)驗學生用a表示排球的重量,用6表示皮球的重量,寫出等式:2a=6b。
學生猜測:平衡,并能用等式a=3b表示。
4.學生會發(fā)現(xiàn):平衡的天平兩邊的物品擴大到原來的相同倍數(shù),天平仍然平衡。平衡的天平兩邊的物品都縮小到原來的幾分之一,天平仍然平衡。
5.學生歸納小結(jié):等式兩邊乘同一個數(shù),或除以同一個不為0的數(shù),左右兩邊仍然相等。
達成目標:等式基本性質(zhì)2的推導在性質(zhì)1的基礎(chǔ)上,讓學生自己通過實驗探究,運用知識的遷移得出,這樣培養(yǎng)了學生的邏輯思維能力,抽象概括能力和口頭表達能力。
6.學生交流,匯報:O不能做除數(shù)。
三。運用方法,解決問題
教師活動
學生活動及達成目標
出示教材第66頁練習十四第4.5題。
學生試做集體訂正,注意學生列式計算時的取值是否正確。
四。反饋鞏固,分層練習
教師活動
學生活動及達成目標
基礎(chǔ)練習:利用等式的性質(zhì)填空
1.如果2x-5=9,那么2x=9+()
2.如果5=10+x,那么5x-()=10
3.如果3x=7,那么6x=()
4.如果5x=15,那么x=()
拓展練習:見課件
讓學生回憶等式的性質(zhì),再自主完成填空。
達成目標:等式的基本性質(zhì)一是簡易方程部分重要的概念,不僅要理解,而且還要會應(yīng)用。
五。課堂總結(jié),提升認識
教師活動
學生活動及達成目標
這節(jié)課你運用了哪些,你有什么收獲?你對自己這堂課的表現(xiàn)是怎么評價的?
學生總結(jié)本節(jié)課的收獲,在梳理總結(jié)過程中提高學生對性質(zhì)的認識和理解。
等式課件 篇2
教學內(nèi)容:教科書第3~4頁的內(nèi)容,練習一的4~6題。
教學目標:
1、通過學習,使學生知道等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù),所得的結(jié)果仍然是等式。
2、根據(jù)等式的性質(zhì)(一)學會解決含有加、減號的方程。
3、有意識地培養(yǎng)學生的自學能力。
教學過程:
一、教學例3
出示圖,學生根據(jù)圖獨立填空。
根據(jù)學生的回答,板書:
20=20xx+10=20+10
X=50X+20=50+20
50+a=50+a50+a-a=50+a-a
X+20=70X+20-20=70-20
提問:比較兩邊的算式,你有什么發(fā)現(xiàn),在小組里說說。
全班交流,引導學生說出:等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù),所得的結(jié)果仍然
是等式。這是等式的性質(zhì)。
獨立完成練一練第1題
二、教學例4
學生自學,不懂的問題和同組同學交流,能解決的就小組內(nèi)交流。
全班交流:例4中還有什么不懂的地方提出來,能由學生解決的就由學生解決,
學生解決不了的教師解決。
一是方法:根據(jù)等式的性質(zhì)把含有未知數(shù)的這邊化簡成就含有一個未知數(shù)。
二是檢驗:把計算的結(jié)果代到原式,看左右兩邊是否相等。
三強調(diào)書寫的格式。
小結(jié):求方程中未知數(shù)值的過程,叫做解方程。
完成試一試練一練的第2題。
學生獨立完成后集體訂正,重點幫助有困難的學生,針對學生出錯的地方及時分
析錯誤原因,幫助他們弄懂。
三、課堂作業(yè)
練習一的第4、5、6題。
第4、6題做在書上,第5題寫在作業(yè)本上。
板書:
等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù),所得的結(jié)果仍然是等式。
這時等式的性質(zhì)。
X+10=50
解:X+10-10=50-10
X=40
教后小記
等式課件 篇3
《不等式及其基本性質(zhì)》習題
【教學內(nèi)容】
課本上不等式的五個基本性質(zhì),并學會應(yīng)用.【教學目標】
1、掌握不等式的五個基本性質(zhì)并且能正確應(yīng)用.
2、經(jīng)歷探究不等式基本性質(zhì)的過程,體會不等式與等式的異同點,發(fā)展學生分析問題和解決問題的能力.
3、開展研究性學習,使學生初步體會學習不等式基本性質(zhì)的價值.
【重點難點】
重點:理解不等式的五個基本性質(zhì).難點:對不等式的基本性質(zhì)3的認識.【教學方法】
本節(jié)課采用“類比-實驗-交流”的教學方法.【教學過程】
一、回顧交流.
1、等式的基本性質(zhì) 解一元一次方程的基本步驟
2、問題牽引:
用“﹥”或“﹤”填空,并總結(jié)其中的規(guī)律:
(1)5>3,5+2
3+2,5-2 3-2 ;
(2)–1
-1+2 3+2,-1-3 3-3 ;
結(jié)果:
(1)>、>(2)
當不等式兩邊加或減去同一個數(shù)(正數(shù)或負數(shù))時,不等號的方向______
3、繼續(xù)探究,接著又出示(3)、(4)題: 5 2×5,6×(3)6>2,6×(-5)
2×(-5),6 3×6,(4)2
3×(-6).得到:
當不等式的兩邊同乘以一個正數(shù)時,不等號的方向不變; 當不等式的兩邊同乘以一個負數(shù)時,不等號的方向改變.總結(jié)出不等式的性質(zhì): 不等式的性質(zhì)1:不等式的兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子),不等號的方向不變.c
> b±c 字母表示為:如果a>b,那么a±不等式的性質(zhì)2:不等式的兩邊乘(或除以)同一個正數(shù),不等號的方向不變.字母表示為:如果a>b,c>0那么ac
> bc,不等式的性質(zhì)3:不等式的兩邊乘(或除以)同一個負數(shù),不等號的方向改變.字母表示為:如果a>b,c<0那么ac
不等式的對稱性:如果a>b,那么bb,b>c,那么a>c
二、范例學習,應(yīng)用所學.
1、利用不等式的性質(zhì)解下列不等式. (1)x-7>26
(2)3x
(4)-4x﹥3
22、逐題分析得出結(jié)果.(1)x-7>26 分析:解未知數(shù)為x的不等式,就是要使不等式逐步化為x﹥a或x﹤a的形式.
解:(1)為了使不等式x-7>26中不等號的一邊變?yōu)閤,根據(jù)不等式的性質(zhì)1,不等式兩邊都加7,不等號的方向不變,得 x-7+7﹥26+7 x﹥33(2)3x
為了使不等式3x
23不等號的方向不變,得 x﹥75(4)-4x﹥3
為了使不等式-4x﹥3中的不等號的一邊變?yōu)閤,根據(jù)不等式的性質(zhì)3,不等式兩邊都除以-4,不等號的方向改變,得x
3 4通過(3)(4)的求解過程,類似于解方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)(未知數(shù)系數(shù)化為1),解不等式時要注意未知數(shù)系數(shù)的正負,以決定是否改變不等號的方向.三、課堂探究.
已知a
四、課堂小結(jié)提問.不等式性質(zhì)的作用.
等式課件 篇4
尊敬的各位老師,下午好!
我叫孫有璽,來自音河中學。很高興能把《不等式的性質(zhì)(1)》一課的教學和大家一起探討。下面我將從學生狀況、教學任務(wù)、教學過程、設(shè)計說明等四個方面加以分析。
一、學生狀況分析:
七年級下期的學生活潑好動,有一定合作探究意識,在知識方面已經(jīng)學習了有理數(shù)大小比較,等式及基本性質(zhì)。這些都為自主探究不等式的性質(zhì)打下了良好的基礎(chǔ)。
二、教學任務(wù)分析:
(一)教材地位與作用:
不等式是初中代數(shù)的重要內(nèi)容之一,是已知量與未知量的矛盾統(tǒng)一體。數(shù)學關(guān)系中的相等與不等是事物運動和平衡的反映,學習研究數(shù)量的不等關(guān)系,可以更好地認識和掌握事物運動變化的規(guī)律。“不等式的性質(zhì)”是學生學習整個不等式知識的理論基礎(chǔ),為以后學習解不等式(組)起到奠基的作用。
(二)教學目標:
知識目標:
探索不等式的基本性質(zhì),并能準確運用不等式的三條性質(zhì)將不等式變形。
能力目標:
讓學生學會類比的思想對等式性質(zhì)及不等式性質(zhì)進行了比較,培養(yǎng)學生的觀察、分析、歸納的能力。
情感目標:
通過“等”與“不等”的比較使學生進一步領(lǐng)會對立統(tǒng)一的思想,培養(yǎng)學生辨證唯物主義的觀點。
(三)教學重點、難點:
不等式的性質(zhì)是本節(jié)不等式變形的基礎(chǔ),也是今后解不等式(組)的依據(jù),所以掌握不等式的基本性質(zhì),并能正確運用它們將不等式變形是本節(jié)課的重點。
不等式的兩邊同乘以(或除以)負數(shù),不等號方向改變和等式的性質(zhì)不同,學生學習起來比較困難,因此,不等式性質(zhì)3的理解與正確使用是本節(jié)課的難點。讓學生自己動口、動手、動腦,進行比較、討論,并加以強化練習達到突破的目的。
(四)教學方法與學法的指導:
本節(jié)課屬于性質(zhì)類知識,重在探索,意在應(yīng)用。因此,我采用啟發(fā)誘導、實例探究的方法進行教學,這種教學方法以“主動探索”為基礎(chǔ),先“引導發(fā)現(xiàn)”后“講評點撥”,讓學生在克服困難與障礙的過程中發(fā)展自己的觀察力、想象力、思維力。引導學生學會類比、歸納的學習方法,幫助他們在自主探究過程中理解和掌握不等式的性質(zhì)。
三、教學過程
(一)復習提問、引入新課
為了使學生自己能在教師的指導下,自主探究問題,發(fā)現(xiàn)問題,獲得結(jié)論。而不是把現(xiàn)成的結(jié)論告訴學生。對于不等式性質(zhì)的發(fā)現(xiàn),我采用了下面的作法,我首先帶領(lǐng)學生復習等式的性質(zhì)
等式性質(zhì)1等式兩邊加(或減)同一個數(shù)或式子,結(jié)果仍相等。
等式性質(zhì)2等式兩邊乘同一個數(shù),或除以同一個不為零的數(shù),結(jié)果仍相等。
(二)合作交流、探究新知
在復習等式性質(zhì)后,教師提出不等式是否也有類似的性質(zhì)呢?先引導學生對不等式的兩邊都加、減同一個數(shù),會發(fā)現(xiàn)什么呢?學生通過思考和計算后會說出不等式兩邊都加、減同一個數(shù),“仍是不等式”。此時,教師抓住學生敘述中的問題予以糾正,不能籠統(tǒng)的說“仍是不等式”,因為“=”沒有方向性,而不等號有方向性,所以要改為“不等號的方向不變”。接著,讓學生不等式作兩邊都乘以或除以同一個數(shù)的變形,會發(fā)現(xiàn)什么呢?學生通過計算和討論,甚至會發(fā)生爭執(zhí),教師要深入學生,通過共同探討,學生會發(fā)現(xiàn)不等式兩邊都乘以或除以正數(shù),不等號方向不變,兩邊都乘以或除以負數(shù),不等號方向改變。最后由學生歸納出不等式的`性質(zhì)2和性質(zhì)3。
我這樣安排的目的是為了讓學生通過動手、動口、動腦發(fā)揮合作精神,學會運用類比、歸納的數(shù)學思想去探究問題,同時學生也會品嘗到成功的喜悅,從而提高他們學習數(shù)學的興趣。
(三)靈活運用、鞏固練習
為使學生能夠準確運用性質(zhì)將不等式變形,也為例題的教學做一些鋪墊,我先設(shè)置了兩組搶答題:
搶答:看誰答的快又準
1·設(shè)m>n,用“<”或“>”填空:
(1)m—5___n—5
(2)m+4___n+4
(3)6m___6n(4)
—5m___—5n
2·判斷:
(1)∵3+x>3+y,∴x>y()
(2)∵3>2,∴n+3>2+n()
(3)∵a<b,∴2a+1<2b+1()
(4)∵—2a<6,∴x>—3()
在學生練習過程中,老師特別強調(diào):當不等式兩邊同乘以或除以負數(shù)時,“不等號的方向改變”。
接著,給出例題:
例1·利用不等式的性質(zhì)解下列不等式,并在數(shù)軸上表示解集:
(1)x+7>10
(2)3x>2x+1
(3)—10x>50
(4)—4x
例2·根據(jù)下列已知條件,說出a與b的不等關(guān)系:
(1)a—3>b—3
(2)—a>—b
(3)—2a+1
例1由學生分組討論,寫出解題過程,老師展示幾個同學的解答并給予講解。對于例2我采用先引導學生分析解題思路,再讓學生口述解題過程,并說明根據(jù)不等式的哪一條性質(zhì),由師生共同完成。
為了解學生能否獨立運用性質(zhì)將練習三,安排學生演板:
3·利用不等式的性質(zhì)解不等式。
(1)—3x>12
(2)3x—4
請兩位學生演板,其余學生獨立完成,并對學生演板的結(jié)果作出評價,教師深入小組,發(fā)現(xiàn)問題及時糾正,通過學生的互相評價找出應(yīng)用不等式基本性質(zhì)進行變形中出現(xiàn)的錯誤,以防患于未然。
以上練習完成之后,學生已能準確運用不等式的性質(zhì),將不等式變形,為培養(yǎng)學生的解題能力,讓學生更深層地理解不等式的基本性質(zhì),在此基礎(chǔ)上我又作出了一些引申和推廣。
4·判斷正誤,并說明理由。
(1)∵5>4,∴5a>4a
(2)不等式2x>5x的兩邊同除以x,得2>5
(3)若ac2>bc2,則a>b
第4題設(shè)計說明,當不等式兩邊同乘或除以一個字母,而字母的取值不明確時,需對字母分情況討論。
〔四〕歸納小結(jié)、整體把握
為幫助學生從整體把握本節(jié)課所學的知識,培養(yǎng)良好的學習習慣,讓學生自己對本節(jié)課所學知識以及用到的解決問題的方法進行小結(jié)。方法是:由學生四人一組互談本節(jié)課的收獲,總結(jié)解題方法,并說明解題過程中應(yīng)該注意的問題,然后請一位同學小結(jié),其他學生補充,達到鞏固知識的目的。
教學設(shè)計說明
學生的學習內(nèi)容應(yīng)該是現(xiàn)實的、有趣的和富有挑戰(zhàn)性的,而老師則應(yīng)該創(chuàng)造一個有利于學生主動求知的學習環(huán)境。因此,本節(jié)課把培養(yǎng)學生的學習興趣和思維能力放在首位。教學中采用合作學習的方式,互相交流,集思廣益,突破創(chuàng)新,以達到共同提高的目的。然后,通過多樣化的練習鞏固知識,既調(diào)動學生的積極性,又使學習伙伴之間進行了思維的碰撞和溝通。使其在輕松的氛圍中多層次、多角度地掌握“不等式的性質(zhì)”。
本節(jié)課的設(shè)計體現(xiàn)了一個原則:低起點、多練習、勤反饋、快矯正、重能力、以求最大限度提高課堂效率。
等式課件 篇5
均值不等式
教學目標
(一) 知識與技能:明確均值不等式及其使用條件,能用均值不等式解決簡單的最值問題.
(二) 過程與方法:通過對問題主動探究,實現(xiàn)定理的發(fā)現(xiàn),體驗知識與規(guī)律的形成過程.
(三) 情感態(tài)度與價值觀:通過問題的解決以及自身的探索研究領(lǐng)略獲取新知的喜悅.教學重點:均值不等式的推導與證明,均值不等式的應(yīng)用.教學難點:均值不等式的應(yīng)用 教學過程
創(chuàng)設(shè)情境如圖,AB是圓的直徑,D是CAB上與A、B不重合的一點,AD=a,DB=b,過點D作垂直于AB的弦CD,連AC,BC,AaODbB則CD=__,半徑OC=____E 討論 :(1)CD OC (2)文字敘述(幾何意義): (3)試用含a、b的表達式來表示上述關(guān)系 注意:(1)當 時, (2)a、b的取值范圍
探求新知:均值不等式的內(nèi)容及證明
均值定理:
證明:(比較作差法)
變形應(yīng)用:(1)
(2)
討論釋疑:
牛刀小試:已知x?0,則x?1x? 例
1、已知ab?0,求證:baa?b?2并推導出式中等號成立的條件
例
2、求函數(shù)f(x)?x2?2x?3x(x?0)的最值,以及此時x的值
精煉鞏固:
?t2 1.設(shè)t?0,則函數(shù)f(t)?4t?1的最小值為此時t的值
4 2.已知正數(shù)a,b滿足a?b?1,則ab有最值為
點撥提高:
總結(jié)本節(jié)課的你的收獲。
課堂小測:
1 .已知正數(shù)a,b滿足a?b?1,則1a?1b有最值為。 2 .設(shè)x?3,則函數(shù)f(x)?(x?3)?2x?3的最小值為此時x的值3.已知a、b?R?,求證:(a?11a)(b?b)?4
課堂小測:
1 .已知正數(shù)a,b滿足a?b?1,則1a?1b有最值為。 2 .設(shè)x?3,則函數(shù)f(x)?(x?3)?2x?3的最小值為此時x的值3.已知a、b?R?,求證:(a?11a)(b?b)?4
課堂小測:
1
.已知正數(shù)a,b滿足a?b?1,則1a?1b有最值為。 2 .設(shè)x?3,則函數(shù)f(x)?(x?3)?2x?3的最小值為此時x的值3.已知a、b?R?,求證:(a?11a)(b?b)?4
課堂小測:
1
.已知正數(shù)a,b滿足a?b?1,則1a?1b有最值為。 2 .設(shè)x?3,則函數(shù)f(x)?(x?3)?2x?3的最小值為此時x的值3.已知a、b?R?,求證:(a?11a)(b?b)?4
不等式基本性質(zhì)教學設(shè)計
《等式的性質(zhì)》教學設(shè)計
《等式的性質(zhì)》教學設(shè)計
等式性質(zhì)教學設(shè)計(共8篇)
基本不等式教學設(shè)計
等式課件 篇6
教學內(nèi)容:教科書第3~4頁的內(nèi)容,練習一的4~6題。
教學目標:1、通過學習,使學生知道等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù),所得的結(jié)果仍然是等式。
2、有意識地培養(yǎng)學生的自學能力。
教學重點與難點:根據(jù)等式的性質(zhì)(一)學會解決含有加、減號的方程。
教學流程:
一、教學例3
出示圖,學生根據(jù)圖獨立填空。
根據(jù)學生的回答,板書:
20=20xx+10=20+10
X=50X+20=50+20
50+a=50+a50+a-a=50+a-a
X+20=70X+20-20=70-20
提問:比較兩邊的算式,你有什么發(fā)現(xiàn),在小組里說說。
全班交流,引導學生說出:等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù),所得的結(jié)果仍然
是等式。這是等式的性質(zhì)。
獨立完成練一練第1題
二、教學例4
學生自學,不懂的問題和同組同學交流,能解決的就小組內(nèi)交流。
全班交流:例4中還有什么不懂的地方提出來,能由學生解決的就由學生解決,學生解決不了的教師解決。
一是方法:根據(jù)等式的性質(zhì)把含有未知數(shù)的這邊化簡成就含有一個未知數(shù)。
二是檢驗:把計算的結(jié)果代到原式,看左右兩邊是否相等。
三強調(diào)書寫的格式。
小結(jié):求方程中未知數(shù)值的過程,叫做解方程。
完成試一試練一練的第2題。
學生獨立完成后集體訂正,重點幫助有困難的學生,針對學生出錯的地方及時分
析錯誤原因,幫助他們弄懂。
三、課堂作業(yè)
練習一的第5題。
板書:
等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù),所得的結(jié)果仍然是等式。
這時等式的性質(zhì)。
X+10=50
解:X+10-10=50-10
X=40
等式課件 篇7
1、具體情境,感受天平平衡
通過課件展示情境圖引導學生小結(jié)出等式并用字母表示。
2、猜想假設(shè)、小結(jié)規(guī)律
先讓學生猜想然后再通過課件在天平上演示過程。驗證學生的猜想,用字母表示。引導學生小結(jié)出:等式兩邊同時加上同一個數(shù),左右兩邊仍然相等。
3、觀察思考、總結(jié)發(fā)現(xiàn)
通過課件對教材第64頁圖2的演示過程讓學生獨立思考,再通過小組合作討論總結(jié)出發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。等式的性質(zhì)1:等式兩邊加上或減去同一個數(shù),左右兩邊仍然相等。
4、假設(shè)數(shù)據(jù)、驗證規(guī)律
得到結(jié)論后通過假設(shè)物體的具體的數(shù)據(jù)驗證學生自己總結(jié)出的規(guī)律。
5、口算練習、應(yīng)用規(guī)律
通過一些簡單的等式問答應(yīng)用等式兩邊同加或同減相同的數(shù)以加強規(guī)律的應(yīng)用。
6、設(shè)疑思考
提出問題讓學生思考還有沒有其他的運算也能使等式左右兩邊相等。留給學生思維的空間,再通過課件引導學生一步步總結(jié)出等式的性質(zhì)2:等式兩邊乘同一個數(shù),或除以同一個不為0的數(shù),左右兩邊仍然相等。
等式課件 篇8
1、創(chuàng)設(shè)情景,引發(fā)認知沖突
以前學生解方程習慣用加減法、乘除法互為逆運算的方式解方程,這樣的思路只適宜解比較簡單的方程,例如:x+3=5、3x=-12等,簡單的一元一次方程的解用估算的方法或逆運算的方式我們都可以求出方程的解;而象19+28x=33x-1這樣比較復雜的方程我們用上述方法還能求出它的解嗎?我利用學生認知上的沖突引入新課。這樣既激發(fā)了學生的學習興趣又明確了本節(jié)課的教學目的。為等式性質(zhì)的構(gòu)建做好鋪墊。
2、實驗探索,從特殊到一般
等式性質(zhì)的呈現(xiàn)屬于實驗探究型課,目的是要學生在活動中體驗等量的變化關(guān)系和等式的性質(zhì)。這里我分段逐步呈現(xiàn)等式的特性。首先出示平衡天平的圖形,給學生一個天平平衡的印象,引導學生用字母構(gòu)建一個等式,接著在上一個平衡天平的基礎(chǔ)上,兩側(cè)同放一個三角形的符號表示物體的重量,讓學生觀察這時出現(xiàn)什么現(xiàn)象,同時提出問題:怎樣做,兩邊才會保持平衡?通過學生實驗得出使天平兩邊平衡的方法,并用字母式子表示實驗的過程,再通過歸納,概括出對象的共同屬性加以表述,接著通過幾個練習加以鞏固,然后借助上一個實驗的經(jīng)驗和方法,進一步指導學生完成天平兩邊成倍變化的實驗,最后根據(jù)實驗情況觀察歸納結(jié)論。同時注意在總結(jié)時先讓學生根據(jù)實驗,把自己所得到的結(jié)論敘述出來,然后教師再對學生的結(jié)論給予概括得到等式的性質(zhì)。
上述講授等式的性質(zhì)用的是觀察實驗法,實驗觀察是科學研究的一種基本的方法,它是根據(jù)客觀事物和現(xiàn)象找出它具有的客觀規(guī)律,有助于發(fā)現(xiàn)一些數(shù)學事實,抽象出對象的屬性,再通過歸納,概括出對象的共同屬性加以表述。同時也體現(xiàn)了由特殊到一般的思維認知規(guī)律。
3、強化概念,指導學生嘗試
關(guān)于等式概念、等式與方程的聯(lián)系的引出,教法上采用充分利用學生已有的知識、練習回顧、交流的方式。等式的性質(zhì)的教學,采用師生共同觀察實驗,讓學生通過對直觀圖形的觀察、實驗和猜想,自已發(fā)現(xiàn)結(jié)論,并用總結(jié)的形式表述結(jié)論。等式性質(zhì)的理解和掌握關(guān)鍵在于應(yīng)用,只有通過大量練習來鞏固和提高,練習的速度越快正確越高,說明知識理解和掌握的越好。因此在教學中得到等式性質(zhì)后,就用三組嘗試練習加強鞏固和提高,這樣既調(diào)動了學生學習的趣味性和主動性,增強了學生積極參與教學活動的意識,又很好地培養(yǎng)了學生的動手操作能力、觀察能力、邏輯思維能力和總結(jié)歸納能力,同時,也向?qū)W生滲透了實踐——認識——再實踐——再認識的一種學習方法,使新舊知識技能得到了有機的結(jié)合。
等式課件 篇9
教學內(nèi)容:教科書第3~4頁的內(nèi)容,練習一的4~6題。
教學目標:1、通過學習,使學生知道等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù),所得的結(jié)果仍然是等式。
2、根據(jù)等式的性質(zhì)(一)學會解決含有加、減號的方程。
3、有意識地培養(yǎng)學生的自學能力。
教學過程:
一、教學例3
出示圖,學生根據(jù)圖獨立填空。
根據(jù)學生的回答,板書:
20=2020+10=20+10
X=50X+20=50+20
50+a=50+a50+a-a=50+a-a
X+20=70X+20-20=70-20
提問:比較兩邊的算式,你有什么發(fā)現(xiàn),在小組里說說。
全班交流,引導學生說出:等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù),所得的結(jié)果仍然
是等式。這是等式的性質(zhì)。
獨立完成練一練第1題
二、教學例4
學生自學,不懂的問題和同組同學交流,能解決的就小組內(nèi)交流。
全班交流:例4中還有什么不懂的地方提出來,能由學生解決的就由學生解決,
學生解決不了的教師解決。
一是方法:根據(jù)等式的性質(zhì)把含有未知數(shù)的這邊化簡成就含有一個未知數(shù)。
二是檢驗:把計算的結(jié)果代到原式,看左右兩邊是否相等。
三強調(diào)書寫的格式。
小結(jié):求方程中未知數(shù)值的過程,叫做解方程。
完成試一試練一練的第2題。
學生獨立完成后集體訂正,重點幫助有困難的學生,針對學生出錯的地方及時分
析錯誤原因,幫助他們弄懂。
三、課堂作業(yè)
練習一的第4、5、6題。
第4、6題做在書上,第5題寫在作業(yè)本上。
等式課件 篇10
一、學情分析:作為初一學生(132班和137班)在小學時已經(jīng)對等量關(guān)系和等式的性質(zhì)有所了解,通過本節(jié)課的學習,目的是要使學生從天平的特點中歸納得出等式的性質(zhì)。
新課標對本節(jié)課的要求是:掌握等式的性質(zhì)。在前面一節(jié)課的學習中,學生掌握了一元一次方程的概念和初步應(yīng)用后,需要解決的是一元一次方程的解法。本節(jié)內(nèi)容借助于等式的性質(zhì)這一工具來解一元一次方程。首先,通過天平的實驗操作,使學生學會觀察。嘗試分析歸納等式的性質(zhì)。然后,利用等式的性質(zhì)解一元一次方程。通過解方程的學習提高學生的觀察問題、解決問題的能力。
2、教育教學目標。
根據(jù)以上對教材的理解與內(nèi)容分析,考慮到學生已有的知識結(jié)構(gòu)和心理特征,制定如下教學目標:
(1)知識與技能:探究等式的性質(zhì),并能利用等式的性質(zhì)進行等式變形、解簡單的一元一次方程。
(2)過程與方法:通過實驗培養(yǎng)學生探索能力、觀察能力,歸納能力和應(yīng)用新知識的能力。
(3)情感態(tài)度價值觀:積極參與數(shù)學活動,體驗探索等式性質(zhì)過程的挑戰(zhàn)性和數(shù)學結(jié)論的確定性,建立學生學好數(shù)學的信心。
為了使學生能比較順利地達到教學目標,我確定了本節(jié)課的教學重、難點:
教學重點:探究等式的性質(zhì),能根據(jù)等式性質(zhì)進行等式變形、解簡單的一元一次方程。
教學難點:利用等式的性質(zhì)把簡單的一元一次方程變形為x=a(常數(shù))的形式;正確理解等式性質(zhì)2中除數(shù)不能為0。
(一)教學手段:如何突出重點、突破難點,從而實現(xiàn)教學目標,我在教學過程中利用多媒體演示擬計劃進行如下操作:
1、讀(看)――議――講結(jié)合法。
2、圖表分析法。
3、讀圖討論法。
4、教學過程中堅持啟發(fā)式教學的`原則。
堅持“以學生為主體,以教師為主導”的原則。即“以學生活動為主導,教師講述為輔,學生活動在前,教師點撥評價在后”的原則。根據(jù)初一學生的心理發(fā)展規(guī)律。聯(lián)系實際安排教學內(nèi)容,采用學生參與高度的學導式討論教學法、師生交談法、圖象信號法、問答法、教學課堂討論法,使學生動口、主動探索、發(fā)現(xiàn)問題、解決問題、互動合作、歸納概括、形成能力,突出學生的主體地位。在采用問答法時,特別注重不同難度的問題。
提問不同層次的學生面向全體,使基礎(chǔ)差的學生也有表現(xiàn)的機會,培養(yǎng)其自信心,激發(fā)學習熱情,有效開發(fā)各層次學生的潛在能力求使每個學生都在原有基礎(chǔ)上得到發(fā)展,同時通過課堂練習和課后作業(yè)啟發(fā)學生。在教學中要積極培養(yǎng)學生數(shù)學學習興趣和動機。明確學習目的,教師應(yīng)在課堂上充分調(diào)動學生積極性,激發(fā)來自學生主體的最有力的動力。
實際上,青少年好動,注意力易分散,愛發(fā)表見解。希望得到老師的表揚所以在教學中應(yīng)抓住學生這一生理特點。一方面運用直觀生動的形象,引發(fā)學生興趣,使他們的注意力始終集中在課堂上。另一方面要創(chuàng)造條件和機會,讓學生發(fā)表見解,發(fā)揮學生學習的主動性。
首先我出了一些可以看出方程解的題目,讓學生回答,由易到難,激起學生學習的欲望,緊接著就引入等式的定義,從而使學生明白解方程先要研究等式,從而引入課題。
由于學生的認知結(jié)構(gòu)是由簡單到復雜,由具體到抽象的過程,因此在這一環(huán)節(jié)中,我分兩個方面來教學:等式的性質(zhì)1由老師課件演示,學生觀察歸納概括。
我利用多媒體依次展示天平圖的各個操作。讓學生通過觀察,用語言來描述發(fā)現(xiàn),與同桌交流。這樣由具體演示到抽象概括,使學生記憶深刻,充分體現(xiàn)了學生為主體,教師為主導的原則。
通過上面的觀察,讓學生分組討論:如何用算式表示實驗結(jié)果?學生交流后,教師進行課件演示。
本節(jié)課,讓學生經(jīng)歷一種從平衡到不平衡再到新的平衡的過程,體驗變化是怎樣產(chǎn)生的,怎樣從打破平衡,又怎樣達到新的平衡。從而培養(yǎng)了學生觀察能力和抽象概括能力。
我接著提問:如果天平兩邊減去相同的質(zhì)量,天平會有什么變化?
讓學生先獨立思考,然后教師課件演示。你又發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?怎樣用等式描述?得出等式兩邊同時減去同一個數(shù),等式仍然成立。并且由以上兩條規(guī)律得出:等式的兩邊同時加上或減去同一個數(shù),等式仍然成立。
如果在天平兩邊同時加上或減去不同的質(zhì)量,天平會有什么變化?
學生經(jīng)過思考得出:等式的兩邊加上或減去的必須是同一個數(shù),才能使等式成立。這樣符合學生的認知規(guī)律,從實踐認識,再到實踐認識的過程。
教師再用課件展示天平圖,學生通過觀察,歸納得出:等式兩邊同時乘或除以同一個數(shù)(除數(shù)不能為0),等式仍然成立。
等式基本性質(zhì)2的推導在性質(zhì)1的基礎(chǔ)上,讓學生自己通過觀察探究,運用知識的遷移得出,這樣培養(yǎng)了學生邏輯思維能力,抽象概括能力和口頭表達能力。
(2)若a=b,則ac=bc,
注意:
(1)等式兩邊都要參加運算,且是同一種運算。
(2)等式兩邊加或減,乘或除以的數(shù)一定是同一個數(shù)或同一個式子。
(3)等式兩邊不能都除以0,即0不能作除數(shù)或分母。
在這個環(huán)節(jié)中把等式的兩個性質(zhì)展示出來,我特別提到了三個注意:因為這是在等式性質(zhì)解方程中容易出錯的地方,就是希望同學們認真細心,正確利用性質(zhì)解題。
我在練習中設(shè)計了三道題,從簡單的填空到判斷變形對錯,到最后的解方程,方程的四道題也是有簡單到復雜,總之練習題的設(shè)計,低起點,小臺階,循序漸進,符合學生接受知識的特點,是那些平時不舉手的同學也積極參與,竟然問題也答得很好。從這些方面培養(yǎng)了學生的靈活性,使學生獲得成功的滿足感。
作業(yè)設(shè)計:
PPT投影出課本第83頁習題3.1第4題。
等式課件 篇11
一、教材分析
等式的基本性質(zhì)是學生在剛剛認識了等式與方程的基礎(chǔ)上進行教學的。它是系統(tǒng)學習方程的開始,其核心思想是構(gòu)建等量關(guān)系的數(shù)學模型。本節(jié)課的學習是學生在實驗的基礎(chǔ)上,掌握等式的兩個基本性質(zhì),引導學生通過比較,發(fā)現(xiàn)規(guī)律,并為今后運用等式的基本性質(zhì)解方程打基礎(chǔ)。同時培養(yǎng)學生數(shù)學思維能力。
二、教學目標:
知識與技能:理解并能用語言表述等式的基本性質(zhì),能用等式的基本性質(zhì)解決簡單問題。
過程與方法:在用算式表示實驗結(jié)果、討論、歸納等活動中,經(jīng)歷探索等式基本性質(zhì)的過程。
情感態(tài)度價值觀:積極參與數(shù)學活動,體驗探索等式基本性質(zhì)過程的挑戰(zhàn)性和數(shù)學結(jié)論的確定性。
三、教學重點是:
引導學生探索發(fā)現(xiàn)等式的基本性質(zhì),利用等式的基本性質(zhì)解決簡單問題。
教學難點是抽象歸納出等式的基本性質(zhì)。
四、教學程序(分三部分教學)
(一)聯(lián)系實際,激趣引入
首先激發(fā)探究興趣:提出問題:“同學們,你用天平做過游戲嗎?”這節(jié)課我們就利用天平一起來探索天平游戲中所包含的數(shù)學知識。”
(二)自主探索,合作交流
學習等式的基本性質(zhì)1
1、具體情境,感受天平平衡
利用多媒體依次展示天平圖的各個操作。讓學生通過觀察,用語言來描述發(fā)現(xiàn),與同桌交流。這樣由具體演示到抽象概括,使學生記憶深刻,充分體現(xiàn)了學生為主體,教師為主導的原則。
圖1、圖2的教學模式:先讓學生觀察,問:你發(fā)現(xiàn)了什么?然后提問:怎樣變換,能使天平仍然保持平衡呢?待學生思考片刻,再進一步提問:往兩邊各放1個杯子,天平會發(fā)生什么變化?生口答,驗證。接下去,繼續(xù)提問:如果兩邊各放上2個茶杯,天平還會保持平衡嗎?兩邊各放上同樣的一把茶壺呢?生答,再一一演示驗證。
圖3、圖4的教學模式和前面一樣。
板書如下:
2、總結(jié)抽象,認識規(guī)律
通過上面的觀察,先用一句話歸納圖1和圖2的內(nèi)容。(1、等式的兩邊都加上或減去相同的數(shù),等式不變。)再以第一句話為基礎(chǔ)歸納出圖3和圖4的內(nèi)容。(2、等式的兩邊都乘或除以相同的數(shù)(0除外)等式不變。)
教師指出這是等式的一個非常重要的性質(zhì)。板書:等式的基本性質(zhì)
(三)鞏固練習,深化認識
練習題的設(shè)計,低起點,小臺階,循序漸進,符合學生接受知識的特點,培養(yǎng)了學生的靈活性,使學生獲得成功的滿足感。
1、根據(jù)圖(1)在下面每幅圖的括號里填上適當?shù)姆柣驍?shù)字,使天平平衡。
2、課堂作業(yè)。(當堂完成)
填一填。(a、b均不為0)
(1) 如果x+a=b,那么x+a-a=b○
(2) 如果x-a=b,那么x-a+a=b○
(3) 如果ax=b,那么a x÷a=b○
(4) 如果x÷a =b,那么x÷a×a=b○
3、拓展訓練。
五、最后,關(guān)注學生的和感受,提出:通過本節(jié)課的學習你有什么收獲?
一元一次不等式課件
每位老師不可或缺的課件是教案課件,因此教案課件可能就需要每天都去寫。教案是課程開展的向?qū)А=裉煨【帪榇蠹規(guī)砹艘黄P(guān)于“一元一次不等式課件”的相關(guān)文章,如果你希望長期關(guān)注我的分享請不要忘記將它收藏起來!
一元一次不等式課件 篇1
【知識與技能】
1、了解一元一次不等式組的概念。
2、理解一元一次不等式組的解集,能求一元一次不等式組的解集。
3、會解一元一次不等式組。
【過程與方法】
通過具體問題得到一元一次不等式組,從而了解一元一次不等式組的概念,解出每個不等式,利用數(shù)軸求出各不等式解集的公共部分,從而得到不等式組的解集,通過解幾個有代表性的一元一次不等式組,總結(jié)出求不等式組解集的法則。
【情感態(tài)度】
運用數(shù)軸確定不等式組的解集是行之有效的方法。這種“數(shù)形結(jié)合”的方法今后經(jīng)常用到,鍛煉同學們數(shù)形結(jié)合的能力,提高學習興趣。
【教學重點】
一元一次不等式組的解法。
【教學難點】
確定一元一次不等式組的解集。
一、情境導入,初步認識
問題1 現(xiàn)有兩根木條a和b,a長10cm,b長3cm,如果要再找一根木條c,用這三根木條釘成一個三角形木框,那么木條c的長度有什么要求?
解:由于三角形中兩邊之____大于第三邊,兩邊之____小于第三邊,設(shè)c的長為xcm,則x<____,①x>____,②
合起來,組成一個__________。
由①解得_____________,由②解得_____________。
在數(shù)軸上表示就是________________。
容易看出:x的取值范圍是____________________。
這就是說,當木條c比____cm長并且比____cm短時,它能與木條a和b一起釘成三角形木框。
問題2 由上面的解不等式組的過程用自己的語言歸納出一元一次不等式組的解法。
【教學說明】全班同學可獨立作業(yè),也可分組自由討論,10分鐘后交流成果,逐步得出結(jié)論。
二、思考探究,獲取新知
思考什么叫一元一次不等式組,什么叫一元一次不等式組的解集,什么叫解不等式組?
【歸納結(jié)論】
1、定義:
(1)一元一次不等式組:幾個含有相同未知數(shù)的一元一次不等式合起來組成一個一元一次不等式組。
(2)一元一次不等式組的解集:幾個不等式的解集的公共部分,叫做由它們所組成的不等式的解集。
(3)解不等式組:求一元一次不等式組的解集的過程叫解一元一次不等式組。
2、一元一次不等式組的解法:
(1)求出每個一元一次不等式的解集。
(2)求出這些解集的公共部分,便得到一元一次不等式組的解集。
一元一次不等式課件 篇2
一元一次不等式教案
教學目標
1、能夠根據(jù)實際問題中的數(shù)量關(guān)系,列一元一次不等式(組)解決實際問題.
2、通過例題教學,學生能夠?qū)W會從數(shù)學的角度認識問題,理解問題,提出問題,?? 學會從實際問題中抽象出數(shù)學模型.
3、能夠認識數(shù)學與人類生活的密切聯(lián)系,培養(yǎng)學生應(yīng)用所學數(shù)學知識解決實際問題的意識.
教學重點? 能夠根據(jù)實際問題中的數(shù)量關(guān)系,列出一元一次不等式(組)解決 實際問題
教學難點? 審題,根據(jù)實際問題列出不等式.
例題? 甲、乙兩商場以同樣的。價格出售同樣的商品,并且又各自推出不同的優(yōu)惠方案:在甲商場累計購物超過100元后,超出100元的部分按90%收費;在乙商場累計購物超過50元后,超出50元的部分按95%收費。顧客到哪家商場購物花費少??
解:設(shè)累計購物x元,根據(jù)題意得
(1)當0 < x≤50時,到甲、乙兩商場購物花費一樣;
(2)當50< x≤100時,到乙商場購物 m. 花費少;
(3)當x > 100時,到甲商場的花費為100+0.9(x-100) , 到乙商場的花費為50+0.95(x-50)則
50+0.95(x-50) > 100+0.9(x-100),解之得x >150
50+0.95(x-50) < 100+0.9(x-100),解之得x < 150
50+0.95(x-50) = 100+0.9(x-100),?? 解之得x = 150
答:當0 < x≤50時,到甲、乙兩商場購物花費一樣;
當50< x≤100時,到乙商場購物花費少;當x>150時,到甲商場購物花費少;當100 < x <150時,到乙商場購物花費少;當x=150時,到甲、乙兩商場購物花費一樣。
變式練習? 學校為解決部分學生的午餐問題,聯(lián)系了兩家快餐公司,兩家公司的報價、質(zhì)量和服務(wù)承諾都相同,且都表示對學生優(yōu)惠:甲公司表示每份按報價的90%收費,乙公司表示購買100份以上的部分按報價的80%收費。問:選擇哪家公司較好?
解:設(shè)購買午餐x份,每份報價為“1”,根據(jù)題意得
0.9x > 100+0.8(x-100),解之得x >200
0.9x < 100+0.8(x-100),解之得x < 200
0.9x = 100+0.8(x-100),解之得x = 200
答:當x>200時,選乙公司較好;當0 < x <200時,選甲公司較好;當x=200時,兩公司實際收費相同。
作業(yè)
1、某商店5月1號舉行促銷優(yōu)惠活動,當天到該商店購買商品有兩種方案,方案一:用168元購買會員卡成為會員后,憑會員卡購買商店內(nèi)任何商品,一律按商品價格的8折優(yōu)惠;方案二:若不購買會員卡,則購買商店內(nèi)任何商品,一律按商品價格的9.5折優(yōu)惠。已知小敏5月1日前不是該商店的會員。請幫小敏算一算,采用哪種方案更合算?
2、某單位計劃10月份組織員工到杭州旅游,人數(shù)估計在10~25之間。甲乙兩旅行社的服務(wù)質(zhì)量相同,且組織到杭州旅游的價格都是每人200元。該單位聯(lián)系時,甲旅行社表示可以給予每位旅客七五折優(yōu)惠;乙旅行社表示可先免去一帶隊領(lǐng)導的旅游費用,其余游客八折優(yōu)惠。問該單位怎樣選擇,可使其支付的旅游總費用較少?
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一元一次不等式課件 篇3
尊敬的各位老師:
大家好,今天,我說課的內(nèi)容是一元一次不等式。
對于本節(jié)課,我將從教什么、怎么教、為什么這么教來闡述本次說課。
新課標指出:數(shù)學課程要面向全體學生,適應(yīng)學生個性發(fā)展的需要,使得人人都能獲得良好的數(shù)學教育,不同的人在數(shù)學上都能得到不同的發(fā)展。今天我將貫徹這一理念從教材分析、學情分析、教學過程等幾個方面展開我的說課。
教材是連接教師和學生的紐帶,在整個教學過程中起著至關(guān)重要的作用,所以,先談?wù)勎覍滩牡睦斫狻?/p>
本節(jié)課主要講述的是一元一次不等式的概念及其解法。
在本節(jié)課之前學生已經(jīng)掌握了一元一次方程的相關(guān)知識和不等式的性質(zhì),所以,本節(jié)課類比一元一次方程的解法,利用不等式的性質(zhì)解一元一次不等式。另外,本節(jié)課為后續(xù)學習解一元一次不等式組奠定基礎(chǔ)。
不等式在日常生產(chǎn)生活中的應(yīng)用很廣泛,它與數(shù)、式、方程、函數(shù)甚至幾何圖形有著密切的聯(lián)系,它幾乎滲透到初中數(shù)學的每一部分。所以,本節(jié)課在數(shù)學領(lǐng)域中起著非常重要的地位。
合理把握學情是上好一堂課的基礎(chǔ),本次課所面對的學生群體具有以下特點。
本學段的學生逐漸掌握抽象概念和復雜的概念系統(tǒng),能作科學定義,抽象邏輯思維逐步占優(yōu)勢。
本階段的學生類比推理能力都有了一定的發(fā)展,并且在生活中已經(jīng)遇到過很多關(guān)于一元一次方程的具體的事例,所以在生活上面有了很多的經(jīng)驗基礎(chǔ)。為本節(jié)課的順利開展做好了充分準備。
根據(jù)以上對教材的.分析以及對學情的把握,我制定了如下三維目標:
通過對比解一元一次方程的步驟,學生自己總結(jié)歸納一元一次不等式步驟的過程,提高歸納能力,并學會類比的學習方法。
通過數(shù)學建模,提高對數(shù)學的學習興趣。
本著新課程標準,吃透教材,了解學生特點的基礎(chǔ)上我確定了以下重難點:
掌握一元一次不等式的概念,會解一元一次不等式并能夠在數(shù)軸上表示出來。
一元一次不等式課件 篇4
人教版七年級數(shù)學下冊《一次函數(shù)與一元一次不等式》教學反思
例1:請畫出函數(shù)y=-3x+12的圖像,你能利用圖像解決下列問題嗎?
(1)方程-3x+12=0的解(2)不等式-3x+12>0的解集.
(3)如果y的值在-6≤y≤6的范圍內(nèi),那么相應(yīng)的x的值在什么范圍內(nèi)?
問題一提出,就有學生不假思索,答案脫口而出,前兩問也太簡單了吧?我提醒學生注意題目要求,這時有學生開始畫函數(shù)圖像。讓學生自己動手,畫出一次函數(shù)y=-3x+12的圖像,目的是讓學生從畫圖的過程中感受從左至右,直線是呈“下降”趨勢的。即y隨x的增大而減小。對于前兩問,學生還比較好理解,但到第3問,有些學生就找不到答案了。這時就要引導學生從第2問,開始延伸,當解-3x+12>0,即函數(shù)值為正數(shù)時,對應(yīng)的函數(shù)的圖像在x軸的上方,y>0時,坐標系中表示的`是一個平面區(qū)域,在這個區(qū)域中找出對應(yīng)的自變量x的取值范圍即為不等式的解。讓學生對第3問,再次進行探究,由圖像找出函數(shù)值在-6--6之間的部分,對應(yīng)地可以找出自變量x的取值范圍。要求學生能在函數(shù)圖像上找到這個區(qū)域,老師再用多媒體進行動態(tài)演示。進一步激發(fā)學生思考,你能用其他方法解決這個問題嗎?學生能聯(lián)想到第3問也可以利用解不等式組的方法求出x的取值范圍。通過本題的解決,讓學生初步感受不等式與方程、函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系
一元一次不等式課件 篇5
一元一次不等式的應(yīng)用教案
一元一次不等式的應(yīng)用教案 孫云云 一、前置作業(yè) 請自學課本12、13頁,相信你會有很大的收獲!帶著的你的例子借助一元一次不等式來解決實際問題。 二、教學過程 一)導入 在現(xiàn)實中的許多問題,可以借助于一元一次不等式來解決。本節(jié)課我們來研究用元一次不等式解決實際 問題。 二、檢查前置作業(yè),交流組內(nèi)存在問題 怎樣借助一元一次不等式解決實際問題 三、班級匯報展示 帶著你的`例子借助一元一次不等式來解決實際問題。 四、總結(jié)提升 你學會了什么? 五、布置作業(yè) 教學反思:開始課堂沉悶,學生有些緊張,后來在教師的調(diào)解下,氣氛活躍了。樊廣文出的題中缺少一個條件,馬悅出的三道題所提出的問題都有不正確,盡管學生在編的實際問題中出現(xiàn)了失誤,但學生真的動起來了,在思想的相互碰撞中,每個問題都得到了解決。但也有不足,如小組的時效性較小,雖然經(jīng)歷了小組交流,但問題并未深入的解決,馬悅的三道題是代表小組的,但小組只停留在馬悅出題了,也沒有交流她出題的正確性。導致三道題都出現(xiàn)同一個問題。在今后的教學中教師更應(yīng)該關(guān)注小組的時效性。
一元一次不等式組課件優(yōu)選13篇
幼兒教師教育網(wǎng)今天為大家介紹的是一篇有關(guān)“一元一次不等式組課件”的文章。對于新入職的老師而言,教案課件還是很重要的,因此教案課件不是隨便寫寫就可以的。只有高質(zhì)量的教案才能帶來好的教學效果。希望本文能夠為您提供一些實用建議!
一元一次不等式組課件【篇1】
教學目標
1.能夠根據(jù)具體問題中數(shù)量關(guān)系,列出一元一次不等式組,解決簡單問題。
2.滲透“數(shù)學建模”思想。最優(yōu)化理論。
3.提高分析問題解決問題能力。
教學重點
分析實際問題列不等式組。
教學難點
1.找實際問題中的不等關(guān)系列不等式組。
2.有條理的表達思考過程。
教學過程
一、創(chuàng)設(shè)問題情境。
本節(jié)課我們一起學習用一元一次不等式組解決一些簡單的實際問題。
出示問題:
某公園售出一次性使用門票,每張10元。為吸引更多游客,新近推出購買“個人年票”的售票方法。年票分A、B兩類。A類年票每張100元,持票者每次進入公園無需再購買門票。B類年票每張50元,持票者進入公園時需再購買每次2元的門票。你能知道某游客一年中進入該公園至少超過多少次,購買A類年票最合算嗎?
二、建立模形。
1.分析題意回答:
①游客購買門票,有幾種選取擇方式?
②設(shè)某游客選取擇了某種門票,一年進入該公園x次,門票支出是多少?
③買A類年票最合算,應(yīng)滿足什么關(guān)系?
2.討論交流,列出不等式組。
3.解不等式組,說出問題的答案。
三、應(yīng)用。
學生討論、交流。
1.什么情況下,購買每次10元的門票最合算。
2.什么情況下,購買B類年票最合算?
學生清晰、有條理地表達自己的思考過程,且考慮問題要全面。
四、練習。
某校安排寄宿時,如果每項間宿舍住7人,那么有1間雖有人住,但沒住滿。如果每間宿舍住4人,那么有100名學生住不下。問該校有多少寄宿生?有多少間宿舍?
(提示學生找到本題中的兩個不等關(guān)系。學生人數(shù),宿舍間數(shù)都為整數(shù)。解本題時,先獨立思考,再小組交流)
五、小結(jié)
列一元一次不等式組,解決實際問題的基本步驟是什么?(討論、交流,指名回答)
六、作業(yè)。
習題1.3A組第1題。
后記:
一元一次不等式組課件【篇2】
[學習目標]
1.進一步鞏固一元一次不等式組的解法
2.會用一元一次不等式組解決有關(guān)的實際問題
3.理解一元一次不等式組應(yīng)用題的一般解題步驟
[學習重點]一元一次不等式組的應(yīng)用
[學習難點]在實際問題中尋找不等關(guān)系,列出不等式組
[學習過程]
一、春耕(創(chuàng)設(shè)情境,導入新課)
在上課之前,老師請大家來幫一個忙,幫老師來解決一道難題:老師有一個熟人姓王,他有一個哥哥和一個弟弟,哥哥的年齡是20歲,小王的年齡的2倍加上他弟弟年齡的5倍等于97.現(xiàn)在小王要老師猜猜他和他弟弟的年齡各是多少?俗話說三個臭皮匠,可抵一個諸葛亮,現(xiàn)在我們?nèi)嗤瑢W可抵得上很多諸葛亮,所以老師相信大家一定有辦法的.
二、夏耘(師生互動,課堂探究)
(一)提出問題,引發(fā)討論
當一個未知數(shù)同時滿足幾個不等關(guān)系時,我們就按這些關(guān)系分別列幾個不等式,這樣就得到不等式組,用不等式組解決實際問題時,其公共解是否一定為實際問題的解呢?請舉例說明.
例:甲以5km/時的速度進行跑步鍛煉,2小時后,乙騎自行車從同地出發(fā)沿同一條路追趕甲.但他們兩人約定,乙最快不早于1小時追上甲,最慢不晚于1小時15分追上甲.你能確定乙騎車的速度應(yīng)當控制在什么范圍嗎?
(二)導入知識,解釋疑難
1.教材內(nèi)容講解
如課本例2(P145)(請同學自己閱讀,動手列不等式組進行求解,再將自己答案與課本答案進行比較)不等式組的解集為15
又如:將若干只雞放入若干個籠,若每個籠里放4只,則有1只雞無籠可放;若每個籠里放5只,則有1籠無雞可放,那么至少有多少只雞,多少個籠?
2.探究活動
把16根火柴首尾相接,圍成一個長方形(不包括正方形),怎樣找到圍出不同形狀的長方形個數(shù)最多的辦法呢?最多個數(shù)又是多少呢?
三.秋收(歸納總結(jié),知識回顧)
1. 應(yīng)用不等式組解決實際問題的步驟:1.審清題意;2.設(shè)未知數(shù),根據(jù)所設(shè)未知數(shù)列出不等式組;3.解不等式組;4.由不等式組的解確立實際問題的解;5.作答.(與列方程組解應(yīng)用題進行比較)
2.雙基練習
1.已知方程組 有正整數(shù)解,則k的取值范圍是_________.
2.若不等式組 無解,求a的取值范圍.
3.當2(m-3)x-m的解集.
4.某學校為學生安排宿舍,現(xiàn)有住房若干間,若每間5人還有14人安排不下,若每間7人,則有一間還余一些床位,問學校有幾間房可以安排學生住宿?可以安排住宿的學生多少人?
四.冬藏(創(chuàng)新提升)
某商場為了促銷,開展對顧客贈送禮品活動,準備了若干件禮品送給顧客,在一次活動中,如果每人送5件,則還余8件,如果每人送7件,則最后一人還不足3件.設(shè)該商場準備了m件禮品,有x名顧客獲贈,請回答下列問題:
(1)用含x的代數(shù)式表示m.
(2)求出該次活動中獲贈顧客人數(shù)及所準備的禮品數(shù)
一元一次不等式組課件【篇3】
教學目標:
了解一元一次不等式的概念,掌握一元一次不等式的解法。
教學重點:
是掌握解一元一次不等式的步驟
教學難點:
是必須切實注意遇到要在不等式兩邊都乘以(或除以)同一負數(shù)時,必須改變不等號的方向。
教學過程:
一、問題導入
復習:
1、不等式的基本性質(zhì)有哪些?什么是一元一次方程?并舉出兩個例子。
2、觀察不等式x+3<5與x<2,說明解x<2是x+3<5依據(jù)什么變形得到的?
3、解一元一次方程:6x+5=7-2x,目的是為了與下面所學的解一元一次不等式進行類比,找到它們的聯(lián)系與區(qū)別。
二、指導自學,小組合作交流
請同學們根據(jù)以下提問進行自學,先個人思考,后小組合作學習。
1、觀察下列不等式,說一說這些不等式有哪些共同特點?
(1)2x+5≥8(2)x+1≤—4(3)x<2(4)6—3x>43(x+1)≤0
觀察上面不等式有哪些共同特點,讓學生通過交流,再總結(jié)一元一次不等式的概念。老師板書定義。
2、讓學生舉出2或3個一元一次不等式的例子,小組交流。
3、讓學生通過比較解一元一次方程:6x+5=7-2x的解法試解一元一次不等式:6x+5<7-2x,并將解集在數(shù)軸上表示出來。
4、思考:一元一次不等式與一元一次方程的解法有哪些類似之處?有什么不同?
5、解下列不等式,并把它們的解集在數(shù)軸上表示出來。
(1)3-x<2x+9(2)2-4(x-1)>3(x+2)-x
(3)(x-1)/3≥(2-x)/2+1
總結(jié):解一元一次不等式的依據(jù)和解一元一次不等式的步驟。
三、互動交流,教師點撥
(一)、學生易出錯的問題和注意的事項:
1、確定一個不等式是不是一元一次不等式,要抓住三個要點:左右兩邊都是整式,只有一個未知數(shù),未知數(shù)的次數(shù)是1。
2、對于(1),讓學生說明不等式3-x<2x+9的每一步變形的依據(jù)是什么,特別注意的是:解不等式的移項和解方程的移項一樣。即移項要變號(培養(yǎng)學生運用類比的數(shù)學思想)。
3、不等式兩邊同時除以(-3)時,不等號的方向改變。
2、重點點撥(2)和(3),先讓學生到黑板上板演。老師再講評。
(2)易出錯的地方是:去括號時漏乘,括號前是負號,去掉括號后括號里的項沒變號,還有移項沒有變號;(3)易出錯的地方是:去分母時漏乘無分母的項。
3、歸納解一元一次不等式的步驟(與解一元一次方程的步驟類比):去分母,去括號,移項,合并同類項,系數(shù)化為1。(在系數(shù)化為1這一步要特別提醒學生注意當系數(shù)為負數(shù)時,要記住改變不等號的方向。)
四、鞏固練習
1、判斷下列不等式是不是一元一次不等式,為什么?
(1)2/x—3
(2)5x+3x–1
(4)x(2x+1)
(5)X+2≥x
2、解下列不等式,并把它們的解集在數(shù)軸上表示出來
(1)3x–8
(2)2(x–1)≥x+3
(3)x/5≥1+(x–3)/2
3、[思考]當x取何值時,代數(shù)式(x–2)/2的值比(3x+1)/3的值大?
小結(jié):
(1)不等式兩邊同時除以負數(shù)時,不等號的方向要改變。
(2)注意去括號時不要漏乘,括號前是負號,去掉括號后括號里的項要變號,還有移項一定要變號
(3)去分母時不要漏乘無分母的項。
一元一次不等式組課件【篇4】
教學建議
一、知識結(jié)構(gòu)
本書首先結(jié)合實例引入一元一次不等式組的解集的概念,然后通過三個例題說明利用數(shù)軸解一元一次不等式組的方法,最后對一元一次不等式組的解法步驟進行了總結(jié).
二、重點、難點分析
本節(jié)教學的重點是掌握一元一次不等式組的解法步驟并準確地求出解集.難點是正確應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)對不等式進行變形、求不等式組中各個不等式解集的公共部分.不等式在中學代數(shù)中是研究問題的重要工具,例如求函數(shù)的定義域、值域、研究函數(shù)的單調(diào)性,求最大值、最小值,一元二次方程根的討論等,都要用到不等式的知識.不等式也是進一步學習其他數(shù)學內(nèi)容的基礎(chǔ).學習和掌握不等式的求解和不等式的證明方法,對培養(yǎng)學生邏輯思維能力也有極其重要的作用.在處理解不等式的問題中,一元一次不等式組的解法,具有特別重要的意義.這是因為,解各類不等式的問題都可以歸結(jié)為解一些由簡單不等式所組成的不等式組.
1、在構(gòu)成不等式組的幾個不等式中
①這幾個一元一次不等式必須含有同一個未知數(shù);
②這里的“幾個”并未確定不等式的個數(shù),只要不是一個,兩個,三個,四個……都行.
2、當幾個不等式的解集沒有公共部分時,我們就說這個不等式組無解.
3、由兩個一元一次不等式組成的不等式的解集,共歸結(jié)為下面四種基本情況:
【注意】①其中第(4)個不等式組,實質(zhì)上是矛盾不等式組,任何數(shù)都不能使兩個不等式同時成立。所以說這個不等式組無解或說其解集為空集。②從上面列出的表中,我們可以概括出來不等式組公共解的一規(guī)律:同大取大,同小取小,一大一小中間找。
三、教法建議
1.解本節(jié)的引例及例1、例2、例3時,注意把解不等式組的思路講清楚,即先分別解每一個不等式,求出解集,再求這些解集的公共部分.求公共部分的過程一定要結(jié)合數(shù)軸來講。
2.這節(jié)課的講解自始至終要突出解不等式組的基本思想以及解一元一次不等式組的步驟這兩個重點.準確熟練地解一元一次不等式以及用數(shù)軸上的點表示不等式的解集是這節(jié)課的基礎(chǔ),因此講新課之前要復習提問這些內(nèi)容。
3.求公共解集是這節(jié)課的新授內(nèi)容,教師要充分利用數(shù)軸表示不等式解集具有形象、直觀、易于說明問題這些優(yōu)點.解集的公共部分教師可用彩筆在數(shù)軸的相應(yīng)部分描畫出來,使學生感到醒目,便于理解記憶。
4.每組不等式不要超過三個,關(guān)鍵是使學生理解和掌握解不等式組的基本思想和兩個步驟,不宜做過于難、過于多、重復的機械計算。
一元一次不等式組課件【篇5】
〖教學目標〗
1、理解一元一次不等式組的概念.
2、理解不等式組的解的概念.
3、會解由兩個一元一次不等式組成的不等式組,并會用數(shù)軸確定解.
4、培養(yǎng)學生類比推理能力.
〖教學重點與難點〗
教學重點:一元一次不等式組的解法.
教學難點:例2較為復雜,幾乎包括了解一元一次不等式的全部步驟,是本節(jié)教學的難點,用數(shù)軸表示一元一次不等式組的解也是難點。
〖教學過程〗
一.引入
1.想一想:某單位從超市購買了墨水筆和圓珠筆共15桶,所付金額超過570元,但不到580元。已知這兩種筆每桶的單價為圓珠筆34.90元/支,墨水筆44.90元/支。設(shè)購買圓珠筆X桶,你能列出幾個不等式?
2.學生活動:找出已知條件,列出所有不等關(guān)系式,互相討論,類推概念,鼓勵學生通過觀察,分析,補充解決問題。
3.最后教師總結(jié)兩個不等式。
如設(shè)購買圓珠筆的桶數(shù)為X,則:
二.新課
1.一元一次不等式組:一般地,由幾個同一個未知數(shù)的一元一次不等式所組成的一組不等式,叫做一元一次不等式組。像上面就是一元一次不等式組,再
例如:
都是一元一次不等式組.
2.不等式組解的概念:組成不等式組的各個不等式的解的公共部分就是不等式組的解.當它們沒有公共部分時.我們稱這個不等式組無解.
3.做一做:
例1.解一元一次不等式組
解:解不等式①,
得:
X>-1
解不等式②,
得:
X≤6
把
①
②兩個不等式的解表示在數(shù)軸上,如下圖:
-1
6
所以原不等式組的解是-14.應(yīng)用拓展:解由兩個一元一次不等式組成的不等式組,在取各個不等式的解公共部分時,有幾種不同情況嗎?若a用數(shù)軸試一試.(設(shè)a一般由兩個一元一次不等式組成的不等式組由四種基本類型確定,它們的解集、數(shù)軸表示如下表一元一次不等式組解集圖示口訣x>ax>bx>b大大取大xxx小小取小x>axa比小大,比大小,中間找xx>b無解比小小,比大大,解不了(無解)5.嘗試反饋:試一試,利用數(shù)軸分別求出滿足下列各組不等式組的x值的公共部分:6.探索較復雜的不等式組的解法:例2.解一元一次不等式組解:由不等式①,去擴號得3-5X>X-4X+2移項,整理得-2X>-1所以X解不等式②,去分母得3X-2>10-2X移項,整理得5X>12所以X>把①,②兩個不等式的解表示在數(shù)軸上.12所以原不等式組無解.7.通過范例,幫助學生總結(jié)解一元一次不等式組的步驟:(1)依次解各個一元一次不等式.(2)把各個一元一次不等式的解分別表示在同一數(shù)軸上.(3)根據(jù)解在數(shù)軸上的表示確定不等式組的解.三.鞏固(學生活動,與同伴交流自己的問題和解決問題的過程)1.解下列一元一次不等式組:2.分別求出本節(jié)開頭問題中購買墨水筆和圓珠筆的桶數(shù)四.歸納1.學生談本節(jié)課的收獲:優(yōu)等生談學到什么知識,上進生談體會;2.教師小結(jié):這節(jié)課主要學習了一元一次不等式組及不等式組的解的有關(guān)概念,要求會解有兩個一元一次不等式組成的一元一次不等式組,并會用數(shù)軸確定解集;也可以利用口訣“大大取大,小小取小,比小大比大小取中間,比大大比小小無解”來求不等式組的解。五.布置作業(yè)
一元一次不等式組課件【篇6】
一元一次不等式組
教學目標:1.學生通過生活實例,了解一元一次不等式組的意義和一元一次不等式組的解集的概念。
2.學生能利用數(shù)軸熟練的確定一元一次不等式組的解集,培養(yǎng)學生的觀察能力,分析能力。
3.掌握由兩個一元一次不等式所組成的不等式組的解集的四種情況。
4.學生通過對一元一次不等式組的學習,認識到事物間的相依關(guān)系。
教學重點:根據(jù)一元一次不等式組的四種情況,說出一元一次不等式組的解集。教學難點:利用數(shù)軸確定一元一次不等式組的解集。教學過程: 一.創(chuàng)設(shè)情境:
1.你能列出解決這個問題的式子嗎?
(小黑板)某學校初一()班準備一次秋季外出考察活動,該班級共有學生40人。學校根據(jù)預(yù)算要求該班這次活動的總經(jīng)費不能超過2400元;旅游公司按成本計算這次活動總經(jīng)費不能低于2000元。如果考慮雙方的要求,學生所付的經(jīng)費應(yīng)該在哪一范圍之內(nèi)?
學生列式:設(shè)每人所付的經(jīng)費為x元 40x≤2400 40x≥2000
?40x?2400 同時滿足兩個條件,列成不等式組 ?
?40x?2000給出定義:由幾個含有同一個未知數(shù)的一次不等式組成的不等式組叫做一元一次不等式組。
2.(小黑板)判別下列不等式組中哪些是一元一次不等式組,并說明為什么?
?x?0?x??3?x?2(1)?(2)?(3)? x?3?0y?3x?4????2x?3?54x?1?0???3x?1?4?(4)?(5)?2(6)?3x?2?1
??x?3?0?x?y?1?x?9?0?二.嘗試探究:
1.問題:怎樣確定不等式組的解集呢? ?40x?2400?x?60 比如:?的解集怎樣確定呢??這個式子就是不?40x?2000?x?50等式組的解集嗎?
2.利用數(shù)軸來確定不等式組的解集
?x?3?x?3?x?3?x?3 例:(1)?(2)?(3)?(4)?
?x??1?x??1?x?-1?x??1 本題教師和學生共同完成
鞏固練習:(書四題,學生練習,學生板演,小組互相檢查,教師巡視指導)
小組討論:當a>b時,如何確定下列不等式組的解集?
?x?a?x?a?x?a?x?a(!)?(2)?(3)?(4)?
?x?b?x?b?x?b?x?b 課后思考:當a
三.歸納小結(jié):
1.本節(jié)課我們認識了什么是一元一次不等式組及其解集,并學會了利用數(shù)軸來確定不等式組的解集。(利用例題中四個不等式組解集情況說明不等式組解集取法)
2.一元一次不等式組和二元一次方程組類似,也有不同的地方。兩者都是由兩個或幾個一次式組成,但不等式組是同一個字母,方程組中有兩個字母。3.具體求不等式組解集的方法,下節(jié)課我們接著學習。
四.布置作業(yè):
練習冊B冊習題
同步練習
一元一次不等式組課件【篇7】
1、由“彈簧掛物問題”導入
把教學內(nèi)容轉(zhuǎn)化為具有潛在意義的`問題,讓學生產(chǎn)生強烈的問題意識,使學生的整個學習過程成為“猜想”,繼而緊張地沉思,期待尋找理由和證明過程。
在實際情況下進行學習,可以使學生利用已有知識與經(jīng)驗,同化和索引出當前學習的新知識,這樣獲取的知識,不但易于保持,而且易于遷移到陌生的問題情境中。在本問題中使學生感受到一元一次不等式、一元一次方程、一次函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系
2、導疑:得出本課新的知識點是:一元一次不等式、一元一次方程、一次函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系
3、導研:講解例題?!覀冊谥v解例題時,不僅在于怎樣解,更在于為什么這樣解,而及時對解題方法和規(guī)律進行概括,有利于發(fā)展學生的思維能力。在題中:引導學生圍撓一元一次不等式、一元一次方程、一次函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系展開從多個角度進行思考。
4、導練:課后練習使學生能鞏固羨慕自覺運用所學知識與解題思想方法。
5、導評:總結(jié)結(jié)論,強化認識。知識性內(nèi)容的小結(jié),可把課堂教學傳授的知識盡快化為學生的素質(zhì);數(shù)學思想方法的小結(jié),可使學生更深刻地理解數(shù)學思想方法在解題中的地位和應(yīng)用,并且逐漸培養(yǎng)學生的良好的個性品質(zhì)目標。
6、變式延伸,進行重構(gòu)。重視課本例題,適當對題目進行引申,使例題的作用更加突出,有利于學生對知識的串聯(lián)、累積、加工,從而達到舉一反三的效果。
7、板書。
8、布置作業(yè)。針對學生素質(zhì)的差異進行分層訓練,既使學生掌握基礎(chǔ)知識,又使學有佘力的學生有所提高,從而達到拔尖和“減負”的目的。
(教學程序:
(一):課堂結(jié)構(gòu):導入、導疑、導研、導評、導練、布置作業(yè)等幾部分。
(二):教學簡要過程:
1:復習提問:(理由是:);2:導入講授新課:;3:課堂練習:4:新課鞏固:5:作業(yè)布置;)
五:作業(yè)布置:略
一元一次不等式組課件【篇8】
【知識與技能】
1、了解一元一次不等式組的概念。
2、理解一元一次不等式組的解集,能求一元一次不等式組的解集。
3、會解一元一次不等式組。
【過程與方法】
通過具體問題得到一元一次不等式組,從而了解一元一次不等式組的概念,解出每個不等式,利用數(shù)軸求出各不等式解集的公共部分,從而得到不等式組的解集,通過解幾個有代表性的一元一次不等式組,總結(jié)出求不等式組解集的法則。
【情感態(tài)度】
運用數(shù)軸確定不等式組的解集是行之有效的方法。這種“數(shù)形結(jié)合”的方法今后經(jīng)常用到,鍛煉同學們數(shù)形結(jié)合的能力,提高學習興趣。
【教學重點】
一元一次不等式組的解法。
【教學難點】
確定一元一次不等式組的解集。
一、情境導入,初步認識
問題1 現(xiàn)有兩根木條a和b,a長10cm,b長3cm,如果要再找一根木條c,用這三根木條釘成一個三角形木框,那么木條c的長度有什么要求?
解:由于三角形中兩邊之____大于第三邊,兩邊之____小于第三邊,設(shè)c的長為xcm,則x<____,①x>____,②
合起來,組成一個__________。
由①解得_____________,由②解得_____________。
在數(shù)軸上表示就是________________。
容易看出:x的取值范圍是____________________。
這就是說,當木條c比____cm長并且比____cm短時,它能與木條a和b一起釘成三角形木框。
問題2 由上面的解不等式組的過程用自己的語言歸納出一元一次不等式組的解法。
【教學說明】全班同學可獨立作業(yè),也可分組自由討論,10分鐘后交流成果,逐步得出結(jié)論。
二、思考探究,獲取新知
思考什么叫一元一次不等式組,什么叫一元一次不等式組的解集,什么叫解不等式組?
【歸納結(jié)論】
1、定義:
(1)一元一次不等式組:幾個含有相同未知數(shù)的一元一次不等式合起來組成一個一元一次不等式組。
(2)一元一次不等式組的解集:幾個不等式的解集的公共部分,叫做由它們所組成的不等式的解集。
(3)解不等式組:求一元一次不等式組的解集的過程叫解一元一次不等式組。
2、一元一次不等式組的解法:
(1)求出每個一元一次不等式的解集。
(2)求出這些解集的公共部分,便得到一元一次不等式組的解集。
一元一次不等式組課件【篇9】
1.會解一元一次不等式.
2.會用不等式來表示實際問題中的不等關(guān)系.
掌握解一元一次不等式的步驟;會用一元一次不等式解決簡單的實際問題.
尋找實際問題中的不等關(guān)系,建立數(shù)學模型.
1.?不等式的基本性質(zhì)有哪些?
(1)3x3.
.二、夏耘:
例 甲、乙兩商店以同樣價格出售同樣的商品,并且又各自推出不同的優(yōu)惠方案:在甲店累計購買100元商品后,再購買的商品按原價的90%收費;在乙店累計購買50元商品后,再購買的商品按原價的95%收費.顧客怎樣選擇商店購物能獲得更大優(yōu)惠?
這個問題較復雜,從何處入后考慮它呢?
甲商店優(yōu)惠方案的起點為購物款達___元后;
乙商店優(yōu)惠方案的起點為購物款過___元后.
我們是否應(yīng)分情況考慮?可以怎樣分情況呢?
(1)如果累計購物不超過50元,則在兩店購物花費有區(qū)別嗎?
(2)如果累計購物超過50元而不超過100元,則在哪家商店購物花費???為什么?
(3)如果累計購物超過100元,那么在甲店購物花費小嗎?
三、秋收:
1.某校校長暑假將帶領(lǐng)該校市級優(yōu)秀學生乘旅行社的車去a市參加科技夏令營,甲旅行社說:“如果校長買全票一張,則其余學生可享受半價優(yōu)惠”.乙旅行社說:“包括校長在內(nèi)全部按全票的6折優(yōu)惠”,若全票價為240元.
(1)設(shè)學生數(shù)為x,甲旅行社收費為y甲,乙旅行社收費為y乙.分別計算兩家旅行社的收費(建立表達式);
(2)當學生數(shù)是多少時,兩家旅行社的收費一樣?
(3) 就學生數(shù)x討論哪家旅行社更優(yōu)惠.
2.某商店出售茶壺和茶杯,茶壺每只20元,茶杯每只5元,該商店有兩種優(yōu)惠辦法:
(1)?買一只茶壺送一只茶杯;
(2)?按總價的92%付款.現(xiàn)有一顧客需購買4只茶壺,茶杯若干只(不少于4只).
請問:顧客買同樣多的茶杯時,用哪一種優(yōu)惠辦法購買省錢?
3.某人的移動電話(手機)可選擇兩種收費辦法中的一種,甲種收費辦法是,先交月租費50元,每通一次電話再收費0.40元;乙種收費辦法是,不交月租費,每通一次電話收費0.60元.問每月通話次數(shù)在什么范圍內(nèi)選擇甲種收費辦法合適?在什么范圍內(nèi)時選擇乙種收費辦法合適?
四、冬藏(補充練習):
1.有一批貨物,如月初售出,可獲利1000元,并可將本利之和再去投資,到月末獲1.5%的利息;如月末售出這批貨,可獲利1200元,但要付50元保管費.問這批貨在月初還是月末售出好.
2.某市自來水公司為限制單位用水,每月只給某單位計劃內(nèi)用水3000噸,計劃內(nèi)用水每噸收費0.5元,超計劃用水超出部分每噸收費0.8元.如果單位自建水泵房抽水,每月需交500元管理費,另外每月一噸水再交0.28元,已知每抽一噸水需成本0.07元.問該單位是用自來水公司的水合算,還是自建水泵房抽水合算.
一元一次不等式組課件【篇10】
科學合理的教學方法能使教學效果事半功倍,達到教與學的和諧完美統(tǒng)一。
基于此,我準備采用的教法講授法、討論法。德國教育學家第斯多慧:差的教師只會奉送真理,好的教師則交給學生如何發(fā)現(xiàn)真理,老師的教是為了不教,這才是教學的最高境界,所以我采用的學法是練習法、自主合作法。
在這節(jié)課的教學過程中,我注重突出重點,條理清晰,緊湊合理。各項活動的安排也注重互動、交流,最大限度的調(diào)動學生參與課堂的積極性、主動性。
首先是導入環(huán)節(jié),我采用復習舊知的導入方法。我會讓學生回憶不等式的概念以及一元一次方程的概念,明確指出今天學習的內(nèi)容是《一元一次不等式》。
這樣的設(shè)計既可以考查學生對之前知識的掌握情況,還能夠為今天學習一元一次方程的概念打下基礎(chǔ)。而且開門見山的導入方式能夠快速地進入主題。
接下來是新知探索環(huán)節(jié),首先我請學生類比不等式以及一元一次方程的概念,給一元一次不等式下定義。
能夠總結(jié)出:含有一個未知數(shù),未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式,叫做一元一次不等式。
接下來讓學生回憶上節(jié)課學習的不等式x-7>26如何解決的,通過學生回憶總結(jié)可以得到:通過“不等式的兩邊都加7,不等號的方向不變”而得到的。
接下來提問學生有沒有更加簡便的方法解不等式?讓學生類比解一元一次方程的步驟進行解題。可以得到相當于可以用“移項”,來解決。
在這個過程中,強調(diào)每一個步驟,在第二題最后一步,強調(diào)當不等式的兩邊同時乘以(或除以)同一個負數(shù)時,不等號的方向改變。
解完不等式,先讓學生回憶解一元一次方程的步驟是什么?并類比解一元一次方程的步驟,總結(jié)一下解一元一次不等式的步驟是什么?
從而我們歸納:解一元一次方程,要根據(jù)等式的性質(zhì),將方程逐步化為x=a的形式;而解一元一次不等式,則要根據(jù)不等式的性質(zhì),將不等式逐步化為xa的形式。
《數(shù)學課程標準》指出:“學生是數(shù)學學習的主人,教師是數(shù)學學習的組織者、引導者和合作者”。根據(jù)這一教學理念,在本環(huán)節(jié)中,我組織學生進行了自主探究活動,讓學生在保持高度學習熱情和探究欲望的活動過程中,始終以愉悅的心情,親身經(jīng)歷和體驗知識的形成過程。培養(yǎng)學生的探究能力、分析思維能力,激發(fā)他們的創(chuàng)新意識、參與意識。
第三個環(huán)節(jié)是課堂練習環(huán)節(jié),出示問題,解不等式,并在數(shù)軸上表示數(shù)集:5x+15>4x-1
之所以這樣設(shè)計是因為練習是掌握知識、形成技能、發(fā)展思維的重要手段,針對本課的教學重點和難點,上述練習,目的是讓學生進一步鞏固對新知的理解??梢陨罨虒W內(nèi)容,培養(yǎng)思維的靈活性。
最后一個環(huán)節(jié)為小結(jié)作業(yè)環(huán)節(jié),關(guān)于課堂小結(jié),我打算讓學生自己來總結(jié)今天的收獲。
這樣既發(fā)揮了學生的主體性,又可以提高學生的總結(jié)概括能力,讓我在第一時間得到學習反饋,及時加以疏導。
通過這樣的方式能夠為本節(jié)課學習的知識進行進一步的鞏固。
我的板書設(shè)計遵循簡潔明了突出重點的意圖,這是我的板書設(shè)計:
一元一次不等式組課件【篇11】
(一)復習提問:
三角形的三邊關(guān)系?
(二)列一元一次不等式組
問題:現(xiàn)有兩根木條a和b,a長10cm,b長3cm.如果要再找一根木條c,用這三根木條釘成一個三角形木框,那么對木條c的長度有什么要求?
注:這個問題是本節(jié)的'引入問題,三角形木框的形狀不唯一確定,只要能成為三角形即可.
探究:用三根長度分別為14cm,9cm,6cm的木條c1,c2,c3分別試試,其中哪根木條能與木條a和b一起釘成三角形木框?
可以發(fā)現(xiàn),當木條a和b的長度確定后,木條c太長或太短,都不能與a和b一起釘成三角形.
由于“三角形中兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊”,設(shè)木條c長xcm,則x必須同時滿足不等式x10+3①和x10-3②
注:木條c必須同時滿足兩個條件,即ca+b,ca-b.
類似于方程組,把這兩個不等式合起來,組成一個一元一次不等式組記作注:這里并未正式給一元一次不等式組下定義,只是說這兩個不等式合起來,組成一個一元一次不等式組.實際上,兩個或更多的一元一次不等式組合起來,都組成一個一元一次不等式組.
(三)一元一次不等式組的解集
類比方程組的解,怎樣確定不等式組中x的可取值的范圍呢?
不等式組中的各不等式解集的公共部分,就是不等式組中x可以取值的范圍.
注:這里還未正式出現(xiàn)不等式組的解集的概念,但已點出各不等式的解集的公共部分即不等式組中未知數(shù)的可取值范圍.
由不等式①解得x13.
由不等式②解得x7.
從圖9.3—2容易看出,x可以取值的范圍為713.
注:利用數(shù)軸可以直觀形象地認識公共部分.這個公共部分是兩端有界的開區(qū)間.
這就是說,當木條c比7cm長并且比13cm短時,它能與木條a和b一起釘成三角形木框.
一般地,幾個不等式的解集的公共部分,叫做由它們所組成的不等式組的解集.解不等式組就是求它的解集.
注:這里正式給出不等式組的解集以及解不等式組的定義13.注:利用數(shù)軸可以直觀形象地認識公共部分.這個公共部分是兩端有界的開區(qū)間.這就是說,當木條c比7cm長并且比13cm短時,它能與木條a和b一起釘成三角形木框.一般地,幾個不等式的解集的公共部分,叫做由它們所組成的不等式組的解集.解不等式組就是求它的解集.注:這里正式給出不等式組的解集以及解不等式組的定義。
一元一次不等式組課件【篇12】
一、教材分析
《一元一次不等式組》是華東師大版義務(wù)教育課程標準實驗教科書數(shù)學七年級下冊第八章第三節(jié),我把本節(jié)內(nèi)容分為兩個課時,第一課時是一元一次不等式組的概念及解法,第二課時是不等式組的實踐與探索。今天,我說課的內(nèi)容是第一課時。
《數(shù)學課程標準》對本節(jié)的要求是:充分感受生活中存在著大量的不等關(guān)系,了解不等式組的意義;會解簡單的一元一次不等式組,并會用數(shù)軸確定解集。
《一元一次不等式》的主要內(nèi)容是一元一次不等式(不等式組)的解法及其簡單應(yīng)用。是在學習了有理數(shù)的大小比較、等式及其性質(zhì)、一元一次方程的基礎(chǔ)上,開始學習簡單的數(shù)量之間的不等關(guān)系,進一步探究現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的重要內(nèi)容,是繼一元一次方程和二元一次方程組之后,又一次數(shù)學建模思想的學習,也是后繼學習一元二次方程、函數(shù)及進一步學習不等式的重要基礎(chǔ),具有承前啟后的重要作用。
《一元一次不等式組》是本章的最后一節(jié),是一元一次不等式知識的綜合運用和拓展延伸,是進一步刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的數(shù)學模型,是下一節(jié)利用一元一次不等式組解決實際問題的關(guān)鍵。因此,我把本節(jié)課的教學重點確定為一元一次不等式組的解法。
數(shù)學課程應(yīng)當從學生熟悉的現(xiàn)實生活開始,沿著數(shù)學發(fā)現(xiàn)過程中人類的活動軌跡,從生活中的問題到數(shù)學問題,從具體問題到抽象概念,從特殊關(guān)系到一般規(guī)則,逐步通過學生自己的發(fā)現(xiàn)去學習數(shù)學、獲取知識。得到抽象化的數(shù)學知識之后,再及時地把它們應(yīng)用到新的現(xiàn)實問題上去。按照這樣的途徑發(fā)展,數(shù)學教育才能較好地溝通生活中的數(shù)學與課堂上的數(shù)學的聯(lián)系,才能有益于學生理解數(shù)學,熱愛數(shù)學和使數(shù)學成為生活中有用的本領(lǐng)。
本節(jié)課,既有概念教學又有解題教學,而概念教學,應(yīng)該從生活、生產(chǎn)實例或?qū)W生熟悉的已有知識引入,引導學生通過觀察、比較、分析、綜合,抽取共性,得到概念的本質(zhì)屬性。在此基礎(chǔ)上歸納概括出概念的定義,并引導學生弄清定義中每一個字、詞的確切含義。華師版的'教科書中,只設(shè)計了一個問題情境,我感覺還不夠,不能從一個問題抽象出概念的本質(zhì)。因此,在這里我又增加了一個問題情境,以增加對不等式組概念的理解,加強數(shù)學應(yīng)用意識的培養(yǎng)。
二、學情分析
從學生學習的心理基礎(chǔ)和認知特點來說,學生已經(jīng)學習了一元一次不等式,并能較熟練地解一元一次不等式,能將簡單的實際問題抽象為數(shù)學模型,有一定的數(shù)學化能力。但學生將兩個一元一次不等式的解集在同一數(shù)軸上表示會產(chǎn)生一定的困惑。這個年齡段的學生,以感性認識為主,并向理性認知過渡,所以,我對本節(jié)課的設(shè)計是通過兩個學生所熟悉的問題情境,讓學生獨立思考,合作交流,從而引導其自主學習。
基于對學情的分析,我確定了本節(jié)課的教學難點是:正確理解不等式組的解集。
三、教學目標
在教材分析和學情分析的基礎(chǔ)上,結(jié)合預(yù)設(shè)的教學方法,確定了本節(jié)課的教學目標如下:
1、通過實例體會一元一次不等式組是研究量與量之間關(guān)系的重要模型之一。
2、了解一元一次不等式組及解集的概念。
3、會利用數(shù)軸解較簡單的一元一次不等式組。
4、培養(yǎng)學生分析、解決實際問題的能力。
5、通過實際問題的解決,體會數(shù)學知識在生活中的應(yīng)用,激發(fā)學生的學習興趣。能在解決問題過程中勤于思考、樂于探究,體驗解決問題策略的多樣性,體驗數(shù)學的價值。
四、教學手段
本節(jié)課采用多媒體教學,利用多媒體教學信息容量大、操作簡單、形象生動、反饋及時等優(yōu)點,直觀地展示教學內(nèi)容,這樣不但可以提高學習效率和質(zhì)量,而且容易激發(fā)學生學習的興趣,調(diào)動積極性。
五、教學過程
本節(jié)課的教學流程如下:實際問題——一元一次不等式組——解集——解法——應(yīng)用。
活動一、實際問題,創(chuàng)設(shè)情境
問題1。
小寶和爸爸,媽媽三人在操場上玩蹺蹺板,爸爸體重為72千克,體重只有媽媽一半的小寶和媽媽一同坐在蹺蹺板的另一端,這時爸爸的一端仍然著地。后來,小寶借來一副質(zhì)量為6千克的啞鈴,加在他和媽媽坐的一端,結(jié)果爸爸被蹺起離地。猜猜小寶的體重約是多少?在這個問題中,如果設(shè)小寶的體重為x千克。
(1)從蹺蹺板的狀況你可以找出怎樣的不等關(guān)系?
(2)你認為怎樣求x的范圍,可以盡可能地接近小寶的體重?
我提出問題(1),學生獨立思考,回答問題。
考察學生對應(yīng)用一元一次不等式解決實際問題的能力,并引出新知。
教師提出問題(2),學生小組合作、探索交流,回答問題。
我預(yù)計學生對于這個問題會產(chǎn)生兩種不同的看法:一種方法是利用估算的方法將特殊值代入來求出適合不等式組的特殊解;另一種方法是求出兩個不等式的解集,并分別將這兩個解集在數(shù)軸上表示。因此教師應(yīng)引導學生進一步理解本題的實際意義,能將兩個不等式的解集綜合分析。
這里是通過對數(shù)量關(guān)系的分析、抽象,突出數(shù)學建模思想的教學,注重對學生進行引導,讓學生充分發(fā)表意見,并鼓勵學生提出不同的解法。
問題2。
現(xiàn)有兩根木條,一根長為10厘米,另一根長為30厘米,如果再找一根木條,用這三根木條釘一個三角形木框,那么第三根木條的長度有什么要求?
教師提出問題,學生獨立思考,回答問題。
教學效果預(yù)估與對策:預(yù)計學生對三角形三邊關(guān)系可能有所遺忘,教師應(yīng)給予提示。
設(shè)計意圖:這是一個與三角形相關(guān)的問題,要求學生能綜合運用已有的知識,獨立思考、自主探索、嘗試解決,促使學生在探索和解決問題的過程中獲得體驗、得到發(fā)展,學會新的東西,發(fā)展自己的思維能力。
活動二、總結(jié)歸納,得出概念
1、一元一次不等式組
通過上面兩個實際問題的探究,歸納概括出一元一次不等式組的概念和一元一次不等式組解集的概念。
即:把兩個(或兩個以上)一元一次不等式合在一起,就得到了一個一元一次不等式組(linearinequalitiesofoneunknown)。
2、一元一次不等式組的解集
同時滿足不等式(1)、(2)的未知數(shù)x應(yīng)是這兩個不等式解集的公共部分。在同一數(shù)軸上表示出這兩個解集,找到公共部分,就是所列不等式組的解集。
不等式組中幾個不等式的解集的公共部分,叫做這個不等式組的解集。
師生活動:在活動一的基礎(chǔ)上,將學生得出的結(jié)論進行歸納總結(jié)。教師要注意傾聽學生敘述問題的準確性和全面性。
教學效果預(yù)估與對策:估計多數(shù)學生在經(jīng)歷了上述的探索過程后,能夠?qū)@個結(jié)論有所認識。
一元一次不等式組課件【篇13】
學習目標:
1、了解一元一次不等式組的概念,理解一元一次不等式組的解集的意義。
2、會解由兩個一元一次不等式組成的一元一次不等式組,能借助數(shù)軸正確的表示一元一次不等式組的解集。
3、通過探討一元一次不等式組的解法以及解集的確定,滲透轉(zhuǎn)化思想,進一步感受數(shù)形結(jié)合在解決問題中的作用。
4、體驗不等式在實際問題中的作用,感受數(shù)學的應(yīng)用價值。
學習重點:
一元一次不等式組的解法
學習難點:
一元一次不等式組解集的確定。
一、學前準備
【回顧】
1.解不等式 ,并把解集在數(shù)軸上表示出來。
【預(yù)習】
1、 認真閱讀教材34-35頁內(nèi)容
2、__________叫做一元一次不等式組。
_________叫做一元一次不等式組的解集。
叫做解不等式組。
4、求下列兩個不等式的解集,并在同一條數(shù)軸上表示出來
二、探究活動
【例題分析】
例1. (問題1)題中的買5筒錢不夠,買4筒錢又多的含義是什么?
例2. (問題2)題中的相等關(guān)系是什么?不等關(guān)系又是什么?
例3. 解不等式組
【小結(jié)】
不等式組解集口訣
同大取大,同小取小,大小小大中間找,大大小小解不了
一元一次不等式組解集四種類型如下表:
不等式組(a)
(1)xb
xb 同大取大
(2)x
x
(3)xax
a
(4)xb
無解 大大小小解不了
【課堂檢測】
1、不等式組 的解集是( )
A. B. C. D.無解
2、不等式組 的解集為( )
A.-1
3、不等式組 的解集在數(shù)軸上表示正確的是( )
A B C D
4、寫出下列不等式組的解集:(教材P35練習1)
三、自我測試
1.填空
(1)不等式組x-1 的解集是___;
(2)不等式組x-2 的解集 ;
(3)不等式組x1 的解集是____;
(4)不等式組x-4 解集是____。
2、解下列不等式組,并在數(shù)軸上表示出來
四、應(yīng)用與拓展
若不等式組 無解,則m的取值范圍是 _____.
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