數(shù)學函數(shù)課件。
每個老師都需要在課前有一份完整教案課件,因此每天老師都會按質(zhì)按時去寫好教案課件。教案是課堂教學的靈魂,我們應該從什么方面寫教案課件?經(jīng)過收集,欄目小編為您獻上數(shù)學函數(shù)課件,敬請參閱本文!
一、教學理念
新的課程標準明確指出"數(shù)學是人類文化的重要組成部分,構(gòu)成了公民所必須具備的一種基本素質(zhì)."其含義就是:我們不僅要重視數(shù)學的應用價值,更要注重其思維價值和人文價值.
因此,創(chuàng)造性地使用教材,積極開發(fā)、利用各種教學資源,創(chuàng)設教學情境,讓學生通過主動參與、積極思考、與人合作交流和創(chuàng)新等過程,獲得情感、能力、知識的全面發(fā)展.本節(jié)課力圖打破常規(guī),充分體現(xiàn)以學生為本,全方位培養(yǎng)、提高學生素質(zhì),實現(xiàn)課程觀念、教學方式、學習方式的轉(zhuǎn)變.
二、教材分析
三角函數(shù)是中學數(shù)學的重要內(nèi)容之一,它既是解決生產(chǎn)實際問題的工具,又是學習高等數(shù)學及其它學科的基礎.本節(jié)課是在學習了任意角的三角函數(shù),兩角和與差的三角函數(shù)以及正、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)后,進一步研究函數(shù)y=Asin(ωxφ)的簡圖的畫法,由此揭示這類函數(shù)的圖象與正弦曲線的關(guān)系,以及A、ω、φ的物理意義,并通過圖象的變化過程,進一步理解正、余弦函數(shù)的性質(zhì),它是研究函數(shù)圖象變換的一個延伸,也是研究函數(shù)性質(zhì)的一個直觀反映.共3課時,本節(jié)課是繼學習完振幅、周期、初相變換后的第二課時.
本節(jié)課倡導學生自主探究,在教師的引導下,通過五點作圖法正確找出函數(shù)y=sinx到y(tǒng)=sin(ωxφ)的圖象變換規(guī)律是本節(jié)課的重點.
難點是對周期變換、相位變換先后順序調(diào)整后,將影響圖象平移量的理解.因此,分析清不管哪種順序變換,都是對一個字母x而言的變換成為突破本節(jié)課教學難點的關(guān)鍵.
依據(jù)《課標》,根據(jù)本節(jié)課內(nèi)容和學生的實際,我確定如下教學目標.
三、教學目標
[知識與技能]
通過"五點作圖法"正確找出函數(shù)y=sinx到y(tǒng)=sin(ωxφ)的圖象變換規(guī)律,能用五點作圖法和圖象變換法畫出函數(shù)y=Asin(ωxφ)的簡圖,能舉一反三地畫出函數(shù)y=Asin(ωxφ)+k和y=Acos(ωxφ)的簡圖.
[過程與方法]
通過引導學生對函數(shù)y=sinx到y(tǒng)=sin(ωxφ)的圖象變換規(guī)律的探索,讓學生體會到由簡單到復雜,特殊到一般的化歸思想;并通過對周期變換、相位變換先后順序調(diào)整后,將影響圖象變換這一難點的突破,讓學生學會抓住問題的主要矛盾來解決問題的基本思想方法.
[情感態(tài)度與價值觀]
課堂中,通過對問題的自主探究,培養(yǎng)學生的'獨立意識和獨立思考能力;小組交流中,學會合作意識;在解決問題的難點時,培養(yǎng)學生解決問題抓主要矛盾的思想.在問題逐步深入的研究中喚起學生追求真理,樂于創(chuàng)新的情感需求,引發(fā)學生渴求知識的強烈愿望,樹立科學的人生觀、價值觀.
四、教學過程(六問三練)
1、設置情境設計意圖:正中"五點作圖法"的要害,既復習了舊知,又為學生準確使用本節(jié)課將要用到的工具提供必要的保障.
答案:將ωx看作一個整體,令其分別為0,,?,,2?.
設計意圖:復習鞏固已學三種基本變換,同時為導入本節(jié)課重難點創(chuàng)設情境.學生回答后,追問一般情況即:A、ω、φ的作用.此時部分學生,特別是基礎薄弱和數(shù)學表達能力欠缺的學生會出現(xiàn)困難,會因為回答不上而覺得緊張,在不影響突破本節(jié)課重難點的前提下,為了避免剛上課就給他們帶來心理壓力,借助大屏幕以填空題的形式清晰展現(xiàn)答案.
答案:分別把正弦曲線上所有點的縱坐標伸長到原來的3倍(橫坐標不變);橫坐標縮短為原來的(縱坐標不變);向左平行移動個單位長度得到的.
2、探求、研究
新的教學理念下,要勇于,更要善于把問題拋給學生,激發(fā)學生探求知識的強烈欲望和創(chuàng)新意識.設計意圖:
(1)激發(fā)興趣、提供平臺學生在碰到這個問題時,很感興趣,因為它和問題2很類似,因此首先會猜想"左移個單位長度",為了驗證自己的想法,通過"五點作圖法"畫圖分析,最后會發(fā)現(xiàn)猜想是錯誤的,于是更加激發(fā)他們強烈的好奇心和求知欲,很快掀起本節(jié)課的第一次高潮,給學生搭建起一個動手探究、實踐的平臺.
(2)分化難點、突出重點探求函數(shù)y=sinx到y(tǒng)=sin(ωxφ)的圖象變換規(guī)律是本節(jié)課的重難點,要分化此難點,可分步探求函數(shù):
①y=sinωx到y(tǒng)=sin(ωxφ)
②y=sin(xφ)到y(tǒng)=sin(ωxφ)
的圖象變換規(guī)律.學生最難理解和最易出錯的就是理解①y=sinωx到y(tǒng)=sin(ωxφ)的圖象變換規(guī)律,因此從特例出發(fā),具有直觀性,便于學生操作,從而達到分化難點、突出重點的目的.
(3)探究本質(zhì)、尋求關(guān)鍵點當學生找到此題的答案后,自然就會思考這個問題的實質(zhì)是什么?突破此難點的關(guān)鍵是什么?因此著眼x的變化,把ωxφ變形為ω(),看清是把x變成了就是解決問題的關(guān)鍵點.
(4)培養(yǎng)學生的合作意識和合作能力在本題的解決過程中,首先要求學生獨立思考,然后引導學生小組交流討論,最后讓小組代表總結(jié),并匯報探求過程中得到的經(jīng)驗或出現(xiàn)的問題以及采取的具體措施和效果,再由組員或其他同學補充、質(zhì)疑、評價或解答,培養(yǎng)學生的合作意識和合作能力.
突破措施:
(1)分析特殊點坐標、尋求x變化引導學生分析函數(shù)y=sin2x和y=sin(2x)在一個對應的周期內(nèi),y取同一數(shù)值如:時,x分別取,0,因此首先確定是左移個單位長度,其根本原因是x變成了.
(2)課件演示合作交流完成后,通過課件直觀演示,并引導學生總結(jié)規(guī)律,從而突出本節(jié)課的重點并突破難點.
(3)鞏固練習
(4)獨立完成與合作交流相結(jié)合
在問題3得以充分解決的前提下,此問題迎刃而解.設計意圖:通過實例綜合以上兩種變換,重點是比較兩種方法平移量的區(qū)別和導致這一現(xiàn)象的根本原因,即x的變化,并由此導出一般規(guī)律.
方法有二:
①先平移變換再周期變換
先把函數(shù)y=sinx的圖象向左平移個單位長度,x變成了x,得到y(tǒng)=sin(x)的圖象;再把所得圖象橫向收縮為原來的,x變成了2x,得到y(tǒng)=sin(2x)的圖象.
②先周期變換再平移變換
先把函數(shù)y=sinx的圖象橫向收縮為原來的,x變成了2x,得到y(tǒng)=sin2x的圖象;再把所得圖象向左平移個單位長度,x變成了x,得到y(tǒng)=sin2(x)=sin(2x)的圖象.
升華知識、培養(yǎng)能力設計意圖:
(1)培養(yǎng)學生變換的逆向思維能力;
(2)通過改變函數(shù)名考察學生對變換實質(zhì)的理解;
(3)考察變換和使用誘導公式綜合能力;
(4)考察變換和使用輔助角公式綜合能力;
(5)通過抽象函數(shù)考察學生對變換實質(zhì)的理解.學生對這種綜合題十分重視,覺得難但經(jīng)過努力后又可以攻克,因此將滿足學生追求真理,樂于創(chuàng)新的情感需求和渴求知識的強烈愿望,此處將掀起本節(jié)課的第二次高潮.
設計意圖:
在前兩個問題解決的基礎上,直接找一般規(guī)律.
在分析清楚共有六種變換方法后,得出一般變換方法:
小結(jié)(由學生小結(jié),教師補充、規(guī)范):
本節(jié)課主要學習了通過"五點作圖法"正確找出函數(shù)y=sinx到y(tǒng)=sin(ωxφ)和y=Asin(ωxφ)的圖象變換規(guī)律.其難點在于正確理解周期變換、相位變換順序改變后,圖象平移的規(guī)律.通過本節(jié)課的學習,同學們要學會善于探索、合作、獨立、自信、創(chuàng)新.
作業(yè)布置:習題4.9的第2題(3)(4),第3、4、5題.
五.教法、學法
教法
教學的目的是以知識為平臺,全面提升學生的綜合能力.本節(jié)課突出體現(xiàn)了以學生能力的發(fā)展為主線,應用啟發(fā)式、講述式引導學生層層深入,培養(yǎng)學生自主探索以發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力,注重利用非智力因素促進學生的學習,實現(xiàn)數(shù)學知識價值、思維價值和人文價值的高度統(tǒng)一.
學法
在教師的引導下,積極、主動地提出問題,自主分析,再合作交流,達到殊途同歸.在思維訓練的過程中,感受數(shù)學知識的魅力,成為學習的主人.
六.教學評價
"評價不是為了證明,而是為了促進",本節(jié)課在引導學生探究、合作以及交流的過程中,關(guān)注學生的認知心理過程,關(guān)注學生的發(fā)展,淡化終結(jié)性評價和評價的篩選評判功能,強調(diào)過程評價、自我評價和評價的教育發(fā)展功能,教師適時、公正的評價和學生自我評價促進了學生的自我反思和再認識,尤其是在"問題3,練習2"中思維活躍的學生應給予及時肯定.
本節(jié)課教學注重了層次性,對基礎薄弱的學生在"問題1,2,4,5,6和練習1,3"中多給他們創(chuàng)造機會,力爭每一個層次的學生都能有機會得到積極的評價,因為這是讓他們保持自信,愛好數(shù)學,善于鉆研從而學會學習的最好培養(yǎng)時機.
1.正比例函數(shù)y=kx的圖像經(jīng)過點(1,3),那么它一定經(jīng)過的點是()Y/X=3選BA。
(3,1)B。
(1/3,1)C.(-3,1)D.(-1/3,1)2.直線y=-3X+6與X軸,Y軸的交點的坐標是()Y=0,X=2X=0,Y=6選BA.(6,0)(0,2)B.(2,0)(0,6)C.(0.6)(2,6)D.(0,2)(6,2)3。
過(0,2)的直線是()X=0Y=2代入檢驗都不對A.y=x+3B.y=x-2C.y=2x+1D.y=-2x+14.一次函數(shù)y=kx+b的圖像經(jīng)過(2,-1)和(0,3),那么這個一次函數(shù)的表達式為()代入檢驗選BA.y=1/2x-3B。
y=-2x+3C.y=3x-2D.y=-3x-25.如果一次函數(shù)y=kx+3的圖像經(jīng)過(1,2),那么一次函數(shù)的解析式為()2=K+3K=-1Y=-X+36.已知y-2與x成正比,當x=3時,y=1.則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為()Y-2=KX1-2=3KK=-1/3Y-2=-X/3Y=-X/3+27.某一個函數(shù)的圖像經(jīng)過點(-1,2),且函數(shù)y的值隨著自變量x的增大而減小,請你寫出一個符合上述條件的函數(shù)關(guān)系式()Y=-X+18.某一次函數(shù)的圖像經(jīng)過(0,2),且與坐標軸圍成的三角形的面積是6.則這條直線的表達式是(),與x軸的交點坐標是()2X/2=6X=6Y=X/3+2或Y=-X/3+2(-6,0)或(0,6)9.若函數(shù)y=-x+m與y=4x-1的圖像交于x軸上一點,則m的值為()-X+M=4X-1=0X=1/4M=1/4選DA。
+-1/2B。
+-1/4c.1/2D.1/410.一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(0,1)與(-1,3),那么這個函數(shù)的表達式為()選AA,y=-2x+1B。
y=-2x-1C。
2x+1D。
y=2x-111.若y=kx-(2-3k)的圖像過原點,那么k=()2-3K=0K=2/312.如果正比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(2,4),那么這個函數(shù)的表達式為()Y=2X13.若一次函數(shù)y=kx-(2k+1)的圖像與y軸交于點A(0,2),則k=()2K+1=-2K=-3/2
教學目標:
1、理解反比例的意義。
2、能根據(jù)反比例的意義,正確判斷兩種量是否成反比例。
3、培養(yǎng)學生的抽象概括能力和判斷推理能力。
教學重點:
引導學生理解反比例的意義。
教學難點:
利用反比例的意義,正確判斷兩種量是否成反比例。
教學過程:
一、復習鋪墊
1、成正比例的量有什么特征?
2、下表中的兩種量是不是成正比例?為什么?
二、自主探究
(一)教學例1
1.出示例1,提出觀察思考要求:
從表中你發(fā)現(xiàn)了什么?這個表同復習的表相比,有什么不同?
(1)表中的兩種量是每小時加工的數(shù)量和所需的加工時間。
教師板書:每小時加工數(shù)和加工時間
(2)每小時加工的數(shù)量擴大,所需的加工時間反而縮小;每小時加工的數(shù)量縮小,所需的加工時間反而擴大。
教師追問:這是兩種相關(guān)聯(lián)的量嗎?為什么?
(3)每兩個相對應的數(shù)的乘積都是600.
2.這個600實際上就是什么?每小時加工數(shù)、加工時間和零件總數(shù),怎樣用式子表示它們之間的關(guān)系?
教師板書:零件總數(shù)
每小時加工數(shù)×加工時間=零件總數(shù)
3.小結(jié)
通過剛才的研究,我們知道,每小時加工數(shù)和加工時間是兩種相關(guān)聯(lián)的量,每小時加工數(shù)變化,加工時間也隨著變化,每小時加工數(shù)乘以加工時間等于零件總數(shù),這里的零件總數(shù)是一定的。
(二)教學例2
1.出示例2,根據(jù)題意,學生口述填表。
2.教師提問:
(1)表中有哪兩種量?是相關(guān)聯(lián)的量嗎?
教師板書:每本張數(shù)和裝訂本數(shù)
(2)裝訂的本數(shù)是怎樣隨著每本的張數(shù)變化的?
(3)表中的兩種量有什么變化規(guī)律?
(三)比較例1和例2,概括反比例的意義。
1.請你比較例1和例2,它們有什么相同點?
(1)都有兩種相關(guān)聯(lián)的量。
(2)都是一種量變化,另一種量也隨著變化。
(3)都是兩種量中相對應的兩個數(shù)的積一定。
2.教師小結(jié)
像這樣的兩種量,我們就把它們叫做成反比例的量,它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。
3.如果用字母x和y表示兩種相關(guān)聯(lián)的量,用k表示它們的積一定,反比例關(guān)系可以用一個什么樣的式子表示?
教師板書:xy=k(一定)
三、課堂小結(jié)
1、這節(jié)課我們學習了成反比例的量,知道了什么樣的兩種量是成反比例的量,也學會了怎樣判斷兩種量是不是成反比例。在判斷時,同學們要按照反比例的意義,認真分析,做出正確的判斷。
2、通過今天的學習,正比例關(guān)系和反比例關(guān)系有什么相同點和不同點?
四、課堂練習
完成教材43頁做一做
五、課后作業(yè)
練習七6、7、8、9題。
六、板書設計
成反比例的量xy=k(一定)
每小時加工數(shù)×加工時間=零件總數(shù)(一定)
每本頁數(shù)×裝訂本數(shù)=紙的總頁數(shù)(一定)
教學目標:
1、使學生進一步認識正、反比例的意義,了解正反比例的區(qū)別和聯(lián)系,更好的把握正、反比例概念的本質(zhì)。
2、進一步加深學生對正、反比例意義的理解,使他們能夠從整體上把握各種量之間的比例關(guān)系,能根據(jù)相關(guān)條件直接判斷兩種量成什么比例,提高判斷成正比例、反比例量的能力。
教學重難點:進一步認識正、反比例的意義,能根據(jù)相關(guān)條件直接判斷兩種量成什么比例,提高判斷成正比例、反比例量的能力。
教學準備:實物投影
教學預設:
一、概念復習:
1、提問:怎樣的兩個量成正、反比例?
根據(jù)學生回答板書字母關(guān)系式。
二、書本練習:
1、第9題。
(1)觀察每個表中的數(shù)據(jù),討論前三個問題。
要注意啟發(fā)學生根據(jù)表數(shù)據(jù)的變化規(guī)律,寫出相應的數(shù)量關(guān)系式,再進行判斷。
(2)組織學生討論第四個問題。
啟發(fā)學生根據(jù)條件直接寫出關(guān)系式,再根據(jù)關(guān)系式直接作出判斷。
2、第10題。
(1)看圖填寫表格。
(2)求出這幅圖的比例尺,再根據(jù)圖像特點判斷圖上距離和實際距離成什么比例,也可以根據(jù)相關(guān)的計算結(jié)果作出判斷。
要讓學生認識到:同一幅地圖的比例尺一定,所以這幅圖的圖上距離和實際距離成正比例。
(3)啟發(fā)學生運用有關(guān)比例尺的知識進行解答。
3、第11題。
填寫表格,組織學生對兩個問題進行比較,進一步突出成反比例量的特點。
4、第12題。
引導學生說說每題中的哪兩種量是變化的,這兩種量中,一種量變化,另一種量也隨著變化,能不能用相應的數(shù)量關(guān)系式表示這種變化的規(guī)律。
5、第13題。
讓學生小組進行討論,教師指導有困難的學生。
三、補充練習
1、對比練習:判斷下列說法是否正確。
(1)圓的周長和圓的半徑成正比例。()
(2)圓的面積和圓的半徑成正比例。()
(3)圓的面積和圓的半徑的平方成正比例。()
(4)圓的面積和圓的周長的平方成正比例。()
(5)正方形的面積和邊長成正比例。()
(6)正方形的周長和邊長成正比例。()
(7)長方形的面積一定時,長和寬成反比例。()
(8)長方形的周長一定時,長和寬成反比例。()
(9)三角形的面積一定時,底和高成反比例。()
(10)梯形的面積一定時,上底和下底的和與高成反比例。()
【教學目標】
1、使學生理解正比例的意義,能根據(jù)正比例的意義判斷是不是成正比例。
2、培養(yǎng)學生概括能力和分析判斷能力。
3、培養(yǎng)學生用發(fā)展變化的觀點來分析問題的能力。
【教學重難點】
重點:
成正比例的量的特征及其斷方法。
難點:
理解兩個變量之間的比例關(guān)系,發(fā)現(xiàn)思考兩種相關(guān)聯(lián)的量之間的變化規(guī)律。
【教學過程】
一、四顧舊知,復習鋪墊
商店里有兩種包裝的襪子,一種是5雙一包的,售價為25元,一種是8雙一包的,售價為32元。哪種襪子更便宜?
學生獨立完成后師提問:你們是怎樣比較的?
生:我先求出每種襪子的單價,再進行比較。
師:你是根據(jù)哪個數(shù)量關(guān)系式進行計算的?
生:因為總價=單價×數(shù)量,所以單價=總價÷數(shù)量。
師:如果單價不變,商品的總價和數(shù)量的變化有什么規(guī)律呢?這節(jié)課,我們就來研究正比例。(板書:正比例)
二、引導探索,學習新知
1、教學例1,學習正比例的意義。
(1)結(jié)合情境圖,觀察表中的數(shù)據(jù),認識兩種相關(guān)聯(lián)的量。師出示自學提示:表中有哪兩種量?總價是怎樣隨著數(shù)量的變化而變化的?學生自學并在組內(nèi)交流。全班交流。
(2)認識相關(guān)聯(lián)的量。明確:像這樣,一種量變化,另一種量也隨著變化,這兩種量叫做相關(guān)聯(lián)的量。
2、計算表中的數(shù)據(jù),理解正比例的意義。
(1)計算相應的總價與數(shù)量的比值,看看有什么規(guī)律。學生計算后匯報:===…=3、5,每一組數(shù)據(jù)的比值一定。
(2)說一說,每一組數(shù)據(jù)的比值表示什么?(彩帶的單價,也就是彩帶的單價是一個固定的數(shù))
(3)請學生用公式把彩帶的總價、數(shù)量、單價之間的關(guān)系表示出來。
(4)明確成正比例的量及正比例關(guān)系的意義。兩種相關(guān)聯(lián)的量,一種量變化,另一種量也隨著變化,如果這兩種量中相對應的兩個數(shù)的比值一定,這兩種量就叫做成正比例的量,它們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。如果用字母y和x表示兩種相關(guān)聯(lián)的量,用字母k表示它們的比值(一定),正比例關(guān)系可以用下面的式子表示:
3、列舉并討論成正比例的量。
(1)生活中還有哪些成正比例的量?預設:速度一定,路程與時間成正比例;長方形的寬一定,面積和長成正比例。
(2)小結(jié):成正比例的量必須具備哪些條件?哪個條件是關(guān)鍵?
兩種量中相對應的兩個數(shù)的比值一定,這是關(guān)鍵。
4、認識正比例圖象。(課件出示例1的表格及正比例圖象)
(1)觀察表格和圖象,你發(fā)現(xiàn)了什么?
(2)把數(shù)對(10,35)和(12,42)所在的點描出來,再和上面的圖象連起來并延長,你還能發(fā)現(xiàn)什么?
無論怎樣延長,得到的都是直線。
(3)從正比例圖象中,你知道了什么?
生1:可以由一個量的值直接找到對應的另一個量的值。
生2:可以直觀地看到成正比例的量的變化情況。
(4)利用正比例圖象解決問題。
不計算,根據(jù)圖象判斷,如果買9m彩帶,總價是多少?49元能買多少米彩帶?
小明買的彩帶的米數(shù)是小麗的2倍,他花的錢是小麗的幾倍?預設生:因為在單價一定的情況下,數(shù)量與總價成正比例關(guān)系,小明買的彩帶的米數(shù)是小麗的2倍,他花的錢也應是小麗的2倍。設計意圖:先從觀察圖象入手,引導學生直觀認識相關(guān)聯(lián)的量,再結(jié)合表中的數(shù)據(jù),引導學生發(fā)現(xiàn)總價與數(shù)量的比值一定,使學生理解正比例的意義,最后結(jié)合正比例圖象,把數(shù)據(jù)與點聯(lián)系起來,根據(jù)圖象,不用計算就能找到一個量的值所對應的另一個量的值,使學生在解決問題的同時,感受數(shù)形結(jié)合思想。
三、課堂練習:
1、P46“做一做”
2、練習九第1、3~7題
教學目標:
(1)能夠根據(jù)實際問題,熟練地列出二次函數(shù)關(guān)系式,并求出函數(shù)的自變量的取值范圍。
(2)注重學生參與,聯(lián)系實際,豐富學生的感性認識,培養(yǎng)學生的良好的學習習慣
重點難點:
能夠根據(jù)實際問題,熟練地列出二次函數(shù)關(guān)系式,并求出函數(shù)的自變量的取值范圍。
1、設矩形花圃的`垂直于墻的一邊AB的長為xm,先取x的一些值,算出矩形的另一邊BC的長,進而得出矩形的面積ym
2、試將計算結(jié)果填寫在下表的空格中,
3、x的值是否可以任意取?有限定范圍嗎?
4、我們發(fā)現(xiàn),當AB的長(x)確定后,矩形的面積(y)也隨之確定。
某商店將每件進價為8元的某種商品按每件10元出售,一天可銷出約100件、該店想通過降低售價、增加銷售量的辦法來提高利潤,經(jīng)過市場調(diào)查,發(fā)現(xiàn)這種商品單價每降低0.1元,其銷售量可增加10件。將這種商品的售價降低多少時,能使銷售利潤最大?在這個問題中,可提出如下問題供學生思考并回答:
1、商品的利潤與售價、進價以及銷售量之間有什么關(guān)系?
2、如果不降低售價,該商品每件利潤是多少元?一天總的利潤是多少元?
3、若每件商品降價x元,則每件商品的利潤是多少元?一天可銷售約多少件商品?
4、x的值是否可以任意取?如果不能任意取,請求出它的范圍,
5、若設該商品每天的利潤為y元,求y與x的函數(shù)關(guān)系式。
將函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=x(20-2x)(0<x<10=化為:
1、教師引導學生觀察函數(shù)關(guān)系式(1)和(2),提出以下問題讓學生思考回答;
(1)函數(shù)關(guān)系式(1)和(2)的自變量各有幾個?
(2)多項式-2x2+20和-100x2+100x+200分別是幾次多項式?(分別是二次多項式)
(3)函數(shù)關(guān)系式(1)和(2)有什么共同特點?
(4)本章導圖中的問題以及P1頁的問題2有什么共同特點?讓學生討論、交流,發(fā)表意見,歸結(jié)為:自變量x為何值時,函
數(shù)y取得最大值。
2、二次函數(shù)定義:形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常數(shù),a≠0)的函數(shù)叫做x的二次函數(shù),a叫做二次函數(shù)的系數(shù),b叫做一次項的系數(shù),c叫作常數(shù)項、
1、(口答)下列函數(shù)中,哪些是二次函數(shù)?
1、請敘述二次函數(shù)的定義、
2,許多實際問題可以轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)來解決,請你聯(lián)系生活實際,編一道二次函數(shù)應用題,并寫出函數(shù)關(guān)系式。
六、作業(yè):
一、教材的地位和作用
本 節(jié)課主要是在學生學習了函數(shù)圖象的基礎上,通過動手操作接受一次函數(shù)圖象是直線這一事實,在實踐中體會“兩點法”的簡便,向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想, 以使學生借助直觀的圖形,生動形象的變化來發(fā)現(xiàn)兩個一次函數(shù)圖象在直角坐標系中的位置關(guān)系。培養(yǎng)學生主動學習、主動探索、合作學習的能力。本節(jié)課為探索一 次函數(shù)性質(zhì)作準備。
(一)教學目標的確定
教學目標是教學的出發(fā)點和歸宿。因此,我根據(jù)新課標的知識、能力和德育目標的要求,以學生的認知點,心理特點和本課的特點來制定教學目標。
1、知識目標
(1)能用“兩點法”畫出一次函數(shù)的圖象。
(2)結(jié)合圖象,理解直線y=kx+b(k、b是常數(shù),k≠0)常數(shù)k和b的取值對于直線的位置的影響。
2、能力目標
(1)通過操作、觀察,培養(yǎng)學生動手和歸納的能力。
(2)結(jié)合具體情境向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想。
3、情感目標
(1)通過動手操作,觀察探索一次函數(shù)的特征,體驗數(shù)學研究和發(fā)現(xiàn)的過程,逐步培養(yǎng)學生在教學活動中的主動探索的意識和合作交流的習慣。
(2)讓學生通過直觀感知、動手操作去經(jīng)歷、體會規(guī)律形成的過程。
(二)教學重點、難點
用“兩點法”畫出一次函數(shù)的圖象是研究一次函數(shù)的性質(zhì)的基礎,是本節(jié)課的重點。直線y=kx+b(k、b是常數(shù),k≠0)常數(shù)k和b的取值對于直線的位置的影響,是本節(jié)課的難點。關(guān)鍵是通過學生的直觀感知、動手操作、合作交流歸納其規(guī)律。
二、學情分析
1、由用描點法畫函數(shù)的圖象的認識,學生能接受一次函數(shù)的圖象是直線,結(jié)合“兩點確定一條直線”,學生能畫出一次函數(shù)圖象。
2、根據(jù)學生抽象歸納能力較差,學習直線y=kx+b(k、b是常數(shù),k≠0)常數(shù)k和b的取值對于直線的位置的影響有難度。所以教學中應盡可能多地讓學生動手操作,突出圖象變化特征的探索過程,自主探索出其規(guī)律。
3、抓住初中學生的心理特征,運用直觀生動的形象,引發(fā)學生的興趣,吸引他們的注意力;另一方面積極創(chuàng)造條件和機會,讓學生發(fā)表見解,發(fā)揮學生學習的主動性。
三、教學方法
我采用自主探究—→合作交流式教學,讓學生動手操作,主動去探索,小組合作交流。而互動式教學將顧及到全體學生,讓全體學生都參與,達到優(yōu)生得到培養(yǎng),后進生也有所收獲的效果。
四、教學設計
一、設疑,導入新課(2分鐘)
師:同學們,上節(jié)課我們學習了一次函數(shù),你能說一說什么樣的函數(shù)是一次函數(shù)嗎?
生1:函數(shù)的解析式都是用自變量的一次整式表示的,我們稱這樣的函數(shù)為一次函數(shù)。
生2:一次函數(shù)通??梢员硎緸閥=kx+b的形式,其中k、b為常數(shù),k≠0。
生3:正比例函數(shù)也是一次函數(shù)。
師:(同學們回答的都很好)通過前面的學習我們可以發(fā)現(xiàn),一次函數(shù)是一種特殊的函數(shù),那么一次函數(shù)的圖象是什么形狀呢?
這節(jié)課讓我們一起來研究 “一次函數(shù)的圖象”。(板書)
二、自主探究——小組交流、歸納——問題升華:
1、師:問(1)你們知道一次函數(shù)是什么形狀嗎?(4分鐘)
生:不知道。
師:那就讓我們一起做一做,看一看:(出示幻燈片)
用描點法作出下列一次函數(shù)的圖象。
(1)y= 0.5x (2) y= 0.5x+2
(3)y= 3x (4) y= 3x + 2
師:(為了節(jié)約時間)要求:用描點法時,最少5個點;以小組為單位,由小組長分配,每人畫一個圖象。畫完后,小組訂正,看是否畫的正確?
然后討論解決問題(1):觀察你和你的同伴畫出的圖象,你認為一次函數(shù)的圖象是什么形狀?
小組匯報:一次函數(shù)的圖象是直線。
師:所有的一次函數(shù)圖象都是直線嗎?
生:是。
師:那么一次函數(shù)y=kx+b(其中k、b為常數(shù),k≠0),也可以稱為直線y=kx+b(其中k、b為常數(shù),k≠0)。(板書)
師:(出示幻燈片)問(2):觀察你和你的同伴所畫的圖象在位置上有沒有不同之處?(2分鐘)
討論正比例函數(shù)的圖象與一般的一次函數(shù)圖象在位置上有沒有不同之處。
小組1:正比例函數(shù)圖象經(jīng)過原點。
小組2:正比例函數(shù)圖象經(jīng)過原點,一般的一次函數(shù)不經(jīng)過原點。
師出示幻燈片3(使學生再一次加深印象)
師:問(3):對于畫一次函數(shù)y=kx+b(其中k)b為常數(shù),k≠0)的圖象——直線,你認為有沒有更為簡便的方法?
(一邊思考,可以和同桌交流)(2分鐘)
生1:用3個點。
生2:老師我這個更簡單,用兩個點。因為兩點確定一條直線嘛!
生3:如畫y=0.5x的圖象,經(jīng)過(0,0)點和(2,1)點這兩個點做直線就行。
師:我們都認為畫一次函數(shù)圖象,只過兩個點畫直線就行。
(幻燈片4:師,動畫演示用“兩點法”畫一次函數(shù)的過程)
師:做一做,請你用“兩點法”在剛才的直角坐標系中,畫出其余三個一次函數(shù)的圖象。(比一比誰畫的既快又好)(4分鐘)
師:問(4):和你的同伴比一比,看誰取的那兩個點更為簡便一些?
組1:若是正比例函數(shù),我們組先?。?,0)點,如畫y=0.5x的圖象,我們再了取(2,
1)點。這樣找的坐標都是整數(shù)。
組2:我們組認為盡量都找整數(shù)。
組3:我們組認為都從兩條坐標軸上找點,這樣比較準確。如y=3x+2,我們?nèi)↑c(0,3)和點(-2/3,0)
組4:我們組認為,正比例函數(shù)經(jīng)過(0,0)點和(1,k)點;一般的一次函數(shù)經(jīng)過(0,b)點和(-b/k,0)點。
師:同學們說的都很好。我覺得可以根據(jù)情況來取點。
2、師:我們現(xiàn)在已經(jīng)用:“兩點法”把四個一次函數(shù)圖象準確而又迅速地畫在了一個直角坐標系中,這四個函數(shù)圖象之間在位置上有沒有什么關(guān)系呢?
問(1):(由自己所畫的圖象)觀察下列各對一次函數(shù)圖象在位置上有什么關(guān)系?(獨自觀察——學生回答)(3分鐘)
①y=0.5x與y=0.5x+2;②y=3x與y=3x+2;③y=0.5x與y=3x;④y=0.5x+2與y=3x+2。
生1:①y=0.5x與y=0.5x+2;兩直線平行。
生2:②y=3x與y=3x+2;兩直線平行。
生3:③y=0.5x與y=3x;兩直線相交。
生4:④y=0.5x+2與y=3x+2;兩直線相交。
師:其他同學有沒有補充?
生5:③y=0.5x與y=3x都是正比例函數(shù);兩直線相交,并且交點是點(0,0)點。
生6:老師,我也發(fā)現(xiàn)了④y=0.5x+2與y=3x+2的圖象相交,并且交點是點(0,2)。
師:(出示幻燈片5)同學們回答都不錯,我們要向生5和生6學習,學習他們的細致思考。
一、說課內(nèi)容:
蘇教版九年級數(shù)學下冊第六章第一節(jié)的二次函數(shù)的概念及相關(guān)習題二、教材分析:
1、教材的地位和作用這節(jié)課是在學生已經(jīng)學習了一次函數(shù)、正比例函數(shù)、反比例函數(shù)的基礎上,來學習二次函數(shù)的概念。二次函數(shù)是初中階段研究的最后一個具體的函數(shù),也是最重要的,在歷年來的中考題中占有較大比例。同時,二次函數(shù)和以前學過的一元二次方程、一元二次不等式有著密切的聯(lián)系。進一步學習二次函數(shù)將為它們的解法提供新的方法和途徑,并使學生更為深刻的理解“數(shù)形結(jié)合”的重要思想。而本節(jié)課的二次函數(shù)的概念是學習二次函數(shù)的基礎,是為后來學習二次函數(shù)的圖象做鋪墊。所以這節(jié)課在整個教材中具有承上啟下的重要作用。
2、教學目標和要求:
(1)知識與技能:使學生理解二次函數(shù)的概念,掌握根據(jù)實際問題列出二次函數(shù)關(guān)系式的方法,并了解如何根據(jù)實際問題確定自變量的'取值范圍。
(2)過程與方法:復習舊知,通過實際問題的引入,經(jīng)歷二次函數(shù)概念的探索過程,提高學生解決問題的能力。
(3)情感、態(tài)度與價值觀:通過觀察、操作、交流歸納等數(shù)學活動加深對二次函數(shù)概念的理解,發(fā)展學生的數(shù)學思維,增強學好數(shù)學的愿望與信心。
3、教學重點:對二次函數(shù)概念的理解。
4、教學難點:由實際問題確定函數(shù)解析式和確定自變量的取值范圍。
二、教法學法設計:
1、從創(chuàng)設情境入手,通過知識再現(xiàn),孕伏教學過程。
2、從學生活動出發(fā),通過以舊引新,順勢教學過程。
3、利用探索、研究手段,通過思維深入,領(lǐng)悟教學過程四。
三、教學過程:
(一)復習提問
1.什么叫函數(shù)?我們之前學過了那些函數(shù)?(一次函數(shù),正比例函數(shù),反比例函數(shù))
2.它們的形式是怎樣的?(y=kx+b,k≠0;y=kx,k≠0;y=,k≠0)3.一次函數(shù)(y=kx+b)的自變量是什么?函數(shù)是什么?常量是什么?為什么要有k≠0的條件?k值對函數(shù)性質(zhì)有什么影響?
(二)設計意圖
復習這些問題是為了幫助學生弄清自變量、函數(shù)、常量等概念,加深對函數(shù)定義的理解.強調(diào)k≠0的條件,以備與二次函數(shù)中的a進行比較。
引入新課函數(shù)是研究兩個變量在某變化過程中的相互關(guān)系,我們已學過正比例函數(shù),反比例函數(shù)和一次函數(shù)。
看下面三個例子中兩個變量之間存在怎樣的關(guān)系:
例1、(1)圓的半徑是r(cm)時,面積s(cm)與半徑之間的關(guān)系是什么?解:s=πr(r>0)。
例2、用周長為20m的籬笆圍成矩形場地,場地面積y(m)與矩形一邊長x(m)之間的關(guān)系是什么?解:y=x(20/2-x)=x(10-x)=-x+10x(0例3、設人民幣一年定期儲蓄的年利率是x,一年到期后,銀行將本金和利息自動按一年定期儲蓄轉(zhuǎn)存。如果存款額是100元,那么請問兩年后的本息和y(元)與x之間的關(guān)系是什么(不考慮利息稅)?解:y=100(1+x)=100(x+2x+1)=100x+200x+100(0教師提問:以上三個例子所列出的函數(shù)與一次函數(shù)有何相同點與不同點?(三)講解新課以上函數(shù)不同于我們所學過的一次函數(shù),正比例函數(shù),反比例函數(shù),我們就把這種函數(shù)稱為二次函數(shù)。二次函數(shù)的定義:形如y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c為常數(shù))的函數(shù)叫做二次函數(shù)。鞏固對二次函數(shù)概念的理解:1、強調(diào)“形如”,即由形來定義函數(shù)名稱。二次函數(shù)即y是關(guān)于x的二次多項式(關(guān)于的x代數(shù)式一定要是整式)。2、在y=ax2+bx+c中自變量是x,它的取值范圍是一切實數(shù)。但在實際問題中,自變量的取值范圍是使實際問題有意義的值。(如例1中要求r>0)3、為什么二次函數(shù)定義中要求a≠0?(若a=0,ax2+bx+c就不是關(guān)于x的二次多項式了)4、在例3中,二次函數(shù)y=100x2+200x+100中,a=100,b=200,c=100.5、b和c是否可以為零?(四)鞏固練習已知一個直角三角形的兩條直角邊長的和是10cm。(1)當它的一條直角邊的長為4.5cm時,求這個直角三角形的面積;(2)設這個直角三角形的面積為Scm2,其中一條直角邊為xcm,求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式。此題由具體數(shù)據(jù)逐步過渡到用字母表示關(guān)系式,讓學生經(jīng)歷由具體到抽象的過程,從而降低學生學習的難度。(五)小結(jié)思考:本節(jié)課你有哪些收獲?還有什么不清楚的地方?讓學生來談本節(jié)課的收獲,培養(yǎng)學生自我檢查、自我小結(jié)的良好習慣,將知識進行整理并系統(tǒng)化。而且由此可了解到學生還有哪些不清楚的地方,以便在今后的教學中補充。(六)作業(yè)布置必做題:正方形的邊長為4,如果邊長增加x,則面積增加y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式。這個函數(shù)是二次函數(shù)嗎?在長20cm,寬15cm的矩形木板的四角上各鋸掉一個邊長為xcm的正方形,寫出余下木板的面積y(cm2)與正方形邊長x(cm)之間的函數(shù)關(guān)系,并注明自變量的取值范圍?選做題:1.已知函數(shù)是二次函數(shù),求m的值?2.試在平面直角坐標系畫出二次函數(shù)y=x2和y=-x2圖象?作業(yè)中分為必做題與選做題,實施分層教學,體現(xiàn)新課標人人學有價值的數(shù)學,不同的人得到不同的發(fā)展。另外補充第4題,旨在激發(fā)學生繼續(xù)學習二次函數(shù)圖象的興趣。
一、教材分析
1、《指數(shù)函數(shù)》在教材中的地位、作用和特點
《指數(shù)函數(shù)》是人教版高中數(shù)學(必修)第一冊第二章“函數(shù)”的第六節(jié)資料,是在學習了《指數(shù)》一節(jié)資料之后編排的。經(jīng)過本節(jié)課的學習,既能夠?qū)χ笖?shù)和函數(shù)的概念等知識進一步鞏固和深化,又能夠為后面進一步學習對數(shù)、對數(shù)函數(shù)尤其是利用互為反函數(shù)的圖象間的關(guān)系來研究對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)打下堅實的概念和圖象基礎,又因為《指數(shù)函數(shù)》是進入高中以后學生遇到的第一個系統(tǒng)研究的函數(shù),對高中階段研究對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等完整的函數(shù)知識,初步培養(yǎng)函數(shù)的應用意識打下了良好的學習基礎,所以《指數(shù)函數(shù)》不僅僅是本章《函數(shù)》的重點資料,也是高中學段的主要研究資料之一,有著不可替代的重要作用。
此外,《指數(shù)函數(shù)》的知識與我們的日常生產(chǎn)、生活和科學研究有著緊密的聯(lián)系,尤其體此刻細胞分裂、貸款利率的計算和考古中的年代測算等方面,所以學習這部分知識還有著廣泛的現(xiàn)實意義。本節(jié)資料的特點之一是概念性強,特點之二是凸顯了數(shù)學圖形在研究函數(shù)性質(zhì)時的重要作用。
2、教學目標、重點和難點
經(jīng)過初中學段的學習和高中對集合、函數(shù)等知識的系統(tǒng)學習,學生對函數(shù)和圖象的關(guān)系已經(jīng)構(gòu)建了必須的認知結(jié)構(gòu),主要體此刻三個方面:
知識維度:對正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù),二次函數(shù)等最簡單的函數(shù)概念和性質(zhì)已有了初步認識,能夠從初中運動變化的角度認識函數(shù)初步轉(zhuǎn)化到從集合與對應的觀點來認識函數(shù)。
技能維度:學生對采用“描點法”描繪函數(shù)圖象的方法已基本掌握,能夠為研究《指數(shù)函數(shù)》的性質(zhì)做好準備。
素質(zhì)維度:由觀察到抽象的數(shù)學活動過程已有必須的體會,已初步了解了數(shù)形結(jié)合的思想。
鑒于對學生已有的知識基礎和認知本事的分析,根據(jù)《教學大綱》的要求,我確定本節(jié)課的教學目標、教學重點和難點如下:
(1)知識目標:
①掌握指數(shù)函數(shù)的概念;
②掌握指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì);
③能初步利用指數(shù)函數(shù)的概念解決實際問題;
(2)技能目標:
①滲透數(shù)形結(jié)合的基本數(shù)學思想方法;
②培養(yǎng)學生觀察、聯(lián)想、類比、猜測、歸納的本事;
(3)情感目標:
①體驗從特殊到一般的學習規(guī)律,認識事物之間的普遍聯(lián)系與相互轉(zhuǎn)化,培養(yǎng)學生用聯(lián)系的觀點看問題;
②經(jīng)過教學互動促進師生情感,激發(fā)學生的學習興趣,提高學生抽象、概括、分析、綜合的本事;
③領(lǐng)會數(shù)學科學的應用價值。
(4)教學重點:指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)。
(5)教學難點:指數(shù)函數(shù)的圖象性質(zhì)與底數(shù)a的關(guān)系。
突破難點的關(guān)鍵:尋找新知生長點,建立新舊知識的聯(lián)系,在理解概念的基礎上充分結(jié)合圖象,利用數(shù)形結(jié)合來掃清障礙。
二、教法設計
由于《指數(shù)函數(shù)》這節(jié)課的特殊地位,在本節(jié)課的教法設計中,我力圖經(jīng)過這一節(jié)課的教學到達不僅僅使學生初步理解并能簡單應用指數(shù)函數(shù)的知識,更期望能引領(lǐng)學生掌握研究初等函數(shù)圖象性質(zhì)的一般思路和方法,為今后研究其它的函數(shù)做好準備,從而到達培養(yǎng)學生學習本事的目的,我根據(jù)自我對“誘思探究”教學模式和“情景式”教學模式的認識,將二者結(jié)合起來,主要突出了幾個方面:
1、創(chuàng)設問題情景、按照指數(shù)函數(shù)的在生活中的實際背景給出兩個實例,充分調(diào)動學生的學習興趣,激發(fā)學生的探究心理,順利引入課題,而這兩個例子又恰好為研究指數(shù)函數(shù)中底數(shù)大于1和底數(shù)大于0小于1的圖象做好了準備。
2、強化“指數(shù)函數(shù)”概念、引導學生結(jié)合指數(shù)的有關(guān)概念來歸納出指數(shù)函數(shù)的定義,并向?qū)W生指出指數(shù)函數(shù)的形式特點,請學生思考對于底數(shù)a是否需要限制,如不限制會有什么問題出現(xiàn),這樣避免了學生對于底數(shù)a范圍分類的不清楚,也為研究指數(shù)函數(shù)的圖象做了“分類討論”的鋪墊。
3、突出圖象的作用、在數(shù)學學習過程中,圖形始終使我們需要借助的重要輔助手段。一位數(shù)學家以往說過“數(shù)離形時少直觀,形離數(shù)時難入微”,而在研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)時,更是直接由圖象觀察得出性質(zhì),所以圖象發(fā)揮了主要的作用。
4、注意數(shù)學與生活和實踐的聯(lián)系、數(shù)學的本質(zhì)是來源于生活,服務于實踐。在課堂教學的引入、例題的講解和課外知識的拓展部分,都介紹了與指數(shù)函數(shù)息息相關(guān)的生活問題,力圖使學生了解到數(shù)學的基礎學科作用,培養(yǎng)學生的數(shù)學應用意識。
三、學法指導
本節(jié)課是在學習完“指數(shù)”的概念和運算后編排的,針對學生實際情景,我主要在以下幾個方面做了嘗試:
1、再現(xiàn)原有認知結(jié)構(gòu)。在引入兩個生活實例后,請學生回憶有關(guān)指數(shù)的概念,幫忙學生再現(xiàn)原有認知結(jié)構(gòu),為理解指數(shù)函數(shù)的概念做好準備。
2、領(lǐng)會常見數(shù)學思想方法。在借助圖象研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)時會遇到分類討論、數(shù)形結(jié)合等基本數(shù)學思想方法,這些方法將會貫穿整個高中的數(shù)學學習。
3、在互相交流和自主探究中獲得發(fā)展。在生活實例的課堂導入、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)研究、例題與訓練、課內(nèi)小節(jié)等教學環(huán)節(jié)中都安排了學生的討論、分組、交流等活動,讓學生變被動的理解和記憶知識為在合作學習的樂趣中主動地建構(gòu)新知識的框架和體系,從而完成知識的內(nèi)化過程。
4、注意學習過程的循序漸進。在概念、圖象、性質(zhì)、應用、拓展的過程中按照先易后難的順序?qū)訉舆f進,讓學生感到有挑戰(zhàn)、有收獲,跳一跳,夠得著,不一樣難度的題目設計將盡可能照顧到課堂學生的個體差異。
四、程序設計
在設計本節(jié)課的教學過程中,本著遵循學生的認知規(guī)律、讓學生去經(jīng)歷知識的構(gòu)成與發(fā)展過程的原則,我設計了如下的教學程序,啟發(fā)學生逐步發(fā)現(xiàn)和認識指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)。
1、創(chuàng)設情景、導入新課
教師活動:
①用電腦展示兩個實例,第一個是計算機價格下降問題,第二個是生物中細胞分裂的例子;
②將學生按奇數(shù)列、偶數(shù)列分組。
學生活動:
①分別寫出計算機價格y與經(jīng)過月份x的關(guān)系式和細胞個數(shù)y與分裂次數(shù)x的關(guān)系式,并互相交流;
②回憶指數(shù)的概念;
③歸納指數(shù)函數(shù)的概念;
④分析出對指數(shù)函數(shù)底數(shù)討論的必要性以及分類的方法。
設計意圖:經(jīng)過生活實例激發(fā)學生的學習動機,,掃清由概念不清而造成的知識障礙,培養(yǎng)學生思維的主動性,為突破難點做好準備;
2、啟發(fā)誘導、探求新知
教師活動:
①給出兩個簡單的指數(shù)函數(shù)并要求學生畫它們的圖象
②在準備好的小黑板上規(guī)范地畫出這兩個指數(shù)函數(shù)的圖象
③板書指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。
學生活動:
①畫出兩個簡單的指數(shù)函數(shù)圖象
②交流、討論
③歸納出研究函數(shù)性質(zhì)涉及的方面
④總結(jié)出指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。
設計意圖:讓學生動手作簡單的指數(shù)函數(shù)的圖象對深刻理解本節(jié)課的資料有著必須的促進作用,在學生完成基本作圖之后,教師再利用課前已列表、建立坐標系的小黑板展示準確的作圖方法,到達進一步規(guī)范學生的作圖習慣的目的,然后借助“函數(shù)作圖器”用多媒體將指數(shù)函數(shù)的圖象推廣到一般情景,學生就會很自然的經(jīng)過觀察圖象總結(jié)出指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),同時對于底數(shù)的討論也就變得順理成章。
數(shù)學思想是人腦對現(xiàn)/a思想是人腦對現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)的反映,是思維加工的產(chǎn)物。
函數(shù)思想是數(shù)學思想的重要組成部分,在高中數(shù)學中起到橫向聯(lián)系和紐帶連結(jié)的主干作用。
用變量和函數(shù)來思考問題的方法就是函數(shù)思想。
這是一種考慮運動變化、相依關(guān)系,以一種狀態(tài)確定地刻劃另一種狀態(tài)過渡到研究變化過程的思想方法。
函數(shù)思想是函數(shù)概念、性質(zhì)等知識更高層次的提煉和概括,是在知識和方法反復學習運用中抽象出的帶有觀念性的指導方法。
所謂函數(shù)思想的運用,就是對于一個實際問題或數(shù)學問題,構(gòu)建一個相應的函數(shù),從而更快更好地解決問題。
構(gòu)造函數(shù)是函數(shù)思想的重要體現(xiàn),運用函數(shù)思想要善于抓住事物在運動過程中那些保持不變的規(guī)律和性質(zhì)。
下面簡單介紹一下運用函數(shù)思想來解決方程、不等式、數(shù)列、參數(shù)的取值范圍等問題。
一、運用函數(shù)思想求解方程問題函數(shù)與方程既是兩個不同的概念,又存在著密切的聯(lián)系。
一個函數(shù)若能用一個解析式表達,則這個表達式就可看成一個方程;一個二元方程的兩個未知數(shù)間存在著對應關(guān)系,如果這個對應關(guān)系是單值的,那么這個方程也可以看成一個函數(shù)。
一個方程的兩端可以分別看成函數(shù),方程的解就是這兩個函數(shù)圖象交點的橫坐標。
因此,許多有關(guān)方程的問題都可用函數(shù)思想來解決。
例1求證:不論a取什么實數(shù),方程x2-(a2+a)x+a-2=0必有兩個不相等的實根。
分析:此題若用常規(guī)解法,求出判別式△是一個關(guān)于a的一元四次多項式,符號不易判斷。
若用函數(shù)思想去分析題意,設函數(shù)f(x)=x2-(a2+a)x+a-2,要證明命題成立,只需證明函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有兩個交點,由于它的開口向上,只要找到一個實數(shù)X0,使f(x0)例2已知關(guān)于x的實系數(shù)二次方程x2+ax+b=0有兩個實數(shù)根α,β,證明:(I)如果|α|(II)如果2|a||β|分析:本題表面上看是方程問題,方程的根的分布與參數(shù)a,b之間滿足的關(guān)系式,如果用純方程理論處理則十分繁瑣;如果用函數(shù)思想來分析,將方程根的分布問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像與x軸交點問題,則可抓往本質(zhì)。
解:本題(I)(II)的結(jié)果是2|a|{α,β∈(-2,2)|b|可設函數(shù)f(x)=x2+ax+b(I)由二次函數(shù)的圖像知f(2)0α,β∈(-2,2)=={f(-2)0|b|=|α??β|02a-(4+b)=={=={4-2a+b02a2|a|0f(2)0(Ⅱ)如果{=={=={則|b|0f(-2)0α,β在(-2,2)之內(nèi)或在(-2,2)之外,若α,β在(-2,2)之外,則|α??β|=b4,這與|b|二、運用函數(shù)思想證明不等式例3設a,b,c均為正數(shù),且a+bc,abc求證:-----+-------------1+a1+b1+cabc分析:不等式左右兩邊,結(jié)構(gòu)相似:-----,------,-------,因1+a1+b1+c此可以聯(lián)想函數(shù)f(x)=x/(1+x)(x0)的單調(diào)性。
證明:先證函數(shù)f(x)=x/(1+x)(x0)的單調(diào)性。
任取x10,x20,不妨設x1則f(x1)-f(x2)=------------=----------------1+x11+x2(1+x1)(1+x2)∵x10,x20∴1+x10,1+x20又∵x1x1-x2∴-------------------(1+x1)(1+x2)即f(x1)∴函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增。
∵a+bc0∴f(a+b)f(c)a+bc即-------------1+a+b1+cababa+b∵------+-------------+-------=-------1+a1+b1+a+b1+a+b1+a+babc∴------+-------------1+a1+b1+c例4已知a、b、x、y都是實數(shù),且a2+b2=1,x2+y2=1,求證:ax+by≤1分析:已知條件中有平方和等于1,可聯(lián)想正、余弦之間的平方關(guān)系,再利用函數(shù)的有界性進行證明。
證明:∵a2+b2=1,x2+y2=1∴可設a=sinα,b=cosα,x=sinβ,y=cosβ則有ax+by=sinαsinβ+cosαcosβ=cos(α-β)≤1∴ax+by≤1三、運用函數(shù)思想解數(shù)列問題數(shù)列可以看作是一個定義域為正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1,2......n})的函數(shù)當自變量從小到大依次取值時對應的一列函數(shù)值,而數(shù)列的通項公式也就是相應函數(shù)的解析式。
因此,有些數(shù)列的問題可用函數(shù)思想來解決。
例5在等差數(shù)列中,前n項為Sn,已知Sp=q,Sq=p(p、q∈N*且p≠q),求Sp+q分析:本題的常規(guī)解法是用求和公式建立方程組,求出a1和d,進而求出Sp+q,但計算十分繁瑣。
若考慮到等差數(shù)列的前n項和是關(guān)于n的二次函數(shù),且無常數(shù)項。
故可考慮建立目標函數(shù)Sn=an2+bn(a,b為待定系數(shù)),可優(yōu)化解題過程。
解:設Sn=an2+bn(a,b為待定系數(shù))則Sp=ap2+bp∴ap2+bp=q(1)Sq=aq2+bq∴aq2+bq=p(2)(1)-(2)整理得(p-q)[a(p+q)+b)]=-(p-q)∵p≠q∴p-q≠0∴a(p+q)+b=-1又∵Sp+q=a(p+q)2+b(p+q)=(p+q)[a(p+q)+b]=-(p+q)∴Sp+q=-(p+q)四、運用函數(shù)思想求參數(shù)(或變量)的范圍(一)構(gòu)造一次函數(shù)求參數(shù)的范圍例6若不等式2x-1m(x2-1)對|m|≤2的所有m均成立,求x的取值范圍。
解:構(gòu)造關(guān)于m的一次函數(shù)f(m)=(x2-1)m-2x+1,則由f(m)f(-2)0√7-1√3+1{={=------------f(2)∴x的取值范圍是(----------,-----------)22(二)構(gòu)造二次函數(shù)求變量的范圍例7已知實數(shù)a,b,c,d,滿足a+b+c+d=5,a2+b2+c2+d2=7,求a的取值范圍。
解:構(gòu)造關(guān)于x的二次函數(shù)f(x)=(x-b)2+(x-c)2+(x-d)2=3x2-2(b+c+d)x+(b2+c2+d2)∵f(x)≥0∴△≤0即4(b+c+d)2-12(b2+c2+d2)≤0亦即4(5-a)2-12(7-a2)≤0∴2a2-5a+2≤0∴1/2≤a≤2∴a的取值范圍為[1/2,2]這個開頭的話和中...
1.2解三角形應用舉例第二課時
一、教學目標
1、能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關(guān)底部不可到達的物體高度測量的問題
2、鞏固深化解三角形實際問題的一般方法,養(yǎng)成良好的研究、探索習慣。
3、進一步培養(yǎng)學生學習數(shù)學、應用數(shù)學的意識及觀察、歸納、類比、概括的能力
二、教學重點、難點
重點:結(jié)合實際測量工具,解決生活中的測量高度問題
難點:能觀察較復雜的圖形,從中找到解決問題的關(guān)鍵條件
三、教學過程
Ⅰ.課題導入
提問:現(xiàn)實生活中,人們是怎樣測量底部不可到達的建筑物高度呢?又怎樣在水平飛行的飛機上測量飛機下方山頂?shù)暮0胃叨饶兀拷裉煳覀兙蛠砉餐接戇@方面的問題
Ⅱ.講授新課
[范例講解]
例1、AB是底部B不可到達的一個建筑物,A為建筑物的最高點,設計一種測量建筑物高度AB的方法。
分析:求AB長的關(guān)鍵是先求AE,在ACE中,如能求出C點到建筑物頂部A的距離CA,再測出由C點觀察A的仰角,就可以計算出AE的長。
解:選擇一條水平基線HG,使H、G、B三點在同一條直線上。由在H、G兩點用測角儀器測得A的仰角分別是、,CD=a,測角儀器的高是h,那么,在ACD中,根據(jù)正弦定理可得
AC=AB=AE+h=AC+h=+h
例2、如圖,在山頂鐵塔上B處測得地面上一點A的俯角=54,在塔底C處測得A處的俯角=50。已知鐵塔BC部分的高為27.3m,求出山高CD(精確到1m)
師:根據(jù)已知條件,大家能設計出解題方案嗎?
若在ABD中求CD,則關(guān)鍵需要求出哪條邊呢?
生:需求出BD邊。
師:那如何求BD邊呢?
生:可首先求出AB邊,再根據(jù)BAD=求得。
解:在ABC中,BCA=90+,ABC=90-,
BAC=-,BAD=.根據(jù)正弦定理,=
所以AB==在RtABD中,得BD=ABsinBAD=
將測量數(shù)據(jù)代入上式,得BD==≈177(m)
CD=BD-BC≈177-27.3=150(m)
答:山的高度約為150米.
思考:有沒有別的解法呢?若在ACD中求CD,可先求出AC。思考如何求出AC?
例3、如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正東行駛,到A處時測得公路南側(cè)遠處一山頂D在東偏南15的方向上,行駛5km后到達B處,測得此山頂在東偏南25的方向上,仰角為8,求此山的高度CD.
思考1:欲求出CD,大家思考在哪個三角形中研究比較適合呢?(在BCD中)
思考2:在BCD中,已知BD或BC都可求出CD,根據(jù)條件,易計算出哪條邊的長?(BC邊)
解:在ABC中,A=15,C=25-15=10,根據(jù)正弦定理,
=,BC=≈7.4524(km)CD=BCtanDBC≈BCtan8≈1047(m)
答:山的高度約為1047米
Ⅲ.課堂練習:課本第17頁練習第1、2、3題
Ⅳ.課時小結(jié)
利用正弦定理和余弦定理來解題時,要學會審題及根據(jù)題意畫方位圖,要懂得從所給的背景資料中進行加工、抽取主要因素,進行適當?shù)暮喕?/p>
Ⅴ.課后作業(yè)
作業(yè):《習案》作業(yè)五
高一數(shù)學教案:《函數(shù)》教學設計
教學目標
1.理解函數(shù)的概念,了解函數(shù)的三種表示法,會求函數(shù)的定義域.
(1)了解函數(shù)是特殊的映射,是非空數(shù)集A到非空數(shù)集B的映射.能理解函數(shù)是由定義域,值域,對應法則三要素構(gòu)成的整體.
(2)能正確認識和使用函數(shù)的三種表示法:解析法,列表法,和圖象法.了解每種方法的優(yōu)點.
(3)能正確使用“區(qū)間”及相關(guān)符號,能正確求解各類函數(shù)的定義域.
2.通過函數(shù)概念的學習,使學生在符號表示,運算等方面的能力有所提高.
學過什么函數(shù)?
(要求學生盡量用自己的話描述初中函數(shù)的定義,并試舉出各類學過的函數(shù)例子)
學生舉出如等,待學生說完定義后教師打出投影片,給出定義之后教師也舉一個例子,問學生.
提問1.是函數(shù)嗎?
(由學生討論,發(fā)表各自的意見,有的認為它不是函數(shù),理由是沒有兩個變量,也有的認為是函數(shù),理由是可以可做.)
教師由此指出我們爭論的焦點,其實就是函數(shù)定義的不完善的地方,這也正是我們今天研究函數(shù)定義的必要性,新的定義將在與原定義不相違背的基礎上從更高的觀點,將它完善與深化.
二、新課
現(xiàn)在請同學們打開書翻到第50頁,從這開始閱讀有關(guān)的內(nèi)容,再回答我的問題.(約2-3分鐘或開始提問)
提問2.新的函數(shù)的定義是什么?能否用最簡單的語言來概括一下.
學生的回答往往是把書上的定義念一遍,教師可以板書的形式寫出定義,但還要引導形式發(fā)現(xiàn)定義的本質(zhì).
(板書)2.2函數(shù)
一、函數(shù)的概念
1.你能說出函數(shù)y=-4(x-2)2+1圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標嗎?
(函數(shù)y=-4(x-2)2+1圖象的開口向下,對稱軸為直線x=2,頂點坐標是(2,1)。
2.函數(shù)y=-4(x-2)2+1圖象與函數(shù)y=-4x2的圖象有什么關(guān)系?
(函數(shù)y=-4(x-2)2+1的圖象可以看成是將函數(shù)y=-4x2的圖象向右平移2個單位再向上平移1個單位得到的)
3.函數(shù)y=-4(x-2)2+1具有哪些性質(zhì)?
(當x2時,函數(shù)值y隨x的增大而減小;當x=2時,函數(shù)取得最大值,最大值y=1)
4.不畫出圖象,你能直接說出函數(shù)y=-x2+x-的圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標嗎?
5.你能畫出函數(shù)y=-x2+x-的圖象,并說明這個函數(shù)具有哪些性質(zhì)嗎?
由以上第4個問題的解決,我們已經(jīng)知道函數(shù)y=-x2+x-的圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標。根據(jù)這些特點,可以采用描點法作圖的方法作出函數(shù)y=-x2+x-的圖象,進而觀察得到這個函數(shù)的性質(zhì)。
x … -2 -1 0 1 2 3 4 …
y … -6 -4 -2 -2 -2 -4 -6 …
(2)描點:用表格里各組對應值作為點的坐標,在平面直角坐標系中描點。
(3)連線:用光滑的曲線順次連接各點,得到函數(shù)y=-x2+x-的圖象,如圖所示。
說明:(1)列表時,應根據(jù)對稱軸是x=1,以1為中心,對稱地選取自變量的值,求出相應的函數(shù)值。相應的函數(shù)值是相等的。
(2)直角坐標系中x軸、y軸的長度單位可以任意定,且允許x軸、y軸選取的長度單位不同。所以要根據(jù)具體問題,選取適當?shù)拈L度單位,使畫出的圖象美觀。
讓學生觀察函數(shù)圖象,發(fā)表意見,互相補充,得到這個函數(shù)韻性質(zhì);
當x1時,函數(shù)值y隨x的增大而減小;
三、做一做
1.請你按照上面的方法,畫出函數(shù)y=x2-4x+10的圖象,由圖象你能發(fā)現(xiàn)這個函數(shù)具有哪些性質(zhì)嗎?
(1)在學生畫函數(shù)圖象的同時,教師巡視、指導;
(2)叫一位或兩位同學板演,學生自糾,教師點評。
2.通過配方變形,說出函數(shù)y=-2x2+8x-8的圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標,這個函數(shù)有最大值還是最小值?這個值是多少?
(1)在學生做題時,教師巡視、指導;(2)讓學生總結(jié)配方的方法;(3)讓學生思考函數(shù)的最大值或最小值與函數(shù)圖象的開口方向有什么關(guān)系?這個值與函數(shù)圖象的頂點坐標有什么關(guān)系?
以上講的,都是給出一個具體的二次函數(shù),來研究它的圖象與性質(zhì)。那么,對于任意一個二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0),如何確定它的圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標?你能把結(jié)果寫出來嗎?
教師組織學生分組討論,各組選派代表發(fā)言,全班交流,達成共識;
=a+c-
=a(x+)2+
當a>0時,開口向上,當a
通過本節(jié)課的學習,你學到了什么知識?有何體會?
1.填空:
(1)拋物線y=x2-2x+2的頂點坐標是_______;
(2)拋物線y=2x2-2x-的開口_______,對稱軸是_______;
(3)拋物線y=-2x2-4x+8的開口_______,頂點坐標是_______;
(4)拋物線y=-x2+2x+4的對稱軸是_______;
(5)二次函數(shù)y=ax2+4x+a的最大值是3,則a=_______.
2.畫出函數(shù)y=2x2-3x的圖象,說明這個函數(shù)具有哪些性質(zhì)。
3. 通過配方,寫出下列拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標。
4.求二次函數(shù)y=mx2+2mx+3(m>0)的圖象的對稱軸,并說出該函數(shù)具有哪些性質(zhì)。
一、教材分析
本節(jié)課選自《普通高中課程標準數(shù)學教科書-必修1》(人教A版)《1.2.1 函數(shù)的概念》共3課時,本節(jié)課是第1課時。
托馬斯說:“函數(shù)概念是近代數(shù)學思想之花”。 生活中的許多現(xiàn)象如物體運動,氣溫升降,投資理財?shù)榷伎梢杂煤瘮?shù)的模型來刻畫,是我們更好地了解自己、認識世界和預測未來的重要工具。
函數(shù)是數(shù)學的重要的基礎概念之一,是高等數(shù)學重多學科的基礎概念和重要的研究對象。同時函數(shù)也是物理學等其他學科的重要基礎知識和研究工具,教學內(nèi)容中蘊涵著極其豐富的辯證思想。函數(shù)的的重要性正如恩格斯所說:“數(shù)學中的轉(zhuǎn)折點是笛卡爾的變數(shù),有了變數(shù),運動就進入了數(shù)學;有了變數(shù),辯證法就進入了數(shù)學”。
二、學生學習情況分析
函數(shù)是中學數(shù)學的主體內(nèi)容,學生在中學階段對函數(shù)的認識分三個階段:(一)初中從運動變化的角度來刻畫函數(shù),初步認識正比例、反比例、一次和二次函數(shù);(二)高中用集合與對應的觀點來刻畫函數(shù),研究函數(shù)的性質(zhì),學習典型的對、指、冪和三解函數(shù);(三)高中用導數(shù)工具研究函數(shù)的單調(diào)性和最值。
1.有利條件
現(xiàn)代教育心理學的研究認為,有效的概念教學是建立在學生已有知識結(jié)構(gòu)的基礎上的,因此教師在設計教學的過程中必須注意在學生已有知識結(jié)構(gòu)中尋找新概念的固著點,引導學生通過同化或順應,掌握新概念,進而完善知識結(jié)構(gòu)。
初中用運動變化的觀點對函數(shù)進行定義的,它反映了歷史上人們對它的一種認識,而且這個定義較為直觀,易于接受,因此按照由淺入深、力求符合學生認知規(guī)律的內(nèi)容編排原則,函數(shù)概念在初中介紹到這個程度是合適的。也為我們用集合與對應的觀點研究函數(shù)打下了一定的基礎。
2.不利條件
用集合與對應的觀點來定義函數(shù),形式和內(nèi)容上都是比較抽象的,這對學生的理解能力是一個挑戰(zhàn),是本節(jié)課教學的一個不利條件。
三、教學目標分析
課標要求:通過豐富實例,進一步體會函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學模型,在此基礎上學習用集合與對應的語言來刻畫函數(shù),體會對應關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用;了解構(gòu)成函數(shù)的要素,會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域.
1.知識與能力目標:
⑴能從集合與對應的角度理解函數(shù)的概念,更要理解函數(shù)的本質(zhì)屬性;
⑵理解函數(shù)的三要素的含義及其相互關(guān)系;
⑶會求簡單函數(shù)的定義域和值域
2.過程與方法目標:
⑴通過豐富實例,使學生建立起函數(shù)概念的背景,體會函數(shù)是描述變量之間依賴關(guān)系的數(shù)學模型;
⑵在函數(shù)實例中,通過對關(guān)鍵詞的強調(diào)和引導使學發(fā)現(xiàn)它們的共同特征,在此基礎上再用集合與對應的語言來刻畫函數(shù),體會對應關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用.
3.情感、態(tài)度與價值觀目標:
感受生活中的數(shù)學,感悟事物之間聯(lián)系與變化的辯證唯物主義觀點。
四、教學重點、難點分析
1.教學重點:對函數(shù)概念的理解,用集合與對應的語言來刻畫函數(shù);
重點依據(jù):初中是從變量的角度來定義函數(shù),高中是用集合與對應的語言來刻畫函數(shù)。二者反映的本質(zhì)是一致的,即“函數(shù)是一種對應關(guān)系”。 但是,初中定義并未完全揭示出函數(shù)概念的本質(zhì),對y?1這樣的函數(shù)用運動變化的觀點也很難解釋。在以函數(shù)為重要內(nèi)容的高中階段,課本應將函數(shù)定義為兩個數(shù)集之間的一種對應關(guān)系,按照這種觀點,使我們對函數(shù)概念有了更深一層的認識,也很容易說明y?1這函數(shù)表達式。因此,分析兩種函數(shù)概念的關(guān)系,讓學生融會貫通地理解函數(shù)的概念應為本節(jié)課的重點。
突出重點:重點的突出依賴于對函數(shù)概念本質(zhì)屬性的把握,使學生通過表面的語言描述抓住概念的精髓。
2.教學難點:第一:從實際問題中提煉出抽象的概念;第二:符號“y=f(x)”的含義的理解.
難點依據(jù):數(shù)學語言的抽象概括難度較大,對符號y=f(x)的理解會受到以前知識的負遷移。
突破難點:難點的突破要依托豐富的實例,從集合與對應的角度恰當?shù)匾龑?,而對抽象符號的理解則要結(jié)合函數(shù)的三要素和小例子進行說明。
五、教法與學法分析
1.教法分析
本節(jié)課我主要采用教師導學法、知識遷移法和知識對比法,從學生熟悉的豐富實例出發(fā),關(guān)注學生的原有的知識基礎,注重概念的形成過程,從初中的函數(shù)概念自然過度到函數(shù)的近代定我。
2.學法分析
在教學過程中我注意在教學中引導學生用模型法分析函數(shù)問題、通過自主學習法總結(jié)“區(qū)間”的知識。
教學目標:
①掌握對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。
②應用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可以解決:對數(shù)的大小比較,求復合函數(shù)的定義域、值 域及單調(diào)性。
③ 注重函數(shù)思想、等價轉(zhuǎn)化、分類討論等思想的滲透,提高解題能力。
教學重點與難點:
對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的應用。
教學過程設計:
⒈復習提問:對數(shù)函數(shù)的概念及性質(zhì)。
⒉開始正課
1 比較數(shù)的大小
例 1 比較下列各組數(shù)的大小。
⑴loga5.1 ,loga5.9 (a>0,a≠1)
⑵log0.50.6 ,logл0.5 ,lnл
師:請同學們觀察一下⑴中這兩個對數(shù)有何特征?
生:這兩個對數(shù)底相等。
師:那么對于兩個底相等的對數(shù)如何比大小?
生:可構(gòu)造一個以a為底的對數(shù)函數(shù),用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比大小。
師:對,請敘述一下這道題的解題過程。
生:對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性取決于底的大?。寒?調(diào)遞減,所以loga5.1>loga5.9 ;當a>1時,函數(shù)y=logax單調(diào)遞增,所以loga5.1板書:解:?。┊?∵5.1loga5.9ⅱ)當a>1時,函數(shù)y=logax在(0,+∞)上是增函數(shù),∵5.10,lnл>0,logл0.51,log0.50.6log0.2(3x+3)師:如何來求⑴中函數(shù)的定義域?(提示:求函數(shù)的定義域,就是要使函數(shù)有意義。若函數(shù)中含有分母,分母不為零;有偶次根式,被開方式大于或等于零;若函數(shù)中有對數(shù)的形式,則真數(shù)大于零,如果函數(shù)中同時出現(xiàn)以上幾種情況,就要全部考慮進去,求它們共同作用的結(jié)果。)生:分母2x-1≠0且偶次根式的被開方式log0.8x-1≥0,且真數(shù)x>0。板書:解:∵ 2x-1≠0 x≠0.5log0.8x-1≥0 , x≤0.8x>0 x>0∴x(0,0.5)∪(0.5,0.8〕師:接下來我們一起來解這個不等式。分析:要解這個不等式,首先要使這個不等式有意義,即真數(shù)大于零,再根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解。師:請你寫一下這道題的解題過程。生:解: x2+2x-3>0 x1(3x+3)>0 , x>-1x2+2x-3不等式的解為:1例 3 求下列函數(shù)的值域和單調(diào)區(qū)間。⑴y=log0.5(x- x2)⑵y=loga(x2+2x-3)(a>0,a≠1)師:求例3中函數(shù)的的值域和單調(diào)區(qū)間要用及復合函數(shù)的思想方法。下面請同學們來解⑴。生:此函數(shù)可看作是由y= log0.5u, u= x- x2復合而成。
教學目標:
(1)能夠根據(jù)實際問題,熟練地列出二次函數(shù)關(guān)系式,并求出函數(shù)的自變量的取值范圍。
(2)注重學生參與,聯(lián)系實際,豐富學生的感性認識,培養(yǎng)學生的良好的學習習慣
教學重點:能夠根據(jù)實際問題,熟練地列出二次函數(shù)關(guān)系式,并求出函數(shù)的自變量的取值范圍。
1.設矩形花圃的垂直于墻(墻長18)的一邊AB的長為xm,先取x的一些值,算出矩形的另一邊BC的長,進而得出矩形的面積ym2.試將計算結(jié)果填寫在下表的空格中,
2.x的值是否可以任意取?有限定范圍嗎?
3.我們發(fā)現(xiàn),當AB的長(x)確定后,矩形的面積(y)也隨之確定, y是x的函數(shù),試寫出這個函數(shù)的關(guān)系式,教師可提出問題,(1)當AB=xm時,BC長等于多少m?(2)面積y等于多少? y=x(20-2x)
y=6x2 d= n /2 (n-3) y= 20 (1-x)2
3、二次函數(shù)定義:形如y=ax2+bx+c (a、b、、c是常數(shù),a≠0)的函數(shù)叫做x的二次函數(shù),a叫做二次函數(shù)的系數(shù),b叫做一次項的系數(shù),c叫作常數(shù)項.
(1) (口答)下列函數(shù)中,哪些是二次函數(shù)?
(2).P3練習第1,2題。
五、小結(jié) 敘述二次函數(shù)的定義.
教學目標:
1、使學生會用描點法畫出y=ax2的圖象,理解拋物線的有關(guān)概念。
2、使學生經(jīng)歷、探索二次函數(shù)y=ax2圖象性質(zhì)的過程,培養(yǎng)學生觀察、思考、歸納的良好思維習慣。
教學重點:使學生理解拋物線的有關(guān)概念,會用描點法畫出二次函數(shù)y=ax2的圖象
教學難點:用描點法畫出二次函數(shù)y=ax2的圖象以及探索二次函數(shù)性質(zhì)。
1,同學們可以回想一下,一次函數(shù)的性質(zhì)是什么?
2.我們能否類比研究一次函數(shù)性質(zhì)方法來研究二次函數(shù)的性質(zhì)呢?
3.一次函數(shù)的圖象是什么?二次函數(shù)的圖象是什么?
1、例1、畫二次函數(shù)y=2x2 與y=2x2的圖象。(有學生自己完成)
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y … 9 4 1 0 1 4 9 …
提問:觀察這個函數(shù)的圖象,它有什么特點? (讓學生觀察,思考、討論、交流,)
2、歸納:
拋物線概念:像這樣的曲線通常叫做拋物線。拋物線與它的對稱軸的交點叫做拋物線的頂點.頂點坐標(0,0)
(1).觀察并比較兩個圖象,你發(fā)現(xiàn)有什么共同點?又有什么區(qū)別?
(2).課件出示:在同一直角坐標系中, y=2x2與y=-2x2的圖象,觀察并比較
(3).將所畫的四個函數(shù)的圖象作比較,你又能發(fā)現(xiàn)什么?(課件出示)
讓學生觀察y=x2、y=2x2的圖象,填空;
當a>0時,拋物線y=ax2開口______,在對稱軸的左邊,曲線自左向右______;在對稱軸的右邊,曲線自左向右______,______是拋物線上位置最低的點。
當XO時,函數(shù)值y隨X的增大而______;當X=______時,函數(shù)值y=ax2 (a>0)取得最小值,最小值y=______
三、總結(jié):函數(shù)y=ax2的圖象是一條拋物線,它關(guān)于y軸對稱,它的頂點坐標是(0,0)。
2.寫出函數(shù)y=ax2具有哪些性質(zhì)?
教學目標:
1、使學生能利用描點法正確作出函數(shù)y=ax2+b的圖象。
2、讓學生經(jīng)歷二次函數(shù)y=ax2+b性質(zhì)探究的過程,理解二次函數(shù)y=ax2+b的性質(zhì)及它與函數(shù)y=ax2的關(guān)系。
教學重點:會用描點法畫出二次函數(shù)y=ax2+b的圖象,理解二次函數(shù)y=ax2+b的性質(zhì),理解函數(shù)y=ax2+b與函數(shù)y=ax2的相互關(guān)系。
教學難點:正確理解二次函數(shù)y=ax2+b的性質(zhì),理解拋物線y=ax2+b與拋物線y=ax2的關(guān)系。
1.二次函數(shù)y=2x2的圖象具有哪些性質(zhì)?
2.猜想二次函數(shù)y=2x2+1的圖象與二次函數(shù)y=2x2的圖象開口方向、對稱軸和頂點坐標是否相同?
1、問題1:畫出函數(shù)y=2x2和函數(shù)y=2x2+1的圖象,并加以比較
問題2,你能在同一直角坐標系中,畫出函數(shù)y=2x2與y=2x2+1的圖象嗎?
同學試一試,教師點評。
問題3:當自變量x取同一數(shù)值時,這兩個函數(shù)的函數(shù)值(既y)之間有什么關(guān)系?反映在圖象上,相應的兩個點之間的位置又有什么關(guān)系?
讓學生觀察兩個函數(shù)圖象,說出函數(shù)y=2x2+1與y=2x2的圖象開口方向、對稱軸相同,頂點坐標,函數(shù)y=2x2的圖象的頂點坐標是(0,0),而函數(shù)y=2x2+1的圖象的頂點坐標是(0,1)。
師:你能由函數(shù)y=2x2的性質(zhì),得到函數(shù)y=2x2+1的一些性質(zhì)嗎?
2、小組匯報:分組討論這個函數(shù)的性質(zhì)并歸納:當x<0時,函數(shù)值y隨x的增大而減??;當x>0時,函數(shù)值y隨x的增大而增大,當x=0時,函數(shù)取得最小值,最小值y=1。
在同一直角坐標系中畫出函數(shù)y=2x2-2與函數(shù)y=2x2的圖象,再作比較,說說它們有什么聯(lián)系和區(qū)別?
三、小結(jié) 1、在同一直角坐標系中,函數(shù)y=ax2+k的圖象與函數(shù)y=ax2的圖象具有什么關(guān)系? 2.你能說出函數(shù)y=ax2+k具有哪些性質(zhì)?
四、作業(yè): 在同一直角坐標系中,畫出 (1)y=-2x2與y=-2x2-2;的圖像
教學目標:
1.使學生能利用描點法畫出二次函數(shù)y=a(x—h)2的圖象。
2.讓學生經(jīng)歷二次函數(shù)y=a(x-h(huán))2性質(zhì)探究的過程,理解其性質(zhì),理解二次函數(shù)
y=a(x-h(huán))2的圖象與二次函數(shù)y=ax2的圖象的關(guān)系。
重點:會用畫出二次函數(shù)y=a(x-h(huán))2的圖象,理解其性質(zhì),理解二次函數(shù)y=a(x-h(huán))2的圖象與二次函數(shù)y=ax2的圖象的關(guān)系。
難點:理解二次函數(shù)y=a(x-h(huán))2的性質(zhì),理解二次函數(shù)y=a(x-h(huán))2的圖象與二次函數(shù)y=ax2的圖象的相互關(guān)系。
1.在同一直角坐標系內(nèi),畫出二次函數(shù)y=-12x2,y=-12x2-1的圖象,并回答:
(1)兩條拋物線的位置關(guān)系。
(2)說出它們所具有的公共性質(zhì)。
2.二次函數(shù)y=2(x-1)2的圖象與二次函數(shù)y=2x2的圖象的開口方向、對稱軸以及頂點坐標相同嗎?這兩個函數(shù)的圖象之間有什么關(guān)系?
1、探究新知:學生畫出二次函數(shù)y=2(x-1)2和y=2x2的圖象,并加以觀察
2.、學生匯報:函數(shù)y=2(x-1)2與y=2x2的圖象,開口方向、對稱軸和頂點坐標;函數(shù)y=2(x一1)2的圖象可以看作是函數(shù)y=2x2的圖象怎樣平移得到的。
3.讓學生完成以下填空:
當x______時,函數(shù)值y隨x的增大而減??;當x______時,函數(shù)值y隨x的增大而增大;當x=______時,函數(shù)取得最______值y=______。
在同一直角坐標系中畫出函數(shù)y=2(x+1)2與函數(shù)y=2x2的圖象,并比較它們的聯(lián)系和區(qū)別嗎?
讓學生討論、交流,舉手發(fā)言,歸納:在y=2(x+1)2中,當x<-1時,函數(shù)值y隨x的增大而減??;當x>-1時,函數(shù)值y隨x的增大而增大;當x=一1時,函數(shù)取得最小值,最小值y=0。
教學目標:
1.使學生理解函數(shù)y=a(x-h(huán))2+k的圖象與函數(shù)y=ax2的圖象之間的關(guān)系。
2.會確定函數(shù)y=a(x-h(huán))2+k的圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標。
3.讓學生經(jīng)歷函數(shù)y=a(x-h(huán))2+k性質(zhì)的探索過程,理解函數(shù)y=a(x-h(huán))2+k的性質(zhì)。
重點:,理解函數(shù)y=a(x-h(huán))2+k的性質(zhì)以及圖象與y=ax2的圖象之間的關(guān)系,
難點:正確理解函數(shù)y=a(x-h(huán))2+k的圖象與函數(shù)y=ax2的圖象之間的關(guān)系以及函數(shù)y=a(x-h(huán))2+k的性質(zhì)
1.函數(shù)y=2x2+1的圖象與函數(shù)y=2x2的圖象有什么關(guān)系?
(函數(shù)y=2x2+1的圖象可以看成是將函數(shù)y=2x2的圖象向上平移一個單位得到的)
2.函數(shù)y=2(x-1)2+1圖象與函數(shù)y=2(x-1)2圖象有什么關(guān)系?函數(shù)y=2(x-1)2+1有哪些性質(zhì)?這就是本節(jié)要學習得內(nèi)容。
1、畫圖:在同一直角坐標系中畫出函數(shù)y=2(x-1)2與y=2x2 y=2(x-1)2+1的圖象,看看它們之間有何的關(guān)系? 在學生畫函數(shù)圖象時,教師巡視指導;
出示例3:你能發(fā)現(xiàn)函數(shù)y=2(x-1)2+1有哪些性質(zhì)?
教師可組織學生分組討論,互相交流,讓各組代表發(fā)言,
函數(shù)y=2(x-1)2+1的圖象可以看成是將函數(shù)y=2(x-1)2的圖象向上平稱1個單位得到的,也可以看成是將函數(shù)y=2x2的圖象向右平移1個單位再向上平移1個單位得到的。
當x<1時,函數(shù)值y隨x的增大而減小,當x>1時,函數(shù)值y隨x的增大而增大;當x=1時,函數(shù)取得最小值,最小值y=1。
3、課堂練習:不畫圖像說說函數(shù)y=2(x-1)2-2與y=2(x-1)2的異同點
1.通過本節(jié)課的學習,你學到了哪些知識?還存在什么困惑?
2.談談你的學習體會。
四、作業(yè):
1.巳知函數(shù)y=-12x2、y=-12x2-1和y=-12(x+1)2-1
(1)在同一直角坐標系中畫出三個函數(shù)的圖象;
(2)分別說出這三個函數(shù)圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標;
(3)試說明:分別通過怎樣的平移,可以由拋物線y=-12x2得到拋物線y=-12x2-1和拋物線y=12(x+1)2-1;
思考:函數(shù)y=2(x-1)2+k的圖象與函數(shù)y=2x2的圖象有什么關(guān)系?
教學目標:
1.使學生掌握用描點法畫出函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象。
2.使學生掌握用圖象或通過配方確定拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標。
3.讓學生經(jīng)歷探索二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標以及性質(zhì)的過程,理解二次函數(shù)y=ax2+bx+c的性質(zhì)。
重點:用描點法畫出二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和通過配方確定拋物線的對稱軸、頂點坐標。
難點:理解二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的性質(zhì)以及它的對稱軸(頂點坐標分別是x=-b2a、(-b2a,4ac-b24a)是教學的難點。
1.你能說出函數(shù)y=-4(x-2)2+1圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標嗎?具有哪些性質(zhì)?
2.函數(shù)y=-4(x-2)2+1圖象與函數(shù)y=-4x2的圖象有什么關(guān)系?
3.不畫出圖象,你能直接說出函數(shù)y=-1/2x2-6x+21的圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標嗎?通過今天的學習你就明白了
1、思考: 像函數(shù) y=-4(x-2)2+1很容易說出圖像的頂點坐標,函數(shù)y=-1/2x2-6x+21能畫成y=a(x-h(huán))2+k 這樣的形式嗎?
2、師生合作探索: y=-1/2x2-6x+21 變成 y=a(x-h(huán))2+k的過程
(1). 通過配方變形,說出函數(shù)y=-2x2+8x-8的圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標,這個函數(shù)有最大值還是最小值?這個值是多少?
在學生做題時,教師巡視、指導; 讓學生總結(jié)配方的方法;思考函數(shù)的最大值或最小值與函數(shù)圖象的開口方向有什么關(guān)系?這個值與函數(shù)圖象的頂點坐標有什么關(guān)系?
以上講的,都是給出一個具體的二次函數(shù),來研究它的圖象與性質(zhì)。那么,對于任意一個二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0),如何確定它的圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標?你能把結(jié)果寫出來嗎?
教師組織學生分組討論,各組選派代表發(fā)言,全班交流,匯報結(jié)果:
當a>0時,開口向上,當a<0時,開口向下。
對稱軸是x=-b/2a,頂點坐標是(-b2a,4ac-b24a)
三、小結(jié): 通過本節(jié)課的學習,你學到了什么知識?有何體會?
(1)拋物線y=x2-2x+2的頂點坐標是_______;
(2)拋物線y=2x2-2x-52的開口_______,對稱軸是_______;
(3)二次函數(shù)y=ax2+4x+a的最大值是3,則a=_______.
2.畫出函數(shù)y=2x2-3x的圖象,說明這個函數(shù)具有哪些性質(zhì)。
3. 通過配方,寫出下列拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標。
4.求二次函數(shù)y=mx2+2mx+3(m>0)的圖象的對稱軸,并說出該函數(shù)具有哪些性質(zhì)
教學目標:
1.通過探索,使學生理解二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式之間的聯(lián)系。
2.使學生能夠運用二次函數(shù)及其圖象、性質(zhì)解決實際問題,提高學生用數(shù)學的意識。
3.進一步培養(yǎng)學生綜合解題能力,滲透數(shù)形結(jié)合思想。
重點:使學生理解二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式之間的聯(lián)系,能夠運用二次函數(shù)及其圖象、性質(zhì)去解決實際問題。
難點:進一步培養(yǎng)學生綜合解題能力,滲透數(shù)形結(jié)合的思想。.
像書中這樣的問題,我們常常會遇到,如拱橋跨度、拱高計算等,利用二次函數(shù)的有關(guān)知識研究和解決這些問題,具有很現(xiàn)實的意義。本節(jié)課,我和同學們共同研究,嘗試解決以下幾個問題。
1、問題1:某公園要建造一個圓形的噴水池,在水池中央垂直于水面豎一根柱子,上面的A處安裝一個噴頭向外噴水。連噴頭在內(nèi),柱高為0.8m。水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下,如圖(1)所示。
根據(jù)設計圖紙已知:如圖(2)中所示直角坐標系中,水流噴出的高度y(m)與水平距離x(m)之間的函數(shù)關(guān)系式是
y=-x2+2x+45。
(1)噴出的水流距水平面的最大高度是多少?
(2)如果不計其他的因素,那么水池至少為多少時,才能使噴出的水流都落在水池內(nèi)?
思路如下:
(1).讓學生討論、交流,如何將文學語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言,得出問題(1)就是求函數(shù)y=-x2+2x+45最大值,問題(2)就是求如圖(2)B點的橫坐標;
(2)學生解答,教師巡視指導;一兩位同學板演,教師點評。
2、出示例題:畫出函數(shù)y=x2-x-34的圖象。 如圖(4)所示。
教師引導學生觀察函數(shù)圖象,得到圖象與x軸交點的坐標分別是(-12,0)和(32,0)。
讓學生完成解答。教師巡視指導并講評。
教師組織學生分組討論、交流,各組選派代表發(fā)表意見,全班交流,從“形”的方面看,函數(shù)y=x2-x-34的圖象與x軸交點的橫坐標,即為方程x2-x-34=0的解;從“數(shù)”的方面看,當二次函數(shù)y=x2-x-34的函數(shù)值為0時,相應的自變量的值即為方程x2-x-34=0的解。更一般地,函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點的橫坐標即為方程ax2+bx+c=0的解;當二次函數(shù)y=ax2+bx+c的函數(shù)值為0時,相應的自變量的值即為方程ax2+bx+c=0的解,這一結(jié)論反映了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系。
根據(jù)圖(4)象回答下列問題。
(1)當x取何值時,y<0?當x取何值時y>0,?
y<0 即x2-x-34<0的解集是什么? y>0 即x2-x-34>0的解集是什么?)
讓學生類比二次函數(shù)與一元二次不等式方程的關(guān)系,討論、交流:
(1)從“形”的方面看,二次函數(shù)y=ax2+bJ+c在x軸上方的圖象上的點的橫坐標,即為一元二次不等式ax2+bx+c>0的解;在x軸下方的圖象上的點的橫坐標.即為一元二次不等式ax2+bx+c<0的解。
(2)從“數(shù)”的方面看,當二次函數(shù)y=ax2+bx+c的函數(shù)值大于0時,相應的自變量的值即為一元二次不等式ax2+bx+c>0的'解;當二次函數(shù)y=ax2+bx+c的函數(shù)值小于0時,相應的自變量的值即為一元二次不等式ax2+bc+c<0的解。這一結(jié)論反映了二次函數(shù)與一元二次不等式的關(guān)系。
三、小結(jié):
1.通過本節(jié)課的學習,你有什么收獲?有什么困惑?
2.若二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸無交點,試說明,元二次方程
ax2+bx+c=0和一元二次不等式ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0的解的情況。
四、作業(yè):
1. 二次函數(shù)y=x2-3x-18的圖象與x軸有兩交點,求兩交點間的距離。
2.已知函數(shù)y=x2-x-2。
(2)觀察圖象確定:x取什么值時,①y=0,②y>0;③y<0。
1.復習鞏固用函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象求方程ax2+bx+c=0的解。
2.讓學生體驗函數(shù)y=x2和y=bx+c的交點的橫坐標是方程x2=bx+c的解的探索過程,掌握用函數(shù)y=x2和y=bx+c圖象交點的方法求方程ax2=bx+c的解。
3.提高學生綜合解題能力,滲透數(shù)形結(jié)合思想。
重點;用函數(shù)圖象法求方程的解以及提高學生綜合解題能力是教學的重點。
難點:提高學生綜合解題能力,滲透數(shù)形結(jié)合的思想是教學的難點。
1.如何運用函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象求方程ax2+bx+c的解?
2.畫出函數(shù)y=2x2-3x-2的圖象,求方程2x2-3x-2=0的解。
學生練習的同時,教師巡視指導,根據(jù)學生情況進行講評。 (解:略)
1、問題1:初三(3)班學生在上節(jié)課的作業(yè)中出現(xiàn)了爭論:求方程x2=12x十3的解時,幾乎所有學生都是將方程化為x2-12x-3=0,畫出函數(shù)y=x2-12x-3的圖象,觀察它與x軸的交點,得出方程的解。唯獨小劉沒有將方程移項,而是分別畫出了函數(shù)y=x2和y=12x+2的圖象,如圖(3)所示,認為它們的交點A、B的橫坐標-32和2就是原方程的解.
思考:
(1). 這兩種解法的結(jié)果一樣嗎? 小劉解法的理由是什么?
(2).函數(shù)y=x2和y=bx+c的圖象一定相交于兩點嗎?你能否舉出例子加以說明?
(3)函數(shù)y=x2和y=bx+c的圖象的交點橫坐標一定是一元二次方程x2=bx+c的解嗎?
(4).如果函數(shù)y=x2和y=bx+c圖象沒有交點,一元二次方程x2=bx+c的解怎樣?
利用圖像解下列方程的解,并檢驗小劉的方法是否合理。
(1)x2+x-1=0(精確到0.1); (2)2x2-3x-2=0。
注意:①要把(1)的方程轉(zhuǎn)化為x2=-x+1,畫函數(shù)y=x2和y=-x+1的圖象;
②要把(2)的方程轉(zhuǎn)化為x2=32x+1,畫函數(shù)y=x2和y=32x+1的圖象;
已知拋物線y1=2x2-8x+k+8和直線y2=mx+1相交于點P(3,4m)。
(1)求這兩個函數(shù)的關(guān)系式;
(2)當x取何值時,拋物線與直線相交,并求交點坐標。
解:(1)因為點P(3,4m)在直線y2=mx+1上,所以有4m=3m+1,解得m=1
所以y1=x+1,P(3,4)。 因為點P(3,4)在拋物線y1=2x2-8x+k+8上,所以有
4=18-24+k+8 解得 k=2 所以y1=2x2-8x+10
(2)依題意,得y=x+1y=2x2-8x+10 解這個方程組,得x1=3y1=4 ,x2=1.5y2=2.5
所以拋物線與直線的兩個交點坐標分別是(3,4),(1.5,2.5)。
2.你能根據(jù)方程組:y=x2y=bx+c的解的情況,來判定函數(shù)y=x2與y=bx+c圖象交點個數(shù)嗎?請說說你的看法。
四、作業(yè):
(1)拋物線y=x2-x-2與x軸的交點坐標是______,與y軸的交點坐標是______。yjs21.COm
(2)拋物線y=2x2-5x+3與y軸的交點坐標是______,與x軸的交點坐標是______。
4.已知拋物線y1=x2+x-k與直線y=-2x+1的交點的縱坐標為3。
(1)求拋物線的關(guān)系式;
(2)求拋物線y=x2+x-k與直線y=-2x+1的另一個交點坐標.
教學目標:
1.能根據(jù)實際問題列出函數(shù)關(guān)系式、
2.使學生能根據(jù)問題的實際情況,確定函數(shù)自變量x的取值范圍。
3.通過建立二次函數(shù)的數(shù)學模型解決實際問題,培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力,提高學生用數(shù)學的意識。
重點:根據(jù)實際問題建立二次函數(shù)的數(shù)學模型,應用函數(shù)的性質(zhì)解答數(shù)學問題
難點:根據(jù)實際問題建立二次函數(shù)的數(shù)學模型,并確定二次函數(shù)自變量的范圍,
1.寫出下列拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標。
以上兩個函數(shù),哪個函數(shù)有最大值,哪個函數(shù)有最小值?說出兩個函數(shù)的最大值、最小值分別是多少?
有了前面所學的知識,現(xiàn)在就可以應用二次函數(shù)的知識去解決生活中的實際問題。
出示例1、要用總長為60m的籬笆圍成一個矩形的場地,矩形面積S隨矩形一邊長L的變化而變化,當L是多少時,圍成的矩形面積S最大?
解:設矩形的一邊為Lm,則矩形的另一邊為(30-L)m,由于L>0,且30-L>O,所以O<L<30。
3、練一練:
(1)、某商店將每件進價8元的某種商品按每件10元出售,一天可銷出約100件,該店想通過降低售價,增加銷售量的辦法來提高利潤,經(jīng)過市場調(diào)查,發(fā)現(xiàn)這種商品單價每降低0.1元,其銷售量可增加約10件。將這種商品的售價降低多少時,能使銷售利潤最大?
請同學們完成解答; 教師巡視、指導; 師生共同完成解答過程:
解:設每件商品降價x元(0≤x≤2),該商品每天的利潤為y元。
商品每天的利潤y與x的函數(shù)關(guān)系式是: y=(10-x-8)(100+1OOx)
即y=-1OOx2+1OOx+200 配方得y=-100(x-12)2+225
因為x=12時,滿足0≤x≤2。 所以當x=12時,函數(shù)取得最大值,最大值y=225。
所以將這種商品的售價降低0.5元時,能使銷售利潤最大。
小結(jié):讓學生回顧解題過程,討論、交流,歸納解題步驟:
(1)先分析問題中的數(shù)量關(guān)系,列出函數(shù)關(guān)系式;
(2)研究自變量的取值范圍;
(3)研究所得的函數(shù);
(4)檢驗x的取值是否在自變量的取值范圍內(nèi),并求相關(guān)的值:
(5)解決提出的實際問題。
三、小結(jié): 1.通過本節(jié)課的學習,你學到了什么知識?存在哪些困惑?
2.談談你的收獲和體會。
四、作業(yè):
1.已知一個矩形的周長是24cm。(1)寫出矩形面積S與一邊長a的函數(shù)關(guān)系式。(2)當a長多少時,S最大?
2.填空:
(1)二次函數(shù)y=x2+2x-5取最小值時,自變量x的值是______;
(2)已知二次函數(shù)y=x2-6x+m的最小值為1,那么m的值是______。
3.如圖(1)所示,要建一個長方形的養(yǎng)雞場,雞場的一邊靠墻,如果用50m長的籬笆圍成中間有一道籬笆的養(yǎng)雞場,沒靠墻的籬笆長度為xm。
(1)要使雞場的面積最大,雞場的長應為多少米?
(2)如果中間有n(n是大于1的整數(shù))道籬笆隔墻,要使雞場面積最大,雞場的長應為多少米?
(3)比較(1)、(2)的結(jié)果,你能得到什么結(jié)論?
選做題:用6m長的鋁合金型材做一個形狀如圖所示的矩形窗框。應做成長、寬各為多少時,才能使做成的窗框的透光面積最大?最大透光面積是多少?
教學目標:
1.能根據(jù)實際問題列出函數(shù)關(guān)系式、
2.使學生能根據(jù)問題的實際情況,確定函數(shù)自變量x的取值范圍。
3.通過建立二次函數(shù)的數(shù)學模型解決實際問題,培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力,提高學生用數(shù)學的意識。
重點:根據(jù)實際問題建立二次函數(shù)不同的數(shù)學模型,應用函數(shù)的性質(zhì)解答數(shù)學問題
難點:根據(jù)實際問題建立二次函數(shù)的數(shù)學模型,并確定二次函數(shù)自變量的范圍,
(1)建造一個圓形噴水池,在水池中央垂直于水面安裝一個花形柱子OA。O恰好在水面中心,布置在柱子頂端A處的噴頭向外噴水,水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下,且在過OA任意平面上的拋物線如圖(5)所示,建立直角坐標系(如圖(6)),水流噴出的高度y(m)與水面距離x(m)之間的函數(shù)關(guān)系式是y=-x2+52x+32,請回答下列問題:
(1)花形柱子OA的高度;
(2)若不計其他因素,水池的半徑至少要多少米,才能使噴出的水不至于落在池外?
(2).如圖(7),一位籃球運動員跳起投籃,球沿拋物線y=-15x2+3.5
2、練一練:
(1).如圖是拋物線拱橋,已知水位在AB位置時,水面寬46米,水位上升3米就達到警戒線CD,這時水面寬43米,若洪水到來時,水位以每小時0.25米速度上升,求水過警戒線后幾小時淹到拱橋頂?
三、小結(jié):
1.通過本節(jié)課的學習,你學到了什么知識?存在哪些困惑?
2.談談你的收獲和體會。
四、作業(yè):
一個涵洞成拋物線形,它的截面如圖(3)所示,現(xiàn)測得,當水面寬AB=1.6m時,涵洞頂點與水面的距離為2.4m。這時,離開水面1.5m處,涵洞寬ED是多少?是否會超過1m?
教學目標:
1、理解二次函數(shù)的概念,掌握二次函數(shù)y=ax2的圖象與性質(zhì);
2、會用描點法畫拋物線,能確定拋物線的頂點、對稱軸、開口方向;
3、能較熟練地由拋物線y=ax2經(jīng)過適當平移得到y(tǒng)=a(x-h(huán))2+k的圖象。
重點:用配方法求二次函數(shù)的頂點、對稱軸,由圖象概括二次函數(shù)y=ax2圖象的性質(zhì)。
1.二次函數(shù)的概念,二次函數(shù)y=ax2 (a≠0)的圖象性質(zhì)。
(2)m為何值時,拋物線有最低點?求出這個最低點.這時當x為何值時,y隨x的增大而增大?
(3)m為何值時,函數(shù)有最大值?最大值是什么?這時當x為何值時,y隨x的增大而減小?
學生活動:學生四人一組進行討論,并回顧例題所涉及的知識點,讓學生代表發(fā)言分析解題方法,以及涉及的知識點。
拋物線的增減性要結(jié)合圖象進行分析,要求學生畫出草圖,滲透數(shù)形結(jié)合思想,進行觀察分析。
2.強化練習;已知函數(shù) 是二次函數(shù),其圖象開口方向向下,則m=_____,頂點為_____,當x_____0時,y隨x的增大而增大,當x_____0時,y隨x的增大而減小。
3.用配方法求拋物線的頂點,對稱軸;拋物線的畫法,平移規(guī)律,
例2:用配方法求出拋物線y=-3x2-6x+8的頂點坐標、對稱軸,并畫出函數(shù)圖象,說明通過怎樣的平移,可得到拋物線y=-3x2。
學生活動:小組討論配方方法,確定拋物線畫法的步驟,探索平移的規(guī)律。充分討論后讓學生代表歸納解題方法與思路。
4.教師歸納點評:
(1)教師在學生合作討論基礎上強調(diào)配方的方法及配方的意義,指出拋物線的一般式與頂點式的互化關(guān)系: y=ax2+bx+c————→y=a(x+b2a)2+4ac-b24a
(2)強調(diào)利用拋物線的對稱性進行畫圖,先確定拋物線的頂點、對稱軸,利用對稱性列表、描點、連線。
(3)拋物線的平移抓住關(guān)鍵點頂點的移動。
5.綜合應用。
例3:如圖,已知直線AB經(jīng)過x軸上的點A(2,0),且與拋物線y=ax2相交于B、C兩點,已知B點坐標為(1,1)。
(1)求直線和拋物線的解析式;
(2)如果D為拋物線上一點,使得△AOD與△OBC的面積相等,求D點坐標。
6. 強化練習:
(1)拋物線y=x2+bx+c的圖象向左平移2個單位。再向上平移3個單位,得拋物線y=x2-2x+1,求:b與c的值。
(2)通過配方,求拋物線y=12x2-4x+5的開口方向、對稱軸及頂點坐標再畫出圖象。
(3)函數(shù)y=ax2(a≠0)與直線y=2x-3交于點A(1,b),求:
拋物線y=ax2的頂點和對稱軸;
x取何值時,二次函數(shù)y=ax2中的y隨x的增大而增大,
求拋物線與直線y=-2兩交點及拋物線的頂點所構(gòu)成的三角形面積。
1.讓學生反思本節(jié)教學過程,歸納本節(jié)課復習過的知識點及應用。
1.若二次函數(shù)y=(m+1)x2+m2-2m-3的圖象經(jīng)過原點,則m=______。
2.函數(shù)y=3x2與直線y=kx+3的交點為(2,b),則k=______,b=______。
3.拋物線y=-13(x-1)2+2可以由拋物線y=-13x2向______方向平移______個單位,再向______方向平移______個單位得到。
4.用配方法把y=-12x2+x-52化為y=a(x-h(huán))2+k的形式為y=_____,其開口方向______,對稱軸為______,頂點坐標為______。
教學目標:
1、會用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式,
2、能結(jié)合二次函數(shù)的圖象掌握二次函數(shù)的性質(zhì),
3、能較熟練地利用函數(shù)的性質(zhì)解決函數(shù)與圓、三角形、四邊形以及方程等知識相結(jié)合的綜合題。
重點;用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、運用配方法確定二次函數(shù)的特征。
1、用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)解析式.
(1)拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(0,1),(1,3),(-1,1)三點。
(2)拋物線頂點P(-1,-8),且過點A(0,-6)。
(3)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象過(3,0),(2,-3)兩點,并且以x=1為對稱軸。
(4)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過一次函數(shù)y=-3/2x+3的圖象與x軸、y軸的交點;且過(1,1),求這個二次函數(shù)解析式,并把它化為y=a(x-h(huán))2+k的形式。
學生活動:學生討論,四個小題應選擇什么樣的函數(shù)解析式?并讓學生闡述解題方法。分組完成,點評解題要點。
2、強化練習:已知二次函數(shù)的圖象過點A(1,0)和B(2,1),且與y軸交點縱坐標為m。
(1)若m為定值,求此二次函數(shù)的解析式;
(2)若二次函數(shù)的圖象與x軸還有異于點A的另一個交點,求m的取值范圍。
1、出示例2:如圖,拋物線y=ax2+bx+c過點A(-1,0),且經(jīng)過直線y=x-3與坐標軸的兩個交點B、C。
(1)求拋物線的解析式;
(2)求拋物線的頂點坐標,
(3)若點M在第四象限內(nèi)的拋物線上,且OM⊥BC,垂足為D,求點M的坐標。
教師歸納:
2、強化練習;已知二次函數(shù)y=2x2-(m+1)x+m-1。
(1)求證不論m為何值,函數(shù)圖象與x軸總有交點,并指出m為何值時,只有一個交點。
(2)當m為何值時,函數(shù)圖象過原點,并指出此時函數(shù)圖象與x軸的另一個交點。
(3)若函數(shù)圖象的頂點在第四象限,求m的取值范圍。
歸納二次函數(shù)三種解析式的實際應用。
1. 如果一條拋物線的形狀與y=-13x2+2的形狀相同,且頂點坐標是(4,-2),則它的解析式是_____。
2.已知拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為x=2,且過(3,0),則a+b+c=______。
二、選擇。
1.如圖(1),二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象如圖所示,則下列結(jié)論成立的是( )
A.a(chǎn)>0,bc>0 B. a<0,bc<0 C. a>O,bc<O D. a<0,bc>0
2.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象如圖(2)所示,那么函數(shù)解析式為( )
3.若二次函數(shù)y=ax2+c,當x取x1、x2(x1≠x2)時,函數(shù)值相等,則當x取x1+x2時,函數(shù)值為( )
4.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象如圖(3)所示,下列結(jié)論中: ①abc>0,②b=2a;③a+b+c<0,④a-b+c>0,正確的個數(shù)是( )
三、解答題。
已知拋物線y=x2-(2m-1)x+m2-m-2。
(1)證明拋物線與x軸有兩個不相同的交點,
(2)分別求出拋物線與x軸交點A、B的橫坐標xA、xB,以及與y軸的交點的縱坐標yc(用含m的代數(shù)式表示)
(3)設△ABC的面積為6,且A、B兩點在y軸的同側(cè),求拋物線的解析式。
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