不等式課件。
經(jīng)驗(yàn)時(shí)常告訴我們，做事要提前做好準(zhǔn)備。在幼兒教育工作中，我們都有會(huì)準(zhǔn)備一寫(xiě)需要用到資料。資料包含著人類在社會(huì)實(shí)踐，科學(xué)實(shí)驗(yàn)和研究過(guò)程中所匯集的經(jīng)驗(yàn)。有了資料的協(xié)助我們的工作會(huì)變得更加順利！所以，關(guān)于幼師資料你究竟了解多少呢？小編現(xiàn)在推薦你閱讀一下不等式的課件收藏，相信能對(duì)大家有所幫助。
基本不等式是初中數(shù)學(xué)比較重要的一個(gè)概念，對(duì)于求解不等式問(wèn)題有非常大的作用。在教學(xué)中，老師可以通過(guò)多學(xué)示例，呈現(xiàn)形式多樣，讓學(xué)生深刻理解基本不等式的本質(zhì)和應(yīng)用，使學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題中靈活掌握相關(guān)知識(shí)。本文將結(jié)合基本不等式的定義、性質(zhì)和應(yīng)用，探討其相關(guān)主題。
一、基本不等式的定義和性質(zhì)
基本不等式是在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)常用到的一種數(shù)學(xué)方法，它可以有效地幫助我們解決很多實(shí)際問(wèn)題。在數(shù)學(xué)中，一般把基本不等式定義為，對(duì)于任何正整數(shù)a和b，有下列不等關(guān)系：
(a+b)^2>=4ab
這個(gè)不等式在初中數(shù)學(xué)中非常重要，我們還可以把它解釋成下面的形式：對(duì)于任何兩個(gè)正數(shù)a和b，有下列不等式：
a/b+b/a>=2
這個(gè)式子實(shí)際上就是基本不等式的一個(gè)特例，也說(shuō)明了基本不等式中的a和b可以指任何兩個(gè)正數(shù)。
基本不等式的一些性質(zhì)：
1、兩邊同時(shí)乘以正數(shù)或是開(kāi)根號(hào)（即不改變不等關(guān)系的實(shí)質(zhì)）是允許的。
2、當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立。
3、當(dāng)a不等于b時(shí)，不等號(hào)成立。
這些性質(zhì)是我們用基本不等式時(shí)需要注意的幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)。如果我們了解了這些基本的性質(zhì)，就可以更加靈活地運(yùn)用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題。
二、基本不等式的應(yīng)用
基本不等式的應(yīng)用非常廣泛，例如可以用它來(lái)解決以下問(wèn)題：
1、證明
√(a^2+b^2)>=a/√2+b/√2
這個(gè)問(wèn)題就可以使用基本不等式來(lái)證明，首先得到(a+b)^2>=2(a^2+b^2)，將式子化簡(jiǎn)可得√(a^2+b^2)>=a/√2+b/√2，這就是想要證明的結(jié)論。
2、解決一些最值問(wèn)題。例如：如何使a+b的值最?。窟@個(gè)問(wèn)題可以用基本不等式來(lái)解決，我們?cè)O(shè)a+b=k，那么a+b的平方就是k^2，代入基本不等式中可得出：
k^2>=4ab，即（a+b）^2>=4ab
這個(gè)不等式右邊是4ab，左邊則是（a+b）^2，因此a+b的值取得最小值時(shí)，應(yīng)當(dāng)使（a+b）^2=4ab，所以a=b，因此a+b的最小值就是2a或是2b。
3、證明一些平方和不等式的結(jié)論。例如：
(a/b)^2+(b/a)^2>=2
這個(gè)問(wèn)題可以通過(guò)基本不等式進(jìn)行證明，首先我們?cè)O(shè)x=a/b，y=b/a，很顯然有x+y>=2，然后通過(guò)簡(jiǎn)單的運(yùn)算可得：x^2+y^2>=2，也即(a/b)^2+(b/a)^2>=2。
綜上所述，基本不等式作為初中數(shù)學(xué)比較重要的一部分，其定義、性質(zhì)和應(yīng)用都與實(shí)際問(wèn)題密切相關(guān)。在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，我們可以通過(guò)多學(xué)示例，靈活運(yùn)用基本不等式的性質(zhì)和應(yīng)用，進(jìn)而更好地理解其本質(zhì)和應(yīng)用，從而使初中數(shù)學(xué)知識(shí)更加牢固。
(1)運(yùn)用問(wèn)題的形式幫助學(xué)生整理全章的內(nèi)容,建立知識(shí)體系。
(2)在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上,鼓勵(lì)學(xué)生開(kāi)展小組和全班的交流,使學(xué)生通過(guò)交流和反思加強(qiáng)對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解和掌握,并逐步建立知識(shí)體系。
通過(guò)問(wèn)題情境的設(shè)立，使學(xué)生再現(xiàn)已學(xué)知識(shí),鍛煉抽象、概括的能力。解決問(wèn)題
通過(guò)具體問(wèn)題來(lái)體會(huì)知識(shí)間的聯(lián)系和學(xué)習(xí)本章所采用的主要思想方法。
通過(guò)獨(dú)立思考獲取學(xué)習(xí)的成功體驗(yàn)，通過(guò)小組交流培養(yǎng)合作交流意識(shí),通過(guò)大膽發(fā)表自己的觀點(diǎn),增強(qiáng)自信心。
重點(diǎn):對(duì)一元一次不等式基本性質(zhì)的掌握;理解不等式(組)解及解集的含義，會(huì)解簡(jiǎn)單的一元一不等式(組),并會(huì)在數(shù)軸上表示其解集;會(huì)解相關(guān)的問(wèn)題,建立起相關(guān)的知識(shí)體系。
不等式有哪些基本性質(zhì)?它與等式的性質(zhì)有什么相同和不同之處?
解一元一次不等式和解一元一次方程有什么異同?引導(dǎo)學(xué)生回憶解一元一次方程的步驟.比較兩者之間的不同學(xué)生舉例回答.
舉例說(shuō)明在數(shù)軸上如何表示一元一不等式(組)的解集分組競(jìng)賽.看哪一組出的題型好,全班一起解答.
舉例說(shuō)明不等式、函數(shù)、方程的聯(lián)系.引導(dǎo)學(xué)生回憶函數(shù)的有關(guān)內(nèi)容.舉例說(shuō)明三者之間的關(guān)系.小組討論,合作回答.函數(shù)性質(zhì)、圖象
小組交流、討論不等式和函數(shù)、函數(shù)和方程等之間的關(guān)系,分別舉例說(shuō)明.
布置作業(yè)開(kāi)動(dòng)腦筋,勇于表達(dá)自己的'想法.
(1)在運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決具體問(wèn)題的同時(shí),加深對(duì)全章知識(shí)體系理解。
(2)發(fā)展學(xué)生抽象能力、推理能力和有條理表達(dá)自己想法的能力.
教學(xué)思考：
體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值,并學(xué)會(huì)在解決問(wèn)題過(guò)程中與他人合作.解決問(wèn)題。在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上,積極參與問(wèn)題的討論,從交流中學(xué)習(xí),并敢于發(fā)表自己的觀點(diǎn)和主張,同時(shí)尊重與理解別人的觀點(diǎn)。
情感態(tài)度與價(jià)值觀:
進(jìn)一步嘗試學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的成功體驗(yàn)，認(rèn)識(shí)到不等式是解決實(shí)際問(wèn)題的重要工具,逐漸形成對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)積極參與的意識(shí)。
重點(diǎn):
對(duì)一元一次不等式基本性質(zhì)的掌握;理解不等式(組)解及解集的含義，會(huì)解簡(jiǎn)單的一元一次不等式(組),并會(huì)在數(shù)軸上表示其解集;會(huì)解相關(guān)的問(wèn)題,建立起相關(guān)的知識(shí)體系。
↓ ↓
安排一組練習(xí)讓學(xué)生充分充分討論解決.
(1)當(dāng)X取何值時(shí),Y>0(2)當(dāng)X取何值時(shí),Y=0(3)當(dāng)X取何值時(shí),Y
3.某工人制造機(jī)器零件,如果每天比預(yù)定多做一件，那么8天所做零件超過(guò)100件;如果每天比預(yù)定少做一件，那么8天所做零件不到90件，這個(gè)工人預(yù)定每天做幾個(gè)零件?
一元二次不等式是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要概念，是指一個(gè)帶有二次項(xiàng)的不等式。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)常需要利用二次不等式來(lái)解決問(wèn)題，掌握這個(gè)概念對(duì)于深入了解高中數(shù)學(xué)知識(shí)是至關(guān)重要的。因此，學(xué)習(xí)一元二次不等式是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一大難點(diǎn)，需要認(rèn)真對(duì)待。
一元二次不等式的概念和性質(zhì)
一元二次不等式可以寫(xiě)成如下形式：
ax2 + bx + c > 0
或
ax2 + bx + c
其中a、b、c都是實(shí)數(shù)，a ≠ 0。
我們可以通過(guò)一些方法求出不等式的根，比如將其轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式。將不等式變形，我們可以得到如下形式：
ax2 + bx
或
ax2 + bx > – c
然后，我們?cè)儆们笠辉畏匠谈姆椒ㄇ蟪霾坏仁降慕?，就能夠得到它的解集?/p>
對(duì)于不等式ax2 + bx + c > 0，其圖像為二次函數(shù)的上凸形，即開(kāi)口向上的拋物線，而對(duì)于不等式ax2 + bx + c
一元二次不等式的解法
解一元二次不等式的方法有很多，下面我們介紹其中的兩種：
方法一：化為標(biāo)準(zhǔn)形式，再利用求一元二次方程根的方法求解。
方法二：利用符號(hào)法將不等式中的式子化簡(jiǎn)，得到一系列不等式，然后將這些不等式求解即可。
實(shí)際上，解一元二次不等式還有很多其他的方法，比如絕對(duì)值法、圖形法等等。在解題時(shí)，我們要根據(jù)具體的情況選擇最合適的方法來(lái)求解。
一元二次不等式的應(yīng)用
一元二次不等式廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)以及生活中的各個(gè)領(lǐng)域，比如物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會(huì)學(xué)等。下面我們以生活中的一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明一元二次不等式的應(yīng)用。
假設(shè)你要購(gòu)買一臺(tái)電視機(jī)，商家提供了兩種方案供你選擇。方案一：首付1500元，每月還款100元；方案二：首付3500元，每月還款80元。那么，你需要比較兩個(gè)方案的總花費(fèi)，來(lái)決定哪個(gè)方案更加劃算。
我們假設(shè)電視機(jī)的總價(jià)格為x元。那么，方案一的總花費(fèi)為：
C1 = 1500 + 100×n
而方案二的總花費(fèi)為：
C2 = 3500 + 80×n
這里n為分期的期數(shù)，即你需要還款的總期數(shù)。為了比較兩種方案的劃算程度，我們可以列出一個(gè)一元二次不等式：
1500 + 100×n
經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)，我們可以得到：
20n > 2000
n > 100
因此，當(dāng)還款期數(shù)大于100期時(shí)，方案一比方案二更加劃算。這個(gè)例子很好地展示了一元二次不等式的應(yīng)用，它能夠幫助我們?cè)谌粘Ｉ钪凶龀雒髦堑倪x擇，也能夠更加深入地理解數(shù)學(xué)知識(shí)。
總結(jié)
一元二次不等式是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要概念，它在數(shù)學(xué)中和生活中都有廣泛的應(yīng)用。學(xué)習(xí)一元二次不等式需要我們認(rèn)真對(duì)待，掌握其概念、性質(zhì)和解法，同時(shí)也需要我們理解其實(shí)際應(yīng)用，這樣才能夠更好地掌握高中數(shù)學(xué)的知識(shí)。
本節(jié)課的研究是對(duì)初中不等式學(xué)習(xí)的延續(xù)和拓展，也是實(shí)數(shù)理論的進(jìn)一步發(fā)展.在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程中，將讓學(xué)生回憶實(shí)數(shù)的基本理論，并能用實(shí)數(shù)的基本理論來(lái)比較兩個(gè)代數(shù)式的大小.
通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生從一系列的具體問(wèn)題情境中，感受到在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，并充分認(rèn)識(shí)不等關(guān)系的存在與應(yīng)用.對(duì)不等關(guān)系的相關(guān)素材，用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)進(jìn)行觀察、歸納、抽象，完成量與量的比較過(guò)程.即能用不等式或不等式組把這些不等關(guān)系表示出來(lái).
在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程中還安排了一些簡(jiǎn)單的、學(xué)生易于處理的問(wèn)題，其用意在于讓學(xué)生注意對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的應(yīng)用，同時(shí)也能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并由衷地產(chǎn)生用數(shù)學(xué)工具研究不等關(guān)系的愿望.根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，應(yīng)用再現(xiàn)、回憶得出實(shí)數(shù)的基本理論，并能用實(shí)數(shù)的基本理論來(lái)比較兩個(gè)代數(shù)式的大小.
在本節(jié)教學(xué)中，教師可讓學(xué)生閱讀書(shū)中實(shí)例，充分利用數(shù)軸這一簡(jiǎn)單的數(shù)形結(jié)合工具，直接用實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，從數(shù)與形兩方面建立實(shí)數(shù)的順序關(guān)系.要在溫故知新的基礎(chǔ)上提高學(xué)生對(duì)不等式的認(rèn)識(shí).
1.在學(xué)生了解不等式產(chǎn)生的實(shí)際背景下，利用數(shù)軸回憶實(shí)數(shù)的基本理論，理解實(shí)數(shù)的大小關(guān)系，理解實(shí)數(shù)大小與數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置間的關(guān)系.
2.會(huì)用作差法判斷實(shí)數(shù)與代數(shù)式的大小，會(huì)用配方法判斷二次式的大小和范圍.
3.通過(guò)溫故知新，提高學(xué)生對(duì)不等式的認(rèn)識(shí)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，體會(huì)數(shù)學(xué)的奧秘與數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)美.
教學(xué)重點(diǎn)：比較實(shí)數(shù)與代數(shù)式的大小關(guān)系，判斷二次式的大小和范圍.
思路1.(章頭圖導(dǎo)入)通過(guò)多媒體展示衛(wèi)星、飛船和一幅山巒重疊起伏的壯觀畫(huà)面，它將學(xué)生帶入“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中，使學(xué)生在具體情境中感受到不等關(guān)系在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中是大量存在的，由此產(chǎn)生用數(shù)學(xué)研究不等關(guān)系的強(qiáng)烈愿望，自然地引入新課.
思路2.(情境導(dǎo)入)列舉出學(xué)生身體的高矮、身體的輕重、距離學(xué)校路程的遠(yuǎn)近、百米賽跑的時(shí)間、數(shù)學(xué)成績(jī)的多少等現(xiàn)實(shí)生活中學(xué)生身邊熟悉的事例，描述出某種客觀事物在數(shù)量上存在的不等關(guān)系.這些不等關(guān)系怎樣在數(shù)學(xué)上表示出來(lái)呢?讓學(xué)生自由地展開(kāi)聯(lián)想，教師組織不等關(guān)系的相關(guān)素材，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)進(jìn)行觀察、歸納，使學(xué)生在具體情境中感受到不等關(guān)系與相等關(guān)系一樣，在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中大量存在著.這樣學(xué)生會(huì)由衷地產(chǎn)生用數(shù)學(xué)工具研究不等關(guān)系的愿望，從而進(jìn)入進(jìn)一步的探究學(xué)習(xí)，由此引入新課.
1回憶初中學(xué)過(guò)的不等式，讓學(xué)生說(shuō)出“不等關(guān)系”與“不等式”的異同.怎樣利用不等式研究及表示不等關(guān)系?
2在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中，既有相等關(guān)系，又存在著大量的不等關(guān)系.你能舉出一些實(shí)際例子嗎?
3數(shù)軸上的任意兩點(diǎn)與對(duì)應(yīng)的兩實(shí)數(shù)具有怎樣的關(guān)系?
4任意兩個(gè)實(shí)數(shù)具有怎樣的關(guān)系?用邏輯用語(yǔ)怎樣表達(dá)這個(gè)關(guān)系?
活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生回憶初中學(xué)過(guò)的不等式概念，使學(xué)生明確“不等關(guān)系”與“不等式”的異同.不等關(guān)系強(qiáng)調(diào)的是關(guān)系，可用符號(hào)“>”“b”“a
教師與學(xué)生一起舉出我們?nèi)粘Ｉ钪胁坏汝P(guān)系的例子，可讓學(xué)生充分合作討論，使學(xué)生感受到現(xiàn)實(shí)世界中存在著大量的不等關(guān)系.在學(xué)生了解了一些不等式產(chǎn)生的實(shí)際背景的前提下，進(jìn)一步學(xué)習(xí)不等式的有關(guān)內(nèi)容.
實(shí)例1：某天的天氣預(yù)報(bào)報(bào)道，最高氣溫32 ℃，最低氣溫26 ℃.
實(shí)例2：對(duì)于數(shù)軸上任意不同的兩點(diǎn)A、B，若點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊，則xA
實(shí)例5：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.
實(shí)例6：限速40 km/h的路標(biāo)指示司機(jī)在前方路段行駛時(shí)，應(yīng)使汽車的速度v不超過(guò)40 km/h.
實(shí)例7：某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不少于2.5%，蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于2.3%.
教師進(jìn)一步點(diǎn)撥：能夠發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學(xué)當(dāng)然很好，這說(shuō)明同學(xué)們已經(jīng)走進(jìn)了數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)科，但作為我們研究數(shù)學(xué)的人來(lái)說(shuō)，能用數(shù)學(xué)的眼光、數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)進(jìn)行觀察、歸納、抽象，完成這些量與量的比較過(guò)程，這是我們每個(gè)研究數(shù)學(xué)的人必須要做的，那么，我們可以用我們所研究過(guò)的什么知識(shí)來(lái)表示這些不等關(guān)系呢?學(xué)生很容易想到，用不等式或不等式組來(lái)表示這些不等關(guān)系.那么不等式就是用不等號(hào)將兩個(gè)代數(shù)式連結(jié)起來(lái)所成的式子.如-71+4,2x≤6，a+2≥0,3≠4,0≤5等.
教師引導(dǎo)學(xué)生將上述的7個(gè)實(shí)例用不等式表示出來(lái).實(shí)例1，若用t表示某天的氣溫，則26 ℃≤t≤32 ℃.實(shí)例3，若用x表示一個(gè)非負(fù)數(shù)，則x≥0.實(shí)例5，|AC|+|BC|>|AB|，如下圖.
|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.
|AB|-|BC|
實(shí)例6，若用v表示速度，則v≤40 km/h.實(shí)例7，f≥2.5%，p≥2.3%.對(duì)于實(shí)例7，教師應(yīng)點(diǎn)撥學(xué)生注意酸奶中的脂肪含量與蛋白質(zhì)含量需同時(shí)滿足，避免寫(xiě)成f≥2.5%或p≥2.3%，這是不對(duì)的.但可表示為f≥2.5%且p≥2.3%.
對(duì)以上問(wèn)題，教師讓學(xué)生輪流回答，再用投影儀給出課本上的兩個(gè)結(jié)論.
討論結(jié)果：
(1)(2)略;(3)數(shù)軸上任意兩點(diǎn)中，右邊點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)比左邊點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)大.
(4)對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a和b，在a=b，a>b，a0a>b;a-b=0a=b;a-b
活動(dòng)：通過(guò)兩例讓學(xué)生熟悉兩個(gè)代數(shù)式的大小比較的基本方法：作差，配方法.
點(diǎn)評(píng)：本節(jié)兩例的求解，是借助因式分解和應(yīng)用配方法完成的，這兩種方法是代數(shù)式變形時(shí)經(jīng)常使用的方法，應(yīng)讓學(xué)生熟練掌握.
1.若f(x)=3x2-x+1，g(x)=2x2+x-1，則f(x)與g(x)的大小關(guān)系是( )
解析：f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0，∴f(x)>g(x).
2.已知x≠0，比較(x2+1)2與x4+x2+1的大小.
解：由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.
∵x≠0，得x2>0.從而(x2+1)2>x4+x2+1.
例2比較下列各組數(shù)的大小(a≠b).
(1)a+b2與21a+1b(a>0，b>0);
(2)a4-b4與4a3(a-b).
活動(dòng)：比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，常根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與大小順序的關(guān)系，歸結(jié)為判斷它們的差的符號(hào)來(lái)確定.本例可由學(xué)生獨(dú)立完成，但要點(diǎn)撥學(xué)生在最后的符號(hào)判斷說(shuō)理中，要理由充分，不可忽略這點(diǎn).
解：(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=a+b2-4ab2a+b=a-b22a+b.
∵a>0，b>0且a≠b，∴a+b>0，(a-b)2>0.∴a-b22a+b>0，即a+b2>21a+1b.
(2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)
=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]
=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2].
∵2a2+(a+b)2≥0(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=0時(shí)取等號(hào))，
又a≠b，∴(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0.∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2]
∴a4-b4
點(diǎn)評(píng)：比較大小常用作差法，一般步驟是作差——變形——判斷符號(hào).變形常用的手段是分解因式和配方，前者將“差”變?yōu)椤胺e”，后者將“差”化為一個(gè)或幾個(gè)完全平方式的“和”，也可兩者并用.
已知x>y，且y≠0，比較xy與1的大小.
活動(dòng)：要比較任意兩個(gè)數(shù)或式的大小關(guān)系，只需確定它們的差與0的大小關(guān)系.
∵x>y，∴x-y>0.
當(dāng)y
當(dāng)y>0時(shí)，x-yy>0，即xy-1>0.∴xy>1.
點(diǎn)評(píng)：當(dāng)字母y取不同范圍的值時(shí)，差xy-1的正負(fù)情況不同，所以需對(duì)y分類討論.
例3建筑設(shè)計(jì)規(guī)定，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積.但按采光標(biāo)準(zhǔn)，窗戶面積與地板面積的比值應(yīng)不小于10%，且這個(gè)比值越大，住宅的采光條件越好.試問(wèn)：同時(shí)增加相等的窗戶面積和地板面積，住宅的采光條件是變好了，還是變壞了?請(qǐng)說(shuō)明理由.
活動(dòng)：解題關(guān)鍵首先是把文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，然后比較前后比值的大小，采用作差法.
解：設(shè)住宅窗戶面積和地板面積分別為a、b，同時(shí)增加的面積為m，根據(jù)問(wèn)題的要求a
由于a+mb+m-ab=mb-abb+m>0，于是a+mb+m>ab.又ab≥10%，
因此a+mb+m>ab≥10%.
所以同時(shí)增加相等的窗戶面積和地板面積后，住宅的采光條件變好了.
點(diǎn)評(píng)：一般地，設(shè)a、b為正實(shí)數(shù)，且a0，則a+mb+m>ab.
已知a1，a2，…為各項(xiàng)都大于零的等比數(shù)列，公比q≠1，則( )
C.a1+a8=a4+a5 D.a1+a8與a4+a5大小不確定
解析：(a1+a8)-(a4+a5)=a1+a1q7-a1q3-a1q4
=a1[(1-q3)-q4(1-q3)]=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q)(1+q2).
∵{an}各項(xiàng)都大于零，∴q>0，即1+q>0.
又∵q≠1，∴(a1+a8)-(a4+a5)>0，即a1+a8>a4+a5.
1.下列不等式：①a2+3>2a;②a2+b2>2(a-b-1);③x2+y2>2xy.其中恒成立的不等式的個(gè)數(shù)為( )
2.比較2x2+5x+9與x2+5x+6的大小.
答案：
1.C解析：∵②a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0，
③x2+y2-2xy=(x-y)2≥0.
∴只有①恒成立.
2.解：因?yàn)?x2+5x+9-(x2+5x+6)=x2+3>0，
所以2x2+5x+9>x2+5x+6.
1.教師與學(xué)生共同完成本節(jié)課的小結(jié)，從實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)的回顧，到兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的比較方法;從例題的活動(dòng)探究點(diǎn)評(píng)，到緊跟著的變式訓(xùn)練，讓學(xué)生去繁就簡(jiǎn)，聯(lián)系舊知，將本節(jié)課所學(xué)納入已有的知識(shí)體系中.
2.教師畫(huà)龍點(diǎn)睛，點(diǎn)撥利用實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)對(duì)兩個(gè)實(shí)數(shù)大小比較時(shí)易錯(cuò)的地方.鼓勵(lì)學(xué)有余力的學(xué)生對(duì)節(jié)末的思考與討論在課后作進(jìn)一步的探究.
1.本節(jié)設(shè)計(jì)關(guān)注了教學(xué)方法的優(yōu)化.經(jīng)驗(yàn)告訴我們：課堂上應(yīng)根據(jù)具體情況，選擇、設(shè)計(jì)最能體現(xiàn)教學(xué)規(guī)律的教學(xué)過(guò)程，不宜長(zhǎng)期使用一種固定的教學(xué)方法，或原封不動(dòng)地照搬一種實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｊ?各種教學(xué)方法中，沒(méi)有一種能很好地適應(yīng)一切教學(xué)活動(dòng).也就是說(shuō)，世上沒(méi)有萬(wàn)能的教學(xué)方法.針對(duì)個(gè)性，靈活變化，因材施教才是成功的施教靈藥.
2.本節(jié)設(shè)計(jì)注重了難度控制.不等式內(nèi)容應(yīng)用面廣，可以說(shuō)與其他所有內(nèi)容都有交匯，歷來(lái)是高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn).作為本章開(kāi)始，可以適當(dāng)開(kāi)闊一些，算作拋磚引玉，讓學(xué)生有個(gè)自由探究聯(lián)想的平臺(tái)，但不宜過(guò)多向外拓展，以免對(duì)學(xué)生產(chǎn)生負(fù)面影響.
3.本節(jié)設(shè)計(jì)關(guān)注了學(xué)生思維能力的訓(xùn)練.訓(xùn)練學(xué)生的思維能力，提升思維的品質(zhì)，是數(shù)學(xué)教師直面的重要課題，也是中學(xué)數(shù)學(xué)教育的主線.采用一題多解有助于思維的發(fā)散性及靈活性，克服思維的僵化.變式訓(xùn)練教學(xué)又可以拓展學(xué)生思維視野的廣度，解題后的點(diǎn)撥反思有助于學(xué)生思維批判性品質(zhì)的提升.
1.比較(x-3)2與(x-2)(x-4)的大小.
2.試判斷下列各對(duì)整式的大?。?1)m2-2m+5和-2m+5;(2)a2-4a+3和-4a+1.
5.設(shè)a>0，b>0，且a≠b，試比較aabb與abba的大小.
∴(x-3)2>(x-2)(x-4).
=m2.
∵m2≥0，∴(m2-2m+5)-(-2m+5)≥0.
∴m2-2m+5≥-2m+5.
=a2+2.
∵a2≥0，∴a2+2≥2>0.
∴a2-4a+3>-4a+1.
=x24，
又∵x>0，∴x24>0.
∴(1+x2)2>(1+x)2.
由x>0，得1+x2>1+x.
=(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]
=-2xy(x-y).
∵x0，x-y
∴-2xy(x-y)>0.
∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).
5.解：∵aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b，且a≠b，
當(dāng)a>b>0時(shí)，ab>1，a-b>0，
則(ab)a-b>1，于是aabb>abba.
則(ab)a-b>1.
于是aabb>abb a.
綜上所述，對(duì)于不相等的正數(shù)a、b，都有aabb>abba.
基本不等式是初中數(shù)學(xué)中重要的一章內(nèi)容，也是高中數(shù)學(xué)和競(jìng)賽數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)?；静坏仁降膶W(xué)習(xí)不僅有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和解題能力，同時(shí)也能幫助他們提高邏輯思維能力。本文旨在探討“基本不等式”這一主題。
一、基本不等式的定義與性質(zhì)
基本不等式是說(shuō)：對(duì)于正實(shí)數(shù)x1，x2，…，xn，有
（x1+x2+…+xn）/n≥√（x1x2…xn），當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=…=xn時(shí)等號(hào)成立。
基本不等式的性質(zhì)有以下幾條：
（1）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，等號(hào)成立；
（2）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)所有數(shù)相等時(shí)等號(hào)成立；
（3）兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)，即(a+b)/2≥√(ab)，其中a,b均為正實(shí)數(shù)且a≠b；
（4）當(dāng)n≥3時(shí)，三個(gè)數(shù)的平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)，即(a+b+c)/3≥√(abc)，其中a,b,c均為正實(shí)數(shù)且a≠b≠c。
二、基本不等式的應(yīng)用
基本不等式作為一種重要的數(shù)學(xué)工具，可以應(yīng)用于眾多問(wèn)題之中。以下是基本不等式的一些常見(jiàn)應(yīng)用。
1. 求和式的最小值
例題1：已知-x1+x2+x3+x4+x5=-18，其中x1，x2，x3，x4，x5均為正數(shù)，并且x1+x2+x3+x4+x5≥5，則x1x2x3x4x5的最小值為多少？
解法：根據(jù)已知條件，設(shè)x1+x2+x3+x4+x5=5+m（其中m≥0），則有x1+x2+x3+x4+x5+m=5+2m。代入到基本不等式中可得：
(x1+x2+x3+x4+x5+m)/5≥√(x1x2x3x4x5)m/5≥√(x1x2x3x4x5)/5
移項(xiàng)得到x1x2x3x4x5≥1，則x1x2x3x4x5的最小值為1。
2. 比較函數(shù)大小
例題2：比較函數(shù)f(x)=√(a2+x2)+√(b2+(c-x)2)(a,b,c>0)在[0,c]上的最小和最大值。
解法：根據(jù)已知條件和基本不等式，將f(x)分解成兩個(gè)正數(shù)的平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的形式，即
f(x)=[√(a2+x2)+√(b2+(c-x)2)]/2+1/2[√(a2+x2)+√(b2+(c-x)2)]
≥√[(√(a2+x2)×√(b2+(c-x)2)]+1/2(2c)
=√(a2+b2+c2+ab-ac-bc)+c
當(dāng)x=c/3時(shí)等號(hào)成立，即f(x)的最小值為√(a2+b2+c2+ab-ac-bc)+c，最大值為√(a2+b2+c2+ab+ac+bc)+c。
3. 求極限
例題3：已知數(shù)列{a_n}(n≥1)的通項(xiàng)公式為a_n=(√n+1)/(n+1)，則求∑(n從1到∞)a_n的極限。
解法：根據(jù)基本不等式，有
a_1+a_2+…+a_n≥n(√(a_1a_2…a_n))^1/n
代入已知條件，可得：
a_1+a_2+…+a_n≥n[(√(1+1)×√(2+1)×…×√(n+1))/((1+1)×(2+1)×…×(n+1))]^(1/n)
= n[√(n+1)/2×1/3×…×1/(n+1)]^(1/n) =n[(n+1)/[2(n+1)]]^(1/n)
極限為1/2。
4. 求證不等式
例題4：已知a，b，c為正實(shí)數(shù)，且a+b+c=1，證明∑(a/(1-a))≥3(a2+b2+c2)/(ab+bc+ca)。
解法：將不等式化簡(jiǎn)，得：
∑(a/(1-a))≥3(a2+b2+c2)/(ab+bc+ca)
?(a/(1-a))+(b/(1-b))+(c/(1-c))≥3(a2+b2+c2)/(ab+bc+ca)
?(a/(1-a))+(b/(1-b))+(c/(1-c))≥3[(a+b+c)2-(ab+bc+ca)]/(ab+bc+ca)
由于a+b+c=1，有
(ab+bc+ca)≤a2+b2+c2,
(a/(1-a))+(b/(1-b))+(c/(1-c))≥(a+b+c)2/(a(1-a)+b(1-b)+c(1-c))≥3(a2+b2+c2)/(ab+bc+ca)
其中第一個(gè)不等式成立是因?yàn)楫?dāng)a=b=c=1/3時(shí)，等號(hào)成立；第二個(gè)不等式用到了基本不等式的形式。
綜上所述，基本不等式是數(shù)學(xué)中的重要概念，掌握了基本不等式的定義、性質(zhì)和應(yīng)用方法，將有助于提高人們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和解題能力。在日常生活和學(xué)習(xí)中，要重視基本不等式的學(xué)習(xí)和應(yīng)用，逐步提高自己的數(shù)學(xué)水平。
學(xué)生初步接觸了一點(diǎn)代數(shù)知識(shí)（如用字母表示定律，用符號(hào)表示數(shù)），是在學(xué)生學(xué)習(xí)了用字母表示數(shù)以后基礎(chǔ)上進(jìn)行學(xué)習(xí)。應(yīng)用方程是解決問(wèn)題的基礎(chǔ)，有關(guān)的幾個(gè)概念，教材只作描述不下定義。在教學(xué)設(shè)計(jì)中仍然把理念作為教學(xué)的重點(diǎn)，理解方程的意義，判斷“等式”和“方程”知道方程是一個(gè)“含有未知數(shù)的等式”，才有可能明確所謂解方程。
學(xué)生不夠活潑，學(xué)習(xí)積極性不是很高，學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不好。方程對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)還是比較陌生的，在他們頭腦中還沒(méi)有過(guò)方程這樣的表象，所以授新課就要從學(xué)生原有的`基礎(chǔ)開(kāi)始，因?yàn)樵谇懊鎸W(xué)習(xí)用字母表示數(shù)的這部分內(nèi)容時(shí)，有了基礎(chǔ)，我想在學(xué)習(xí)簡(jiǎn)易方程應(yīng)該沒(méi)什么大的問(wèn)題。
1、使學(xué)生初步理解和辨析“等式”“不等式”的意義。
2、會(huì)按要求用方程表示出數(shù)量關(guān)系，
3、培養(yǎng)學(xué)生的觀察、比較、分析能力。
教學(xué)重點(diǎn)： 用字母表示常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系，會(huì)用方程的意義去判斷一個(gè)式子是否是方程。
教師介紹天平各部分名稱。讓學(xué)生操作當(dāng)天平兩端托盤(pán)的物體的質(zhì)量相等時(shí)，天平就會(huì)平衡，指針指向中。根據(jù)這這個(gè)原理來(lái)稱物體的質(zhì)量。（讓學(xué)生操作，激發(fā)學(xué)生的興趣，借助實(shí)物演示的優(yōu)勢(shì)。初步感受平衡與不平衡的表象）
1、實(shí)物演示，引出方程：
（1）在天平稱出100克的左邊空杯，讓學(xué)生觀察是否平衡，感受1只空杯=100克。
（2）往空杯里倒入果汁，另一邊加100克法碼，問(wèn)學(xué)生發(fā)現(xiàn)了什么？ （讓學(xué)生感受天平慢慢傾斜，水是未知數(shù)）引出100+X＞200，往右加100克法碼， 問(wèn)：哪邊重些？（學(xué)生初步感受平衡和不平衡的表象） 問(wèn)：怎樣用式子表示？100+X＜300
（3）教學(xué)100+X=250 問(wèn)：如果是天平平衡怎么辦？（讓學(xué)生討論交流平衡的方案）把100克法碼換成50克的砝碼，這時(shí)會(huì)怎樣？（引導(dǎo)學(xué)生觀察這時(shí)天平出現(xiàn)平衡）， 問(wèn)：現(xiàn)在兩邊的質(zhì)量怎樣？現(xiàn)在水有多重知道嗎？如果用字母X表示怎樣用式子表示？得出：100+X=250
示題：100+X＜250100+X=2504X+50＞10040+40=80 X÷2=45X-12=27
請(qǐng)學(xué)生觀察合作交流分類：
（一）引出（1）兩邊不相等，叫做不等式。（2）兩邊相等叫做等式。
（2）含有未知數(shù)的等式100+X=250 X÷2=4 揭示：（2）這樣的含有未知數(shù)等式叫做方程（通過(guò)分類，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)方程意義的了解） 問(wèn)：方程的具備條件是什么？（感知必須是等式，而一定含有未知數(shù)）你能寫(xiě)出一些方程嗎？（同桌交流檢查）
（三）練習(xí)判斷那些是方程？那些不是方程？
6+2X=14103+X250÷2=1256+X＞251÷A=3X+Y=180 （讓學(xué)生加深對(duì)方程的意義的認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的判斷能力。）
教師：我們能夠判斷什么是方程了，方程和等式有很密切的關(guān)系，你能畫(huà)圖來(lái)表示他們的關(guān)系嗎？（小組合作討論交流）
方程 等式 （讓學(xué)生通過(guò)觀察、思考、分析、歸類，自主發(fā)現(xiàn)獲得對(duì)方程和等式的關(guān)系理解，同時(shí)初步滲透教學(xué)中的集合思想。）
基本不等式作為高中數(shù)學(xué)必修內(nèi)容之一，在學(xué)生學(xué)習(xí)中扮演著極為重要的角色。本篇文章將圍繞基本不等式，探討它的概念、性質(zhì)、證明方法及應(yīng)用，并展示基本不等式的魅力和實(shí)用性。
一、基本不等式的概念
基本不等式是指對(duì)于任意正實(shí)數(shù) $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 和任意正整數(shù) $n$，有以下不等式成立：
$\dfrac{a_1}{n}+\dfrac{a_2}{n}+\cdots+\dfrac{a_n}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$
這個(gè)不等式也被稱為均值不等式或AM-GM不等式。其中，$\dfrac{a_1}{n}+\dfrac{a_2}{n}+\cdots+\dfrac{a_n}{n}$ 表示這些數(shù)的算術(shù)平均值，而 $\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$ 表示這些數(shù)的幾何平均值。均值不等式的意義在于，算術(shù)平均數(shù)大于等于幾何平均數(shù)。
二、基本不等式的性質(zhì)
基本不等式有以下幾個(gè)性質(zhì)：
1. 當(dāng)且僅當(dāng) $a_1=a_2=\cdots=a_n$ 時(shí)等號(hào)成立。
2. 如果 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 中至少有一個(gè)數(shù)為 id="article-content1">
不等式課件。
經(jīng)驗(yàn)時(shí)常告訴我們，做事要提前做好準(zhǔn)備。在幼兒教育工作中，我們都有會(huì)準(zhǔn)備一寫(xiě)需要用到資料。資料包含著人類在社會(huì)實(shí)踐，科學(xué)實(shí)驗(yàn)和研究過(guò)程中所匯集的經(jīng)驗(yàn)。有了資料的協(xié)助我們的工作會(huì)變得更加順利！所以，關(guān)于幼師資料你究竟了解多少呢？小編現(xiàn)在推薦你閱讀一下不等式的課件收藏，相信能對(duì)大家有所幫助。
基本不等式是初中數(shù)學(xué)比較重要的一個(gè)概念，對(duì)于求解不等式問(wèn)題有非常大的作用。在教學(xué)中，老師可以通過(guò)多學(xué)示例，呈現(xiàn)形式多樣，讓學(xué)生深刻理解基本不等式的本質(zhì)和應(yīng)用，使學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題中靈活掌握相關(guān)知識(shí)。本文將結(jié)合基本不等式的定義、性質(zhì)和應(yīng)用，探討其相關(guān)主題。
一、基本不等式的定義和性質(zhì)
基本不等式是在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)常用到的一種數(shù)學(xué)方法，它可以有效地幫助我們解決很多實(shí)際問(wèn)題。在數(shù)學(xué)中，一般把基本不等式定義為，對(duì)于任何正整數(shù)a和b，有下列不等關(guān)系：
(a+b)^2>=4ab
這個(gè)不等式在初中數(shù)學(xué)中非常重要，我們還可以把它解釋成下面的形式：對(duì)于任何兩個(gè)正數(shù)a和b，有下列不等式：
a/b+b/a>=2
這個(gè)式子實(shí)際上就是基本不等式的一個(gè)特例，也說(shuō)明了基本不等式中的a和b可以指任何兩個(gè)正數(shù)。
基本不等式的一些性質(zhì)：
1、兩邊同時(shí)乘以正數(shù)或是開(kāi)根號(hào)（即不改變不等關(guān)系的實(shí)質(zhì)）是允許的。
2、當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立。
3、當(dāng)a不等于b時(shí)，不等號(hào)成立。
這些性質(zhì)是我們用基本不等式時(shí)需要注意的幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)。如果我們了解了這些基本的性質(zhì)，就可以更加靈活地運(yùn)用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題。
二、基本不等式的應(yīng)用
基本不等式的應(yīng)用非常廣泛，例如可以用它來(lái)解決以下問(wèn)題：
1、證明
√(a^2+b^2)>=a/√2+b/√2
這個(gè)問(wèn)題就可以使用基本不等式來(lái)證明，首先得到(a+b)^2>=2(a^2+b^2)，將式子化簡(jiǎn)可得√(a^2+b^2)>=a/√2+b/√2，這就是想要證明的結(jié)論。
2、解決一些最值問(wèn)題。例如：如何使a+b的值最??？這個(gè)問(wèn)題可以用基本不等式來(lái)解決，我們?cè)O(shè)a+b=k，那么a+b的平方就是k^2，代入基本不等式中可得出：
k^2>=4ab，即（a+b）^2>=4ab
這個(gè)不等式右邊是4ab，左邊則是（a+b）^2，因此a+b的值取得最小值時(shí)，應(yīng)當(dāng)使（a+b）^2=4ab，所以a=b，因此a+b的最小值就是2a或是2b。
3、證明一些平方和不等式的結(jié)論。例如：
(a/b)^2+(b/a)^2>=2
這個(gè)問(wèn)題可以通過(guò)基本不等式進(jìn)行證明，首先我們?cè)O(shè)x=a/b，y=b/a，很顯然有x+y>=2，然后通過(guò)簡(jiǎn)單的運(yùn)算可得：x^2+y^2>=2，也即(a/b)^2+(b/a)^2>=2。
綜上所述，基本不等式作為初中數(shù)學(xué)比較重要的一部分，其定義、性質(zhì)和應(yīng)用都與實(shí)際問(wèn)題密切相關(guān)。在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，我們可以通過(guò)多學(xué)示例，靈活運(yùn)用基本不等式的性質(zhì)和應(yīng)用，進(jìn)而更好地理解其本質(zhì)和應(yīng)用，從而使初中數(shù)學(xué)知識(shí)更加牢固。
(1)運(yùn)用問(wèn)題的形式幫助學(xué)生整理全章的內(nèi)容,建立知識(shí)體系。
(2)在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上,鼓勵(lì)學(xué)生開(kāi)展小組和全班的交流,使學(xué)生通過(guò)交流和反思加強(qiáng)對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解和掌握,并逐步建立知識(shí)體系。
通過(guò)問(wèn)題情境的設(shè)立，使學(xué)生再現(xiàn)已學(xué)知識(shí),鍛煉抽象、概括的能力。解決問(wèn)題
通過(guò)具體問(wèn)題來(lái)體會(huì)知識(shí)間的聯(lián)系和學(xué)習(xí)本章所采用的主要思想方法。
通過(guò)獨(dú)立思考獲取學(xué)習(xí)的成功體驗(yàn)，通過(guò)小組交流培養(yǎng)合作交流意識(shí),通過(guò)大膽發(fā)表自己的觀點(diǎn),增強(qiáng)自信心。
重點(diǎn):對(duì)一元一次不等式基本性質(zhì)的掌握;理解不等式(組)解及解集的含義，會(huì)解簡(jiǎn)單的一元一不等式(組),并會(huì)在數(shù)軸上表示其解集;會(huì)解相關(guān)的問(wèn)題,建立起相關(guān)的知識(shí)體系。
不等式有哪些基本性質(zhì)?它與等式的性質(zhì)有什么相同和不同之處?
解一元一次不等式和解一元一次方程有什么異同?引導(dǎo)學(xué)生回憶解一元一次方程的步驟.比較兩者之間的不同學(xué)生舉例回答.
舉例說(shuō)明在數(shù)軸上如何表示一元一不等式(組)的解集分組競(jìng)賽.看哪一組出的題型好,全班一起解答.
舉例說(shuō)明不等式、函數(shù)、方程的聯(lián)系.引導(dǎo)學(xué)生回憶函數(shù)的有關(guān)內(nèi)容.舉例說(shuō)明三者之間的關(guān)系.小組討論,合作回答.函數(shù)性質(zhì)、圖象
小組交流、討論不等式和函數(shù)、函數(shù)和方程等之間的關(guān)系,分別舉例說(shuō)明.
布置作業(yè)開(kāi)動(dòng)腦筋,勇于表達(dá)自己的'想法.
(1)在運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決具體問(wèn)題的同時(shí),加深對(duì)全章知識(shí)體系理解。
(2)發(fā)展學(xué)生抽象能力、推理能力和有條理表達(dá)自己想法的能力.
教學(xué)思考：
體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值,并學(xué)會(huì)在解決問(wèn)題過(guò)程中與他人合作.解決問(wèn)題。在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上,積極參與問(wèn)題的討論,從交流中學(xué)習(xí),并敢于發(fā)表自己的觀點(diǎn)和主張,同時(shí)尊重與理解別人的觀點(diǎn)。
情感態(tài)度與價(jià)值觀:
進(jìn)一步嘗試學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的成功體驗(yàn)，認(rèn)識(shí)到不等式是解決實(shí)際問(wèn)題的重要工具,逐漸形成對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)積極參與的意識(shí)。
重點(diǎn):
對(duì)一元一次不等式基本性質(zhì)的掌握;理解不等式(組)解及解集的含義，會(huì)解簡(jiǎn)單的一元一次不等式(組),并會(huì)在數(shù)軸上表示其解集;會(huì)解相關(guān)的問(wèn)題,建立起相關(guān)的知識(shí)體系。
↓ ↓
安排一組練習(xí)讓學(xué)生充分充分討論解決.
(1)當(dāng)X取何值時(shí),Y>0(2)當(dāng)X取何值時(shí),Y=0(3)當(dāng)X取何值時(shí),Y
3.某工人制造機(jī)器零件,如果每天比預(yù)定多做一件，那么8天所做零件超過(guò)100件;如果每天比預(yù)定少做一件，那么8天所做零件不到90件，這個(gè)工人預(yù)定每天做幾個(gè)零件?
一元二次不等式是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要概念，是指一個(gè)帶有二次項(xiàng)的不等式。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)常需要利用二次不等式來(lái)解決問(wèn)題，掌握這個(gè)概念對(duì)于深入了解高中數(shù)學(xué)知識(shí)是至關(guān)重要的。因此，學(xué)習(xí)一元二次不等式是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一大難點(diǎn)，需要認(rèn)真對(duì)待。
一元二次不等式的概念和性質(zhì)
一元二次不等式可以寫(xiě)成如下形式：
ax2 + bx + c > 0
或
ax2 + bx + c
其中a、b、c都是實(shí)數(shù)，a ≠ 0。
我們可以通過(guò)一些方法求出不等式的根，比如將其轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式。將不等式變形，我們可以得到如下形式：
ax2 + bx
或
ax2 + bx > – c
然后，我們?cè)儆们笠辉畏匠谈姆椒ㄇ蟪霾坏仁降慕?，就能夠得到它的解集?/p>
對(duì)于不等式ax2 + bx + c > 0，其圖像為二次函數(shù)的上凸形，即開(kāi)口向上的拋物線，而對(duì)于不等式ax2 + bx + c
一元二次不等式的解法
解一元二次不等式的方法有很多，下面我們介紹其中的兩種：
方法一：化為標(biāo)準(zhǔn)形式，再利用求一元二次方程根的方法求解。
方法二：利用符號(hào)法將不等式中的式子化簡(jiǎn)，得到一系列不等式，然后將這些不等式求解即可。
實(shí)際上，解一元二次不等式還有很多其他的方法，比如絕對(duì)值法、圖形法等等。在解題時(shí)，我們要根據(jù)具體的情況選擇最合適的方法來(lái)求解。
一元二次不等式的應(yīng)用
一元二次不等式廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)以及生活中的各個(gè)領(lǐng)域，比如物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會(huì)學(xué)等。下面我們以生活中的一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明一元二次不等式的應(yīng)用。
假設(shè)你要購(gòu)買一臺(tái)電視機(jī)，商家提供了兩種方案供你選擇。方案一：首付1500元，每月還款100元；方案二：首付3500元，每月還款80元。那么，你需要比較兩個(gè)方案的總花費(fèi)，來(lái)決定哪個(gè)方案更加劃算。
我們假設(shè)電視機(jī)的總價(jià)格為x元。那么，方案一的總花費(fèi)為：
C1 = 1500 + 100×n
而方案二的總花費(fèi)為：
C2 = 3500 + 80×n
這里n為分期的期數(shù)，即你需要還款的總期數(shù)。為了比較兩種方案的劃算程度，我們可以列出一個(gè)一元二次不等式：
1500 + 100×n
經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)，我們可以得到：
20n > 2000
n > 100
因此，當(dāng)還款期數(shù)大于100期時(shí)，方案一比方案二更加劃算。這個(gè)例子很好地展示了一元二次不等式的應(yīng)用，它能夠幫助我們?cè)谌粘Ｉ钪凶龀雒髦堑倪x擇，也能夠更加深入地理解數(shù)學(xué)知識(shí)。
總結(jié)
一元二次不等式是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要概念，它在數(shù)學(xué)中和生活中都有廣泛的應(yīng)用。學(xué)習(xí)一元二次不等式需要我們認(rèn)真對(duì)待，掌握其概念、性質(zhì)和解法，同時(shí)也需要我們理解其實(shí)際應(yīng)用，這樣才能夠更好地掌握高中數(shù)學(xué)的知識(shí)。
本節(jié)課的研究是對(duì)初中不等式學(xué)習(xí)的延續(xù)和拓展，也是實(shí)數(shù)理論的進(jìn)一步發(fā)展.在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程中，將讓學(xué)生回憶實(shí)數(shù)的基本理論，并能用實(shí)數(shù)的基本理論來(lái)比較兩個(gè)代數(shù)式的大小.
通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生從一系列的具體問(wèn)題情境中，感受到在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，并充分認(rèn)識(shí)不等關(guān)系的存在與應(yīng)用.對(duì)不等關(guān)系的相關(guān)素材，用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)進(jìn)行觀察、歸納、抽象，完成量與量的比較過(guò)程.即能用不等式或不等式組把這些不等關(guān)系表示出來(lái).
在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程中還安排了一些簡(jiǎn)單的、學(xué)生易于處理的問(wèn)題，其用意在于讓學(xué)生注意對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的應(yīng)用，同時(shí)也能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并由衷地產(chǎn)生用數(shù)學(xué)工具研究不等關(guān)系的愿望.根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，應(yīng)用再現(xiàn)、回憶得出實(shí)數(shù)的基本理論，并能用實(shí)數(shù)的基本理論來(lái)比較兩個(gè)代數(shù)式的大小.
在本節(jié)教學(xué)中，教師可讓學(xué)生閱讀書(shū)中實(shí)例，充分利用數(shù)軸這一簡(jiǎn)單的數(shù)形結(jié)合工具，直接用實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，從數(shù)與形兩方面建立實(shí)數(shù)的順序關(guān)系.要在溫故知新的基礎(chǔ)上提高學(xué)生對(duì)不等式的認(rèn)識(shí).
1.在學(xué)生了解不等式產(chǎn)生的實(shí)際背景下，利用數(shù)軸回憶實(shí)數(shù)的基本理論，理解實(shí)數(shù)的大小關(guān)系，理解實(shí)數(shù)大小與數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置間的關(guān)系.
2.會(huì)用作差法判斷實(shí)數(shù)與代數(shù)式的大小，會(huì)用配方法判斷二次式的大小和范圍.
3.通過(guò)溫故知新，提高學(xué)生對(duì)不等式的認(rèn)識(shí)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，體會(huì)數(shù)學(xué)的奧秘與數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)美.
教學(xué)重點(diǎn)：比較實(shí)數(shù)與代數(shù)式的大小關(guān)系，判斷二次式的大小和范圍.
思路1.(章頭圖導(dǎo)入)通過(guò)多媒體展示衛(wèi)星、飛船和一幅山巒重疊起伏的壯觀畫(huà)面，它將學(xué)生帶入“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中，使學(xué)生在具體情境中感受到不等關(guān)系在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中是大量存在的，由此產(chǎn)生用數(shù)學(xué)研究不等關(guān)系的強(qiáng)烈愿望，自然地引入新課.
思路2.(情境導(dǎo)入)列舉出學(xué)生身體的高矮、身體的輕重、距離學(xué)校路程的遠(yuǎn)近、百米賽跑的時(shí)間、數(shù)學(xué)成績(jī)的多少等現(xiàn)實(shí)生活中學(xué)生身邊熟悉的事例，描述出某種客觀事物在數(shù)量上存在的不等關(guān)系.這些不等關(guān)系怎樣在數(shù)學(xué)上表示出來(lái)呢?讓學(xué)生自由地展開(kāi)聯(lián)想，教師組織不等關(guān)系的相關(guān)素材，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)進(jìn)行觀察、歸納，使學(xué)生在具體情境中感受到不等關(guān)系與相等關(guān)系一樣，在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中大量存在著.這樣學(xué)生會(huì)由衷地產(chǎn)生用數(shù)學(xué)工具研究不等關(guān)系的愿望，從而進(jìn)入進(jìn)一步的探究學(xué)習(xí)，由此引入新課.
1回憶初中學(xué)過(guò)的不等式，讓學(xué)生說(shuō)出“不等關(guān)系”與“不等式”的異同.怎樣利用不等式研究及表示不等關(guān)系?
2在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中，既有相等關(guān)系，又存在著大量的不等關(guān)系.你能舉出一些實(shí)際例子嗎?
3數(shù)軸上的任意兩點(diǎn)與對(duì)應(yīng)的兩實(shí)數(shù)具有怎樣的關(guān)系?
4任意兩個(gè)實(shí)數(shù)具有怎樣的關(guān)系?用邏輯用語(yǔ)怎樣表達(dá)這個(gè)關(guān)系?
活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生回憶初中學(xué)過(guò)的不等式概念，使學(xué)生明確“不等關(guān)系”與“不等式”的異同.不等關(guān)系強(qiáng)調(diào)的是關(guān)系，可用符號(hào)“>”“b”“a
教師與學(xué)生一起舉出我們?nèi)粘Ｉ钪胁坏汝P(guān)系的例子，可讓學(xué)生充分合作討論，使學(xué)生感受到現(xiàn)實(shí)世界中存在著大量的不等關(guān)系.在學(xué)生了解了一些不等式產(chǎn)生的實(shí)際背景的前提下，進(jìn)一步學(xué)習(xí)不等式的有關(guān)內(nèi)容.
實(shí)例1：某天的天氣預(yù)報(bào)報(bào)道，最高氣溫32 ℃，最低氣溫26 ℃.
實(shí)例2：對(duì)于數(shù)軸上任意不同的兩點(diǎn)A、B，若點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊，則xA
實(shí)例5：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.
實(shí)例6：限速40 km/h的路標(biāo)指示司機(jī)在前方路段行駛時(shí)，應(yīng)使汽車的速度v不超過(guò)40 km/h.
實(shí)例7：某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不少于2.5%，蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于2.3%.
教師進(jìn)一步點(diǎn)撥：能夠發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學(xué)當(dāng)然很好，這說(shuō)明同學(xué)們已經(jīng)走進(jìn)了數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)科，但作為我們研究數(shù)學(xué)的人來(lái)說(shuō)，能用數(shù)學(xué)的眼光、數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)進(jìn)行觀察、歸納、抽象，完成這些量與量的比較過(guò)程，這是我們每個(gè)研究數(shù)學(xué)的人必須要做的，那么，我們可以用我們所研究過(guò)的什么知識(shí)來(lái)表示這些不等關(guān)系呢?學(xué)生很容易想到，用不等式或不等式組來(lái)表示這些不等關(guān)系.那么不等式就是用不等號(hào)將兩個(gè)代數(shù)式連結(jié)起來(lái)所成的式子.如-71+4,2x≤6，a+2≥0,3≠4,0≤5等.
教師引導(dǎo)學(xué)生將上述的7個(gè)實(shí)例用不等式表示出來(lái).實(shí)例1，若用t表示某天的氣溫，則26 ℃≤t≤32 ℃.實(shí)例3，若用x表示一個(gè)非負(fù)數(shù)，則x≥0.實(shí)例5，|AC|+|BC|>|AB|，如下圖.
|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.
|AB|-|BC|
實(shí)例6，若用v表示速度，則v≤40 km/h.實(shí)例7，f≥2.5%，p≥2.3%.對(duì)于實(shí)例7，教師應(yīng)點(diǎn)撥學(xué)生注意酸奶中的脂肪含量與蛋白質(zhì)含量需同時(shí)滿足，避免寫(xiě)成f≥2.5%或p≥2.3%，這是不對(duì)的.但可表示為f≥2.5%且p≥2.3%.
對(duì)以上問(wèn)題，教師讓學(xué)生輪流回答，再用投影儀給出課本上的兩個(gè)結(jié)論.
討論結(jié)果：
(1)(2)略;(3)數(shù)軸上任意兩點(diǎn)中，右邊點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)比左邊點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)大.
(4)對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a和b，在a=b，a>b，a0a>b;a-b=0a=b;a-b
活動(dòng)：通過(guò)兩例讓學(xué)生熟悉兩個(gè)代數(shù)式的大小比較的基本方法：作差，配方法.
點(diǎn)評(píng)：本節(jié)兩例的求解，是借助因式分解和應(yīng)用配方法完成的，這兩種方法是代數(shù)式變形時(shí)經(jīng)常使用的方法，應(yīng)讓學(xué)生熟練掌握.
1.若f(x)=3x2-x+1，g(x)=2x2+x-1，則f(x)與g(x)的大小關(guān)系是( )
解析：f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0，∴f(x)>g(x).
2.已知x≠0，比較(x2+1)2與x4+x2+1的大小.
解：由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.
∵x≠0，得x2>0.從而(x2+1)2>x4+x2+1.
例2比較下列各組數(shù)的大小(a≠b).
(1)a+b2與21a+1b(a>0，b>0);
(2)a4-b4與4a3(a-b).
活動(dòng)：比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，常根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與大小順序的關(guān)系，歸結(jié)為判斷它們的差的符號(hào)來(lái)確定.本例可由學(xué)生獨(dú)立完成，但要點(diǎn)撥學(xué)生在最后的符號(hào)判斷說(shuō)理中，要理由充分，不可忽略這點(diǎn).
解：(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=a+b2-4ab2a+b=a-b22a+b.
∵a>0，b>0且a≠b，∴a+b>0，(a-b)2>0.∴a-b22a+b>0，即a+b2>21a+1b.
(2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)
=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]
=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2].
∵2a2+(a+b)2≥0(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=0時(shí)取等號(hào))，
又a≠b，∴(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0.∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2]
∴a4-b4
點(diǎn)評(píng)：比較大小常用作差法，一般步驟是作差——變形——判斷符號(hào).變形常用的手段是分解因式和配方，前者將“差”變?yōu)椤胺e”，后者將“差”化為一個(gè)或幾個(gè)完全平方式的“和”，也可兩者并用.
已知x>y，且y≠0，比較xy與1的大小.
活動(dòng)：要比較任意兩個(gè)數(shù)或式的大小關(guān)系，只需確定它們的差與0的大小關(guān)系.
∵x>y，∴x-y>0.
當(dāng)y
當(dāng)y>0時(shí)，x-yy>0，即xy-1>0.∴xy>1.
點(diǎn)評(píng)：當(dāng)字母y取不同范圍的值時(shí)，差xy-1的正負(fù)情況不同，所以需對(duì)y分類討論.
例3建筑設(shè)計(jì)規(guī)定，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積.但按采光標(biāo)準(zhǔn)，窗戶面積與地板面積的比值應(yīng)不小于10%，且這個(gè)比值越大，住宅的采光條件越好.試問(wèn)：同時(shí)增加相等的窗戶面積和地板面積，住宅的采光條件是變好了，還是變壞了?請(qǐng)說(shuō)明理由.
活動(dòng)：解題關(guān)鍵首先是把文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，然后比較前后比值的大小，采用作差法.
解：設(shè)住宅窗戶面積和地板面積分別為a、b，同時(shí)增加的面積為m，根據(jù)問(wèn)題的要求a
由于a+mb+m-ab=mb-abb+m>0，于是a+mb+m>ab.又ab≥10%，
因此a+mb+m>ab≥10%.
所以同時(shí)增加相等的窗戶面積和地板面積后，住宅的采光條件變好了.
點(diǎn)評(píng)：一般地，設(shè)a、b為正實(shí)數(shù)，且a0，則a+mb+m>ab.
已知a1，a2，…為各項(xiàng)都大于零的等比數(shù)列，公比q≠1，則( )
C.a1+a8=a4+a5 D.a1+a8與a4+a5大小不確定
解析：(a1+a8)-(a4+a5)=a1+a1q7-a1q3-a1q4
=a1[(1-q3)-q4(1-q3)]=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q)(1+q2).
∵{an}各項(xiàng)都大于零，∴q>0，即1+q>0.
又∵q≠1，∴(a1+a8)-(a4+a5)>0，即a1+a8>a4+a5.
1.下列不等式：①a2+3>2a;②a2+b2>2(a-b-1);③x2+y2>2xy.其中恒成立的不等式的個(gè)數(shù)為( )
2.比較2x2+5x+9與x2+5x+6的大小.
答案：
1.C解析：∵②a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0，
③x2+y2-2xy=(x-y)2≥0.
∴只有①恒成立.
2.解：因?yàn)?x2+5x+9-(x2+5x+6)=x2+3>0，
所以2x2+5x+9>x2+5x+6.
1.教師與學(xué)生共同完成本節(jié)課的小結(jié)，從實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)的回顧，到兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的比較方法;從例題的活動(dòng)探究點(diǎn)評(píng)，到緊跟著的變式訓(xùn)練，讓學(xué)生去繁就簡(jiǎn)，聯(lián)系舊知，將本節(jié)課所學(xué)納入已有的知識(shí)體系中.
2.教師畫(huà)龍點(diǎn)睛，點(diǎn)撥利用實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)對(duì)兩個(gè)實(shí)數(shù)大小比較時(shí)易錯(cuò)的地方.鼓勵(lì)學(xué)有余力的學(xué)生對(duì)節(jié)末的思考與討論在課后作進(jìn)一步的探究.
1.本節(jié)設(shè)計(jì)關(guān)注了教學(xué)方法的優(yōu)化.經(jīng)驗(yàn)告訴我們：課堂上應(yīng)根據(jù)具體情況，選擇、設(shè)計(jì)最能體現(xiàn)教學(xué)規(guī)律的教學(xué)過(guò)程，不宜長(zhǎng)期使用一種固定的教學(xué)方法，或原封不動(dòng)地照搬一種實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｊ?各種教學(xué)方法中，沒(méi)有一種能很好地適應(yīng)一切教學(xué)活動(dòng).也就是說(shuō)，世上沒(méi)有萬(wàn)能的教學(xué)方法.針對(duì)個(gè)性，靈活變化，因材施教才是成功的施教靈藥.
2.本節(jié)設(shè)計(jì)注重了難度控制.不等式內(nèi)容應(yīng)用面廣，可以說(shuō)與其他所有內(nèi)容都有交匯，歷來(lái)是高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn).作為本章開(kāi)始，可以適當(dāng)開(kāi)闊一些，算作拋磚引玉，讓學(xué)生有個(gè)自由探究聯(lián)想的平臺(tái)，但不宜過(guò)多向外拓展，以免對(duì)學(xué)生產(chǎn)生負(fù)面影響.
3.本節(jié)設(shè)計(jì)關(guān)注了學(xué)生思維能力的訓(xùn)練.訓(xùn)練學(xué)生的思維能力，提升思維的品質(zhì)，是數(shù)學(xué)教師直面的重要課題，也是中學(xué)數(shù)學(xué)教育的主線.采用一題多解有助于思維的發(fā)散性及靈活性，克服思維的僵化.變式訓(xùn)練教學(xué)又可以拓展學(xué)生思維視野的廣度，解題后的點(diǎn)撥反思有助于學(xué)生思維批判性品質(zhì)的提升.
1.比較(x-3)2與(x-2)(x-4)的大小.
2.試判斷下列各對(duì)整式的大?。?1)m2-2m+5和-2m+5;(2)a2-4a+3和-4a+1.
5.設(shè)a>0，b>0，且a≠b，試比較aabb與abba的大小.
∴(x-3)2>(x-2)(x-4).
=m2.
∵m2≥0，∴(m2-2m+5)-(-2m+5)≥0.
∴m2-2m+5≥-2m+5.
=a2+2.
∵a2≥0，∴a2+2≥2>0.
∴a2-4a+3>-4a+1.
=x24，
又∵x>0，∴x24>0.
∴(1+x2)2>(1+x)2.
由x>0，得1+x2>1+x.
=(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]
=-2xy(x-y).
∵x0，x-y
∴-2xy(x-y)>0.
∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).
5.解：∵aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b，且a≠b，
當(dāng)a>b>0時(shí)，ab>1，a-b>0，
則(ab)a-b>1，于是aabb>abba.
則(ab)a-b>1.
于是aabb>abb a.
綜上所述，對(duì)于不相等的正數(shù)a、b，都有aabb>abba.
基本不等式是初中數(shù)學(xué)中重要的一章內(nèi)容，也是高中數(shù)學(xué)和競(jìng)賽數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)?；静坏仁降膶W(xué)習(xí)不僅有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和解題能力，同時(shí)也能幫助他們提高邏輯思維能力。本文旨在探討“基本不等式”這一主題。
一、基本不等式的定義與性質(zhì)
基本不等式是說(shuō)：對(duì)于正實(shí)數(shù)x1，x2，…，xn，有
（x1+x2+…+xn）/n≥√（x1x2…xn），當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=…=xn時(shí)等號(hào)成立。
基本不等式的性質(zhì)有以下幾條：
（1）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，等號(hào)成立；
（2）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)所有數(shù)相等時(shí)等號(hào)成立；
（3）兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)，即(a+b)/2≥√(ab)，其中a,b均為正實(shí)數(shù)且a≠b；
（4）當(dāng)n≥3時(shí)，三個(gè)數(shù)的平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)，即(a+b+c)/3≥√(abc)，其中a,b,c均為正實(shí)數(shù)且a≠b≠c。
二、基本不等式的應(yīng)用
基本不等式作為一種重要的數(shù)學(xué)工具，可以應(yīng)用于眾多問(wèn)題之中。以下是基本不等式的一些常見(jiàn)應(yīng)用。
1. 求和式的最小值
例題1：已知-x1+x2+x3+x4+x5=-18，其中x1，x2，x3，x4，x5均為正數(shù)，并且x1+x2+x3+x4+x5≥5，則x1x2x3x4x5的最小值為多少？
解法：根據(jù)已知條件，設(shè)x1+x2+x3+x4+x5=5+m（其中m≥0），則有x1+x2+x3+x4+x5+m=5+2m。代入到基本不等式中可得：
(x1+x2+x3+x4+x5+m)/5≥√(x1x2x3x4x5)m/5≥√(x1x2x3x4x5)/5
移項(xiàng)得到x1x2x3x4x5≥1，則x1x2x3x4x5的最小值為1。
2. 比較函數(shù)大小
例題2：比較函數(shù)f(x)=√(a2+x2)+√(b2+(c-x)2)(a,b,c>0)在[0,c]上的最小和最大值。
解法：根據(jù)已知條件和基本不等式，將f(x)分解成兩個(gè)正數(shù)的平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的形式，即
f(x)=[√(a2+x2)+√(b2+(c-x)2)]/2+1/2[√(a2+x2)+√(b2+(c-x)2)]
≥√[(√(a2+x2)×√(b2+(c-x)2)]+1/2(2c)
=√(a2+b2+c2+ab-ac-bc)+c
當(dāng)x=c/3時(shí)等號(hào)成立，即f(x)的最小值為√(a2+b2+c2+ab-ac-bc)+c，最大值為√(a2+b2+c2+ab+ac+bc)+c。
3. 求極限
例題3：已知數(shù)列{a_n}(n≥1)的通項(xiàng)公式為a_n=(√n+1)/(n+1)，則求∑(n從1到∞)a_n的極限。
解法：根據(jù)基本不等式，有
a_1+a_2+…+a_n≥n(√(a_1a_2…a_n))^1/n
代入已知條件，可得：
a_1+a_2+…+a_n≥n[(√(1+1)×√(2+1)×…×√(n+1))/((1+1)×(2+1)×…×(n+1))]^(1/n)
= n[√(n+1)/2×1/3×…×1/(n+1)]^(1/n) =n[(n+1)/[2(n+1)]]^(1/n)
極限為1/2。
4. 求證不等式
例題4：已知a，b，c為正實(shí)數(shù)，且a+b+c=1，證明∑(a/(1-a))≥3(a2+b2+c2)/(ab+bc+ca)。
解法：將不等式化簡(jiǎn)，得：
∑(a/(1-a))≥3(a2+b2+c2)/(ab+bc+ca)
?(a/(1-a))+(b/(1-b))+(c/(1-c))≥3(a2+b2+c2)/(ab+bc+ca)
?(a/(1-a))+(b/(1-b))+(c/(1-c))≥3[(a+b+c)2-(ab+bc+ca)]/(ab+bc+ca)
由于a+b+c=1，有
(ab+bc+ca)≤a2+b2+c2,
(a/(1-a))+(b/(1-b))+(c/(1-c))≥(a+b+c)2/(a(1-a)+b(1-b)+c(1-c))≥3(a2+b2+c2)/(ab+bc+ca)
其中第一個(gè)不等式成立是因?yàn)楫?dāng)a=b=c=1/3時(shí)，等號(hào)成立；第二個(gè)不等式用到了基本不等式的形式。
綜上所述，基本不等式是數(shù)學(xué)中的重要概念，掌握了基本不等式的定義、性質(zhì)和應(yīng)用方法，將有助于提高人們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和解題能力。在日常生活和學(xué)習(xí)中，要重視基本不等式的學(xué)習(xí)和應(yīng)用，逐步提高自己的數(shù)學(xué)水平。
學(xué)生初步接觸了一點(diǎn)代數(shù)知識(shí)（如用字母表示定律，用符號(hào)表示數(shù)），是在學(xué)生學(xué)習(xí)了用字母表示數(shù)以后基礎(chǔ)上進(jìn)行學(xué)習(xí)。應(yīng)用方程是解決問(wèn)題的基礎(chǔ)，有關(guān)的幾個(gè)概念，教材只作描述不下定義。在教學(xué)設(shè)計(jì)中仍然把理念作為教學(xué)的重點(diǎn)，理解方程的意義，判斷“等式”和“方程”知道方程是一個(gè)“含有未知數(shù)的等式”，才有可能明確所謂解方程。
學(xué)生不夠活潑，學(xué)習(xí)積極性不是很高，學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不好。方程對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)還是比較陌生的，在他們頭腦中還沒(méi)有過(guò)方程這樣的表象，所以授新課就要從學(xué)生原有的`基礎(chǔ)開(kāi)始，因?yàn)樵谇懊鎸W(xué)習(xí)用字母表示數(shù)的這部分內(nèi)容時(shí)，有了基礎(chǔ)，我想在學(xué)習(xí)簡(jiǎn)易方程應(yīng)該沒(méi)什么大的問(wèn)題。
1、使學(xué)生初步理解和辨析“等式”“不等式”的意義。
2、會(huì)按要求用方程表示出數(shù)量關(guān)系，
3、培養(yǎng)學(xué)生的觀察、比較、分析能力。
教學(xué)重點(diǎn)： 用字母表示常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系，會(huì)用方程的意義去判斷一個(gè)式子是否是方程。
教師介紹天平各部分名稱。讓學(xué)生操作當(dāng)天平兩端托盤(pán)的物體的質(zhì)量相等時(shí)，天平就會(huì)平衡，指針指向中。根據(jù)這這個(gè)原理來(lái)稱物體的質(zhì)量。（讓學(xué)生操作，激發(fā)學(xué)生的興趣，借助實(shí)物演示的優(yōu)勢(shì)。初步感受平衡與不平衡的表象）
1、實(shí)物演示，引出方程：
（1）在天平稱出100克的左邊空杯，讓學(xué)生觀察是否平衡，感受1只空杯=100克。
（2）往空杯里倒入果汁，另一邊加100克法碼，問(wèn)學(xué)生發(fā)現(xiàn)了什么？ （讓學(xué)生感受天平慢慢傾斜，水是未知數(shù)）引出100+X＞200，往右加100克法碼， 問(wèn)：哪邊重些？（學(xué)生初步感受平衡和不平衡的表象） 問(wèn)：怎樣用式子表示？100+X＜300
（3）教學(xué)100+X=250 問(wèn)：如果是天平平衡怎么辦？（讓學(xué)生討論交流平衡的方案）把100克法碼換成50克的砝碼，這時(shí)會(huì)怎樣？（引導(dǎo)學(xué)生觀察這時(shí)天平出現(xiàn)平衡）， 問(wèn)：現(xiàn)在兩邊的質(zhì)量怎樣？現(xiàn)在水有多重知道嗎？如果用字母X表示怎樣用式子表示？得出：100+X=250
示題：100+X＜250100+X=2504X+50＞10040+40=80 X÷2=45X-12=27
請(qǐng)學(xué)生觀察合作交流分類：
（一）引出（1）兩邊不相等，叫做不等式。（2）兩邊相等叫做等式。
（2）含有未知數(shù)的等式100+X=250 X÷2=4 揭示：（2）這樣的含有未知數(shù)等式叫做方程（通過(guò)分類，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)方程意義的了解） 問(wèn)：方程的具備條件是什么？（感知必須是等式，而一定含有未知數(shù)）你能寫(xiě)出一些方程嗎？（同桌交流檢查）
（三）練習(xí)判斷那些是方程？那些不是方程？
6+2X=14103+X250÷2=1256+X＞251÷A=3X+Y=180 （讓學(xué)生加深對(duì)方程的意義的認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的判斷能力。）
教師：我們能夠判斷什么是方程了，方程和等式有很密切的關(guān)系，你能畫(huà)圖來(lái)表示他們的關(guān)系嗎？（小組合作討論交流）
方程 等式 （讓學(xué)生通過(guò)觀察、思考、分析、歸類，自主發(fā)現(xiàn)獲得對(duì)方程和等式的關(guān)系理解，同時(shí)初步滲透教學(xué)中的集合思想。）
基本不等式作為高中數(shù)學(xué)必修內(nèi)容之一，在學(xué)生學(xué)習(xí)中扮演著極為重要的角色。本篇文章將圍繞基本不等式，探討它的概念、性質(zhì)、證明方法及應(yīng)用，并展示基本不等式的魅力和實(shí)用性。
一、基本不等式的概念
基本不等式是指對(duì)于任意正實(shí)數(shù) $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 和任意正整數(shù) $n$，有以下不等式成立：
$\dfrac{a_1}{n}+\dfrac{a_2}{n}+\cdots+\dfrac{a_n}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$
這個(gè)不等式也被稱為均值不等式或AM-GM不等式。其中，$\dfrac{a_1}{n}+\dfrac{a_2}{n}+\cdots+\dfrac{a_n}{n}$ 表示這些數(shù)的算術(shù)平均值，而 $\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$ 表示這些數(shù)的幾何平均值。均值不等式的意義在于，算術(shù)平均數(shù)大于等于幾何平均數(shù)。
二、基本不等式的性質(zhì)
基本不等式有以下幾個(gè)性質(zhì)：
1. 當(dāng)且僅當(dāng) $a_1=a_2=\cdots=a_n$ 時(shí)等號(hào)成立。
2. 如果 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 中至少有一個(gè)數(shù)為 $0$，則 $\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}=0$，這時(shí)等號(hào)成立。
3. 基本不等式可以擴(kuò)展到實(shí)數(shù)范圍內(nèi)。
4. 均值不等式不等式對(duì)于大于 $0$ 的實(shí)數(shù)都成立。
三、基本不等式的證明方法
基本不等式有多種證明方法，下面列舉其中兩種：
方法一：數(shù)學(xué)歸納法
假設(shè)基本不等式對(duì)于 $n=k$ 時(shí)成立，即對(duì)于 $k$ 個(gè)正實(shí)數(shù) $a_1,a_2,\cdots,a_k$，有以下不等式成立：
$\dfrac{a_1}{k}+\dfrac{a_2}{k}+\cdots+\dfrac{a_k}{k}\geq\sqrt[k]{a_1a_2\cdots a_k}$
現(xiàn)證明它對(duì)于 $n=k+1$ 時(shí)也成立。將 $a_{k+1}$ 插入到原來(lái)的不等式中，得到：
$\dfrac{a_1}{k+1}+\dfrac{a_2}{k+1}+\cdots+\dfrac{a_k}{k+1}+\dfrac{a_{k+1}}{k+1}\geq\sqrt[k+1]{a_1a_2\cdots a_k a_{k+1}}$
由于：
$\dfrac{a_1}{k+1}+\dfrac{a_2}{k+1}+\cdots+\dfrac{a_k}{k+1}\geq\sqrt[k]{a_1a_2\cdots a_k}$
因此，我們只需證明以下不等式：
$\dfrac{(k+1)\sqrt[k]{a_1a_2\cdots a_k}\cdot a_{k+1}}{k+1}\geq\sqrt[k+1]{a_1a_2\cdots a_k a_{k+1}}$
經(jīng)過(guò)變形化簡(jiǎn)，可以得到：
$\sqrt[k]{a_1a_2\cdots a_k} \geq \sqrt[k+1]{a_1a_2\cdots a_k a_{k+1}}$
顯然，這是成立的。
因此，按照歸納法的證明方式，基本不等式對(duì)于所有的正整數(shù) $n$ 都成立。
方法二：對(duì)數(shù)函數(shù)的應(yīng)用
對(duì)于 $a_1,a_2,\cdots,a_n$，我們可以定義函數(shù)：
$f(x)=\ln{x}$
顯然，函數(shù) $f(x)$ 是連續(xù)的、單調(diào)遞增的。根據(jù)式子：
$\dfrac{a_1}{n}+\dfrac{a_2}{n}+\cdots+\dfrac{a_n}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$
可以得到：
$\ln\left(\dfrac{a_1}{n}\right)+\ln\left(\dfrac{a_2}{n}\right)+\cdots+\ln\left(\dfrac{a_n}{n}\right)\geq\dfrac{1}{n} (\ln a_1+\ln a_2+\cdots+\ln a_n)$
即：
$\ln\left(\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\right)\leq\dfrac{\ln a_1+\ln a_2+\cdots+\ln a_n}{n}$
對(duì)于左邊的式子，有：
$\ln\left(\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\right)=\dfrac{1}{n}\ln(a_1a_2\cdots a_n)$
對(duì)于右邊的式子，有：
$\dfrac{\ln a_1+\ln a_2+\cdots+\ln a_n}{n}=\ln\left(\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\right)$
因此，我們可以得到：
$\ln(a_1a_2\cdots a_n)\geq n\ln\left(\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\right)$
即：
$a_1a_2\cdots a_n\geq\left(\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\right)^n$
這正是均值不等式的形式。因此，基本不等式得證。
四、基本不等式的應(yīng)用
基本不等式在數(shù)學(xué)和物理學(xué)中有廣泛的應(yīng)用。下面介紹幾個(gè)常見(jiàn)的應(yīng)用場(chǎng)景：
1. 最小值求解
如果有 $n$ 個(gè)正實(shí)數(shù) $a_1,a_2,\cdots,a_n$，它們的和為 $k$，求它們的積的最大值，即：
$\max(a_1a_2\cdots a_n)$
根據(jù)基本不等式，有：
$\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$
因此，可以得到：
$\dfrac{k}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$
兩邊同時(shí)取冪，可以得到：
$\dfrac{k^n}{n^n}\geq a_1a_2\cdots a_n$
即：
$\max(a_1a_2\cdots a_n)=\dfrac{k^n}{n^n}$
2. 凸函數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題
如果 $f(x)$ 是一個(gè)凸函數(shù)，$a_1,a_2,\cdots,a_n$ 是正實(shí)數(shù)，$b_1,b_2,\cdots,b_n$ 是任意實(shí)數(shù)且 $\sum_{i=1}^n b_i=1$，則有：
$f(b_1a_1+b_2a_2+\cdots+b_na_n)\leq b_1f(a_1)+b_2f(a_2)+\cdots+b_nf(a_n)$
這是凸函數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題中常用的基本不等式形式。它可以通過(guò)Jensen不等式或基本不等式證明。
3. 三角形求證
如果我們可以用 $a,b,c$ 表示一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，則有：
$\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}\leq\dfrac{(a+b+c)^2}{4\sqrt{3}}$
這個(gè)不等式在三角形求證中也被廣泛應(yīng)用。
五、結(jié)語(yǔ)
基本不等式是高中數(shù)學(xué)必修內(nèi)容之一，但其實(shí)它的應(yīng)用范圍遠(yuǎn)不止于此。在實(shí)際問(wèn)題中，基本不等式常常能給我們提供有效的解決方案。通過(guò)本文的介紹，希望讀者能夠更加深入地理解基本不等式的概念、性質(zhì)、證明方法及應(yīng)用，并能在實(shí)際問(wèn)題中靈活運(yùn)用。
關(guān)于基本不等式的主題范文：
基本不等式是數(shù)學(xué)中非常重要的一道課題，所以我們需要從以下幾個(gè)方面來(lái)對(duì)基本不等式進(jìn)行介紹。
一、基本不等式是什么
基本不等式是指數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要定理，它表述的是任意正整數(shù)n及n個(gè)正數(shù)a1，a2，…，an的積與它們的和之間的關(guān)系。也就是說(shuō)，對(duì)于任意正整數(shù)n和n個(gè)正數(shù)a1，a2，…，an，有以下不等式成立：
（a1+a2+…+an）/n ≥ （a1×a2×…×an）1/n
其中，等式成立當(dāng)且僅當(dāng)a1 = a2 = … = an。
二、基本不等式的證明
下面我們來(lái)看一下基本不等式的證明過(guò)程。
首先，如果我們令A(yù)i = nai和G = (a1 × a2 × … × an)1/n，則我們可以將原不等式轉(zhuǎn)化為：
(a1+a2+…+an)/n ≥ G
接下來(lái)，我們來(lái)看一下如果證明G ≤ (a1+a2+…+an)/n，那么我們就可以證明基本不等式，因?yàn)椴坏仁骄哂袑?duì)稱性，即如果G ≤ (a1+a2+…+an)/n，則(a1+a2+…+an)/n ≥ G也成立。
接下來(lái)，我們證明G ≤ (a1+a2+…+an)/n，即：
(a1+a2+…+an)/n ≥ (a1 × a2 × … × an)1/n
將不等式右邊兩邊平方，得到：
(a1+a2+…+an)/n ≥ (a1 × a2 × … × an)2/n
這時(shí)，我們來(lái)觀察右邊的式子，將式子中的每一項(xiàng)都乘以(n-1)，得到：
(a1 × (n-1) + a2 × (n-1) + … + an × (n-1)) / n ≥ (a1 × a2 × … × an)2/n
繼續(xù)進(jìn)行簡(jiǎn)化，得到：
[(a1 × (n-1)) + (a2 × (n-1)) + … + (an × (n-1))] / n ≥ (n-1) × a1 × a2 × … × an / n
左邊乘以1/n，右邊除以(n-1)，得到：
(a1 + a2 + … + an) / n ≥ (a1 × a2 × … × an)1/n
這樣我們就完成了基本不等式的證明。
三、基本不等式在實(shí)際中的應(yīng)用
基本不等式在實(shí)際中的應(yīng)用非常廣泛，下面我們來(lái)看一下其中的幾個(gè)例子。
1. 求平均數(shù)
如果我們已知n個(gè)正數(shù)的積，需要求它們的平均數(shù)，那么根據(jù)基本不等式，我們可以得到：
(a1 + a2 + … + an) / n ≥ (a1 × a2 × … × an)1/n
等式兩邊都乘以n-1，得到：
a1 + a2 + … + an ≥ (n-1) × (a1 × a2 × … × an)1/n
這樣我們就可以求得平均數(shù)：
(a1 + a2 + … + an) / n ≥ (n-1) × (a1 × a2 × … × an)1/n / n
2. 求數(shù)列中n個(gè)數(shù)的積的最大值
假設(shè)我們需要從數(shù)列{a1, a2, …, an}中選取n個(gè)數(shù)，求它們的積的最大值。根據(jù)基本不等式，我們有：
(a1 + a2 + … + an) / n ≥ (a1 × a2 × … × an)1/n
因?yàn)槲覀冃枰蠓e的最大值，所以當(dāng)?shù)仁阶筮叺暮颓『玫扔趎個(gè)數(shù)的積時(shí)，這個(gè)積才能取到最大值。因此，我們可以得到：
a1 = a2 = … = an
這樣，我們就得到了求數(shù)列中n個(gè)數(shù)的積的最大值的方法。
三、結(jié)論
通過(guò)對(duì)基本不等式的介紹，我們可以發(fā)現(xiàn)它不僅僅是一道看似簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)題目，而是一個(gè)非常重要的定理，有著廣泛的應(yīng)用價(jià)值。希望大家能夠在今后的學(xué)習(xí)中更加重視基本不等式，并能夠深刻理解它的實(shí)際應(yīng)用。
基本不等式是高中數(shù)學(xué)中重要的一部分，也是初學(xué)者比較難掌握的一個(gè)概念。通過(guò)學(xué)習(xí)基本不等式，可以幫助學(xué)生理解不等式的基本概念、性質(zhì)和運(yùn)算。同時(shí)，對(duì)于高中數(shù)學(xué)，基本不等式還有很多相關(guān)的題型需要掌握，比如極值問(wèn)題、夾逼定理等。本文將從基本不等式的定義開(kāi)始，探討其相關(guān)概念、性質(zhì)和應(yīng)用。
一、基本不等式的定義
基本不等式是指對(duì)于任意正實(shí)數(shù)a、b，有以下不等式成立：
（a + b）2 ≥ 4ab
這個(gè)不等式也可以寫(xiě)成：
a2 + b2 ≥ 2ab
這個(gè)不等式的含義是：對(duì)于任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)a、b，它們的平均數(shù)一定大于等于它們的幾何平均數(shù)。
二、基本不等式的證明
對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y，可以用(x-y)2≥0來(lái)證明基本不等式：
(x-y)2≥0
x2-2xy+y2≥0
x2+y2≥2xy
將x換成a、y換成b，即可得到基本不等式。
三、基本不等式的相關(guān)概念
1. 等式條件：
當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等式成立。
2. 平均數(shù)與幾何平均數(shù)：
平均數(shù)指的是兩個(gè)數(shù)的和的一半，即(a+b)/2；幾何平均數(shù)指的是兩個(gè)數(shù)的積的二分之一，即√(ab)。由于基本不等式的成立，可以得出平均數(shù)大于等于幾何平均數(shù)的結(jié)論。
3. 關(guān)于兩個(gè)數(shù)之和與兩個(gè)數(shù)的比值的關(guān)系：
從基本不等式得到如下兩個(gè)等式：
(a+b)2=4ab+(a-b)2；ab≥(a+b)/2
以上兩個(gè)式子給出了兩個(gè)關(guān)于兩個(gè)數(shù)之和與兩個(gè)數(shù)的比值的關(guān)系。
四、基本不等式的性質(zhì)
1. 交換律和結(jié)合律：基本不等式滿足交換律和結(jié)合律。
2. 反比例函數(shù)：若f(x)=1/x，x>0，則f(a)+f(b)≤2f((a+b)/2)對(duì)于a,b>0成立。
3. 帶約束的基本不等式：若a,b>0，且a+b=k，則(a+b)/2≥√(ab)，即k/2≥√(ab)。
五、基本不等式的應(yīng)用
1. 求證夾逼定理：如果a1≤b1≤c1，且a2≤b2≤c2，則(a1a2+b1b2+c1c2)/3≥(a1b2+b1c2+c1a2)/3≥√(a1b1c1a2b2c2)。
2. 判斷一個(gè)二次函數(shù)的最大值或最小值：由于二次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為一次函數(shù)，可以通過(guò)求導(dǎo)得到函數(shù)的極值。而基本不等式可以用于判斷二次函數(shù)的極值點(diǎn)是否合理，即是否在定義域內(nèi)。
3. 算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)之間的關(guān)系：通過(guò)基本不等式可以證明，當(dāng)兩個(gè)數(shù)的和固定時(shí)，它們的平均數(shù)越大，它們的幾何平均數(shù)就越小。
總的來(lái)說(shuō)，基本不等式是高中數(shù)學(xué)不可缺少的一部分，不僅在考試中占有重要地位，而且還具有很重要的理論意義。希望本文對(duì)初學(xué)者掌握基本不等式有所幫助。
教學(xué)目標(biāo)：
1.一元一次不等式與一次函數(shù)的關(guān)系.
2.會(huì)根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式，畫(huà)出函數(shù)圖象，并利用不等關(guān)系進(jìn)行比較.
1.通過(guò)一元一次不等式與一次函數(shù)的圖象之間的結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合意識(shí).
2.訓(xùn)練大家能利用數(shù)學(xué)知識(shí)去解決實(shí)際問(wèn)題的能力.
體驗(yàn)數(shù)、圖形是有效地描述現(xiàn)實(shí)世界的重要手段，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)是解決問(wèn)題和進(jìn)行交流的重要工具，了解數(shù)學(xué)對(duì)促進(jìn)社會(huì)進(jìn)步和發(fā)展人類理性精神的作用.
自己根據(jù)題意列函數(shù)關(guān)系式，并能把函數(shù)關(guān)系式與一元一次不等式聯(lián)系起來(lái)作答.
1.張大爺買了一個(gè)手機(jī)，想辦理一張電話卡，開(kāi)米廣場(chǎng)移動(dòng)通訊公司業(yè)務(wù)員對(duì)張大爺介紹說(shuō)：移動(dòng)通訊公司開(kāi)設(shè)了兩種有關(guān)神州行的通訊業(yè)務(wù)：甲類使用者先繳15元基礎(chǔ)費(fèi)，然后每通話1分鐘付話費(fèi)0.2元；乙類不交月基礎(chǔ)費(fèi)，每通話1分鐘付話費(fèi)0.3元。你能幫幫張大爺選擇一種電話卡嗎？
2.展示學(xué)習(xí)目標(biāo)：
（1）、理解一次函數(shù)圖象與一元一次不等式的關(guān)系。
（2）、能夠用圖像法解一元一次不等式。
（3）、理解兩種方法的關(guān)系，會(huì)選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉淮尾坏仁健?/p>
積極思考，嘗試回答問(wèn)題，導(dǎo)出本節(jié)課題。
閱讀學(xué)習(xí)目標(biāo)，明確探究方向。
問(wèn)題1：結(jié)合函數(shù)y=2x-5的圖象，觀察圖象回答下列問(wèn)題：
問(wèn)題2：如果y=－2x－5，那么當(dāng)x取何值時(shí)，y＞0?當(dāng)x取何值時(shí)，y
巡回每個(gè)小組之間，鼓勵(lì)學(xué)生用不同方法進(jìn)行嘗試，尋找最佳方案。答疑展示中存在的問(wèn)題。
問(wèn)題3.兄弟倆賽跑，哥哥先讓弟弟跑9m，然后自己才開(kāi)始跑，已知弟弟每秒跑3m，哥哥每秒跑4m，列出函數(shù)關(guān)系式，畫(huà)出函數(shù)圖象，觀察圖象回答下列問(wèn)題：
（1）何時(shí)哥哥分追上弟弟？
（2）何時(shí)弟弟跑在哥哥前面？
（3）何時(shí)哥哥跑在弟弟前面？
（4）誰(shuí)先跑過(guò)20m？誰(shuí)先跑過(guò)100m？
你是怎樣求解的？與同伴交流。YJS21.Com
問(wèn)題4：已知y1=－x+3，y2=3x－4,當(dāng)x取何值時(shí)，y1＞y2？你是怎樣做的？與同伴交流.
讓學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合的魅力所在。理解函數(shù)和不等式的聯(lián)系。
移動(dòng)通訊公司開(kāi)設(shè)了兩種長(zhǎng)途通訊業(yè)務(wù)：全球通使用者先繳50元基礎(chǔ)費(fèi)，然后每通話1分鐘付話費(fèi)0.4元；神州行不交月基礎(chǔ)費(fèi)，每通話1分鐘付話費(fèi)0.6元。若設(shè)一個(gè)月內(nèi)通話x分鐘，兩種通訊方式的費(fèi)用分別為y1元和y2元，那么
（1）寫(xiě)出y1、y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）在同一直角坐標(biāo)系中畫(huà)出兩函數(shù)的圖象；
（3）求出或?qū)で蟪鲆粋€(gè)月內(nèi)通話多少分鐘，兩種通訊方式費(fèi)用相同；
（4）若某人預(yù)計(jì)一個(gè)月內(nèi)使用話費(fèi)200元，應(yīng)選擇哪種通訊方式較合算？
在共同探究的過(guò)程中加強(qiáng)理解，體會(huì)數(shù)學(xué)在生活中的重大應(yīng)用，進(jìn)行能力提升。
積極完成導(dǎo)學(xué)案上的檢測(cè)內(nèi)容，相互點(diǎn)評(píng)。
學(xué)生回顧總結(jié)學(xué)習(xí)收獲，交流學(xué)習(xí)心得。
教材P51.習(xí)題2.6知識(shí)技能1；問(wèn)題解決2,3.
一、學(xué)習(xí)與探究：
1.一元一次不等式與一次函數(shù)之間的關(guān)系；
2.做一做（根據(jù)函數(shù)圖象求不等式）；
四、課后作業(yè)：
相信《不等式的課件收藏》一文能讓您有很多收獲！“幼兒教師教育網(wǎng)”是您了解幼師資料，工作計(jì)劃的必備網(wǎng)站，請(qǐng)您收藏yjs21.com。同時(shí)，編輯還為您精選準(zhǔn)備了不等式課件專題，希望您能喜歡！
3. 基本不等式可以擴(kuò)展到實(shí)數(shù)范圍內(nèi)。
4. 均值不等式不等式對(duì)于大于 id="article-content1">
不等式課件。
經(jīng)驗(yàn)時(shí)常告訴我們，做事要提前做好準(zhǔn)備。在幼兒教育工作中，我們都有會(huì)準(zhǔn)備一寫(xiě)需要用到資料。資料包含著人類在社會(huì)實(shí)踐，科學(xué)實(shí)驗(yàn)和研究過(guò)程中所匯集的經(jīng)驗(yàn)。有了資料的協(xié)助我們的工作會(huì)變得更加順利！所以，關(guān)于幼師資料你究竟了解多少呢？小編現(xiàn)在推薦你閱讀一下不等式的課件收藏，相信能對(duì)大家有所幫助。
基本不等式是初中數(shù)學(xué)比較重要的一個(gè)概念，對(duì)于求解不等式問(wèn)題有非常大的作用。在教學(xué)中，老師可以通過(guò)多學(xué)示例，呈現(xiàn)形式多樣，讓學(xué)生深刻理解基本不等式的本質(zhì)和應(yīng)用，使學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題中靈活掌握相關(guān)知識(shí)。本文將結(jié)合基本不等式的定義、性質(zhì)和應(yīng)用，探討其相關(guān)主題。
一、基本不等式的定義和性質(zhì)
基本不等式是在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)常用到的一種數(shù)學(xué)方法，它可以有效地幫助我們解決很多實(shí)際問(wèn)題。在數(shù)學(xué)中，一般把基本不等式定義為，對(duì)于任何正整數(shù)a和b，有下列不等關(guān)系：
(a+b)^2>=4ab
這個(gè)不等式在初中數(shù)學(xué)中非常重要，我們還可以把它解釋成下面的形式：對(duì)于任何兩個(gè)正數(shù)a和b，有下列不等式：
a/b+b/a>=2
這個(gè)式子實(shí)際上就是基本不等式的一個(gè)特例，也說(shuō)明了基本不等式中的a和b可以指任何兩個(gè)正數(shù)。
基本不等式的一些性質(zhì)：
1、兩邊同時(shí)乘以正數(shù)或是開(kāi)根號(hào)（即不改變不等關(guān)系的實(shí)質(zhì)）是允許的。
2、當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立。
3、當(dāng)a不等于b時(shí)，不等號(hào)成立。
這些性質(zhì)是我們用基本不等式時(shí)需要注意的幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)。如果我們了解了這些基本的性質(zhì)，就可以更加靈活地運(yùn)用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題。
二、基本不等式的應(yīng)用
基本不等式的應(yīng)用非常廣泛，例如可以用它來(lái)解決以下問(wèn)題：
1、證明
√(a^2+b^2)>=a/√2+b/√2
這個(gè)問(wèn)題就可以使用基本不等式來(lái)證明，首先得到(a+b)^2>=2(a^2+b^2)，將式子化簡(jiǎn)可得√(a^2+b^2)>=a/√2+b/√2，這就是想要證明的結(jié)論。
2、解決一些最值問(wèn)題。例如：如何使a+b的值最小？這個(gè)問(wèn)題可以用基本不等式來(lái)解決，我們?cè)O(shè)a+b=k，那么a+b的平方就是k^2，代入基本不等式中可得出：
k^2>=4ab，即（a+b）^2>=4ab
這個(gè)不等式右邊是4ab，左邊則是（a+b）^2，因此a+b的值取得最小值時(shí)，應(yīng)當(dāng)使（a+b）^2=4ab，所以a=b，因此a+b的最小值就是2a或是2b。
3、證明一些平方和不等式的結(jié)論。例如：
(a/b)^2+(b/a)^2>=2
這個(gè)問(wèn)題可以通過(guò)基本不等式進(jìn)行證明，首先我們?cè)O(shè)x=a/b，y=b/a，很顯然有x+y>=2，然后通過(guò)簡(jiǎn)單的運(yùn)算可得：x^2+y^2>=2，也即(a/b)^2+(b/a)^2>=2。
綜上所述，基本不等式作為初中數(shù)學(xué)比較重要的一部分，其定義、性質(zhì)和應(yīng)用都與實(shí)際問(wèn)題密切相關(guān)。在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，我們可以通過(guò)多學(xué)示例，靈活運(yùn)用基本不等式的性質(zhì)和應(yīng)用，進(jìn)而更好地理解其本質(zhì)和應(yīng)用，從而使初中數(shù)學(xué)知識(shí)更加牢固。
(1)運(yùn)用問(wèn)題的形式幫助學(xué)生整理全章的內(nèi)容,建立知識(shí)體系。
(2)在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上,鼓勵(lì)學(xué)生開(kāi)展小組和全班的交流,使學(xué)生通過(guò)交流和反思加強(qiáng)對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解和掌握,并逐步建立知識(shí)體系。
通過(guò)問(wèn)題情境的設(shè)立，使學(xué)生再現(xiàn)已學(xué)知識(shí),鍛煉抽象、概括的能力。解決問(wèn)題
通過(guò)具體問(wèn)題來(lái)體會(huì)知識(shí)間的聯(lián)系和學(xué)習(xí)本章所采用的主要思想方法。
通過(guò)獨(dú)立思考獲取學(xué)習(xí)的成功體驗(yàn)，通過(guò)小組交流培養(yǎng)合作交流意識(shí),通過(guò)大膽發(fā)表自己的觀點(diǎn),增強(qiáng)自信心。
重點(diǎn):對(duì)一元一次不等式基本性質(zhì)的掌握;理解不等式(組)解及解集的含義，會(huì)解簡(jiǎn)單的一元一不等式(組),并會(huì)在數(shù)軸上表示其解集;會(huì)解相關(guān)的問(wèn)題,建立起相關(guān)的知識(shí)體系。
不等式有哪些基本性質(zhì)?它與等式的性質(zhì)有什么相同和不同之處?
解一元一次不等式和解一元一次方程有什么異同?引導(dǎo)學(xué)生回憶解一元一次方程的步驟.比較兩者之間的不同學(xué)生舉例回答.
舉例說(shuō)明在數(shù)軸上如何表示一元一不等式(組)的解集分組競(jìng)賽.看哪一組出的題型好,全班一起解答.
舉例說(shuō)明不等式、函數(shù)、方程的聯(lián)系.引導(dǎo)學(xué)生回憶函數(shù)的有關(guān)內(nèi)容.舉例說(shuō)明三者之間的關(guān)系.小組討論,合作回答.函數(shù)性質(zhì)、圖象
小組交流、討論不等式和函數(shù)、函數(shù)和方程等之間的關(guān)系,分別舉例說(shuō)明.
布置作業(yè)開(kāi)動(dòng)腦筋,勇于表達(dá)自己的'想法.
(1)在運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決具體問(wèn)題的同時(shí),加深對(duì)全章知識(shí)體系理解。
(2)發(fā)展學(xué)生抽象能力、推理能力和有條理表達(dá)自己想法的能力.
教學(xué)思考：
體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值,并學(xué)會(huì)在解決問(wèn)題過(guò)程中與他人合作.解決問(wèn)題。在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上,積極參與問(wèn)題的討論,從交流中學(xué)習(xí),并敢于發(fā)表自己的觀點(diǎn)和主張,同時(shí)尊重與理解別人的觀點(diǎn)。
情感態(tài)度與價(jià)值觀:
進(jìn)一步嘗試學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的成功體驗(yàn)，認(rèn)識(shí)到不等式是解決實(shí)際問(wèn)題的重要工具,逐漸形成對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)積極參與的意識(shí)。
重點(diǎn):
對(duì)一元一次不等式基本性質(zhì)的掌握;理解不等式(組)解及解集的含義，會(huì)解簡(jiǎn)單的一元一次不等式(組),并會(huì)在數(shù)軸上表示其解集;會(huì)解相關(guān)的問(wèn)題,建立起相關(guān)的知識(shí)體系。
↓ ↓
安排一組練習(xí)讓學(xué)生充分充分討論解決.
(1)當(dāng)X取何值時(shí),Y>0(2)當(dāng)X取何值時(shí),Y=0(3)當(dāng)X取何值時(shí),Y
3.某工人制造機(jī)器零件,如果每天比預(yù)定多做一件，那么8天所做零件超過(guò)100件;如果每天比預(yù)定少做一件，那么8天所做零件不到90件，這個(gè)工人預(yù)定每天做幾個(gè)零件?
一元二次不等式是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要概念，是指一個(gè)帶有二次項(xiàng)的不等式。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)常需要利用二次不等式來(lái)解決問(wèn)題，掌握這個(gè)概念對(duì)于深入了解高中數(shù)學(xué)知識(shí)是至關(guān)重要的。因此，學(xué)習(xí)一元二次不等式是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一大難點(diǎn)，需要認(rèn)真對(duì)待。
一元二次不等式的概念和性質(zhì)
一元二次不等式可以寫(xiě)成如下形式：
ax2 + bx + c > 0
或
ax2 + bx + c
其中a、b、c都是實(shí)數(shù)，a ≠ 0。
我們可以通過(guò)一些方法求出不等式的根，比如將其轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式。將不等式變形，我們可以得到如下形式：
ax2 + bx
或
ax2 + bx > – c
然后，我們?cè)儆们笠辉畏匠谈姆椒ㄇ蟪霾坏仁降慕?，就能夠得到它的解集?/p>
對(duì)于不等式ax2 + bx + c > 0，其圖像為二次函數(shù)的上凸形，即開(kāi)口向上的拋物線，而對(duì)于不等式ax2 + bx + c
一元二次不等式的解法
解一元二次不等式的方法有很多，下面我們介紹其中的兩種：
方法一：化為標(biāo)準(zhǔn)形式，再利用求一元二次方程根的方法求解。
方法二：利用符號(hào)法將不等式中的式子化簡(jiǎn)，得到一系列不等式，然后將這些不等式求解即可。
實(shí)際上，解一元二次不等式還有很多其他的方法，比如絕對(duì)值法、圖形法等等。在解題時(shí)，我們要根據(jù)具體的情況選擇最合適的方法來(lái)求解。
一元二次不等式的應(yīng)用
一元二次不等式廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)以及生活中的各個(gè)領(lǐng)域，比如物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會(huì)學(xué)等。下面我們以生活中的一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明一元二次不等式的應(yīng)用。
假設(shè)你要購(gòu)買一臺(tái)電視機(jī)，商家提供了兩種方案供你選擇。方案一：首付1500元，每月還款100元；方案二：首付3500元，每月還款80元。那么，你需要比較兩個(gè)方案的總花費(fèi)，來(lái)決定哪個(gè)方案更加劃算。
我們假設(shè)電視機(jī)的總價(jià)格為x元。那么，方案一的總花費(fèi)為：
C1 = 1500 + 100×n
而方案二的總花費(fèi)為：
C2 = 3500 + 80×n
這里n為分期的期數(shù)，即你需要還款的總期數(shù)。為了比較兩種方案的劃算程度，我們可以列出一個(gè)一元二次不等式：
1500 + 100×n
經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)，我們可以得到：
20n > 2000
n > 100
因此，當(dāng)還款期數(shù)大于100期時(shí)，方案一比方案二更加劃算。這個(gè)例子很好地展示了一元二次不等式的應(yīng)用，它能夠幫助我們?cè)谌粘Ｉ钪凶龀雒髦堑倪x擇，也能夠更加深入地理解數(shù)學(xué)知識(shí)。
總結(jié)
一元二次不等式是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要概念，它在數(shù)學(xué)中和生活中都有廣泛的應(yīng)用。學(xué)習(xí)一元二次不等式需要我們認(rèn)真對(duì)待，掌握其概念、性質(zhì)和解法，同時(shí)也需要我們理解其實(shí)際應(yīng)用，這樣才能夠更好地掌握高中數(shù)學(xué)的知識(shí)。
本節(jié)課的研究是對(duì)初中不等式學(xué)習(xí)的延續(xù)和拓展，也是實(shí)數(shù)理論的進(jìn)一步發(fā)展.在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程中，將讓學(xué)生回憶實(shí)數(shù)的基本理論，并能用實(shí)數(shù)的基本理論來(lái)比較兩個(gè)代數(shù)式的大小.
通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生從一系列的具體問(wèn)題情境中，感受到在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，并充分認(rèn)識(shí)不等關(guān)系的存在與應(yīng)用.對(duì)不等關(guān)系的相關(guān)素材，用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)進(jìn)行觀察、歸納、抽象，完成量與量的比較過(guò)程.即能用不等式或不等式組把這些不等關(guān)系表示出來(lái).
在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程中還安排了一些簡(jiǎn)單的、學(xué)生易于處理的問(wèn)題，其用意在于讓學(xué)生注意對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的應(yīng)用，同時(shí)也能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并由衷地產(chǎn)生用數(shù)學(xué)工具研究不等關(guān)系的愿望.根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，應(yīng)用再現(xiàn)、回憶得出實(shí)數(shù)的基本理論，并能用實(shí)數(shù)的基本理論來(lái)比較兩個(gè)代數(shù)式的大小.
在本節(jié)教學(xué)中，教師可讓學(xué)生閱讀書(shū)中實(shí)例，充分利用數(shù)軸這一簡(jiǎn)單的數(shù)形結(jié)合工具，直接用實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，從數(shù)與形兩方面建立實(shí)數(shù)的順序關(guān)系.要在溫故知新的基礎(chǔ)上提高學(xué)生對(duì)不等式的認(rèn)識(shí).
1.在學(xué)生了解不等式產(chǎn)生的實(shí)際背景下，利用數(shù)軸回憶實(shí)數(shù)的基本理論，理解實(shí)數(shù)的大小關(guān)系，理解實(shí)數(shù)大小與數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置間的關(guān)系.
2.會(huì)用作差法判斷實(shí)數(shù)與代數(shù)式的大小，會(huì)用配方法判斷二次式的大小和范圍.
3.通過(guò)溫故知新，提高學(xué)生對(duì)不等式的認(rèn)識(shí)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，體會(huì)數(shù)學(xué)的奧秘與數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)美.
教學(xué)重點(diǎn)：比較實(shí)數(shù)與代數(shù)式的大小關(guān)系，判斷二次式的大小和范圍.
思路1.(章頭圖導(dǎo)入)通過(guò)多媒體展示衛(wèi)星、飛船和一幅山巒重疊起伏的壯觀畫(huà)面，它將學(xué)生帶入“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中，使學(xué)生在具體情境中感受到不等關(guān)系在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中是大量存在的，由此產(chǎn)生用數(shù)學(xué)研究不等關(guān)系的強(qiáng)烈愿望，自然地引入新課.
思路2.(情境導(dǎo)入)列舉出學(xué)生身體的高矮、身體的輕重、距離學(xué)校路程的遠(yuǎn)近、百米賽跑的時(shí)間、數(shù)學(xué)成績(jī)的多少等現(xiàn)實(shí)生活中學(xué)生身邊熟悉的事例，描述出某種客觀事物在數(shù)量上存在的不等關(guān)系.這些不等關(guān)系怎樣在數(shù)學(xué)上表示出來(lái)呢?讓學(xué)生自由地展開(kāi)聯(lián)想，教師組織不等關(guān)系的相關(guān)素材，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)進(jìn)行觀察、歸納，使學(xué)生在具體情境中感受到不等關(guān)系與相等關(guān)系一樣，在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中大量存在著.這樣學(xué)生會(huì)由衷地產(chǎn)生用數(shù)學(xué)工具研究不等關(guān)系的愿望，從而進(jìn)入進(jìn)一步的探究學(xué)習(xí)，由此引入新課.
1回憶初中學(xué)過(guò)的不等式，讓學(xué)生說(shuō)出“不等關(guān)系”與“不等式”的異同.怎樣利用不等式研究及表示不等關(guān)系?
2在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中，既有相等關(guān)系，又存在著大量的不等關(guān)系.你能舉出一些實(shí)際例子嗎?
3數(shù)軸上的任意兩點(diǎn)與對(duì)應(yīng)的兩實(shí)數(shù)具有怎樣的關(guān)系?
4任意兩個(gè)實(shí)數(shù)具有怎樣的關(guān)系?用邏輯用語(yǔ)怎樣表達(dá)這個(gè)關(guān)系?
活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生回憶初中學(xué)過(guò)的不等式概念，使學(xué)生明確“不等關(guān)系”與“不等式”的異同.不等關(guān)系強(qiáng)調(diào)的是關(guān)系，可用符號(hào)“>”“b”“a
教師與學(xué)生一起舉出我們?nèi)粘Ｉ钪胁坏汝P(guān)系的例子，可讓學(xué)生充分合作討論，使學(xué)生感受到現(xiàn)實(shí)世界中存在著大量的不等關(guān)系.在學(xué)生了解了一些不等式產(chǎn)生的實(shí)際背景的前提下，進(jìn)一步學(xué)習(xí)不等式的有關(guān)內(nèi)容.
實(shí)例1：某天的天氣預(yù)報(bào)報(bào)道，最高氣溫32 ℃，最低氣溫26 ℃.
實(shí)例2：對(duì)于數(shù)軸上任意不同的兩點(diǎn)A、B，若點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊，則xA
實(shí)例5：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.
實(shí)例6：限速40 km/h的路標(biāo)指示司機(jī)在前方路段行駛時(shí)，應(yīng)使汽車的速度v不超過(guò)40 km/h.
實(shí)例7：某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不少于2.5%，蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于2.3%.
教師進(jìn)一步點(diǎn)撥：能夠發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學(xué)當(dāng)然很好，這說(shuō)明同學(xué)們已經(jīng)走進(jìn)了數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)科，但作為我們研究數(shù)學(xué)的人來(lái)說(shuō)，能用數(shù)學(xué)的眼光、數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)進(jìn)行觀察、歸納、抽象，完成這些量與量的比較過(guò)程，這是我們每個(gè)研究數(shù)學(xué)的人必須要做的，那么，我們可以用我們所研究過(guò)的什么知識(shí)來(lái)表示這些不等關(guān)系呢?學(xué)生很容易想到，用不等式或不等式組來(lái)表示這些不等關(guān)系.那么不等式就是用不等號(hào)將兩個(gè)代數(shù)式連結(jié)起來(lái)所成的式子.如-71+4,2x≤6，a+2≥0,3≠4,0≤5等.
教師引導(dǎo)學(xué)生將上述的7個(gè)實(shí)例用不等式表示出來(lái).實(shí)例1，若用t表示某天的氣溫，則26 ℃≤t≤32 ℃.實(shí)例3，若用x表示一個(gè)非負(fù)數(shù)，則x≥0.實(shí)例5，|AC|+|BC|>|AB|，如下圖.
|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.
|AB|-|BC|
實(shí)例6，若用v表示速度，則v≤40 km/h.實(shí)例7，f≥2.5%，p≥2.3%.對(duì)于實(shí)例7，教師應(yīng)點(diǎn)撥學(xué)生注意酸奶中的脂肪含量與蛋白質(zhì)含量需同時(shí)滿足，避免寫(xiě)成f≥2.5%或p≥2.3%，這是不對(duì)的.但可表示為f≥2.5%且p≥2.3%.
對(duì)以上問(wèn)題，教師讓學(xué)生輪流回答，再用投影儀給出課本上的兩個(gè)結(jié)論.
討論結(jié)果：
(1)(2)略;(3)數(shù)軸上任意兩點(diǎn)中，右邊點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)比左邊點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)大.
(4)對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a和b，在a=b，a>b，a0a>b;a-b=0a=b;a-b
活動(dòng)：通過(guò)兩例讓學(xué)生熟悉兩個(gè)代數(shù)式的大小比較的基本方法：作差，配方法.
點(diǎn)評(píng)：本節(jié)兩例的求解，是借助因式分解和應(yīng)用配方法完成的，這兩種方法是代數(shù)式變形時(shí)經(jīng)常使用的方法，應(yīng)讓學(xué)生熟練掌握.
1.若f(x)=3x2-x+1，g(x)=2x2+x-1，則f(x)與g(x)的大小關(guān)系是( )
解析：f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0，∴f(x)>g(x).
2.已知x≠0，比較(x2+1)2與x4+x2+1的大小.
解：由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.
∵x≠0，得x2>0.從而(x2+1)2>x4+x2+1.
例2比較下列各組數(shù)的大小(a≠b).
(1)a+b2與21a+1b(a>0，b>0);
(2)a4-b4與4a3(a-b).
活動(dòng)：比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，常根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與大小順序的關(guān)系，歸結(jié)為判斷它們的差的符號(hào)來(lái)確定.本例可由學(xué)生獨(dú)立完成，但要點(diǎn)撥學(xué)生在最后的符號(hào)判斷說(shuō)理中，要理由充分，不可忽略這點(diǎn).
解：(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=a+b2-4ab2a+b=a-b22a+b.
∵a>0，b>0且a≠b，∴a+b>0，(a-b)2>0.∴a-b22a+b>0，即a+b2>21a+1b.
(2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)
=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]
=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2].
∵2a2+(a+b)2≥0(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=0時(shí)取等號(hào))，
又a≠b，∴(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0.∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2]
∴a4-b4
點(diǎn)評(píng)：比較大小常用作差法，一般步驟是作差——變形——判斷符號(hào).變形常用的手段是分解因式和配方，前者將“差”變?yōu)椤胺e”，后者將“差”化為一個(gè)或幾個(gè)完全平方式的“和”，也可兩者并用.
已知x>y，且y≠0，比較xy與1的大小.
活動(dòng)：要比較任意兩個(gè)數(shù)或式的大小關(guān)系，只需確定它們的差與0的大小關(guān)系.
∵x>y，∴x-y>0.
當(dāng)y
當(dāng)y>0時(shí)，x-yy>0，即xy-1>0.∴xy>1.
點(diǎn)評(píng)：當(dāng)字母y取不同范圍的值時(shí)，差xy-1的正負(fù)情況不同，所以需對(duì)y分類討論.
例3建筑設(shè)計(jì)規(guī)定，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積.但按采光標(biāo)準(zhǔn)，窗戶面積與地板面積的比值應(yīng)不小于10%，且這個(gè)比值越大，住宅的采光條件越好.試問(wèn)：同時(shí)增加相等的窗戶面積和地板面積，住宅的采光條件是變好了，還是變壞了?請(qǐng)說(shuō)明理由.
活動(dòng)：解題關(guān)鍵首先是把文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，然后比較前后比值的大小，采用作差法.
解：設(shè)住宅窗戶面積和地板面積分別為a、b，同時(shí)增加的面積為m，根據(jù)問(wèn)題的要求a
由于a+mb+m-ab=mb-abb+m>0，于是a+mb+m>ab.又ab≥10%，
因此a+mb+m>ab≥10%.
所以同時(shí)增加相等的窗戶面積和地板面積后，住宅的采光條件變好了.
點(diǎn)評(píng)：一般地，設(shè)a、b為正實(shí)數(shù)，且a0，則a+mb+m>ab.
已知a1，a2，…為各項(xiàng)都大于零的等比數(shù)列，公比q≠1，則( )
C.a1+a8=a4+a5 D.a1+a8與a4+a5大小不確定
解析：(a1+a8)-(a4+a5)=a1+a1q7-a1q3-a1q4
=a1[(1-q3)-q4(1-q3)]=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q)(1+q2).
∵{an}各項(xiàng)都大于零，∴q>0，即1+q>0.
又∵q≠1，∴(a1+a8)-(a4+a5)>0，即a1+a8>a4+a5.
1.下列不等式：①a2+3>2a;②a2+b2>2(a-b-1);③x2+y2>2xy.其中恒成立的不等式的個(gè)數(shù)為( )
2.比較2x2+5x+9與x2+5x+6的大小.
答案：
1.C解析：∵②a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0，
③x2+y2-2xy=(x-y)2≥0.
∴只有①恒成立.
2.解：因?yàn)?x2+5x+9-(x2+5x+6)=x2+3>0，
所以2x2+5x+9>x2+5x+6.
1.教師與學(xué)生共同完成本節(jié)課的小結(jié)，從實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)的回顧，到兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的比較方法;從例題的活動(dòng)探究點(diǎn)評(píng)，到緊跟著的變式訓(xùn)練，讓學(xué)生去繁就簡(jiǎn)，聯(lián)系舊知，將本節(jié)課所學(xué)納入已有的知識(shí)體系中.
2.教師畫(huà)龍點(diǎn)睛，點(diǎn)撥利用實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)對(duì)兩個(gè)實(shí)數(shù)大小比較時(shí)易錯(cuò)的地方.鼓勵(lì)學(xué)有余力的學(xué)生對(duì)節(jié)末的思考與討論在課后作進(jìn)一步的探究.
1.本節(jié)設(shè)計(jì)關(guān)注了教學(xué)方法的優(yōu)化.經(jīng)驗(yàn)告訴我們：課堂上應(yīng)根據(jù)具體情況，選擇、設(shè)計(jì)最能體現(xiàn)教學(xué)規(guī)律的教學(xué)過(guò)程，不宜長(zhǎng)期使用一種固定的教學(xué)方法，或原封不動(dòng)地照搬一種實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｊ?各種教學(xué)方法中，沒(méi)有一種能很好地適應(yīng)一切教學(xué)活動(dòng).也就是說(shuō)，世上沒(méi)有萬(wàn)能的教學(xué)方法.針對(duì)個(gè)性，靈活變化，因材施教才是成功的施教靈藥.
2.本節(jié)設(shè)計(jì)注重了難度控制.不等式內(nèi)容應(yīng)用面廣，可以說(shuō)與其他所有內(nèi)容都有交匯，歷來(lái)是高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn).作為本章開(kāi)始，可以適當(dāng)開(kāi)闊一些，算作拋磚引玉，讓學(xué)生有個(gè)自由探究聯(lián)想的平臺(tái)，但不宜過(guò)多向外拓展，以免對(duì)學(xué)生產(chǎn)生負(fù)面影響.
3.本節(jié)設(shè)計(jì)關(guān)注了學(xué)生思維能力的訓(xùn)練.訓(xùn)練學(xué)生的思維能力，提升思維的品質(zhì)，是數(shù)學(xué)教師直面的重要課題，也是中學(xué)數(shù)學(xué)教育的主線.采用一題多解有助于思維的發(fā)散性及靈活性，克服思維的僵化.變式訓(xùn)練教學(xué)又可以拓展學(xué)生思維視野的廣度，解題后的點(diǎn)撥反思有助于學(xué)生思維批判性品質(zhì)的提升.
1.比較(x-3)2與(x-2)(x-4)的大小.
2.試判斷下列各對(duì)整式的大?。?1)m2-2m+5和-2m+5;(2)a2-4a+3和-4a+1.
5.設(shè)a>0，b>0，且a≠b，試比較aabb與abba的大小.
∴(x-3)2>(x-2)(x-4).
=m2.
∵m2≥0，∴(m2-2m+5)-(-2m+5)≥0.
∴m2-2m+5≥-2m+5.
=a2+2.
∵a2≥0，∴a2+2≥2>0.
∴a2-4a+3>-4a+1.
=x24，
又∵x>0，∴x24>0.
∴(1+x2)2>(1+x)2.
由x>0，得1+x2>1+x.
=(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]
=-2xy(x-y).
∵x0，x-y
∴-2xy(x-y)>0.
∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).
5.解：∵aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b，且a≠b，
當(dāng)a>b>0時(shí)，ab>1，a-b>0，
則(ab)a-b>1，于是aabb>abba.
則(ab)a-b>1.
于是aabb>abb a.
綜上所述，對(duì)于不相等的正數(shù)a、b，都有aabb>abba.
基本不等式是初中數(shù)學(xué)中重要的一章內(nèi)容，也是高中數(shù)學(xué)和競(jìng)賽數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)?；静坏仁降膶W(xué)習(xí)不僅有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和解題能力，同時(shí)也能幫助他們提高邏輯思維能力。本文旨在探討“基本不等式”這一主題。
一、基本不等式的定義與性質(zhì)
基本不等式是說(shuō)：對(duì)于正實(shí)數(shù)x1，x2，…，xn，有
（x1+x2+…+xn）/n≥√（x1x2…xn），當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=…=xn時(shí)等號(hào)成立。
基本不等式的性質(zhì)有以下幾條：
（1）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，等號(hào)成立；
（2）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)所有數(shù)相等時(shí)等號(hào)成立；
（3）兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)，即(a+b)/2≥√(ab)，其中a,b均為正實(shí)數(shù)且a≠b；
（4）當(dāng)n≥3時(shí)，三個(gè)數(shù)的平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)，即(a+b+c)/3≥√(abc)，其中a,b,c均為正實(shí)數(shù)且a≠b≠c。
二、基本不等式的應(yīng)用
基本不等式作為一種重要的數(shù)學(xué)工具，可以應(yīng)用于眾多問(wèn)題之中。以下是基本不等式的一些常見(jiàn)應(yīng)用。
1. 求和式的最小值
例題1：已知-x1+x2+x3+x4+x5=-18，其中x1，x2，x3，x4，x5均為正數(shù)，并且x1+x2+x3+x4+x5≥5，則x1x2x3x4x5的最小值為多少？
解法：根據(jù)已知條件，設(shè)x1+x2+x3+x4+x5=5+m（其中m≥0），則有x1+x2+x3+x4+x5+m=5+2m。代入到基本不等式中可得：
(x1+x2+x3+x4+x5+m)/5≥√(x1x2x3x4x5)m/5≥√(x1x2x3x4x5)/5
移項(xiàng)得到x1x2x3x4x5≥1，則x1x2x3x4x5的最小值為1。
2. 比較函數(shù)大小
例題2：比較函數(shù)f(x)=√(a2+x2)+√(b2+(c-x)2)(a,b,c>0)在[0,c]上的最小和最大值。
解法：根據(jù)已知條件和基本不等式，將f(x)分解成兩個(gè)正數(shù)的平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的形式，即
f(x)=[√(a2+x2)+√(b2+(c-x)2)]/2+1/2[√(a2+x2)+√(b2+(c-x)2)]
≥√[(√(a2+x2)×√(b2+(c-x)2)]+1/2(2c)
=√(a2+b2+c2+ab-ac-bc)+c
當(dāng)x=c/3時(shí)等號(hào)成立，即f(x)的最小值為√(a2+b2+c2+ab-ac-bc)+c，最大值為√(a2+b2+c2+ab+ac+bc)+c。
3. 求極限
例題3：已知數(shù)列{a_n}(n≥1)的通項(xiàng)公式為a_n=(√n+1)/(n+1)，則求∑(n從1到∞)a_n的極限。
解法：根據(jù)基本不等式，有
a_1+a_2+…+a_n≥n(√(a_1a_2…a_n))^1/n
代入已知條件，可得：
a_1+a_2+…+a_n≥n[(√(1+1)×√(2+1)×…×√(n+1))/((1+1)×(2+1)×…×(n+1))]^(1/n)
= n[√(n+1)/2×1/3×…×1/(n+1)]^(1/n) =n[(n+1)/[2(n+1)]]^(1/n)
極限為1/2。
4. 求證不等式
例題4：已知a，b，c為正實(shí)數(shù)，且a+b+c=1，證明∑(a/(1-a))≥3(a2+b2+c2)/(ab+bc+ca)。
解法：將不等式化簡(jiǎn)，得：
∑(a/(1-a))≥3(a2+b2+c2)/(ab+bc+ca)
?(a/(1-a))+(b/(1-b))+(c/(1-c))≥3(a2+b2+c2)/(ab+bc+ca)
?(a/(1-a))+(b/(1-b))+(c/(1-c))≥3[(a+b+c)2-(ab+bc+ca)]/(ab+bc+ca)
由于a+b+c=1，有
(ab+bc+ca)≤a2+b2+c2,
(a/(1-a))+(b/(1-b))+(c/(1-c))≥(a+b+c)2/(a(1-a)+b(1-b)+c(1-c))≥3(a2+b2+c2)/(ab+bc+ca)
其中第一個(gè)不等式成立是因?yàn)楫?dāng)a=b=c=1/3時(shí)，等號(hào)成立；第二個(gè)不等式用到了基本不等式的形式。
綜上所述，基本不等式是數(shù)學(xué)中的重要概念，掌握了基本不等式的定義、性質(zhì)和應(yīng)用方法，將有助于提高人們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和解題能力。在日常生活和學(xué)習(xí)中，要重視基本不等式的學(xué)習(xí)和應(yīng)用，逐步提高自己的數(shù)學(xué)水平。
學(xué)生初步接觸了一點(diǎn)代數(shù)知識(shí)（如用字母表示定律，用符號(hào)表示數(shù)），是在學(xué)生學(xué)習(xí)了用字母表示數(shù)以后基礎(chǔ)上進(jìn)行學(xué)習(xí)。應(yīng)用方程是解決問(wèn)題的基礎(chǔ)，有關(guān)的幾個(gè)概念，教材只作描述不下定義。在教學(xué)設(shè)計(jì)中仍然把理念作為教學(xué)的重點(diǎn)，理解方程的意義，判斷“等式”和“方程”知道方程是一個(gè)“含有未知數(shù)的等式”，才有可能明確所謂解方程。
學(xué)生不夠活潑，學(xué)習(xí)積極性不是很高，學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不好。方程對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)還是比較陌生的，在他們頭腦中還沒(méi)有過(guò)方程這樣的表象，所以授新課就要從學(xué)生原有的`基礎(chǔ)開(kāi)始，因?yàn)樵谇懊鎸W(xué)習(xí)用字母表示數(shù)的這部分內(nèi)容時(shí)，有了基礎(chǔ)，我想在學(xué)習(xí)簡(jiǎn)易方程應(yīng)該沒(méi)什么大的問(wèn)題。
1、使學(xué)生初步理解和辨析“等式”“不等式”的意義。
2、會(huì)按要求用方程表示出數(shù)量關(guān)系，
3、培養(yǎng)學(xué)生的觀察、比較、分析能力。
教學(xué)重點(diǎn)： 用字母表示常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系，會(huì)用方程的意義去判斷一個(gè)式子是否是方程。
教師介紹天平各部分名稱。讓學(xué)生操作當(dāng)天平兩端托盤(pán)的物體的質(zhì)量相等時(shí)，天平就會(huì)平衡，指針指向中。根據(jù)這這個(gè)原理來(lái)稱物體的質(zhì)量。（讓學(xué)生操作，激發(fā)學(xué)生的興趣，借助實(shí)物演示的優(yōu)勢(shì)。初步感受平衡與不平衡的表象）
1、實(shí)物演示，引出方程：
（1）在天平稱出100克的左邊空杯，讓學(xué)生觀察是否平衡，感受1只空杯=100克。
（2）往空杯里倒入果汁，另一邊加100克法碼，問(wèn)學(xué)生發(fā)現(xiàn)了什么？ （讓學(xué)生感受天平慢慢傾斜，水是未知數(shù)）引出100+X＞200，往右加100克法碼， 問(wèn)：哪邊重些？（學(xué)生初步感受平衡和不平衡的表象） 問(wèn)：怎樣用式子表示？100+X＜300
（3）教學(xué)100+X=250 問(wèn)：如果是天平平衡怎么辦？（讓學(xué)生討論交流平衡的方案）把100克法碼換成50克的砝碼，這時(shí)會(huì)怎樣？（引導(dǎo)學(xué)生觀察這時(shí)天平出現(xiàn)平衡）， 問(wèn)：現(xiàn)在兩邊的質(zhì)量怎樣？現(xiàn)在水有多重知道嗎？如果用字母X表示怎樣用式子表示？得出：100+X=250
示題：100+X＜250100+X=2504X+50＞10040+40=80 X÷2=45X-12=27
請(qǐng)學(xué)生觀察合作交流分類：
（一）引出（1）兩邊不相等，叫做不等式。（2）兩邊相等叫做等式。
（2）含有未知數(shù)的等式100+X=250 X÷2=4 揭示：（2）這樣的含有未知數(shù)等式叫做方程（通過(guò)分類，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)方程意義的了解） 問(wèn)：方程的具備條件是什么？（感知必須是等式，而一定含有未知數(shù)）你能寫(xiě)出一些方程嗎？（同桌交流檢查）
（三）練習(xí)判斷那些是方程？那些不是方程？
6+2X=14103+X250÷2=1256+X＞251÷A=3X+Y=180 （讓學(xué)生加深對(duì)方程的意義的認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的判斷能力。）
教師：我們能夠判斷什么是方程了，方程和等式有很密切的關(guān)系，你能畫(huà)圖來(lái)表示他們的關(guān)系嗎？（小組合作討論交流）
方程 等式 （讓學(xué)生通過(guò)觀察、思考、分析、歸類，自主發(fā)現(xiàn)獲得對(duì)方程和等式的關(guān)系理解，同時(shí)初步滲透教學(xué)中的集合思想。）
基本不等式作為高中數(shù)學(xué)必修內(nèi)容之一，在學(xué)生學(xué)習(xí)中扮演著極為重要的角色。本篇文章將圍繞基本不等式，探討它的概念、性質(zhì)、證明方法及應(yīng)用，并展示基本不等式的魅力和實(shí)用性。
一、基本不等式的概念
基本不等式是指對(duì)于任意正實(shí)數(shù) $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 和任意正整數(shù) $n$，有以下不等式成立：
$\dfrac{a_1}{n}+\dfrac{a_2}{n}+\cdots+\dfrac{a_n}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$
這個(gè)不等式也被稱為均值不等式或AM-GM不等式。其中，$\dfrac{a_1}{n}+\dfrac{a_2}{n}+\cdots+\dfrac{a_n}{n}$ 表示這些數(shù)的算術(shù)平均值，而 $\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$ 表示這些數(shù)的幾何平均值。均值不等式的意義在于，算術(shù)平均數(shù)大于等于幾何平均數(shù)。
二、基本不等式的性質(zhì)
基本不等式有以下幾個(gè)性質(zhì)：
1. 當(dāng)且僅當(dāng) $a_1=a_2=\cdots=a_n$ 時(shí)等號(hào)成立。
2. 如果 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 中至少有一個(gè)數(shù)為 $0$，則 $\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}=0$，這時(shí)等號(hào)成立。
3. 基本不等式可以擴(kuò)展到實(shí)數(shù)范圍內(nèi)。
4. 均值不等式不等式對(duì)于大于 $0$ 的實(shí)數(shù)都成立。
三、基本不等式的證明方法
基本不等式有多種證明方法，下面列舉其中兩種：
方法一：數(shù)學(xué)歸納法
假設(shè)基本不等式對(duì)于 $n=k$ 時(shí)成立，即對(duì)于 $k$ 個(gè)正實(shí)數(shù) $a_1,a_2,\cdots,a_k$，有以下不等式成立：
$\dfrac{a_1}{k}+\dfrac{a_2}{k}+\cdots+\dfrac{a_k}{k}\geq\sqrt[k]{a_1a_2\cdots a_k}$
現(xiàn)證明它對(duì)于 $n=k+1$ 時(shí)也成立。將 $a_{k+1}$ 插入到原來(lái)的不等式中，得到：
$\dfrac{a_1}{k+1}+\dfrac{a_2}{k+1}+\cdots+\dfrac{a_k}{k+1}+\dfrac{a_{k+1}}{k+1}\geq\sqrt[k+1]{a_1a_2\cdots a_k a_{k+1}}$
由于：
$\dfrac{a_1}{k+1}+\dfrac{a_2}{k+1}+\cdots+\dfrac{a_k}{k+1}\geq\sqrt[k]{a_1a_2\cdots a_k}$
因此，我們只需證明以下不等式：
$\dfrac{(k+1)\sqrt[k]{a_1a_2\cdots a_k}\cdot a_{k+1}}{k+1}\geq\sqrt[k+1]{a_1a_2\cdots a_k a_{k+1}}$
經(jīng)過(guò)變形化簡(jiǎn)，可以得到：
$\sqrt[k]{a_1a_2\cdots a_k} \geq \sqrt[k+1]{a_1a_2\cdots a_k a_{k+1}}$
顯然，這是成立的。
因此，按照歸納法的證明方式，基本不等式對(duì)于所有的正整數(shù) $n$ 都成立。
方法二：對(duì)數(shù)函數(shù)的應(yīng)用
對(duì)于 $a_1,a_2,\cdots,a_n$，我們可以定義函數(shù)：
$f(x)=\ln{x}$
顯然，函數(shù) $f(x)$ 是連續(xù)的、單調(diào)遞增的。根據(jù)式子：
$\dfrac{a_1}{n}+\dfrac{a_2}{n}+\cdots+\dfrac{a_n}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$
可以得到：
$\ln\left(\dfrac{a_1}{n}\right)+\ln\left(\dfrac{a_2}{n}\right)+\cdots+\ln\left(\dfrac{a_n}{n}\right)\geq\dfrac{1}{n} (\ln a_1+\ln a_2+\cdots+\ln a_n)$
即：
$\ln\left(\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\right)\leq\dfrac{\ln a_1+\ln a_2+\cdots+\ln a_n}{n}$
對(duì)于左邊的式子，有：
$\ln\left(\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\right)=\dfrac{1}{n}\ln(a_1a_2\cdots a_n)$
對(duì)于右邊的式子，有：
$\dfrac{\ln a_1+\ln a_2+\cdots+\ln a_n}{n}=\ln\left(\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\right)$
因此，我們可以得到：
$\ln(a_1a_2\cdots a_n)\geq n\ln\left(\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\right)$
即：
$a_1a_2\cdots a_n\geq\left(\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\right)^n$
這正是均值不等式的形式。因此，基本不等式得證。
四、基本不等式的應(yīng)用
基本不等式在數(shù)學(xué)和物理學(xué)中有廣泛的應(yīng)用。下面介紹幾個(gè)常見(jiàn)的應(yīng)用場(chǎng)景：
1. 最小值求解
如果有 $n$ 個(gè)正實(shí)數(shù) $a_1,a_2,\cdots,a_n$，它們的和為 $k$，求它們的積的最大值，即：
$\max(a_1a_2\cdots a_n)$
根據(jù)基本不等式，有：
$\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$
因此，可以得到：
$\dfrac{k}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$
兩邊同時(shí)取冪，可以得到：
$\dfrac{k^n}{n^n}\geq a_1a_2\cdots a_n$
即：
$\max(a_1a_2\cdots a_n)=\dfrac{k^n}{n^n}$
2. 凸函數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題
如果 $f(x)$ 是一個(gè)凸函數(shù)，$a_1,a_2,\cdots,a_n$ 是正實(shí)數(shù)，$b_1,b_2,\cdots,b_n$ 是任意實(shí)數(shù)且 $\sum_{i=1}^n b_i=1$，則有：
$f(b_1a_1+b_2a_2+\cdots+b_na_n)\leq b_1f(a_1)+b_2f(a_2)+\cdots+b_nf(a_n)$
這是凸函數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題中常用的基本不等式形式。它可以通過(guò)Jensen不等式或基本不等式證明。
3. 三角形求證
如果我們可以用 $a,b,c$ 表示一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，則有：
$\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}\leq\dfrac{(a+b+c)^2}{4\sqrt{3}}$
這個(gè)不等式在三角形求證中也被廣泛應(yīng)用。
五、結(jié)語(yǔ)
基本不等式是高中數(shù)學(xué)必修內(nèi)容之一，但其實(shí)它的應(yīng)用范圍遠(yuǎn)不止于此。在實(shí)際問(wèn)題中，基本不等式常常能給我們提供有效的解決方案。通過(guò)本文的介紹，希望讀者能夠更加深入地理解基本不等式的概念、性質(zhì)、證明方法及應(yīng)用，并能在實(shí)際問(wèn)題中靈活運(yùn)用。
關(guān)于基本不等式的主題范文：
基本不等式是數(shù)學(xué)中非常重要的一道課題，所以我們需要從以下幾個(gè)方面來(lái)對(duì)基本不等式進(jìn)行介紹。
一、基本不等式是什么
基本不等式是指數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要定理，它表述的是任意正整數(shù)n及n個(gè)正數(shù)a1，a2，…，an的積與它們的和之間的關(guān)系。也就是說(shuō)，對(duì)于任意正整數(shù)n和n個(gè)正數(shù)a1，a2，…，an，有以下不等式成立：
（a1+a2+…+an）/n ≥ （a1×a2×…×an）1/n
其中，等式成立當(dāng)且僅當(dāng)a1 = a2 = … = an。
二、基本不等式的證明
下面我們來(lái)看一下基本不等式的證明過(guò)程。
首先，如果我們令A(yù)i = nai和G = (a1 × a2 × … × an)1/n，則我們可以將原不等式轉(zhuǎn)化為：
(a1+a2+…+an)/n ≥ G
接下來(lái)，我們來(lái)看一下如果證明G ≤ (a1+a2+…+an)/n，那么我們就可以證明基本不等式，因?yàn)椴坏仁骄哂袑?duì)稱性，即如果G ≤ (a1+a2+…+an)/n，則(a1+a2+…+an)/n ≥ G也成立。
接下來(lái)，我們證明G ≤ (a1+a2+…+an)/n，即：
(a1+a2+…+an)/n ≥ (a1 × a2 × … × an)1/n
將不等式右邊兩邊平方，得到：
(a1+a2+…+an)/n ≥ (a1 × a2 × … × an)2/n
這時(shí)，我們來(lái)觀察右邊的式子，將式子中的每一項(xiàng)都乘以(n-1)，得到：
(a1 × (n-1) + a2 × (n-1) + … + an × (n-1)) / n ≥ (a1 × a2 × … × an)2/n
繼續(xù)進(jìn)行簡(jiǎn)化，得到：
[(a1 × (n-1)) + (a2 × (n-1)) + … + (an × (n-1))] / n ≥ (n-1) × a1 × a2 × … × an / n
左邊乘以1/n，右邊除以(n-1)，得到：
(a1 + a2 + … + an) / n ≥ (a1 × a2 × … × an)1/n
這樣我們就完成了基本不等式的證明。
三、基本不等式在實(shí)際中的應(yīng)用
基本不等式在實(shí)際中的應(yīng)用非常廣泛，下面我們來(lái)看一下其中的幾個(gè)例子。
1. 求平均數(shù)
如果我們已知n個(gè)正數(shù)的積，需要求它們的平均數(shù)，那么根據(jù)基本不等式，我們可以得到：
(a1 + a2 + … + an) / n ≥ (a1 × a2 × … × an)1/n
等式兩邊都乘以n-1，得到：
a1 + a2 + … + an ≥ (n-1) × (a1 × a2 × … × an)1/n
這樣我們就可以求得平均數(shù)：
(a1 + a2 + … + an) / n ≥ (n-1) × (a1 × a2 × … × an)1/n / n
2. 求數(shù)列中n個(gè)數(shù)的積的最大值
假設(shè)我們需要從數(shù)列{a1, a2, …, an}中選取n個(gè)數(shù)，求它們的積的最大值。根據(jù)基本不等式，我們有：
(a1 + a2 + … + an) / n ≥ (a1 × a2 × … × an)1/n
因?yàn)槲覀冃枰蠓e的最大值，所以當(dāng)?shù)仁阶筮叺暮颓『玫扔趎個(gè)數(shù)的積時(shí)，這個(gè)積才能取到最大值。因此，我們可以得到：
a1 = a2 = … = an
這樣，我們就得到了求數(shù)列中n個(gè)數(shù)的積的最大值的方法。
三、結(jié)論
通過(guò)對(duì)基本不等式的介紹，我們可以發(fā)現(xiàn)它不僅僅是一道看似簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)題目，而是一個(gè)非常重要的定理，有著廣泛的應(yīng)用價(jià)值。希望大家能夠在今后的學(xué)習(xí)中更加重視基本不等式，并能夠深刻理解它的實(shí)際應(yīng)用。
基本不等式是高中數(shù)學(xué)中重要的一部分，也是初學(xué)者比較難掌握的一個(gè)概念。通過(guò)學(xué)習(xí)基本不等式，可以幫助學(xué)生理解不等式的基本概念、性質(zhì)和運(yùn)算。同時(shí)，對(duì)于高中數(shù)學(xué)，基本不等式還有很多相關(guān)的題型需要掌握，比如極值問(wèn)題、夾逼定理等。本文將從基本不等式的定義開(kāi)始，探討其相關(guān)概念、性質(zhì)和應(yīng)用。
一、基本不等式的定義
基本不等式是指對(duì)于任意正實(shí)數(shù)a、b，有以下不等式成立：
（a + b）2 ≥ 4ab
這個(gè)不等式也可以寫(xiě)成：
a2 + b2 ≥ 2ab
這個(gè)不等式的含義是：對(duì)于任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)a、b，它們的平均數(shù)一定大于等于它們的幾何平均數(shù)。
二、基本不等式的證明
對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y，可以用(x-y)2≥0來(lái)證明基本不等式：
(x-y)2≥0
x2-2xy+y2≥0
x2+y2≥2xy
將x換成a、y換成b，即可得到基本不等式。
三、基本不等式的相關(guān)概念
1. 等式條件：
當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等式成立。
2. 平均數(shù)與幾何平均數(shù)：
平均數(shù)指的是兩個(gè)數(shù)的和的一半，即(a+b)/2；幾何平均數(shù)指的是兩個(gè)數(shù)的積的二分之一，即√(ab)。由于基本不等式的成立，可以得出平均數(shù)大于等于幾何平均數(shù)的結(jié)論。
3. 關(guān)于兩個(gè)數(shù)之和與兩個(gè)數(shù)的比值的關(guān)系：
從基本不等式得到如下兩個(gè)等式：
(a+b)2=4ab+(a-b)2；ab≥(a+b)/2
以上兩個(gè)式子給出了兩個(gè)關(guān)于兩個(gè)數(shù)之和與兩個(gè)數(shù)的比值的關(guān)系。
四、基本不等式的性質(zhì)
1. 交換律和結(jié)合律：基本不等式滿足交換律和結(jié)合律。
2. 反比例函數(shù)：若f(x)=1/x，x>0，則f(a)+f(b)≤2f((a+b)/2)對(duì)于a,b>0成立。
3. 帶約束的基本不等式：若a,b>0，且a+b=k，則(a+b)/2≥√(ab)，即k/2≥√(ab)。
五、基本不等式的應(yīng)用
1. 求證夾逼定理：如果a1≤b1≤c1，且a2≤b2≤c2，則(a1a2+b1b2+c1c2)/3≥(a1b2+b1c2+c1a2)/3≥√(a1b1c1a2b2c2)。
2. 判斷一個(gè)二次函數(shù)的最大值或最小值：由于二次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為一次函數(shù)，可以通過(guò)求導(dǎo)得到函數(shù)的極值。而基本不等式可以用于判斷二次函數(shù)的極值點(diǎn)是否合理，即是否在定義域內(nèi)。
3. 算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)之間的關(guān)系：通過(guò)基本不等式可以證明，當(dāng)兩個(gè)數(shù)的和固定時(shí)，它們的平均數(shù)越大，它們的幾何平均數(shù)就越小。
總的來(lái)說(shuō)，基本不等式是高中數(shù)學(xué)不可缺少的一部分，不僅在考試中占有重要地位，而且還具有很重要的理論意義。希望本文對(duì)初學(xué)者掌握基本不等式有所幫助。
教學(xué)目標(biāo)：
1.一元一次不等式與一次函數(shù)的關(guān)系.
2.會(huì)根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式，畫(huà)出函數(shù)圖象，并利用不等關(guān)系進(jìn)行比較.
1.通過(guò)一元一次不等式與一次函數(shù)的圖象之間的結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合意識(shí).
2.訓(xùn)練大家能利用數(shù)學(xué)知識(shí)去解決實(shí)際問(wèn)題的能力.
體驗(yàn)數(shù)、圖形是有效地描述現(xiàn)實(shí)世界的重要手段，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)是解決問(wèn)題和進(jìn)行交流的重要工具，了解數(shù)學(xué)對(duì)促進(jìn)社會(huì)進(jìn)步和發(fā)展人類理性精神的作用.
自己根據(jù)題意列函數(shù)關(guān)系式，并能把函數(shù)關(guān)系式與一元一次不等式聯(lián)系起來(lái)作答.
1.張大爺買了一個(gè)手機(jī)，想辦理一張電話卡，開(kāi)米廣場(chǎng)移動(dòng)通訊公司業(yè)務(wù)員對(duì)張大爺介紹說(shuō)：移動(dòng)通訊公司開(kāi)設(shè)了兩種有關(guān)神州行的通訊業(yè)務(wù)：甲類使用者先繳15元基礎(chǔ)費(fèi)，然后每通話1分鐘付話費(fèi)0.2元；乙類不交月基礎(chǔ)費(fèi)，每通話1分鐘付話費(fèi)0.3元。你能幫幫張大爺選擇一種電話卡嗎？
2.展示學(xué)習(xí)目標(biāo)：
（1）、理解一次函數(shù)圖象與一元一次不等式的關(guān)系。
（2）、能夠用圖像法解一元一次不等式。
（3）、理解兩種方法的關(guān)系，會(huì)選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉淮尾坏仁健?/p>
積極思考，嘗試回答問(wèn)題，導(dǎo)出本節(jié)課題。
閱讀學(xué)習(xí)目標(biāo)，明確探究方向。
問(wèn)題1：結(jié)合函數(shù)y=2x-5的圖象，觀察圖象回答下列問(wèn)題：
問(wèn)題2：如果y=－2x－5，那么當(dāng)x取何值時(shí)，y＞0?當(dāng)x取何值時(shí)，y
巡回每個(gè)小組之間，鼓勵(lì)學(xué)生用不同方法進(jìn)行嘗試，尋找最佳方案。答疑展示中存在的問(wèn)題。
問(wèn)題3.兄弟倆賽跑，哥哥先讓弟弟跑9m，然后自己才開(kāi)始跑，已知弟弟每秒跑3m，哥哥每秒跑4m，列出函數(shù)關(guān)系式，畫(huà)出函數(shù)圖象，觀察圖象回答下列問(wèn)題：
（1）何時(shí)哥哥分追上弟弟？
（2）何時(shí)弟弟跑在哥哥前面？
（3）何時(shí)哥哥跑在弟弟前面？
（4）誰(shuí)先跑過(guò)20m？誰(shuí)先跑過(guò)100m？
你是怎樣求解的？與同伴交流。YJS21.Com
問(wèn)題4：已知y1=－x+3，y2=3x－4,當(dāng)x取何值時(shí)，y1＞y2？你是怎樣做的？與同伴交流.
讓學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合的魅力所在。理解函數(shù)和不等式的聯(lián)系。
移動(dòng)通訊公司開(kāi)設(shè)了兩種長(zhǎng)途通訊業(yè)務(wù)：全球通使用者先繳50元基礎(chǔ)費(fèi)，然后每通話1分鐘付話費(fèi)0.4元；神州行不交月基礎(chǔ)費(fèi)，每通話1分鐘付話費(fèi)0.6元。若設(shè)一個(gè)月內(nèi)通話x分鐘，兩種通訊方式的費(fèi)用分別為y1元和y2元，那么
（1）寫(xiě)出y1、y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）在同一直角坐標(biāo)系中畫(huà)出兩函數(shù)的圖象；
（3）求出或?qū)で蟪鲆粋€(gè)月內(nèi)通話多少分鐘，兩種通訊方式費(fèi)用相同；
（4）若某人預(yù)計(jì)一個(gè)月內(nèi)使用話費(fèi)200元，應(yīng)選擇哪種通訊方式較合算？
在共同探究的過(guò)程中加強(qiáng)理解，體會(huì)數(shù)學(xué)在生活中的重大應(yīng)用，進(jìn)行能力提升。
積極完成導(dǎo)學(xué)案上的檢測(cè)內(nèi)容，相互點(diǎn)評(píng)。
學(xué)生回顧總結(jié)學(xué)習(xí)收獲，交流學(xué)習(xí)心得。
教材P51.習(xí)題2.6知識(shí)技能1；問(wèn)題解決2,3.
一、學(xué)習(xí)與探究：
1.一元一次不等式與一次函數(shù)之間的關(guān)系；
2.做一做（根據(jù)函數(shù)圖象求不等式）；
四、課后作業(yè)：
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三、基本不等式的證明方法
基本不等式有多種證明方法，下面列舉其中兩種：
方法一：數(shù)學(xué)歸納法
假設(shè)基本不等式對(duì)于 $n=k$ 時(shí)成立，即對(duì)于 $k$ 個(gè)正實(shí)數(shù) $a_1,a_2,\cdots,a_k$，有以下不等式成立：
$\dfrac{a_1}{k}+\dfrac{a_2}{k}+\cdots+\dfrac{a_k}{k}\geq\sqrt[k]{a_1a_2\cdots a_k}$
現(xiàn)證明它對(duì)于 $n=k+1$ 時(shí)也成立。將 $a_{k+1}$ 插入到原來(lái)的不等式中，得到：
$\dfrac{a_1}{k+1}+\dfrac{a_2}{k+1}+\cdots+\dfrac{a_k}{k+1}+\dfrac{a_{k+1}}{k+1}\geq\sqrt[k+1]{a_1a_2\cdots a_k a_{k+1}}$
由于：
$\dfrac{a_1}{k+1}+\dfrac{a_2}{k+1}+\cdots+\dfrac{a_k}{k+1}\geq\sqrt[k]{a_1a_2\cdots a_k}$
因此，我們只需證明以下不等式：
$\dfrac{(k+1)\sqrt[k]{a_1a_2\cdots a_k}\cdot a_{k+1}}{k+1}\geq\sqrt[k+1]{a_1a_2\cdots a_k a_{k+1}}$
經(jīng)過(guò)變形化簡(jiǎn)，可以得到：
$\sqrt[k]{a_1a_2\cdots a_k} \geq \sqrt[k+1]{a_1a_2\cdots a_k a_{k+1}}$
顯然，這是成立的。
因此，按照歸納法的證明方式，基本不等式對(duì)于所有的正整數(shù) $n$ 都成立。
方法二：對(duì)數(shù)函數(shù)的應(yīng)用
對(duì)于 $a_1,a_2,\cdots,a_n$，我們可以定義函數(shù)：
$f(x)=\ln{x}$
顯然，函數(shù) $f(x)$ 是連續(xù)的、單調(diào)遞增的。根據(jù)式子：
$\dfrac{a_1}{n}+\dfrac{a_2}{n}+\cdots+\dfrac{a_n}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$
可以得到：
$\ln\left(\dfrac{a_1}{n}\right)+\ln\left(\dfrac{a_2}{n}\right)+\cdots+\ln\left(\dfrac{a_n}{n}\right)\geq\dfrac{1}{n} (\ln a_1+\ln a_2+\cdots+\ln a_n)$
即：
$\ln\left(\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\right)\leq\dfrac{\ln a_1+\ln a_2+\cdots+\ln a_n}{n}$
對(duì)于左邊的式子，有：
$\ln\left(\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\right)=\dfrac{1}{n}\ln(a_1a_2\cdots a_n)$
對(duì)于右邊的式子，有：
$\dfrac{\ln a_1+\ln a_2+\cdots+\ln a_n}{n}=\ln\left(\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\right)$
因此，我們可以得到：
$\ln(a_1a_2\cdots a_n)\geq n\ln\left(\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\right)$
即：
$a_1a_2\cdots a_n\geq\left(\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\right)^n$
這正是均值不等式的形式。因此，基本不等式得證。
四、基本不等式的應(yīng)用
基本不等式在數(shù)學(xué)和物理學(xué)中有廣泛的應(yīng)用。下面介紹幾個(gè)常見(jiàn)的應(yīng)用場(chǎng)景：
1. 最小值求解
如果有 $n$ 個(gè)正實(shí)數(shù) $a_1,a_2,\cdots,a_n$，它們的和為 $k$，求它們的積的最大值，即：
$\max(a_1a_2\cdots a_n)$
根據(jù)基本不等式，有：
$\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$
因此，可以得到：
$\dfrac{k}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$
兩邊同時(shí)取冪，可以得到：
$\dfrac{k^n}{n^n}\geq a_1a_2\cdots a_n$
即：
$\max(a_1a_2\cdots a_n)=\dfrac{k^n}{n^n}$
2. 凸函數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題
如果 $f(x)$ 是一個(gè)凸函數(shù)，$a_1,a_2,\cdots,a_n$ 是正實(shí)數(shù)，$b_1,b_2,\cdots,b_n$ 是任意實(shí)數(shù)且 $\sum_{i=1}^n b_i=1$，則有：
$f(b_1a_1+b_2a_2+\cdots+b_na_n)\leq b_1f(a_1)+b_2f(a_2)+\cdots+b_nf(a_n)$
這是凸函數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題中常用的基本不等式形式。它可以通過(guò)Jensen不等式或基本不等式證明。
3. 三角形求證
如果我們可以用 $a,b,c$ 表示一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，則有：
$\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}\leq\dfrac{(a+b+c)^2}{4\sqrt{3}}$
這個(gè)不等式在三角形求證中也被廣泛應(yīng)用。
五、結(jié)語(yǔ)
基本不等式是高中數(shù)學(xué)必修內(nèi)容之一，但其實(shí)它的應(yīng)用范圍遠(yuǎn)不止于此。在實(shí)際問(wèn)題中，基本不等式常常能給我們提供有效的解決方案。通過(guò)本文的介紹，希望讀者能夠更加深入地理解基本不等式的概念、性質(zhì)、證明方法及應(yīng)用，并能在實(shí)際問(wèn)題中靈活運(yùn)用。
關(guān)于基本不等式的主題范文：
基本不等式是數(shù)學(xué)中非常重要的一道課題，所以我們需要從以下幾個(gè)方面來(lái)對(duì)基本不等式進(jìn)行介紹。
一、基本不等式是什么
基本不等式是指數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要定理，它表述的是任意正整數(shù)n及n個(gè)正數(shù)a1，a2，…，an的積與它們的和之間的關(guān)系。也就是說(shuō)，對(duì)于任意正整數(shù)n和n個(gè)正數(shù)a1，a2，…，an，有以下不等式成立：
（a1+a2+…+an）/n ≥ （a1×a2×…×an）1/n
其中，等式成立當(dāng)且僅當(dāng)a1 = a2 = … = an。
二、基本不等式的證明
下面我們來(lái)看一下基本不等式的證明過(guò)程。
首先，如果我們令A(yù)i = nai和G = (a1 × a2 × … × an)1/n，則我們可以將原不等式轉(zhuǎn)化為：
(a1+a2+…+an)/n ≥ G
接下來(lái)，我們來(lái)看一下如果證明G ≤ (a1+a2+…+an)/n，那么我們就可以證明基本不等式，因?yàn)椴坏仁骄哂袑?duì)稱性，即如果G ≤ (a1+a2+…+an)/n，則(a1+a2+…+an)/n ≥ G也成立。
接下來(lái)，我們證明G ≤ (a1+a2+…+an)/n，即：
(a1+a2+…+an)/n ≥ (a1 × a2 × … × an)1/n
將不等式右邊兩邊平方，得到：
(a1+a2+…+an)/n ≥ (a1 × a2 × … × an)2/n
這時(shí)，我們來(lái)觀察右邊的式子，將式子中的每一項(xiàng)都乘以(n-1)，得到：
(a1 × (n-1) + a2 × (n-1) + … + an × (n-1)) / n ≥ (a1 × a2 × … × an)2/n
繼續(xù)進(jìn)行簡(jiǎn)化，得到：
[(a1 × (n-1)) + (a2 × (n-1)) + … + (an × (n-1))] / n ≥ (n-1) × a1 × a2 × … × an / n
左邊乘以1/n，右邊除以(n-1)，得到：
(a1 + a2 + … + an) / n ≥ (a1 × a2 × … × an)1/n
這樣我們就完成了基本不等式的證明。
三、基本不等式在實(shí)際中的應(yīng)用
基本不等式在實(shí)際中的應(yīng)用非常廣泛，下面我們來(lái)看一下其中的幾個(gè)例子。
1. 求平均數(shù)
如果我們已知n個(gè)正數(shù)的積，需要求它們的平均數(shù)，那么根據(jù)基本不等式，我們可以得到：
(a1 + a2 + … + an) / n ≥ (a1 × a2 × … × an)1/n
等式兩邊都乘以n-1，得到：
a1 + a2 + … + an ≥ (n-1) × (a1 × a2 × … × an)1/n
這樣我們就可以求得平均數(shù)：
(a1 + a2 + … + an) / n ≥ (n-1) × (a1 × a2 × … × an)1/n / n
2. 求數(shù)列中n個(gè)數(shù)的積的最大值
假設(shè)我們需要從數(shù)列{a1, a2, …, an}中選取n個(gè)數(shù)，求它們的積的最大值。根據(jù)基本不等式，我們有：
(a1 + a2 + … + an) / n ≥ (a1 × a2 × … × an)1/n
因?yàn)槲覀冃枰蠓e的最大值，所以當(dāng)?shù)仁阶筮叺暮颓『玫扔趎個(gè)數(shù)的積時(shí)，這個(gè)積才能取到最大值。因此，我們可以得到：
a1 = a2 = … = an
這樣，我們就得到了求數(shù)列中n個(gè)數(shù)的積的最大值的方法。
三、結(jié)論
通過(guò)對(duì)基本不等式的介紹，我們可以發(fā)現(xiàn)它不僅僅是一道看似簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)題目，而是一個(gè)非常重要的定理，有著廣泛的應(yīng)用價(jià)值。希望大家能夠在今后的學(xué)習(xí)中更加重視基本不等式，并能夠深刻理解它的實(shí)際應(yīng)用。
基本不等式是高中數(shù)學(xué)中重要的一部分，也是初學(xué)者比較難掌握的一個(gè)概念。通過(guò)學(xué)習(xí)基本不等式，可以幫助學(xué)生理解不等式的基本概念、性質(zhì)和運(yùn)算。同時(shí)，對(duì)于高中數(shù)學(xué)，基本不等式還有很多相關(guān)的題型需要掌握，比如極值問(wèn)題、夾逼定理等。本文將從基本不等式的定義開(kāi)始，探討其相關(guān)概念、性質(zhì)和應(yīng)用。
一、基本不等式的定義
基本不等式是指對(duì)于任意正實(shí)數(shù)a、b，有以下不等式成立：
（a + b）2 ≥ 4ab
這個(gè)不等式也可以寫(xiě)成：
a2 + b2 ≥ 2ab
這個(gè)不等式的含義是：對(duì)于任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)a、b，它們的平均數(shù)一定大于等于它們的幾何平均數(shù)。
二、基本不等式的證明
對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y，可以用(x-y)2≥0來(lái)證明基本不等式：
(x-y)2≥0
x2-2xy+y2≥0
x2+y2≥2xy
將x換成a、y換成b，即可得到基本不等式。
三、基本不等式的相關(guān)概念
1. 等式條件：
當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等式成立。
2. 平均數(shù)與幾何平均數(shù)：
平均數(shù)指的是兩個(gè)數(shù)的和的一半，即(a+b)/2；幾何平均數(shù)指的是兩個(gè)數(shù)的積的二分之一，即√(ab)。由于基本不等式的成立，可以得出平均數(shù)大于等于幾何平均數(shù)的結(jié)論。
3. 關(guān)于兩個(gè)數(shù)之和與兩個(gè)數(shù)的比值的關(guān)系：
從基本不等式得到如下兩個(gè)等式：
(a+b)2=4ab+(a-b)2；ab≥(a+b)/2
以上兩個(gè)式子給出了兩個(gè)關(guān)于兩個(gè)數(shù)之和與兩個(gè)數(shù)的比值的關(guān)系。
四、基本不等式的性質(zhì)
1. 交換律和結(jié)合律：基本不等式滿足交換律和結(jié)合律。
2. 反比例函數(shù)：若f(x)=1/x，x>0，則f(a)+f(b)≤2f((a+b)/2)對(duì)于a,b>0成立。
3. 帶約束的基本不等式：若a,b>0，且a+b=k，則(a+b)/2≥√(ab)，即k/2≥√(ab)。
五、基本不等式的應(yīng)用
1. 求證夾逼定理：如果a1≤b1≤c1，且a2≤b2≤c2，則(a1a2+b1b2+c1c2)/3≥(a1b2+b1c2+c1a2)/3≥√(a1b1c1a2b2c2)。
2. 判斷一個(gè)二次函數(shù)的最大值或最小值：由于二次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為一次函數(shù)，可以通過(guò)求導(dǎo)得到函數(shù)的極值。而基本不等式可以用于判斷二次函數(shù)的極值點(diǎn)是否合理，即是否在定義域內(nèi)。
3. 算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)之間的關(guān)系：通過(guò)基本不等式可以證明，當(dāng)兩個(gè)數(shù)的和固定時(shí)，它們的平均數(shù)越大，它們的幾何平均數(shù)就越小。
總的來(lái)說(shuō)，基本不等式是高中數(shù)學(xué)不可缺少的一部分，不僅在考試中占有重要地位，而且還具有很重要的理論意義。希望本文對(duì)初學(xué)者掌握基本不等式有所幫助。
教學(xué)目標(biāo)：
1.一元一次不等式與一次函數(shù)的關(guān)系.
2.會(huì)根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式，畫(huà)出函數(shù)圖象，并利用不等關(guān)系進(jìn)行比較.
1.通過(guò)一元一次不等式與一次函數(shù)的圖象之間的結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合意識(shí).
2.訓(xùn)練大家能利用數(shù)學(xué)知識(shí)去解決實(shí)際問(wèn)題的能力.
體驗(yàn)數(shù)、圖形是有效地描述現(xiàn)實(shí)世界的重要手段，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)是解決問(wèn)題和進(jìn)行交流的重要工具，了解數(shù)學(xué)對(duì)促進(jìn)社會(huì)進(jìn)步和發(fā)展人類理性精神的作用.
自己根據(jù)題意列函數(shù)關(guān)系式，并能把函數(shù)關(guān)系式與一元一次不等式聯(lián)系起來(lái)作答.
1.張大爺買了一個(gè)手機(jī)，想辦理一張電話卡，開(kāi)米廣場(chǎng)移動(dòng)通訊公司業(yè)務(wù)員對(duì)張大爺介紹說(shuō)：移動(dòng)通訊公司開(kāi)設(shè)了兩種有關(guān)神州行的通訊業(yè)務(wù)：甲類使用者先繳15元基礎(chǔ)費(fèi)，然后每通話1分鐘付話費(fèi)0.2元；乙類不交月基礎(chǔ)費(fèi)，每通話1分鐘付話費(fèi)0.3元。你能幫幫張大爺選擇一種電話卡嗎？
2.展示學(xué)習(xí)目標(biāo)：
（1）、理解一次函數(shù)圖象與一元一次不等式的關(guān)系。
（2）、能夠用圖像法解一元一次不等式。
（3）、理解兩種方法的關(guān)系，會(huì)選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉淮尾坏仁健?/p>
積極思考，嘗試回答問(wèn)題，導(dǎo)出本節(jié)課題。
閱讀學(xué)習(xí)目標(biāo)，明確探究方向。
問(wèn)題1：結(jié)合函數(shù)y=2x-5的圖象，觀察圖象回答下列問(wèn)題：
問(wèn)題2：如果y=－2x－5，那么當(dāng)x取何值時(shí)，y＞0?當(dāng)x取何值時(shí)，y
巡回每個(gè)小組之間，鼓勵(lì)學(xué)生用不同方法進(jìn)行嘗試，尋找最佳方案。答疑展示中存在的問(wèn)題。
問(wèn)題3.兄弟倆賽跑，哥哥先讓弟弟跑9m，然后自己才開(kāi)始跑，已知弟弟每秒跑3m，哥哥每秒跑4m，列出函數(shù)關(guān)系式，畫(huà)出函數(shù)圖象，觀察圖象回答下列問(wèn)題：
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每一位教師都必須在上課之前擁有一份完備的教案課件，因此每天都需要按時(shí)按質(zhì)地編寫(xiě)完善的教案課件。教案作為教育教學(xué)領(lǐng)域中的重要管理和組織工具，其質(zhì)量也至關(guān)重要。如何編寫(xiě)出優(yōu)質(zhì)的教案課件呢？我相信這份“不等式與不等式組教案”可以滿足您的需求，歡迎借鑒和學(xué)習(xí)，同時(shí)希望對(duì)您的教學(xué)工作有所幫助！...
她們每天陪伴孩子的時(shí)間超過(guò)了孩子家長(zhǎng)，她們教給孩子們最初的為人處世的道理，培養(yǎng)孩子們最初的對(duì)語(yǔ)言、數(shù)學(xué)、音樂(lè)、美術(shù)、體育……的興趣，引導(dǎo)孩子們認(rèn)識(shí)他們眼中最初的大自然。她們對(duì)每個(gè)孩子都盡可能地?zé)o私關(guān)愛(ài)...
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