居安思危,思則有備,有備無患。作為一幼兒園的老師,我們需要讓小朋友們學(xué)到知識,教案的作用就是為了緩解學(xué)生的壓力,提升效率,有了教案上課才能夠為同學(xué)講更多的,更全面的知識。幼兒園教案的內(nèi)容具體要怎樣寫呢?推薦你看看以下的數(shù)列教案精品12篇,僅供參考,歡迎大家閱讀本文。
數(shù)列極限教學(xué)設(shè)計
復(fù)習(xí)目的:1.理解數(shù)列極限的概念,會用“”定義證明簡單數(shù)列的極限。
2.掌握三個最基本的極限和數(shù)列極限的運算法則的運用。
3.理解無窮數(shù)列各項和的概念。
4.培養(yǎng)學(xué)生的推理論證能力、運算能力,提高學(xué)生分析問題,解決問
題的能力。
教學(xué)過程:
問題1:根據(jù)你的理解,數(shù)列極限的定義是如何描述的?
數(shù)列極限的定義:對于數(shù)列{an},如果存在一個常數(shù)A,無論事先指定多么小的正數(shù),都能在數(shù)列中找到一項aN,使得這一項后的所有項與A的差的絕對值小于,(即當(dāng)n>N時,記
時,an趨近于A的無限性,即趨近程度的無(1)的任意性刻劃了當(dāng)
限性(要有多近有多近)。
(2)N的存在性證明了這一無限趨近的可能性。
問題3:“
問題4:“”定義中的N的值是不是唯一? ”定義中,
因為N時,an對應(yīng)的點都在區(qū)間(A-
問題5:利用“,A+)內(nèi)?!倍x來證明數(shù)列極限的關(guān)鍵是什么? N時,立)。
問題6
:無窮常數(shù)數(shù)列有無極限?數(shù)列呢?數(shù)列
(
三個最基本的極限:(1)C=C,(2)=0,(3)=0(
問題7
:若=A,=B,則()=?,()=
?,=
?,=?。數(shù)列極限的運算法則:()=A+B,()=A-B,=AB,=(B0)。
即如果兩個數(shù)列都有極限,那么這兩個數(shù)列對應(yīng)項的和,差,積,商組成新數(shù)列的極限分別等于它們極限的和,差,積,商。(各項作為除數(shù)的數(shù)列的極限不能為零)
問題8:(,)
=
++
+=0對嗎? 運算法則中的只能推廣到有限個的情形。
問題9:無窮數(shù)列各項和s是任何定義的? s=,其中為無窮數(shù)列的前n項和,特別地,對無窮等比數(shù)列(
.用極限定義證明:
例2.求下列各式的值
(2)[()=,]
(2)()
例3
.已知例4
.計算:
(++)=0,求實數(shù)a,b的值。+,例5.已知數(shù)列是首項為1,公差為d的等差數(shù)列,它的前n項和為
小結(jié):本節(jié)課復(fù)習(xí)了數(shù)列極限的概念,運算法則,三個最基本的極限,無窮數(shù)列各項和的概念,以及它們的運用,主要是利用數(shù)列極限概念證明簡單數(shù)列的極限,利用運算法則求數(shù)列的極限,(包括已知極限求參數(shù)),求無窮數(shù)列各項和。
教學(xué)內(nèi)容:
人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材六年級下冊第107~108頁例2及相關(guān)練習(xí)。
教學(xué)目標(biāo):
1.在學(xué)習(xí)過程中引導(dǎo)學(xué)生探索研究數(shù)與形之間的聯(lián)系,尋找規(guī)律,發(fā)現(xiàn)規(guī)律,學(xué)會利用圖形來解決一些有關(guān)數(shù)的問題。
2.讓學(xué)生經(jīng)歷猜想與驗證的過程,體會和掌握數(shù)形結(jié)合、歸納推理、極限等基本數(shù)學(xué)思想。
重點難點:
探索數(shù)與形之間的聯(lián)系,尋找規(guī)律,并利用圖形來解決有關(guān)數(shù)的問題。
教學(xué)準(zhǔn)備:
教學(xué)課件。
教學(xué)過程:
一、直接導(dǎo)入,揭示課題
同學(xué)們,上節(jié)課我們探究了圖形中隱藏的數(shù)的規(guī)律,今天我們繼續(xù)研究有關(guān)數(shù)與圖形之間的聯(lián)系。(板書課題:數(shù)與形)
【設(shè)計意圖】直奔主題,簡潔明了,有利于學(xué)生清楚本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容和方向。
二、探索發(fā)現(xiàn),學(xué)習(xí)新知
(一)教師與學(xué)生比賽算題
1.教師:你知道等于多少嗎?(學(xué)生:)
教師:那等于多少呢?(學(xué)生計算需要時間)教師緊接著說:我已經(jīng)算好了,是,不信你算算。
2.只要按照這個分子是1,分母依次擴大2倍的規(guī)律寫下去,不管有多少個分?jǐn)?shù)相加,我都能立馬算出結(jié)果。有的同學(xué)不相信是嗎?咱們試試就知道。為了方便,我請我們班計算最快的同學(xué)跟我一起算,看看結(jié)果是否相同。誰來出題?
在學(xué)生出題后,老師都能立刻算出結(jié)果,并且是正確的,學(xué)生感到很驚奇。
3.知道我為什么算得那么快嗎?因為我有一件神秘的法寶,你們也想知道嗎?
【設(shè)計意圖】一方面,教師通過與學(xué)生比賽計算速度,且每次老師勝利,使學(xué)生產(chǎn)生好奇心,再通過教師幽默的語言,吸引學(xué)生的注意力,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲。另一方面,為接下來學(xué)習(xí)例題做好鋪墊。
(二)借助正方形探究計算方法
1.這件法寶就是(師邊說邊課件出示一個正方形),讓我們來把它變一變,聰明的同學(xué)們一定能看明白是怎么回事了。
2.進(jìn)行演示講解。
(1)演示:用一個正方形表示“1”,先取它的一半就是正方形的(涂紅),再剩下部分的一半就是正方形的(涂黃)。
想一想:正方形中表示的涂色部分與空白部分和整個正方形之間有什么關(guān)系呢?(涂色部分等于“1”減去空白部分)空白部分占正方形的幾分之幾?()那么涂色部分還可以怎么算呢?(),也就是說。
(2)繼續(xù)演示,誰知道除了通分,還可以怎么算?
根據(jù)學(xué)生回答,板書。
(3)演示:那么計算就可以得到?()。
3.看到這兒,你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律了嗎?
4.小結(jié):按照這樣的規(guī)律往下加,不管加到幾分之一,只要用1減去這個幾分之一就可以得到答案了。
5.這個法寶怎么樣?誰來說說它好在哪里?你學(xué)會了嗎?
6.嘗試練習(xí)
【設(shè)計意圖】將復(fù)雜的數(shù)量運算轉(zhuǎn)化為簡單的圖形面積計算,轉(zhuǎn)繁為簡,轉(zhuǎn)難為易,引導(dǎo)學(xué)生探索數(shù)與圖形的聯(lián)系,讓學(xué)生體會到數(shù)形結(jié)合、歸納推理的數(shù)學(xué)思想方法。
(三)知識提升,探索發(fā)現(xiàn)
1.感受極限。
(1)剛才我們已經(jīng)從一直加到了,如果我繼續(xù)加,加到,得數(shù)等于?()再接著加,一直加到,得數(shù)等于?()隨著不斷繼續(xù)加,你發(fā)現(xiàn)得數(shù)越來越?(大)無數(shù)個這樣的數(shù)相加,和會是多少呢?
(2)這時候你心中有沒有一個大膽的猜想?(學(xué)生猜想:這樣一直加下去,得數(shù)會不會就等于1了。)
(3)想象一下,如果我們在剛才加的過程中在正方形上不斷涂色,那空白部分的面積就越來越?(?。┒可糠值拿娣e越來越接近?(1)也就是求和的得數(shù)越來越接近?(1)最終得數(shù)是1嗎?你有什么方法來證明得數(shù)就是1?
(學(xué)情預(yù)設(shè):學(xué)生提出書本的圓形圖和線段圖,若沒有學(xué)生提出,教師自己提出。)
2.利用線段圖直觀感受相加之和等于“1”。
(1)書本上有兩幅圖,我們一起來看看(課件出示)。一幅是圓形圖,一幅是線段圖,你能看懂它的意思嗎?請你想一想,然后告訴大家你的想法。
(2)學(xué)生看書思考。
(3)全班交流,課件演示,得出結(jié)論:這些分?jǐn)?shù)不斷加下去,總和就是1。
【設(shè)計意圖】利用數(shù)與形的結(jié)合,讓學(xué)生直觀體會極限數(shù)學(xué)思想,并讓學(xué)生經(jīng)歷猜想得數(shù)等于“1”,到數(shù)形結(jié)合證明得數(shù)等于“1”的過程,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,培養(yǎng)學(xué)生探索新知的精神。
3.課堂小結(jié)。
對于這種借用圖形來幫助我們解決問題的方法,你有什么感受?
教師小結(jié):是的,“數(shù)”與“形”有著緊密的聯(lián)系,在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。當(dāng)用數(shù)形結(jié)合的方法解決問題時,你會發(fā)現(xiàn)許多難題的解決變得很簡單。
4.舉一反三。
其實在以前的學(xué)習(xí)中,我們也常用到到數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)方法幫助我們解題,你能想到些例子嗎?(如學(xué)生有困難,教師舉例:一年級加法,分?jǐn)?shù)的認(rèn)識,復(fù)雜的路程問題線段圖等。)
第一方面:教材分析
本節(jié)知識的學(xué)習(xí)既能加深對數(shù)列概念的理解,又為后面學(xué)習(xí)數(shù)列有關(guān)知識提供研究的方法,具有承上啟下的重要作用。而且等差數(shù)列求和在現(xiàn)實中有著廣泛的應(yīng)用,同時本節(jié)課的學(xué)習(xí)還蘊涵著倒序相加、數(shù)形結(jié)合、方程思想等深刻的數(shù)學(xué)思想方法。
第二方面:學(xué)情分析
知識基礎(chǔ):學(xué)生已掌握了函數(shù)、數(shù)列等有關(guān)基礎(chǔ)知識,并且在小學(xué)和初中已了解特殊的數(shù)列求和。
能力基礎(chǔ):高二學(xué)生已初步具備邏輯思維能力,能在教師的引導(dǎo)下解決問題,但處理抽象問題的能力還有待進(jìn)一步提高。
第三方面:學(xué)習(xí)目標(biāo)
依據(jù)課標(biāo),以及學(xué)生現(xiàn)有知識和本節(jié)教學(xué)內(nèi)容,制定教學(xué)目標(biāo)如下:
1.教學(xué)目標(biāo):
(1)知識與技能目標(biāo):(?。?初步掌握等差數(shù)列的前項和公式及推導(dǎo)方法;
(ⅱ) 當(dāng)以下5個量(a1,d,n,an,Sn)中已知三個量時,能熟練運用通項公式、前n項和公式求其余兩個量。
(2)過程與方法目標(biāo):通過公式的推導(dǎo)和公式的應(yīng)用,使學(xué)生體會數(shù)形結(jié)合的思想方法,體驗從特殊到一般,再從一般到特殊的思維規(guī)律。
(3)情感態(tài)度與價值觀:通過經(jīng)歷等差數(shù)列的前項和公式的探究活動,培養(yǎng)學(xué)生探索精神和創(chuàng)新意識,提高學(xué)生解決實際問題的觀念,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。
2.教學(xué)重、難點
等差數(shù)列前項和公式的推導(dǎo)有助于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維,而且在應(yīng)用公式的過程中體現(xiàn)了方程(組)思想,所以等差數(shù)列前項和公式的推導(dǎo)和簡單應(yīng)用是本節(jié)課的重點。但由于高二學(xué)生推理能力有待提高,所以難點在于一般等差數(shù)列前項和公式的推導(dǎo)方法上。
第四方面:教法學(xué)法
畢達(dá)哥拉斯說過:“在數(shù)學(xué)的天地里,重要的不是我們知道什幺,而是我們怎幺知道什幺?!?/p>
針對本節(jié)課的特點,教師采用問題探究式教學(xué)法,學(xué)生的學(xué)法以發(fā)現(xiàn)式學(xué)習(xí)法為主。
教學(xué)手段上通過多媒體輔助教學(xué),可以幫助學(xué)生直觀理解,提高課堂效率。
第五方面:教學(xué)過程
建構(gòu)主義理論認(rèn)為教師應(yīng)以問題為載體,以學(xué)生活動為主線開展教學(xué)。為此,我設(shè)計如下(情境引入、公式探索、公式推導(dǎo)、公式應(yīng)用、歸納總結(jié)和發(fā)展作業(yè))六個環(huán)節(jié)
1.情境引入
上課伊始,先給同學(xué)們看一段視頻,回顧學(xué)校建校60年的光輝歷史,然后跟同學(xué)們共同欣賞照片,提出
問題1:學(xué)校為了慶祝建校60年,在校園里擺放了一些鮮花,最前面一行擺了4盆,后面每行比前一行多一盆,共八行,一共擺放了多少盆鮮花?
這樣設(shè)計幫助學(xué)生了解學(xué)校歷史,滲透德育教育,激發(fā)學(xué)習(xí)熱情。
有的學(xué)生會選擇直接相加,教師提出問題:有沒有簡單的方法呢?自然進(jìn)入第二環(huán)節(jié)。
2.公式探索
發(fā)現(xiàn)公式的推導(dǎo)方法是本節(jié)課的難點,我先引導(dǎo)學(xué)生明確上述問題的本質(zhì)是等差數(shù)列求和問題,引出課題并板書,提出:
問題2:如果每行的花都一樣多,則花的總數(shù)易于求得,我們怎樣能把這些花補成每行都一樣多呢?
此時,學(xué)生會想到如下幾種拼湊形式,我們選擇最易于解決原問題的第1種
教師及時引導(dǎo)學(xué)生小結(jié):
對于求等差數(shù)列的前n項和在已知a1,an,n時,可選擇公式(1);已知a1,d,n時可選擇公式(2);
設(shè)計意圖:例1是等差數(shù)列前項和兩個公式的直接應(yīng)用,對于不同的已知條件選擇不同的公式,幫助學(xué)生完成對公式的記憶和鞏固,例1的第(2)問由教師板書解題步驟,起到了示范教學(xué)的效果。
例2由學(xué)生板書,師生共同完善給予評價,變式由學(xué)生互評,教師及時引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行小結(jié):
已知等差數(shù)列如下a1,d,n,an,Sn五個量中三個可求其余兩個,即等差數(shù)列“知三求二”。
設(shè)計上述題目,實現(xiàn)對公式的簡單應(yīng)用這一教學(xué)目標(biāo)。
5.歸納總結(jié)
教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本節(jié)課的知識要點和思想方法,師生共同完善,對本節(jié)內(nèi)容整體把握。
6.布置作業(yè)
我根據(jù)學(xué)情分層布置作業(yè),基礎(chǔ)性作業(yè)的安排是為鞏固課堂內(nèi)容,發(fā)展性作業(yè)可以幫助學(xué)生進(jìn)一步體會等差數(shù)列前項和公式的結(jié)構(gòu),通過開放性作業(yè),幫助學(xué)生關(guān)注課堂,拓展知識面,提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力。
(課件打出(1)課本第41頁練習(xí)B 1,2題
(2) 思考與討論:自主探討公式(2)并思考:如果一個數(shù)列的前n項和Sn=an2+bn+c(a,b,c為常數(shù)),那幺這個數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎?請同學(xué)們給予證明。
六、設(shè)計說明
1.設(shè)計特色
(1)在探求公式推導(dǎo)思路的過程中,滲透德育教育,培養(yǎng)學(xué)生良好道德情操;
(2)公式推導(dǎo)和應(yīng)用階段,借助問題臺階,創(chuàng)造性使用教材,符合認(rèn)知規(guī)律,體現(xiàn)教學(xué)科學(xué)性。
2.是板書設(shè)計。
銅仁一中 吳 瑜
【教學(xué)目標(biāo)】 1、知識與技能
掌握幾種解決數(shù)列求和問題的基本思路、方法和適用范圍,進(jìn)一步熟悉數(shù)列求和的不同呈現(xiàn)形式及解決策略。2、過程與方法
經(jīng)歷數(shù)列幾種求和方法的探究過程、深化過程和應(yīng)用過程,培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力,體會知識的發(fā)生、發(fā)展過程,培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。3、情感與價值觀
通過數(shù)列幾種求和法的歸納應(yīng)用,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和創(chuàng)新意識,形成鍥而不舍的鉆研精神和合作交流的科學(xué)態(tài)度。感悟數(shù)學(xué)的簡潔美﹑對稱美。【教學(xué)重點】
本節(jié)課的教學(xué)重點為倒序相加、裂項相消、分組求和、錯位相減求和的方法和形式,能將一些特殊數(shù)列的求和問題轉(zhuǎn)化上述相應(yīng)模型的求和問題?!窘虒W(xué)難點】
本節(jié)課的教學(xué)難點為建構(gòu)幾種求和方法模型的思維過程,不同的數(shù)列采用不同的方法,運用轉(zhuǎn)化與化歸的思想分析問題和解決問題。【課堂設(shè)計】
一、知識回顧
1、等差數(shù)列通項公式an?a1?(n?1)d,前n項和公式Sn?n(a1?an)
2na(1?q)1n?1(q?1)
2、等比數(shù)列通項公式an?a1q,前n項和公式Sn?1?q
二、合作探究
1、倒序相加法:
例
1、求和:sn?sin21??sin22??sin23???sin289? 設(shè)計意圖:應(yīng)用倒序相加并感受此種方法的優(yōu)越性——簡潔美、對稱美。
2、裂項相消法: 例
2、求數(shù)列 1111,,?, 的前n項和。1?22?33?4n(n?1)一般化:1111?(?)
n(n?k)knn?k設(shè)計意圖:體驗通分和裂項這對運算的互逆關(guān)系以及相消過程的簡潔美、對稱美。【變式1】已知數(shù)列{an}的通項公式為an?2n?1,求數(shù)列
1的前n項和。
an?an?1【變式2】求和:sn?
3、分組求和法:
1111????? 1?44?77?10(3n?2)?(3n?1)例
3、求和:sn?1?2?3?4?5?6???(2n?1)?2n 【變式1】求和:sn?
14、錯位相減法:
例
4、求和:sn?1?2?2?22?3?23???n?2n
三、歸納小結(jié) 數(shù)列求和常用的方法:
1、倒序相加法:數(shù)列an中,與首末兩項等距離的兩項之和等于首末兩項之和,求和時可把正著寫與倒著寫的兩個和式相加,就得到一個常數(shù)列的和。
2、裂項相消法:設(shè)法將數(shù)列an的每一項拆成兩項或若干項,并使它們在相加時除了首尾各有一項或少數(shù)幾項外,其余各項都能前后正負(fù)相消,進(jìn)而求出數(shù)列的前n項和。
3、分組求和法:an,bn是等差數(shù)列或等比數(shù)列,求數(shù)列an?bn的前n項和。
4、錯位相減法:an是等差數(shù)列,bn是等比數(shù)列,求數(shù)列an?bn的前n項和。思考題:
1.求數(shù)列1,1?2,1?2?2,?,1?2?2???222n?11111?3?5???(2n?1)n 2482????????????????前n項的和。
2.求和:sn?1002?993?982?972???22?12
數(shù)列(第一課時)的說課稿
一、教材結(jié)構(gòu)與內(nèi)容簡析
本節(jié)內(nèi)容在全書及章節(jié)的地位:《數(shù)列(第一課時)》是高中數(shù)學(xué)新教材第一冊(上)第3章第一節(jié)。數(shù)列是在緊接著第二章函數(shù)之后的內(nèi)容,數(shù)列是一個定義域為正整數(shù)集(或它的有限子集)的函數(shù)當(dāng)自變量由小到大依次取值時對應(yīng)的一列函數(shù)值。它在教材中起著承前啟后的作用,一方面,可以加深學(xué)生對函數(shù)概念的認(rèn)識,使他們了解不僅可以有自變量連續(xù)變化的函數(shù),還可以有自變量離散變化的函數(shù);另一方面,又可以從函數(shù)的觀點出發(fā)變動地、直觀地研究數(shù)列的一些問題,以便對數(shù)列性質(zhì)的認(rèn)識更深入一步。數(shù)列還有著非常廣泛的實際應(yīng)用;數(shù)列還是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的良好題材。所以說數(shù)列是高中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容之一。
數(shù)學(xué)思想方法分析:作為一名數(shù)學(xué)老師,不僅要傳授給學(xué)生數(shù)學(xué)知識,更重要的是傳授給學(xué)生數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)意識,因此本節(jié)課在教學(xué)中力圖向?qū)W生展示嘗試觀察、歸納、類比、聯(lián)想等數(shù)學(xué)思想方法。
二、教學(xué)目標(biāo)
根據(jù)上述教材結(jié)構(gòu)與內(nèi)容分析,考慮到學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)心理特征 ,我制定如下教學(xué)目標(biāo):
1、基礎(chǔ)知識目標(biāo):形成并掌握數(shù)列的概念,理解數(shù)列的通項公式。并通過數(shù)列與函數(shù)的比較加深對數(shù)列的認(rèn)識。
2、能力訓(xùn)練目標(biāo): 培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、類比、聯(lián)想等發(fā)現(xiàn)規(guī)律的一般方法。
3、情感目標(biāo):讓學(xué)生在民主、和諧的共同活動中感受學(xué)習(xí)的樂趣。
三、教學(xué)重點、難點、關(guān)鍵
本著課程標(biāo)準(zhǔn),在吃透教材基礎(chǔ)上,我覺得本節(jié)課是本章內(nèi)容的第一節(jié)課,是學(xué)生學(xué)習(xí)本章的基礎(chǔ),為了本章后面知識的學(xué)習(xí),首先必須掌握數(shù)列的概念,其次數(shù)列的通項公式是研究后面等差數(shù)列、等比數(shù)列的靈魂,所以我認(rèn)為數(shù)列的概念及其通項公式是教學(xué)的重點。由特殊到一般,由現(xiàn)象到本質(zhì),要學(xué)生從一個數(shù)列的前幾項或相鄰的幾項來觀察、歸納、類比、聯(lián)想出數(shù)列的通項公式,學(xué)生必須通過自己的努力尋找出數(shù)列的通項an與項數(shù)n之間的關(guān)系來,對學(xué)生的能力要求比較高,所以我認(rèn)為建立數(shù)列的通項公式是教學(xué)的難點。我覺得教學(xué)的關(guān)鍵就是教會學(xué)生克服難點,辦法是讓學(xué)生學(xué)會觀察數(shù)列的前幾項的特點,在觀察和比較中揭示數(shù)列的變化規(guī)律。
下面,為了講清重點、難點,使學(xué)生能達(dá)到本節(jié)設(shè)定的教學(xué)目標(biāo),我再從教法和學(xué)法上談?wù)劇?/p>
四、教法
數(shù)學(xué)是一門培養(yǎng)和發(fā)展人的思維的重要學(xué)科,因此,在教學(xué)中,不僅要使學(xué)生“知其然”而且要使學(xué)生“知其所以然”。為了體現(xiàn)以學(xué)生發(fā)展為本,遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,體現(xiàn)循序漸進(jìn)與啟發(fā)式的教學(xué)原則,我進(jìn)行了這樣的教法設(shè)計:在教師的引導(dǎo)下,創(chuàng)設(shè)情景,通過開放性問題的設(shè)置來啟發(fā)學(xué)生思考,在思考中體會數(shù)學(xué)概念形成過程中所蘊涵的數(shù)學(xué)方法,使之獲得內(nèi)心感受。
五、學(xué)法
我們常說:“現(xiàn)代的文盲不是不識字的人,而是沒有掌握學(xué)習(xí)方法的人”,因而在教學(xué)中要特別重視學(xué)法的指導(dǎo)。隨著《基礎(chǔ)教育課程改革綱要(試行)》的頒布實施,課程改革形成由點到面,逐步鋪開的良好態(tài)勢。其中轉(zhuǎn)變學(xué)生學(xué)習(xí)方式是本次課程改革的重點之一。課程改革的具體目標(biāo)之一是“改變課程實施過于強調(diào)接受學(xué)習(xí)、死記硬背、機械訓(xùn)練的現(xiàn)狀,倡導(dǎo)學(xué)生主動參與、樂于探究、勤于動手,培養(yǎng)學(xué)生搜集和處理信息的能力、獲取新知識的能力、分析和解決問題的能力以及交流與合作的能力”。數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)教育的核心課程之一,轉(zhuǎn)變學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式,不僅有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng),而且有利于促進(jìn)學(xué)生整體學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變。我以建構(gòu)主義理論為指導(dǎo),輔以多媒體手段,采用著重于學(xué)生探索研究的啟發(fā)式教學(xué)方法,結(jié)合師生共同討論、歸納。在課堂結(jié)構(gòu)上,我根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平,我設(shè)計了 ①創(chuàng)設(shè)情境——引入概念②觀察歸納——形成概念③討論研究——深化概念④即時訓(xùn)練—鞏固新知⑤總結(jié)反思——提高認(rèn)識⑥任務(wù)后延——自主探究六個層次的學(xué)法,它們環(huán)環(huán)相扣,層層深入,從而順利完成教學(xué)目標(biāo)。
六、教學(xué)程序及設(shè)想
接下來,我再具體談一談這堂課的教學(xué)過程:
(一) 創(chuàng)設(shè)情境——引入概念我經(jīng)常在思考:長期以來,我們的學(xué)生為什么對數(shù)學(xué)不感興趣,甚至害怕數(shù)學(xué),其中的一個重要因素就是數(shù)學(xué)離學(xué)生的生活實際太遠(yuǎn)了。事實上,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)該與學(xué)生的生活融合起來,從學(xué)生的生活經(jīng)驗和已有的知識背景出發(fā),讓他們在生活中去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)、探究數(shù)學(xué)、認(rèn)識并掌握數(shù)學(xué)。
1、由生活中的具體的數(shù)列實例引入:a、時間:時鐘、掛歷 b、植物:植物的莖
2、用古老的有關(guān)國際象棋的傳說引入,符合高一學(xué)生喜歡探究新奇奧妙事物的特點。有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。
(二)觀察歸納——形成概念
由實例得出幾列數(shù),再有目的地設(shè)計,如自然數(shù)、自然數(shù)的倒數(shù)、大于零的偶數(shù)、開關(guān)(0,1,0,1,0,1,?)、“一尺之棰,日取其半,永世不竭。”以及從1984年到2019年我國體育健兒參加六次奧運會獲得的金牌數(shù)15,5,16,16,28,32所形成的數(shù)列,教師引導(dǎo)學(xué)生概括總結(jié)出本課新的知識點:數(shù)列的定義。
(三)討論研究——深化概念
課前我精心設(shè)計的幾個數(shù)列中已經(jīng)含概了有窮數(shù)列、無窮數(shù)列、遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)數(shù)列,等待學(xué)生觀察、討論、交流后掌握以上幾個概念。數(shù)列的相關(guān)概念:數(shù)列中的每一個數(shù)都叫這個數(shù)列的項,并且依次叫做這個數(shù)列的第一項(首項),第二項,…第n項,…。數(shù)列的一般形式可寫成:a1,a2,a3,…,an?,簡記為{an},其中an表示數(shù)列的第n項。 接著引導(dǎo)學(xué)生再觀察以上幾個數(shù)列的項與項數(shù)之間的關(guān)系,如果數(shù)列{an}的第n項an與序號n之間的關(guān)系可以用一個公式an=f(n)來表示,那么這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式。 最后通過數(shù)列通項公式與函數(shù)解析式的對比研究,使學(xué)生得出數(shù)列通項公式an=f(n)的圖象是一群孤立的點。 在數(shù)列中,項數(shù)n與項an之間存在著對應(yīng)關(guān)系。如果把項數(shù)n看作自變量,那么數(shù)列可以看作以自然數(shù)集(或它的有限子集{1,2,3,?,n})為定義域的函數(shù)當(dāng)自變量由小到大依次取值時對應(yīng)的一列函數(shù)值。而數(shù)列的通項公式也就是相應(yīng)函數(shù)的解析式。當(dāng)我們把直角坐標(biāo)系的橫坐標(biāo)看作項數(shù)n,縱坐標(biāo)看作項an時,我們得到的圖象就是一群孤立的點。
(四)即時訓(xùn)練—鞏固新知
為了使學(xué)生達(dá)到對知識的深化理解,從而達(dá)到鞏固提高的效果,我特地設(shè)計了一組即時訓(xùn)練題,并且把課本的例題熔入即時訓(xùn)練題中,通過學(xué)生的觀察嘗試,討論研究,教師引導(dǎo)來鞏固新知識。
(五)總結(jié)反思——提高認(rèn)識
由學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容:⑴數(shù)列及其有關(guān)概念;⑵根據(jù)數(shù)列的通項公式求其任意一項;⑶根據(jù)數(shù)列的一些相鄰項求數(shù)列的通項公式;⑷數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系(數(shù)列是一種特殊的函數(shù))。讓學(xué)生通過知識性內(nèi)容的小結(jié),把課堂教學(xué)傳授的知識盡快化為學(xué)生的素質(zhì);通過數(shù)學(xué)思想方法的小結(jié),使學(xué)生更深刻地理解數(shù)學(xué)思想方法在解題中的地位和應(yīng)用,并且逐漸培養(yǎng)學(xué)生的良好的個性品質(zhì)目標(biāo)。
(六)任務(wù)后延——自主探究
學(xué)生經(jīng)過以上五個環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí),已經(jīng)初步掌握了探究數(shù)列規(guī)律的一般方法,有待進(jìn)一步提高認(rèn)知水平,因此我針對學(xué)生素質(zhì)的差異設(shè)計了有層次的訓(xùn)練題,留給學(xué)生課后自主探究,這樣既使學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識,又使學(xué)有佘力的學(xué)生有所提高,從而達(dá)到拔尖和“減負(fù)”的目的。
七、簡述板書設(shè)計。
結(jié)束:以上,我僅從說教材,說學(xué)情,說教法,說學(xué)法,說教學(xué)程序上說明了“教什么”和“怎么教”,闡明了“為什么這樣教”。希望各位專家領(lǐng)導(dǎo)對本堂說課提出寶貴意見。
數(shù)列是刻畫離散現(xiàn)象的函數(shù),是一種重要的屬性模型。人們往往通過離散現(xiàn)象認(rèn)識連續(xù)現(xiàn)象,因此就有必要研究數(shù)列。
在推導(dǎo)等差數(shù)列前n項和公式的過程中,采用了:
1、從特殊到一般的研究方法;
2、倒敘相加求和。不僅得出來等差數(shù)列前n項和公式,而且對以后推導(dǎo)等比數(shù)列前n項和公式有一定的啟發(fā),也是一種常用的數(shù)學(xué)思想方法。等差數(shù)列的前n項和是學(xué)習(xí)極限、微積分的基礎(chǔ),與數(shù)學(xué)課程的其他內(nèi)容(函數(shù)、三角、不等式等)有著密切的聯(lián)系。
掌握等差數(shù)列的前n項和公式,能較熟練應(yīng)用等差數(shù)列的前n項和公式求和。
經(jīng)歷公式的推導(dǎo)過程,體會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,體驗從特殊到一般的研究方法,學(xué)會觀察、歸納、反思。
獲得發(fā)現(xiàn)的成就感,逐步養(yǎng)成科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度,提高代數(shù)推理的.能力。
三、教法學(xué)法分析
教學(xué)過程分為問題呈現(xiàn)階段、探索與發(fā)現(xiàn)階段、應(yīng)用知識階段。
探索與發(fā)現(xiàn)公式推導(dǎo)的思路是教學(xué)的重點。如果直接介紹“倒敘相加”求和,無疑就像波利亞所說的“帽子里跳出來的兔子”。所以在教學(xué)中采用以問題驅(qū)動、層層鋪墊,從特殊到一般啟發(fā)學(xué)生獲得公式的推導(dǎo)方法。
應(yīng)用公式也是教學(xué)的重點。為了讓學(xué)生較熟練掌握公式,可采用設(shè)計變式題的教學(xué)手段,通過“選擇公式”,“變用公式”,“知三求二”三個層次來促進(jìn)學(xué)生新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成。
建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為,學(xué)習(xí)是學(xué)生積極主動地建構(gòu)知識的過程,學(xué)習(xí)應(yīng)該與學(xué)生熟悉的背景相聯(lián)系。在教學(xué)中,讓學(xué)生在問題情境中,經(jīng)歷知識的形成和發(fā)展,通過觀察、操作、歸納、探索、交流、反思參與學(xué)習(xí),認(rèn)識和理解數(shù)學(xué)知識,學(xué)會學(xué)習(xí),發(fā)展能力。
泰姬陵坐落于印度古都阿格,是世界七大奇跡之一。傳說陵寢中有一個三角形圖案,以相同大小的圓寶石鑲飾而成共有100層。你知道這個圖案一共花了多少寶石嗎?
設(shè)計意圖:
(1)、源于歷史,富有人文氣息。
(1)、學(xué)生敘述高斯首尾配對的方法(學(xué)生對高斯的算法是熟悉的,知道采用首尾配對的方法來求和,但是他們對這種方法的認(rèn)識可能處于模仿、記憶的階段。)
(2)、為了促進(jìn)學(xué)生對這種算法的進(jìn)一步理解,設(shè)計了下面的問題。
問題1:圖案中,第1層到第21層共有多少顆寶石?(這是奇數(shù)個項和的問題,不能簡單模仿偶數(shù)個項求和的方法,需要把中間項11看成是首、尾兩項1和21的等差中項。
通過前后比較得出認(rèn)識:高斯“首尾配對”的算法還得分奇數(shù)、偶數(shù)個項的情況求和。
(3)、進(jìn)而提出有無簡單的方法。
借助幾何圖形的直觀性,引導(dǎo)學(xué)生使用熟悉的幾何方法:把“全等三角形”倒置,與原圖補成平行四邊形。
幾何直觀能啟迪思路,幫助理解,因此,借助幾何直觀學(xué)習(xí)和理解數(shù)學(xué),是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要方面,只有做到了直觀上的理解,才是真正的理解。因此在教學(xué)中,要鼓勵學(xué)生借助幾何直觀進(jìn)行思考,揭示研究對象的性質(zhì)和關(guān)系,從而滲透了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。
Sn=(從求確定的前n個正整數(shù)之和到求一般項數(shù)的前n個正整數(shù)之和,旨在讓學(xué)生體驗“倒敘相加求和”這一算法的合理性,從心理上完成對“首尾配對求和”算法的改進(jìn))
由于前面的鋪墊,學(xué)生容易得出如下過程:
∵Sn=an+an—1+an—2+…a1,
等差數(shù)列的性質(zhì)(如果m+n=p+q,那么am+an=ap+aq。)
設(shè)計意圖:
一言以蔽之,數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)努力做到:以簡馭繁,平實近人,退樸歸真,循循善誘,引人入勝。
公式1Sn=;
某長跑運動員7天里每天的訓(xùn)練量如下7500m,8000m,8500m,9000m,9500m,10000m,10500m。這位長跑運動員7天共跑了多少米?(本例提供了許多數(shù)據(jù)信息,學(xué)生可以從首項、尾項、項數(shù)出發(fā),使用公式1,也可以從首項、公差、項數(shù)出發(fā),使用公式2求和。達(dá)到學(xué)生熟悉公式的要素與結(jié)構(gòu)的教學(xué)目的。
通過兩種方法的比較,引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)該根據(jù)信息選擇適當(dāng)?shù)墓?,以便于計算。?/p>
等差數(shù)列—10,—6,—2,2,…的前多少項和為54?(本例已知首項,前n項和、并且可以求出公差,利用公式2求項數(shù)。
事實上,在兩個求和公式中包含四個元素,從方程的角度,知三必能求余一。)
變式練習(xí):在等差數(shù)列{an}中,a1=20,an=54,Sn=999,求n。
在等差數(shù)列{an}中,已知d=20,n=37,Sn=629,求a1及an。(本例是使用等差數(shù)列的求和公式和通項公式求未知元。
事實上,在求和公式、通項公式中共有首項、公差、項數(shù)、尾項、前n項和五個元素,如果已知其中三個,連列方程組,就可以求出其余兩個。)
4、當(dāng)堂訓(xùn)練,鞏固深化。
通過學(xué)生的主體性參與,使學(xué)生深刻體會到本節(jié)課的主要內(nèi)容和思想方法,從而實現(xiàn)對知識的再次深化。
采用課后習(xí)題1,2,3。
5、小結(jié)歸納,回顧反思。
①、回顧從特殊到一般的研究方法;
②、體會等差數(shù)列的基本元素的表示方法,倒敘相加的算法,以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。
①、通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),你學(xué)到了哪些知識?
②、通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),你最大的體驗是什么?
③、通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),你掌握了哪些技能?
作業(yè)分為必做題和選做題,必做題是對本節(jié)課學(xué)生知識水平的反饋,選做題是對本節(jié)課內(nèi)容的延伸與連貫,強調(diào)學(xué)以致用。通過作業(yè)設(shè)置,使不同層次的學(xué)生都可以獲得成功的喜悅,看到自己的潛能,從而激發(fā)學(xué)生飽滿的學(xué)習(xí)興趣,促進(jìn)學(xué)生的自主發(fā)展、合作探究的學(xué)習(xí)氛圍的形成。
我設(shè)計了以下作業(yè):
習(xí)題3.3第2題(3,4)。
(1)、已知a2+a5+a12+a15=36,求是S16。
(2)、已知a6=20,求s11。
板書要基本體現(xiàn)課堂的內(nèi)容和方法,體現(xiàn)課堂進(jìn)程,能簡明扼要反映知識結(jié)構(gòu)及其相互關(guān)系:能指導(dǎo)教師的教學(xué)進(jìn)程、引導(dǎo)學(xué)生探索知識;通過使用幻燈片輔助板書,節(jié)省課堂時間,使課堂進(jìn)程更加連貫。
學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果評價固然重要,但是更重要的是學(xué)生學(xué)習(xí)的過程評價。我采用了及時點評、延時點評與學(xué)生互評相結(jié)合,全面考查學(xué)生在知識、思想、能力等方面的發(fā)展情況,在質(zhì)疑探究的過程中,評價學(xué)生是否有積極的情感態(tài)度和頑強的理性精神,在概念反思過程中評價學(xué)生的歸納猜想能力是否得到發(fā)展,通過鞏固練習(xí)考查學(xué)生對本節(jié)是否有一個完整的集訓(xùn),并進(jìn)行及時的調(diào)整和補充。
一、設(shè)計思想
1、設(shè)計理念
本課的教學(xué)設(shè)計基于“人人都能獲得必要得數(shù)學(xué)”即平等性的考慮,堅持面向全體學(xué)生,努力設(shè)計“適合學(xué)生發(fā)展得數(shù)學(xué)教育”,體現(xiàn)“人人學(xué)數(shù)學(xué)”,“不同的人學(xué)不同的數(shù)學(xué)”的理念。教學(xué)中強調(diào)“培養(yǎng)學(xué)生情感、態(tài)度與價值觀”的重要性,注重引導(dǎo)學(xué)生主動地進(jìn)行探索,從而幫助學(xué)生樹立正確的數(shù)學(xué)觀,但又與教師的設(shè)計問題與活動的引導(dǎo)密切結(jié)合,強調(diào)“活動”的內(nèi)化,即在頭腦中實現(xiàn)必要的重構(gòu)或認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重組,從而引起真正的數(shù)學(xué)思維,提高思維的效益。通過聯(lián)系學(xué)生的生活實際使其真正感到數(shù)學(xué)是有意義的,一方面培養(yǎng)學(xué)生的社會意識,明確肯定“日常數(shù)學(xué)”的`合理性等,另一方面,再調(diào)動學(xué)生生活經(jīng)驗的同時,又應(yīng)努力幫助他們清楚地去熟悉生活經(jīng)驗并上升到“學(xué)校數(shù)學(xué)”的必要性。
2、設(shè)計背景
傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)作業(yè)單調(diào)枯燥,脫離生活和學(xué)生實際,不利于學(xué)生個性和能力的發(fā)展。在新課程標(biāo)準(zhǔn)的理念下,重新認(rèn)識作業(yè)的意義和價值,突破傳統(tǒng),改變現(xiàn)狀,樹立正確的作業(yè)觀,創(chuàng)新作業(yè)方式,激發(fā)興趣,發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì),既注重基礎(chǔ)知識的鞏固,更要注重學(xué)生思維和能力的發(fā)展,既要創(chuàng)新又要保證其科學(xué)有效,使學(xué)生在做作業(yè)的過程中體驗快樂、形成能力、學(xué)會合作、體驗自主。
3、教材的地位與作用
本節(jié)教材在學(xué)生學(xué)習(xí)過等比數(shù)列的概念與性質(zhì)的基礎(chǔ)上,學(xué)習(xí)等比數(shù)列n前項和公式,能用等比數(shù)列的前n項和公式解決相關(guān)求和問題。探索公式的推導(dǎo)、體會錯位相減法以及分類討論的思想方法。本節(jié)內(nèi)容基礎(chǔ)知識和基本技能非常重要,涉及的數(shù)學(xué)思想、方法較為豐富,因此是重點內(nèi)容之一。本設(shè)計是第一課時的教學(xué)內(nèi)容。
二、學(xué)習(xí)目標(biāo)
⑴知識與技能
掌握等比數(shù)列的前n項和公式,能用等比數(shù)列的前n項和公式解決相關(guān)問題。
⑵過程與方法
通過等比數(shù)列的前n項和公式的推導(dǎo)過程,體會錯位相減法以及分類討論的思想方法。 ⑶情感、態(tài)度與價值觀
通過對等比數(shù)列的學(xué)習(xí),發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識,逐步認(rèn)識數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值,發(fā)展數(shù)學(xué)的理性思維。
教學(xué)重點
教學(xué)難點
錯位相減法以及分類討論的思想方法的掌握。
三、教學(xué)設(shè)想:
本節(jié)課采用探究式課堂教學(xué)模式,即在教學(xué)過程中,在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下,以學(xué)生獨立自主和合作交流為前提,以“正弦定理的發(fā)現(xiàn)”為基本探究內(nèi)容,以四周世界和生活實際為參照對象,為學(xué)生提供充分自由表達(dá)、質(zhì)疑、探究、討論問題的機會,讓學(xué)生通過個人、小組、集體等多種解難釋疑的嘗試活動,將自己所學(xué)知識應(yīng)用于對任意三角形性質(zhì)的深入探討。讓學(xué)生在“活動”中學(xué)習(xí),在“主動”中發(fā)展,在“合作”中增知,在“探究”中創(chuàng)新。設(shè)計思路如下:
四、教學(xué)過程
(一)創(chuàng)設(shè)問題情景
課前給出復(fù)習(xí):等比數(shù)列的定義及性質(zhì)
課首給出引例:“一個窮人到富人那里去借錢,原以為富人不愿意,哪知富人一口答應(yīng)了
下來,但提出了如下條件:在30天中,富人第一天借給窮人1萬元,第二天借給窮人2萬元,
以后每天所借的錢數(shù)都比上一天多1萬;但借錢第一天,窮人還1分錢,第二天還2分錢,以后
每天所還的錢數(shù)都是上一天的兩倍,30天后互不相欠.窮人聽后覺得挺劃算,本想定下來,但
又想到此富人是吝嗇出了名的,怕上當(dāng)受騙,所以很為難。”請在座的同學(xué)思考討論一下,窮
人能否向富人借錢
[設(shè)計一個學(xué)生比較感愛好的實際問題,吸引學(xué)生注重力,使其馬上進(jìn)入到研究者的角色中
來!]
(二)啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)地觀察問題,構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。
學(xué)生直覺認(rèn)為窮人可以向富人借錢,教師引導(dǎo)學(xué)生自主探求,得出:
窮人30天借到的錢:S301230
窮人需要還的錢:S301222229'(130)302 465(萬元)
[直覺先行,思辨引路,在矛盾沖突中引發(fā)學(xué)生積極的思維!]
教師緊接著把如何求S301222229?的問題讓學(xué)生探究,
S301222229 ①若用公比2乘以上面等式的兩邊,得到
2S30222229230②
若②式減去①式,可以消去相同的項,得到:
S3023011073741823(分) ≈1073(萬元)>465(萬元)
答案:窮人不能向富人借錢
(三)引導(dǎo)學(xué)生用“特例到一般”的研究方法,猜想數(shù)學(xué)規(guī)律。
提出問題:如何推導(dǎo)等比數(shù)列前n項和公式?(學(xué)生很自然地模仿以上方法推導(dǎo))
一、等差數(shù)列
1、定義
注:“從第二項起”及
“同一常數(shù)”用紅色粉筆標(biāo)注
二、等差數(shù)列的通項公式
(一)例題與練習(xí)
通過練習(xí)2和3 引出兩個具體的等差數(shù)列,初步認(rèn)識等差數(shù)列的特征,為后面的概念學(xué)習(xí)建立基礎(chǔ),為學(xué)習(xí)新知識創(chuàng)設(shè)問題情境,激發(fā)學(xué)生的求知欲。由學(xué)生觀察兩個數(shù)列特點,引出等差數(shù)列的概念,對問題的總結(jié)又培養(yǎng)學(xué)生由具體到抽象、由特殊到一般的認(rèn)知能力。
(二)新課探究
1、由引入自然的給出等差數(shù)列的概念:
如果一個數(shù)列,從第二項開始它的每一項與前一項之差都等于同一常數(shù),這個數(shù)列就叫等差數(shù)列, 這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,通常用字母d來表示。強調(diào):
① “從第二項起”滿足條件; f
②公差d一定是由后項減前項所得;
③每一項與它的前一項的差必須是同一個常數(shù)(強調(diào)“同一個常數(shù)” );
在理解概念的基礎(chǔ)上,由學(xué)生將等差數(shù)列的文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言,歸納出數(shù)學(xué)表達(dá)式:
an+1—an=d (n≥1) ;h4z+0"6vG
同時為了配合概念的理解,我找了5組數(shù)列,由學(xué)生判斷是否為等差數(shù)列,是等差數(shù)列的找出公差。
1。 9 ,8,7,6,5,4,……;√ d=—1
2。 0。70,0。71,0。72,0。73,0。74……;√ d=0。01
3。 0,0,0,0,0,0,……。; √ d=0
4。 1,2,3,2,3,4,……;×
5。 1,0,1,0,1,……×
其中第一個數(shù)列公差0,第三個數(shù)列公差=0
由此強調(diào):公差可以是正數(shù)、負(fù)數(shù),也可以是0
2、第二個重點部分為等差數(shù)列的通項公式
在歸納等差數(shù)列通項公式中,我采用討論式的教學(xué)方法。給出等差數(shù)列的首項 ,公差d,由學(xué)生研究分組討論a4 的通項公式。通過總結(jié)a4的通項公式由學(xué)生猜想a40的通項公式,進(jìn)而歸納an的通項公式。整個過程由學(xué)生完成,通過互相討論的方式既培養(yǎng)了學(xué)生的協(xié)作意識又化解了教學(xué)難點。
若一等差數(shù)列{an }的首項是a1,公差是d,
則據(jù)其定義可得:
a2 — a1 =d 即: a2 =a1 +d
a3 – a2 =d 即: a3 =a2 +d = a1 +2d
a4 – a3 =d 即: a4 =a3 +d = a1 +3d
……
猜想: a40 = a1 +39d
進(jìn)而歸納出等差數(shù)列的通項公式:
an=a1+(n—1)d
此時指出: 這種求通項公式的辦法叫不完全歸納法,這種導(dǎo)出公式的方法不夠嚴(yán)密,為了培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度,在這里向?qū)W生介紹另外一種求數(shù)列通項公式的辦法——————迭加法:
a2 – a1 =d
a3 – a2 =d
a4 – a3 =d
……
an+1 – an=d
將這(n—1)個等式左右兩邊分別相加,就可以得到 an– a1= (n—1) d即 an= a1+(n—1) d (1)當(dāng)n=1時,(1)也成立,所以對一切n∈N﹡,上面的公式都成立因此它就是等差數(shù)列{an}的通項公式。在迭加法的證明過程中,我采用啟發(fā)式教學(xué)方法。利用等差數(shù)列概念啟發(fā)學(xué)生寫出n—1個等式。對照已歸納出的通項公式啟發(fā)學(xué)生想出將n—1個等式相加。證出通項公式。在這里通過該知識點引入迭加法這一數(shù)學(xué)思想,逐步達(dá)到“注重方法,凸現(xiàn)思想” 的教學(xué)要求接著舉例說明:若一個等差數(shù)列{an}的首項是1,公差是2,得出這個數(shù)列的通項公式是:an=1+(n—1)×2 , 即an=2n—1 以此來鞏固等差數(shù)列通項公式運用同時要求畫出該數(shù)列圖象,由此說明等差數(shù)列是關(guān)于正整數(shù)n一次函數(shù),其圖像是均勻排開的無窮多個孤立點。用函數(shù)的思想來研究數(shù)列,使數(shù)列的性質(zhì)顯現(xiàn)得更加清楚。(三)應(yīng)用舉例這一環(huán)節(jié)是使學(xué)生通過例題和練習(xí),增強對通項公式含義的理解以及對通項公式的運用,提高解決實際問題的能力。通過例1和例2向?qū)W生表明:要用運動變化的觀點看等差數(shù)列通項公式中的a1、d、n、an這4個量之間的關(guān)系。當(dāng)其中的部分量已知時,可根據(jù)該公式求出另一部分量。例1 (1)求等差數(shù)列8,5,2,…的第20項;第30項;第40項(2)—401是不是等差數(shù)列—5,—9,—13,…的項?如果是,是第幾項?在第一問中我添加了計算第30項和第40項以加強鞏固等差數(shù)列通項公式;第二問實際上是求正整數(shù)解的問題,而關(guān)鍵是求出數(shù)列的通項公式an例2 在等差數(shù)列{an}中,已知a5=10,a12 =31,求首項a1與公差d。在前面例1的基礎(chǔ)上將例2當(dāng)作練習(xí)作為對通項公式的鞏固例3 是一個實際建模問題建造房屋時要設(shè)計樓梯,已知某大樓第2層的樓底離地面的高度為3米,第三層離地面5。8米,若樓梯設(shè)計為等高的16級臺階,問每級臺階高為多少米?這道題我采用啟發(fā)式和討論式相結(jié)合的教學(xué)方法。啟發(fā)學(xué)生注意每級臺階“等高”使學(xué)生想到每級臺階離地面的高度構(gòu)成等差數(shù)列,引導(dǎo)學(xué)生將該實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型——————等差數(shù)列:(學(xué)生討論分析,分別演板,教師評析問題。問題可能出現(xiàn)在:項數(shù)學(xué)生認(rèn)為是16項,應(yīng)明確a1為第2層的樓底離地面的高度,a2表示第一級臺階離地面的高度而第16級臺階離地面高度為a17,可用展示實際樓梯圖以化解難點)設(shè)置此題的目的:1。加強同學(xué)們對應(yīng)用題的綜合分析能力,2。通過數(shù)學(xué)實際問題引出等差數(shù)列問題,激發(fā)了學(xué)生的興趣;3。再者通過數(shù)學(xué)實例展示了“從實際問題出發(fā)經(jīng)抽象概括建立數(shù)學(xué)模型,最后還原說明實際問題的“數(shù)學(xué)建?!钡臄?shù)學(xué)思想方法(四)反饋練習(xí)1、小節(jié)后的練習(xí)中的第1題和第2題(要求學(xué)生在規(guī)定時間內(nèi)完成)。目的:使學(xué)生熟悉通項公式,對學(xué)生進(jìn)行基本技能訓(xùn)練。2、書上例3)梯子的最高一級寬33c,最低一級寬110c,中間還有10級,各級的寬度成等差數(shù)列。計算中間各級的寬度。目的:對學(xué)生加強建模思想訓(xùn)練。3、若數(shù)例{an} 是等差數(shù)列,若 bn = an ,(為常數(shù))試證明:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列此題是對學(xué)生進(jìn)行數(shù)列問題提高訓(xùn)練,學(xué)習(xí)如何用定義證明數(shù)列問題同時強化了等差數(shù)列的概念。(五)歸納小結(jié) (由學(xué)生總結(jié)這節(jié)課的收獲)1。等差數(shù)列的概念及數(shù)學(xué)表達(dá)式.強調(diào)關(guān)鍵字:從第二項開始它的每一項與前一項之差都等于同一常數(shù)2。等差數(shù)列的通項公式 an= a1+(n—1) d會知三求一3.用“數(shù)學(xué)建?!彼枷敕椒ń鉀Q實際問題(六)布置作業(yè)必做題:課本P114 習(xí)題3。2第2,6 題選做題:已知等差數(shù)列{an}的首項a1= —24,從第10項開始為正數(shù),求公差d的取值范圍。(目的:通過分層作業(yè),提高同學(xué)們的求知欲和滿足不同層次的學(xué)生需求)五、板書設(shè)計在板書中突出本節(jié)重點,將強調(diào)的地方如定義中,“從第二項起”及“同一常數(shù)”等幾個字用紅色粉筆標(biāo)注,同時給學(xué)生留有作題的地方,整個板書充分體現(xiàn)了精講多練的教學(xué)方法。
3、通過參與編題解題,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。
教學(xué)重點是通項公式的認(rèn)識;
教學(xué)難點是對公式的靈活運用.。
實物投影儀,多媒體軟件,電腦。
研探式。
一。復(fù)習(xí)提問。
等差數(shù)列的概念是從相鄰兩項的關(guān)系加以定義的,這個關(guān)系用遞推公式來表示比較簡單,但我們要圍繞通項公式作進(jìn)一步的理解與應(yīng)用。
二。主體設(shè)計。
通項公式反映了項與項數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系,當(dāng)?shù)炔顢?shù)列的首項與公差確定后,數(shù)列的每一項便確定了,可以求指定的項(即已知求)。找學(xué)生試舉一例如:“已知等差數(shù)列中,首項,公差,求?!边@是通項公式的簡單應(yīng)用,由學(xué)生解答后,要求每個學(xué)生出一些運用等差數(shù)列通項公式的題目,包括正用、反用與變用,簡單、復(fù)雜,定量、定性的均可,教師巡視將好題搜集起來,分類投影在屏幕上。
1、方程思想的運用。
(1)已知等差數(shù)列中,首項,公差,則-397是該數(shù)列的第項。
(2)已知等差數(shù)列中,首項,則公差。
(3)已知等差數(shù)列中,公差,則首項。
這一類問題先由學(xué)生解決,之后教師點評,四個量,在一個等式中,運用方程的思想方法,已知其中三個量的值,可以求得第四個量。
2、基本量方法的使用。
(1)已知等差數(shù)列中,,求的值。
(2)已知等差數(shù)列中,,求。
若學(xué)生的題目只有這兩種類型,教師可以小結(jié)(最好請出題者、解題者概括):因為已知條件可以化為關(guān)于和的二元方程組,所以這些等差數(shù)列是確定的,由和寫出通項公式,便可歸結(jié)為前一類問題。解決這類問題只需把兩個條件(等式)化為關(guān)于和的二元方程組,以求得和,和稱作基本量。
教師提出新的問題,已知等差數(shù)列的一個條件(等式),能否確定一個等差數(shù)列?學(xué)生回答后,教師再啟發(fā),由這一個條件可得到關(guān)于和的二元方程,這是一個和的制約關(guān)系,從這個關(guān)系可以得到什么結(jié)論?舉例說明(例題可由學(xué)生或教師給出,視具體情況而定)。
(3)已知等差數(shù)列中,求;;;;…。
類似的還有。
(4)已知等差數(shù)列中,求的值。
以上屬于對數(shù)列的項進(jìn)行定量的研究,有無定性的判斷?引出。
4、研究項的符號。
這是為研究等差數(shù)列前項和的最值所做的準(zhǔn)備工作。可配備的題目如。
(1)已知數(shù)列的通項公式為,問數(shù)列從第幾項開始小于0?
(2)等差數(shù)列從第項起以后每項均為負(fù)數(shù)。
三。小結(jié)。
1、用方程思想認(rèn)識等差數(shù)列通項公式;
2、用函數(shù)思想解決等差數(shù)列問題。
請同學(xué)們來思考這樣一個問題. 如果在a與b中間插入一個數(shù)A,使a、A、b成等差數(shù)列,那么A應(yīng)滿足什么條件? 由等差數(shù)列定義及a、A、b成等差數(shù)列可得:A-a=b-A,即:a=. 反之,若A=,則2A=a+b,A-a=b-A,即a、A、b成等差數(shù)列. 總之,A= a,A,b成等差數(shù)列. 如果a、A、b成等差數(shù)列,那么a叫做a與b的等差中項. ?? 例題講解 [例1]在等差數(shù)列{an}中,已知a5=10,a15=25,求a25. 思路一:根據(jù)等差數(shù)列的已知兩項,可求出a1和d,然后可得出該數(shù)列的通項公式,便可求出a25. 思路二:若注意到已知項為a5與a15,所求項為a25,則可直接利用關(guān)系式an=am+(n-m)d.這樣可簡化運算. 思路三:若注意到在等差數(shù)列{an}中,a5,a15,a25也成等差數(shù)列,則利用等差中項關(guān)系式,便可直接求出a25的值. ? [例2](1)求等差數(shù)列8,5,2…的第20項. 分析:由給出的三項先找到首項a1,求出公差d,寫出通項公式,然后求出所要項. 答案:這個數(shù)列的第20項為-49. (2)-401是不是等差數(shù)列-5,-9,-13…的項?如果是,是第幾項? 分析:要想判斷-401是否為這數(shù)列的一項,關(guān)鍵要求出通項公式,看是否存在正整數(shù)n,可使得an=-401. ∴-401是這個數(shù)列的第100項. ? Ⅲ.課堂練習(xí)1.(1)求等差數(shù)列3,7,11,……的'第4項與第10項. ? (2)求等差數(shù)列10,8,6,……的第20項. ? (3)100是不是等差數(shù)列2,9,16,……的項?如果是,是第幾項?如果不是,說明理由. 2.在等差數(shù)列{an}中,(1)已知a4=10,a7=19,求a1與d; (2)已知a3=9,a9=3,求a12. Ⅳ.課時小結(jié) 通過本節(jié)學(xué)習(xí),首先要理解與掌握等差數(shù)列的定義及數(shù)學(xué)表達(dá)式:an-an-1=d(n≥2).其次,要會推導(dǎo)等差數(shù)列的通項公式:an=a1+(n-1)d(n≥1),并掌握其基本應(yīng)用.最后,還要注意一重要關(guān)系式:an=am+(n-m)d的理解與應(yīng)用以及等差中項。 Ⅴ.課后作業(yè) 課本P39習(xí)題? 1,2,3,4
數(shù)列的極限 教學(xué)設(shè)計
西南位育中學(xué) 肖添憶
一、教材分析
《數(shù)列的極限》為滬教版第七章第七節(jié)第一課時內(nèi)容,是一節(jié)概念課。極限概念是數(shù)學(xué)中最重要和最基本的概念之一,因為極限理論是微積分學(xué)中的基礎(chǔ)理論,它的產(chǎn)生建立了有限與無限、常量數(shù)學(xué)與變量數(shù)學(xué)之間的橋梁,從而彌補和完善了微積分在理論上的欠缺。本節(jié)后續(xù)內(nèi)容如:數(shù)列極限的運算法則、無窮等比數(shù)列各項和的求解也要用到數(shù)列極限的運算與性質(zhì)來推導(dǎo),所以極限概念的掌握至關(guān)重要。
課本在內(nèi)容展開時,以觀察n??時無窮等比數(shù)列an?列an?qn,(|q|?1)與an?1的發(fā)展趨勢為出發(fā)點,結(jié)合數(shù)n21的發(fā)展趨勢,從特殊到一般地給出數(shù)列極限的描述性定義。在n由定義給出兩個常用極限。但引入部分的表述如“無限趨近于0,但它永遠(yuǎn)不會成為0”、“不管n取值有多大,點(n,an)始終在橫軸的上方”可能會造成學(xué)生對“無限趨近”的理解偏差。
二、學(xué)情分析
通過第七章前半部分的學(xué)習(xí),學(xué)生已經(jīng)掌握了數(shù)列的有關(guān)概念,以及研究一些特殊數(shù)列的方法。但對于學(xué)生來說,數(shù)列極限是一個全新的內(nèi)容,學(xué)生的思維正處于由經(jīng)驗型抽象思維向理論型抽象思維過渡的階段。
由于已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗與不當(dāng)?shù)耐评眍惐龋瑢W(xué)生在理解“極限”、“無限趨近”時可能產(chǎn)生偏差,比如認(rèn)為極限代表著一種無法逾越的程度,或是近似值。這與數(shù)學(xué)中“極限”的含義相差甚遠(yuǎn)。在學(xué)習(xí)數(shù)列極限之前,又曾多次利用“無限趨近”描述反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖像特征,這又與數(shù)列中“無限趨近”的含義有所差異,學(xué)生往往會因為常數(shù)列能達(dá)到某一個常數(shù)而否定常數(shù)列存在極限的事實。
三、教學(xué)目標(biāo)與重難點 教學(xué)目標(biāo):
1、通過數(shù)列極限發(fā)展史的介紹,感受數(shù)學(xué)知識的形成與發(fā)展,更好地把握極限概念的來龍去脈;
2、經(jīng)歷極限定義在漫長時期內(nèi)發(fā)展的過程,體會數(shù)學(xué)家們從概念發(fā)現(xiàn)到完善所作出的努力,從數(shù)列的變化趨勢,正確理解數(shù)列極限的概念和描述性定義;
3、會根據(jù)數(shù)列極限的意義,由數(shù)列的通項公式來考察數(shù)列的極限;掌握三個常用極限。教學(xué)重點:理解數(shù)列極限的概念
教學(xué)難點:正確理解數(shù)列極限的描述性定義
四、教學(xué)策略分析
在問題引入時著重突出“萬世不竭”與“講臺可以走到”在認(rèn)知上的矛盾,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與求知欲,并由此引出本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容。在極限概念形成時,結(jié)合極限概念的發(fā)展史展開教學(xué),讓學(xué)生意識到數(shù)學(xué)理論不是一成不變的,而是不斷發(fā)展變化的。數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展過程與學(xué)生的認(rèn)知過程有著一定的相似性,學(xué)生在某些概念上的進(jìn)展有時與數(shù)學(xué)史上的概念進(jìn)展平行。比如部分學(xué)生的想法與許多古希臘的數(shù)學(xué)家一樣,認(rèn)為無限擴大的正多邊形不會與圓周重合,它的周長始終小于其外接圓的周長。教師通過梳理極限發(fā)展史上的代表性觀點,介紹概念的發(fā)展歷程以及前人對此的一系列觀點,能幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己可能也存在著類似于前人的一些錯誤想法。對數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程以認(rèn)知角度加以分析,有助于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家的思維方式,了解數(shù)學(xué)概念的發(fā)展,進(jìn)而建構(gòu)推理過程,使學(xué)生發(fā)生概念轉(zhuǎn)變。在課堂練習(xí)診斷部分,不但要求回答問題,還需對選擇原因進(jìn)行辨析,進(jìn)而強化概念的正確理解。
五、教學(xué)過程提綱與設(shè)計意圖 1.問題引入
讓一名學(xué)生從距離講臺一米處朝講臺走動,每次都移動距講臺距離的一半,在黑板上寫出表示學(xué)生到講臺距離的數(shù)列。這名學(xué)生是否能走到講臺呢?類比“一尺之捶,日取其半,萬世不竭”,莊子認(rèn)為這樣的過程是永遠(yuǎn)不會完結(jié)的,然而“講臺永遠(yuǎn)走不到”這一結(jié)果顯然與事實不同,要回答這一矛盾,讓我們看看歷史上的數(shù)學(xué)家們是如何思考的?!驹O(shè)計意圖】
改編自芝諾悖論的引入問題,與莊子的“一尺之捶”產(chǎn)生了認(rèn)知沖突,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與求知欲,并引出本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容
2.極限概念的發(fā)展與完善
極限概念的發(fā)展經(jīng)歷了三個階段:從早期以“割圓術(shù)”“窮竭法”為代表的樸素極限思想,到極限概念被提出后因“無窮小量是否為0”的爭論而引發(fā)的質(zhì)疑,再經(jīng)由柯西、魏爾斯特拉斯等人的工作以及實數(shù)理論的形成,嚴(yán)格的極限理論至此才真正建立。【設(shè)計意圖】
教師引導(dǎo)學(xué)生梳理極限發(fā)展史上的代表性觀點,了解數(shù)學(xué)家們提出觀點的時代背景,對照反思自己的想法,發(fā)現(xiàn)自己可能也存在著類似于前人的一些錯誤想法。教師在比較概念發(fā)展史上被否定的觀點與現(xiàn)今數(shù)學(xué)界認(rèn)可的觀點時,會使學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突。從而可能使學(xué)生發(fā)生概念轉(zhuǎn)變,拋棄不正確的、不完整的、受限的想法,接受新的概念。在數(shù)學(xué)教學(xué)中,結(jié)合數(shù)學(xué)史展開教學(xué)可以讓學(xué)生意識到數(shù)學(xué)理論不是一成不變的,而是不斷發(fā)展變化的,從而提升學(xué)生概念轉(zhuǎn)變的動機。
3.數(shù)列極限的概念
極限思想的產(chǎn)生最早可追溯于中國古代。極限理論的完善出于社會實踐的需要,不是哪一名數(shù)學(xué)家苦思冥想得出,而是幾代人奮斗的結(jié)果。極限的嚴(yán)格定義經(jīng)歷了相當(dāng)漫長的時期才得以完善,它是人類智慧高度文明的體現(xiàn),反映了數(shù)學(xué)發(fā)展的辯證規(guī)律。今天的主題,極限的定義,援引的便是柯西對于極限的闡述。
定義:在n無限增大的變化過程中,如果無窮數(shù)列{an}中的an無限趨近于一個常數(shù)A,那么A叫做數(shù)列{an}的極限,或叫做數(shù)列{an}收斂于A,記作liman?A,讀作“n趨向于
n??無窮大時,an的極限等于A”。
在數(shù)列極限的定義中,可用|an-A|無限趨近于0來描述an無限趨近于A。
如前闡述,柯西版本的極限定義雖然不是最完美的,但作為擺脫幾何直觀的首次嘗試,也是歷史上一個較為成功的版本,在歷史上的地位頗高。有時,我們也稱其為數(shù)列極限的描述性定義。
【設(shè)計意圖】
通過比較歷史上不同觀點下的極限定義,教師呈現(xiàn)數(shù)列極限的描述性定義,分析該定義的歷史意義,讓學(xué)生進(jìn)一步明確數(shù)列極限的含義。4.課堂練習(xí)診斷
由數(shù)列極限的定義得到三個常用數(shù)列的極限:(1)limC?C(C為常數(shù));
n??(2)lim1?0(n?N*); n??nnn??(3)當(dāng)|q|判斷下列數(shù)列是否存在極限,若存在求出其極限,若不存在請說明理由
20162016(1)an?;
nsinn?; n(3)1,1,1,1,?,1(2)an?(4)an????4(1?n?1000)
?4(n?1001)?1?1-,n為奇數(shù)(5)an??n
?? 1,n為偶數(shù)注:
(1)、(2)考察三個常用極限
(3)考查學(xué)生是否能清楚認(rèn)識到數(shù)列極限概念是基于無窮項數(shù)列的背景下探討的。當(dāng)項數(shù)無限增大時,數(shù)列的項若無限趨近于一個常數(shù),則認(rèn)為數(shù)列的極限存在。因此,數(shù)列極限可以看作是數(shù)列的一種趨于穩(wěn)定的發(fā)展趨勢。有窮數(shù)列的項數(shù)是有限的,因而并不存在極限這個概念。
(4)引用柯西的觀點,解釋此處無限趨近的含義,是指隨著數(shù)列項數(shù)的增加,數(shù)列的項與某一常數(shù)要多接近就有多接近,由此得出結(jié)論:數(shù)列極限與前有限項無關(guān)且無窮常數(shù)數(shù)列存在極限的。
(5)擴充對三種趨近方式的理解:小于A趨近、大于A趨近和擺動趨近。本題中的數(shù)列沒有呈現(xiàn)出以上三種方式的任意一種。避免學(xué)生將趨近誤解為項數(shù)與常數(shù)間的差距不斷縮小。練習(xí)若A=0.9+0.09+0.009+0.0009+...,則以下對A的描述正確的是_____.A、A是小于1的最大正數(shù)
B、A的精確值為1 C、A的近似值為1
選擇此選項的原因是_________ ①由于A的小數(shù)位都是 9,找不到比A大但比1小的數(shù);
②A是由無限多個正數(shù)的和組成,它們可以一直不斷得加下去,但總小于 2;
③A表示的數(shù)是數(shù)列0.9,0.99,0.999,0.9999,...的極限;
④1與A的差等于 0.00…01。
注:此題是為考查學(xué)生對于無窮小量和極限概念的理解。由極限概念的發(fā)展史可以看出,數(shù)學(xué)家們曾長時期陷入對無窮小概念理解的誤區(qū)中,極大地阻礙了對極限概念的理解。學(xué)生學(xué)習(xí)極限概念時可能也會遇到類似的誤區(qū)。
練習(xí)順次連接△ABC各邊中點A1、B1、C1,得到△A1B1C1。取△A1B1C1各邊中點 A2、B2、C2并順次連接又得到一個新三角形△A2B2C2。再按上述方法一直進(jìn)行下去,那么最終得到的圖形是_________.A、一個點
B、一個三角形
C、不確定
選擇此選項的原因是_________.①
無限次操作后所得三角形的面積無限趨近于 0 但不可能等于 0。②
當(dāng)操作一定次數(shù)后,三角形的三點會重合。
③
該項操作可以無限多次進(jìn)行下去,因而總能作出類似的三角形。
④
無限次操作后所得三角形的三個頂點會趨向于一點。
注:此題從無限觀的角度考察學(xué)生對極限概念的的理解。學(xué)生容易忽視極限概念中的實無限,他們在視覺上采用無窮疊加的形式,但是會受最后一項的慣性思維,導(dǎo)致采用潛無限的思辨方式。所謂實無限是指把無限的整體本身作為一個現(xiàn)成的單位,是可以自我完成的過程或無窮整體。相對地,潛無限是指把無限看作永遠(yuǎn)在延伸著的,一種變化著成長著不斷產(chǎn)生出來的東西。它永遠(yuǎn)處在構(gòu)造中,永遠(yuǎn)完成不了,是潛在的,而不是實在的。持有潛無限觀點的學(xué)生在理解極限概念時,會將極限理解為是一個漸進(jìn)過程,或是一個不可達(dá)到的極值。
通過習(xí)題,分析總結(jié)以下三個注意點:
(1)數(shù)列{an}有極限必須是一個無窮數(shù)列,但無窮數(shù)列不一定有極限存在;
1}可以說隨著n的無限增大,n1數(shù)列的項與-1會越來越接近,但這種接近不是無限趨近,所以不能說lim??1;
n??n(2)“無限趨近”不能用“越來越接近”代替,例如數(shù)列{(3)數(shù)列{an}趨向極限A的過程可有多種呈現(xiàn)形式。
【設(shè)計意圖】
通過例題與選項原因的分析,消除關(guān)于數(shù)列極限理解的三類誤區(qū):
第一類是將數(shù)列極限等同于如下的三種概念:漸近線、最大限度或是近似值。第二類是學(xué)生對于數(shù)列趨向于極限方式的錯誤認(rèn)知。第三類是對于無限的錯誤認(rèn)知。
5.課堂小結(jié)
極限的描述性定義與注意點 三個常用的極限
6.作業(yè)布置
1>任課老師布置的其他作業(yè)
2>學(xué)習(xí)魏爾斯特拉斯的數(shù)列極限定義,并用該定義證明習(xí)題的第一第二小問 【設(shè)計意圖】
通過與數(shù)列極限相關(guān)的延伸問題,完善極限概念的體系,為學(xué)生創(chuàng)設(shè)課后自主探究平臺,感受靜態(tài)定義中凝結(jié)的數(shù)學(xué)家的智慧。
高中數(shù)列教案
數(shù)列是高中數(shù)學(xué)課程中的一個重要概念,它在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用。數(shù)列的概念并不難理解,但要熟練掌握數(shù)列的性質(zhì)和運算規(guī)律,則需要花費一定的時間和精力。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,數(shù)列的教學(xué)一直是一個難點和重點。為了能夠更好地幫助學(xué)生掌握數(shù)列的相關(guān)知識,老師需要設(shè)計生動有趣的課堂教學(xué)內(nèi)容,制定有效的數(shù)列教案。
一、教學(xué)目標(biāo)
在設(shè)計數(shù)列教案之前,首先要確定教學(xué)目標(biāo)。數(shù)列教學(xué)的目標(biāo)主要包括:
1. 理解數(shù)列的概念和性質(zhì);
2. 掌握數(shù)列的常用運算規(guī)律;
3. 能夠應(yīng)用數(shù)列解決實際問題;
4. 培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和數(shù)學(xué)推理能力。
二、教學(xué)內(nèi)容
數(shù)列的內(nèi)容涉及很廣泛,包括等差數(shù)列、等比數(shù)列、通項公式、數(shù)列的和等方面。在設(shè)計數(shù)列教案時,應(yīng)該將這些內(nèi)容有機結(jié)合,從淺入深地進(jìn)行教學(xué)。
1. 等差數(shù)列
等差數(shù)列是指數(shù)列中相鄰兩項之差恒為常數(shù)的數(shù)列。在教學(xué)中,可以通過生動有趣的例子引入等差數(shù)列的概念,然后介紹等差數(shù)列的通項公式和求和公式,并通過例題講解加深學(xué)生對等差數(shù)列的理解。
2. 等比數(shù)列
等比數(shù)列是指數(shù)列中相鄰兩項之比恒為常數(shù)的數(shù)列。在教學(xué)中,同樣可以通過生動有趣的例子引入等比數(shù)列的概念,介紹等比數(shù)列的通項公式和求和公式,并通過例題講解加深學(xué)生對等比數(shù)列的理解。
3. 數(shù)列的和
數(shù)列的和是數(shù)列中所有項的和。在教學(xué)中,可以通過生活中的實際問題引入數(shù)列的和的概念,介紹數(shù)列的和的計算方法和性質(zhì),并通過例題講解加深學(xué)生對數(shù)列的和的理解。
三、教學(xué)方法
在設(shè)計數(shù)列教案時,要采用多種教學(xué)方法,例如講授法、練習(xí)法、歸納法、啟發(fā)法等,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。
1. 講授法
通過講解概念、性質(zhì)和運算規(guī)律,使學(xué)生理解數(shù)列的相關(guān)知識點。
2. 練習(xí)法
通過大量的練習(xí),鞏固學(xué)生對數(shù)列的掌握程度,并培養(yǎng)學(xué)生的解題能力。
3. 歸納法
通過歸納總結(jié),幫助學(xué)生理清數(shù)列的性質(zhì)和運算規(guī)律,提高學(xué)生對數(shù)列的整體認(rèn)識。
4. 啟發(fā)法
通過啟發(fā)學(xué)生思考和解題,培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和數(shù)學(xué)推理能力。
四、教學(xué)手段
為了提高教學(xué)效果,教師可以運用多種教學(xué)手段,如教學(xué)演示、多媒體輔助、學(xué)生互動等,使數(shù)列教學(xué)更加生動有趣。
1. 教學(xué)演示
通過教學(xué)演示,可以形象直觀地展示數(shù)列的概念和性質(zhì),幫助學(xué)生更好地理解和掌握數(shù)列的相關(guān)知識。
2. 多媒體輔助
通過多媒體輔助教學(xué),可以運用圖片、視頻等多媒體資料,吸引學(xué)生的注意力,提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。
3. 學(xué)生互動
通過學(xué)生互動,可以促進(jìn)學(xué)生之間的交流和合作,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性,提高教學(xué)效果。
五、教學(xué)評估
在教學(xué)過程中,要及時對學(xué)生的學(xué)習(xí)情況進(jìn)行評估,了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況,及時調(diào)整教學(xué)方法和教學(xué)內(nèi)容,使教學(xué)更加有針對性。
1. 小測驗
可以通過小測驗來檢測學(xué)生對數(shù)列的掌握程度,及時發(fā)現(xiàn)學(xué)生的問題并進(jìn)行針對性輔導(dǎo)。
2. 課堂討論
可以通過課堂討論來檢測學(xué)生的學(xué)習(xí)情況,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,提高學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性。
3. 作業(yè)檢查
通過作業(yè)檢查,及時發(fā)現(xiàn)學(xué)生的問題并進(jìn)行針對性的輔導(dǎo),幫助學(xué)生提高數(shù)列的學(xué)習(xí)效果。
通過以上的教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、教學(xué)手段和教學(xué)評估,設(shè)計出生動具體的高中數(shù)列教案,將有助于提高教學(xué)質(zhì)量,幫助學(xué)生更好地掌握數(shù)列的相關(guān)知識,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)效果。
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