我們聽了一場關(guān)于“數(shù)學(xué)中職教案”的演講讓我們思考了很多,經(jīng)過閱讀本頁你的認(rèn)識會更加全面。老師會對課本中的主要教學(xué)內(nèi)容整理到教案課件中,所以老師寫教案可不能隨便對待。教案是評估學(xué)生學(xué)習(xí)效果的有效依據(jù)。
教學(xué)目標(biāo)
(1)掌握復(fù)數(shù)加法與減法運(yùn)算法則,能熟練地進(jìn)行加、減法運(yùn)算;
(2)理解并掌握復(fù)數(shù)加法與減法的幾何意義,會用平行四邊形法則和三角形法則解決一些簡單的問題;
(3)能初步運(yùn)用復(fù)平面兩點間的距離公式解決有關(guān)問題;
(4)通過學(xué)習(xí)平行四邊形法則和三角形法,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想;
(5)通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生良好思維品質(zhì)(思維的嚴(yán)謹(jǐn)性,深刻性,靈活性等).
教學(xué)建議
一、知識結(jié)構(gòu)
二、重點、難點分析
本節(jié)的重點是復(fù)數(shù)加法法則。難點是復(fù)數(shù)加減法的幾何意義。復(fù)數(shù)加法法則是教材首先規(guī)定的法則,它是復(fù)數(shù)加減法運(yùn)算的基礎(chǔ),對于這個規(guī)定的合理性,在教學(xué)過程 中要加以重視。復(fù)數(shù)加減法的幾何意義的難點在于復(fù)數(shù)加減法轉(zhuǎn)化為向量加減法,以它為根據(jù)來解決某些平面圖形的問題,學(xué)生對這一點不容易接受。
三、教學(xué)建議
(1)在中,重點是加法.教材首先規(guī)定了復(fù)數(shù)的加法法則.對于這個規(guī)定,應(yīng)通過下面幾個方面,使學(xué)生逐步理解這個規(guī)定的合理性:①當(dāng) 時,與實數(shù)加法法則一致;②驗證實數(shù)加法運(yùn)算律在復(fù)數(shù)集中仍然成立;③符合向量加法的平行四邊形法則.
(2)復(fù)數(shù)加法的向量運(yùn)算講解設(shè) ,畫出向量 , 后,提問向量加法的平行四邊形法則,并讓學(xué)生自己畫出和向量(即合向量) ,畫出向量 后,問與它對應(yīng)的復(fù)數(shù)是什么,即求點Z的坐標(biāo)OR與RZ(證法如教材所示).
(3)向?qū)W生介紹復(fù)數(shù)加法的三角形法則.講過復(fù)數(shù)加法可按向量加法的平行四邊形法則來進(jìn)行后,可以指出向量加法還可按三角形法則來進(jìn)行:如教材中圖8-5(2)所示,求 與 的和,可以看作是求 與 的和.這時先畫出第一個向量 ,再以 的終點為起點畫出第二個向量 ,那么,由第一個向量起點O指向第二個向量終點Z的向量 ,就是這兩個向量的和向量.
(4)向?qū)W生指出復(fù)數(shù)加法的三角形法則的好處.向?qū)W生介紹一下向量加法的三角形法則是有好處的:例如講到當(dāng) 與 在同一直線上時,求它們的和,用三角形法則來解釋,可能比“畫一個壓扁的平行四邊形”來解釋容易理解一些;講復(fù)數(shù)減法的幾何意義時,用三角形法則也較平行四邊形法則更為方便.
(5)講解了教材例2后,應(yīng)強(qiáng)調(diào) (注意:這里 是起點, 是終點)就是同復(fù)數(shù) - 對應(yīng)的向量.點 , 之間的距離 就是向量 的模,也就是復(fù)數(shù) - 的模,即 .
例如,起點對應(yīng)復(fù)數(shù)-1、終點對應(yīng)復(fù)數(shù) 的那個向量(如圖),可用 來表示.因而點 與 ( )點間的距離就是復(fù)數(shù) 的模,它等于 。
教學(xué)設(shè)計示例
復(fù)數(shù)的減法及其幾何意義
教學(xué)目標(biāo)
1.理解并掌握復(fù)數(shù)減法法則和它的幾何意義.
2.滲透轉(zhuǎn)化,數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想和方法,提高分析、解決問題能力.
3.培養(yǎng)學(xué)生良好思維品質(zhì)(思維的嚴(yán)謹(jǐn)性,深刻性,靈活性等).
教學(xué)重點和難點
重點:復(fù)數(shù)減法法則.
難點:對復(fù)數(shù)減法幾何意義理解和應(yīng)用.
教學(xué)過程 設(shè)計
(一)引入新課
上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)加法法則及其幾何意義,今天我們研究的課題是復(fù)數(shù)減法及其幾何意義.(板書課題:復(fù)數(shù)減法及其幾何意義)
(二)復(fù)數(shù)減法
復(fù)數(shù)減法是加法逆運(yùn)算,那么復(fù)數(shù)減法法則為( + i)-( + i)=( - )+( - )i,
1.復(fù)數(shù)減法法則
(1)規(guī)定:復(fù)數(shù)減法是加法逆運(yùn)算;
(2)法則:( + i)-( + i)=( - )+( - )i( , , , ∈R).
把( + i)-( + i)看成( + i)+(-1)( + i)如何推導(dǎo)這個法則.
( + i)-( + i)=( + i)+(-1)( + i)=( + i)+(- - i)=( - )+( - )i.
推導(dǎo)的想法和依據(jù)把減法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算.
推導(dǎo):設(shè)( + i)-( + i)= + i( , ∈R).即復(fù)數(shù) + i為復(fù)數(shù) + i減去復(fù)數(shù) + i的差.由規(guī)定,得( + i)+( + i)= + i,依據(jù)加法法則,得( + )+( + )i= + i,依據(jù)復(fù)數(shù)相等定義,得
故( + i)-( + i)=( - )+( - )i.這樣推導(dǎo)每一步都有合理依據(jù).
我們得到了復(fù)數(shù)減法法則,兩個復(fù)數(shù)的差仍是復(fù)數(shù).是確定的復(fù)數(shù).
復(fù)數(shù)的加(減)法與多項式加(減)法是類似的.就是把復(fù)數(shù)的實部與實部,虛部與虛部分別相加(減),即( + i)±( + i)=( ± )+( ± )i.
(三)復(fù)數(shù)減法幾何意義
我們有了做復(fù)數(shù)減法的依據(jù)——復(fù)數(shù)減法法則,那么復(fù)數(shù)減法的幾何意義是什么?
設(shè)z= + i( , ∈R),z1= + i( , ∈R),對應(yīng)向量分別為 , 如圖
由于復(fù)數(shù)減法是加法的逆運(yùn)算,設(shè)z=( - )+( - )i,所以z-z1=z2,z2+z1=z,由復(fù)數(shù)加法幾何意義,以 為一條對角線, 1為一條邊畫平行四邊形,那么這個平行四邊形的另一邊 2所表示的向量OZ2就與復(fù)數(shù)z-z1的差( - )+( - )i對應(yīng),如圖.
在這個平行四邊形中與z-z1差對應(yīng)的向量是只有向量 2嗎?
還有 . 因為OZ2 Z1Z,所以向量 ,也與z-z1差對應(yīng).向量 是以Z1為起點,Z為終點的向量.
能概括一下復(fù)數(shù)減法幾何意義是:兩個復(fù)數(shù)的差z-z1與連接這兩個向量終點并指向被減數(shù)的向量對應(yīng).
(四)應(yīng)用舉例
在直角坐標(biāo)系中標(biāo)Z1(-2,5),連接OZ1,向量 1與多數(shù)z1對應(yīng),標(biāo)點Z2(3,2),Z2關(guān)于x軸對稱點Z2(3,-2),向量 2與復(fù)數(shù)對應(yīng),連接,向量與的差對應(yīng)(如圖).
例2 根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義及向量表示,求復(fù)平面內(nèi)兩點間的距離公式.
解:設(shè)復(fù)平面內(nèi)的任意兩點Z1,Z2分別表示復(fù)數(shù)z1,z2,那么Z1Z2就是復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量,點之間的距離就是向量的模,即復(fù)數(shù)z2-z1的模.如果用d表示點Z1,Z2之間的距離,那么d=|z2-z1|.
例3 在復(fù)平面內(nèi),滿足下列復(fù)數(shù)形式方程的動點Z的軌跡是什么.
(1)|z-1-i|=|z+2+i|;
方程左式可以看成|z-(1+i)|,是復(fù)數(shù)Z與復(fù)數(shù)1+i差的模.
幾何意義是是動點Z與定點(1,1)間的距離.方程右式也可以寫成|z-(-2-i)|,是復(fù)數(shù)z與復(fù)數(shù)-2-i差的模,也就是動點Z與定點(-2,-1)間距離.這個方程表示的是到兩點(+1,1),(-2,-1)距離相等的點的軌跡方程,這個動點軌跡是以點(+1,1),(-2,-1)為端點的線段的垂直平分線.
(2)|z+i|+|z-i|=4;
方程可以看成|z-(-i)|+|z-i|=4,表示的是到兩個定點(0,-1)和(0,1)距離和等于4的動點軌跡.滿足方程的動點軌跡是橢圓.
(3)|z+2|-|z-2|=1.
這個方程可以寫成|z-(-2)|-|z-2|=1,所以表示到兩個定點(-2,0),(2,0)距離差等于1的點的軌跡,這個軌跡是雙曲線.是雙曲線右支.
由z1-z2幾何意義,將z1-z2取模得到復(fù)平面內(nèi)兩點間距離公式d=|z1-z2|,由此得到線段垂直平分線,橢圓、雙曲線等復(fù)數(shù)方程.使有些曲線方程形式變得更為簡捷.且反映曲線的本質(zhì)特征.
例4 設(shè)動點Z與復(fù)數(shù)z= + i對應(yīng),定點P與復(fù)數(shù)p= + i對應(yīng).求
(1)復(fù)平面內(nèi)圓的方程;
解:設(shè)定點P為圓心,r為半徑,如圖
由圓的定義,得復(fù)平面內(nèi)圓的方程|z-p|=r.
(2)復(fù)平面內(nèi)滿足不等式|z-p|
解:復(fù)平面內(nèi)滿足不等式|z-p|
(五)小結(jié)
我們通過推導(dǎo)得到復(fù)數(shù)減法法則,并進(jìn)一步得到了復(fù)數(shù)減法幾何意義,應(yīng)用復(fù)數(shù)減法幾何意義和復(fù)平面內(nèi)兩點間距離公式,可以用復(fù)數(shù)研究解析幾何問題,不等式以及最值問題.
(六)布置作業(yè) P193習(xí)題二十七:2,3,8,9.
探究活動
復(fù)數(shù)等式的幾何意義
復(fù)數(shù)等式 在復(fù)平面上表示以 為圓心,以1為半徑的圓。請再舉三個復(fù)數(shù)等式并說明它們在復(fù)平面上的幾何意義。
分析與解
1. 復(fù)數(shù)等式 在復(fù)平面上表示線段 的中垂線。
2. 復(fù)數(shù)等式 在復(fù)平面上表示一個橢圓。
3. 復(fù)數(shù)等式 在復(fù)平面上表示一條線段。
4. 復(fù)數(shù)等式 在復(fù)平面上表示雙曲線的一支。
5. 復(fù)數(shù)等式 在復(fù)平面上表示原點為O、 構(gòu)成一個矩形。
說明 復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點有一一對應(yīng)的關(guān)系,如果我們對復(fù)數(shù)的代數(shù)形式工(幾何意義)之
間的關(guān)系比較熟悉的話,必然會強(qiáng)化對復(fù)數(shù)知識的掌握。
(一)初步培養(yǎng)了學(xué)生平面解析幾何的思想和一般方法。
在初中,學(xué)生熟知一次函數(shù)y=kx+b(也可以看成是二次方程)的圖象是一條直線,但反過來任意畫一條,要同學(xué)們寫出方程表達(dá)式,學(xué)生剛開始會無從下手,從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。隨著教學(xué)的展開,讓學(xué)生逐步形成平面解析幾何的方法,如建立坐標(biāo)啊,設(shè)點啊,建立關(guān)系式啊,得出方程啊等等,初步培養(yǎng)學(xué)生的平面解析幾何思維,為后面學(xué)習(xí)圓、橢圓和相關(guān)圓錐曲線打下良好的基礎(chǔ)。
(二)在教學(xué)中貫徹“精講多練”的教學(xué)改革探索。
我們都知道,對于職中的學(xué)生,基礎(chǔ)差,底子薄,理解能力差,動手能力差,要想讓學(xué)生學(xué)有所得,最好的辦法就是精講多練,提高學(xué)生的動手能力。因此在教學(xué)中,我們通常是由練習(xí)引入,簡單講講,一例一練,配以一定的鞏固提高題,最后還有配套作業(yè),做到每個內(nèi)容經(jīng)過三輪的'練習(xí),讓學(xué)生能夠很容易的掌握。
(三)注意數(shù)形結(jié)合的教學(xué)。
解析幾何的特點就是形數(shù)結(jié)合,而形數(shù)結(jié)合的思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想,是教學(xué)大綱中要求學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)容之一,所以在教學(xué)中要注意這種數(shù)學(xué)思想的教學(xué)。每一種直線方程的講解都進(jìn)行畫圖演示,讓學(xué)生對每一種直線方程所需的條件根深蒂固,如點斜式一定要點和斜率;斜截式一定要斜率和在y軸上的截距;截距式一定要兩個坐標(biāo)軸上的截距等等。并在直線方程的相互轉(zhuǎn)化過程中也配以圖形(請參考一般方程的課件)
(四)注重直線方程的承前啟后的作用。
教材承接了初中函數(shù)的圖像之后,并作為研究曲線(圓、圓錐曲線)之前,以之來介紹平面解析幾何的思想和一般方法,可見本節(jié)內(nèi)容所處的重要地位,學(xué)好直線對以后的學(xué)習(xí)尤為重要, 事實上,教材在研究了直線的方程和討論了直線的幾何性質(zhì)后,緊接著就以直線方程為基礎(chǔ),進(jìn)一步討論曲線與方程的一般概念。
一、說教材:
1.在教材中的地位和作用
本節(jié)內(nèi)容是高等教育出版社出版的中等職業(yè)教育課程改革國家規(guī)劃新教材《數(shù)學(xué)(基礎(chǔ)模塊)》上冊第四章第二節(jié)第一課時,屬于數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的知識。在之前,學(xué)生已學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念與性質(zhì)掌握了研究函數(shù)的一般思路,并將冪指數(shù)從整數(shù)推廣到了實數(shù)范圍的知識,這為過度到本節(jié)的學(xué)習(xí)起著鋪墊作用,本節(jié)內(nèi)容是函數(shù)內(nèi)容的深化,又是后續(xù)學(xué)習(xí)對數(shù)函數(shù)及等比數(shù)列的性質(zhì)的基礎(chǔ),有非常高的實用價值例如在細(xì)胞分裂、貸款利息、考古中年份的測算都有較大的應(yīng)用。也是教材中起承上啟下作用的核心知識之一。因此,在指數(shù)函數(shù)是函數(shù)的重要內(nèi)容之中,在高中階段有不可替代的作用。
二、說學(xué)情:
2.學(xué)情分析
心理特點:中職生的共性是一般學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣不高,學(xué)習(xí)比較被動,自主學(xué)習(xí)能力比較差,因此在課堂的一開始就要激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動機(jī),學(xué)習(xí)動機(jī)是直接推動學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)達(dá)到學(xué)習(xí)目的的內(nèi)在動力,直接影響學(xué)習(xí)效果。變“要我學(xué)”為“我要學(xué)”。
此外職高生生理上表現(xiàn)為少年好動,注意力易分散抓住學(xué)生特點,積極采用形象生動,形式多樣的教學(xué)方法和學(xué)生廣泛的積極主動參與的學(xué)習(xí)方式,定能激發(fā)學(xué)生興趣,有效地培養(yǎng)學(xué)生能力,促進(jìn)學(xué)生個性發(fā)展。
知識障礙上:知識掌握上,學(xué)生剛剛學(xué)習(xí)了函數(shù)的定義、圖象、性質(zhì),已經(jīng)掌握了研究函數(shù)的一般思路,對于本節(jié)課的學(xué)習(xí)會有很大幫助。許多學(xué)生出現(xiàn)知識遺忘,所以應(yīng)全面系統(tǒng)的去回顧與講述;學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)課的知識障礙,底數(shù)對函數(shù)圖象的影響學(xué)生不易理解,所以教學(xué)中老師應(yīng)予以簡單明白,深入淺出的分析。
三、說教學(xué)目標(biāo):
知識與技能:理解指數(shù)函數(shù)的概念,掌握指數(shù)函數(shù)的圖像及其性質(zhì),并用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決一些問題。
過程與方法: 讓學(xué)生經(jīng)歷“特殊→一般→特殊”的認(rèn)識過程,完善認(rèn)知結(jié)構(gòu),領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合、分類討論、歸納推理等數(shù)學(xué)思想方法;通過運(yùn)用多媒體的教學(xué)手段,引領(lǐng)學(xué)生主動探索指數(shù)函數(shù)性質(zhì),體會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)規(guī)律的方法,體驗成功的樂趣。
情感態(tài)度價值觀:讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)問題探索的樂趣和成功的喜悅,體會數(shù)學(xué)的理性、嚴(yán)謹(jǐn)及數(shù)與形的和諧統(tǒng)一美;使學(xué)生獲得研究函數(shù)的規(guī)律和方法,提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力養(yǎng)成積極主動,勇于探索,不斷創(chuàng)新的學(xué)習(xí)習(xí)慣和品質(zhì)。
四、說教學(xué)方法:
教法的選擇與教學(xué)手段:基于本節(jié)課的特點,應(yīng)著重采用多種的教學(xué)方法和手段,其理論依據(jù)是堅持“以學(xué)生為主體,以教師為主導(dǎo)”的原則,根據(jù)學(xué)生的心理發(fā)展規(guī)律,采用學(xué)生參與程度高討論教學(xué)法。
在學(xué)生看書,討論的基礎(chǔ)上,在老師啟發(fā)引導(dǎo)下,運(yùn)用問題解決式教法,師生交談法,圖像法,問答式,課堂討論法。在采用問答法時,特別注重不同難度的問題,提問不同層次的學(xué)生,面向全體,使基礎(chǔ)差的學(xué)生也能有表現(xiàn)機(jī)會,培養(yǎng)其自信心,激發(fā)其學(xué)習(xí)熱情。有效的開發(fā)各層次學(xué)生的潛在智能,力求使學(xué)生能在原有的基礎(chǔ)上得到發(fā)展。同時通過課堂練習(xí)和課后作業(yè),啟發(fā)學(xué)生從書本知識回到社會實踐。提供給學(xué)生與其生活和周圍世界密切相關(guān)的數(shù)學(xué)知識,學(xué)習(xí)基礎(chǔ)性的知識和技能,在教學(xué)中積極培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和動機(jī),明確的學(xué)習(xí)目的,老師應(yīng)在課堂上充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性,激發(fā)來自學(xué)生主體的最有力的動力。
(1)故事激趣法:通過小故事牽動學(xué)生的思維,在他們不會解決又急于的心理之間制造一種懸念,激起學(xué)生強(qiáng)烈的求知欲望;
(2)多種教學(xué)方法結(jié)合:教學(xué)形式上開展分組比賽、課堂搶答等多種形式的活動,使學(xué)生在學(xué)習(xí)中有光榮感、成就感,使他們獲得學(xué)習(xí)的樂趣。
(3)任務(wù)驅(qū)動法:根據(jù)學(xué)生的心理發(fā)展規(guī)律,采用學(xué)生參與程度高討論教學(xué)法。在老師啟發(fā)引導(dǎo)下,運(yùn)用問題解決式教法,師生交談法,圖像法,問答式,課堂討論法。在采用問答法時,特別注重不同難度的問題,提問不同層次的學(xué)生,面向全體,使基礎(chǔ)差的學(xué)生也能有表現(xiàn)機(jī)會,培養(yǎng)其自信心,激發(fā)其學(xué)習(xí)熱情。
五、說教學(xué)過程:
1、導(dǎo)入新課(2分鐘)
創(chuàng)設(shè)情境 ,興趣導(dǎo)入:從前有個財主,為人刻薄吝嗇,常??丝酃と说墓ゅX,因此附近村民都不愿意到他那里打工。有一天,這個財主家來了一位年輕人,要求打工一個月,報酬是:第一天的工錢只要一分錢,第二天是二分錢,第三天是四分錢……以后每天的工錢是前一天的2倍,直到30天期滿。這個財主聽了,心想這工錢也真便宜,就馬上與這個年輕人簽訂了合同??墒且粋€月后,這個財主卻破產(chǎn)了,因為他付不了那么多的工錢。那么這工錢到底有多少呢?
財主應(yīng)付給打工者的工錢為1073741824分≈1073萬元
(為了激發(fā)學(xué)生探究的好奇心和學(xué)習(xí)的興趣,引起注意,讓學(xué)生在不會解決又急于的心理狀態(tài)下學(xué)習(xí))
2、探索新知(7分鐘)
問題1:某種物質(zhì)的細(xì)胞分裂,由1個分裂成2個,2個分裂成4個,4個分裂成8個,……,1個這樣的細(xì)胞分裂x次后,得到的細(xì)胞個數(shù)y與x的關(guān)系式是什么?
問題2:《莊子天下篇》中寫道:“一尺之棰,日取其半,萬世不竭?!闭埬銓懗鼋厝次后,木棰剩余量y關(guān)于x的關(guān)系式?
歸納:函數(shù) 中,指數(shù)x為自變量,底2為常數(shù).
概念:一般地,形如 的函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù),其中底 ( )為常量.指數(shù)函數(shù)的定義域為 ,值域為
(設(shè)計意圖:兩個例子恰好為研究指數(shù)函數(shù)中底數(shù)大于1和底數(shù)大于0小于1的圖象做好了準(zhǔn)備。 )
3、分組討論(8分鐘)
4、例題講解(12分鐘)
5、強(qiáng)化練習(xí)(8分鐘)
6、課堂總結(jié)(2分鐘)
7、布置作業(yè)(1分鐘)
教材分析
教材地位和作用本節(jié)課是高中數(shù)學(xué)新課程《選修1-2》中第二章“推理與證明”的第一課。本章知識將通過生活實例和數(shù)學(xué)實例,介紹合情推理和演繹推理的含義,以及如何利用合情推理去猜測和發(fā)現(xiàn)一些新結(jié)論,探索和提供解決一些問題的思路和方向。數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程往往包括合情推理的成分,在人類發(fā)明、創(chuàng)造活動中,合情推理扮演了重要的角色。合情推理常用的思維方法是歸納和類比。本節(jié)課將著重介紹歸納推理。本節(jié)課的內(nèi)容屬于數(shù)學(xué)思維方法的范疇,教科書的編寫意圖是把過去滲透在具體數(shù)學(xué)內(nèi)容中的推理的思維方法,以集中的、顯性的形式呈現(xiàn)出來,使學(xué)生更加明確這些方法,并能在今后的學(xué)習(xí)中有意識的使用它們。
教學(xué)目標(biāo)知識與技能:
1、結(jié)合已學(xué)過的數(shù)學(xué)實例,了解歸納推理的含義;
2、能利用歸納進(jìn)行簡單的推理;
過程與方法:
1、通過引例讓學(xué)生體會并認(rèn)識歸納推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用.
2、讓學(xué)生利用歸納推理去猜測和發(fā)現(xiàn)一些簡單的數(shù)學(xué)結(jié)論。
情感態(tài)度與價值觀:
使學(xué)生有意識地利用歸納推理來解決問題,感受歸納推理具有猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論、探索和提供思路的作用,從而讓學(xué)生養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣,培養(yǎng)學(xué)生探索和創(chuàng)新意識。根據(jù)本節(jié)教材特點和課程標(biāo)準(zhǔn)的要求,結(jié)合學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)特點,確定上述教學(xué)目標(biāo)。
教學(xué)重點:
重點:通過具體實例了解歸納推理的含義,能利用歸納進(jìn)行簡單的推理。
難點:用歸納進(jìn)行推理,作出猜想.由于學(xué)生的觀察和歸納推理的能力有欠缺,在用歸納進(jìn)行推理,作出猜想過程中會出現(xiàn)困難。
學(xué)情分析
授課班級08-14班為美術(shù)特色班。學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)普遍較差,歸納推理能力偏弱。但由于本課著重介紹思維方法,對學(xué)生原有的數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)要求不高,因此學(xué)生接受起來會相對容易一些。
學(xué)生可能存在的困難:
1、尋找規(guī)律時欠缺方法;
2、不能準(zhǔn)確的用數(shù)學(xué)語言將發(fā)現(xiàn)的規(guī)律表述出來。
教學(xué)設(shè)計:
一、情境引入:
1、引言:當(dāng)我們開始認(rèn)識這個世界時,數(shù)學(xué)就和我們在一起了。那么,這些知識是如何產(chǎn)生和發(fā)展的呢?其實每一個數(shù)學(xué)知識的誕生,最初的發(fā)現(xiàn)大多是帶有偶然性的,然后通過大膽的猜測,反復(fù)的推理與論證,最終才得到正確的結(jié)論。也就是說猜測、推理與證明是我們發(fā)現(xiàn)新知識,獲得新結(jié)論的重要手段。
2、本章知識結(jié)構(gòu):
教法分析本科采用啟發(fā)引導(dǎo)式教學(xué),并結(jié)合多媒體課件輔助教學(xué)。
學(xué)法分析由于本課要讓學(xué)生充分體會歸納推理的思維方法,在課上我將讓學(xué)生經(jīng)歷自己思考—表述—糾錯—再思考—歸納的過程,我在適當(dāng)?shù)臅r候做引導(dǎo)。
設(shè)計意圖:
由于本課是本章的起始課,通過引言和本章知識結(jié)構(gòu)圖可讓學(xué)生先對新的一章知識有個整體的了解。
3.哥德巴赫猜想:
師生活動:(學(xué)生活動)計算:3+3=6, 5+3=8, 5+5=10, 5+7=12, 7+7=14, 13+3=16, 11+7=18, 13+7=20,
觀察6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 14=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……,
(教師活動)提出問題:通過對上面幾個等式的觀察,你能的出什么結(jié)論?
猜測:任一偶數(shù)(除去2,它本身是一素數(shù))可以表示成兩個素數(shù)之和。
這就是著名的哥德巴赫猜想,1742年哥德巴赫給歐拉寫信提出這個,歐拉及以后的數(shù)學(xué)家無人能解,成為數(shù)學(xué)史上舉世聞名的猜想。1973年,我國數(shù)學(xué)家陳景潤,證明了充分大的偶數(shù)可表示為一個素數(shù)與至多兩個素數(shù)乘積之和,數(shù)學(xué)上把它稱為“1+2”。
設(shè)計意圖:哥德巴赫猜想的提出過程是一個典型的運(yùn)用歸納推理的過程,在這里我讓學(xué)生充分的經(jīng)歷和感受此猜想的提出過程,可以讓他們從中體會和提煉出歸納推理的含義。
另一方面,通過讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)家的思維過程,可以讓他們體會數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新精神,滲透數(shù)學(xué)的文化價值,同時激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情。
4.四色猜想:1852年,畢業(yè)于英國倫敦大學(xué)的弗南西斯.格思里來到一家科研單位搞地圖著色工作時,發(fā)現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象:“每幅地圖都可以用四種顏色著色,使得有共同邊界的國家著上不同的顏色.”,四色猜想成了世界數(shù)學(xué)界關(guān)注的問題.1976年,美國數(shù)學(xué)家阿佩爾與哈肯在美國伊利諾斯大學(xué)的兩臺不同的電子計算機(jī)上,用1200個小時,作了100億邏輯判斷,完成證明.
二、探索新知:
1.教學(xué)概念:
由引例得出歸納推理的定義
①概念:由某類事物的部分對象具有某些特征,推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理,或者由個別事實概括出一般結(jié)論的推理,稱為歸納推理.簡言之,歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的推理.
②歸納練習(xí):
(i)由銅、鐵、鋁、金、銀能導(dǎo)電,能歸納出什么結(jié)論?
(ii)由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形內(nèi)角和180度,能歸納出什么結(jié)論?
③討論:
(i)統(tǒng)計學(xué)中,從總體中抽取樣本,然后用樣本估計總體,是否屬歸納推理?
(ii)歸納推理有何作用?(發(fā)現(xiàn)新事實,獲得新結(jié)論,是做出科學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要手段)
2.教學(xué)例題:
出示例題:例1、觀察等式:1=12
1+3=4=22
1+3+5=9=32
1+3+5+7=16=42
1+3+5+7+9=25=52
由上述事實你能得出怎樣的結(jié)論?
師生活動:
問題:
1、加數(shù)的個數(shù)與和之間有怎樣的關(guān)系?
2、加數(shù)具有什么特點?
3、觀察右圖,你能的出等式的幾何意義嗎?
猜想:
前n個連續(xù)正奇數(shù)的和等于n的平方,即1+3+ ... +(2n-1)=n2
動手練一練:練習(xí)1
1.觀察圖中○和△的個數(shù),猜想第n個圖形中○和△的個數(shù)。
2.試求第幾個圖中○和△的個數(shù)相等?
例2已知數(shù)列的第1項,且,試歸納出這個數(shù)列的通項公式。
師生活動:分析思路:試值n=1,2,3,4 →猜想
引導(dǎo)學(xué)生反思:利用歸納推理的思想解決問題的過程是:由特殊到一般。
設(shè)計意圖:本例是讓學(xué)生利用數(shù)列的一個一般結(jié)論—遞推公式,寫出數(shù)列的前幾項,通過觀察,歸納出數(shù)列的通項公式。本例歸納過程較簡單,但學(xué)生可能對遞推公式的用法及通項公式的定義不清楚,教師可在此處加以引導(dǎo)。
3.師生小結(jié):
①歸納推理的要點:由部分到整體、由個別到一般;
②典型例子:哥德巴赫猜想的提出;數(shù)列通項公式的歸納
③歸納推理的作用:具有猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論、探索和提供思路的作用
④強(qiáng)調(diào):歸納推理有猜想的成分,因此推理所得的結(jié)論未必正確,有待證明。
費馬猜想:法國業(yè)余數(shù)學(xué)家之王—費馬(1601-1665)在1640年通過對xxx的觀察,發(fā)現(xiàn)其結(jié)果都是素數(shù),于是提出猜想:對所有的自然數(shù),任何形如的數(shù)都是素數(shù).后來瑞士數(shù)學(xué)家歐拉,發(fā)現(xiàn)不是素數(shù),推翻費馬猜想.
設(shè)計意圖:讓學(xué)生認(rèn)識到合情推理的結(jié)論未必可靠,數(shù)學(xué)結(jié)論的正確性必須通過邏輯推理的方式加以證明才能得到確認(rèn)。引導(dǎo)學(xué)生無論在學(xué)習(xí)和做事方面都要養(yǎng)成一個嚴(yán)謹(jǐn)?shù)暮昧?xí)慣。
三、鞏固練習(xí):1.練習(xí):教材P38 1、2題.
四、布置作業(yè):教材P44習(xí)題A組1、2、3題.
一、教學(xué)目標(biāo)
1 知識與技能
〈1〉結(jié)合函數(shù)圖象,了解可導(dǎo)函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件
〈2〉理解函數(shù)極值的概念,會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值與極小值
2 過程與方法
結(jié)合實例,借助函數(shù)圖形直觀感知,并探索函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系。
3 情感與價值
感受導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中一般性和有效性,通過學(xué)習(xí)讓學(xué)生體會極值是函數(shù)的局部性質(zhì),增強(qiáng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思維意識。
二、重點:利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值
難點:函數(shù)在某點取得極值的必要條件與充分條件
三、教學(xué)基本流程
回憶函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,與已有知識的聯(lián)系
提出問題,激發(fā)求知欲
組織學(xué)生自主探索,獲得函數(shù)的極值定義
通過例題和練習(xí),深化提高對函數(shù)的極值定義的理解
四、教學(xué)過程
〈一〉創(chuàng)設(shè)情景,導(dǎo)入新課
1、通過上節(jié)課的學(xué)習(xí),導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系是什么?
(提問C類學(xué)生回答,A,B類學(xué)生做補(bǔ)充)
函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)教案 2、觀察圖1.3.8 表示高臺跳水運(yùn)動員的高度h隨時間t變化的函數(shù)函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)教案=-4.9t2+6.5t+10的圖象,回答以下問題
函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)教案函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)教案函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)教案函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)教案
函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)教案
函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)教案函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)教案
(1)當(dāng)t=a時,高臺跳水運(yùn)動員距水面的高度,那么函數(shù)函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)教案在t=a處的導(dǎo)數(shù)是多少呢?
(2)在點t=a附近的圖象有什么特點?
(3)點t=a附近的導(dǎo)數(shù)符號有什么變化規(guī)律?
共同歸納: 函數(shù)h(t)在a點處h/(a)=0,在t=a的附近,當(dāng)t0;當(dāng)t>a時,函數(shù)函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)教案單調(diào)遞減, 函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)教案
3、對于這一事例是這樣,對其他的連續(xù)函數(shù)是不是也有這種性質(zhì)呢?
探索研討
函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)教案1、觀察1.3.9圖所表示的y=f(x)的圖象,回答以下問題:
函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)教案(1)函數(shù)y=f(x)在a.b點的函數(shù)值與這些點附近的函數(shù)值有什么關(guān)系?
(2) 函數(shù)y=f(x)在a.b.點的導(dǎo)數(shù)值是多少?
(3)在a.b點附近, y=f(x)的導(dǎo)數(shù)的符號分別是什么,并且有什么關(guān)系呢?
2、極值的定義:
我們把點a叫做函數(shù)y=f(x)的極小值點,f(a)叫做函數(shù)y=f(x)的極小值;
點b叫做函數(shù)y=f(x)的極大值點,f(a)叫做函數(shù)y=f(x)的極大值。
極大值點與極小值點稱為極值點, 極大值與極小值稱為極值.
3、通過以上探索,你能歸納出可導(dǎo)函數(shù)在某點x0取得極值的充要條件嗎?
充要條件:f(x0)=0且點x0的左右附近的導(dǎo)數(shù)值符號要相反
4、引導(dǎo)學(xué)生觀察圖1.3.11,回答以下問題:
(1)找出圖中的極點,并說明哪些點為極大值點,哪些點為極小值點?
(2)極大值一定大于極小值嗎?
5、隨堂練習(xí):
如圖是函數(shù)y=f(x)的函數(shù),試找出函數(shù)y=f(x)的極值點,并指出哪些是極大值點,哪些是極小值點.如果把函數(shù)圖象改為導(dǎo)函數(shù)y=函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)教案的圖象?
函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)教案講解例題
例4 求函數(shù)函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)教案的極值
教師分析:①求f/(x),解出f/(x)=0,找函數(shù)極點; ②由函數(shù)單調(diào)性確定在極點x0附近f/(x)的符號,從而確定哪一點是極大值點,哪一點為極小值點,從而求出函數(shù)的極值.
學(xué)生動手做,教師引導(dǎo)
解:∵函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)教案∴函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)教案=x2-4=(x-2)(x+2)令函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)教案=0,解得x=2,或x=-2.
函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)教案
函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)教案
下面分兩種情況討論:
(1) 當(dāng)函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)教案>0,即x>2,或x
(2) 當(dāng)函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)教案
當(dāng)x變化時, 函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)教案 ,f(x)的變化情況如下表:
x
(-∞,-2)
-2
(-2,2)
2
(2,+∞)
函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)教案
+
0
_
0
+
f(x)
單調(diào)遞增
函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)教案
函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)教案單調(diào)遞減
函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)教案
單調(diào)遞增
函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)教案因此,當(dāng)x=-2時,f(x)有極大值,且極大值為f(-2)= 函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)教案 ;當(dāng)x=2時,f(x)有極
小值,且極小值為f(2)= 函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)教案
函數(shù)函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)教案的圖象如:
函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)教案歸納:求函數(shù)y=f(x)極值的方法是:
函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)教案1求函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)教案,解方程函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)教案=0,當(dāng)函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)教案=0時:
(1) 如果在x0附近的左邊函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)教案>0,右邊函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)教案
(2) 如果在x0附近的左邊函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)教案0,那么f(x0)是極小值
課堂練習(xí)
1、求函數(shù)f(x)=3x-x3的極值
2、思考:已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2-2x在x=-2,x=1處取得極值,
求函數(shù)f(x)的解析式及單調(diào)區(qū)間。
C類學(xué)生做第1題,A,B類學(xué)生在第1,2題。
課后思考題
1、若函數(shù)f(x)=x3-3bx+3b在(0,1)內(nèi)有極小值,求實數(shù)b的范圍。
2、已知f(x)=x3+ax2+(a+b)x+1有極大值和極小值,求實數(shù)a的范圍。
課堂小結(jié)
1、函數(shù)極值的定義
2、函數(shù)極值求解步驟
3、一個點為函數(shù)的極值點的充要條件。
作業(yè) P32 5 ① ④
教學(xué)反思
本節(jié)的教學(xué)內(nèi)容是導(dǎo)數(shù)的極值,有了上節(jié)課導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性作鋪墊,借助函數(shù)圖形的直觀性探索歸納出導(dǎo)數(shù)的極值定義,利用定義求函數(shù)的極值.教學(xué)反饋中主要是書寫格式存在著問題.為了統(tǒng)一要求主張用列表的方式表示,剛開始學(xué)生都不愿接受這種格式,但隨著幾道例題與練習(xí)題的展示,學(xué)生體會到列表方式的簡便,同時為能夠快速判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù),我要求學(xué)生盡量把導(dǎo)數(shù)因式分解.本節(jié)課的難點是函數(shù)在某點取得極值的必要條件與充分條件,為了說明這一點多舉幾個例題是很有必要的.在解答過程中學(xué)生還暴露出對復(fù)雜函數(shù)的求導(dǎo)的準(zhǔn)確率比較底,以及求函數(shù)的極值的過程板書仍不規(guī)范,看樣子這些方面還要不斷加強(qiáng)訓(xùn)練函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)教案
研討評議
教學(xué)內(nèi)容整體設(shè)計合理,重點突出,難點突破,充分體現(xiàn)教師為主導(dǎo),學(xué)生為主體的雙主體課堂地位,充分調(diào)動學(xué)生的積極性,教師合理清晰的引導(dǎo)思路,使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得到培養(yǎng)和提高,教學(xué)內(nèi)容容量與難度適中,符合學(xué)情,并關(guān)注學(xué)生的個體差異,使不同程度的學(xué)生都得到不同效果的收獲。
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