古人云,工欲善其事,必先利其器。在每學(xué)期開(kāi)學(xué)之前,幼兒園的老師們都要為自己之后的教學(xué)做準(zhǔn)備。為了防止學(xué)生抓不住重點(diǎn),教案就顯得非常重要,有了教案上課才能夠?yàn)橥瑢W(xué)講更多的,更全面的知識(shí)。所以你在寫(xiě)幼兒園教案時(shí)要注意些什么呢?以下內(nèi)容是小編特地整理的“基本不等式課件”,在此提醒你收藏本頁(yè),以方便閱讀!
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.知識(shí)與技能:學(xué)會(huì)推導(dǎo)并掌握基本不等式,理解這個(gè)基本不等式的幾何意義,并掌握定理中的不等號(hào)“≥”取等號(hào)的條件是:當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)數(shù)相等;
2.過(guò)程與方法:通過(guò)實(shí)例探究抽象基本不等式;
3.情態(tài)與價(jià)值:通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí),體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活,提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣
【能力培養(yǎng)】
培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)、規(guī)范的學(xué)習(xí)能力,分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。
【教學(xué)重點(diǎn)】
應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解不等式,并從不同角度探索不等式 的證明過(guò)程;及其在求最值時(shí)初步應(yīng)用
【教學(xué)難點(diǎn)】
基本不等式 等號(hào)成立條件
【教學(xué)過(guò)程】
一、課題導(dǎo)入
基本不等式 的幾何背景:如圖是在北京召開(kāi)的第24界國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo),教師引導(dǎo)學(xué)生從面積的關(guān)系去找不等關(guān)系。
二、講授新課
1.問(wèn)題探究——探究圖形中的不等關(guān)系。
將圖中的“風(fēng)車(chē)”抽象成如圖,在正方形abcd中右個(gè)全等的直角三角形。設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)為a,b那么正方形的邊長(zhǎng)為 。這樣,4個(gè)直角三角形的面積的和是2ab,正方形的面積為 。由于4個(gè)直角三角形的面積小于正方形的面積,我們就得到了一個(gè)不等式: 。
當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?,即a=b時(shí),正方形efgh縮為一個(gè)點(diǎn),這時(shí)有 。
2.總結(jié)結(jié)論:一般的,如果
(結(jié)論的得出盡量發(fā)揮學(xué)生自主能動(dòng)性,讓學(xué)生總結(jié),教師適時(shí)點(diǎn)撥引導(dǎo))
3.思考證明:(讓學(xué)生嘗試給出它的證明)
4.特別的,如果a>0,b>0,我們用 分別代替a、b ,可得,
通常我們把上式寫(xiě)作:
①?gòu)牟坏仁降男再|(zhì)推導(dǎo)基本不等式
用分析法證明:(略)
②理解基本不等式 的幾何意義
探究:對(duì)課本第98頁(yè)的“探究”( 幾何證明)
注:在數(shù)學(xué)中,我們稱(chēng) 為a、b的算術(shù)平均數(shù),稱(chēng) 為a、b的幾何平均數(shù)。本節(jié)定理還可敘述為:兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。
5、例:當(dāng)時(shí),取什么值,的值最小?最小值是多少?
6、課時(shí)小結(jié)
本節(jié)課,我們學(xué)習(xí)了重要不等式a2+b2≥2ab;兩正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)( ),幾何平均數(shù)( )及它們的關(guān)系( ≥ )。它們成立的條件不同,前者只要求a、b都是實(shí)數(shù),而后者要求a、b都是正數(shù)。它們既是不等式變形的基本工具,又是求函數(shù)最值的重要工具(下一節(jié)我們將進(jìn)一步學(xué)習(xí)它們的應(yīng)用)。
7、作業(yè):
課本第100頁(yè)習(xí)題[a]組的第1、2題
板書(shū) 設(shè) 計(jì)
課題: 3.4基本不等式
一、兩個(gè)不等式
二、例題及練習(xí)
基本不等式是初中數(shù)學(xué)中重要的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)。通過(guò)學(xué)習(xí)基本不等式,可以幫助學(xué)生更深入地理解不等式的性質(zhì),掌握不等式的解法和應(yīng)用技巧,以及提高數(shù)學(xué)分析和推理能力。下面就從不等式的定義、基本不等式的證明、基本不等式的應(yīng)用等方面來(lái)詳細(xì)介紹基本不等式。
一、不等式的定義
不等式是數(shù)學(xué)中的一種基本概念,用來(lái)表示兩個(gè)數(shù)之間的大小關(guān)系。比如,如果a>b,則可以表示為a-b>0;如果a≥b,則可以表示為a-b≥0。在不等式中,我們常用符號(hào)“>”、“≥”、“
二、基本不等式的證明
基本不等式是指若a、b為正實(shí)數(shù),那么(a+b)2/4≥ab。這個(gè)不等式在解決很多數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)都有非常重要的作用,因此我們需要掌握基本不等式的證明方法。
證明方法1:
(a+b)2/4=(a2+2ab+b2)/4= [(a+b)2-2ab]/4
由于a、b為正實(shí)數(shù),所以(a+b)2和2ab一定是正實(shí)數(shù)。
因此,(a+b)2-2ab≥0,即(a+b)2/4≥ab。
證畢。
證明方法2:
由于a、b為正實(shí)數(shù),所以(a-b)2≥0。根據(jù)這個(gè)不等式,我們可以推導(dǎo)出:
a2+b2≥2ab
(a2+b2)/2≥ab
(a2+2ab+b2)/4≥ab
(a+b)2/4≥ab
證畢。
證明方法3:
設(shè)Δ=a2-2ab+b2=(a-b)2≥0
那么,a2-2ab+b2≥0,即a2+b2≥2ab
(a2+b2)/2≥ab,即(a+b)2/4≥ab
證畢。
通過(guò)上述三種證明方法,我們可以看到,基本不等式的證明方法可以有多種,但本質(zhì)上是一樣的。
三、基本不等式的應(yīng)用
1.求解最優(yōu)解
在某些問(wèn)題中,需要求解若干變量的最大值或最小值,例如某個(gè)產(chǎn)品的利潤(rùn)最大化問(wèn)題、最短路徑問(wèn)題等,這時(shí)我們可以將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)不等式問(wèn)題,然后運(yùn)用基本不等式來(lái)簡(jiǎn)化求解過(guò)程。
2.推導(dǎo)其他不等式
基本不等式可以作為其他不等式的推導(dǎo)依據(jù)。例如,在求證某個(gè)不等式時(shí),我們可以使用基本不等式將其轉(zhuǎn)化為更簡(jiǎn)單的形式,從而更容易得到證明。
3.證明集合的包含關(guān)系
當(dāng)我們需要證明兩個(gè)集合的包含關(guān)系時(shí),可以通過(guò)基本不等式來(lái)構(gòu)造出一些包含于其中一個(gè)集合但不包含于另一個(gè)集合的數(shù)列,這樣就容易得出它們之間的包含關(guān)系。
總之,基本不等式在數(shù)學(xué)中有著非常重要的作用,深入了解和掌握基本不等式,不僅可以提高數(shù)學(xué)思維能力,也可以幫助我們更好地理解和應(yīng)用各種數(shù)學(xué)知識(shí)。
基本不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容,它們可以作用于多種數(shù)學(xué)領(lǐng)域,包括代數(shù)、幾何、概率等等。這種不等式是一個(gè)基本性質(zhì),它提供了一種有效地組織和比較數(shù)字和數(shù)學(xué)表達(dá)式的方式。本文將探討基本不等式,并解釋其重要性和應(yīng)用范圍。
基本不等式是指一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)規(guī)律,即對(duì)于任何正實(shí)數(shù)a和b,有如下關(guān)系式:
(a + b)2 ≥ 4ab
當(dāng)a和b相等時(shí)等式被取得,此時(shí)有a = b = (a + b) / 2。
這個(gè)不等式看上去非常簡(jiǎn)單,但它有它的特殊地位和應(yīng)用。它是所有不等式中最基本也是最重要的,它可以應(yīng)用到各種自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域中。例如,基本不等式可以用于優(yōu)化無(wú)線網(wǎng)絡(luò)傳輸速度和縮短計(jì)算機(jī)作業(yè)響應(yīng)時(shí)間,還可以在物理和金融領(lǐng)域中被用來(lái)研究變化率和波動(dòng)性等特征。
作為一個(gè)系統(tǒng)的理論工具,基本不等式的價(jià)值和應(yīng)用遠(yuǎn)不止于此。尤其是它的推廣版Sylvester不等式,將基本不等式引向了更復(fù)雜多樣的領(lǐng)域。Sylvester不等式是基本不等式在矩陣學(xué)科中的一個(gè)推廣。它是一個(gè)矩陣不等式,描述了不同形式的矩陣之間的比較規(guī)律。從線性代數(shù)、概率、統(tǒng)計(jì)以及其他領(lǐng)域中的應(yīng)用可以看出,矩陣不等式在各種學(xué)科中都有越來(lái)越廣泛的應(yīng)用。
基本不等式是解決一些數(shù)學(xué)難題的一個(gè)強(qiáng)大工具,在應(yīng)用中經(jīng)常運(yùn)用到。因此,學(xué)生無(wú)論是在數(shù)學(xué)課堂中還是考試中,都應(yīng)該掌握這個(gè)基本數(shù)學(xué)概念,并了解它的應(yīng)用。通過(guò)培養(yǎng)學(xué)生使用基本不等式和它的推廣Sylvester不等式的能力,可以幫助他們更好地掌握高等數(shù)學(xué)中更復(fù)雜的概念和算法。
因此,掌握和理解基本不等式以及它的推廣Sylvester不等式對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者來(lái)說(shuō)非常重要。通過(guò)對(duì)基本不等式的學(xué)習(xí)和掌握,可以幫助學(xué)生完成更復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題,進(jìn)一步培養(yǎng)他們?cè)跀?shù)學(xué)領(lǐng)域的創(chuàng)造性和解決問(wèn)題的能力。
基本不等式是初中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容,也被稱(chēng)為柯西-施瓦茨不等式。它的意義不僅限于初中數(shù)學(xué),在高中數(shù)學(xué)、大學(xué)數(shù)學(xué)等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用?;静坏仁绞菙?shù)學(xué)中非常基礎(chǔ)的概念,我們可以通過(guò)以下的主題范文來(lái)深入了解。
主題一:基本不等式的概念及其應(yīng)用
基本不等式是初中數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)概念,它是數(shù)學(xué)不等式中的重要內(nèi)容。它起源于柯西-施瓦茨不等式,可以用于證明不等式以及優(yōu)化問(wèn)題?;静坏仁降谋举|(zhì)是數(shù)學(xué)中的向量?jī)?nèi)積,具有非常廣泛的應(yīng)用,比如在概率論、統(tǒng)計(jì)學(xué)、矩陣論、函數(shù)論、微積分等方面都有應(yīng)用。
主題二:基本不等式的證明方法
基本不等式的證明方法主要有兩種。一種是基于二次函數(shù)的方法,另一種是基于向量?jī)?nèi)積的方法。無(wú)論采用哪種方法,都需要通過(guò)簡(jiǎn)單的代數(shù)變化、平方等方法,將式子變形成為已知的不等式形式。利用這種方法,我們就可以推出基本不等式,從而應(yīng)用到不等式證明等問(wèn)題中。
主題三:基本不等式在函數(shù)極值問(wèn)題中的應(yīng)用
基本不等式在函數(shù)極值問(wèn)題中也有廣泛的應(yīng)用。函數(shù)的極值可以通過(guò)求導(dǎo)數(shù)和函數(shù)值來(lái)求解,而基本不等式可以在求解函數(shù)極值過(guò)程中起到優(yōu)化作用。通過(guò)基本不等式,可以很好地規(guī)避一些數(shù)學(xué)中的陷阱,從而獲得更精確的結(jié)果。因此,基本不等式在函數(shù)極值問(wèn)題中的應(yīng)用是非常重要的。
主題四:基本不等式在概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)中的應(yīng)用
基本不等式在概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)中也有廣泛的應(yīng)用。概率論中的卡方分布、t分布等都是基于基本不等式的優(yōu)化結(jié)果。在統(tǒng)計(jì)學(xué)的研究中,基本不等式可以用于特征值的計(jì)算、回歸分析等方面。因此,基本不等式在概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)中的應(yīng)用也是非常重要的。
主題五:用基本不等式解決數(shù)學(xué)中的“熱點(diǎn)”問(wèn)題
基本不等式是數(shù)學(xué)中的熱點(diǎn)問(wèn)題之一,因?yàn)樗诮鉀Q很多復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題中都起到了重要作用。比如,在組合數(shù)學(xué)中,基本不等式用于計(jì)算多重組合數(shù)。在三角函數(shù)中,基本不等式用于計(jì)算三角函數(shù)的冪的和。在數(shù)值分析中,基本不等式用于優(yōu)化函數(shù)逼近等方面。因此,我們可以用基本不等式解決數(shù)學(xué)中的一些“熱點(diǎn)”問(wèn)題,從而獲得更深入的數(shù)學(xué)技巧。
總的來(lái)說(shuō),基本不等式是數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的內(nèi)容,它可以用于解決不等式證明、函數(shù)極值、概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)等領(lǐng)域的問(wèn)題。同時(shí),基本不等式也是數(shù)學(xué)中的“熱點(diǎn)”問(wèn)題之一,它為我們提供了更深入的數(shù)學(xué)技巧和思維方式。掌握基本不等式不僅可以提高數(shù)學(xué)水平,而且可以在其他領(lǐng)域帶來(lái)更多的收獲。
一、基本不等式的簡(jiǎn)介
基本不等式是初中數(shù)學(xué)中的一項(xiàng)重要內(nèi)容,是不等式的基礎(chǔ)。它可以幫助我們?cè)趯W(xué)習(xí)不等式的過(guò)程中更加輕松的理解和掌握其他不等式的相關(guān)知識(shí)。它的基本形式是:
對(duì)于任意實(shí)數(shù)a1, a2, …, an,有
(a1^2 + a2^2 + … + an^2)×n ≥ (a1 + a2+ … + an)^2
二、基本不等式的證明
基本不等式的證明有多種方法,下面將以幾何證明法和數(shù)學(xué)歸納法為例進(jìn)行講解。
幾何證明法:
首先,我們根據(jù)勾股定理和三角形面積公式有:
a1^2=(a1 cos B1)^2+(a1 sin B1)^2
a2^2=(a2 cos B2)^2+(a2 sin B2)^2
……
an^2=(an cos Bn)^2+(an sin Bn)^2
因?yàn)檎嘞液瘮?shù)在第一象限內(nèi)單調(diào)遞增,所以有:
sinB1
sinB2
……
sinBn
把以上不等式累加起來(lái)并乘以n,則有:
n(a1^2+a2^2+…+an^2)>=〖(a1cosB1+a2cosB2+…+an cosBn)〗^2+n(a1^2sin^2 B1+…..+an^2sin^2 Bn)
顯然,n(a1^2sin^2B1+….+an^2sin^2Bn)=n(a1sinB1+…+ansinBn)^2
因此,原不等式即證。
數(shù)學(xué)歸納法:
當(dāng)n = 2時(shí),有
a^2 + b^2 >= 2ab
(a - b)^2 >= 0
顯然成立。
假設(shè)n = k - 1時(shí)原不等式成立,即
(a1^2 + a2^2 + … + ak-1^2) × (k - 1) >= (a1 + a2 + … + ak-1)^2
當(dāng)n = k時(shí),原不等式變?yōu)椋?/p>
(a1^2 + a2^2 + … + ak-1^2 + ak^2) × k >= (a1 + a2 + … + ak-1 + ak)^2
因?yàn)?a1^2 + a2^2 + … + ak-1^2) × (k - 1) >= (a1 + a2 + … + ak-1)^2
又因?yàn)?a1^2 + a2^2 + … + ak^2) × 1 >= ak^2
因此有:
(a1^2 + a2^2 + … + ak-1^2) × (k - 1) + (a1^2 + a2^2 + … + ak^2) × 1 >= (a1 + a2 + … + ak-1)^2 + ak^2
即
(a1^2 + a2^2 + … + ak^2) × k >= (a1 + a2 + … + ak)^2
因此,當(dāng)n = k時(shí),原不等式也成立。
綜合上述兩種證明方法,我們可知,基本不等式是正確的。
三、應(yīng)用基本不等式需要注意的問(wèn)題
1. 基本不等式只適用于a1, a2, …, an均為實(shí)數(shù)的情形,不適用于其中有虛數(shù)的情形。
2. 如果不等式兩側(cè)都除以n的話,可以得到一個(gè)均值不等式:
(a1 + a2 + … + an) / n >= √(a1^2 + a2^2 + … + an^2)
這就是均值不等式的形式。
3. 基本不等式是一個(gè)有力的數(shù)學(xué)工具,它可以用于解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題。 但在應(yīng)用時(shí),我們需要注意題目的條件,判斷是否可以應(yīng)用,以免掉進(jìn)錯(cuò)誤的陷阱。
四、結(jié)語(yǔ)
綜上所述,基本不等式在初中數(shù)學(xué)中是一項(xiàng)基礎(chǔ)性的內(nèi)容,它的正確性是數(shù)學(xué)歸納法和幾何證明法所證明的。應(yīng)用時(shí)需要注意題目的條件,判斷是否可以應(yīng)用。相信通過(guò)學(xué)習(xí)和掌握基本不等式,我們可以更加輕松的掌握其他不等式的相關(guān)知識(shí)。
教學(xué)目的
掌握不等式的基本性質(zhì),會(huì)用不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行不等式的變形。
教學(xué)過(guò)程
師:我們已學(xué)過(guò)等式,不等式,現(xiàn)在我們來(lái)看兩組式子(教師出示小黑板中的兩組式子),請(qǐng)同學(xué)們觀察,哪些是等式?哪些是不等式?
第一組:1+2=3; a+b=b+a; S =ab; 4+x =7。
第二組:-7 1+4; 2x ≤6, a+2 ≥0; 3≠4。
生:第一組都是等式,第二組都是不等式。
師:那么,什么叫做等式?什么叫做不等式?
生:表示相等關(guān)系的式子叫做等式;表示不等式的式子叫做不等式。
師:在數(shù)學(xué)熾,我們用等號(hào)“=”來(lái)表示相等關(guān)系,用不等式號(hào)“〈”、“〉”或“≠”表示不等關(guān)系,其中“>”和“<”表示大小關(guān)系。表示大小關(guān)系的不等式是我們中學(xué)教學(xué)所要研究的。
前面我們學(xué)過(guò)了等式,同學(xué)們還記得等式的性質(zhì)嗎?
生:等式有這樣的性質(zhì):等式兩邊都加上,或都減去,或都乘以,或都除以( 除數(shù)不為零)同一個(gè)數(shù),所得到的仍是等式。
師:很好!當(dāng)我們開(kāi)始研究不等式的時(shí)候,自然會(huì)聯(lián)想到,是否有與等式相類(lèi)似的性質(zhì),也就是說(shuō),如果在不等式的兩邊都加上,或都減去,或都乘以,或都除經(jīng)(除數(shù)不為零)同一個(gè)數(shù),結(jié)果將會(huì)如何呢?讓我們先做一些試驗(yàn)練習(xí)。
練習(xí)1 (回答)用小于號(hào)“”填空。
(1)7 ___ 4;
(2)- 2____6;
(3)- 3_____ -2;
(4)- 4_____-6
練習(xí)2(口答)分別從練習(xí)1中四個(gè)不等式出發(fā),進(jìn)行下面的運(yùn)算。
(1)兩邊都加上(或都減去)5,結(jié)果怎樣?不等號(hào)的方向改變了嗎?
(2)兩邊都乘以(或都除以)5,結(jié)果怎樣?不等號(hào)的方向改變了嗎?
(3)兩邊都乘以(或都除以)(-5),結(jié)果怎樣?不等號(hào)的方向改變了嗎?
生:我們發(fā)現(xiàn):在練習(xí)2中,第(1)、(2)題的結(jié)果是不等號(hào)的方向不變;在第(3)題中,結(jié)果是不等號(hào)的方向改變了!
師:同學(xué)們觀察得很認(rèn)真,大家再進(jìn)一步探討一下,在什么情況下不等號(hào)的方向就會(huì)發(fā)生改變呢?
生甲:在原不等式的兩邊都乘以(或除以)一個(gè)負(fù)數(shù)的情況下,不等號(hào)的方向要改變。
師:有沒(méi)有不同的意見(jiàn)?大家都同意他的看法嗎?可能還有同學(xué)不放心,讓我們?cè)僮鲆恍┰囼?yàn)。
練習(xí)3(口答)分別在下面四個(gè)不等式的兩邊都以乘以(可除以)-2,看看不等號(hào)的方向是否改變:
7>4;-2<6;-3<-2;-4>-6。
師:現(xiàn)在我們可以歸納出不等式的基本性質(zhì),一般地說(shuō),不等式的基本性質(zhì)有三條:
性質(zhì)1:不等式的兩邊都加上(或都減去)同一個(gè)數(shù),不等號(hào)的方向 。
(讓同學(xué)回答。)
性質(zhì)2:不等式的兩邊都乘以(或都除以)同一個(gè)正數(shù),不等號(hào)的方向 。(讓同學(xué)回答。)
性質(zhì)3:不等式的兩邊都乘以(或都除以)同一個(gè)負(fù)數(shù),不等號(hào)的方向 。(讓同學(xué)回答。)
現(xiàn)在請(qǐng)大家翻開(kāi)課本,一起朗讀用黑體字寫(xiě)的三條基本性質(zhì)。
不等式的這三條基本性質(zhì),都可以用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出來(lái),先請(qǐng)一位同學(xué)說(shuō)一說(shuō)第一條基本性質(zhì)。
生:如果a<b。那么a+c<b+c(或a-c<b-c;如果a>b,那么a+c>b+c(或a-c>b-c)。
師:對(duì)a和b有什么要求嗎?對(duì)c有什么要求?
生:沒(méi)有什么要求。
師:哪位同學(xué)來(lái)回答第二、三條性質(zhì)?
生甲:如果a0, 那么acb,且c>0,那么ac>bc(或
生乙:如果abc(或 );如果a>b,且cb,且c>0,那么ac>bd;(2)如果a>b,那么ac2>bc2;(3)如果ac2>bc2,那么a>b;(4)如果a>b,那么a-b>0;(5)如果ax>b,且a≠0,那么xa;生甲:(1)不對(duì),當(dāng)c=d≤0時(shí),ac>bd不成立。生乙:(2)也不對(duì),因?yàn)閏2是一個(gè)非負(fù)數(shù),當(dāng)c=0時(shí),ac2>bc2不成立。生丙:(3)對(duì),因?yàn)閍c2>bc2成立,則c2一定大于零,根據(jù)不等式基本性質(zhì)2,得a>b出。(4)對(duì),根據(jù)不等式基本性質(zhì),由a>b,兩邊減去b得a-b>0。(5)不對(duì),當(dāng)a<0時(shí),根據(jù)不等式基本性質(zhì)3,得。(6)不對(duì),因?yàn)楫?dāng)b<0時(shí),根據(jù)不等式基本性質(zhì)1,得a+b<a;而當(dāng)b=0時(shí),則有a+b=a。師:同學(xué)們回答得很好。今天我們學(xué)習(xí)了不等式的基本性質(zhì),我們不僅要理解這三條性質(zhì),還要能靈活運(yùn)用。課外做以下作業(yè):略。教案說(shuō)明(1) 不等式的基本性質(zhì)的教學(xué),是分成兩個(gè)階段進(jìn)行的。在初中階段,對(duì)不等式的基本性質(zhì),并不作證明,只引導(dǎo)學(xué)生用試驗(yàn)的方法,歸納出三條基本性質(zhì)。通過(guò)試驗(yàn),由特殊到一般,由具體到抽象,這是一種認(rèn)識(shí)事物規(guī)律的重要方法??茖W(xué)上的許多發(fā)現(xiàn),大多離不開(kāi)試驗(yàn)和觀察。大數(shù)學(xué)家歐拉說(shuō)過(guò):“數(shù)學(xué)這門(mén)科學(xué),需要觀察,也需要試驗(yàn)。”通過(guò)教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生掌握由試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)規(guī)律的方法,具有重要的意義。當(dāng)然通過(guò)幾個(gè)特殊的試驗(yàn),就得出一般的結(jié)論,是不嚴(yán)密的。但對(duì)初中學(xué)生來(lái)說(shuō),初次接觸不等式,是不能要求那么嚴(yán)密的。(2) 不等式的基本性質(zhì)的教學(xué),還應(yīng)采用對(duì)比的方法。學(xué)生已學(xué)過(guò)等式和等式的性質(zhì),為了便于和加深對(duì)不等式基本性質(zhì)的理解,在教學(xué)過(guò)程中,應(yīng)將不等式的性質(zhì)與等式的性質(zhì)加以比較:強(qiáng)調(diào)等式的兩邊都加上或減去,都乘以或除以(除數(shù)不能為零)同一個(gè)數(shù),所得到的仍是等式,這個(gè)數(shù)可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零;而在不等式的兩邊都加上或減去,都乘以或除以(除數(shù)不能為零)同一個(gè)數(shù),當(dāng)這個(gè)數(shù)是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零時(shí),對(duì)不等式的方向,有什么不同的影響。通過(guò)這樣的對(duì)比,不但可以復(fù)習(xí)已學(xué)過(guò)的等式有關(guān)知識(shí),便于引入新課,而且也有利于掌握不等式的基本性質(zhì)。對(duì)比的方法,也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種重要方法。(3) 在應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)對(duì)不等式進(jìn)行變形時(shí),學(xué)生對(duì)不等式兩邊是具體數(shù),判定大小關(guān)系比較容易。因?yàn)檫@實(shí)際上是有理數(shù)大小的比較。對(duì)于不等式兩邊是含字母的代數(shù)式時(shí),根據(jù)題給的條件,運(yùn)用不等式基本性質(zhì)判別大小關(guān)系或不等號(hào)方向,就比較困難。因?yàn)樗容^抽象,特別是在運(yùn)用不等式的基本性質(zhì)2和性質(zhì)3時(shí),學(xué)生必須考慮不等式兩邊同乘(或同除)的這個(gè)用字母表示的數(shù)的符號(hào)是什么,或者還要對(duì)這個(gè)用字母表示的數(shù),按正數(shù)、負(fù)數(shù)或零三種情況加以討論。在教學(xué)過(guò)程中,對(duì)于這類(lèi)題目,采用討論法是比較好的。因?yàn)樵谟懻摃r(shí),學(xué)生可以充分發(fā)表各種見(jiàn)解。對(duì)于正確的見(jiàn)解,教師可以讓學(xué)生說(shuō)出解題的依據(jù);對(duì)于錯(cuò)誤的見(jiàn)解,教師可以進(jìn)行啟發(fā)引導(dǎo),發(fā)動(dòng)學(xué)生自己找出錯(cuò)誤的原因,自己修正見(jiàn)解。這樣,有利于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題,有的放矢地解決問(wèn)題,有利于深化對(duì)不等式基本性質(zhì)的認(rèn)識(shí)。
基本不等式教學(xué)設(shè)計(jì)
數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 鐘林
課題:人教A版必修5第3章4節(jié),基本不等式
【教學(xué)目標(biāo)】
1.通過(guò)兩個(gè)探究實(shí)例,引導(dǎo)學(xué)生從幾何圖形中獲得兩個(gè)基本不等式,了解基本不等式的幾何背景,體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想。
2.進(jìn)一步提煉、完善基本不等式,并從代數(shù)角度給出不等式的證明,組織學(xué)生分析證明方法,加深對(duì)基本不等式的認(rèn)識(shí),提高邏輯推理論證能力。 3.結(jié)合課本的探究圖形,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探究基本不等式的幾何解釋?zhuān)瑥?qiáng)化數(shù)形結(jié)合的思想。
4.借助例1嘗試用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最值問(wèn)題,通過(guò)例2及其變式引導(dǎo)學(xué)生
a?b領(lǐng)會(huì)運(yùn)用基本不等式ab?的三個(gè)限制條件(一正二定三相等)在解決最
2值中的作用,提升解決問(wèn)題的能力,體會(huì)方法與策略。
【重點(diǎn)難點(diǎn)】
重點(diǎn):應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式,并從不同角度探索不等式a?bab?的證明過(guò)程。
2難點(diǎn):在幾何背景下抽象出基本不等式,并理解基本不等式。
【教學(xué)設(shè)計(jì)】
(一)問(wèn)題導(dǎo)入
欣賞2002年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)徽,會(huì)徽是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的,顏色的明暗使它看上去象一個(gè)風(fēng)車(chē),代表中國(guó)人民熱情好客。你能發(fā)現(xiàn)它是什么圖形構(gòu)成的嗎?請(qǐng)根據(jù)會(huì)徽探索一些常見(jiàn)相等或不等關(guān)系。
探究一:在這張“弦圖”中能找出一些相等關(guān)系和不等關(guān)系嗎? 在正方形ABCD中有4個(gè)全等的直角三角形.設(shè)直角三角形兩條直角邊長(zhǎng)為,a,b。
22a?b那么正方形的邊長(zhǎng)為。
于是,4個(gè)直角三角形的面積之和S1?2ab。 正方形的面積S2?a2?b2。 由圖可知S2?S1,即a2?b2?2ab。
當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?,即時(shí),正方形EFGH縮為一個(gè)點(diǎn),這時(shí) a2?b2?2ab
所以a2?b2?2ab。
探究二:如下圖所示的梯形中,EF是梯形ABCD的中位線,梯形ABGH相似于梯 形GHDC。
梯形ABCD的上底是a,下底是b。讓同學(xué)們自主研究GH和EF的大小關(guān)系。
a?b因?yàn)镋F是中位線,所以EF?,
2由相似,可以得出GH?ab, 同樣因?yàn)橄嗨疲?/p>
AGABa, ??GDGHb又因?yàn)閍?b,所以AG?GD,即AG?AE,
a?b。 2顯然,當(dāng)AB逐漸趨近CD的時(shí)候,GH也逐漸向EF靠近, 當(dāng)AB=CD的時(shí)候,即ABCD是矩形的時(shí)候,GH與EF重合。
a?b即,當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí),ab?。
2a?b所以,ab?,當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí),等號(hào)成立。
2所以GH?EF,即ab?
(二)概念深入
根據(jù)上述兩個(gè)幾何背景,初步形成不等式結(jié)論:
若a,b?R?,則a2?b2?2ab。(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立)
a?b。(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立) 2請(qǐng)同學(xué)們運(yùn)用代數(shù)法證明: 作法一(作差法): 若a,b?R?,則ab?a2?b2?2ab?(a?b)2?0a?b?2ab22
當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立。且發(fā)現(xiàn)這里且a和b可以是全體實(shí)數(shù)、單項(xiàng)式、多項(xiàng)式。
作法二(分析法):
要證明a?b?ab, 2只需證明a?b?2ab, 即證a?b-2ab?0, 即為?a-b?2?0,該式顯然成立,所以,當(dāng)a?b時(shí)取等號(hào)。
于是有這樣的結(jié)論:
稱(chēng)ab為a,b的幾何平均數(shù);稱(chēng)基本不等式ab?a?b為a,b的算術(shù)平均數(shù), 2a?b又可敘述為: 2兩個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的算術(shù)平均數(shù)
作法三(幾何法):
如圖,AB是圓O的直徑,點(diǎn)C是AB上一點(diǎn),AC=a,BC=b.過(guò)點(diǎn)C作 垂直于AB的弦DE,連接AD,BD。 從而有CD?ab,OD?a?b。 2a?b。 2a?b當(dāng)且僅當(dāng)C點(diǎn)與圓心O點(diǎn)重合時(shí),即a=b時(shí),ab?
2故再次證明:
a?ba?0,b?0,ab?,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立。
2a?b也說(shuō)明了ab?的幾何意義:半徑不小于半弦。
2由于直角三角形COD中,直角邊CD
(三)例題講解
例1.(1)用籬笆圍一個(gè)面積為100平方米的矩形菜園,問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí),所用籬笆最短,最短的籬笆是多少?
(2)一段長(zhǎng)為36米的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園,問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬為多少時(shí),菜園的面積最大,最大面積是多少?
(通過(guò)例1的講解,總結(jié)歸納利用基本不等式求最值問(wèn)題的特征,實(shí)現(xiàn)積與和的轉(zhuǎn)化)
對(duì)于x,y?R?,
(1)若xy?p(定值),則當(dāng)且僅當(dāng)x?y時(shí),x?y有最小值2p;
s2(2)若x?y?s(定值),則當(dāng)且僅當(dāng)x?y時(shí),xy有最大值。
4(鼓勵(lì)學(xué)生自己探索推導(dǎo),不但可使他們加深基本不等式的理解,還鍛煉了他們的思維,培養(yǎng)了勇于探索的精神。)
1例2.求y?x?(x?0)的值域。
x1變式1.若x?2,求x?的最小值.
x?21在運(yùn)用基本不等式解題的基礎(chǔ)上,利用幾何畫(huà)板展示y?x?(x?0)的函數(shù)
x圖象,使學(xué)生再次感受數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。
a?b并通過(guò)例2及其變式引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會(huì)運(yùn)用基本不等式ab?的三個(gè)限制
2條件(一正二定三相等)在解決最值問(wèn)題中的作用,提升解決問(wèn)題的能力,體會(huì)方法與策略。
(四)歸納小結(jié)&課后作業(yè) 基本不等式:
若a,b?R?,則a2?b2?2ab。(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立)
a?b。(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立) 2(1)基本不等式的幾何解釋?zhuān)〝?shù)形結(jié)合思想); (2)運(yùn)用基本不等式解決簡(jiǎn)單最值問(wèn)題的基本方法。
作業(yè):A組第4題,B組第1題,第2題
若a,b?R?,則ab?
基本不等式課件
基本不等式是初中數(shù)學(xué)中的重要知識(shí)點(diǎn)之一,在學(xué)習(xí)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)之前,我們先來(lái)了解下基本不等式的定義和公式:
定義:若a1,a2,...,an是n個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù),則有
(a1+a2+...+an)/n≥(a1×a2×...×an)的n次方根。
公式:(a1+a2+...+an)/n≥(a1×a2×...×an)的n次方根。
這個(gè)公式的意義是,當(dāng)n個(gè)數(shù)的平均值不小于這n個(gè)數(shù)的相乘積的n次方根時(shí),我們就稱(chēng)這個(gè)不等式為基本不等式。
基本不等式的意義很重要,它是一種實(shí)用的數(shù)學(xué)工具,能夠結(jié)合實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行運(yùn)用。在統(tǒng)計(jì)學(xué)中,我們經(jīng)常需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,計(jì)算某一組數(shù)的平均值?;静坏仁礁嬖V我們,對(duì)于一組非負(fù)實(shí)數(shù),它們的平均值一定不小于它們的幾何平均數(shù)。
下面我們來(lái)看一個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)例:
假設(shè)有兩組數(shù),分別為2,3,4和1,2,8,現(xiàn)在我們需要比較這兩組數(shù)哪一組平均值較大。
我們可用基本不等式進(jìn)行求解:
對(duì)于2,3,4,有(2+3+4)/3=3,(2×3×4)的1/3次方≈2.83,所以有3≥2.83。
對(duì)于1,2,8,有(1+2+8)/3=3.67,(1×2×8)的1/3次方≈2.19,所以有3.67≥2.19。
通過(guò)比較,我們可以發(fā)現(xiàn),第一組數(shù)的平均值是小于第二組數(shù)的平均值的。
基本不等式雖然簡(jiǎn)單,但是在實(shí)際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用。例如在金融學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域中,我們需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,計(jì)算平均值?;静坏仁侥軌驇椭覀冞M(jìn)行更加精確的計(jì)算,從而提高研究的準(zhǔn)確性和可靠性。
在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中,基本不等式也是一道基礎(chǔ)題,掌握好它的原理和應(yīng)用方法,就能夠輕松應(yīng)對(duì)數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的各種不等式題,提升自己的數(shù)學(xué)能力。
綜上所述,基本不等式是一項(xiàng)非常實(shí)用的數(shù)學(xué)工具,它能夠幫助我們進(jìn)行數(shù)據(jù)分析和計(jì)算,提高研究的準(zhǔn)確性和可靠性。在數(shù)學(xué)的應(yīng)用和研究中,掌握好基本不等式的原理和應(yīng)用方法非常重要。
課題:3.4.3 基本不等式 的應(yīng)用(二) 科目:數(shù)學(xué) 教學(xué)對(duì)象:高二(290)學(xué)生 課時(shí):1課時(shí) 提供者:劉和安 單位: 姚安一中 一、教學(xué)內(nèi)容分析 本節(jié)課的研究是起到了對(duì)學(xué)生以前所學(xué)知識(shí)與方法的復(fù)習(xí)、應(yīng)用,進(jìn)而構(gòu)建他們更完善的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)與鍛煉是數(shù)學(xué)教學(xué)的一項(xiàng)長(zhǎng)期而艱苦的任務(wù),這一點(diǎn),在本節(jié)課是真正得到了體現(xiàn)和落實(shí)。?
根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容,應(yīng)用觀察、閱讀、歸納、邏輯分析、思考、合作交流、探究,對(duì)基本不等式展開(kāi)實(shí)際應(yīng)用,進(jìn)行啟發(fā)、探究式教學(xué)并使用投影儀輔助。? 二、教學(xué)目標(biāo) (一)知識(shí)目標(biāo):構(gòu)建基本不等式解決函數(shù)的值域、最值問(wèn)題;
(二)能力目標(biāo):讓學(xué)生探究用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題
(三)情感、態(tài)度和價(jià)值觀目標(biāo):
通過(guò)具體問(wèn)題的解決,讓學(xué)生去感受、體驗(yàn)現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等量關(guān)系并需要從理性的角度去思考,鼓勵(lì)學(xué)生用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)進(jìn)行類(lèi)比、歸納、抽象,使學(xué)生感受數(shù) 學(xué)、走進(jìn)數(shù)學(xué)、培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣和良好的思維習(xí)慣;? 三、學(xué)習(xí)者特征分析 在本節(jié)課的教學(xué)過(guò)程中,仍應(yīng)強(qiáng)調(diào)不等式的現(xiàn)實(shí)背景和實(shí)際應(yīng)用,真正地把不等式作為刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界中不等關(guān)系的工具。通過(guò)實(shí)際問(wèn)題的分析解決,讓學(xué)生去體會(huì)基本不等式所具有的廣泛的實(shí)用價(jià)值,同時(shí),也讓學(xué)生去感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值,從而激發(fā)學(xué)生去熱愛(ài)數(shù)學(xué)、研究數(shù)學(xué)。而不是覺(jué)得數(shù)學(xué)只是一門(mén)枯燥無(wú)味的推理學(xué)科。在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中,既要求學(xué)生能用數(shù)學(xué)的眼光、觀點(diǎn)去看待現(xiàn)實(shí)生活中的許多問(wèn)題,又會(huì)涉及與函數(shù)、方程、三角等許多數(shù)學(xué)本身的知識(shí)與方法的處理 四、教學(xué)策略選擇與設(shè)計(jì) 1.采用探究法,按照觀察、閱讀、歸納、思考、交流、邏輯分析、抽象應(yīng)用的方法進(jìn)行啟發(fā)式教學(xué);?
2.教師提供問(wèn)題、素材,并及時(shí)點(diǎn)撥,發(fā)揮老師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用;?
3.設(shè)計(jì)較典型的具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題,激發(fā)學(xué)生去積極思考,從而培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。?? 五、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn):1.構(gòu)建基本不等式解決函數(shù)的值域、最值問(wèn)題。?
2.讓學(xué)生探究用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題;?
教學(xué)難點(diǎn):1.讓學(xué)生探究用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題;?
2.基本不等式應(yīng)用時(shí)等號(hào)成立條件的考查;?
六、教學(xué)過(guò)程 教師活動(dòng) 學(xué)生活動(dòng) 設(shè)計(jì)意圖 (一)導(dǎo)入新課
(二)推進(jìn)新課
已知 ,若ab為常數(shù)k,那么a+b的值如何變化?
若a+b為常數(shù)s,那么ab的值如何變化?
老師用投影儀給出本節(jié)課的第一組問(wèn)題
(1)求函數(shù)y=2x2+ (x>0)的最小值。?
(2)求函數(shù)y=x2+ (x>0)的最小值。?
(3)求函數(shù)y=3x2-2x3(0
(4)求函數(shù)y=x(1-x2)(0
(5)設(shè)a>0,b>0,且a2+ =1,求 的最大值。?
(三)合作探究 我們來(lái)考慮運(yùn)用正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)之間的關(guān)系來(lái)解答這些問(wèn)題。根據(jù)函數(shù)最值的含義,我們不難發(fā)現(xiàn)若平均值不等式的某一端為常數(shù),則當(dāng)?shù)忍?hào)能夠取到時(shí),這個(gè)常數(shù)即為另一端的一個(gè)最值。 ?
(四)例題精析?
【例】某工廠要建造一個(gè)長(zhǎng)方體形無(wú)蓋貯水池,其容積為4 800 m3,深為 3 m.如果池底每平方米的造價(jià)為150元,池壁每平方米的造價(jià)為120元,怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低?最低總造價(jià)是多少?
當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),a+b就有最小值為2k.?
當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),ab就有最大值 (或ab有 最大值 ).?
學(xué)生完成
留五分鐘的時(shí)間讓學(xué)生思考,合作交流
(根據(jù)學(xué)生完成的典型情況,找五位學(xué)生到黑板板演,然后老師根據(jù)學(xué)生到黑板板演的完成情況再一次作點(diǎn)評(píng))?
學(xué)生思考、回答,
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